椭圆的简单几何性质

二、椭圆的简单几何性质一、知识要点椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．e dMF =||∴准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+b x a y 的准线方程是ca y 2±=．焦半径公式：由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2===右； 左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +===|)-(-|||2左二、典型例题例1、求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；练习：椭圆81922=+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________.例2、已知椭圆方程13610022=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ，求P 到右准线的距离.例3、已知点M 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值.变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13422=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMATMF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。

椭圆的简单几何性质优秀教案引言本教案旨在介绍椭圆的简单几何性质，以帮助学生理解椭圆的特点和特性。

通过研究本教案，学生将能够掌握椭圆的定义、主要性质和相关计算方法。

椭圆的定义椭圆是平面上一条固定点F（称焦点）和一条固定线段L（称为准线段）之间的点的轨迹，使得从F到点P的距离与准线段L上的点P到L的距离之和为常数2a。

如下所示：椭圆的性质1. 椭圆的长轴是焦点F之间的线段，短轴是准线段L的垂直平分线段。

长轴和短轴的长度之比为a:b。

2. 椭圆的离心率e的计算公式为e = c/a，其中c是焦点F到椭圆中心的距离。

3. 椭圆的离心率范围为0 < e < 1。

当e=0时，椭圆退化成一个圆；当e=1时，椭圆退化成一条直线段。

4. 椭圆的准线段L和长轴之间的夹角称为偏心角，偏心角的大小取决于离心率e的大小。

5. 椭圆的焦距为2ae，其中e是离心率。

相关计算方法1. 椭圆的周长计算公式为C = 4aE(e)，其中E(e)是第二椭圆积分，需要使用数值积分方法计算。

2. 椭圆的面积计算公式为A = πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。

教学活动1. 使用白板或黑板绘制椭圆的定义和性质的图示，并解释相关概念。

2. 分组让学生自己计算给定的椭圆的周长和面积，并与同组同学讨论和比较结果。

3. 设计一些练题，让学生运用所学概念计算椭圆的相关信息。

4. 使用多媒体展示椭圆的实际应用场景，如行星轨道、卫星轨道等，以加深学生对椭圆的理解和感受。

总结本教案通过简洁明了的语言和图示介绍了椭圆的几何性质和相关计算方法。

通过对椭圆的定义、性质和计算的学习，学生能够更好地理解椭圆的特点和特性，并能够应用所学知识解决实际问题。

教师可以根据学生的实际水平和兴趣选择适当的教学方法和活动，提高学生的学习效果和兴趣。

2．2.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．2.明确椭圆标准方程中a、b以及c、e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系．3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．,椭圆的简单几何性质1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点．()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c.()(3)椭圆的离心率e越接近于1，椭圆越圆．()(4)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长等于a.()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为()A．(－1，0)，(1，0)B．(－6，0)，(6，0) C．(－6，0)(6，0) D．(0，6)，(0，－6) 答案：D3．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为()A．32B．34C ．22 D ．23答案：A4．设P (m ，n )是椭圆x 225＋y 29＝1上任意一点，则m 的取值范围是________．答案：[－5，5]椭圆的简单几何性质求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 【解】 将椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，所以a ＝3，b ＝2，所以c ＝ a 2－b 2＝9－4＝ 5.所以椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6，2c ＝25，焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3，0)，A 2(3，0)，B 1(0，－2)，B 2(0，2)，离心率e ＝c a ＝53.用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置． (3)求出a ，b ，c .(4)写出椭圆的几何性质．[注意] 长轴长、短轴长、焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍．1.对椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的几何性质的表述正确的是( )A ．范围相同B ．顶点坐标相同C ．焦点坐标相同D ．离心率相同解析：选D.椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)范围是－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，顶点坐标是(－a ，0)，(a ，0)，(0，－b )，(0，b )，焦点坐标是(－c ，0)，(c ，0)，离心率e ＝c a ；椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)范围是－a ≤y ≤a ，－b ≤x ≤b ，顶点坐标是(－b ，0)，(b ，0)，(0，－a )，(0，a )，焦点坐标是(0，－c )，(0，c )，离心率e ＝ca，只有离心率相同．2．设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m ＞0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．解：(1)当0＜m ＜4时，长轴长和短轴长分别是4，23，焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，顶点坐标为A 1(－2，0)，A 2(2，0)，B 1(0，－3)，B 2(0，3)．(2)当m ＞4时，长轴长和短轴长分别为833，4，焦点坐标为F 1⎝⎛⎭⎫0，－233，F 2⎝⎛⎭⎫0，233，顶点坐标为A 1⎝⎛⎭⎫0，－433，A 2⎝⎛⎭⎫0，433，B 1(－2，0)，B 2(2，0)．利用几何性质求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)短轴长25，离心率e ＝23；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.【解】 (1)由2b ＝25，e ＝c a ＝23，得b 2＝5，a 2－b 2a 2＝49，a 2＝9.当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 29＋x 25＝1.综上，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或y 29＋x 25＝1.