统计与概率课程难度的定量分析比较

概率难点分析及教学建议河北师范大学数学与信息科学学院程海奎统计与概率研究随机现象的规律性。

对新课标教材中的统计与概率内容，就知识层面和方式看，似乎不难。

但蕴涵的概率观点和统计思想却不容易了解。

那么，概率的意义究竟是什么？概率难在何处？统计推断有什么特点？如何评价统计推断的结果？统计与概率的关系是什么？下面就这些问题作一简单分析。

一、概率的难点分析1．概率的抽象性。

概率是随机事件发生的可能性的气宇。

像长度和面积这些气宇都比较直观，对温度的高低在必然范围咱们可以感知。

而事件发生的可能性大小的气宇，直观看不见，也无法感知，太抽象了。

2. 统计规律的隐含性。

随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现为大量实验时，事件频率的稳定性。

这种规律称之为统计规律性。

频率的稳定性是概率论的理论基础，它说明随机事件发生的可能性大小是事件本身固有的、不随人们的意志而改变的客观属性，它是可以气宇的。

同时它也给出了气宇的一种方式。

现实中，只有个别特殊情形，在合理的假设下不需通过重复实验而直接计算概率，而大量事件的概率需要用频率去估量。

由于统计规律是通过大量重复实验揭露的，因此，只有深刻理解概率与频率的关系、概率与频率的本质区别，才能正确理解概率的意义，利用概率思想进行风险决策。

对概率与频率的关系的熟悉可以分三个层次进行教学。

直观熟悉。

概率描述事件发生的可能性大小，它是由事件本身唯一肯定的一个常数；频率反映在n次实验中，事件发生的频繁程度。

一般地，若是一个事件的概率较大，频率也较大，概率较小，频率也较小。

反之也对。

具体实验。

通过大量重复实验，借助图形表示频率的稳定性规律：随实在验次数的增多，频率的波动愈来愈小，逐渐稳定在一个常数周围。

但应该熟悉到频率的不肯定性，即当实验次数较少时，频率的波动可能比较大。

精准刻画。

有些资料这样叙述：“实验次数越多，用频率估量概率越准确”，这样的叙述周密吗？以掷硬币为例，已知“正面向上”的概率为0.5，掷两次硬币，可能频率为是0.5，用频率估量概率的误差为0；而掷100次硬币，也可能频率为0.2，误差为0.3。

