河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷( ２005 — 2００6 学年第 二 学期）考核科目 概率论与数理统计 课程类别 必修 考核方式 考试 卷别 A 卷一、选择题：(共15分,每小题3分）１、设A 、Ｂ是任意两个事件，则()P A B -=( ) A 、()()P A P AB - Ｂ、()()()P A P B P AB +- C 、()()P A P B - D 、()()()P A P B P AB +- 2、设(,)XB n p ,E(X ）=１0, D(X)＝9,则p =( ）A 、０.1 Ｂ、0．９ C 、0.7 Ｄ、0.33、设随机变量),(Y X 的方差,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则方差(32)D X Y -=( ） A 、４0 B 、34 C 、25.6 D 、１7．64、随机变量,X Y 满足()()()E XY E X E Y =,则（ ) A 、()()()D XY D X D Y = B 、()()()D X Y D X D Y +=+ Ｃ、X 与Y 互不相容 D 、X 与Y 相互独立 ５、已知1,,n X X 是来自总体X 的样本,μ已知，2σ未知，X 为样本均值，2S 为样本方差,则下列哪个不可以．．．作为统计量( ) A 、()μ=-∑211ni i X n B 、()=-∑211n i i X X n Ｃ、μ-X s D 、μσ-X二、填空题:(共２0分,每小题2分)1、 设事件A 与B 相互独立,Ｐ(A)=０.4，Ｐ（A ＋B)=0.7,则Ｐ(B)= ．2、 设连续型随机变量Ｘ的分布函数为F(X)=A+B arctan x ，则A= ,B ＝ .3、 随机变量,X Y 相互独立且服从同一分布，{}{}(1)/3P X k P Y k k ====+,0,1k =,则{}P X Y ==.4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则()()D X E X ＝_＿_＿＿__＿__.5、设()1,2XN ,()-1,3YN ，且X 与Y 相互独立，则2X －Ｙ ．6、设1,,n X X 是来自总体X 的样本,则1,,n X X 应满足的条件是 、 .７、设总体X 服从正态分布()2,N μσ,X 是样本均值，2n S 是样本方差,n 为样本容量,则常用统计量()0,1N .８、衡量点估计量好坏的标准有 . 9、设总体X 的均值为μ，方差为σ2，1,,n X X 是来自总体X 的样本,X 是样本均值，2n S 是样本方差,则不论总体服从什么分布,总体均值μ的无偏估计量为 ． 1０、在假设检验中,若H 0表示原假设，则第Ⅰ类错误是指 . 三、计算题:（共65分)1、袋中有10个球，三白七黑，不放回地取两次,一次取一个. (１)第一次取到白球的概率 （5分） (2）第二次取到白球的概率. (5分)2、设二维随机变量(),X Y 具有联合概率密度()(),01,0,c x y y x f x y +≤≤≤⎧⎪=⎨⎪⎩其它..（1)求常数c (5分）(2）求,X Y 的边缘密度函数()X f x ,()Y f y ,并讨论,X Y 的独立性 (１0分） (３)计算{}1P X Y +≤. （５分)3、设二维随机变量(),X Y 具有概率密度()<<<⎧⎪=⎨⎪⎩其它1,,01,0,y x x f x y .求:()E X ，()E Y , (),Cov X Y , XY ρ. （15分)4、设总体X 具有概率密度()θθ=+<<(1),01f x x x ,其中θ>-1为未知参数,1,,n X X 是来自总体X 的一个样本.求参数θ的最大似然估计量. (10分)5、设某种清漆的9个样品,其干燥时间（以小时计）分别为6.０ 5.７ ５．８ 6．５ 7.0 6.3 ５.6 6．1 5.0设干燥时间总体服从正态分布()2,N μσ,2σ未知,求μ的置信水平为０.９5的置信区间.(()()====0.0250.0250.0250.058 2.306,9 2.2622, 1.960, 1.645t t Z Z ） (10分)河北大学课程考核参考答案及评分标准（ 2005 — ２０0６ 学年第 二 学期)考核科目 概率论与数理统计 课程类别 必修 考核方式 闭卷 卷别 A 卷一. A A C B D二.1、0.5 2、π11,2 3、5/9 4、1 5、(3,11)N ６、相互独立 与总体具有相同分布 7、μσ-X8、无偏性 有效性 相合性 ９、X 1０、H 0为真时拒绝H 0 三. 1、记A 1为事件“第一次取到白球”,A 2表示事件“第二次取到白球”, …(２分）则此为古典概型问题:从10个球中不放回取两次，一次取一个，共有１０×9种取法,……………………………………………………………………（2分） 第一次取到白球有３×９种取法,所以⨯==⨯1393()10910P A …………………………(3分) 