【提优教程】江苏省高中数学竞赛第62讲多项式教案

高中数学面试用的教案
教学目标：
1. 理解多项式函数的概念及其性质。

2. 掌握多项式函数的加减、乘法运算规律。

3. 能够用多项式函数解决实际问题。

教学重点：
1. 多项式函数的定义和性质。

2. 多项式函数的加减、乘法运算。

教学难点：
1. 理解多项式函数的性质。

2. 运用多项式函数解决实际问题。

教具准备：
1. 多项式函数的定义和性质的课件。

2. 习题集。

3. 计算器。

教学步骤：
第一步：导入新知识（5分钟）
老师简单介绍多项式函数的概念，并和学生一起讨论多项式函数可能具有的性质。

第二步：讲解多项式函数的定义和性质（15分钟）
通过课件展示，详细讲解多项式函数的定义、次数、系数、常数项等性质，并让学生举例说明。

第三步：讲解多项式函数的加减法（15分钟）
通过示范多项式函数的加减法运算规则，让学生跟随进行练习。

第四步：讲解多项式函数的乘法（15分钟）
通过示范多项式函数的乘法运算规则，让学生跟随进行练习。

第五步：应用实际问题（10分钟）
老师设计一些实际问题，让学生运用所学的多项式函数知识进行解答。

第六步：课堂小结（5分钟）
对本节课所学内容进行概括总结，并鼓励学生积极参与。

教学反馈：
通过课堂活动和习题练习，检验学生的掌握情况，及时给予反馈。

2021-2022年高中数学竞赛辅导资料《二项式定理与多项式》1．二项工定理∑=-∈=+nk kk n k n nn b a C b a 0*)()(N2．二项展开式的通项)0(1n r b a C T rr n r nr ≤≤=-+它是展开式的第r+1项. 3．二项式系数4．二项式系数的性质 （1）（2）).10(111-≤≤+=---n k C C C k n k n k n（3）若n 是偶数，有nnn n n nnn C C CC C >>><<<-1210，即中间一项的二项式系数最大.若n 是奇数，有nnn n n nn nn n C C CCC C >>>=<<<-+-1212110 ，即中项二项的二项式系数相等且最大.（4）.2210nn n n n n C C C C =++++（5）.21531420-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C（6）.1111----==k n kn k n k n C kn C nC kC 或 （7）).(n k m C C C C C C mm k n m k n m k m n m n m k k n ≤≤=⋅=⋅+---- （8）.1121++++++=+++++n k n n k n n n n n n n C C C C C以上组合恒等式（是指组合数满足的恒等式）是证明一些较复杂的组合恒等式的基 本工具.（7）和（8）的证明将在后面给出. 5．证明组合恒等式的方法常用的有（1）公式法，利用上述基本组合恒等式进行证明.（2）利用二项式定理，通过赋值法或构造法用二项式定理于解题中. （3）利用数学归纳法.（4）构造组合问题模型，将证明方法划归为组合应用问题的解决方法.例题讲解1．求的展开式中的常数项.2．求的展开式里x 5的系数.3．已知数列满足 ),,3,2,1(211 ==++-i a a a i i i 求证：对于任何自然数n ，nn n n n n n n n n n n n n xC a x x C a x x C a x x C a x C a x p +-++-+-+-=-----)1()1()1()1()(111222211100 是x 的一次多项式或零次多项式.4．已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,2222θπθθn b a A ba ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求证：对一切，A n 均为整数.5．已知为整数，P 为素数，求证：)(m od )(P y x y x P P P +≡+6．若)10*,,()25(12<<∈+=++ααN m r m r ，求证：7．数列中，，求的末位数字是多少？8．求N=1988－1的所有形如为自然数）的因子d 之和.9．设8219)22015()22015(+++=x ，求数x 的个位数字.10．已知),2,1(8,1,01110 =-===-+n a a a a a n n n 试问：在数列中是否有无穷多个能被15整除的项？证明你的结论.课后练习1．已知实数均不为0，多项ββαα++-=x x x x f 23)(的三根为，求 的值.2．设d cx bx ax x x f ++++=234)(，其中为常数，如果,3)3(,2)2(,1)1(===f f f 求的值.3．定义在实数集上的函数满足：).(,1)1()(x f x x xf x f 求+=-+4．证明：当n=6m 时，.033325531=-⋅+⋅+⋅- n n n n C C C C5．