【三维设计】人教A版数学选修2-3全册练习：2.4 正态分布(含答案解析)

绝密★启用前人教版选修2-3 课时2.4 正态分布一、选择题1．【题文】正态分布密度函数为φμ，σ(x )＝28e 8πx -，x ∈(－∞，＋∞)，则总体的平均数和标准差分别是( )A ．0和8B ．0和4C ．0和2D ．0和22．【题文】某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的分布可视为正态分布，如图所示，则下列说法中正确的一个是( )A ．乙科总体的标准差及平均数不相同B ．甲、乙、丙三科的总体的平均数不相同C ．丙科总体的平均数最小D ．甲科总体的标准差最小3．【题文】若随机变量ξ的密度函数为()222πx f x -=，ξ在(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p 1、p 2，则p 1、p 2的关系为( )A ．p 1＞p 2B ．p 1＜p 2C ．p 1＝p 2D ．不确定4．【题文】随机变量X ～N (μ，σ2)，则Y ＝aX ＋b 服从( )A ．N (aμ，σ2)B ．N (0,1)C ．N (aμ，2b σ) D ．N (aμ＋b ，a 2σ2)5．【题文】随机变量ξ～N (2,100)，若ξ落在区间(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等的，则k 等于( ) A ．2B ．10 C. 2 D ．可以是任意实数6．【题文】已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( )A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.9777．【题文】以φ(x )表示标准正态总体在区间(－∞，x )内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布(μ，σ2)，则概率P (|ξ－μ|<σ)等于( )A ．φ(μ＋σ)－φ(μ－σ)B ．φ(1)－φ(－1)C ．1μϕσ-⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2φ(μ＋σ)8．【题文】已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X ～N (110,52)，据此估计，大约应有57人的分数区间为( )A ．(90,110]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115]二、填空题9．【题文】已知X ～N (1.4,0.052)，则X 落在区间(1.35,1.45)中的概率为__________．10．【题文】某次考试成绩X ～N (a ,52)，随机抽查了10位同学的成绩，其平均值为72.5，标准差为5.3，则a 的估计值为________．11．【题文】若随机变量X 的概率密度函数是()()()22822πx f x x +-=∈R ，则()21E X -＝________.三、解答题12．【题文】某砖瓦厂生产的砖的“抗断强度”X服从正态分布N(30,0.82)，质检人员从该厂某一天生产的1 000块砖中随机抽查一块，测得它的抗断强度为27.5kg/cm2，你认为该厂这一天生产的这批砖是否合格？为什么？13．【题文】已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如图．(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；(2)求此地农民工年均收入在8000～8500之间的人数百分比．14.【题文】某人乘车从A地到B地，所需时间（分钟）服从正态分布N（30，100），求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率.人教版选修2-3 课时2.4 正态分布参考答案与解析一、选择题 1． 【答案】C【解析】根据正态分布密度曲线()()222,x x μσμσϕ--=知μ＝0，σ＝2.故选C.考点：正态分布的曲线. 【题型】选择题 【难度】较易 2． 【答案】D【解析】由图象知甲、乙、丙三科的平均分一样，但标准差不同，σ甲<σ乙<σ丙． 考点：正态分布的曲线. 【题型】选择题 【难度】较易 3． 【答案】C【解析】由题意知，μ＝0，σ＝1，所以曲线关于x ＝0对称，所以p 1＝p 2.故选C. 考点：正态分布. 【题型】选择题 【难度】较易 4． 【答案】D【解析】由X ～N (μ，σ2)知E (X )＝μ，D (X )＝σ2，∴E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ＝aμ＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )＝(aσ)2，从而Y ～N (aμ＋b ，a 2σ2). 考点：正态分布. 【题型】选择题 【难度】一般5． 【答案】A【解析】由于ξ的取值落在(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x ＝k 的左侧和右侧与x 轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x ＝k 对称，即μ＝k ，而μ＝2，∴k ＝2. 考点：正态分布. 【题型】选择题 【难度】一般 6． 【答案】C【解析】∵P (ξ>2)＝0.023，∴P (ξ<－2)＝0.023，故P (－2≤ξ≤2)＝1－P (ξ>2)－P (ξ<－2)＝0.954. 考点：正态分布. 【题型】选择题 【难度】一般 7． 【答案】B 【解析】设ξμησ-=，则P (|ξ－μ|<σ)＝P (|η|<1)＝φ(1)－φ(－1)． 考点：正态分布.【题型】选择题【难度】一般8．【答案】C【解析】由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.682 6，0.954 4，0.997 4.由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是60×0.682 6≈41人，60×0.9544≈57人，60×0.997 4≈60人．故选C.考点：正态分布.【题型】选择题【难度】一般二、填空题9．【答案】0.682 6【解析】因为μ＝1.4，σ＝0.05，所以X落在区间(1.35，1.45)中的概率为P(1.4－0.05<X≤1.4＋0.05)＝0.682 6.考点：正态分布.【题型】填空题【难度】较易10．【答案】72.5【解析】某次考试成绩X～N(a,52)，a即为正态分布的数学期望，而随机抽查了10位同学的成绩其平均值为72.5，用此样本平均值来估计a的值，故a＝72.5.考点：正态分布.【题型】填空题【难度】较易11．【答案】－5【解析】由概率密度函数解析式可知其图象的对称轴是直线x＝－2，可得μ＝－2，即E(X)＝－2，因此E(2X－1)＝2E(X)－1＝－5.考点：正态分布.【题型】填空题【难度】一般三、解答题12．【答案】略【解析】由于在一次试验中X落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率约99.7%，故X 几乎必然落在上述区间内．把μ＝30，σ＝0.8代入，得μ－3σ＝30－3×0.8＝27.6，μ＋3σ＝30＋3×0.8＝32.4，即(μ－3σ，μ＋3σ)＝(27.6,32.4)，而27.5∉(27.6,32.4)，所以认为这批砖不合格．考点：正态分布.【题型】解答题【难度】一般13．【答案】（1）()()2280002500(),,xP x x--⨯=∈-∞+∞（2）34.13%【解析】农民工年均收入ξ～N(μ，σ2)，结合图象可知μ＝8000，σ＝500.(1)此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式为()()2280002500(),,xP x x--⨯=∈-∞+∞.(2)∵P (7500<ξ≤8500)＝P (8000－500<ξ≤8000＋500)＝0.6826. ∴P (8000<ξ≤8500)＝12P (7500<ξ≤8500)＝0.3413. 即农民工年均收入在8000～8500之间的人数占总体的34.13%. 考点：正态分布. 【题型】解答题 【难度】一般 14.【答案】0.135 9【解析】∵()0.6826P X μσμσ-<<+=，∴()10.68262P X μσ->+=. ∴()10.682610.68261222P X μσ-<+=-=+. 又∵()220.9544P X μσμσ-<<+=，∴()10.954422P X μσ->+=. ∴()10.954410.954421222P X μσ-<+=-=+. ∴()()()22P X P X P X μσμσμσμσ+<<+=<+-<+10.954410.68262222⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭ ()10.95440.68260.13592=⨯-=. ∵30μ=，10σ=，∴()40500.135 9P X <<=.因此，此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率是0.135 9. 考点：正态分布. 【题型】解答题 【难度】一般。

正态分布．了解正态分布的意义．．能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质．(重点)．了解正态曲线的意义和性质．．会利用φ()，()的意义求正态总体小于的概率．(难点)[基础·初探]教材整理正态曲线及正态分布阅读教材～，完成下列问题．．正态曲线若φμ，σ()＝－，∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>)为参数，我们称φμ，σ()的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．图--随机变量落在区间(，]的概率为(<≤)≈φ，即由正态曲线，过点()和点()的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形()μ，σ的面积，就是落在区间(，]的概率的近似值，如图--.．正态分布如果对于任何实数，(<)，随机变量满足(<≤)＝φ()，则称随机变量服从正态分布．μ，σμ正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作σ如果随机变(μ，σ)．量服从正态分布，则记为～(μ，σ)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( )()服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．( )()正态曲线是一条钟形曲线．( )()离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述．( )【解析】 ()× 因为正态分布变量函数表述式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计．()√ 因为离散型随机变量最多取可列个不同值．而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值．()√ 由正态分布曲线的形状可知该说法正确．()× 因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述．【答案】 ()× ()√ ()√ ()× 教材整理 正态曲线的特点及σ原则阅读教材～，完成下列问题．．正态曲线的特点；不相交，与轴上方()曲线位于轴 对称；直线＝μ()曲线是单峰的，它关于；处达到峰值＝μ()曲线在 ()曲线与轴之间的面积为；平移；轴()当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿 ，表示总体的”瘦高“()当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越分散．，表示总体的分布越”矮胖“；σ越大，曲线越集中分布越．σ原则.()μ，σφμ＋)＝≤()若～(μ，σ)，则对于任何实数>，(μ－<()正态分布在三个特殊区间内取值的概率：(μ－σ<≤μ＋σ)＝， (μ－σ<≤μ＋σ)＝，。

