合肥工业大学线性代数习题册答案精品

2005-2006学年第一学期《线性代数》试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共计15分）1. 已知220340005A ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭=，那么1A -=32210100015⋅⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭- ； 2. 设A 是4阶方阵，()2R A =，*A 是A 的伴随矩阵，则*()R A = 0 ；3. 若齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ⎧⎪⎨⎪⎩++=++=++= (1)λ≠有非零解，则λ= －2 ；4. 设矩阵1104102A a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-=-与200010001B ⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭=相似，则a = 3 ； 5. 在多项式1210423()2332112x x f x x x-=中，4x 的系数是 －6 .二、选择题（每小题3分，共计15分）1. 设M 是n 阶方阵，若0M =，则矩阵M 中（ C ）.()A 必有一行元素全为0 ()B 必有两行元素对应成比例()C 必有一行向量是其余行向量的线性组合()D 任一行向量是其余行向量的线性组合2. 设,A B 都是n 阶方阵，则下列结论正确的是（ C ）.()A 若A 与B 相似，则A 与B 有相同的特征值和特征向量 ()B 若A 与B 相似，则A 与B 都相似于同一个对角阵()C 若A 与B 相似，则A 与B 等价()D 若A 与B 等价，则A 与B 相似3. 设123,,ξξξ是齐次线性方程组A =0x 的基础解系，则（ D ）也是A =0x 的基础解系。

()A 与123,, ξξξ等价的一个向量组 ()B 与123,,ξξξ等秩的一个向量组 ()C 122331,,--- ξξξξξξ ()D 122331,,+++ξξξξξξ4. 设3阶方阵A 有3个线性无关的特征向量，3λ=是A 的二重特征值， 则(3)R A E -=（ A ）.()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 无法确定5. 设二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++，则下列结论正确的是( B ).()A f 是正定的 ()B f 的秩是2 ()C f 的秩是3 ()D f 的特征值是1,1,1三、（10分）计算n 阶行列式0000000000n a b a b D a b ba=.解 按第一列展开，得1110000000000000(1)00000000n n n n a b b a b ab D a b a b b aab+--=+-阶阶1111(1)(1)n n nnn n a a ab bb --++=⨯+=+-⨯- .四、（10分）求下列向量组的一个最大线性无关组1234(1,1,1),(0,2,5),(2,4,7),(1,1,3)TTTT====-αααα并指出4 α能否被123,,ααα线性表示.解 因为()1234102110211021124102220222157305540001---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα， 所以124,,ααα或134,, ααα是向量组1234,,,αααα的最大线性无关组。

第一章 行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。

因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。

任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。

因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。

如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。

又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。

综上所述，我们有)3(Q 是数域。

（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。

（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。

（反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒∈∃,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。

由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。

所以有0=a 或0=b 。

如果0=a ，则2qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。

线性代数前四章课堂测验题以下各题写于答题卷并应有解答过程.（共30分作为平时成绩参考） 考试时间：5月16日（周四）晚7:30-9:301. （本题5分）求行列式22223333b c d a c d a b d a b c ab c da b c d a b c d ++++++++的值. 【解】将第二行加到第一行得()22222222333333331111b c d a c d a b d a b c a b c d a bc d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d ++++++++=+++ ()()()()()()()a b c d b a c a d a c b d b d c =+++------.2. （本题3分）设4阶矩阵234234(,,,),(,,,)A B αγγγβγγγ==---,其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且2,1,A B ==求行列式.A B - 方法：先矩阵运算，再做行列式运算【解】()234234234(,,,)(,,,),2,2,2A B αγγγβγγγαβγγγ-=----=-，()33234234234234,2,2,22,,,2,,,,,,A B αβγγγαβγγγαγγγβγγγ-=-=-=+-()3224A B =+=。

3. （本题10分）设矩阵1121,0102B C -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()1,T TA E CBC B --=其中E 为2阶单位矩阵，T C 表示C 的转置， 求矩阵A .方法：先做抽象矩阵的运算，具体计算放最后一步【解】()()[]()111TTT T TA E CBC B A C E C B B A C B B A B C B ---⎡⎤⎡⎤-=⇒-=⇒-=⇒=-⎣⎦⎣⎦111101110310121012121----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 注意：有同学由[]()1110112101TTA CB B AC B B ---⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=⇒=-== ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭10112101-⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎝⎭⎝⎭1123-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则错误很严重！ 4. （本题4分）已知,A B 均是3阶矩阵，将A 中第2行加至第1行得到矩阵1A ，将B 中第2列与第1列互换得到矩阵1B ，又知11100010001A B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求AB .【解】由题意121211,r r c c A A B B +↔−−−→−−−→，故11110010010,100001001A A B B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11111111110010110010110010010100010100010100001001001001001001A B AB AB A B ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⇒==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭110010110110010100100100001001001001---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.5. （本题12分）设矩阵111111111111kk A k k ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，k 为何值时()3R A =？并在此种情况下求方程组0Ax =的一个基础解系. 【解】方法一：()()21111111111110101111111010100111111110011000311111110111k k k k k k k k k k A k k k k k k k k k kk k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-+----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3k =-时()3R A =；此时111310010101010100110011000000A --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪→→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0Ax =的同解方程组为1424340,0,0.x x x x x x -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩通解为11,11k k R ⎛⎫ ⎪ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭.方法二：()()311111131111111k k A k k k k==+-，()303R A A k =⇒=⇒=-（1k =舍去，此时()1R A =），3k =-时，3111111310011311010101011131001100111113000000A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭0Ax =的同解方程组为1424340,0,0.x x x x x x -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩通解为11,11k k R ⎛⎫⎪⎪∈ ⎪⎪⎝⎭.【思考】()1,1k R A ==时，0Ax =的同解方程组为12340x x x x +++=，得通解为123123111100,,,010001k k k k k k ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭任意。