“统计与概率”课程难度的比较研究一、研究背景由于“统计与概率”的广泛应用，导致当今各国都非常关注对教学内容“统计与概率”的改革.为了认识世界、理解世界，形成正确的世界观和方法论，学生必须学会处理各种信息，尤其是数据信息，这其中涉及的正是大量的与统计、概率有关的数学知识.因此，掌握基本的统计与概率知识已经成为信息时代每个公民的基本素养.新课改实施以来，全国各地不同版本的数学教材相继问世，这其中大多数都是紧扣《义务教育数学课程标准（2011年版）》编写的，但上海市根据城市发展需要和时代特点，独立制定课标、编写教材，由上海课程改革委员会制定了《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》.两种课标中有相同之处，也有不同之处，根据这两种课标编写的教材在内容、方式、顺序和素材选取方面也形成了自己的风格.另外，初中数学“统计与概率”部分内容虽然在初中数学中所占比例不重，但却颇受重视，这部分内容的学习目的是为学生后续学习以及今后的发展打下基础.20世纪中期“新数学运动”之后，一些发达国家开始把包括“统计与概率”纳入到中小学教材中.20世纪70年代以来，西方教育家对统计与概率的研究成为热点问题. 从20世纪80年代开始，全球范围把“统计与概率”的初步知识作为数学素养的一部分引入小学到高中的课程中.其中澳大利亚、美国、新西兰等国家的课程改革建议：应该在学校教育的早期就让学生开始学习统计与概率.从我国的数学教育历史来看，“统计与概率”纳入基础教育的过程是曲折的.从20世纪30年代的把“统计与概率”内容单独成章，作为必修内容，到50年代把中学教材中“统计与概率”相关内容删除，再到60年代的重回又退出教育舞台.1978年，教育部颁布的《全日制中学数学教学大纲（试行草案）》增加了“统计与概率”内容，但由于现实的种种困难因素以及应试教育的影响，一直没有引起人们真正的重视.直到教育部2001年3月颁布《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，才明确规定把“统计与概率”归入九年义务教育，让它成为和“数与代数”、“图形与几何”并列的三大数学模块.国内的教材比较研究，多是选择按《义务教育数学课程标准》要求编写的两种教材进行比较，鲜有对这两种不同课程标准下编写的课标教材进行比较研究.基于此，研究选用人民教育出版社编写的教材（以下简称“人教版”）和上海教育出版社出版的教材（以下简称“上教版”）7～9年级数学教材中“统计与概率”部分内容的难度进行比较研究，以期为教材研究和教材编写提供参考.二、研究过程（一）课程难度的刻画研究采用了史宁中教授建立的课程难度模型[1]，对两版本教材统计与概率课程难度进行比较.该模型认为，影响课程难度的诸多因素中，至少应该包含课程广度、课程深度、课程时间等三个基本要素.课程广度，研究以该内容学习的知识点数量来衡量课程广度.课程时间，研究以课标要求的时间来衡量.课程深度，研究以目标要求的程度来刻画课程深度，见表1.通过给目标动词赋值的办法，研究按表1规则，进行两种课标教材的课程深度计算.表1 课程深度赋值研究用N来表示课程难度，用S表示课程深度，用G 表示课程广度，用T表示课程时间，课程难度用关系式：N=+（0<α<1，一般情况下取α=0.5）来刻画课程的难度.其中α被称为加权系数，满足单位时间的课程深度和单位时间的课程广度分别称之为“可比深度”和“可比广度”.那么，课程难度N就可以用可比深度和可比广度的加权平均值来衡量.虽然有学者对策提出异议[2]，如不应以知识点来确定课程的广度，而应代之以“三维目标”，但由于过程与方法，情感、态度和价值观不利于量化，而且“三维目标”本身也包含对知识的要求，故研究仍采用知识点的数量来刻画课程的广度.（二）研究对象研究对象选择按照两种不同课标编写的教材，其中，按《义务教育数学课程标准》编写的教材选择人民教育出版社的初中数学教材，按《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》编写的教材上海教育出版社出版的7～9年级数学教材.人教版7～9年级“统计与概率”内容出现在三本教科书中，七年级上册、八年级下册和九年级上册;上教版7～9年级“统计与概率”内容仅出现在两本教材中，包括八年级下册、九年义九年级下册.两种不同版本的课标教材分别在以上每册教材中均出现一章“统计与概率”内容.（三）研究方法研究分别对人教版和上教版两种不同课标教材的课程广度、课程深度、课程时间等三个基本要素进行定量统计分析，统计相关数据，再根据史宁中教授等提出的课程难度模型，计算出两种不同课标教材的统计与概率内容的课程难度.三、研究结果（一）课程时间人教版在课程时间安排上：“数据的搜集和描述”为9课时，“数据的分析”为14课时，“概率初步”设置为14课时，即统计部分的课时总设置为23课时.概率部分的总课时设置为14课时，“统计与概率”部分总课时为37课时，因此取T1=37;上教版在“概率初步”安排8课时，“统计初步”“统计与概率”总课时为23课时，因此T2=23. 设置为15课时，（二）课程广度表2 知识点比较从表2可以看出，人教版中“统计与概率”部分合计24个知识点，即课程广度G1=24.上教版中“统计与概率”部分合计28个知识点，即课程广度G2=28.从表2也可看出，人教版知识学习的数量相对少些，其中四个知识点在上教版教材中没有出现;而上教版教材中有8个知识点在人教版教材中没有出现.两种不同的课标教材共有的知识点有20个.这表明两种不同的课标教材的课程内容在聚合化趋向下又各有特色. （三）课程深度基于表1标准，两种版本中相应知识点的课程深度值分别如表3.表3 两种版本中知识点难度根据表3，可以看出人教版教材对7～9年级“统计与概率”部分的要求相对不高.人教版“统计与概率”内容总计有24个知识点，赋值为1的知识点有3个，赋值为2的知识点有21个.由此，可计算出该版本教材的课程深度：S1==1.75.同理，可计算上教版“统计与概率”部分的课程深度为S2==2.从课程深度来看，研究发现人教版7～9年级数学教材对“统计与概率”部分的要求一般都是了解、知道、认识、经历（感受）和理解、会求、能、体验（体会），没有要求掌握、灵活应用或探索的知识.而上教版7～9年级数学教材对“统计与概率”部分的要求是以理解、会求、能或体验（体会）为主.从这一点我们可以发现，在某些相同的知识点上，上教版教材比人教版要求高.如条形图、折线图、扇形图等知识，在人教版中理解、会求等目标要求，而在上教版中是掌握、灵活运用等要求.（四）课程难度研究根据史宁中教授提出的课程难度模型，计算结果见表4.表4 两版本7～9年级统计与概率课程难度根据公式N=+，再代入相应数据，就可以得到两个版本教科书中“统计与概率”知识的课程难度.其中，人教版“统计与概率”课程难度为：N1=+，取α=0.5，代入数据计算得N1=0.0235+0.324=0.3475.同理，可计算上教版“统计与概率”的课程难度：N2=0.6520.四、结论和讨论（一）上教版“统计与概率”内容的课程难度高于人教版，但课程难度可以通过学习方式的改变进行合理削减由表4可知，两种不同的课标教材“统计与概率”的课程难度方面，“上教版”的课程难度几乎是人教版的2倍，远高于“人教版”教材.可能的原因在于人教版教材分三章讲解了“统计与概率”的知识，而上教版用两章讲述了这部分知识.在课时设置上，人教版要远远多于上教版（人教版37课时，上教版23课时）.另一方面，《义务教育数学课程标准（2011版）》要求7～9年级学习的“统计与概率”内容比《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》少（人教版要求学习的知识点24个，上教版是28个），并且要求相对要低（见表3）.但课程难度并非完全决定学生的学习效果，“只要利用必要的工具和信息资源，创设有利于学生主动建构的环境，即可帮助学生顺利完成知识建构”[3].因此，课程广度、课程深度和课程时间也可以通过合理的学习方式来进行适宜的变通，从而使得学生乐学、好学，学习效果也更有效率.为此，两种课标教材都注重教学的实践环节，在实践中都强调直观、操作和实验，重视调查研究，以及观察、实验和操作等寓教于乐的学习方式，让学生通过动手、动脑相结合，感受数学“再创造”的过程，进而“激发起学生的自主学习的积极性和潜力”以及“让传统课堂不断向日常生活和社会延伸，为培养学生创新思维和实践能力提供广阔空间”[4].（二）人教版和上教版“统计与概率”内容各有特色，体现在课程广度和课程深度上要求的侧重点不尽相同两种不同版本的课标教材在“统计与概率”内容上，共同的知识点有20个，合计学习的知识并集有32个知识点.这表明两种不同的课标教材在对该内容的学习要求上，既具有同质化倾向，也具有个性化特征.另一方面，上教版“统计与概率”课程难度总体水平远高于人教版，但人教版课程难度并没有完全“镶嵌”于上教版.在具体内容学习上，两种版本的教材知识点处理上侧重点却各有千秋.如上教版统计方面没有关于简单随机抽样的要求，对于样本和总体的关系及通过样本平均数、样本方差推断总体平均数、总体方差的要求也没有相关说明.而人教版在此基础上还多了推断的过程.但上教版教材要求对概率知识的高度理解，即要在具体情境或实例中体验等可能事件的概率或古典概型，而人教版教材没有.相对于人教版而言，上教版对概率知识的应用要求较高，诸如能按照指定概率大小的要求，找到相应的等可能事件或能设计符合要求的方案等等，但对统计内容的要求强调基础，注重实际应用.当然，研究仅仅是对两种不同版本的课标教材进行文本静态的课程难度比较，在具体学习的过程中，学生的学习效果还受教室环境、班级文化、教学方式及人数多少等多种因素的影响，课程难度只是这些影响因素之一.如帮助学生“获得知识经验，推动思考以及获得肯定和表扬”[5]，也许可以有效削减课程难度对学生学习的不利影响.但需要进一步思考的是，课程难度是如何影响学生的学业负担的？影响的程度如何？如何刻画这两者关系？参考文献：[1] 史宁中，孔凡哲，李淑文.课程难度模型：我国义务教育几何课程难度的对比[J].东北师范大学学报（哲学社会科学版），2005（6）：151-155.[2] 李高峰.课程难度模型运用中的偏差及其修正――与史宁中教授等商榷[J].上海教育科研，2010（3）：46-49.[3] 宁连华，涂荣豹.利用数学是常识的精微化指导数学教与学[J].数学教育学报，200110（1）：25.[4] 朱龙，胡典顺，汪钰雯.中美数学基础教育的比较及启示[J].数学教育学报，2013，22（6）：52-57.[5] 邝孔秀，刘芳.初中数学课堂有效教学的认知差异与实践策略――基于个案的研究[J].数学教育学报，2013，22（6）：12-15.。