(2)依题意可设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，所以c ＝b ＝3，所以a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.求椭圆标准方程的常用方法(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常用待定系数法．(2)根据已知条件“选标准，定参数”．其一般步骤为：①确定焦点所在的坐标轴；②求出a 2，b 2的值；③写出标准方程．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长与短轴长的和为18，焦距为6； (2)过点(3，0)，离心率e ＝63. 解：(1)设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2b ＝18，2c ＝6，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，b ＝4.因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1.(2)当焦点在x 轴上时，由题意知a ＝3， 又因为e ＝63，所以c ＝6，所以b 2＝a 2－c 2＝3. 所以椭圆的方程为x 29＋y 23＝1.当焦点在y 轴上时，由题意知b ＝3， 又因为e ＝63，所以a 2－b 2a 2＝e 2＝23.即a 2－9a 2＝23.所以a 2＝27.所以椭圆方程为y 227＋x 29＝1.求椭圆的离心率(2016·高考全国卷乙)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34【解析】 法一：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c ，0)，b ＞0，c ＞0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c 2＝14×2b ，解得b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2， 所以c 2a 2＝14，即e 2＝14，所以e ＝12或e ＝－12(舍去)．法二：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c ，0)，b ＞0，c ＞0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c 2＝14×2b ，所以bc a ＝14×2b ，所以e ＝c a ＝12.【答案】 B求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．1.(2017·青岛高二检测)A 为y 轴上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，△AF 1F 2为正三角形，且AF 1的中点B 恰好在椭圆上，则此椭圆的离心率为________．解析：如图，连接BF 2.因为△AF 1F 2为正三角形，且B 为线段AF 1的中点． 所以F 2B ⊥BF 1.又因为∠BF 2F 1＝30°，|F 1F 2|＝2c ， 所以|BF 1|＝c ，|BF 2|＝3c ， 由椭圆定义得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 即c ＋3c ＝2a ， 所以ca＝3－1.所以椭圆的离心率e ＝3－1. 答案：3－12．(2017·日照高二检测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围为________．解析：由PF 1⊥PF 2，知△F 1PF 2是直角三角形， 所以|OP |＝c ≥b ，即c 2≥a 2－c 2，所以a ≤ 2c ， 因为e ＝ca ，0＜e ＜1，所以22≤e ＜1. 答案：⎣⎡⎭⎫22，11．椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中a ，b ，c 的几何意义在椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中，a ，b ，c 的几何意义如图所示，即a ，b ，c 正好构成了一个以对称中心、一个焦点、一个短轴顶点为顶点的直角三角形．2．椭圆上到中心距离最远和最近的点设点O 为坐标原点，点P (x ，y )为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，则|PO |＝x 2＋y 2＝x 2＋b 2a 2（a 2－x 2）＝c 2x 2＋a 2b 2a.因为－a ≤x ≤a ，所以当x ＝0时，|PO |有最小值b ，这时点P 在短轴的端点B 1或B 2处；当x ＝±a 时，|PO |有最大值a ，这时点P 在长轴的端点A 1或A 2处．3．椭圆离心率的意义1．椭圆25x 2＋9y 2＝1的范围为( ) A ．|x |≤5，|y |≤3 B ．|x |≤15，|y |≤13C ．|x |≤3，|y |≤5D ．|x |≤13，|y |≤15解析：选B.椭圆方程可化为x 2125＋y 219＝1，所以a ＝13，b ＝15，又焦点在y 轴上， 所以|x |≤15，|y |≤13.故选B.2．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则( )A ．C 1与C 2顶点相同B ．C 1与C 2长轴长相同 C ．C 1与C 2短轴长相同D ．C 1与C 2焦距相等解析：选D.由两个椭圆的标准方程可知：C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4，0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.故选D.3．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，它的长轴长等于圆x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A ．x 24＋y 23＝1B ．x 24＋y 2＝1C ．x 216＋y 24＝1D ．x 216＋y 212＝1解析：选A.圆的方程可化为(x －1)2＋y 2＝42，故2a ＝4，即a ＝2，又e ＝c a ＝12，所以c＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.又椭圆的焦点在x 轴上，所以其标准方程为x 24＋y 23＝1，故选A.4．已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于________．解析：根据题意得2b ＝6，a ＋c ＝9或a －c ＝9(舍去)． 又因为a 2－b 2＝c 2， 所以a ＝5，c ＝4，故e ＝c a ＝45.答案：45, [A 基础达标]1．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )A ．8，6B ．4，3C ．2， 3D ．4，2 3解析：选B.过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a ＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c ＝1，将x ＝1代入x 24＋y 23＝1，得124＋y 23＝1，解得y 2＝94，即y ＝±32，所以最短弦的长为2×32＝3.故选B.2．(2017·泉州高二检测)已知椭圆x 25＋y 2k ＝1的离心率e ＝105，则实数k 的值为( )A ．3B ．3或253C ． 5D ．15或153解析：选B.当k ＞5时，e ＝c a ＝k －5k ＝105，k ＝253.当0＜k ＜5时，e ＝c a ＝5－k 5＝105，k ＝3.故选B.3．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是( )A ．x 2144＋y 2128＝1B ．x 236＋y 220＝1C ．x 232＋y 236＝1D ．x 236＋y 232＝1解析：选D.因为椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，所以设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为长轴长为12，所以a ＝6.又椭圆的离心率为13，即c a ＝13，所以c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝36－4＝32，故椭圆的方程为x 236＋y 232＝1.4．