第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( )。

（A) 24315 （B ） 14325 （C ） 41523 (D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ， 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）。

(A ）k (B)k n - (C ）k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项.（A ） 0 (B ）2-n (C ） )!2(-n （D) )!1(-n4．=001001001001000（ )。

(A ） 0 (B)1- （C) 1 （D ） 25.=001100000100100( ）。

(A) 0 （B ）1- （C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). （A) 0 （B)1- (C) 1 (D) 27。

若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ). (A) 4 (B ） 4- (C) 2 （D) 2-8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ）.（A ）ka (B)ka - (C ）a k 2 （D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ ).（A) 0 （B ）3- (C ） 3 (D ） 210。

若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为（ ）.(A ）1- （B)2- （C ）3- （D ）011。

若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). （A)1- (B ）2- （C)3- （D ）012。

第一章行列式1、 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。

(1) 1347265； (2) 〃(〃 —1)・・・321。

【解(1) r(1347265)=0 + 0 + 0 + 0 + 3 + l + 2 = 6,偶排列；(2) "〃(〃_1)...321] = 0 + ] + 2 + ... + (〃_1) = 〃(；1)。

当〃=4奴4女+ 1时，〃(〃；1)=2机4*—1),2机4* + 1)为偶数，即为偶排列；当〃 = 412,413时，丝* = (2*+1)(4*+ 1),(2*+1)(4*+ 3)为奇数,即为奇 排列。

■2、 用行列式定义计算2x x 1 21x1-1 f (X )=-- [3 2x1111%中『和r 的系数，并说明理由。

【解】由行列式定义可知：含b 有的项只能是主对角线元素乘积，故的系数为2； 含有尸的项只能是(1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4)的元素乘积项，而7(2134) = 0 + 1 + 0 + 0 = 1,故/的系数为一1. ■2-512 --37-14 3、 求 =o45 -9 2 7 4-612【解】三角化法：2-5121-522 1-522 尸2+八1-12 0 6C[0 2-160 113D 4 =- _八3-211 1 0 3 0 113 0 2-16 r 4+r 211 0 60 1160 1161 -52 2 r3~2r 2 0 11 3r4~r 2 00 -3 00 0 31111 rk~r l0 10 0=120= 120o )l=2,3,40 0 100 0 0 1【解】箭形行列式（爪形行列式）：利用对角线上元素将第一行（或列）中元素1化为零。

1 x 2q+C2 +•••+&n D"=(，-就1 x 2-mi=l1x21 0 0C k -X L C I 凡 q (»i) k=2,3,---,n1 —m ••- 01 0…-m【解】观察特点: 行和相等。

《线性代数》习题集（含答案）第一章【1】填空题 （1） 二阶行列式2a ab bb=___________。

（2） 二阶行列式cos sin sin cos αααα-=___________。

（3） 二阶行列式2a bi b aa bi+-=___________。

（4） 三阶行列式xy zzx y yzx =___________。

（5） 三阶行列式a bc c a b c a bbc a+++=___________。

答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2a b -；4.3333x y z xyz ++-；5.4abc 。

【2】选择题（1）若行列式12513225x-=0，则x=（）。

A -3；B -2；C 2；D 3。

（2）若行列式1111011x x x=，则x=（）。

A -1， B 0， C 1， D 2，（3）三阶行列式231503201298523-=（）。

A -70；B -63；C 70；D 82。

（4）行列式00000000a ba b b a ba=()。

A 44a b -；B ()222a b-；C 44b a -；D 44a b 。

（5）n 阶行列式0100002000100n n -=（）。

A 0；B n ！；C （-1）·n ！；D ()11!n n +-•。

答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。

【3】证明33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b zx y bz ax bx ay by azyzx++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。

【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。

答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。

2005-2006学年第一学期《线性代数》试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共计15分）1. 已知220340005A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=，那么1A -=32210100015⋅⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭- ； 2. 设A 是4阶方阵，()2R A =，*A 是A 的伴随矩阵，则*()R A = 0 ；3. 若齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ⎧⎪⎨⎪⎩++=++=++= (1)λ≠有非零解，则λ= －2 ；4. 设矩阵11040102A a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-=-与200010001B ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭=相似，则a = 3 ；5. 在多项式1210423()2332112xx f x x x-=中，4x 的系数是 －6 .二、选择题（每小题3分，共计15分）1. 设M 是n 阶方阵，若0M =，则矩阵M 中（ C ）.()A 必有一行元素全为0 ()B 必有两行元素对应成比例()C 必有一行向量是其余行向量的线性组合()D 任一行向量是其余行向量的线性组合2. 设,A B 都是n 阶方阵，则下列结论正确的是（ C ）.()A 若A 与B 相似，则A 与B 有相同的特征值和特征向量 ()B 若A 与B 相似，则A 与B 都相似于同一个对角阵()C 若A 与B 相似，则A 与B 等价()D 若A 与B 等价，则A 与B 相似3. 设123,,ξξξ是齐次线性方程组A =0x 的基础解系，则（ D ）也是A =0x 的基础解系。

