正态分布 数学公式
我们要了解正态分布的数学公式。
正态分布是一种常见的概率分布，它在自然和社会科学中都有广泛的应用。
正态分布的数学公式为：
f(x) = (1 / (σ√(2π))) e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))
其中：
μ 是均值（mean）
σ 是标准差（standard deviation）
e 是自然对数的底数（约等于）
π 是圆周率（约等于）
这个公式描述了一个连续随机变量在均值μ附近的正态分布，其标准差为σ。
正态分布的数学公式为：f(x) = (1 / (σ√(2π))) e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))
其中：
μ 是均值（mean）
σ 是标准差（standard deviation）
e 是自然对数的底数（约等于）
π 是圆周率（约等于）
这个公式描述了一个连续随机变量在均值μ附近的正态分布，其标准差为σ。
标准差
次数分布中的数据不仅有集中趋势，而且还有离中趋势。所谓离中趋势指的是数据具有偏离中心位置的趋势，它反映了一组数据本身的离散程度和差异性程度。标准差能综合反映一组数据的离散程度或个别差异程度。
例如，甲、乙两班学生各50人，其语文平均成绩都是80分，但甲班最高成绩98分，最低42分，而乙班最高成绩86分，最低60分。初步看出，两班语文成绩是不一样的，甲班学生的语文成绩个别差异程度大、水平参差不齐；而乙班学生的语文成绩差异程度小，语文水平整齐度大些。 怎样用标准差 这个特征量数来刻画一组数据的差异程度呢？下面介绍标准差的概念及计算。
一、标准差概念与计算
1.标准差定义与计算公式
一组数据的标准差，指的是这组数据的离差平方和除以数据个数所得商的算术平方根。若用S 代表标准差，则标准差的计算公式为：
标准差的平方，称为方差，用S2表示方差。
计算标准差时，首先要计算数据的平均数 ，接着要计算各数据与平均数之间的离差平方，即（）2，最后由公式（2-5）计算标准差S。
例如，4名儿童的身高分别是110厘米，100厘米，120厘米和150厘米，若求4名儿童身高数据的标准差时，其基本步骤如下：
①求平均数： （厘米）
②求离差平方和：
)2=(110―120)2+(100―120)2+(120―120)2+(150―120)2
=100+400+0+900=1400（平方厘米）
③求标准差S：S= （厘米） 这样，我们大体可认为，这4名儿童身高差异程度，从平均角度来看，约相差18.71厘米。
2.标准差的计算中心方法
计算标准差的方法有三种，一是按公式逐步分析计算，如上述所示；二是以列表计算的方式；三是利用计算器或计算机进行计算。下面再举一例说明采用列表方式计算标准差S。
[例7] 已知8 位同学在某图形辨认测验中的成绩数据（见表2-2），计算这组数据的标准差。
标准分
标准分就是原始分与平均分的差，除以标准差的商。换句话说，
设原始成绩构成集合},,,{21nxxx，平均分nxxxXn21，
标准差S=nXxXxXxn22221)()()(
那么对任意一个原始分ix，称SXxZii为ix的标准分(其中，S是反映原始成绩离散程度的一个量)。
例某班四个同学的数学考试成绩为74, 79, 80, 83，这一班平均分79,标准差S=3.24，那么这四个同学的标准分分别为：-1.54，0，0.31，1.23，由定义和例子可以看出，标准分是一种以标准差为单位的相对量。它以整体的平均水平作为比较的基准，标准分为正，表示个体成绩高于平均水平，且数值越大，表示成绩越好；负值则表示个体水平低于平均水平。
标准分的应用
1.判断某学生的成绩在全班成绩中所处的位置。我们用原始分无法知道一个得了80分的同学，在班内是处于先进地位还是落后地位，但换算成标准分就大体明白了。如上例中第4个同学的标准分1.23，说明其成绩在全班平均成绩以上；第一个同学的标准分为负值，说明其成绩在全班平均成绩以下；第2个同学的标准分为0，说明是全班中等水平。
2.判断同一件目在不同次的考试中，成绩的升降程度。如某同学在期中考试中得67分，在期末考试中得62分。能不能说这名学生的学习成绩退步了呢?这是不能的。因为两次考试试题内容及难度都不同，两个分数无法进行比较。但换算成标准分，其进步还是退步就明白了。设期中成绩67分换算成标准分为一0.12，期末成绩62分换算成标准分为0.35，那么这位同学在前后两次考试中，标准分增长了0.35-（-0.12)=0.47，说明这位同学的进步还是不小的。如若另一同学标准分的增长超过了0.47分，则说明后者的进步比前者更大。
3.用标准分对不同学科的教学质量可以进行比较。用原始分对不同的学科的教学成绩无法进行比较。如某次考试中，某生语文成绩70分，数学成绩80分，能不能说该生的语文不如数学学得好呢?显然不能。因为很可能该生所在班级语文均分低于70,数学均分高于80，这样该生语文在全率平均线以上，数学在平均线以下，说明他的语文比数学好。这个问题用标准分一衡量，就十分清楚了。
2-3 變異的計算及解析
由基礎課程裡我們可以知道：表示變異的方法有很多，其最常使用的是“標準差”；關於標準差的計算又分兩個觀念：(真)標準差與估計標準差ˆ。
為了解釋這兩個觀念的差異，我們先看下例數據：
下例數據有經過分組，每組抽測5個數據 (即 S/S 或 n = 5的意思 )。分組的原因不外乎量產、或長期研究等, 需要分批量測而形成母體與樣本的關係。
母
體 樣
本 樣
本 樣
本 樣
本 樣
本 … 樣 本 標準差
s
估計標準差ˆs
ˆR
其中、須查表、為隨常數：
約之間
約之間 (組1) (組2) (組3) (組4) (組5) (組25)
2
3
6
8
8 4
5
6
7
9 2
4
5
7
8 1
3
6
7
9 3
5
4
8
8
2
5
6
7
9
樣本平均X 5.4 6.2 5.2 5.2 5.6 … 5.8 組間變異
XXs=0.81
n
樣本標準差s
(組內變異) 2.7 2.0 2.4 3.0 2.4 …
2.6 平均=s=2.55
樣本全距R
(組內變異) 6 5 6 7 5 …
7 平均=R=6.01
(1) (真)標準差：
若將所有 Raw Data 視為一個母體、混合不分組，則=STDEV( )所計算出來的標準差即為所求，即工程師最熟悉的算法。 --------------------------------------------------------------
使用時機：a.) 想了解母體真正的變異的時候； b.) 想敏銳地抓出上圖/組間變異的異常的時候。
---------------------------------
目的：了解整個母體的總變異 。
優點：可以充分反映整個母體的異常 (含上圖/組間變異、及下圖/組內變異的異常…尤其是組間變異的異常)。
缺點：數據量要夠大(避免誤差過大)、且上圖不能有異常(避免組間變異顯著)，否則計算出來的不具代表性。