已知焦点在x 轴上的椭圆：x 2a 2＋y 2＝1，过焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为( )A ．32B ．12C ．154D ．33解析：选A.椭圆的焦点坐标为(±a 2－1，0)，不妨设A ⎝⎛⎭⎫a 2－1，12可得a 2－1a 2＋14＝1， 解得a ＝2，椭圆的离心率为e ＝a 2－1a ＝32.故选A.5．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得∠F 1PF 2＝60°，则椭圆离心率e 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎭⎫22，1B ．⎝⎛⎭⎫0，22 C ．⎣⎡⎭⎫12，1D ．⎣⎡⎭⎫12，22解析：选C.在△PF 1F 2中，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ，根据余弦定理，得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°，配方得(m ＋n )2－3mn ＝4c 2，所以3mn ＝4a 2－4c 2，所以4a 2－4c 2＝3mn ≤3·⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝3a 2， 即a 2≤4c 2，故e 2＝c 2a 2≥14，解得12≤e ＜1.故选C.6．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为10，则椭圆上的点到椭圆中心距离的最大值与最小值之和为________．解析：椭圆的长半轴长为10，短半轴长为5，则椭圆上的点到椭圆中心距离的最小值为5，最大值为10，其和为15.答案：157．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________．解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，因此可设待求椭圆为x 2m ＋y 2m ＋5＝1.又b ＝25，故m ＝20，得x 220＋y 225＝1.答案：x 220＋y 225＝18．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点．已知点P (a ，b )，△F 1PF 2为等腰三角形，则椭圆的离心率e ＝________．解析：设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)，由题意得|PF 2|＝|F 1F 2|，即（a －c ）2＋b 2＝2c .把b 2＝a 2－c 2代入，整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a－1＝0，解得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝c a ＝12.答案：129．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到长轴上同侧顶点的距离为 3. 解：(1)由题意知，2c ＝8，c ＝4， 所以e ＝c a ＝4a ＝12，所以a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，所以椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由已知⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，所以⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，所以所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.10．已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1，0)，一个顶点为H (2，0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t ，0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围．解：(1)由题意可得，c ＝1，a ＝2， 所以b ＝ 3.所以所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1.① MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)， 由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0，即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.② 由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3.因为x 0≠2，所以t ＝14x 0－32.因为－2＜x 0＜2，所以－2＜t ＜－1.所以实数t 的取值范围为(－2，－1)．[B 能力提升]11．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：选C.由题意得F (－1，0)，设点P (x 0，y 0)， 则y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)， OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2， 当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值为6.12．(2016·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意得B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2，F (c ，0)，则由∠BFC ＝90°得BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫c ＋32a ，－b 2·⎝⎛⎭⎫c －32a ，－b 2＝c 2－⎝⎛⎭⎫32a 2＋⎝⎛⎭⎫－b 22＝0⇒3c 2＝2a 2⇒e ＝63. 答案：6313．(2017·武汉高二检测)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程． 解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题意知A (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b 2， 即B ⎝⎛⎭⎫3c 2，－b 2. 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1， 得94c 2a 2＋b 24b2＝1， 即9c 24a 2＋14＝1， 解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝⎛⎭⎫3c 2，－3b 2＝32 ⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.②由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1. 14．(选做题)已知椭圆x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A ，C ，上顶点为B ，过F ，B ，C 三点作⊙P ，且圆心在直线x ＋y ＝0上，求此椭圆的方程．解：设圆心P 的坐标为(m ，n )，因为圆P 过点F ，B ，C 三点，所以圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，FC 的垂直平分线方程为x ＝1－c 2.① 因为BC 的中点为⎝⎛⎭⎫12，b 2，k BC ＝－b ，所以BC 的垂直平分线方程为y －b 2＝1b ⎝⎛⎭⎫x －12② 由①，②联立，得x ＝1－c 2，y ＝b 2－c 2b， 即m ＝1－c 2，n ＝b 2－c 2b. 因为P (m ，n )在直线x ＋y ＝0上，所以1－c 2＋b 2－c 2b＝0， 可得(1＋b )(b －c )＝0，因为1＋b ＞0，所以b ＝c ，结合b 2＝1－c 2得b 2＝12， 所以椭圆的方程为x 2＋y 212＝1， 即x 2＋2y 2＝1.。