()A 与123,,ξξξ等价的一个向量组 ()B 与123,,ξξξ等秩的一个向量组 ()C 122331,,---ξξξξξξ ()D 122331,,+++ξξξξξξ4. 设3阶方阵A 有3个线性无关的特征向量，3λ=是A 的二重特征值， 则(3)R A E -=（ A ）.()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 无法确定5. 设二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++，则下列结论正确的是( B ).()A f 是正定的 ()B f 的秩是2 ()C f 的秩是3 ()D f 的特征值是1,1,1三、（10分）计算n 阶行列式00000000000n a b a b D a b b a=.解 按第一列展开，得1110000000000000(1)00000000000000n n n n a b b a ba b D aba b b a a b +--=+-阶阶1111(1)(1)n n n n n n a a a b b b --++=⨯+=+-⨯- .四、（10分）求下列向量组的一个最大线性无关组1234(1,1,1),(0,2,5),(2,4,7),(1,1,3)T T T T ====-αααα并指出4α能否被123,,ααα线性表示.解 因为()1234102110211021124102220222157305540001---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα， 所以124,,ααα或134,,ααα是向量组1234,,,αααα的最大线性无关组。

A 组1.判别Q (厉)二｛0 +勿亦|0,处0｝是否为数域？解是.2.设/(x) = x3 4-x2 4-x+l, g(兀)=兀2+3兀+ 2,求 /(兀)+ g(x)，/(x)-g(x), f(x)g(x). 解/(x) + g (x) = x3 4- 2x2 + 4x + 3 ,/(兀)-g(x)"-2x-l,f(x)g(x) = x5 +4x4 +6兀'+6兀$ +5x + 2 .3.设/(%) = (5x-4),993(4x2 -2x-l),994 (8x3 -1 lx+2)'995,求 /(%)的展开式中各项系数的和.解由于/(兀)的各项系数的和等于/⑴，所以/(I) = (5-4严3(4-2- 1尸94(8-11 + 2)1995 =-1.4.求g(兀)除以/(兀)的商q(x)与余式心).(1)f (x) —— 3%2— x — 1, g(兀)=3F - 2兀+1 ；(2)/(x) = x4 -2x4-5, g(x) = x2 -x + 2 .解（1）用多项式除法得到x 73x~ — 2x +13_93X + 3—x —x-i3 37 ° 14 7-- 无_+ —x --3 9 926 2-- X ---9 9所以'恥）十岭心）W（2）用多项式除法得到x4— 2x + 5兀4 —”丫" + 2 兀2— 2x~ — 2 兀+5 jy?—兀~ + 2 兀-x2-4x4-5-兀? + X - 2—5x + 7所以，q(x) = x2 +x-l, r(x) = -5x + 7 .5.设是两个不相等的常数，证明多项式/(兀)除以(x-a)(x-b)所得余式为af(b)_bg)a-b a-h证明依题意可设/(x) = (x - a)(x - b)q(x) + cx+d,则”(a) = ca + d,[f(b) = cb + d.解得F=(/a) --,\d = (af(b)-bf(a))/(a-b).故所得余式为a-b a-b6.问m,p,q适合什么条件时，/(兀)能被g(x)整除？(1) /(x) = x3 + px + q , g(x) = x2 + nvc-1；(2) f(x) = x4 + px2 +q , g(兀)=x2 + mx+l.解(1)由整除的定义知，要求余式r(x) = 0 .所以先做多项式除法,3x2 + mx -1x-in“+ “X + q3 2x + mx^ - x-mx1 +(〃 + l)x + g2 2一 mx_ — m^x + m°(# +1 + 加〜)兀 + (g —m)要求厂(x) = (/? + l +加2)兀+ (§ —加)=0 ,所以(“ + 1 +加2) = 0, q-m = 0.即p = -l-m2, q - m时, 可以整除.（2）方法同上.先做多项式除法，所得余式为厂（兀）=加（2 — ”一nr ）兀+ （1 + @ —卩一加〜），所以 m （2-p-/772） = 0, 1 + ^ - p - m 2= 0 ,即 m = 0, p = q + \ 或“二 2— 加［q = l 时，可以整除.7. 求/（兀）与gCr ）的最大公因式:(1) f (x) — x 4 + — 3%2 — 4x — 1, g (x)=兀彳 + — x — 1 ； (2) f(x) = x 4— 4x 3+ 1, g(x) = x 3— 3x 2+1 ；(3) /(x) = x 4 -10x 2 +1, g(x) = x 4 -4A /2X 3 +6X 2 +4A /2X +1 .解（1）用辗转相除法得到用等式写出來，就是所以(/(x),g(x)) = x + l ・（2）同样地,<8 4 / 3 3= -X + — — -X-—(3 344-2x 2-3x-l1 1 --- X 4——2 -- 4 X 3+ X 2- X - 1 x 4 + x 3- 3x 2- 4x- 11 2 3 , -2x 2 — 3兀—12 21 2 3 1 -- X ----- X ---—2兀~ — 2兀2 4 433-- X ----X -144一丄 184—X H - 3 3 0心宀丄兀2 24 3 2牙+牙-X - Xf(x) = xg(x)^(-2x 2-3x-l),g(x) =所以(/⑴,g (兀)) = 1.⑶ 同样用辗转相除法，可得(/(x),g(x)) = F —2血兀一1.8.求 w(x),仄兀)使 w(x) f\x) + v(x)g(ji) = (/(x), g(%))：(1) f (x) = %4 4- 2x^ — %2 — 4x — 2, (x) = %4 + x — x~ — 2x — 2 : (2) /(x) = 4x 4-2x 3-16x 2+5x4-9, g(x) = 2兀3-x 2-5x+4:(3) /(x) = x A-x 3-4x 2 +4x + l, g (兀)=x 2 -x-l.