设展开式为n n x a x a x a a 222210++++ ，求证：6．求最小的正整数n ，使得的展开式经同类项合并后至少有1996项.7．设，试求：（1）的展开式中所有项的系数和. （2）的展开式中奇次项的系数和.8．证明：对任意的正整数n ，不等式nnnn n n )12()2()12(-+≥+成立.例题答案：1.解：由二项式定理得77)]1(1[)11(xx x x ++=++77772271707)1()1()1()1(xx C x x C x x C x x C C r r ++++++++++= ①其中第项为 ②在的展开式中，设第k+1项为常数项，记为 则)0(,)1(2,1r k x C xxC T k r k r k kr kr k ≤≤==--+ ③ 由③得r －2k=0，即r=2k ，r 为偶数，再根据①、②知所求常数项为.39336672747172707=+++C C C C C C C评述：求某一项时用二项展开式的通项. 2. 解：因为6662)1()31()321(x x x x -+=-+].1][)3()3()3(31[6665564463362261666633622616x C x C x C x C x C x C x C x C x C x C +-+-+-⋅++⋅+⋅+⋅+= 所以的展开式里x 5的系数为26363362624616563)(33)(1C C C C C C C ⋅+-+⋅+- .16813)(356516464-=⋅+-⋅+C C C评述：本题也可将化为用例1的作法可求得.3. 分析：由是等差数列，则),,2,1(01 =+=+=-i id a d a a i i 从而可将表示成的表达式，再化简即可.解：因为),3,2,1(211 ==++-i a a a i i i 所以数列为等差数列，设其公差为d 有 从而nn n n n n n n n xC nd a x x C d a x x C d a x C a x P )()1()2()1()()1()(022*******+++-++-++-=-- ],)1(2)1(1[])1()1([222111100n n n n n n n n n n n n n n x nC x x C x x C d x C x x C x C a ++-+-⋅+++-+-=--- 由二项定理，知,1])1[()1()1()1(222110=+-=++-+-+---n nn n n n n n n n x x x C x x C x x C x C又因为,)]!1()1[()!1()!1()!(!!11--=-----⋅=-⋅=k n k n nC k n k n n k n k n k kC 从而nn n n n n n x nC x x C x x C ++-+--- 22211)1(2)1(])1()1[(12111----++-+-=n n n n x x x C x nx 所以当的一次多项式，当零次多项式.4. 分析：由联想到复数棣莫佛定理，复数需要，然后分析A n 与复数的关系.证明：因为.sin 1cos ,,20,2sin 2222222b a b a b a b a ab +-=-=><<+=θθπθθ所以且显然的虚部，由于.)()(1)2()(1)2(2222222222222n nn n bi a b a abi b a b a i b a ab b a b a ++=+-+=+++-= 所以.)()sin (cos )(222n n bi a n i n b a +=++θθ从而n n n bi a n b a A 222)(sin )(++=为θ的虚部.因为a 、b 为整数，根据二项式定理，的虚部当然也为整数，所以对一切，A n 为整数. 评述：把A n 为与复数联系在一起是本题的关键.5. 证明：P P p P P P P P P P y xy C y x C y x C x y x +++++=+----1122211)(由于)1,,2,1(!)1()1(-=+--=P r r r p p p C r P 为整数，可从分子中约去r ！，又因为P 为素数，且，所以分子中的P 不会红去，因此有所以评述：将展开就与有联系，只要证明其余的数能被P 整除是本题的关键.6. 分析：由已知1)()25(12=++=++αααm m r 和 猜想，因此需要求出，即只需要证明为正整数即可.证明：首先证明，对固定为r ，满足条件的是惟一的.否则，设],),1,0(,*,,[2121212122ααααα≠≠∈∈+=m m m m m N则)1,0()0,1(,,021212121⋃-∈-∈-≠-=-ααααZ m m m m 而矛盾.所以满足条件的m 和是惟一的. 下面求.