教学设计2．4正态分布整体设计教材分析正态分布是高中数学新增内容之一，是统计中的重要内容．一方面，它是在学生学习了总体分布后给出的自然界最常见的一种分布，它是学生进一步应用正态分布解决实际问题的理论依据，因此它起着承上启下的桥梁作用；另一方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布都可以用正态分布来近似描述．因此在理论研究中，正态分布占有很重要的地位．课时分配1课时教学目标知识与技能掌握正态分布在实际生活中的意义和作用．结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．归纳正态曲线的性质．过程与方法能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律，引导学生通过观察并探究规律，提高分析问题，解决问题的能力；培养学生数形结合，函数与方程等数学思想方法．情感、态度与价值观通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神．重点难点教学重点：正态曲线的性质、标准正态曲线N(0,1)．教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质．教学过程复习旧知1．回顾曲边梯形的面积S＝b f(x)dx的意义；⎠⎛a2．复习频率分布直方图，频率分布折线图的作法、意义：①在频率分布直方图中，区间(a，b)对应的图形的面积表示____________________．②在频率分布直方图中，所有小矩形的面积的和为_______________________________．设计意图：用学过的知识来探究新问题，驱动学生思维的自觉性和主动性，让学生亲身感受知识的发生过程，既反映了数学的发展规律，又符合学生的思维特征和认知规律．探究新知提出问题：同学们知道高尔顿板试验吗？课本的内容表述了高尔顿板试验，我们将通过小球落入各个小槽中的频率分布情况来认识正态分布．活动设计：教师板书课题，学生阅读课本中关于高尔顿板的内容．提出问题：(1)运用多媒体画出频率分布直方图．(2)当n由1 000增至2 000时，观察频率分布直方图的变化．(3)请问当样本容量n无限增大时，频率分布直方图变化的情况如何？(频率分布就会无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线)(4)样本容量越大，总体估计就越精确．活动结果：总体密度曲线：样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：φμ，σ(x)＝12πσe －(x －μ)22σ2，x ∈(－∞，＋∞)．式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．1．一般地，如果对于任何实数a ，b(a<b)，随机变量X 满足P(a<X≤b)＝⎠⎛ab φμ，σ(x)dx ， 则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N(μ，σ2)．理解新知正态分布密度函数的理解：φμ，σ(x)＝12πσe －(x －μ)22σ2， 其中：x 是随机变量的取值；π是圆周率；e 是自然对数的底；参数μ是正态分布的均值，它是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去佑计；参数σ是正态分布的标准差，是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．2．早在1733年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标X是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．提出问题：下面给出三个正态分布的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ.(1)f(x)＝12πe－x22；(2)f(x)＝122πe－(x－1)28；(3)f(x)＝2πe－2(x＋1)2.答案：(1)μ＝0，σ＝1；(2)μ＝1，σ＝2；(3)μ＝－1，σ＝0.5.设计意图：概念一旦形成，必须及时加以巩固．通过对问题的解答，进一步加深对定义的认识．提出问题：正态分布N(μ，σ2)是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布．通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响．例如令σ＝0.5，μ＝－1,0,1….活动设计：通过几何画板，作出正态曲线，固定其中一个值，利用几何画板的功能直观地观察正态曲线受到均值μ或标准差σ的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质．设计意图：通过对两组正态曲线进行分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头低、中间高、左右对称．正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上．讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质．活动结果：(一)正态曲线的性质：(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交，曲线与x轴之间的面积为1.(2)曲线关于直线x＝μ对称．(3)当x＝μ时，曲线位于最高点．(4)当x ＜μ时，曲线上升(增函数)；当x ＞μ时，曲线下降(减函数)．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近．(5)σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移．(6)μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中．六条性质中前三条学生较易掌握，后三条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学．(二)标准正态曲线：当μ＝0、σ＝1时，正态分布称为标准正态分布，其相应的函数表示式是f(x)＝12πe －x 22(－∞＜x ＜＋∞)，其相应的曲线称为标准正态曲线．教师指出：标准正态分布N(0,1)在正态分布的研究中占有重要的地位．任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题．1．N(μ，σ2)与N(0,1)的关系：①若ξ～N(μ，σ2)，则η＝ξ－μσ～N(0,1)，有P(ξ<x 0)＝F(x 0)＝Φ(x 0－μσ)； ②若ξ～N(μ，σ2)，则P(x 1<ξ<x 2)＝Φ(x 2－μσ)－Φ(x 1－μσ)． 2．在标准正态分布表中相应于x 0的值Φ(x 0)是指总体取值小于x 0的概率，即Φ(x 0)＝P(ξ<x 0)．两个重要公式：①Φ(x 0)＝1－Φ(－x 0)，②P(x 1<ξ<x 2)＝Φ(x 2)－Φ(x 1)．3．3σ原则．进一步，若X ～N(μ，σ2)，则对于任何实数a>0，P(μ－a<X≤μ＋a)＝⎠⎛μ－aμ＋a φμ，σ(x)dx 为图中阴影部分的面积，对于固定的μ和a 而言，该面积随着σ的减少而变大．这说明σ越小，X 落在区间(μ－a ，μ＋a]的概率越大，即X 集中在μ周围概率越大．特别有：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4，用图表示为：正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．因此在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．运用新知例1已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)等于( )A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.84解析：解法一：∵P(ξ≤4)＝F(4)＝Φ(4－2σ)＝Φ(2σ)＝0.84，∴P(ξ≤0)＝F(0)＝Φ(0－2σ)＝Φ(－2σ)＝1－Φ(2σ)＝0.16. 解法二：因为曲线的对称轴是直线，所以由图知P(ξ≤0)＝P(ξ>4)＝1－P(ξ≤4)＝0.16. 答案：A例2设随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1)，已知Φ(－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)等于( )A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975解析：解法一∵ξ～N(0,1)，∴P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝Φ(1.96)－Φ(－1.96)＝1－2Φ(－1.96)＝0.950.解法二：∵曲线的对称轴是直线x＝0，∴由图知P(ξ>1.96)＝P(ξ≤－1.96)＝Φ(－1.96)＝0.025，∴P(|ξ|<1.96)＝1－0.025－0.025＝0.950.故答案为C.答案：C例3设X～N(4,1)，求P(5＜x＜6)．分析：确定μ，σ的值，由正态曲线的对称性及P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)的概率计算．解：由已知得，μ＝4，σ＝1，P(3＜X＜5)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(2＜X＜6)＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(2＜X＜3)＋P(5＜X＜6)＝0.954 4－0.682 6＝0.271 8，由对称性得，P(2＜X＜3)＝P(5＜X＜6)＝0.135 9.【变练演编】1．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.答案：0.52．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有()A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2解析：正态分布函数的图象关于x ＝μ对称，σ的大小表示变量的集中程度，σ越大，数据分布越分散，曲线越“矮胖”；σ越小，数据分布越集中，曲线越“瘦高”．答案：A3．以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|<σ)等于( )A ．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B ．Φ(1)－Φ(－1)C ．Φ(1－μσ) D ．2Φ(μ＋σ) 解析：考查N(μ，σ2)与N(0,1)的关系：若ξ～N(μ，σ2)，则P(|ξ－μ|<σ)＝P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝Φ(μ＋σ－μσ)－Φ(μ－σ－μσ)＝Φ(1)－Φ(－1)．