椭圆的简单几何性质教案椭圆是一个非常重要的几何图形，具有许多有趣的几何性质。

在这个简单的几何性质教案中，我将介绍一些关于椭圆的基本性质和定理。

一、椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点F1、F2距离之和为常数2a的点P的集合。

F1、F2称为椭圆的焦点，而2a称为椭圆的长轴长度。

二、椭圆的性质：1. 椭圆的长轴与短轴：长轴是焦点F1、F2的中点连线的长度，短轴是焦点F1、F2与椭圆上点A的连线的长度。

2. 椭圆的对称轴：椭圆的长轴是对称轴，即沿长轴折叠椭圆的两边重合。

3. 椭圆的离心率：离心率e是一个确定椭圆形状的参数，表示焦点与椭圆上点A的距离与椭圆长轴长度之比。

离心率的计算公式：e = F1F2 / (2a)当离心率e=0时，椭圆退化为一个点；当0 < e < 1时，椭圆存在，且是一个闭合曲线；当e = 1时，椭圆退化为一条线段；当e > 1时，曲线退化为两个分离的直线。

4. 椭圆的焦半径：椭圆上任意一点P到两个焦点F1、F2的距离之和等于椭圆的长轴长度，即PF1 + PF2 = 2a。

三、椭圆的定理：1. 椭圆的反射性质：椭圆上的任意一条直线与椭圆的两个焦点的连线的夹角等于该直线与该椭圆上与焦点处的切线的夹角。

2. 椭圆的切线性质：椭圆上任意一点处的切线与该点到两个焦点的连线的交点与该点、两个焦点连线的垂线，共线。

3. 椭圆的切点性质：椭圆上任意一点处的切线与该点到两个焦点的连线的交点与该点、两个焦点连线的垂线以及该点三条线共线。

四、椭圆的应用：椭圆是地球等天体轨道的几何形状，也是经典力学、天体力学等领域的重要研究对象。

此外，椭圆还广泛应用于工程类问题中，例如天然气管道的优化布局、平面轮廓设计等。

五、课堂练习：1. 画出椭圆的长轴、短轴和焦点。

2. 若已知椭圆的长轴长度a=6cm，离心率e=2/3，求焦距；3. 若已知椭圆的离心率e=1/2，焦半径PF1=3cm，求椭圆的长轴长度。

第8讲：椭圆的简单几何性质基本知识点1 椭圆的范围 以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例．由标准方程可知，椭圆上点的坐标(,)x y 都适合不等式22221,1x y a b≤≤，即2222,x a y b ≤≤，所以||,||.x a y b ≤≤ 这说明椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框内(如图2.2－8)．2 椭圆的对称性以椭圆与22221(0)x y a b a b+=>>为例． （1）．椭圆的对称轴：坐标轴．（2）．椭圆的对称中心：原点O (0，0)．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．通过观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．3 椭圆的顶点与长轴、短轴以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例． （1）．椭圆的顶点令0x =，得y b =±；令0y =，得x a =±.这说明12(,0),(,0)A a A a -是椭圆与x 轴的两个交点，12(0,),(0,)B b B b -是椭圆与y 轴的两个交点．因为x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点．（2）．椭圆的长轴、短轴线段A 1A 2叫做椭圆的长轴，它的长为2a ，a 叫做椭圆的长半轴长．线段B 1B 2叫做椭圆的短轴，它的长为2b ，b 叫做椭圆的短半轴长．4 椭圆的离心率（1）．定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记作2.2c c e a a == （2）．范围：因为0a c >>．所以01,c a<<即(0,1)e ∈. 5 直线与椭圆的位置关系（1）．直线与椭圆的三种位置关系：(1)相交；(2)相切；(3)相离．（2）．直线与椭圆的位置关系的判断：直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定．通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式△来判定：△0>⇔直线与椭圆相交；△0=⇔直线与椭圆相切；△0<⇔直线与椭圆相离．（3）．弦长公式一条直线被椭圆所截得的线段叫做椭圆的弦．若直线y kx b =+与椭圆相交于不同的两点1122(,),(,),A x y B x y 则直线被椭圆所截得的弦长公式为212||1||AB k x x =+-或 1221||1||AB y y k =+-.性质的应用应用点一 由方程求椭圆的几何性质例1. 求椭圆 22925225x y +=的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．应用点二 由椭圆的几何性质求方程例2（1）已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍。