统计与概率《标准》首次将“统计观念”作为义务教育阶段数学课程的重要目标之一，并将统计与概率作为数学教育的四个领域之一，这样的编排体系在以往的数学大纲中是没有的，也足以说明它在数学课程中的重要地位。

以往的教材只有统计，没有对数据的收集、整理、分析，推测、判断、解决问题等，新课程中除了有以上的内容外，还新增了概率和可能性、平均数、中位数、众数等。

我主要从以下几个方面来粗浅谈谈：一．最新的2016年《标准修改稿》对统计与概率的内容做了适当调整，使三个学段统计内容学习的层次性方面更加明确。

1．统计主要变化如下：（1）第一学段与之前《标准》相比，最大的变化是鼓励学生运用自己的方式（包括文字、图画、表格等）呈现整理数据的结果，不要求学生学习“正规”的统计图（一格代表一个单位的条形统计图）以及平均数（这些内容放在了第二学段）。

这种变化主要原因有三：第一，更加突出了学生对数据分析的体验，鼓励学生用自己的方式去分析数据；第二，早期经验的多样化可以为以后学习“正规”的统计图表和统计量奠定比较牢固的基础；第三，使得统计内容在第一、二学段的要求层次更加明确。

（2）第二学段与《标准》相比，在统计量方面，只要求学生体会平均数的意义，不要求学生学习中位数、众数（这些内容放在了第三学段）这种变化主要原因有二：第一，平均数是一个非常重要的刻画数据平均水平的统计量，需要学生重点体会；第二，考虑到学生的年龄特征，其他刻画数据平均水平的统计量不宜集中学习。