答案为B. 答案：B【达标检测】1．若随机变量X ～N(μ，σ2)，a 为一个实数，证明P(X ＝a)＝0.证明：对于任意实数a 和自然数n 有{a －1n <X≤a}＝{X ＝a}∪{a －1n<X<a}． 因为事件{X ＝a}与事件{a －1n<X<a}互斥，由概率加法公式得 P(a －1n <X≤a)＝P(X ＝a)＋P(a －1n<X<a)≥P(X ＝a)． 因为X ～N(μ，σ2)，所以0≤P(X ＝a)≤P(a －1n <X≤a)＝⎠⎛a a －1n φμ，σ(x)dx ≤1σ2π⎠⎛a a －1n dx ＝1n σ2π，n ＝1,2，…，故P(X ＝a)＝0. 点评：本题涉及知识范围较广，是一道综合性较强的题目．2．若X ～N(5,1)，求P(6＜X ＜7)．解：由X ～N(5,1)知，μ＝5，σ＝1.因为正态密度曲线关于x ＝5对称，所以P(5＜X ＜7)＝12·P(3＜X ＜7)≈12·0.954 4＝0.477 2； P(5＜X ＜6)＝12·P(4＜X ＜6)≈12·0.682 6＝0.341 3； P(6＜X ＜7)＝P(5＜X ＜7)－P(5＜X ＜6)≈0.135 9.3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为12π，求总体落入区间(－1.2,0.2)之间的概率．解：正态分布的概率密度函数是f(x)＝12πσe －(x －μ)22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，它是偶函数，说明μ＝0，f(x)的最大值为f(μ)＝12πσ，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布． P(－1.2<x<0.2)＝Φ(0.2)－Φ(－1.2)＝Φ(0.2)－[1－Φ(1.2)]＝Φ(0.2)＋Φ(1.2)－1.课堂小结1．正态分布．2．正态分布密度曲线及其特点．3．标准正态曲线．4．了解3σ原则．补充练习【基础练习】1．关于正态曲线性质的叙述：(1)曲线关于直线x ＝μ对称，整条曲线在x 轴的上方；(2)曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；(3)曲线在x ＝μ处处于最高点，由这一点向左右两侧延伸时，曲线逐渐降低；(4)曲线的对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”．上述叙述中，正确的有__________．答案：(1)(3)(4)2．设某长度变量X ～N(1,1)，则下列结论正确的是( )A ．E(X)＝D(X)＝D(X)B ．D(X)＝D(X)C ．E(X)＝D(X)D ．E(X)＝D(X)答案：A3．把一个正态曲线a 沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b.下列说法中不正确的是( )A ．曲线b 仍然是正态曲线B ．曲线a 和曲线b 的最高点的纵坐标相等C ．以曲线b 为概率密度曲线的总体的均值比以曲线a 为概率密度曲线的总体的均值大2D ．以曲线b 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a 为概率密度曲线的总体的方差大2答案：D【拓展练习】1．设X ～N(0,1)．①P(－ε＜X ＜0)＝P(0＜X ＜ε)；②P(X ＜0)＝0.5；③已知P(│X│＜1)＝0.682 6，则P(X ＜－1)＝0.158 7；④若P(│X│＜2)＝0.954 4，则P(X ＜2)＝0.977 2；⑤若P(│X│＜3)＝0.997 4，则P(X ＜3)＝0.998 7；其中正确的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案：D2．已知X ～N(0,1)，则X 在区间(－∞，－2)内取值的概率等于( )A ．0.022 8B ．0.045 6C ．0.977 2D ．0.954 4答案：A3．设随机变量ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ≤C)＝P(ξ＞C)＝p ，那么p 的值为( )A ．0 B.12C ．1D ．不确定，与σ有关答案：A4．已知从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度ξ～N(200,18)，则取得的这件材料的强度不低于180的概率为( )A ．0.997 3B ．0.866 5C ．0.841 3D ．0.815 9答案：A设计说明本节课的教学设计力求体现教师主导，学生主体的原则，体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教学思想，突出以下几点：1．注重目标控制，面向全体学生，启发式教学．2．学生通过自主探究参与知识的形成过程，让学生真正地学会学习，也就是让学生主动建构式的学习，真正掌握学习方法．备课资料备选例题：1．若X ～N(μ，σ2)，问X 位于区域(μ，μ＋σ)内的概率是多少？解：P(μ<X<μ＋σ)＝12P(μ－σ<X<μ＋σ)≈12×0.682 6＝0.341 3. 2．某年级的一次信息技术测验成绩近似地服从正态分布N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占多少？(2)成绩在80～90内的学生占多少？解：(1)设学生的得分情况为随机变量X ，X ～N(70,102)，其中μ＝70，σ＝10， 在60到80之间的学生占的比例为P(70－10<X<70＋10)≈0.683＝68.3%，所以不及格的学生占的比例为0.5×(1－0.683)≈0.159＝15.9%；(2)成绩在80到90之间的学生占的比例为0．5×[P(70－2×10<X<70＋2×10)－P(70－10<X<70＋10)]≈0.5×(0.954－0.683)≈0.136＝13.6%.(设计者：刘鹏)。

2．4 正态分布[学习目标]1．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 2．了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小．3．会用正态分布去解决实际问题． [知识链接]1．在频率分布直方图中，纵坐标的含义是频率组距，用小矩形的面积表示数据落在该组中的频率，在折线图中，随着分组越来越多，其越来越接近于一条光滑的曲线．2．正态曲线φμ，σ(x )＝12πσe －（x －μ）22σ2，x ∈R 中的参数μ，σ有何意义？答 μ可取任意实数，表示平均水平的特征数，E (X )＝μ；σ>0表示标准差，D (X )＝σ2.一个正态曲线方程由μ，σ唯一确定，π和e 为常数，x 为自变量，x ∈R . 3．若随机变量X ～N (μ，σ2)，则X 是离散型随机变量吗？答 若X ～N (μ，σ2)，则X 不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛a b φμ，σ(x )d x 可知，X 可取(a ，b ]内的任何值，故X 不是离散型随机变量，它是连续型随机变量． [预习导引] 1．正态曲线函数φμ，σ(x )＝12πσe －（x －μ）22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．正态分布如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ(x)＝12πσe－（x－μ）22σ2，x∈R有以下性质：(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②.4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682_6；P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954_4；P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4 .要点一正态曲线例1如图所示是一个正态曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．解从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20.12π·σ＝12π，解得σ＝ 2.于是概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝12π·e－（x－20）24，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.规律方法利用图象求正态密度函数的解析式，关键是找对称轴x＝μ与最值1σ2π，这两点确定以后，相应参数μ，σ的值便确定了．跟踪演练1若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π.求该正态分布的概率密度函数的解析式．解由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由于12πσ＝12π·4，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝142πe－x232，x∈(－∞，＋∞)．要点二 利用正态分布求概率例2 设ξ～N (1，22)，试求：(1)P (－1＜ξ≤3)； (2)P (3＜ξ≤5)；(3)P (ξ≥5)． 解 ∵ξ～N (1，22)，∴μ＝1，σ＝2， (1)P (－1＜ξ≤3)＝P (1－2＜ξ≤1＋2) ＝P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6 (2)∵P (3＜ξ≤5)＝P (－3＜ξ≤－1)，∴P (3＜ξ≤5)＝12[P (－3＜ξ≤5)－P (－1＜ξ≤3)] ＝12[P (1－4＜ξ≤1＋4)－P (1－2＜ξ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ＜x ≤μ＋2σ)－P (μ－σ＜x ≤μ＋σ)] ＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.(3)P (ξ≥5)＝P (ξ≤－3)＝12[1－P (－3＜ξ≤5)] ＝12[1－P (1－4＜ξ≤1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)] ＝12(1－0.954 4)＝0.022 8.规律方法 解答此类题目的关键在于充分利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化，在此过程中充分体现数形结合及化归的数学思想．经常用到如下转换公式：①P (x ≥a )＝1－P (x ＜a )；②若b ＜μ，则P (X ＜b )＝1－P （μ－b <X ≤μ＋b ）2.跟踪演练2 若η～N (5，1)，求P (5＜η＜7)．解 ∵η～N (5，1)，∴正态分布密度函数的两个参数为μ＝5，σ＝1，因为该正态曲线关于x ＝5对称，∴P (5＜η＜7)＝12×P (3＜η＜7)＝12×0.954 4＝0.477 2. 要点三 正态分布的实际应用例3 设在一次数学考试中，某班学生的分数X ～N (110，202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．