因为12212212211212012121222)5(2)5()5()25()25(+-++++++++⋅+⋅+=--+r r r r r r r r r C C C ]22)5(2)5()5([12212212211212012+-++++-+⋅+⋅--r r r r r r r C C C*]252525[2]22)5(2)5([21212121231312112123223122112N ∈+++⋅⋅+⋅=++⋅+⋅=+--+-+++-++r r r r r r rr r r r r r CCCC C又因为)1,0()25(),1,0(2512∈-∈-+r 从而所以)2252525(21212121231312112+--+-+++⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅=r r r r r r r r r C C C m故 .1)45()25(1212=-=+++r r 评述：猜想121212)25()25(,)25(+++-+-=r r r 与α进行运算是关键. 7. 分析：利用n 取1，2，3，…猜想的末位数字.解：当n=1时，a 1=3，3642733321+⨯====aa 27)81(3)81(3)3(3336363643642732⨯=⋅=⋅====+⨯a a ，因此的末位数字都是7，猜想， 现假设n=k 时， 当n=k+1时， 34341)14(33+++-===m m a k ka34034342412434124134034034)1(4)1(4)1(4)1(4++++++++++-⋅⋅+-⋅⋅++-⋅⋅+-⋅=m m m m m m m m m m C C C C 从而 于是.27)81(33341⨯===++m m a n na 故的末位数字是7.评述：猜想是关键.8. 分析：寻求N 中含2和3的最高幂次数，为此将19变为20－1和18+1，然后用二项式定理展开.解：因为N=1988－1=(20－1)88－1=(1－4×5)88－1=－888888888787878833388222881885454545454⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯C C C C C)552(22552565-=⨯+⨯-=M M 其中M 是整数.上式表明，N 的素因数中2的最高次幂是5. 又因为N=(1+2×9)88－18888888822288188929292⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯=C C C=32×2×88+34·P=32×（2×88+9P ）其中P 为整数. 上式表明，N 的素因数中3的最高次幂是2.综上所述，可知，其中Q 是正整数，不含因数2和3.因此，N 中所有形如的因数的和为(2+22+23+24+25)(3+32)=744.9. 分析：直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 解：令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.)2201515(2)22015()22015(22+⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个位数字为零.因此，x +y 是个位数字为零的整数.再对y 估值，因为2.0255220155220150=<+=-<， 且1988)22015()22015(-<-，所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.评述：转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.10. 分析：先求出，再将表示成与15有关的表达式，便知是否有无穷多项能被15整除. 证明：在数列中有无穷多个能被15整除的项，下面证明之. 数列的特征方程为它的两个根为154,15421-=+=x x ，所以n n n B A a )154()154(-++= （n=0，1，2，…） 由,1521,15211,010-====B A a a 得 则],)154()154[(1521n n n a --+=取，由二项式定理得])15(42)15(421542[15211133311----⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅=n n n n n n n n C C C a),(1542)1544(154154154415415441221223232121212232321212223311为整数其中T T k C C C C C C C C C k k k kk k k k k k k k k k k n n nn nn n+⋅=⋅⋅++⋅+⋅=⋅⋅++⋅⋅+⋅=⋅⋅++⋅⋅+⋅=-----------由上式知当15|k ，即30|n 时，15|a n ，因此数列中有无穷多个能被15整除的项. 评述：在二项式定理中，经常在一起结合使用.37573 92C5 鋅34810 87FA 蟺m40530 9E52鹒~;39806 9B7E 魾34001 84D1 蓑725964 656C 敬23732 5CB4 岴%M。