椭圆的简单性质【要点梳理】要点一：椭圆的简单几何性质我们根据椭圆22221x y a b+=(0)a b >>和它的图象（如图）来研究椭圆的简单几何性质．1． 对称性对于椭圆标准方程22221x y a b +=，把x 换成―x ，或把y 换成―y ，或把x 、y 同时换成―x 、―y ，方程都不变，所以椭圆22221x y a b +=是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心．2． 范围椭圆上所有的点都位于直线x =±a 和y=±b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x |≤a ，|y |≤b ． 3． 顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点．②椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A 1（―a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，―b ），B 2（0，b ）．③线段A 1A 2，B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b ．a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4． 离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作22c ce a a==． ②因为a ＞c ＞0，所以e 的取值范围是0＜e ＜1．e 越接近1，则c 就越接近a ，从而22b a c =-越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当a =b 时，c =0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x 2+y 2=a 2．要点诠释：椭圆22221x y a b+=的图象中线段的几何特征（如下图）：（1）122PF PF a +=，1212||||||||PF PF e PM PM ==，2122||||a PM PM c+=； （2）12BF BF a ==，12OF OF c ==，2221A B A B a b ==+； （3）1122A F A F a c ==-，1221A F A F a c ==+，1a c PF a c -≤≤+； 要点二：椭圆标准方程中的三个量a 、b 、c 的几何意义椭圆标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a ＞b ＞0，a ＞c ＞0，且a 2=b 2+c 2．可借助下图帮助记忆：a 、b 、c 恰构成一个直角三角形的三条边，其中a 是斜边，b 、c 为两条直角边．和a 、b 、c 有关的椭圆问题常与与焦点三角形12PF F ∆有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式121211sin 2PF F S PF PF F PF ∆=⋅∠相结合的方法进行计算与解题，将有关线段1PF 、2PF 、12F F ，有关角12F PF ∠(1212F PF F BF ∠≤∠)结合起来，建立12PF PF +、12PF PF ⋅之间的关系．要点三：椭圆两个标准方程几何性质的比较 标准方程22221(0)x y a b a b +=>> 22221(0)x y a b b a+=>> 图形性质焦点 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c -，2(0,)F c 焦距2212||2()F F c c a b ==-2212||2()F F c c a b ==-范围 ||x a ≤，||y b ≤ ||x b ≤，||y a ≤对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 (,0)a ±，(0,)b ±(0,)a ±，(,0)b ±轴长轴长=2a ，短轴长=2b要点诠释：椭圆22221x y a b +=，22221y x a b+=（a ＞b ＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a ＞b＞0和(01)ce e a=<<，a 2=b 2+c 2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2、y 2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．要点四：直线与椭圆的位置关系 平面内点与椭圆的位置关系椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M （x ，y ），若点M （x ，y ）在椭圆上，则有22221x y a b +=(0)a b >>；若点M （x ，y ）在椭圆内，则有22221x y a b +<(0)a b >>；若点M （x ，y ）在椭圆外，则有22221x y a b +>(0)a b >>．直线与椭圆的位置关系将直线的方程y kx b =+与椭圆的方程22221x y a b +=(0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ．①Δ＞0⇔直线和椭圆相交⇔直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0⇔直线和椭圆相切⇔直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0⇔直线和椭圆相离⇔直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦设直线y kx b =+交椭圆22221x y a b+=(0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP 12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -=，12||y y -【典型例题】类型一：椭圆的简单几何性质例1． 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且2cos 3OFA ∠=，求椭圆的方程． 【解析】椭圆的长轴长为6，2cos 3OFA ∠=，所以点A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF |=c ，||3AF a ===，233c =，所以c =2，b 2=32－22=5， 故椭圆的方程为22195x y +=或22159x y +=．【思路点拨】灵活运用椭圆的几何性质：①a 2=b 2+c 2；②长轴长2a ，短轴长2b ，进行求参数的值或求椭圆的方程．举一反三：【变式1】求椭圆16x 2+25y 2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．