另外，删去“体会数据可能产生的误导”这一要求。

（3）第三学段与《标准》相比，强调了对“随机”的体会。

比如，增加了“通过案例了解简单随机抽样”、“通过表格、折线图等，了解随机现象的变化趋势”。

（4）加强体会数据的随机性实际上，体会数据的随机性是《标准修改稿》的一个重要特点，也是一个重要变化。

在以前的学习中，学生主要依靠概率来体会随机思想的，《标准修改稿》希望通过数据使学生体会随机思想。

重难点05 概率与统计【命题趋势】统计与概率是高考文科中的一个重要的一环高考对概率与统计内容的考查一般以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率应用题侧重于古典概率,近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势,该题出现在解答题第二或第三题的位置，可见概率统计在高考中属于中档题.虽为中档题，但是实际生活背景在加强，阅读量大，所以快速阅读考题并准确理解题意是很重要的.对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合. 为了准确地把握2020年高考概率统计命题思想与趋势，在最后的复习中做到有的放矢，提高复习效率，纵观近五年的全国文科I卷，我们看到近几年每年一考,多出现在19题，分值12分；从难度上看：以中档题为主，重基础，考查的重点为统计图表的绘制与分析、数字特征的计算与分析、概率计算、线性回归分析，独立性检验等知识点，一般都会以实际问题为载体，代替传统建模题目.本专题我们把这些热点问题逐一说明，并提出备考指南，希望同学们在复习时抓住重点、事半功倍.【热点预测以及解题技巧】热点一：“统计”背景下的“概率”问题这类问题一般将统计与概率相结合.以频率分布直方图或茎叶图为背景来考查概率知识，有时以表格为背景来考查概率知识，需要从统计图、表格获取信息、处理数据的能力，并根据得出的数据求概率.热点二：样本分析并通过样本分析作决策进行样本分析时从统计图表中获取数据，得出频率、平均数、方差，用样本频率估计概率、样本数字特征估计总体数字特征，有时需以此作出决策.热点三：线性回归分析根据最小二乘法得出回归直线方程，有时需适当换元转化为线性回归方程. 由于计算量很大，题目一般会给出的参考数据，但是注意数据设置的“障眼法”，这时就要认真领会题意，找出适用的参考数据加以计算.热点四：独立性检验寻找数据完成列联表，下面的解题步骤比较固定，按部就班完成即可.热点五：与函数相结合的概率统计题这类题也是近几年出现较多的一类题，其综合性强，理解题意后找准变量，构建函数关系式.【限时检测】（建议用时：35分钟）一、单选题1．（2021·广西钦州一中高三开学考试（文））点在边长为2的正方形内运动，P ABCD 则动点到顶点的距离的概率为（ ）P A 2PA <A ．B ．C ．D ．14124ππ【答案】C 【解析】分析：先根据题意得出PA 等于2 的临界值情况，再根据几何概型求解即可.详解：由题可知当PA=2时是以A 为圆心2为半径的四分之一圆，所以概率为P=，故选C21444r ππ=2．（2020·全国高三其他模拟（文））从某高中女学生中选取10名学生，根据其身高、体重数据，得到体重关于身高的回归方程，用来刻画回归效(cm)(kg)ˆ0.8585yx =-果的相关指数，则下列说法正确的是（ ）20.6R =A ．这些女学生的体重和身高具有非线性相关关系B ．这些女学生的体重差异有60%是由身高引起的C ．身高为的女学生的体重一定为170cm 59.5kgD ．这些女学生的身高每增加，其体重约增加0.85cm 1kg 【答案】B【分析】因为回归方程为，且刻画回归效果的相关指数，所以，ˆ0.8585y x =-20.6R =这些女学生的体重和身高具有线性相关关系，A 错误；这些女学生的体重差异有60%是由身高引起的，B 正确；时，，预测身高为的女学生体重为,C 错170x =ˆ0.851708559.5y=⨯-=170cm 59.5kg 误；这些女学生的身高每增加，其体重约增加，D 错误．0.85cm 0.850.850.7225(kg)⨯=故选：B3．（2020·石嘴山市第三中学高三其他模拟（文））网络是一种先进的高频传输技5G 术，我国的技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款手5G 5G 机，现调查得到该款手机上市时间和市场占有率（单位：%）的几组相关对应数5G x y 据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出关于的线性回归方程为.若用此方程分析并预y x0.042y x a =+测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款手机市场占有率能超过0.5%（精5G 确到月）（）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月【答案】C【分析】：，1(12345)35x =⨯++++=1(0.020.050.10.150.18)0.15y =⨯++++=点在直线上()3,0.1ˆˆ0.042y x a =+，ˆ0.10.0423a=⨯+ˆ0.026a =-ˆ0.0420.026yx =-令ˆ0.0420.0260.5y x =->13x ≥因为横轴1代表2019年8月，所以横轴13代表2020年8月，故选：C4．（2020·河南新乡市·高三一模（文））年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全2020国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区年2019月至年月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月11202011份代码分别对应年月年月）113:2019112020:11根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两y a =+ln y c d x =+个回归方程分别为，并得到以下一些0.9369y =+0.95540.0306ln y x =+统计量的值：是（）A ．当月在售二手房均价与月份代码呈正相关关系y xB ．根据年月在售二手房均价约为万元/0.9369y =+20212 1.0509平方米C ．曲线的图形经过点0.9369y =+0.95540.0306ln y x =+()x yD ．回归曲线的拟合效果好于的拟合效0.95540.0306ln y x =+ 0.9369y =+果【答案】C【分析】对于A ，散点从左下到右上分布，所以当月在售二手房均价与月份代码呈正y x 相关关系，故A 正确；对于B ，令，由，16x =0.9369 1.0509y =+=所以可以预测年月在售二手房均价约为万元/平方米，故B 正确；20212 1.0509对于C ，非线性回归曲线不一定经过，故C 错误；()x y 对于D ，越大，拟合效果越好，故D 正确.2R 故选：C.5．（2020·全国高三专题练习（文））现行普通高中学生在高一时面临着选科的问题，学校抽取了部分男､女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（ ）A ．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱两理一文D ．样本中的女生偏爱两文一理【答案】D【分析】：由条形图知女生数量多于男生数量，故A 正确；有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故B 正确；男生偏爱两理一文，故C 正确；女生中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故D 错误.故选：D.6．（2021·全国高三专题练习（文））下图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中为直角三角形，四边形为它的内接正方形，已知ABC :DEFC ，，在内任取一点，则此点取自正方形内的概率为（2BC =4AC =ABC :DEFC）A ．B ．C ．D ．12592949【答案】D【分析】解：，，4tan 22AC B BC === tan 2EFB FB ∴==，解得，22()2(2)EF FB BC EF EF ==-=-43EF =，，1142422ACB S AC BC ∴==⨯⨯=::4416339DEFC S =⨯=根据几何概型．164949P ==故选：D ．7．（2021·江西新余市·高三期末（文））2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数，使得是素数．素数对称为孪生素数．从15以p 2p +(,2)p p +内的素数中任取2个构成素数对，其中是孪生素数的概率为（）A ．B ．C ．D ．13141516【答案】C【分析】以内的素数有，，，，，，共个，任取两个构成素数对，则152********有：，，，，，，，，，，()2,3()2,5()2,7()2,11()2,13()3,5()3,7()3,11()3,13()5,7，，，，，共中取法，而是孪生素数的有，()5,11()5,13()7,11()7,13()11,1315()3,5，，其概率为.()5,7()11,1331155p ==故选：C.8．（2021·安徽阜阳市·高三期末（文））如图，根据已知的散点图，得到y 关于x 的线性回归方程为，则（ ）ˆ0.2y bx =+ˆb =A ．1.5B ．1.8C ．2D ．1.6【答案】D【分析】因为，所以，解得12345235783,555x y ++++++++====530.2b =+ ．1.6b = 故选：D .9．（2021·全国高三专题练习（文））在上随机取一个数，则事件“直线与[]1,1-k y kx =圆相交”发生的概率为（ ）22(x 13)25y -+=A ．B ．12513C ．D ．51234【答案】C【分析】直线与圆相交y kx =22(x 13)25y -+=555,1212d k ⎛⎫⇒∈- ⎪⎝⎭直线斜率时与圆相交，故所求概率.55,1212k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭10512212P ==故答案选C10．（2021·全国高三专题练习（文））给出下列说法：①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；ˆˆˆy bx a =+(,)x y ②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；||r ③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；④在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少ˆ20.5y x =-x ˆy0.5个单位.其中说法正确的是（ ）A ．①②④B ．②③④C ．①③④D ．②④【答案】B【分析】对于①中，回归直线恒过样本点的中心，但不一定过一个样本ˆˆˆy bx a =+(x y 点，所以不正确；对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1，||r 所以是正确的；对于③中，根据方差的计算公式，可得将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差是不变的，所以是正确的；对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程中，当解释变量增ˆ20.5y x =-x 加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，所以是正确的.ˆy 故选：B.11．（2020·江西吉安市·高三其他模拟（文））给出一组样本数据：1，4，，3，它们出m 现的频率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，且样本数据的平均值为2.5，从1，4，，3中任取m 两个数，则这两个数的和为5的概率为（）A ．B ．C ．D ．12231314【答案】C【分析】由题意得，样本平均值为，解得，10.140.10.430.4 2.5m ⨯+⨯+⨯+⨯=2m =即这组样本数据为1，4，2，3，从中任取两个有，，，，，共6种情况，()1,4()1,2()1,3()4,2()4,3()2,3其中和为5的有，两种情况，()1,4()2,3∴所求概率为，2163P ==故选：C.12．（2020·全国高三专题练习（理））物流业景气指数反映物流业经济发展的总体LPI 变化情况，以作为经济强弱的分界点，高于时，反映物流业经济扩张；低于50%50%时，则反映物流业经济收缩。