第二次取到白球有7×3+３×2种取法，所以⨯+⨯==⨯273323()10910P A ………………………(３分） 2、如图阴影所示 （1) +∞+∞-∞-∞==+==⎰⎰⎰⎰⎰11200031(,)()22xc f x y dxdy dx c x y dy cx dx , 得到=2c ………………………………………………………………(5分） (2) 当<<01x 时()+∞-∞==+=⎰⎰20(,)2()3xX f x f x y dy x y dy x …………………(2分)当≤≥或01x x 时，由于被积函数(,)f x y =0,所以=()0X f x …………（1分)所以()<<⎧⎪=⎨⎪⎩其它23,010,X x x f x …………………………………………(2分）同理可以求出 ()+-<<⎧⎪=⎨⎪⎩其它2123,010,Y y y y f y ………………………(2分)因为(,)()()X y f x y f x f y ≠⋅，所以X 和Y 不是独立的…………………（3分）D（３）{}1P X Y +≤=()()112010122y yx y y x x y dxdy x y dx -+≤≤≤≤+=+⎰⎰⎰⎰13=……………(5分）3、()+∞+∞-∞-∞-===⎰⎰⎰⎰102(),3xx E X xf x y dxdy dx xdy ……………………………（２分）()+∞+∞-∞-∞-===⎰⎰⎰⎰1(),0xx E Y yf x y dxdy dx ydy ……………………………(1分)()()+∞+∞-∞-∞-===⎰⎰⎰⎰1,0xxE XY xyf x y dxdy dx xydy …………………………（2分）于是()()()()=-=,0Cov X Y E XY E X E Y ………………………………（2分）ρ==0XY …………………………………………………(2分）４、似然函数为θθθθ)()1(),()(211n ni n i x x x x f L ∏=+==…………………………(2分）取对数∑=++=ni i x n LnL 1ln )1ln()(θθθ ……………………………………（2分)0ln 1)(1=++=∑=ni i x nd dLnL θθθ,得1ln 1--=∑=n i ix n θ …………………(2分) 即最大似然估计量为：θ==--∑1ˆ1ln nii nX……………………………………(2分)又因为θθ=====∑∑1111ˆ()()()n ni i i i E E X E X n n ，所以该估计是无偏估计………（2分) 5、2σ未知,-(1)X tn ,所以μ的置信水平为α-1的置信区间为()α±-2(1)SX n …………………………（4分） 这里()()ααα=-==-==0.02529,10.95,0.05,18 2.306n t n t ,…………………(3分) 由给出的数据得到=6X ，=20.33S ,得到μ的置信水平为0.95的置信区间为()()±⨯=±=(6 2.306)60.442 5.558,6.4423………（3分)河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷( ２0０５ — 20０6 学年第 二 学期）考核科目 概率论与数理统计 课程类别 必修 考核方式 考试 卷别 B 卷一、选择题:(共15分，每小题3分)1、设A 、B 、C 是三个随机事件，则三个事件中至少有一个发生可表示为（ ) A 、ABC B 、ABC C 、⋃⋃A B C D 、⋃⋃A B C2、设(,)XB n p ，E （X)=10, D(X)=9,则p =( ）A 、０.1 Ｂ、０.9 C 、0.7 Ｄ、0．３3、设随机变量(,)X Y 的方差,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则方差(32)D X Y -=（ ) A 、４0 B 、34 C 、25.6 D 、17.６4、设随机变量X 服从泊松分布，且{0}{1}P X P X ===,则{2}P X ==( )A 、eB 、2e Ｃ、1e D 、12e５、下列哪个是总体方差Ｄ(Ｘ)的无偏估计量( )Ａ、()=-∑211n i i X X n B 、()=--∑2111n i i X X n C 、=∑211n i i X n D 、=-∑2111ni i X n 二、填空题：（共20分,每小题2分）4、 已知===()0.5,()0.6,()0.8,P A P B P B A 则⋃()P A B = .2、若Y 在()1,6上服从均匀分布， 则方程210x Yx ++=有实根的概率是 ． ３、随机变量,X Y 相互独立，概率密度函数分别为(),()X Y f x f y ，则Z X Y =+的概率密度函数()Z f z = ．4、n 个不同的球随机地放入n 个盒中,有空盒的概率为P = ．５、已知随机变量Ｘ，E （Ｘ)=a ，则E[E(X)]= ， D[D(X)］= . 