解(1)利用辗转相除法，可以得到/(x) = g (A ：) + (x 3-2x)'g (兀)=(x+l)(x 3 - 2x) + (x 2 -2),x — 2兀=x(^x~ — 2).因而，(/(x),g(x)) = x 2-2,并且(/(兀),g (兀))=/ 一 2 = g (兀)_ (兀+1)(疋 _ 2兀) =g (兀)一(X +1) (f(x) -g (兀))=(一兀 一 1)/(兀)+ (兀+2)g(x),所以 u(x) = -x-\, v(x) = x + 21 10 -- X H --- 3 9x 3 - 3x 2x-13 1 2 2X H —X X 3 3 10 2 2~~'- ---- X H 兀+ 13 -- 3 10 ° 10 20 X --- 兀 3 9 916~~1T —X ------ 9 927 441 --------- X ---------------16 256-3x 2+—x1649一一539 兀+ --- 27 256(2)利用辗转相除法，可以得到/(x) = 2xg(x)-(6x 2 +3兀-9),(\ 1Ag(x) = —(6x_ + 3兀一9) ——% + — — (% — 1), —(6x - + 3x — 9) = —(x —1)(6% + 9).因而，(/⑴,g(Q) = x-1，并且(1 1 …厶— —X + _ f (x) + _兀_—x~\ I 3 3丿 (3 3丿] 1 2 7 2fi/f 以 W (X )= X H —, V (X )= — --- X — \ •3 3 3 3(3) 利用辗转相除法，可以得到fM = X —3)g(x) + (x — 2),g(x) = (x+l)(x-2) + l ・因而( f(x), g(x)) = 1 ,并且(/(兀),g(x)) = 1 = g(x) - (x+1)(兀一 2)=g (兀)-(兀+1)(/(兀)-(x 2 一3)gCr))—(—兀―1) f (x) + (兀'+ 兀2 — 3兀—2)g(x),所以u (兀)= -x-l, v(x) = x 3 +x 2 -3x-2.9.设/(x) = %3+ (14-t)x 2+ 2x + 2w, g(x)二F+zx + u 的最大公因式是一个二次多项式，求/，凤的值.解利用辗转相除法，可以得到/(%) = g(x) + (l + /)兀2 +(2-/)兀 + « ,(/(x), g(x)) = x-l = -(6x 2+ 3x-9)+ | _g(x)I d J J(I ] \= (/(x)-2xg(x)) --x+- -g(x)\ 3丿 <2 o 2 d ,、 U 3 广—---- 兀+ (1 + r t-2(l +r)2(尸 + r—w)(i+r) + (t— 2)~u[(l + t)2 — (r —2)]由题意，/(x)与g(Q的最大公因式是一个二次多项式，所以(广 + / —w)(l + /) + (f— 2)~(T H?皿(l + r)2-(r-2)] A ；=0,(l + O2解得u = o^t = -4.10.设(x —I)[(A/+ B F+I),求A和B.由题意要求知解用(兀一1)2 去除f\x) = Ar4 + Bx2 +1 ,得余式”(x) = (4A + 2B)兀+1 -3人一B,斤（兀）=0,即4A + 2B = 0,1-3A-B = O,解得A = l,B = -2.11.证明:如果(/(x),g(x)) = l, (/(x),/z(x)) = l,那么(/(x), g(x)/z(x)) = l. 证明由条件可知,存在络(兀)和片⑴ 使得旳(兀)/(兀)+岭⑴g(x) = l,存在如(兀)和卩2(兀)使得u2(x)f(x) + v2(x)h(x) = 1.用/?(兀)乘以第一式得坷(x)f(x)h(x) + V, (x)g(x)h(x) = h(x),代入第二式得u2(x)f(x) + v2 (x) [u t (x)f(x)h(x) 4-Vj (x)g(x)/z(x)] = 1, 即[w2(兀)+ u\ (x)v2(x)h(x)]f(x) + [v, (x)v2(x)]g(x)h(x) = 1,所以(/(x),g(x)/z(x)) = l.12.证明：如果/(x)与g(x)不全为零，且/心)/(兀)+ 咻)g(兀)=(/(%), g(Q)，证明由于w(x)/(x) + v(x)g(x) = (/(x),g(x)), /(X )与 g(x)不全为零，所以(/(x)，g(x))HO.两 边同时除以(/(Hg(Q)HO,有所以(弘(兀),咻)) = 1 .13.证明：如果〃(兀)|/(兀),〃(兀)|g(x),且〃(兀)为/(兀)与g(x)的一个组合，那么〃(兀)是/G)与 g(x)的一个最大公因式.证明由题意知d(x)是/(X )与g(x)的公因式.再由条件设d(x) = w(x)/(x) + v(x)^(x) •又设h(x) 为/(x)与g(x)的任一公因式，即/z(x)|/(x), h(x)\g(x),则由上式有h(x)\d(x).故而”(兀)是/(兀)与 g(x)的一个最大公因式.14.证明：(.fO)/2(X ), gO)/2(X )) = (.f(X ), g(x))〃(x),其中力(兀)的首项系数为 1.证明显然(/(x), g(x))/?(x)是f{x)h{x)与g(x)h(x)的一个公因式.下面來证明它是最大公因式. 设 /心),v(x)满足 w(x)/(x) + v(x)g(x) = (/(x), g(X>),贝iJu(x)f(x)h(x) + v(x)g(x)h(x) = (/(x),g(x))/z(x).由上题结果知，(/(兀),g(X ))/7(X )是/(X )/?(X )与g(JC”7(X )的一个最大公因式，又首项系数为1,所以(/(x)A(x), ^(%)/?(%)) = (/(x), ^(x))/i(x)・/⑴ g (兀)、(/(兀),g (兀))’(f(x),g(x))丿证明设〃(兀)=(/(兀),g(x)),则存在多项式M (x), v(x),使d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)・因为/(X )与g (尢)不全为零，所以d(x)HO.上式两边同时除以〃(兀)，有故 /(兀) _____________ g (x)l (/(x),g(x))‘(/(x),g(x))‘u(x) /(X ) (/(%), g(x)) + v(x) g(x) (y (x ),^(x ))15.