《统计与概率》内容分析与建议按照义务教育《数学课程标准》的设计思路，在各学段中都按排了四个部分的课程内容：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”。

今天我们将一起分析“统计与概率”的教学内容、目标，共同探讨相关的教学策略。

“统计与概率”的教育价值（插入PPT2）在于：有助于学生适应现代社会的需要；有助于培养学生形成运用数据进行推断的思考方式；有助于学生数学思考、解决问题、情感态度等多方面的发展。

因此，作为四部分并列内容之一，“统计与概率”在新课程中得到了较大重视，其中统计是这部分内容的重点，统计的核心是数据分析。

“统计与概率”的内涵1、统计的定义（插入PPT3）我们来看统计学的定义：“统计学是关于收集和分析数据的科学和艺术”。

定义中有三个核心词：第一，数据。

首先我们要区分数据与数。

“数据”和“数”的区别是：数据应有实际背景，而“数”并不一定。

例如：20、 20米，无论其是否带有单位名称，它们充其量只不过是个数，带有单位名称的我们叫它名数。

这些数要想成为真正的数据，必须将其放在具体的情境中，赋予它实际的意义。

例：楼与楼之间的间距是20米。

这时，20米才有其作为统计量的研究价值。

统计正是要通过对这些数据的处理来提取信息，从而帮助人们进行决策。

说简单点，数据是信息的载体，随着信息的迅速增长，我们需要扩大对数据的认识。

事实上，现在“数据”作为信息的载体，（插入PPT3）包括数，也包括言语、信号、图象……凡是能够承载事物信息的东西都构成数据。

第二，收集和分析数据。

运用统计处理数据的步骤（插入PPT4）一般包括：确定需要解决的问题；决定收集数据的方法并收集数据；整理并尽可能清晰地描述数据；分析数据，并做出决策和推断。

由此可见统计的核心是数据分析。

第三，科学和艺术。

统计学有其科学的一方面，但也有艺术的一方面（插入PPT5）。

对于同样的数据，由于背景和目标不同可以有多种分析的方法，需要根据问题背景选择合适的方法。

“统计与概率典型课例的分析与研究”课题方案一、“统计与概率典型课例的分析与研究”课题提出的背景1、我国在2001年,《全日制义务教育数学课程标准》颁布后,“统计与概率”才开始作为一个独立的学习领域贯穿于数学课程的始终。

统计与概率在新课程标准中占有很重要的地位。

它的一部分内容是实施新课程标准以来，新增加的内容，由原来五六年级才讲得统计初步教学，小学阶段几乎没有涉及到的概率教学变成目前从一年级开始每个年级都要学习涉及的有关统计概率知识，使学生从小明白这一知识在生活中的应用。

而国外统计和概率的知识从50年代开始，西方有的国家开始把它引进小学，在20世纪60年代的“新数运动”中，“统计与概率”已经进入了一些发达国家的中小学数学课程中，美、英、日等发达国家均把“统计与概率”教学作为数学教学的一个重要组成部分，把统计与概率思想作为一种重要的数学思想来教学，十分注重学生统计观念和概率思想的培养。

尤其是从20世纪80年代开始，人们开始逐渐把“统计与概率”的初步知识作为数学基本素养的一个部分，并在中小学数学课程中加大其分量，西方学者对“统计与概率”教学的研究主要是从20世纪70年代开始的。

“统计与概率”知识之所以在世界各国受到这样的重视，主要是鉴于“统计与概率”知识的现实性、实践性和开放性特点。

2、“新课程小学数学典型课例的分析与研究”课题是河南省基础教育教学研究项目和河南省教育科学“十一五”规划2009年重点课题。

我校作为课题的子课题实验研究单位，结合我校教师和学生实际情况，针对统计与概率教学在教学中的作用，确定了“统计与概率典型课例的分析与研究”这一课题内容。

3、教师统计与概率教学中，教学目标的把握上有一定的困难。

备课难度较大。

统计与概率领域是数学新课程中增加篇幅较大的一个内容，教师几乎没有教这个内容的经验，一些教师自身就缺乏统计与概率的专业知识，教材培训力度不够，在理解、把握教材上花费很多时间，教师在教学目标的把握上有一定的困难。

概率论基础李贤平与概率论与数理统计茆书难易对比1. 引言概率论与数理统计是数学中的重要分支，它们在各个领域中都有广泛的应用。

在学习概率论与数理统计的过程中，选择一本适合的教材对于学习的效果至关重要。

本文将对比李贤平的《概率论基础》和茆书的《概率论与数理统计》两本教材的难易程度，并从内容、难度、适用对象等方面进行分析。

2. 内容对比2.1 李贤平的《概率论基础》李贤平的《概率论基础》是一本经典的概率论教材，深入浅出地介绍了概率论的基本概念、方法和应用。

该教材的内容包括概率的定义、条件概率、随机变量、概率分布、随机变量的数字特征等内容。

此外，教材还介绍了一些常见的概率分布，如二项分布、正态分布等，并给出了相应的概率计算方法和性质。

教材的最后还涉及到了大数定律和中心极限定理等内容。

2.2 茆书的《概率论与数理统计》茆书的《概率论与数理统计》是一本全面系统的概率论与数理统计教材，旨在帮助读者全面掌握概率论和数理统计的基本理论和方法。

教材的内容包括概率论基础、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、样本及抽样分布、参数估计、假设检验等内容。

教材的每个章节都有大量的例题和习题，有助于读者巩固所学的知识。

3. 难易程度对比3.1 李贤平的《概率论基础》李贤平的《概率论基础》相对而言较为简单易懂，适合初学者入门。

教材的语言简练明了，理论与实例相结合，能够帮助读者快速掌握基本概率论的知识。

此外，教材的习题也有一定难度，能够巩固所学的内容。

3.2 茆书的《概率论与数理统计》茆书的《概率论与数理统计》相对而言较为深入全面，适合对概率论和数理统计有一定基础的读者。

教材的内容较为复杂，理论推导较多，需要读者具备较强的数学基础。

此外，教材中的例题和习题也较为繁多，需要读者花费较多的时间和精力。

4. 适用对象对比4.1 李贤平的《概率论基础》李贤平的《概率论基础》适用于初学者和对概率论有一定了解的读者。

教材的内容简明扼要，适合于快速入门和基础知识的学习。

Educational Practice and Research一、引言统计与概率的基础知识已经逐渐成为一个未来公民的必备常识。

从我国数学教育改革的趋势来看，对“统计与概率”的重视逐步加强。

1996年大纲的选修部分首次引入；2000年，以古典概率概念为考点，统计学正式进入我国高考数学试题考察范围；2004年新课程改革进一步强调了对中学概率统计知识的重视；直到今年提出的六大数学学科素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析，将统计意识推向新高度。