解 μ＝110，σ＝20，P (X ≥90)＝P (X －110≥－20)＝P (X －μ≥－σ)， ∵P (X －μ＜－σ)＋P (－σ≤X －μ≤σ)＋P (X －μ＞σ) ＝2P (X －μ＜－σ)＋0.682 6＝1， ∴P (X －μ＜－σ)＝0.158 7，∴P (X ≥90)＝1－P (X －μ＜－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3. ∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为45人． ∵P (X ≥130)＝P (X －110≥20)＝P (X －μ≥σ)， ∴P (X －μ≤－σ)＋P (－σ≤X －μ≤σ)＋P (X －μ＞σ) ＝0.682 6＋2P (X －μ≥σ)＝1. ∴P (X －μ≥σ)＝0.158 7. ∴54×0.158 7≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．规律方法 解答此类题目的关键在于将所求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中用到化归思想和数形结合的思想．跟踪演练3 工厂制造的某机械零件的尺寸X 服从正态分布N (4，19)，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3，5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？解∵X～N(4，19)，∴μ＝4，σ＝13，∴不属于区间(3，5)的概率为P(X≤3)＋P(X≥5)＝1－P(3＜X＜5)＝1－P(4－1＜X＜4＋1)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6≈0.003，∴1 000×0.003＝3(个)，即不属于区间(3，5)这个尺寸范围的零件大约有3个.1．如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ3答案 D2．把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b.下列说法中不正确的是()A．曲线b仍然是正态曲线B．曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等C．以曲线b为概率密度曲线的总体的均值比以曲线a为概率密度曲线的总体的均值大2D．以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2答案 D3．正态分布N(0，1)在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为()A．P1＝P2B．P1＜P2C．P1＞P2D．不确定答案 A解析根据正态曲线的特点，图象关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率P1，P2相等．4．一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10 000，4002)，求这批灯泡中“使用时间超过10 800小时”的概率．解依题意μ＝104，σ＝400.∴P(104－800<X≤104＋800)＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4.由正态分布性质知P(X≤104－800)＝P(X>104＋800)故2P(X>10 800)＋P(104－800<X≤104＋800)＝1，∴P(X>10 800)＝1－0.954 42＝0.022 8，故使用时间超过10 800小时的概率为0.022 8.1．理解正态分布的概念和正态曲线的性质．2．正态总体在某个区间内取值的概率求法：(1)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)，若b<μ，则P(X<μ－b)＝1－P（μ－b<X<μ＋b）2.一、基础达标1．设某长度变量X～N(4，16)，则下列结论正确的是()A．E(X)＝D(X)＝D（X）B．D(X)＝D（X）C．E(X)＝D（X）D．E(X)＝D(X)答案 C2．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ<0)等于() A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84答案 A解析P(ξ≤4)＝0.84，故P(ξ>4)＝0.16.P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.16.3．设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为φ(x)＝1 6πe－x2－4x＋46，则()A．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2 C．μ＝2，σ＝ 3 D．μ＝3，σ＝ 3 答案 C解析由φ(x)＝12π×3e－（x－2）22（3）2，得μ＝2，σ＝ 3.故选C.4．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，12)，则该随机变量的方差等于( ) A ．10 B ．100 C.2πD.2π答案 C解析 由正态分布密度曲线上的最高点为(10，12)知12π·σ＝12，∴D (X )＝σ2＝2π.5．如果ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ>3)＝P (ξ<1)成立，则μ＝________. 答案 2解析 ∵ξ～N (μ，σ2)，故正态密度函数关于直线x ＝μ对称，又P (ξ<1)＝P (ξ>3)，从而μ＝1＋32＝2，即μ的值为2.6．对于标准正态分布N (0，1)的概率密度函数f (x )＝12π·e －x 22，下列说法正确的有________． ①f (x )为偶函数； ②f (x )的最大值是12π； ③f (x )在x >0时是单调递减函数，在x ≤0时是单调递增函数； ④f (x )关于x ＝1对称． 答案 ①②③7．已知某种零件的尺寸X (单位：mm)服从正态分布，其正态分布曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f (80)＝182π. (1)求正态分布的概率密度函数的解析式；(2)估计尺寸在72～88 mm(不包括72 mm ，包括88 mm)间的零件大约占总数的百分比．解 (1)∵正态分布曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数．∴正态分布曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处达到峰值，∴μ＝80.又12πσ＝182π，∴σ＝8，故正态分布的概率密度函数的解析式为φμ，σ(x)＝182πe－（x－80）2128.(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88.∴零件的尺寸X位于区间(72，88]内的概率为0.682 6.故尺寸在72～88 mm(不包括72 mm，包括88 mm)间的零件大约占总数的68.26%.二、能力提升8．已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩X～N(110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？()A．(90，110] B．(95，125]C．(100，120] D．(105，115]答案 C解析∵X～N(110，52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105，115]，(100，120]，(95，125]上的概率分别应是0.682 6，0.954 4，0.997 4.由于一共有60人参加考试，故成绩位于上述三个区间的人数分别是60×0.682 6≈41(人)，60×0.954 4≈57(人)，60×0.997 4≈60(人)．9．若随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，已知P(ξ≤－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)等于()A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975答案 C解析由随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，得P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)．所以P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.10．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg 属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为________．答案683解析依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5<X≤62.5)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，从而属于正常情况的人数为1 000×0.682 6≈683.11．一台机床生产一种尺寸为10 mm的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下(单位：mm)：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1.如果机床生产零件的尺寸η服从正态分布，求η的正态分布密度函数．解依题意得μ＝110(10.2＋10.1＋10＋9.8＋9.9＋10.3＋9.7＋10＋9.9＋10.1)＝10.σ2＝110[(10.2－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.3－10)2＋(9.7－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2]＝0.03.即μ＝10，σ2＝0.03.所以η的正态分布密度函数为f (x )＝106π·e －50（x －10）23. 12．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N (70，102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占总人数的比例；(2)成绩在80～90内的学生占总人数的比例．解 (1)设学生的得分为随机变量X ，X ～N (70，102)，则μ＝70，σ＝10.分数在60～80之间的学生的比例为P (70－10<X ≤70＋10)＝0.682 6，所以不及格的学生的比例为12×(1－0.682 6)＝0.158 7，即成绩不及格的学生占总人数的15.87%.(2)成绩在80～90内的学生的比例为12[P (70－2×10<X ≤70＋2×10)]－12[P (70－10<X ≤70＋10)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.即成绩在80～90内的学生占总人数的比例为13.59%.三、探究与创新13．(2013·湖北理)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800，502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.(1)求p 0的值；(2)某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 (1)由于随机变量X 服从正态分布N (800，502)，故有μ＝800，σ＝50，P (700＜X ≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800＜X ≤900)＝12＋12P (700＜X ≤900)＝0.977 2.