设多项式/(x)与gS)不全为零，证明1 = u(x)/(兀)(/(兀),g(x))+咻)g(x) (/(兀),g(x))=1成立.16. 分别在复数域、实数域和有理数域上分解兀4+ 1为不可约因式之积.在有理数域上兀°+1是不可约多项式.否则，若+ +1可约，有以下两种可能.(1) 兀4+1有一次因式，从而它有有理根，但/(±1)工0,所以卍+1无有理根.(2) x 4+ 1 无一次因式，设x 4+1 = (x 2+处 +方)(F +cx + d),其中 a,b y c,cl 为整数.于是a + c = O, b+ 〃 + ac = O, cut + be = 0 , bd = \,又分两种情况：① b = d = \,又 a = —c,从而由 b + 〃 + ac = O,得 a 2=2,矛盾； ② b = d = — \,则 a 2= —2 ,矛盾.综合以上情况，即证.17. 求下列多项式的有理根： (1) /(x) = x 3-6x 2+15兀一 14 ；(2) ^(X ) = 4X 4-7X 2-5X -1；(3) /z(x) = x 5+ %4— 6x^ — 14x~ — 1 lx — 3 ・解(1)由于/(x)是首项系数为1的整系数多项式，所以有理根必为整数根，且为-14的因数.-14的 因数有：±1, ±2, ±7, ±14,计算得到:/(D = -4, /(-1) = -36, /(2) = 0, /(-2) = -72,/(7) = 140, /(-7) = -756, /(14) = 1764, /(一 14) = —4144,故x = 2是/(兀)的有理根.再由多项式除法可知，x = 2是于(兀)的单根.⑵ 类似(1)的讨论可知，g(x)的可能的有理根为:故x = --是巩兀)的有理根.再由多项式除法可知，兀二-丄是/(劝的2重根.2 2⑶ 类似地，加兀)的可能的有理根为：±1,±3,计算得到解在实数域上的分解式为X4+ 1 = (X 2 + 1)2-2X 2 =(X 2+V2X + 1)(X 2-V2X +1).在复数域上的分解式为x + ----------1 2 2%4+ 1 = f亠迈亠近、X ---------- 12 2/±1, ±1 ±?计算得到g(l) = -9,g(-1) = 1, g(］、r 、171=-5, g —=0, g — 一 —‘ g —〔2< 264 ,4丿11A(l) = -28, /?(-l) = 0,(3) = 0,加一3) = -96.故x = -l, x = 3是//(兀)的有理根.再由多项式除法可知，x = -\是/z(x)的4重根，兀=3是//(兀)的单根.18.若实系数方程x34- px + q = 0有一根a + bi (a,b为实数，/?工0),则方程x3 + px-q = 0有实根2—证明设原方程有三个根不失一般性，令=a + bi,从而有a2 =a-bi,由根与系数的关系可知0 = $ + 冬 + 他=(° + 勿)+ (a - bi) + ,所以冬二-2d，即(-2a)‘ + /?(-2a) + g = 0，故(2a)' + p(2a)-q = 0.这说明x3 + /zr-g = 0有实根2a .19.证明：如果(%-i)|/(r),那么证明因为u-i)|/(z),所以/(r)= /(i)= 0.因此，令y(x)=(x-i)g(x),则有E =(*-i)g(;),即(伙-1)|/(疋).20.下列多项式在有理数域上是否可约？(1)土 (%) = F+1；(2)/；(X)= X4-8?+12X2+2；(3)人(x) = x" +『+1 ；(4)厶(无)=* + "； + 1,门为奇素数；(5)厶(兀)=兀°+4尬+ 1, A为整数.解(1) ./；(兀)的可能的有理根为：±1,而/(±1) = 2,所以它在有理数域上不可约.(2)由Eisenstein判别法，取素数p = 2,则2不能整除1,而2|(-8), 2|12, 2|2,但是2?不能整除2,所以该多项式在有理数域上不可约.(3)令x=y + l,代入厶(x) = P+x'+l有^(y) = ^(y + l) = / + 6/+15/+21/+18y24-9y4-3.取素数0 = 3,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以/(兀)在有理数域上不可约.(4)令兀= y_l,代入f4(x) = x p 4-px + 1,得g(y)=厶(y j) = -+ cy~2——C；-2y2 + (Cf* + p)y-p，取素数p,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以£(兀)在有理数域上不可约.(5)令x=y + l,代入农(兀)=兀4+4Ax+l,得g(.y)=厶(y +1) = y" + 4y‘ + 6y2 + (4k + 4)y + 4R + 2 ,収素数p = 2,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以点(兀)在有理数域上不可约.1•设/(X)，g(X)，加兀)是实数域上的多项式，(1)若/2U) = xg2(x) + x/z2(x),则/(x) = g(x) = h{x) = 0 .(2)在复数域上，上述命题是否成立？证明(1)当g(兀)=/2(兀)=0时，有严⑴=0,所以/(%) = 0 ,命题成立.如果g(x), /z(x)不全为零，不妨设g(x)H0・当h(x) = 0时，a(xg2(x) + x/i2U)) = l + 2a^(x)为奇数；当加兀)工0时，因为g(x),瓜兀)都是实系数多项式，所以Xg2(x)与兀胪(兀)都是首项系数为正实数的奇次多项式，于是也有d(xg2(x) + x/『(x))为奇数.而这时均有/2(x)^0 ,且df\x) = 2df(x)为偶数,矛盾.因此有g(兀)=力(兀) = 0,从而有f(x) = 0 .(2)在复数域上，上述命题不成立.例如，设f(x) = 0 , g(x) = x\ h(x) = ix,1,其中斤为自然数, 有/2 (x) = xg2 (x)xh2 (x),但g(x) / 0 ,力(兀)工0.2.设/(x), g(x)9 h(x)e P[x],满足(x2 4-l)h(x)4-(x-l)/(x) + (x+2)g(x) = 0,(x2 + l)/?(x) + (x+ l)/(x) + (x - 2)^(%) = 0.