从国际数学教育改革的趋势来看，“统计与概率”在各国中小学数学教学内容中占据的地位同样越来越重要。

以《美国州际核心数学课程标准》(2010)为例，其高中数学部分包括的“统计与概率”内容有：解释分类数据和量化数据；做出统计推断，说明结论的合理性；条件概率和概率的计算法则；用概率做决策。

再如国际上著名的TIMSS测试、PISA测试，它们的内容测试框架中都包含了“统计与概率”的内容。

如PISA （2015）测试中的第二部分———数学内容知识，包含了变化与关系、空间与图形、数量、不确定性和数据。

依据国际国内对数据分析技术依赖程度与日俱增的学科现象，笔者预见“统计与概率”知识在基础教育中的受重视程度还会继续增加。

近年来，中小学数学教材的比较研究已成为数学教育研究的一个热点。

然而多数研究都集中在代数、几何、三角、向量和微积分等方面，针对“统计与概率”部分的研究成果相对少四版本高中数学教材“统计与概率”内容比较研究覃淋（首都师范大学数学科学学院，北京100048）摘要：以教材中“统计与概率”内容为研究对象，对中国大陆、日本、中国台湾三个地区四个版本高中数学教材进行比较研究。

通过研究，得到以下结论：（1）在知识点数量上，台湾教材是最多的，其次是人教A版，原人教版教材知识点最少。

（2）除台湾教材外，另三种教材都是概率的内容多于统计内容。

（3）从四种教材对知识点的处理看，中国教材更追求定义的严格性，日本教材比较注重数学科学内部知识的联系，强调数学是一个整体。

高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第四篇概率与统计专题07比较两类方法或者策略的分析问题类型对应典例利用方案的数学期望（均值）的大小进行决策典例1利用平均利润的大小进行比较方案典例2回归方程模型拟合效果好坏的判断典例3利用方差的大小进行方案的决策典例4根据变量的取值不同进行方案的决策典例5利用相关指数2R 判断拟合效果更好典例6【典例1】某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查.为此需要抽验960人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验960次.方案②：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验一次）；否则，若呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验.这样，该组k 个人的血总共需要化验1k +次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ，且这些人之间的试验反应相互独立.（1）设方案②中，某组k 个人中每个人的血化验次数为X ，求X 的分布列；（2）设0.1p =.试比较方案②中，k 分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）.【思路引导】（1）根据概率性质可知若每个人的血样化验呈阳性的概率为p ,则每个人的血呈阴性反应的概率为1q p =-.由独立性事件概率性质可得k 个人的血混合后呈阴性反应和呈阳性反应的概率.即可由血化验次数为X 得其分布列.（2）结合（1）可求得平均每个人化验次数()E x .当0.1p =时,0.9q =.将k 分别取2,3,4,代入平均化验次数的表达式,即可求得化验次数.根据结果,即可求得相比方案①,化验次数最多平均减少的次数.【典例2】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为M ，当85M ≥时，产品为一级品；当7585M ≤<时，产品为二级品；当7075M ≤<时，产品为三级品.现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表指标值分组[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)频数10304020B 配方的频数分布表指标值分组[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)频数510153040（1）从A 配方生产的产品中按等级分层抽样抽取5件产品，再从这5件产品中任取3件，求恰好取到1件二级品的频率；（2）若这种新产品的利润率y 与质量指标M 满足如下条件：22,85,5,7585,,7075,t M y t M t M ≥⎧⎪=≤<⎨⎪≤<⎩，其中10,7t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，请分别计算两种配方生产的产品的平均利润率，如果从长期来看，你认为投资哪种配方的产品平均利润率较大【思路引导】（1）按分层抽样抽取的5件产品中有2件为二级品，记为a ，b ，有3件为一级品，记为x ，y ，z ，可得从这5件产品中任取3件的取法及恰好取到1件的取法，可得答案；（2）分别将()E A 与()E B 用t 表示，计算出()()E A E B -的值，由10,7t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得哪种配方的产品平均利润率较大.【典例3】新疆在种植棉花有着得天独厚的自然条件，土质呈碱性，夏季温差大，阳光充足，光合作用充分，生长时间长，这种环境下种植的棉花绒长､品质好､产量髙，所以新疆棉花举世闻名.每年五月份，新疆地区进入灾害天气高发期，灾害天数对当年棉花产量有着重要影响，根据过去五年的数据统计，得到相关数据如下表:灾害天气天数x (天)23458棉花产量y (吨/公顷)3.22.421.91.7根据以上数据，技术人员分别借助甲､乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲: (1)4 1.1y x =+，方程乙:(2)264 1.6y x⋅=+.（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务:①完成下表；(计算结果精确到0.1)②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和1Q 及2Q ，并比铰12,Q Q 的大小，判断哪个模型拟合效果更好?灾害天气天数x (天)23458棉花产量y (吨公顷)3.22.42 1.91.7模型甲估计值 (1)iy 2.42.11.6残差(1)i e0.1-0.1模型乙估计值(2)ˆi y2.321.9残差(2)ˆi e0.100（2）根据天气预报，今年五月份新疆M 市灾害天气是6天的概率是0.5，灾害天气是7天的概率为0.4，灾害天气是10天的概率为0.1，若何女士在新疆M 市承包了15公顷地种植棉花，请你根据第(1)问中拟合效果较好的模型估计一下何女士今年棉花的产量.(计算过程中所有结果精确到0.01)【思路引导】（1）根据已知模型计算，然后计算残差平方和，小的效果好；（2）利用模型2估算出灾害天气为6，7，10时的棉花产量X ，得X 分布列，由期望公式计算期望后可得．【典例4】2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为p (01)p <<，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0.项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p 和1p -.（1）若投资项目一，记1X 为盈利的天坑院的个数，求()1E X （用p 表示）；（2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为2X 百万元，求()2E X （用p 表示）；（3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由.【思路引导】（1）1~(20,)X B p ，易求得期望值；（2）2X 只取两个值：2和-1.2，列出分布列，可得期望；（3）投资一的盈利期望为11(0.08)0.08()E X E X =，211(0.08)0.08()D X D X =，再计算出2()D X ，然后分类，12(0.08)()E X E X =时比较1(0.08)D X 和2()D X ，12(0.08)()E X E X >，12(0.08)()E X E X <．先盈利大的，盈利相同时选稳定的．【典例5】某城市有东、西、南、北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵，交警部门记录了11月份30天内的拥堵情况（如下表所示，其中●表示拥堵，○表示通畅）.