单位冲激函数的妙用(图

第３３卷第２期　２０１１年４月　电气电子教学学报　ＪＯＵＲＮＡＩ　（）Ｆ　ＥＥＥ　Ｖｏ１．３３　Ｎｏ．２　Ａｐｒ．２０１１　

单位冲激函数及其复合函数积分的探讨　

易志雄，陈赕涛，欧贵兵　（武汉纺织大学，湖北武汉４３００７３）　

摘要：单位冲激函数是“信号与系统”课程中十分重要的～个基本数学模型，其物理含义和广义函数的性质难以形象理解，从而使得单位冲激　函数及其复合函数的积分计算容易出现理解上的偏差。本文采用常规函数的计算方法，根据狄拉克对单位冲激函数的数学定义以及广义函数　的筛选性质，对单位冲激函数及其复合函数的积分问题进行了归纳和探讨，分别对内层函数为常数、一次函数、二次函数、三次及以上函数的情　形进行了分析和推导，试图得出一般性的结论，最后运用已知正确结果对结论的正确性进行了验证。　关键词：单位冲激函数；复合函数；广义函数；积分　中图分类号：ＴＮ９１１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００８—０６８６（２０１１）０２—０１１６－０３　

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｏｆ　Ｕｎｉｔ　Ｉｍｐｕｌｓｅ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｉｔｓ　Ｃｏｍｐｏｕｎｄ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　

ＹＩ　Ｚｈｉ。ｘｉｏｎｇ，ＣＨＥＮ　Ｙｉ—ｔａｏ，ＯＵ　Ｇｕｉ—ｂｉｎｇ　（Ｗｕｈａｎ　Ｔｅｘｔｉｌｅ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｈａｎ　４３００７３，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｅ　ｃｏｕｒｓｅ　ｏｆ　Ｓｉｇｎａｌ　ａｎｄ　Ｓｙｓｔｅｍ，ｕｎｉｔ　ｉｍｐｕｌｓｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｉｓ　ａｎ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ａｎｄ　ｂａｓｉｃ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ　ｍｏｄｅ１．Ｂｅｃａｕｓｅ　ｏｆ　ｉｔｓ　ｓｐｅｃｉａｌ　ｐｈｙｓｉｃｓ　ａｎｄ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｍｅａｎｉｎｇ，ｉｔ　ｉｓ　ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ　ｔｏ　ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｇｒａ１　ｏｆ　ｕｎｉｔ　ｉｍｐｕｌｓｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｄｉｒａｃ＇ｓ　ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　ｏｆ　ｕｎｉｔ　ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｓｅｌｅｃｔ　ｑｕａｌｉ—　ｔｙ　ｏｆ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｄｅｅｐｅｒ　ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｉｓ　ｍａｄｅ．Ｔｈｒｅｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ　ａｂｏｕｔ　ｔｈｅ　ｉｎｎｅｒ—ｌａｙｅｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｒｅ　ａｎａｌｙｚｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ：ｔｈｅ　ｉｎｎｅｒ—ｌａｙｅｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｉｓ　ｃｏｎｓｔａｎｔ，ｌｉｎｅａｒ　ｆｕｎｃ—　ｔｉｏｎ，ｑｕａｄｒａｔｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｔｈｒｅｅ　ｏｒ　ａｂｏｖｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ａ　ｓｅｒｉｅｓ　ｏｆ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｄｒａｗｎ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ａｂｏｖｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｓｏｍｅ　ｋｎｏｗｎ　ｃｏｒｒｅｃｔ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ａｒｅ　ｕｓｅｄ　ｔｏ　ｐｒｏｖｅ　ｔｈｅ　ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｕｎｉｔ　ｉｍｐｕｌｓｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｃｏｍｐｏｕｎｄ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｇｅｎｅｒａｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｉｎｔｅｇｒａｔｅ　

清华大学电机系电路原理教学组第9章阶跃响应、冲激响应

和卷积积分的应用

9.1 阶跃函数和冲激函数本章重点

9.4 电路在任意激励作用下的零状态

响应——卷积积分

9.5 电容电压和电感电流的跃变9.2 阶跃响应

9.3 冲激响应

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•阶跃函数和冲激函数

•卷积积分

返回目录•电容电压和电感电流的跃变

清华大学电机系电路原理教学组9.1 阶跃函数和冲激函数

一、单位阶跃函数（unit step function）

1. 定义

tε(t)

1

0

()tε用可描述开关的动作。

+

–uCUSε(t)R

Cdef0 (0)

()

1 (0)t

t

tε<⎧

=⎨

>⎩

def

S

S0 (0)

()

(0)t

Ut

Utε<⎧

=⎨>⎩USS+

–uCR

C

开关在t=0 时闭合

清华大学电机系电路原理教学组2. 延迟的单位阶跃函数

tε(t-t0)

t00def0

0

00 ()

()

1 ()tt

tt

ttε<⎧

−=⎨

>⎩

3. 由单位阶跃函数可组成复杂的信号USS+

–uCR

C

开关在t=t0时闭合

清华大学电机系电路原理教学组0()()()fttttεε=−−

t0t

-ε(t-t0)ε(t)