6、设()1,2X N ，()-1,3YN ，且X 与Y 相互独立，则2X-Y .7、设1,,n X X 是来自总体X 的样本,则1,,n X X 应满足的条件是 、．8、衡量点估计量好坏的标准有 . ９、设总体X 服从正态分布()2,N μσ，2σ未知，1,,n X X 是来自总体X 的一个样本，X 是样本均值，2n S 是样本方差,则假设检验问题00,10::H H μμμμ=≠中的检验统计量为 ．10、在假设检验中，若H 0表示原假设,则第Ⅱ类错误是指 . 三、计算题:（共65分)１、生产某零件,生产情况正常时,零件的次品率为３﹪,生产情况不正常时,零件的次品率为20﹪.据以往经验生产情况正常的概率为8０﹪.(1)抽取一个零件,求它是次品的概率 （5分） （2)已知零件是次品,求生产情况正常的概率. (5分)2、设二维随机变量(),X Y 具有概率密度()∈⎧⎪=⎨⎪⎩其它3,(,),0,y x y G f x y ，其中区域G 是由y 轴，y=x,y=1围成的．(1) 求,X Y 的边缘密度函数()X f x ,()Y f y （10分） (2） 讨论,X Y 的独立性 (５分) （3） 计算{}>P Y X ． （5分) ３、设随机变量(0,1)XN ，求=2Y X 的概率密度. (10分)4、设二维随机变量(),X Y 具有概率密度()()1,02,028,0,x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.．求:()E X ,()E Y , (),Cov X Y , XY ρ. (15分)5、已知总体X 的概率密度为()θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其它1,00,xe xf x ，其中θ>0为未知参数，1,,n X X 是来自总体X 的一个样本.求参数θ的最大似然估计量， 并说明该估计是无偏估计. （１0分)（ 20０５ — ２006 学年第 二 学期）考核科目 概率论与数理统计 课程类别 必修 考核方式 闭卷 卷别 B 卷一. C A C Ｄ B二.1、0.7 2、0.8 3、()()+∞-∞-⎰X Y f x f z x dx 或()()+∞-∞-⎰X Y f z y f y dy４、-!1n n n5、ａ，06、(3,11)N ７、相互独立 与总体具有相同分布8、无偏性 有效性 相合性 9、X １0、H 0不真时接受H 0三． 1、记H 为事件“生产情况正常”，则H 表示事件“生产情况不正常”， 记A 为事件“零件为次品” ………………………………………………（2分）由题意，==()0.8,()0.2P H P H ,==()0.03,()0.2P A H P A H ……………（２分) (1)由全概率公式=+=()()()()()0.064P A P H P A H P H P A H ………………（3分) (2）由贝叶斯公式==()()3()()8P H P A H P H A P A ………………………………(3分) ２、如图阴影所示（1)X 的边缘概率密度为当<<01x 时()()+∞-∞===-⎰⎰123(,)312X x f x f x y dy ydy x …………………（2分) 当≤≥或01x x 时，由于被积函数(,)f x y =0,所以=()0X f x …………(２分）因此()231,01()20,X x x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其它………………………………………(1分)同理可得23,01()20,Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它………………………………………(5分）(2)因为(,)()()X y f x y f x f y ≠⋅，所以X 和Ｙ不是独立的…………………（5分)(3){}>==⎰⎰(,)1GP Y X f x y dxdy ……………………………………………(5分)3、先求分布函数{}y X p y Y p y F Y ≤=≤=2}{)(…………………………………（2分) 当0≥y 时，{}y x y p y F Y ≤≤-=)(⎰-=y ydx x f )(=dx ex yy2221--⎰π…………(2分)所以2'21)()(y eyy F y f -==π…………………………………………………（2分）当0<y 时，0)(=y F Y ，因此=)(y f 0 ……………………………………(２分）所以，Y 的概率密度函数为()-≥=⎩其它2,00,yY y f y …………………（2分）4、()()+∞+∞-∞-∞==⋅+=⎰⎰⎰⎰22017(),86E X xf x y dxdy x x y dydx ……………………(2分） 由对称性知,=7()6E Y ……………………………………………………（1分)()()()2201,8E XY xyf x y dxdy xy x y dydx +∞+∞-∞-∞==⋅+⎰⎰⎰⎰2201842833y y