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勾股定理复习1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.2.勾股定理的应用.3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.重点：掌握勾股定理及其逆定理.难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.一、勾股定理：___________________________________在Rt△ABC中，∠C=90°，则有________________【例1】在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则c= ；若b=8，c=17，则a=_______；【变式1-1】如图1，等腰△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，则BC边上的高AD=_______.【变式1-2】如图2：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是米.【变式1-3】一根旗杆在离地面9 m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m的地面上，旗杆在折断之前高度为.【变式1-4】一直角三角形两条边长分别是12和5，则第三边平方为.二、勾股定理逆定理_____________________________________ 【例2】下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( ) A. 1.5,2,3; B. 7,24,25; C. 6,8,10; D. 9,12,15.【变式2-1】将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A. 钝角三角形; B.锐角三角形; C. 直角三角形; D. 等腰三角形.【变式2-2】在△ABC 中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是 .三、最短距离问题：主要运用的依据是______________________________【例3】如右图，有一长70cm ，宽50cm ，高50cm 的长方体盒子，A 点处有一只蚂蚁，想吃到B 点处的食物，它爬行的最近距离是 厘米..【变式3-1】如图,一个无盖的圆柱纸盒：高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃,要爬行的最短路程(取3)是( )A.20cm;B.10cm;C.14cm;D.无法确定.四、本章注意事项勾股定理是平面几何中的重要定理，其应用极其广泛，在应用勾股定理时，要注意以下几点：1、要注意正确使用勾股定理例1 在Rt △ABC 中，∠B =Rt ∠，a=1，b =，求c ．2、要注意定理存在的条件例2 在边长为整数的△ABC 中，AB >AC ，如果AC=4，BC =3，求AB 的长． 3、要注意原定理与逆定理的区别π例3 如图1，在△ABC 中，AD 是高，且2AD BD CD =•，求证：△ABC 为直角三角形．4、要注意防止漏解例4 在Rt △ABC 中，a =3，b =4，求c ． 5、要注意正逆合用在解题中，我们常将勾股定理及其逆定理结合起来使用，一个是性质，一个是判定，真所谓珠联壁合．当然在具体运用时，到底是先用性质，还是先用判定，要视具体情况而言． 例5 在△ABC 中，D 为BC 边上的点，已知AB =13，AD =12，AC =15，BD =5，那么DC =_________．6、要注意创造条件应用例6 如图3，在△ABC 中，∠C =90°，D 是AB 的中点，DE ⊥DE ，DE 、D F 分别交AC 、BC 、于E 、F ，求证：222EF AE BF =+一.选择题1. 在△中，若，则△ABC 是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形 2. 如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则△ABC 的度数为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°3．下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A ．三内角之比为1：2：3 B.三边长的平方之比为1：2：3 C ．三边长之比为3：4：5D.三内角之比为3：4：54．如图，一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，A 、B 处距河岸的距离AC 、BD 的长分别为500m 和700m ，且C 、D 两地的距离为500m ，天黑前牧童从A 点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（ ）ABC 1,2,122+==-=n c n b naA ．2900mB ．1200mC ． 1300mD ． 1700m5. 直角三角形的两条直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是（ ）A ．ab =h 2B ．a 2+b 2=h 2C ．D ．6．如图，Rt△ABC 中，△C ＝90°，CD △AB 于点D ，AB ＝13，CD ＝6，则(AC ＋BC )2等于( )A.25B.325C.2197D.4057. 已知三角形的三边长为，由下列条件能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D.8. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，△BAC =90°，AB =3，AC =4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（ ）111a b h +=222111a b h +=a b c 、、()()2222221,4,1a m b m c m =-==+()()222221,4,1a m b m c m =-==+()()222221,2,1a m b m c m =-==+()()2222221,2,1a m b m c m =-==+A ． 90B ．100 C ．110 D ．121二.