【答案】长轴长210a =，短轴长28b =，离心率35e =，焦点12(3,0)(3,0)F F -，顶点是1(5,0)A -，2(5,0)A ，1(0,4)B -，2(0,4)B ．【变式2】长轴长等于20，离心率等于35，求椭圆的标准方程．【答案】22110064x y +=或22110064y x +=类型二：求椭圆的离心率或离心率的取值范围例2．（1 （2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率．【解析】（1）由题意得()()a c a c +-∶，即11e e +=-，解得5e =- （2）由题意得104a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得73a c =⎧⎨=⎩，故离心率37c e a ==．【思路点拨】（1）椭圆的离心率是椭圆几何性质的一个重要参数，求椭圆离心率的关键是由条件寻求a 、c 满足的关系式．（2）椭圆的离心率c b e a a ==，所以构造a 、b 、c 三者中任意两个的关系，均可求出椭圆离心率，而a 、b 、c 三者中任意两个的关系，可以通过几何图形直观观察，可构造方程或不等式得到三者关系．（3）求椭圆的离心率通常有两种方法：①若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a 2、b 2，求出a 、c 的值，利用公式ce a=直接求解； ②若椭圆的方程未知，则根据条件建立a 、b 、c 、e 满足的关系式，化为关于a 、c 的齐次方程，再将方程两边同除以a 的最高次幂，得到e 的方程，解方程求得e ．举一反三：【变式1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）11..52A B C D 【答案】D【变式2】椭圆22221x y a b +=上一点到两焦点的距离分别为12d d 、，焦距为2c ，若122d c d 、、成等差数列，则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿【答案】12例3． 设M 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，若∠MF 1F 2=75°，∠MF 2F 1=15°，求椭圆的离心率．【解析】在△MF 1F 2中，由正弦定理得12122112||||2sin sin sin MF MF cF MF MF F MF F ==∠∠∠， 即12||||2sin90sin15sin75MF MF c==︒︒︒∴2|1||2|2sin90sin15sin75sin15sin75c MF MF a+==︒︒+︒︒+︒，∴1sin15sin 75c e a ===︒+︒ 【思路点拨】本题利用了椭圆的定义、正弦定理、等比定理、三角变换等多种知识，求出离心率e ． 举一反三：【变式1】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于＿＿＿＿．1【变式2】已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点A ，上顶点为B ，若BF ⊥BA ，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为________．【解析】根据题意，|AB 2|=a 2+b 2，|BF |=a ，|AF |=a +c ，所以在Rt △ABF 中，有(a +c )2=a 2+b 2+a 2，化简得c 2+ac ―a 2=0，等式两边同除以a 2，得e 2+e ―1=0，解得e = 又∵0＜e ＜1，∴e =例4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，F 1，F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使1223F PF π∠=，求其离心率e 的取值范围．【解析】△F 1PF 2中，已知1223F PF π∠=，|F 1F 2|=2c ，|PF 1|+|PF 2|=2a ， 由余弦定理：4c 2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|cO s120° ① 又|PF 1|+|PF 2|=2a ②联立① ②得4c 2=4a 2-|PF 1||PF 2|，∴2212||||44PF PF a c =-2222222122||||()443402a PF PF a a c a a c ≤=⇒-≤⇒-≤1c e a ⇒≥≤< 【思路点拨】求离心率或离心率的范围，通常构造关于a ，b ，c 的齐次式，从而构造出关于e 的方程或不等式．举一反三：【变式】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，以a ，b ，c 为系数的关于x 的方程20ax bx c ++=无实根，求其离心率e 的取值范围．【答案】由已知，240b ac ∆=-<，所以22()40a c ac --<，即2240c ac a +->，不等式两边同除2a 可得2410e e +->，解不等式得2e <或2e ． 由椭圆的离心率(0,1)e ∈，所以所求椭圆离心率2,1)e ∈． 类型三：直线与椭圆的位置关系例6． 已知椭圆2212x y +=，求过点1122P ⎛⎫⎪⎝⎭，且被P 平分的弦所在的直线方程．【解析】解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为1122y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．代入椭圆方程，并整理得 ()()2222131222022k x kk x k k +--+-+=．由韦达定理得21222212k kx x k -+=+．∵P 是弦中点，∴121x x +=．故得12k =-．所以所求直线方程为2430x y +-=．解法二：设过1122P ⎛⎫⎪⎝⎭，的直线与椭圆交于()11A x y ，、()22B x y ，，则由题意得221122221212121211.x y x y x x y y ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪+=⎩①②③④，，， ①－②得2222121202x x y y -+-=． ⑤将③、④代入⑤得121212y y x x -=--，即直线的斜率为12-．所求直线方程为2430x y +-=．【思路点拨】（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．举一反三：【变式1】已知点P（4，2）是直线l被椭圆221369x y+=所截得线段的中点，求直线l的方程．【答案】x+2y－8=0【变式2】若直线1()y kx k R=+∈与椭圆2215x ym+=恒有公共点，求实数m的取值范围．【答案】15m m≥≠且。