假设每个人口是否发生拥堵相互独立，将各入口在这30天内拥堵的频率代替各入口每天拥堵的概率.11.111.211.311.411.511.611.711.811.911.1011.1111.1211.1311.1411.15东入口●○○○○●○●●○●●●○●西入口○○●●○●○●○●○●●○○南入口○●○○○●○○○○○○○○●北入口●○○○●○○●○○○○○●○11.1611.1711.1811.1911.2011.2111.2211.2311.2411.2511.2611.2711.2811.2911.30东入口●○○●○○○●●○●○●○●西入口●○●●○●○●○●○●○●○南入口○○○●○○○○●○○○○○●北入口○○●○○○○○○○○○○●○（1）分别求该城市一天中早高峰时间段这四个主干道的入口发生拥堵的概率.（2）各人口一旦出现拥堵就需要交通协管员来疏通，聘请交通协管员有以下两种方案可供选择.方案一：四个主干道入口在早高峰时间段每天各聘请一位交通协管员，聘请每位交通协管员的日费用为m（135175m <<，且140m ≠）元.方案二：在早高峰时间段若某主干道入口发生拥堵，交警部门则需临时调派两位交通协管员协助疏通交通，调派后当日需给每位交通协管员的费用为200元.以四个主干道入口聘请交通协管员的日总费用的数学期望为依据，你认为在这两个方案中应该如何选择？请说明理由.【思路引导】（1）根据所给数据利用古典概型的概率公式计算可得.（2）计算出方案二聘请交通协管员的日总费的期望值，结合方案一比较分析.【典例6】某市房管局为了了解该市市民2018年1月至2019年1月期间买二手房情况，首先随机抽样其中200名购房者，并对其购房面积m （单位：平方米，60130m ≤≤）进行了一次调查统计，制成了如图1所示的频率分布直方图，接着调查了该市2018年1月至2019年1月期间当月在售二手房均价y （单位：万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码113-分别对应2018年1月至2019年1月）.（1）试估计该市市民的购房面积的中位数0m ；（2）从该市2018年1月至2019年1月期间所有购买二手房中的市民中任取3人，用频率估计概率，记这3人购房面积不低于100平方米的人数为X ，求X 的数学期望；（3）根据散点图选择 =+y a 和 ln y cd x =+ 两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为 0.9369y =+0.95540.0306ln y x =+，并得到一些统计量的值如下表所示：请利用相关指数2R 判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测出2019年12月份的二手房购房均价（精确到0.001）（参考数据）ln 20.69≈，ln 3 1.10≈，ln 23 3.14≈，ln 25 3.22≈141≈ 1.73≈ 4.80≈.（参考公式） ()()221211==-=--∑∑ni ii n ii y y R y y .【思路引导】（1）利用中位数两边矩形面积之和均为0.5可计算出中位数的值；（2）由题意可知，()~3,0.4X B ，然后利用二项分布的期望公式求出()E X 的值；（3）计算出两个回归模型的相关指数，选择相关指数较大的回归模型较好，然后将2019年12月份对应的代码24代入回归方程可求出2019年12月份的二手房购房均价的估计值.1.某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响．（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；（2）试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．2.某服装加工厂为了提高市场竞争力，对其中一台生产设备提出了甲、乙两个改进方案：甲方案是引进一台新的生产设备，需一次性投资1000万元，年生产能力为30万件；乙方案是将原来的设备进行升级改造，需一次性投入700万元，年生产能力为20万件.根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，无论是引进新生产设备还是改造原有的生产设备，设备的使用年限均为6年，该产品的销售利润为15元/件（不含一次性设备改进投资费用）.（1）根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立.①根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万元的概率：②若以该生产设备6年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该服装厂应选择哪个方案.（6年的净利润=6年销售利润-设备改进投资费用）3.某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为13.（1）求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；（2）为提高生产效益，该企业决定招聘名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修.已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元.此外，统计表明，每月在不出故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润，以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在1n =与2n =之中选其一，应选用哪个？（实际获利=生产线创造利润-维修工人工资）4.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？5.高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统计,在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了解乘客出行的满意度,现从中随机抽取100人次作为样本,得到下表(单位:人次):老年人中年人青年人满意度乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机10分(满意)1212022015分(一般)2362490分(不满意)106344（1）在样本中任取1个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;（2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取2人次,记其中老年人出行的人次为X.以频率作为概率,求X的分布列和数学期望;（3）如果甲将要从A市出发到B市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机?并说明理由.6.有两种理财产品A 和B ，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：产品A ：投资结果获利50%不赔不赚亏损30%概率1351214产品B ：投资结果获利40%不赔不赚亏损30%概率p13q注：0p >，0q >（1）若甲、乙两人分别选择了产品,A B 投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于34，求实数p 的取值范围；（2）若丙要将20万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种产品投资较为理想.7.某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.（1）若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：个，n N）的函数解析式；（2）烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量（单位：个），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列与数学期望及方差；②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工16个还是17个？请说明理由.参考答案【典例1】解：（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ,则1q p =-.