填空题9. 如图，AB ＝5，AC ＝3，BC 边上的中线AD ＝2，则△ABC 的面积为______．10．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB ＝6，BC ＝8，将直角边AB 折叠使它落在斜边AC 上，折痕为AD ，则BD ＝______．11．已知：△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，BC 边上的高AD ＝12，BC ＝_______．12．如图，E 是边长为4cm 的正方形ABCD 的边AB 上一点，且AE =1cm ，P 为对角线BD 上的任意一点，则AP +EP 的最小值是 cm ．13．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和2cm ，高为4cm ，点P 在边BC 上，且BP =BC ．如果用一根细线从点A 开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P ，那么所用细线最短需要 cm ．1414．小明把一根70cm 长的木棒放到一个长宽高分别为30cm ，40cm ，50cm 的木箱中，他能放进去吗？答： （选填“能”或“不能”）．15. 已知长方形OABC ，点A 、C 的坐标分别为OA =10，OC =4，点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，CP 的长为________．16. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝13，BC 边上的中线AD ＝6，△BAD ＝________.三.解答题17.如图所示，已知D 、E 、F 分别是△ABC 中BC 、AB 、AC 边上的点，且AE ＝AF ，BE ＝BD ，CF ＝CD ，AB ＝4，AC ＝3，，求：△ABC 的面积．18．如图等腰△ABC 的底边长为8cm ，腰长为5cm ，一个动点P 在底边上从B 向C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究，当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线P A 与腰垂直．32BD CD。
《勾股定理》小结与复习资料一．知识点：1. 勾股定理及逆定理①勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 ，斜边为 ，那么 __ 。
直角三角形2+b 2=c 2 (数)（形）公式的变形：（1）c 2= , c= ;（2）a 2= , a= ;（3）b 2= , b= ; ②勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足 ___ ，那么这个三角形是 __ ．a 2+b 2=c 2 (数直角三角形 注：（1依据；（2）勾股定理的逆定理主要的应用是把数转化为形，通过计算三角形三边之间的关系来判断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角形的判定依据．利用勾股定理逆定理证明三角形是否是直角三角形的步骤：①先判断哪条边最大；②分别用代数法计算 a 2+b 2 和c 2 的值；③判断a 2+b 2和 c 2 是否相等。
若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。
2、勾股数满足a 2 + b 2= c 2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数如下：3、互逆命题和互逆定理互逆命题:两个命题中，如果第一个命题的 恰为第二个命题的 ，而第一个命题的 恰为第二个命题的 ，像这样的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ．互逆定理:一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是 ，那么它也是一个 ，称这两个定理互为 ，其中一个叫做另一个的逆定理.4、勾股定理的应用（最短路线、梯子下滑、船在水中航行等）5、常见平方数：121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162=289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222=529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272=《勾股定理题型分类》题型一：直接考查勾股定理：直角三角形中，若a, b 分别为直角边，c 为斜边，那么直角三角形三边的关系为 a 2 +b 2 =c 2注意：直角三角形中，最长的边为斜边，较短的两边为直角边1、如图1中,64、400分别为所在正方形的面积，则图中A 字母所代表的正方形面积是2、 如图4，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
第十八章 勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2=c 2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
2.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
3.如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如：C ，但不要认为最大边一定是C ）（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2=a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形。