椭圆的简单几何性质教案教案：椭圆的简单几何性质一、教学目标：1.了解椭圆的定义和基本性质；2.掌握椭圆的离心率与长短轴长度的关系；3.能够判定给定的图形是否为椭圆。

二、教学内容：1.椭圆的定义；2.椭圆的焦点、离心率与长短轴之间的关系；3.如何判定给定的图形是否为椭圆。

三、教学过程：Step 1：导入新知引入椭圆的概念：椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a，且到两个点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2b的点的轨迹。

图示：绘制一个椭圆的图形，并标出其中心O、两个焦点F1、F2、长轴2a和短轴2b。

Step 2：椭圆的性质性质1：椭圆的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即PF1+PF2=2a。

图示：绘制一个椭圆，任意选取一点P，并测量该点到两个焦点的距离PF1和PF2，证明PF1+PF2=2a。

性质2：椭圆的离心率e与椭圆的长短轴长度之比的平方等于1，即e^2=1-(b^2/a^2)。

图示：绘制一个椭圆，其中心O、两个焦点F1、F2和两个顶点A、B。

测量焦距CP和长轴2a的长度，以及短轴2b的长度，计算离心率e，并验证e^2=1-(b^2/a^2)。

Step 3：判定椭圆的图形给定一组数据，由学生判断该图形是否为椭圆。

示例：数据为横坐标x和纵坐标y的点集合。

图示：将一组数据绘制成一个坐标系，并将数据的散点连线，观察图形是否为椭圆。

Step 4：练习与巩固为学生提供一系列的练习题，巩固椭圆的性质和判定方法。

四、教学资源：1.教学PPT；2.椭圆的示意图；3.测量工具（尺子、量角器）；4.练习题集合。

五、教学评价：1.在教学过程中，引导学生积极参与讨论、思考，并及时给予帮助和指导；2.在练习环节中，及时纠正学生的错误，鼓励他们在做错的题目上找到错误原因并进行改正。

六、教学延伸：1.椭圆的方程：利用椭圆的性质，可以推导出椭圆的标准方程和一般方程；2.椭圆的焦点性质：椭圆的焦点位置与长短轴之间的关系。