证明(X2+1)|(/U), g(X))・证明两式相加得到2(x2 + l)h(x) + 2x(/(x) + g(兀))=0.由(x2+l,兀)=1可知(x2 + l)|(/(x) + g(x)).两式相减得到-2f(x) + 4g(x) = 0, f(x) = 2g(x).故(x2 + l)|/(x), (x2+l)|g(x), BP(X2+1)|(/(X),g(x)).3・设gi(x)g2(x)\f{(x)f2(x),证明(1)若/(x)|g](x)，/(X)H0,则g2(x)\f2(x)；(2)若g2(x)|/；(x)/；(x),是否有g2(x)\f2(x)?解(1)因为gi(兀)g2(兀)庞(兀)£(兀)，/O)|gi(X)，故存在多项式h(x), h}(x)使得fl(x)f 2(x) = g](x)g 2(x)h(x\ g](兀)=Z (x)h }(x).于是/；(兀)£(兀)=/(兀)人(兀)g2(x)力(兀)•由于 土(兀)工0,故有 f 2(x) = h l (x)g 2(x)h(x),即g 2(x)\f 2(x).(2)否•例如取 g {(x) = x-2 , ^2(X ) = X 2-1 , (x) = (x-l)(x-2), (x) = (x + l)(x4-2).虽 然 gSx)g 2(x)\f^x)f 2(x)且 g 2(x)\f {(x)f 2(x),但 g 2(x)不能整除 f 2(x).4.当R 为何值时，/(x) = X 2 +伙+ 6)x + 4k + 2和g(x) = F+(£ + 2)x + 2R 的最大公因式是一次 的？并求出此吋的最大公因式.解 显然 g(x) = (x + £)(x+2).当(/(x),g(Q) = x + 2时'/(一2) = 4 — 2伙+ 6) + 4£ + 2 = 0‘ 则k = 3.当(于(兀),g(Q )=兀 + £ 时’/(一灯=k 2 - k(k + 6) + 4Z: + 2 = 0 ‘ 则 k = l.这时(/(x), g(x))=兀+1. 5.证明：对于任意正整数斤，都有(/(x),g(Q)"=(/"(x),g"(x))・证明 由题意可知/(%)与&(兀)不全为零.令(/(x), g(x)) = d(x),Z 、” g(x) 、d(x)丿/心)/"(兀)+ 咚)g"(兀)=d\x).又由 d(x)\f(x), d(x)|g(x),有 d n (x) f l \x), d"(x) g"(x),因此 d"(x)是厂(x)与 g"(x)的首项系数为1的最大公因式，从而有(广(x),g"(x))= 〃"(兀)=(/(x),g(x))" •6.设 / (x) = af(x) + bg(x), g[ (x) = c/(x) + dg(x),且 ad - be H 0 ,证明(/(x),g(x)) = (/](x), g](X ))・证明设(/(x), g(x)) = d(x),则 d(x)\f(x\d(x)\g(x).由于 “所以对任意正整如，有爲J 寫〕"卜 于是有u{x) +咻) 则〃(兀)工0,从而fi (兀)=妙(x) + bg(x) , g] (x) = (x) + dg (x),故d (x)| (x), d (x)|g t (x).又设h(x)\ (x), /z(x)|(x),由上式及ad-bc^O ,可得从而/?(x)|/(x), h(x)\g(x),于是h(x)\d(x),即〃(兀)也是/；(兀)和g|(x)的最大公因式，即(/(x), g(x)) = (/；(x),&(兀))・7.设 /(x) = t/(x)/(x), g(Q 二 dCr)g](x),且/O)与 gd)不全为零，证明〃(兀)是/O)与 gCO的一个最大公因式的充分必要条件是(/(劝,g|(x)) = 1.证明必要性.若〃(x)是/(兀)与g (兀)的一个最大公因式，则存在多项式w(x),v(x)使W (x)/(x) +v(x)g(x) = d(x),于是u(x)d(x)f t (x) + v(x)d(x)g l (x) = d(x).由/(力与g (兀)不全为零知如工0,因此有u(x)f l (x) + v(x)g l (x) = l f 即(土(兀),g©))i •充分性.若(f l (x),g l (x)) = l ,则存在多项式u(x),v(x),使 u(x)f l (x)+ v(x)g l (x) = l. 两边同吋乘〃(兀)有u(x)f(x) + v(x)g(x) = d(x)・由d(x)是/(x)与g(x)的一个公因式知，d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式.8.设于(兀)和g(x)是两个多项式，证明(f(x), g(x)) = l 当且仅当(f(x)-l-g(x), f(x)g(x)) = l. 证明 必要性.设(f(x)9g(x)) = l,若f(x) + g(x)与/⑴g(x)不互素，则有不可约公因式p(x), 使p(x)lf(x)g(x)f所以 p(x)| /(X )或 0(x)|g(x).不妨设 p(x)\ /(x),由 P (x)|(/(x) + g (兀))可知 p(x)|g(x),因此 P (兀)是 /(兀)和g“)的公因式,与/(%), g (x)互素矛盾,故 蚀+g (兀)与蚀g (兀)互素.充分性.设(/(兀)+ gO) J(x)g (兀)) = 1,则存在w(x), v(x)使(/(兀)+ g (兀))心)+ /(x)g(x)v(x) = 1 , f(x)u(x) + g (兀)(臥兀)+d ad-be zw- h ad 一gi (兀)， g(x) -c ad -be a ad -be g](x)，/(x)v(x)) = 1, 上式说明(/(兀),g(兀)) = 1.9.如果(x2 +x + l)|/j(x3) + x/^(x3),那么(x-l)|/；(x), 0 — 1)|/；(兀)・T；®所以，^3=£23 = 1.证明X2+X + l的两个根为£\= 士护和£2=因为U2+x+l)|(/；(^3) + x/；(^3)),所以(兀一£|)(x - £2)|/；(X')+/(F)，故有y 窗)+ £/(郃)=0,［爪哥)+ £2£(哥)=0,即解得/(l) = /；(l) = o,从而(兀—1)|久(兀)，(x-1)|/；(%).10.若f(x)\f(x H),则/(x)的根只能是零或单位根.证明因为f(x)\f(x n),故存在多项式g(x),使/(x n) = /(x)^(x).设。