0f(t)

1解所示矩形脉冲可分解为阶跃函数和延迟阶跃函数相加。例1

⎩⎨⎧

><<<

=

) , 0( 0)0( 1

)(

00

ttttt

tf1

t0tf(t)

0

试用阶跃函数表示上图所示的矩形脉冲。

清华大学电机系电路原理教学组()[()(1)](1)ftttttεεε=−−+−11

t001t1f(t)例2试用阶跃函数表示图示的波形。

解f(t) 分成两段表示。

1t1

01t1

+

(0< t<1)()[()(1)]fttttεε=−−

(1< t)()(1)fttε=−

则清华大学电机系电路原理教学组二、单位冲激函数（unit pulse function）

1. 单位脉冲函数

1

()[()()]ptttεεΔ

Δ=−−

0 lim()()ptt

Δδ

→=令10 Δ

Δ→→∞面积不变Δ1/Δ

一 冲激函数的定义

在信息分析和系统分析中，单位冲激函数δ(t)是一个使用频率极高的奇异函数。对这类奇异函数不能按普通函数进行定义，因为它本身不属于普通函数。

1 单位冲激函数的普通数学定义

定义有多种方式，其中

定义1设有一函数P(t)

当 n趋近于∞时，函数P(t)的宽度趋近于零，而幅度趋近于无限大，但其强度仍然等于1。这个函数就定义为单位冲激函数δ(t)。

定义2 狄拉克（Dirac）定义

上面两个对单位冲激函数的定义是不符合普通函数的定义对于普通函数来说当自变量t取某值时，除间断点外，函数有确定的值，而δ(t)在唯一不等于零的点t=0处函数值为无限大．因为单位冲激函数已经不属于普通函数的范畴，不能用普通函数进行定义，要用广义函数进行严格的定义。

2 单位冲激函数的广义定义

选择一类性能良好的函数，称为检验函数(它相当于定义域)，一个广义函数g(t)是对检验 函数空间中每个函数赋于一个数值 N的映射 ，该数与广义函数g(t)和检验函数有关 ，记作N[g(t)，(t)]，通常广义函数g(t)可写为

式中检验函数是连续的，具有任意阶导数，且用其各阶导数在无限远处急剧下降的普通函数这类函数 的全体构成的检验函数空间称为急降函数 空间，用表示．在上定义的广义函数称为缓增广义函数它的全体构成广义函数空间，用这类广义函数有良好的性质。根据以上定义，如有一广义函数f(t)，它与的作用也赋给相同的值，即若

就认为二广义函数相等 ，记作f(t)=g(t)。按照广义函数的理论，冲激函数δ(t)由式

定义，即冲激函数δ(t)作用于检验函数的效果是给它赋值。如将(1)式

中的函数看做广义函数，则有：

当n趋近于∞时在（，）区间内有=，取广义函数(t)的极限(广义极限)，得

比较以上两式，得

按照此定义，冲激函数有多种定义形式，如:

δ(t)=高斯钟形函数

δ(t)=取样函数

δ(t)=双边指数函数

等等

而对于离散的δ[n]定义很简单:

单位冲激函数

单位冲激函数，也被称为狄拉克δ函数（Dirac delta function），是一种特殊的数学函数，其特性是在零点处取无穷大的值，而在其他点上则等于零。单位冲激函数在信号处理、概率论、物理学等领域都有广泛的应用。

一、定义

单位冲激函数可以定义为：

δ(t) = 0, t ≠ 0

δ(t) = ∞, t = 0

其中，t是时间变量。这个函数的图形是一个垂直线段，其长度等于1，起点在原点上。这个函数在除了原点之外的所有点上的值都是零，而在原点上的值则无穷大。

二、性质

1. 积分的性质：对于任何函数f(t)，如果在其定义域内某点t=a上有一个单位冲激函数，那么该函数在a点的积分等于f(a)。

2. 期望的性质：如果一个随机变量的概率分布函数在原点处有一个单位冲激函数，那么这个随机变量的期望值就等于0。

3. 微分的性质：单位冲激函数的导数等于零。

三、应用

1. 信号处理：在信号处理中，单位冲激函数被用来表示一个瞬时的、幅值无穷大的信号，这个信号在时间上无限接近于零时刻。这种信号通常被称为“脉冲信号”。

2. 概率论：在概率论中，单位冲激函数被用来描述随机事件在某一时刻发生的概率。例如，在泊松分布中，单位冲激函数被用来描述在每个固定时间间隔内事件发生的概率。 3. 物理学：在物理学中，单位冲激函数被用来描述某个物理量在某个时刻突然发生变化的情况。例如，在连续介质力学中，单位冲激函数被用来描述液体在某个时刻突然出现或突然消失的情况。

四、总结

单位冲激函数是一种非常重要的数学函数，它具有非常独特的性质和应用。它是一种描述瞬时事件或突然变化的工具，被广泛应用于信号处理、概率论、物理学等领域。虽然它的定义和性质看起来非常奇特，但是它在很多实际应用中都有着非常重要的意义。通过对单位冲激函数的深入研究和学习，我们可以更好地理解和掌握各种领域中的基础知识和技能，提高自身的学术水平和实践能力。