(2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x ，y 辆，则相应的营运成本为1 600x ＋2 400y . 依题意，x ，y 还需满足：x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0.由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900.于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N ，且使目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7，14)，R (15，6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2400y在y轴上截距z2 400最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆、B型车12辆．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．02．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，207．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=1010．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】并集及其运算．【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可．【解答】解：∵集合M={0，1，2}，N={x}，且M∪N={0，1，2，3}，∴x=3，故选：A．2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为圆锥．【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥．故选D．3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，利用区间长度的比求．【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；故选B．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=1﹣1+3=3，输出y的值为3．故选：B．5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可．【解答】解：∵∥，∴4﹣2x=0，得x=2，故选：B6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，高二：，高三：45﹣15﹣10=20．故选：D7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论．【解答】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可．【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km【考点】解三角形的实际应用．【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值．【解答】解：根据余弦定理AB2=a2+b2﹣2abcosC，∴AB===（km）．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log21+log24=0+log222=2．故答案为：2．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=±3．【考点】等比数列．【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x．【解答】解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，解得x=±3．故答案为：±3．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是5．【考点】简单线性规划．【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可．【解答】解：由已知，目标函数变形为y=﹣x+z，当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2=5；故答案为：5．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为4•【考点】函数的零点．【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为45°．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论．【解答】解：由题意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，∵AE=EF，∴∠AFE=45°．故答案为45°．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由，＜θ＜π结合同角平方关系可求cosθ，利用同角基本关系可求（2）结合（1）可知tanθ的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求．【解答】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，∴cos2θ=．又＜θ＜π，∴cosθ=∴．（2）=．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；（2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元．【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）×2=1，解得a=0.15，众数为：；（2）该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有：×2=200，18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n﹣1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：2（a3+1）=a2+a4，所以2（4a1+1）=2a1+8a1，解得a1=1，故a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）因为b n=2n﹣1+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=（1+2+...+16）+（1+2+ (5)=+=31+15=46．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：（1）∵；（2）∵f（x）=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，x∈[﹣2，2]，开口向上，对称轴为：x=1，∴x=1时，f（x）的最小值为5，x=﹣2时，f（x）的最大值为14．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．2017年5月5日。

第二章§正态分布一、选择题1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体均值为()A．1 B．－1C．0 D．不确定解析：均值即为其对称轴，∴μ＝0.答案：C2．[2014·深圳高二检测]正态总体N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为()A．P1>P2B．P1<P2C．P1＝P2D．不确定解析：根据正态曲线的特点，图象关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等．答案：C3．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ<－＝，则P(|ξ|<＝()A. 0.025B.C. D.解析：ξ服从正态分布N(0,1)，则P(ξ<＝1－P(ξ≤－，从而P(|ξ|<＝P(－<ξ<＝P(ξ<－P(ξ≤－＝1－2P(ξ≤－＝1－2×＝.答案：C4．某厂生产的零件直径ξ～N(10,，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.9 cm和9.3 cm，则可认为()A．上午生产情况未见异常现象，下午生产情况出现了异常现象B．上午生产情况出现了异常，而下午生产情况正常C．上、下午生产情况均是正常D．上、下午生产情况均出现了异常现象解析：3σ原则：(10－3×,10＋3×，即,，∈,，∉,，所以，上午生产情况未见异常，下午生产情况出现了异常．答案：A二、填空题5．已知正态分布落在区间，＋∞)上的概率为，那么相应的正态曲线f (x )在x ＝________时，达到最高点．解析：由于正态曲线关于直线x ＝μ对称和其落在区间，＋∞)上的概率为，得μ＝. 答案：6．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．解析：测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)，正态曲线的对称轴为x ＝1，ξ在(0,1)内取值的概率为，可知，随机变量ξ在(1,2)内取值的概率与ξ在(0,1)内取值的概率相同，也为，这样随机变量ξ在(0,2)内取值的概率为.答案：7．若随机变量ξ～N (10，σ2)，若ξ在(5,10)上的概率等于a ，a ∈(0,，则ξ在(－∞，15)上的概率等于________．解析：P (10<ξ<15)＝a ，故P (－∞<ξ≤5)＝12(1－2a )＝12－a ，所以ξ在(－∞，15)的概率等于12－a ＋a ＋a ＝12＋a . 答案：12＋a 三、解答题8．已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如右图所示．(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；(2)求此地农民工年均收入在8000～8500元之间的人数百分比．解：设农民工年均收入ξ～N (μ，σ2)，结合图象可知μ＝8000，σ＝500.(1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式为P (x )＝12πσe －(x －μ)22σ2 ＝15002πe －(x －8000)22×5002，x ∈(－∞，＋∞)． (2)∵P (7500<ξ≤8500)＝P (8000－500<ξ≤8000＋500)＝.∴P(8000<ξ≤8500)＝12P(7500<ξ≤8500)＝.即农民工年均收入在8000～8500之间的人数占总体的%.9．在某次数学测试中，考生的成绩ξ服从正态分布N(90,100)．(1)求考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率；(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100]内的考生约有多少人？解：(1)∵ξ～N(90,102)，∴μ＝90，σ＝10，所以(1)P(70<ξ≤110)＝P(90－20<ξ≤90＋20)＝.(2)P(80<ξ≤100)＝P(90－10<ξ≤90＋10)＝，所以考试成绩在(80,100]内的考生约有2000×≈1365人．。