第一章 行列式1、求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。

（1）1347265；（2）321)1( -n n 。

【解】（1）62130000)1347265(=++++++=τ，偶排列； （2）2)1()1(210]321)1([-=-++++=-n n n n n τ。

当14,4+=k k n 时，2),14(22)1(-=-k k k n n 当34,24++=k k n 时，4)(12(2)1(+=-k n n 排列。

■2、用行列式定义计算x x x x x f 111231112)(=中4x 和3x 的系数，并说明理由。

2；（4，4）的元素乘积项，而10=+，611061203110225161103110612022516011301160212152323112241324--=---=--=↔↔++-r r c c r r r r r r D930003003110225123242-=--=--r r r r 。

■ 4、求84443633224211124=D 。

【解】性质（三角化法）+行和相等的行列式：211112111121111224844436332242111243212432434r r r r r r r D +++÷÷÷===12010100010111112014,3,2==-=r r k k 。

■mnn11))((-=--∑n ni i m m x 。

■6、求nn a a a D 01001011110211=+，其中021≠n a a a 。

【解】箭形行列式（爪形行列式）：利用对角线上元素将第一行（或列）中元素1化为零。

为此，第一列减去第k 列的ka 1（n k ,,3,2 =）可得： n n i inni in a a a a a a a a D2112111)1(0000000001111∑∑==+-=-=。