多项式优秀教案一、教案概述本教案旨在通过多种教学活动和方法，帮助学生在多项式的学习过程中掌握其基本概念、性质和运算方法，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

通过多项式优秀教案的设计，旨在培养学生对多项式及其运算的兴趣，使他们能够有效地运用多项式来解决实际问题。

二、教学目标知识目标：1. 了解多项式的基本概念和性质；2. 掌握多项式的分类及其运算规则；3. 能够利用多项式解决实际问题。

能力目标：1. 培养学生的数学思维能力，提高分析和解决问题的能力；2. 培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。

情感目标：1. 培养学生对数学的兴趣，增强学习的自觉性和主动性；2. 培养学生的合作意识和创新意识。

三、教学重点和难点教学重点：1. 多项式的定义和性质；2. 多项式的分类及其运算规则。

教学难点：1. 多项式的运算规则的灵活应用；2. 运用多项式解决实际问题。

四、教学过程设计一、导入（5分钟）通过复习上节课所学的代数基础知识，如字母代数式、一元一次方程等，引出多项式的概念。

二、概念讲解（10分钟）1. 介绍多项式的定义和性质，引导学生理解多项式的含义和特点。

2. 通过示例和图示，讲解多项式中各术语的含义，如项、次数、系数等。

三、分类及运算规则（20分钟）1. 分类讲解：介绍一元多项式和多元多项式的概念，并举例说明。

2. 讲解多项式的加法和减法运算规则，通过具体例子引导学生理解运算规则的应用。

3. 引导学生探讨多项式的乘法运算规则，提供多个乘法运算的实例进行讲解。

四、练习与巩固（15分钟）1. 分组讨论：将学生分成小组，通过设计一些练习题，让学生运用所学的多项式运算规则进行解答。

2. 师生互动：教师引导学生讨论解题过程，澄清疑惑，并给予必要的指导。

3. 教师讲解并纠正：由教师对学生的解题过程进行指导和评价，纠正他们可能存在的错误。

五、应用拓展（20分钟）1. 引导学生观察和分析一些实际问题，如物体运动、商业应用等，通过建立多项式模型来解决问题。

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第76讲平几问题选讲第16讲 平几问题选讲平面几何在高中竞赛和国际竞赛中占有重要的地位，本讲将对平几中的一些典型问题的选讲，强化解平几问题的典型思想方法.A 类例题例 1 如图，已知正方形ABCD ，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且BE +DF =EF ，试求∠EAF 的度数.（1989年全国冬令营）分析 注意到BE +DF =EF ，很容易想到“截长补短”的方法．解 延长CB 到F'，使得BF'= DF ，连结AF'显然∆AF'B ≌∆AFD ．∴∠BAF'=∠DAF ，AF'=AF ．又∵EF'=BE +BF'=BE +DF ，AE 为公共边， ∴∆AF'E ≌∆AFE ． ∴∠EAF'=∠EAF ． 又∵∠FAF'=∠BAD =90º，FD CAFD CA∴∠EAF=45º．说明本题∆AF'B可以看作是∆AFD顺时针旋转90º得到的；本题也可以延长CD或旋转∆ABE.例2 如图，A 、B 、C 、D 为直线上四点，且AB =CD ，点P 为一动点，若∠APB =∠CPD ，试求点P 的轨迹．（1989年全国初中数学联赛）分析 由于已知的两个条件AB =CD 和∠APB =∠CPD ，分散在两个三角形中，需要把它们集中，于是可以进行平移或添加辅助圆建立这两个已知条件间的联系.证法一 分别过点A 、B 作PC 、PD 的平行线得交点Q .连结PQ . 在△QAB 和△PCD中,显然 ∠QAB ＝∠PCD ,∠QBA ＝∠DABCPDC.由AB=CD,可知△QAB≌△PCD.有QA＝PC，QB＝PD，∠AQB＝∠CPD.于是,PQ∥AB，∠APB＝∠AQB.则A、B、P、Q四点共圆，且四边形ABPQ 为等腰梯形.故AP＝BQ.所以PA＝PD.即点P的轨迹是线段AD的垂直平分线.证法二作△PBC的Array外接圆交PA、PD分别为E、F，连结BE、CF，∵∠APB=∠CPD，∴BE=CF，∠ABE=∠EPC=∠BPF =∠DCF. 又∵AB=CD，∴△ABE≌△DCF.∴∠PAB＝∠PDC.∴PA＝PD.即点P的轨迹是线段AD的垂直平分线.说明同样地，也可以作△PAD的外接圆，目的是建立条件AB=CD和∠APB=∠CPD之间的联系.证法三 由三角形的面积公式易得PA ·PB =PC ·PD ，PA ·PC =PB ·PD ，两式相乘，化简得PA ＝PD .即点P 的轨迹是线段AD 的垂直平分线. 证法四 由正弦定理得PAsin ∠PBA =AB sin ∠APB ,PD sin ∠PCD =CD sin ∠CPD, 从而PA sin ∠PBA =PD sin ∠PCD ，同理可得PAsin ∠PCB =PD sin ∠PBD，而sin ∠PBA =sin ∠PBD ，sin ∠PCD =sin ∠PCB ，化简得PA ＝PD . 