（若c 2>a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为钝角的三角形，若c 2<a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为锐角三角形）4.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（例：勾股定理与勾股定理逆定理）例1 直角三角形两直角边长为5，12，求斜边上的高.分析 利用勾股定理先求斜边，再用面积公式求斜边的高.解 设直角边a=5,b=12,斜边为c ，斜边高为h,∵a 2+b 2=c 2.∴c=22125+=13.又21ab=21ch ∴h=136013125=⨯=c ab . 例2 直角三角形三边长为连续偶数，求三边的长.分析 三边长为连续偶数，可分别设为a,a+2,a+4，显然a+4为斜边，再利用勾股定理列方程.注意a 为偶数.若求出的结论中a 可以取奇数值，则舍去.解 设三边长为a,a+2,a+4(a 为偶数且a ＞0),斜边最长为a+4.由勾股定理a 2+(a+2)2=(a+4)2 a 2-4a-12=0.(a-6)(a+2)=0 ∵a ＞0 ∴a+2＞0,a-6=0 a=6.三边为6,8,10.例3 等腰三角形顶角为120°,求底与腰的比.(图3.16-1)分析 合理的作高，将斜三角形的问题转化到直角三角形中，再利用勾股定理来解决问题是一种常用的方法，也是本题的基本思路.解 △ABC 中，AB=AC ∠BAC=120°,求ABBC .∵AB=AC ，∠BAC=120° ∴∠B=∠C=30°，作AD ⊥BC 于D ，∴BD=DC.Rt △ABD中，∠B=30°，∠ADB=90°, ∴AD=21AB. BD 2=AB 2-AD 2=AB 2-41AB 2=43AB 2 ∴BD=23AB,BC=3AB,∴3=AB BC . 例4 已知CD 为Rt △ABC 斜边上的高(图3.16-2)，求证(1)CD 2=AD ·DB(2)AC 2=AD ·AB (3)BC 2=BD ·AB分析 本题中有三个直角三角形Rt △ACD,Rt △BCD ，Rt △ABC,合理利用这些直角三角形，用勾股定理建立边的关系，再利用代数变形得结论是本题的基本思路.证 (1)∵CD 为Rt △ABC 斜边上的高.∴△ACD ，△BCD 均为直角三角形∴AD 2+CD 2=AC 2 ① BD 2+CD 2=BC 2 ②①+② AD 2+BD 2+2CD 2=AC 2+BC 2=AB 2=(AD+DB)2=AD 2+BD 2+2AD ·BD.∴2CD 2=2AD ·BD ∴CD 2=AD ·BD.(2)∵AC 2=AD 2+CD 2 由(1)CD 2=AD ·DB.∴AC 2=AD 2+AD ·DB=AD(AD+DB)=AD ·AB.(3)BC 2=BD 2+CD 2 由(1)CD 2=AD ·DB∴BC 2=BD 2+AD ·BD=(BD+AD)·BD=AB ·BD.注:本例的三个结论又称“射影定理”例5：已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
专题复习 勾股定理（郑默言）本章常用知识点：1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。
如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为： 。
2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个 ，称为勾股数。
常见勾股数如下：3、常见平方数：121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162=289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222= 529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272=专题一、勾股定理与面积1、、在Rt ▲ABC 中，∠C=︒90,a=5,c=3.，则Rt ▲ABC 的面积S= 。
2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为：3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为4、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4， 则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于 。
5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是。
6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足：a2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为 。
7、如图，︒=∠90ACB ，BC=8,AB=10,CD 是斜边的高，求CD 的长？l321S 4S 3S 2S 18、如下图，在∆ABC 中，︒=∠90ABC ，AB=8cm ，BC=15cm ，P 是到∆ABC 三边距离相等的点，求点P 到∆ABC 三边的距离。
9、如右图：在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求四边形ABCD 的面积。
10、如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3 .(1) 如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，那么S 1、S 2、S 3之间有什么关系？(不必证明)(2) 如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明；(3) 若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你猜想S 1、S 2、S 3之间的关系?.专题二、勾股定理与折叠1、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长。
初二数学 勾股定理复习一、知识点： 1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
数学式子：∠C=900⇒222a b c +=2、神秘的数组(勾股定理的逆定理)：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形. 数学式子：222a b c +=⇒∠C=900满足a 2＋b 2＝c 2三个数a 、b 、c 叫做勾股数。
要点回顾【知识点 1】 勾股定理内容： 〖基础回顾〗1、 在Rt △ABC 中， a ，b ，c 分别是三条边，∠C =90°，已知,a b 则c = ； 已知,a c 则b = 。
2、在Rt △ABC 中， a ，b ，c 分别是三条边，∠B =90°，已知a =6，b =10，则c= 。