■ 7、求7111141111311112=D 。

第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a d c ba d cb a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x ；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a a a a aa a D ---------=110001100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b adc b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

线性代数习题册答案第一章 行列式 练习 一 班级 学号1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）τ （3421）= 5 ; （2）τ （135642）= 6 ;（3）τ （13⋯ （2n-1）（2n ） ⋯42） = 2+4+6+ ⋯ +（2 n-2）= n （n-1）. 2．由数字 1 到 9 组成的排列 1274i56j9 为偶排列，则 i= 8 、 j= 3 3．在四阶行列式中，项 a 12a 23a 34a 41 的符号为 负 .= － 3 ＋ 3 +2= (2 )( 1)21 2 21） 2 1 2 = － 1＋2 2 15．计算下列行列式：－ 8）＋（－ 8 ）－（－ 4 ）或 －（－ 4）―（－ 4） = － 511 2） 111 13＋1＋ 1－（－ ）－（－ ）―（－ ）00 4． 0 421练习班级学号31．已知 3阶行列式det(a ij ) =1，则行列式det( a ij )= －1 . ( 1)3 111 1 1 2．234 = 24 9 161 a b c(1) a 1 b c a b 1 cx y x y (2) y x y xx y x y 1 0 110 0r1 r,rr30 1 1c3 c1 0 1 1a b 1c a b 1c111 a b cb1c0 1 21 0 3,则A41 A421 1 02 5 4113．已知 D=1 1用 1， 1，1，1 替换第4 行4．计算下列行列2 1 5 1 13 0 60 2 1 21 4 7 61 2 1 40 1 2 11 0 1 3 0 1 3 15．计算下列n 阶行列式：每行都加到第一行，并提公因式。

)(2 ) 21M13MLLM11ML1 1 n1a1 b a2 a3 L a n(3 ) a1 a2 b a3 L a n M M M M Ma1 a2 a3 L a n b练习班级学号x3 1x1 x21．设线性方程组x1 x2 x3 1 有惟一解，则满足的条件是什么？x1 x2 x3 11, 0, 1x1 x2 x3 x4 5x1 2x2 x3 4x4 22. 求解线性方程组12x1 3x2 x3 5x4 23x1 x2 2x3 11x4 0x1 x2 x3 03.已知齐次线性方程组x1 x2 x30 有非零解，求的值。

线性代数习题和答案第一局部选择题 (共28分)一、单项选择题〔本大题共14小题，每题2分，共28分〕在每题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号。

错选或未选均无分。

1.设行列式a a a a 11122122=m ，a a a a 13112321=n ，那么行列式a a a a a a 111213212223++等于〔 〕 A.m+nB. -(m+n)C. n -mD. m -n2.设矩阵A =100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，那么A -1等于〔 〕 A. 13000120001⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B. 10001200013⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ C. 130********⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D. 12000130001⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3.设矩阵A =312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，A *是A の伴随矩阵，那么A *中位于〔1，2〕の元素是〔 〕 A.–6 B. 6C. 2D.–24.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，那么必有〔 〕A.A =0B. B ≠C 时A =0C.A ≠0时B =CD. |A |≠0时B =C5.3×4矩阵A の行向量组线性无关，那么秩〔A T 〕等于〔 〕A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，那么〔 〕A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 使λ1〔α1+β1〕+λ2〔α2+β2〕+…+λs 〔αs +βs 〕=0C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 使λ1〔α1-β1〕+λ2〔α2-β2〕+…+λs 〔αs -βs 〕=0D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs 和不全为0の数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =07.设矩阵A の秩为r ，那么A 中〔 〕A.所有r -1阶子式都不为0B.所有r -1阶子式全为0C.至少有一个r 阶子式不等于0D.所有r 阶子式都不为08.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，那么以下结论错误の是〔 〕A.η1+η2是Ax=0の一个解B.12η1+12η2是Ax=b の一个解 C.η1-η2是Ax=0の一个解 D.2η1-η2是Ax=b の一个解9.设n 阶方阵A 不可逆，那么必有〔 〕A.秩(A )<nB.秩(A )=n -1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A 是一个n(≥3)阶方阵，以下述中正确の是〔 〕A.如存在数λ和向量α使A α=λα，那么α是A の属于特征值λの特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE -A )α=0，那么λ是A の特征值C.A の2个不同の特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A の3个互不一样の特征值，α1，α2，α3依次是A の属于λ1，λ2，λ3の特征向量，那么α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A の特征方程の3重根，A の属于λ0の线性无关の特征向量の个数为k ，那么必有〔 〕A. k ≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A 是正交矩阵，那么以下结论错误の是〔 〕A.|A|2必为1B.|A |必为1C.A -1=A TD.A の行〔列〕向量组是正交单位向量组13.设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B =C T AC .那么〔 〕A.A 与B 相似B. A 与B 不等价C. A 与B 有一样の特征值D. A 与B 合同14.以下矩阵中是正定矩阵の为〔 〕A.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪B.3426⎛⎝ ⎫⎭⎪ C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ 第二局部 非选择题〔共72分〕二、填空题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕不写解答过程，将正确の答案写在每题の空格。