即点P 的轨迹是线段AD 的垂直平分线.例3．AD 是△ABC 的高线，K 为AD 上一点，BK交AC 于E ，CK 交AB 于F .求证：∠FDA ＝∠EDA .分析 为了把已知条件之间建立联系，可以通过作平行线的方法.证明 如图，过点A 作BC 的平行线,分别交直线DE 、DF 、BE 、CF 于Q 、P 、N 、M .显然，AN BD ＝KA KD ＝AMDC. 有BD ·AM ＝DC ·AN .(1)由BD AP ＝FB AF ＝BCAM ，有 AP ＝BCAMBD ·.(2)由DC AQ ＝EC AE ＝BCAN ，有 AQ ＝BCANDC ·.(3)对比(1)、(2)、(3)有 AP ＝AQ .显然AD 为PQ 的中垂线，故AD 平分∠PDQ . 所以，∠FDA ＝∠EDA .说明 这里,原题并未涉及线段比,添加BC 的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP 与AQ 的相等关系显现出来.本题证明方法很多，例如可以过点E 、F 作BC 的垂线，也转化为线段的比来研究.情景再现1．点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF ，CE ，设AF ，CE 交于点G ， 则ABCDAGCD S S 矩形四边形 等于（ ）A ．56B ．45C ．34D ．23 （2002年全国初中数学竞赛试题）ABC DE FG2. 在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA ，CB到点E ，F ，使DE =DF ；过E ，F 分别作CA ，CB 的垂线，相交于P ．设线段PA ，PB 的中点分别为M ，N ．求证：∠PAE =∠PBF ． (2003年全国初中数学竞赛)3．如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . B 类例题例4 如图，AD 为△ABC 的中线，E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE DF ，求证：BE +CF >EF .E DGA B F CCE分析 由要证的结论，可联想到构造三角形，运用两边之和大于第三边解决问题.要构造三角形，就要移动一些线段，从而可以运用平移、旋转、作对称等方法，于是有如下证法. 证法一 延长FD 到F'，使得DF'=DF ，连结BF'、EF'，由D 为BC 的中点，显然△DBF'≌△DCF .于是BF'=CF ，又因为DE 垂直平分FF'，所以EF =EF'.在三角形BEF'中，BE +BF'>EF'.从而BE +CF >EF .证法二 作点B 关于DE 的对称点B'，连结EB'、DB'、FB'.则EB'=BE ，不难得到DB'=DB =DC ，∠B'DF ＝∠CDF .从而可知B 、C 关于DF 对称，于是B'F =CF ，在三角形B'EF 中，B'E +B'F >EF .从而BE +CF >EF .说明证法一也可以从中心对称角度来理解，F'和F 关于点D 对称.BCCB例5 如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线DE和AB交于点M，DF和AC交于点N．求证：（1）OB⊥DF，OC⊥DE．（2）OH ⊥MN ． （2001年全国高中数学联赛）证法一 （1）显然B ，D ，H ，F 四点共圆，H ，E ，A ，F 四点共圆， ∴∠BDF =∠BHF =180°-∠EHF =∠BAC ．∠OBC =12 (180°-∠BOC )=90°-∠BAC . ∴OB ⊥DF ． 同理OC ⊥DE ．（2）∵CF ⊥MA ，∴MC 2-MH 2=AC 2-AH 2……①∵BE ⊥NA ，∴NB 2-NH 2=AB 2-AH 2……② ∵DA ⊥BC ，∴DB 2-CD 2=BA 2-AC 2……③ ∵OB ⊥DF ，∴BN 2-BD 2=ON 2-OD 2……④ ∵OC ⊥DE ，∴CM 2-CD 2=OM 2-OD 2……⑤ ①-②+③+④-⑤，得O ABC H FE DNMNH2-MH2=ON2-OM2OM2-MH2=ON2-NH2所以OH⊥MN．证法二以BC所在直线为x轴，D为原点建立直角坐标系，设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，则∴直线AC的方程为，直线BE的方程为由得E点坐标为E() 同理可得F()直线AC的垂直平分线方程为直线BC的垂直平分线方程为由得O()∵∴OB⊥D F同理可证OC⊥DE．在直线BE的方程中令x＝0得H(0，) ∴直线DF 的方程为由得N ()同理可得M ()∴∵k OH ·k MN ＝－1，∴OH ⊥MN ．链接 本题证法一中用到了定理：设P 、Q 、A 、B 为任意四点，则PA 2-PB 2=QA 2-QB 2 PQ ⊥AB ．对于这个定理可参见本书高一分册地十八讲《平几中的几个重要定理（一）》.证法二用的解析法.例 6 锐角△ABC 中，AB >AC ,O 点是它的外心,射点.