3、在ABC Rt ∆中，,4,3cm b cm a == 则=c 。
4、在Rt △ABC 中，已知两边长分别是6和8，则其面积为 。
【知识点 2】 勾股数 回忆常见的勾股数 〖基础回顾〗1、下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A ．72425a b c === B ． 1.52 2.5a b c === C ．111345a b c === D ．15817a b c === 2、、判断a 、b 、c 是否是勾股数。
（1）a=7，b=24，c=25 （2）a=5，b=13，c=12 （3）a=4，b=5，c=6 ⑷Aa【知识点 3】定理与逆定理的应用 〖基础回顾〗1、三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是 。
2、已知a 、b 、c 为三个正整数，如果a +b +c =12，那么以a 、b 、c 为边能组成的三角形是：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形；④钝角三角形．以上符合条件的正确结论是______．3、在△ABC 中， AB=15，AD=12，BD=9,AC=13,求△ABC 的周长和面积。
勾股定理中考章节复习(知识点+经典题型分析总结)【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
⑹ 证明的一般步骤① 根据题意，画出图形。
② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
AB C a b c 弦股勾A BD 5.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
勾 股 定 理一、考点点津1、勾股定理（1） 定理：直角三角形两条直角边b a 、 的平方和等于斜边c 的平方：222c b a =+（2）逆定理：假如三角形的三边长有下面关系：222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形．2、直角三角形（1）定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形．（2）性质：①直角三角形的两个锐角互余．②直角三角形中，假如一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． ③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．二、例题解析例1： 如图, 四边形ABCD 中, ∠A ＝60°, ∠B ＝∠D ＝90°, AB ＝10, CD ＝6, 求S A BCD .例2： △ABC 中, ∠BAC ＝90°, ∠C ＝30°, AD 平分∠BAC 交BC 于D, AB ＝AB ＝3＋1求CD 的长.例3：一架长2.5m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m ，假如梯子的 顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯子底端将向左滑动多少米？例4：如图，等腰ABC 底边长为8cm ，腰长为5cm ，一动点P 在底边上从B 向C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究：当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线PA 与腰垂直.例5： △ACD 中, AD ＝4, CD ＝3,(1) 如图1,若∠ADC ＝30°, 以AC 为边向外作等边△ACB, 求DB 的长;(2) 如图2,若∠ADC ＝45°, 以AC 为边向外作等腰Rt △ACB, 其中∠CAB ＝90°, 求BD 的长.三、课后精炼1、如图，△ABC 中, AC ＝15, AB ＝14, BC ＝13, CD 是高, 求 CD 的长及S △ABC..2、把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ， （1）重叠局部△DEF 的面积是多少cm2?（2）求EF 的长。
专题复习一 勾股定理本章常用知识点：1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。
如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为： 。
2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个 ，称为勾股数。
常见勾股数如下：3、常见平方数：121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162=289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222= 529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272=专题归类：专题一、勾股定理与面积1、、在Rt ▲ABC 中，∠C=︒90,a=5,c=3.，则Rt ▲ABC 的面积S= 。
2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为： 。
3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为4、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4， 则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于 。
5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是 。
6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足：a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为 。
7、如图1，︒=∠90ACB ，BC=8,AB=10,CD 是斜边的高，求CD 的长？7、如下图，在∆ABC 中，︒=∠90ABC ，AB=8cm ，BC=15cm ，P 是到∆ABC 三边距离相等的点，求点P 到∆ABC 三边的距离。