第二章 随机变量及其分布2.4 正态分布一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设随机变量212(),N ξ～，则1()2D ξ= A ．4 B ．2 C ．1D ．12 【答案】C【解析】由题可得2()24D ξ==，所以22111()()()()41222D D ξξ==⨯=．故选C ．2．已知随机变量X ～2(3,)N σ，且(4)0.15P X >=，则(2)P X ≥= A ．0.15 B ．0.35 C ．0.85D ．0.3【答案】C【解析】因为随机变量X ～2(3,)N σ，所以正态分布密度曲线的对称轴为3x =，因为(4)0.15P X >=，则由对称性可得(2)1(4)10.150.85P X P X ≥=->=-=，故选C ． 3．已知随机变量X 服从正态分布(,4)N a ，且(1)0.5P X >=，则实数a 的值为 A ．1 B ．3 C ．2D ．4【答案】A【解析】由(1)0.5P X >=可得正态分布密度曲线关于直线1x =对称，故均值1a =，故选A ． 4．设随机变量~(2,9)N ξ，若()(2)P c P c ξξ>=<-，则c 的值是 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】D【解析】因为随机变量，所以正态曲线的对称轴，，因为，所以，则c =4．故选D ．5．已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，且(2)0.8P ξ<=，则(02)P ξ<<= A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3D ．0.2【答案】C【解析】由题意知，正态分布曲线的对称轴为0x =，又(2)0.8P ξ<=，所以(2)0.2P ξ≥=，所以(02)=0.50.2=0.3P ξ<<-，故选C ． 6．已知随机变量2(2,)X N σ～，若()0.4P X a <=，则(4)P a X a ≤<-= A ．0.4 B ．0.2 C ．0.1D ． 0.6【答案】B【解析】因为2(2,)X N σ～，()0.4P X a <=，所以(4)0.4P X a ≥-=，所以(4)P a X a ≤<-10.40.40.2=--=．故选B ．7．已知三个正态分布密度函数22()21()e 2i i x i ix μσϕσ--=π(R ∈x ，i =1，2，3)的图象如图所示，则A ．321μμμ=<，321σσσ>=B ．321μμμ=>，321σσσ<=C ．321μμμ<=，321σσσ=<D ．321μμμ=<，321σσσ<=【答案】D【解析】正态曲线关于直线μ=x 对称，且在μ=x 处取得峰值12σπ， 由图易得321μμμ=<，112σ=π212σ>π312σπ，故321σσσ<=．故选D ．8．2018年4月某校高三年级1500名学生参加了教育局组织的统考，已知数学考试成绩2(100,)X N σ～（试卷满分为150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的35，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为 A ．180 B ．200 C ．220D ．300【答案】D【解析】正态分布密度曲线的对称轴为100x =，根据其对称性可知，成绩不低于120分的学生人数约为311500(1)30052⨯-⨯=人．故选D ． 9．工人制造机器零件的尺寸在正常情况下服从正态分布2(,)N μσ．在一次正常的试验中，取10000个零件，不属于3,3()μσμσ-+这个尺寸范围的零件个数可能为 A ．70个 B ．100个 C ．26个D ．60个【答案】C10．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影外部（曲线C 为正态分布(0,1)N 的密度曲线的一部分）的点的个数的估计值为A ．3413B ．1193C ．2718D ．6587附：若2(,)X N μσ～，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=． 【答案】D【名师点晴】正态分布是随机变量的概率分布中重要的概率分布之一，其曲线具有很多重要性质，在解题中有着重要的作用，因此成为高考和各级各类考试的重要内容与考点．解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，运用转化与化归的数学思想将问题进行等价转化． 二、填空题：请将答案填在题中横线上．11．已知随机变量ξ服从正态分布(0,2)N ，若(2)P p ξ≥=，则(20)P ξ-<<=________________．【答案】12p - 【解析】依题意有11(20)(02)(2)22P P P p ξξξ-<<=<<=-≥=-． 12．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，若(4)0.7P ξ<=，则(02)P ξ<<=________________．【答案】0.2【解析】(02)(24)(4)(2)0.70.50.2P P P P ξξξξ<<=<<=<-<=-=． 13．已知随机变量2(0,)X N σ～，若(||2)P X a ≤=，则(2)P X >=________________．【答案】12a- 【解析】由题意可得正态分布密度曲线关于直线0x =对称，因为正态分布密度曲线与x 轴围成的面积为1，所以1(2)(2)(1)2P X P X a >=<-=-． 14．某厂生产的零件尺寸服从正态分布220,0).02(N ，为使该厂生产的产品的合格率为95.44%，则该厂生产的零件尺寸允许值的范围为________________． 【答案】19.96,(20.04)【解析】正态分布220,0).02(N 在区间2020.02,2020(02).-⨯+⨯上取值的概率为95.44%，故该厂生产的零件尺寸允许值的范围为19.96,(20.04)．15．已知随机变量X 服从正态分布，其正态分布密度曲线2(2)21()e 2x xf π的图象，若2 01 ()d3 f xx，则(4)P X________________．【答案】16【解析】由已知得函数()f x的图象关于直线2x=对称，且与直线0x=，2x=和0y=围成的图形的面积为13，所以11(4)(12)236P X>=-⨯÷=．16．已知(,)μ-∞+∞∈，0σ>，现给出下列函数：①22()21()e2πxf xμσσ+-=；②2()41()e2πxf xμ--=；③241()e22πxf x-⋅=；④()f x=2()1eπxμ--．则可以作为正态分布密度函数的为________________．（填序号）【答案】①③④综上，可以作为正态分布密度函数的为①③④．。

选修2-3 第二章 2.4一、选择题1．(2013·河南安阳中学高二期中)已知随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，则P (ξ<3)等于( )A ．15B ．14C ．13D ．12[答案] D[解析] ∵ξ～N (3，σ2)，∴ξ＝3为正态分布的对称轴，∴P (ξ<3)＝12.2．(2013·吉林白山一中高二期末)设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，则c ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 由正态分布的性质及条件P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)得，(c ＋1)＋(c －1)＝2×2，∴c ＝2.3．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X ～N (110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内( )A ．(90,110]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115] [答案] C[解析] 由于X ～N (110,52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.6826,0.9544,0.9974.由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是： 60×0.6826≈41人，60×0.9544≈57人， 60×0.9974≈60人．4．工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N (μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1 000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为( )A ．7B ．10C ．3D ．6[答案] C[解析] ∵P (μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＝0.9974，∴不属于区间(μ－3σ，μ－3σ)内的零点个数约为1000×(1－0.9974)＝2.6≈3个． 5．(2014·哈师大附中高二期中)已知随机变量ξ服从正态分布N (1,4)，则P (－3<ξ<5)＝( )(参考数据：P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974)A ．0.6826B ．0.9544C ．0.0026D ．0.9974 [答案] B[解析] 由ξ～N (1,4)知，μ＝1，σ＝2，∴μ－2σ＝－3，μ＋2σ＝5，∴P (－3<ξ<5)＝P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，故选B.6．以Φ(x )表示标准正态总体在区间(－∞，x )内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则概率P (|ξ－μ|<σ)等于( )A ．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B ．Φ(1)－Φ(－1)C ．Φ⎝⎛⎭⎫1－μσD ．2Φ(μ＋σ) [答案] B[解析] 设η＝|ξ－μ|σ，则P (|ξ－μ|<σ)＝P (|η|<1)＝P (－1<η<1)＝Φ(1)－Φ(－1)．[点评] 一般正态分布N (μ，σ2)可向标准正态分布N (0,1)转化． 二、填空题7．正态变量的概率密度函数f (x )＝12πe －(x －3)22，x ∈R 的图象关于直线________对称，f (x )的最大值为________．[答案] x ＝312π8．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．[答案] 1[解析] 正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．∵区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x ＝1对称，所以正态分布的数学期望是1. 9．(2013·景德镇市高二期末)已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于________．[答案] 0.3[解析] ∵ξ～N (2，σ2)，∴P (ξ≥4)＝1－P (ξ<4)＝0.2.∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝12×[1－2P (ξ≥4)]＝12×[1－2×0.2]＝0.3.三、解答题10．