线AO 交BC 边于D已知：cos B +cos C =1，求证：△ABD 与△ACD 的周长相等. 证明 作OE ⊥AC 、OF ⊥AB ，E 、F 是垂足.O ABC DFE由三角形外心性质知：∠AOE =∠B ，∠AOF =∠C .记BC =a 、CA =b 、AB =c .于是OAEOAFAC AB CAD AD AC BAD AD AB S S DC BD ACDABC∠∠⋅=∠⋅⋅∠⋅⋅==∆∆sin sin sin sin 2121CBb c B C b c AOE AOF AC AB cos 1cos 1cos cos cos cos --⋅=⋅=∠∠⋅=由余弦定理得ba c ac b b a c a c b DC BD -++-=----=2222)()(；从而BD =)(21c b a -+. 此时，AB +BD =)(21c b a ++=AC +CD .得证. 说明 本题用到了正余弦定理，以及三角形面积公式，同时运用了代数的方法证了几何题. 情景再现4．△ABC 中，∠B =2∠C ，求证：2AB >AC ．(2002年江苏省数学夏令营试题）5．已知同一平面的两个三角形A 1B 1C 1，A 2B 2C 2，并且A 1到B 2C 2的垂线，B 1到C 2A 2的垂线，C 1到A 2B 2的垂线交于同B B 11一点P .求证：A 2到B 1C 1的垂线，B 2到C 1A 1的垂线，C 2到A 1B 1的垂线也交于同一点.6.在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,点M 在AB 边上,点N 在AC 边上,并且∠MDN ＝90°.如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2,求证：AD 2＝41(AB 2＋AC 2). C 类例题例7．如图，⊙O 是△ABC 的边BC 外的旁切圆,D 、E 、F 分别为⊙O 与BC 、CA 、AB 的切点.若OD与EF 相交于K ,求证：AK 平分BC . 证明 如图，过点K 作BC 的行平线分别交直线AB 、AC 于Q 、P 两点,连OP 、OQ 、OE 、OF .由OD ⊥BC ，可知OK ⊥PQ .O由OF⊥AB，可知O、K、F、Q四点共圆，有∠FOQ＝∠FKQ.由OE⊥AC，可知O、K、P、E四点共圆.有∠EOP＝∠EKP.显然，∠FKQ＝∠EKP，可知∠FOQ＝∠EOP.由OF＝OE，可知Rt△OFQ≌Rt△OEP.则OQ＝OP.于是，OK为PQ的中垂线，故QK＝KP.所以，AK平分BC.例8 如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.证明 将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE 并延长到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF .(1)a 2，b 2，c 2成等差数列△∽△′.若△ABC 为正三角H形，易证△∽△′.不妨设a ≥b ≥c ，有 CF =2222221c b a -+， BE =2222221b ac -+， AD =2222221a cb -+.将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得CF =a 23，BE =b 23，AD =c 23. ∴CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23=a :b :c . 故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′，∴∆∆S S '＝(aCF )2. 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43. ∴22a CF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c2⇒a 2+c 2=2b 2.例9 四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC 的内心依次记为I A ，I B ，I C ，I D .试证：I A I B I C I D 是矩形.(第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题)证明 连接AI C ，AI D ，BI C ，BI D 和DI B .易得∠AI C B =90°+21∠ADB =90°+21∠ACB =∠AI D B ⇒A ，B ，I D ，I C 四点 共圆.同理，A ，D ，I B ，I C 四点共圆.此时 ∠AI C I D =180°-∠ABI D =180°-21∠ABC ， ∠AI C I B =180°-∠ADI B =180°-21∠ADC ， ∴∠AI C I D +∠AI C I B=360°-21(∠ABC +∠ADC ) =360°-21×180°=270°. 