8、有一块土地形状如图3所示，︒=∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积。
（添加辅助线构造直角三角形）9、如右图：在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求四边形ABCD 的面积。
第十八章 勾股定理一、本章知识结构图：二、主要内容：1、直角三角形的性质与判定小结（1）直角三角形的性质：角的关系：直角三角形两锐角互余。
边的关系：直角三角形斜边大于直角边。
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
边角关系：直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。
（2）直角三角形的判定： ①有一个角是直角的三角形是直角三角形。
②有两个角互余的三角形是直角三角形。
③两边的平方和等于第三边（最长的边）的平方的三角形是直角三角形。
2、已知直角三角形的两边长，会求第三边长。
设直角三角形的两直角边为a,b,斜边长为c ，由勾股定理知道：222c b a =+。
变形得：222222,,b a c a c b b c a +=-=-=，因此已知直角三角形的任意两边，利用勾股定理可求出第三条边。
3、已知一边和其它两边关系或已知三边关系，利用勾股定理列方程。
4、用勾股定理证明有关平方关系，作长为n 的线段。
5、当直角三角形中含有30°与45°角时，已知一边，会求其它的边：（1）含有30°的直角三角形的三边的比为：1：2:3。
（2）含有45°的直角三角形的三边的比为：2:1:1。
（3）等边三角形的边长为a ，则高为23a ，面积为243a 。
6、无论是用勾股定理还是逆定理首先要找最长边，同时注意书写格式。
7、记一些常用的勾股数。
如：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41等等。
它们同时乘以一个正数，仍满足勾股定理的逆定理。
三、例题与习题：1. 在△ABC 中,∠A=90°,则下列式子中不成立的是（ ）. A.222AC AB BC += B. 222BC AC AB +=C. 222AC BC AB -= D.222AB BC AC -=.2．已知ABC △的三边长分别为5，13，12，则ABC △的面积为（ ） A ．30 B ．60 C ．78 D ．不能确定 3．△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列命题中的假命题是（ ）（A ）如果∠C －∠B=∠A ，则△ABC 是直角三角形（B ）如果c 2= b 2—a 2，则△ABC 是直角三角形，且∠C=90°（C ）如果（c ＋a ）（c －a ）=b 2，则△ABC 是直角三角形（D ）如果∠A ：∠B ：∠C=5：2：3，则△ABC 是直角三角形4. 适合下列条件的三角形ABC 中，直角三角形的个数为（ ）.①;51,41,31===c b a ②a=b,∠A=45°;③∠A=32°,∠B=58°;④a=7,b=24,c=25; ⑤a=2.5,b=2,c=3.A.2个B.3个C.4个D.5个5． 已知a 、b 、c 为三个正整数，如果a+b+c=12，那么以a 、b 、c 为边能组成的三角形是：①腰和底不等的等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形；④钝角三角形．以上符合条件的正确结论是___________________．（只填序号）6．利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 ．7．图7-1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若6AC =，A B C 图7-1 图7-2 第6题图5BC =，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图7-2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ． 8．如图，四边形ABCD ，EFGH ，NHMC 都是正方形，边长分别为a b c ，，；A B N E F ，，，，五点在同一直线上，则c = （用含有a b ，的代数式表示）．9.如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC ＋∠BCD ＝90°，且DC ＝2AB ，分别以DA 、AB 、BC 为边向梯形外作正方形，其面积分别为1S 、2S 、3S ，则1S 、2S 、3S 之间的关系是 。
10．在直角坐标系xOy 中，点),4(y P 在第一象限内，且OP 与x 轴正半轴的夹角为60，则y 的值是（ ）A ．334B ．34C ．8D ．211． 已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为 ． 12.直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，则其斜边上的高为（ ）.A.cm 1380 B.13cm C.6cm D.cm 1360 13.边长为a 的正三角形的面积等于____________.14．已知等边三角形ABC的边长为3ABC △的周长是_________，面积是___________． 15．如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ）．（A ）3cm （B ）4cm （C ）5cm （D ）6cm16．如图，矩形纸片ABCD 中，AD =9，AB =3，将其折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，那么折痕EF 的长为________．17．如图，在平面直角坐标系中，OABC 是正方形，点A 的坐标是(4，0)，点P 为边AB 上一点，∠CPB ＝60°，沿CP 折叠正方形，折叠后，点B 落在平面内点B ’处，则B ’点的坐标为（ ）．A 、(2，32) B 、(23，32-) C 、(2，324-) D 、(23，324-)18．如图，一束光线从y 轴上点A （0，1）发出，经过x 轴上点C 反射后，经过点B （6，2），则光线从A 点到B 点经过的路线的长度为 ．（用根号表示）19．如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM +PN 的最小值是_____________．20．如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到环海路的距离PC ＝ 米（用根号表示）．21．如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA ＝OB ＝1，则第n 个等腰直角三角形的面积S n ＝________。