所以k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为k q ,呈阳性反应的概率为1k q -.依题意可知11,1X k k =+,所以X 的分布列为：X1k 11k+Pkq 1kq -（2）方案②中.结合（1）知每个人的平均化验次数为：()111()111k k k E x q q q k k k ⎛⎫=⋅++⋅-=-+ ⎪⎝⎭,所以当2k =时,21()0.910.692E X =-+=,此时960人需要化验的总次数为662次,3k =时,31()0.910.60433E X =-+=,此时960人需要化验的总次数为580次,4k =时,41()0.910.59394E X =-+=,此时960人需要化验的次数总为570次,即2k =时化验次数最多,3k =时次数居中,4k =时化验次数最少而采用方案①则需化验960次,故在这三种分组情况下,相比方案①,当4k =时化验次数最多可以平均减少960570390-=次.【典例2】解：（1）由题知，按分层抽样抽取的5件产品中有2件为二级品，记为a ，b ，有3件为一级品，记为x ，y ，z ，从5件产品中任取3件共有10种取法，枚举如下：(,,)a b x ，(,,)a b y ，(,,)a b z ，(,,)a x y ，(,,)a x z ，(,,)a y z ，(,,)b x y ，(,,)b x z ，(,,)b y z ，(,,)x y z 其中恰好取到1件二级品共有6种取法，所以恰好取到1件二级品的概率为63105=.（2）由题知A 配方生产的产品平均利润率22(1030)5(4020)()20.6100t tE A t t +⨯++==+，B 配方生产的产品平均利润率2225(1015)5(3040)() 1.30.7100t t tE B t t ++⨯++⨯==+，所以2()()0.70.10.1(71)E A E B t t t t -=-=-，因为107t <<，所以()()E A E B <，所以投资B 配方的产品平均利润率较大.【典例3】解：（1）①完成表格如下:灾害天气天数x (天)23458棉花产量y (吨/公顷)3.22.42 1.9 1.7模型甲估计值(1)ˆi y3.1 2.4 2.11.9 1.6残差(1)ˆi e0.10.1-00.1模型乙估计值(2)ˆi y3.2 2.321.9 1.7残差(2)ˆi e0.1000②计算模型甲的残差平方和为22210.1(0.1)0.10.03Q =+-+=，模型乙的残差平方和为220.10.01Q ==，∴12Q Q >，模型乙的拟合效果更好.（2）设今年棉花的单位产量为X 吨公顷，则X 的分布列如下表:X1.78 1.73 1.66P0.50.40.1于是() 1.780.5 1.730.4 1.660.10.890.6920.166 1.75E X =⨯+⨯+⨯=++≈，所以何女士今年棉花的产量大约是1.751526.25⨯=吨【典例4】（1）解：由题意1~(20,)X B p 则盈利的天坑院数的均值()120E X p =.（2）若投资项目二，则2X 的分布列为2X 2-1.2P P1p-盈利的均值()22 1.2(1) 3.2 1.2E X p p p =--=-.（3）若盈利，则每个天坑院盈利0.240%0.08⨯=（百万元），所以投资建设20个天坑院，盈利的均值为()10.08E X ()10.08E X =0.0820p =⨯ 1.6p =（百万元）.()()2110.080.08D X D X =20.0820(1)p p =⨯-0.128(1)p p =-()222(2 3.2 1.2)(1.2 3.2 1.2)(1)D X p p p p =-++--+-10.24(1)p p =-①当()()120.08E X E X =时，1.6 3.2 1.2p p =-，解得34p =.()()120.08D X D X <.故选择项目一.②当()()120.08E X E X >时，1.6 3.2 1.2p p >-，解得304p <<.此时选择项一.③当()()120.08E X E X <时，1.6 3.2 1.2p p <-，解得34p >.此时选择项二.【典例5】解：（1）将东、西、南、北四个主干道入口发生拥堵的情况分别记为事件A ，B ，C ，D ，则()()151302P A P B ===，()()61305P C P D ===.（2）对于方案二，设四个主干道聘请交通协管员的日总费用为X ，则X 的可能取值为0，400，800，1200，1600.()22111601125100P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2211111140400112112225255100P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-⨯+-⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22222141414433800112212525255100P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯+⨯-+⨯⨯⨯-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()221111111012001212255225100P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯+-⨯⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22111160025100P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()164033101040080012001600560100100100100100E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元.对于方案一，四个主干道聘请交通协管员的日总费用为4m 元，当135140m <<时，4560m <，应该选择方案一；当140175m <<时，4560m >，应该选择方案二.【典例6】解：（1）由频率分布直方图，可得，前三组频率和为0.050.10.20.35++=，前四组频率和为0.050.10.20250.6+++=，故中位数出现在第四组，且00.159010960.25m =+⨯=；（2）由频率分布直方图，可得每一位市民购房面积不低于100平方米的概率为0.20.150.050.4++=，那么由题意则知()~3,0.4X B ，从而可得所求期望为()30.4 1.2=⨯=E X ；（3）设模型0.9369y =+ 0.9550.0306ln =+y x 的相关指数分别为21R ，22R ，则210.00059110.006050R =-，220.00016410.006050R =-，显然2212R R <.故模型 0.95540.0306ln y x =+的拟合效果更好.由2019年12月份对应的代码为24，则 ()0.95540.0306ln 240.95540.03063ln 2ln 3 1.052=+=++≈y 万元/平方米.1.解：（Ⅰ）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ，η，则ξ的取值分别为1、2、3，η的取值分别,0、1、2、3，122130424242333666131(1),(2),(3)555C C C C C C P P P C C C ξξξ=========所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：ξ123P153515131()1232555E ξ=⋅+⋅+⋅=因为2~(3,)3B η,所以考生乙正确完成实验操作的题数的概率分布列为：η0123P127627122782716128()0123227272727E η=⋅+⋅+⋅+⋅=（Ⅱ）因为31412820(2),(2)555272727P P ξη≥=+=≥=+=所以(2)(2)P P ξη≥>≥从做对题的数学期望考察，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，因此可以判断甲的实验操作能力较强．2.【思路引导】（1）利用小矩形的中点乘以小矩形的面积之和，从而求得平均数；（2）①由题意得只有当年销售量不低于18万件时年销售利润才不低于270万，再从频率分布直方图中，估计年销售利润不低于270万的概率；②分别计算两种方案6年的净利润的期望值，再比较大小，从而得到结论。