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于142π.求该正态分布的概率密度函数的解析式．[解析] 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象即正态曲线关于y 轴对称，即μ＝0.而正态密度函数的最大值是12π·σ，所以12π·σ＝12π·4，因此σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x )＝142πe －x 232，x ∈(－∞，＋∞)．一、选择题11．已知随机变量X ～N (3,22)，若X ＝2η＋3，则D (η)等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4[答案] B[解析] 由X ＝2η＋3，得D (X )＝4D (η)，而D (X )＝22＝4，∴D (η)＝1.12．某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( )A ．10%B ．20%C ．30%D ．40%[答案] D[解析] 由条件知μ＝90，P (ξ<60)＝0.1， ∴P (ξ>120)＝0.1，∴P (90≤ξ<120)＝12[1－2P (ξ<60)]＝12×(1－0.2)＝0.4，故选D. [点评] 解决正态分布问题，一定要注意抓住其对称轴，若ξ～N (μ，σ2)，则对称轴ξ＝μ.13．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2[答案] A[解析] 根据正态分布的性质：对称轴方程x ＝μ，σ表示总体分布的分散与集中．由图可知选A.二、填空题14．随机变量ξ～N (1,42)，若η＝4－3ξ，则E (η)＝__________________. [答案] 1[解析] 由条件知E (ξ)＝1，E (η)＝4－3E (ξ)＝1.15．某厂生产的零件尺寸服从正态分布N (25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为________．[答案] (24.94,25.06)[解析] 正态总体N (25,0.032)在区间(25－2×0.03，25＋2×0.03)内取值的概率在95%以上，故该厂生产的零件尺寸允许值范围为(24.94,25.06)．三、解答题16．某个工厂的工人月收入服从正态分布N (500,202)，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少？[解析] 设该工厂工人的月收入为ξ，则ξ～N (500,202)，所以μ＝500，σ＝20， 所以月收入在区间(500－3×20,500＋3×20)内取值的概率是0.9974，该区间即(440,560)．因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有1200×(1－0.9974)＝1200×0.0026≈3(人)．17．实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等次，若考核为合格，则授予10分降分资格；考核优秀，授予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为23、23、12，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率．(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[解析] (1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E .则事件A 、B 、C 是相互独立事件，事件A － B － C －与事件E 是对立事件，于是P (E )＝1－P (A － B － C －)＝1－13×13×12＝1718.(2)ξ的所有可能取值为30、40、50、60. P (ξ＝30)＝P (A － B － C －)＝13×13×12＝118，P (ξ＝40)＝P (A B － C －)＋P (A －B C －)＋P (A － B －C )＝23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝518，P (ξ＝50)＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝818，P (ξ＝60)＝P (ABC )＝418.所以ξ的分布列为118＋40×518＋50×818＋60×418＝1453.E(ξ)＝30×。

2.4正态分布自主预习·探新知情景引入高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举．德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”．那么，什么是正态分布？正态分布的曲线有什么特征？新知导学1．正态曲线及其性质(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的性质：①曲线位于x轴__上方__，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线__x＝μ__对称；③曲线在x＝μ处达到峰值__12πσ__；④曲线与x轴之间的面积为__1__；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小；曲线越“瘦高”，总体分布越集中，如图乙所示．甲 乙2．正态分布一般地，如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布(normal distribution)．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N (μ，σ2)．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2)．3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝__0.6826__； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝__0.9544__； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝__0.9974__． 4．3σ原则通常服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．预习自测1．(2020·遂宁模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，若P (ξ＜2)＝P (ξ＞6)＝0.15，则P (2≤ξ＜4)等于( B )A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7[解析] 由题意可得P (2≤ξ<4)＝1－0.15×22＝0.35，故选B ．2．(2020·孝义市一模)一次考试中，某班学生的数学成绩X 近似服从正态分布N (100,100)，则该班数学成绩的及格率可估计为(成绩达到90分为及格)(参考数据：P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.68)( D )A ．60%B ．68%C ．76%D ．84%[解析] ∵X 服从正态分布N (100,100)，∴P (90≤X ＜100)＝12P (90≤X ≤110)＝12×0.68＝0.34， P (X ≥100)＝0.5，∴P (X ≥90)＝0.34＋0.5＝0.84． 故选D ．3．已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，且P (ξ<2)＝0.6，则P (0<ξ<1)＝__0.1__． [解析] ∵随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)， ∴曲线关于直线x ＝1对称， ∵P (ξ<2)＝0.6，∴P (0<ξ<1)＝0.6－0.5＝0.1， 故答案为0.1．4．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N (100，102)，已知P (90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为__10__．[解析] 由ξ～N (100,102)知，μ＝100，σ＝10， 又P (90≤ξ≤100)＝0.3，∴P (ξ>110)＝P (ξ<90)＝1－P (90≤ξ≤110)2＝1－2P (90≤ξ≤100)2＝1－2×0.32＝0.2．∴该班学生成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10人．5．商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N (10，0.12)(单位：kg)．任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2 kg 的概率是多少？[解析] 因为大米的质量服从正态分布N (10,0.12)，要求质量在9.8～10.2的概率，需化为(μ－2σ，μ＋2σ)的形式，然后利用特殊值求解．由正态分布N (10,0.12)知，μ＝10，σ＝0.1，所以质量在9.8～10.2kg 的概率为P (10－2×0.1<X ≤10＋2×0.1)＝0.954 4．互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶正态曲线及其性质典例1如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的数学期望和方差．[解析]从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以1 2π·σ＝12π，解得σ＝ 2.所以正态分布密度函数的解析式是f(x)＝12πe－(x－20)24，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望μ＝20，方差σ2＝(2)2＝2．『规律总结』求正态曲线的两个方法(1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为12πσ．(2)待定系数法：求出μ，σ即可．┃┃跟踪练习1__■(1)(2020·青岛高二检测)青岛市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)＝1102π·e－(x－80)2200(x∈R)，则下列命题不正确的是(B)A．该市这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为10(2)设随机变量X～N(1,32)，若P(X≤c)＝P(X>c)，则c＝(B)A．0B．1C．2D．3[解析](1)由密度函数知，均值(期望)μ＝80，标准差σ＝10，又曲线关于直线x＝80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B是错误的．(2)因为P(X≤c)＝P(X>c)，所以c＝1，故选B．命题方向❷利用正态分布求概率典例2已知ξ～N(4，σ2)，且P(2<ξ<6)＝0.682 6，则σ＝__2__，P(|ξ－2|<4)＝__0.84__．[解析]∵ξ～N(4，σ2)且P(2<ξ<6)＝0.682 6，∴μ＝4，结合“3σ”原则可知⎩⎪⎨⎪⎧μ＋σ＝6，μ－σ＝2，∴σ＝2．