22.如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位：㎝)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13㎝， 小孔到图中边AB 距离为1㎝，到上盖中与AB 相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h ㎝，则h 的最小值大约为_________㎝.（精确到个位，参考数2.2≈≈≈）23．如图，有一圆柱体，它的高为20cm ，底面半径为7cm ．在圆柱的下底面A 点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是 _______________cm （结果用带根号和π的式子表示）．24．如图，两个高度相等且底面直径之比为1∶2的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把第19题图DA BPMNB第23题图第24题图 a D C B McN E Fb G H （第8题）（第9题图）A B105 6吸管(第22题图)C （第20题）B 1B 2A 1AO B第21题图 第15题图C ’ A FD B C第16题图E第18题图甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P 的距离是（ ）A． B ．6cm C ．8cm D ．10cm25．如图，ABCD 是矩形纸片，翻折∠B 、∠D ，使BC 、AD 恰好落在AC 上．设F 、H 分别是B 、D 落在AC 上的两点，E 、G 分别是折痕CE 、AG 与AB 、CD 的交点．(1)求证：四边形AECG 是平行四边形；(2)若AB ＝4cm ，BC ＝3cm ，求线段EF 的长．26．某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A 、B 两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A 地北偏东45°、B 地北偏西60°方向上有一牧民区C ．一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案I ：从A 地开车沿公路到离牧民区C 最近的D 处，再开车穿越草地沿DC 方向到牧民区C ．方案II ：从A 地开车穿越草地沿AC 方向到牧民区C ． 已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍． （1）求牧民区到公路的最短距离CD ．（2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由．（结果精确到0.11.731.41）27.已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=90o ，AB =3，BC =4，CD =7，AD =8.求这个四边形的面积.28.一块四边形的草地ABCD ,其中∠A =60°,∠B =∠D =90°,AB =20m,CD =10m,求这块草地的面积.29．已知：CD 是ΔABC 的高，且有DB AD CD ⋅=2，求证：ΔABC 是直角三角形。
30.在ΔABC 中，AB=15,AC=13,高AD=12,求ΔABC 的周长。
31．在一平直河岸l 同侧有A B ，两个村庄，A B ，到l 的距离分别是3km 和2km ，km AB a =(1)a >．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为1d ，且1(km)d PB BA =+（其中BP l ⊥于点P ）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为2d ，且2(km)d PA PB =+（其中点A '与点A 关于l 对称，A B '与l 交于点P ）．观察计算（1）在方案一中，1d = km （用含a 的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算2d 的长，作了如图31-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，2d = km （用含a 的式子表示）． 探索归纳（1）①当4a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）； ②当6a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）；图31-1 图31-2图31-3A B C D E F G H A DＢ 北东第26题图B CD A 第27题图（2）请你参考右边方框中 的方法指导，就a （当1a >时）的所有取值情况进行分析， 要使铺设的管道长度较短， 应选择方案一还是方案二？33．如图①，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ． （1）求证：CE ＝CF ；（2）在图①中，若G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？ （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图②，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝12，E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝4，求DE 的长．34．如图，矩形纸片ABCD 中，8AB =，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 的E 点上，折痕的一端G 点在边BC 上，10BG =．（1）当折痕的另一端F 在AB 边上时，如图（1），求EFG △的面积；（2）当折痕的另一端F 在AD 边上时，如图（2），证明四边形BGEF 为菱形，并求出折痕GF 的长．35.正方形ABCD 的边长为４，BE ∥AC 交DC 的延长线于E 。
