第 5 讲 指数式与指数函数
考纲要求
考情风向标
1.了解指数函数模型的实际背景. 1.熟练掌握指数的运算是学好该部
2.理解有理数指数幂的含义，了 分知识的基础，较高的运算能力
解实数指数幂的意义，掌握幂 是高考得分的保障，所以熟练掌
的运算.
握这一基本技能是重中之重.
3.理解指数函数的概念，理解指 2.本节复习，还应结合具体实例了
1 3
×3
1 2
)6－
2 3
3
＝
2＋4×27＝110.
(2)原式＝
1 1 1 1
a 3b2a2b3
15
＝a 11 1 326
115
·b 2 3 6
＝a0b0＝1.
a6b6
【规律方法】由于幂的运算性质都是以指数式的形式给出
的，所以对既有根式又有指数式的代数式进行化简时，要先将
n
根式化成指数式的形式，依据为 m an ＝a m ，注意结果不要同时 含有根号和分数指数幂.ABCD
3．(2013 年广东珠海二模)已知实数 a，b 满足等式 2a＝3b，
下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；
⑤a＝b＝0.其中有可能成立的关系式有( C )
A．1 个 B．2 个 C．3 个
D．4 个
解析：如图 D2，①②⑤正确．故选 C.
图 D2
考点 3 指数函数的性质及应用 例 3：已知 f(x)＝ex－ax－1. (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)若 f(x)在定义域 R 上单调递增，求 a 的取值范围． 解：(1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a. 令 f′(x)≥0，得 ex≥a， 当a≤0 时，有f′(x)＞0 在R 上恒成立； 当a＞0 时，有 ex≥elna，即x≥lna. 综上所述，当a≤0 时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)； 当a＞0 时，f(x)的单调递增区间为[lna，＋∞)．
数函数的单调性，掌握指数函 解指数函数的模型，利用图象掌
数图象通过的特殊点.
握指数函数的性质．重点解决：
4.知道指数函数是一类重要的函 (1)指数幂的运算．(2)指数函数的
数模型.
图象与性质.
1．根式 (1)根式的概念： 一般地，如果 xn＝a，那么 x 就叫做 a 的 n 次方根，其中
n>1 且 n∈N*.式子n a叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被 开方数．
a
＝
1 3
b
，则
a＝b＝0，⑤成立．
故③④不成立．故选 B.
答案：B
【规律方法】实数
a，b
满足等式
1 2
a
＝
1 3
b
，就是要判断
在同一坐标系中函数
y＝
1 3
x
，y＝
1 2
x
的函数值什么时候相等，
利用两个函数的图象与直线 y＝m 的交点来判断.
【互动探究】 2．函数 f(x)＝x|xa|x(0<a<1)的图象的大致形状是( D )
A．(1,5)
B．(1,4)
C．(0,4) D．(4,0)
3．已知 a＝ 52－1，函数 f(x)＝ax，若实数 m，n 满足 f(m)>f(n)， 则 m，n 的大小关系为___m_<__n__．
4．(2013 年上海)方程 2x＝8 的解是_____x_＝__3______． 解析：2x＝8＝23，x＝3.
(2)根式的性质： ①当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n
次方根是一个负数，这时，a 的 n 次方根记作 n a；
②当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为相反 数，这时，a 的 n 次方根可记作__±_n__a___；
③(n a)n＝a；
④当 n 为奇数时，n an＝___a_____，
考点 1 指数幂运算
例 1：计算：
(1)1.5
1 3
×
7 6
0
＋80.25×
4
2 ＋(3
2×
3)6－
2
2 3
3
；
2
1 11
(2) (a3.b1)2.a2.b3 .
6 a.b5
思维点拨：根式的形式通常写成分数指数幂后再进行运算．
1
1
1
解：(1)原式＝
2 3
3
×1＋
23
4
×2
1 4
＋(2
可能成立的关系式有( )
A．1 个
B．2 个 C．3 个
D．4 个
解析：在同一直角坐标系中作出函数
y＝
1 3
x
，y＝
1 2
x
的
图象，如图 D1.
当
x<0
时，若
1 2
a
＝
1 3
b
，
则 a<b<0，②成立；
当
x>0
时，若
1 2
a
＝
1 3
b
，
则 0<b<a，①成立；
图 D1
当
x＝0
时，若
1 2
当 x＜0 时，_0_＜__y_＜__1_ 当 x＜0 时，__y_＞__1___
1．下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是( C )
1
A．－ x＝(－x) 2 (x>0)
6 B.
1
y2＝y 3
(y<0)
C．x
3 4
＝
4
1x3(x>0)
D．x
1 3
＝－
3
x(x≠0)
2．已知函数 f(x)＝4＋ax－1(a＞0，且 a≠1)的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标是( A )
n>1)．
(3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义．
3．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝___a_r_＋_s____(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝____a_rb_r____(a>0，b>0，r∈Q)．
4．指数函数的图象与性质
指数函数 y＝ax(a>1)
y＝ax(0<a<1)
图象
(续表)
指数函数 y＝ax(a>1)
y＝ax(0<a<1)
定义域
R
R
值域
(0，＋∞)
(0，＋∞)
定点
过定点(0,1)
过定点__(_0_,_1_) __
单调性 在 R 上是增函数
在 R 上是_减__函__数___
当 x＞0 时，y＞1； 当 x＞0 时，0＜y＜1； 性质
当 n 为偶数时，n an＝|a|＝a－a
a≥0， a<0；
⑤0 的任何次方根仍是 0，记作n 0＝0； ⑥负数没有偶次方根．
2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂的意义：
a
m n
＝n
am(a>0，m，n∈N*，且
n>1)．
(2)正数的负分数指数幂的意义：
m
an
＝
1
m
an
＝ 1 (a>0，m，n∈N*，且 n am
【互动探究】
1．若
x>0，则(2x
1 4
＋3
3 2
1
)(2x 4
－3
3 2
)－4x
1 2
1
(x－x 2 )＝_－__2_3___.
考点 2 指数函数的图象
例
2：已知实数
a，b
满足等式
1 2
a
＝
1 3
b
，下列五个关系
式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不