dy ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰（2分) 于是()()()()4771,36636Cov X Y E XY E X E Y =-=-⋅=-……………………（2分）()()()2222232000115843E X x x y dydx x x dx =⋅+=+=⎰⎰⎰……………………… (２分) 由对称性知,()253E Y = ……………………………………………… (1分）故()()()[]221136D X E X E X =-=,()1136D Y = ……………………………（3分）于是111XY ρ==-…………………………………………（2分）５、似然函数为∑===-=∏ni ix nni i ex f L 1111)()(θθθ………………………………………（２分）取对数∑=--=ni i x n LnL 11ln )(θθθ ……………………………………………（2分）01)(12=+-=∑=ni i x n d dLnL θθθθ，得∑==ni i x n 11θ ………………………（2分)即最大似然估计量为:θ==∑11ˆni i X n ………………………………………（2分)又因为θθ=====∑∑1111ˆ()()()n n i i i i E E X E X n n ，所以该估计是无偏估计………（2分）河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷2０08—2009学年第二学期 2007 级 工商 专业(类）考核科目 概率统计 课程类别 必修 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 A（注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效)一.选择题（每小题2分,共２０分)1.设Ａ，B 为两个互不相容事件,则下列各式中错误．．的是（ ) Ａ.P (AB )＝0ﻩB.()()()P A B P A P B ⋃=+ Ｃ．()()()P A B P A P B ⋃=ﻩＤ．P (B -A )＝P （B ）２.设事件A ,B 相互独立,且Ｐ（Ａ)=51)(,31=B P ，则)|(B A P ＝( ）A ．151 B.51 C.154ﻩ D.313．设随机变量Ｘ~B ⎪⎭⎫⎝⎛31,3,则{1}P X ≥=( )A ．271 B.278 Ｃ．2719ﻩ D ．2726 ４.设随机变量2~(1,2)X N ,则2()E X =（ )A ．5 Ｂ.４ C.3 D.15．已知随机变量Ｘ的分布函数为001012()213313x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩，则{1}P X ==( ）A ．16B ．12 Ｃ.23Ｄ．16.设随机变量Ｘ的概率密度为01()2120x x f x xx <≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它,则{0.2 1.2}P x <<=（ ) A ．０.5ﻩ B ．0.6 C ．０.66 Ｄ．.0.77．设二维随机变量（X ,Y )~,02,01(,)0,k x y x y f x y +≤≤≤≤⎧=⎨⎩（）其它，则k =( )A ．14 B ．13 C ．12ﻩ D.238．设(X ，Ｙ)为二维连续随机变量,则Ｘ与Y 不相关的充分必要条件是（ ) A ．X 与Y 相互独立 B ．()E X Y EX EY +=+C.()E XY EX EY =⋅ D ．221212(,)~(,,,,0)X Y N μμσσ 9.设总体n X X X N X ,,,),,(~212σμ为来自总体X 的样本，2,σμ均未知，则2σ的无偏估计量是( ）A ．∑=--ni iX Xn 12)(11B ．∑=--ni iXn 12)(11μC.∑=-ni i X X n12)(1 D.∑=-+ni iXn 12)(11μ10．设α、β分别是假设检验中第一、二类错误的概率，且H 0、Ｈ1分别为原假设和备择假设,则下列结论中正确的是( )A.在H 0成立的条件下,经检验H 1被接受的概率为βB.在H 1成立的条件下,经检验H 0被接受的概率为α C ．α=βＤ.若要同时减少α、β,需要增加样本容量 二.填空题（每小题3分，共３0分）1.已知B A ⊂，()0.2P A =，()0.3P B =,则()P BA =___ ___＿＿__＿_＿_.2.设离散型随机变量X 的分布律为 ,则常数C=__＿ ___＿_．3．设随机变量Ｘ在区间[0,5]上服从均匀分布，则()()E D X =_＿_＿___＿＿_＿__＿.4.设~(0,1)X N ,()x Φ为其分布函数，则()()x x Φ+Φ-=_________＿__．５．设随机变量Ｘ~B ⎪⎭⎫⎝⎛31,18，Ｙ服从参数为3的泊松分布，且X 与Y 相互独立，则D （X +Y ）=＿___。