∴P (|ξ－2|<4)＝P (－2<ξ<6) ＝P (－2<ξ<2)＋P (2<ξ<6)＝12[P (－2<ξ<10)－P (2<ξ<6)]＋P (2<ξ<6) ＝12P (－2<ξ<10)＋12P (2<ξ<6) ＝12[P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＋P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)] ＝12(0.997 4＋0.682 6)＝0.84． 『规律总结』 求在某个区间内取值的概率的方法(1)利用X 落在区间(μ－σ，μ＋σ]、(μ－2σ，μ＋2σ]、(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 6,0.954 4，0.997 4求解．(2)充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解．①熟记正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等． ②P (X <a )＝1－P (X ≥a )； P (X <μ－a )＝P (X >μ＋a )． ┃┃跟踪练习2__■(1)已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2<ξ<2)＝( C ) A ．0.477 B ．0.625 C ．0.954D ．0.977(2)设随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，若P (ξ>c )＝a ，则P (ξ>4－c )等于( B ) A ．a B ．1－a C ．2aD ．1－2a[解析] (1)P (－2<ξ<2)＝1－2P (ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954． (2)对称轴x ＝2，∴P (ξ>4－c )＝1－P (ξ>c )＝1－a ． 命题方向❸正态分布的应用典例3 某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸X ～N (4,0.25)．质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm ，试问该厂生产的这批零件是否合格？[思路分析] 判断某批产品是否合格，主要运用统计中假设检验的基本思想．欲判定这批零件是否合格，关键是看随机抽查的一件产品的外径尺寸是在(μ－3σ，μ＋3σ)之内还是在(μ－3σ，μ＋3σ)之外．[解析]由于圆柱形零件的外径尺寸X～N(4,0.25)，由正态分布的特征可知，X在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)(即(2.5,5.5))之外取值的概率约为0.002 7.而5.7∉(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂生产的这批产品是不合格的．『规律总结』在解决有关问题时，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况．求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法：(1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值．(2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化．(3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果．┃┃跟踪练习3__■某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占多少？(2)成绩在80～90内的学生占多少？[解析](1)设学生的得分情况为随机变量X，X～N(70,102)，则μ＝70，σ＝10．分数在60～80之间的学生的比为：P(70－10<X≤70＋10)＝0.682 6，所以不及格的学生的比为12(1－0.682 6)＝0.158 7，即成绩不及格的学生占15.87%．(2)成绩在80～90内的学生的比为12[P(70－2×10<x≤70＋2×10)－0.682 6]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9．即成绩在80～90间的学生占13.59%．学科核心素养假设检验的思想(1)统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设．(2)若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则ξ落在区间(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率为0.997 4，亦即落在区间(μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率为0.002 6，此为小概率事件．如果此事件发生了，就说明ξ不服从正态分布．(3)对于小概率事件要有一个正确的理解：小概率事件是指发生的概率小于3%的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约33次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有3%犯错的可能性．典例4某厂生产的产品，质量要求服从正态分布N(100,4)，现从产品中抽取了10件，测得质量分别为102,92,104,103,98,96,97,99,101,108，则该生产线是否要停产检修？[思路分析]由题意可知产品质量服从正态分布，又由于质量在区间(100－2,100＋2]，即(98,102]内的概率为0.682 6，在区间(96,104]内的概率为0.954 4，在区间(94,106]内的概率为0.997 4，所以据此可以判断结论．[解析]由题意知产品质量X服从正态分布N(100,22)，产品质量在区间(100－3×2,100＋3×2]，即(94,106]内的概率为0.997 4，而在这个区间外的概率仅为0.002 6，在抽测的10件产品中有2件(分别是92,108)不在这个区间内，小概率事件竟然发生了，说明生产线有问题，故应停产检修．『规律总结』假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N(μ，σ2)．②确定一次试验中的取值a是否落入区间(μ－3σ，μ＋3σ]内．③作出判断：如果a∈(μ－3σ，μ＋3σ]，则接受统计假设．如果a∉(μ－3σ，μ＋3σ]，则拒绝统计假设．┃┃跟踪练习4__■假设某省今年高考考生成绩服从正态分布N(500,1002)，某校有考生2 400人，试估计成绩在下列范围内的考生人数．(1)(400,600]；(2)(300,700]．[解析](1)因为该正态分布中，μ＝500，σ＝100.所以区间(400,600]即为(μ－σ，μ＋σ]，其概率为0.6826，所以成绩在(400,600]范围内的考生人数约为2 400×0.682 6≈1 638(人)．(2)同理可求成绩在(300,700]内的考生人数约为2 400×0.954 4≈2 291(人)．易混易错警示因对正态曲线的对称性认识不够而致错典例5已知X～N(μ，σ2)，且P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，则μ＝__－2__．[辨析]对正态分布的正态曲线的对称性理解不到位而致误，充分认识P(X<a)＋P(X≥a)＝1这一结论．[正解]因为P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，又P(X<－4)＋P(X≥－4)＝1．所以P(X>0)＝P(X<－4)．因此正态曲线的对称轴为x＝－2.所以μ＝－2．[误区警示]错解的原因在于对正态曲线的对称性没有充分的认识，无法将所给条件进一步转化，找不清解题的思路．本题的关键在于P(X<－4)＋P(X≥－4)＝1的运用，由此得到解题的突破口．课堂达标·固基础1．设随机变量X服从正态分布，且相应的函数φ(x)＝16πe－x2＋4x－46，则(C)A．μ＝2，σ＝3B．μ＝3，σ＝2 C．μ＝2，σ＝3D．μ＝3，σ＝ 3[解析]由φ(x)＝12π×3e－(x－2)22(3)2，得μ＝2，σ＝ 3.故选C．2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内(C)A．(90,110]B．(95,125]C．(100,120]D．(105,115][解析]由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5．因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.682 6,0.954 4,0.997 4．由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0.682 6≈41人，60×0.954 4≈57人，60×0.997 4≈60人．故选C．3．如图是三个正态分布X～N(0,0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线分别是图中的__①__、__②__、__③__．[解析] 在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．4．在某市组织的一次数学考试中，全体参加考试学生的成绩近似服从正态分布N (60,100)，已知数学成绩在90分以上的学生有13人．试求参加数学考试的学生共有多少人？[解析] 设学生的数学成绩为X ，共有n 人参加数学考试， ∵X ～N (60,100)，∴μ＝60，σ＝10．∴P (X >90)＝12[1－P (30<X ≤90)]＝12×(1－0.997 4)＝0.001 3．又P (X >90)＝13n ，∴13n ＝0.001 3，∴n ＝10 000，即此次参加数学考试的学生共有10 000人．。

2020年高中数学选修2-3《2.4正态分布》测试卷
一．选择题（共9小题）
1．已知随机变量ξ的概率密度函数为，则＝（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】由随机变量ξ的概率密度函数的意义知：概率密度函数图象与x轴所围曲边梯形的面积即为随机变量在某区间取值的概率，由此将问题转化为计算定积分问题，利用微积分基本定理计算定积分即可
【解答】解：由随机变量ξ的概率密度函数的意义知：
＝（2x）dx＝（x2）＝﹣＝
故选：D．
【点评】本题考查了连续性随机变量概率密度函数的意义，连续性随机变量在某区间取值的概率的计算方法，定积分的意义及计算方法
2．已知随机变量x﹣y+1＝0服从正态分布N（3，σ2），P（ξ≤4）＝0.68，则P（ξ≥2）＝（）
A．0.84B．0.68C．0.32D．0.16
【分析】直接利用正态分布的应用和密度曲线的对称性的应用求出结果．
【解答】解：根据随机变量x﹣y+1＝0服从正态分布N（3，σ2），所以密度曲线关于直线x＝3对称，由于P（ξ≤4）＝0.68，所以P（ξ≥4）＝1﹣0.68＝0.32，
所以P（ξ≤2）＝0.32，
则P（2≤ξ≤4）＝1﹣0.32﹣0.32＝0.36，
所以P（ξ≥2）＝0.36+0.32＝0.68．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
3．在2020年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩X～N（86，σ2），若已知P（80＜X≤86）＝0.36，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92
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