故∠I B I C I D =90°.同样可证I A I B I C I D 其它三个内角皆为90°.该四边形必为矩形.A B CDI CI DAI I B说明 本题的其他证明可参见《中等数学》1992；4例10 设D 是ABC∆的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N .如果DE=DF ，求证：DM=DN.(首届中国东南地区数学奥林匹克) 证明 对AMD∆和直线BEP 用梅涅劳斯定理得：1(1)AP DE MBPD EM BA⋅⋅=，对AFD∆和直线NCP 用梅涅劳斯定理得：1(2)AC FN DPCF ND PA⋅⋅=，对AMF∆和直线BDC 用梅涅劳斯定理得：1(3)AB MD FCBM DF CA⋅⋅=（1）（2）（3）式相乘得：1DE FN MDEM ND DF ⋅⋅=，又DE=DF ， 所以有DM DN DM DE DN DE=--， 所以DM=DN.说明 本题是直线形，当然可以用解析法，请同学们试一试.情景再现7．设点D 为等腰ABC ∆的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ∆内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB交于点E .求证：CD EF DF AE BD AF⋅+⋅=⋅.(首届中国东南地区数学奥林匹克)8. 如图，O 、H 分别是锐角△ABC 的外心和垂心，D 是BC 边的中点，由H向∠A 及其外角平分线作垂线，垂足分别是E 是F .证明：D 、E 、F 三点共线.（2004年全国高中数学联赛四川省初赛）习题161．正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989㎝2.P 为正方形内一点，且∠OPB =45°，PA :PB =5:14.则PB =__________.(1989年全国初中联赛)2.如图,在△ABC 中,AB ＝AC ,D是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点且∠BED ＝2∠CED ＝∠A .求证：BD ＝2CD .3.如图，等腰三角形ABC 中，P 为底边BC 上任意点，过P 作两腰的平行线ABDEPB CPOA BCD分别与AB ，AC 相交于Q ，R 两点，又P '的对称点，证明：P '在△ABC 的外接圆上.(2002年全国初中数学联合竞赛试卷)4.设点M 在正三角形三条高线上的射影分别是M 1，M 2，M 3(互不重合).求证：△M 1M 2M 3也是正三角形.5.在△ABC 中,BD 、CE 为角平分线,P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂线,M 、N 、Q 为垂足.求证：PM ＋PN ＝PQ .6.在Rt △ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，P 是AB 上的点，过A 点作PC 的垂线交过B 所作AB 的垂线于Q 点.求证：PD 丄QD .7.设M 1、M 2是△ABC 的BC 边上的点,且BM 1＝CM 2.任作一直线分别交AB 、AC 、AM 1、AM 2于P 、Q 、N 1、N 2.试证：APAB ＋AQ AC＝11AN AM ＋22ANAM .8.AD ，BE ，CF 是锐角△ABC 的三条高.从A 引EF 的垂线l 1，从B 引FD 的垂线l 2，从C 引DE 的垂线l 3.求证：l 1，l 2，l 3三线共点.9. AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平分线交AD 于M ,交AC 于N .求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN . 10．已知等腰△ABC中，∠BAC =100°，延长线段AB 到D ，使得AD =BC ，连结CD ，试求∠BCD 的度数.11.圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A ，B . 所作割线交圆于C ，D 两点，C 在P ，D 之间.在弦CD 上取一点Q ，使.DAQ PBC ∠=∠求证：.DBQ PAC ∠=∠12.已知两个半径不相等的圆O 1与圆O 2相交于M 、N 两点，且圆O 1、圆O 2分别与圆O 内切于S 、T 两点.求证：OM ⊥MN 的充分必要条件是S 、N 、T 三点共线. （1997年全国高中数学联赛）BDCA本节“情景再现”解答： 1．解一：连结AC ，从而可得G 为△ABC 的重心，于是CG =2GE ，AEC AGCS S ∆∆=∴32．显然ABCD 4121矩形S S SABC AEC==∆∆．ABCD 61矩形S S AGC =∴∆．从而ABCDABCD 326121矩形矩形四边形）（S S S S S AGC ADC AGCD=+=+=∆∆．即ABCDAGCD S S 矩形四边形 =23 ．因此选D． 解二：连结AC 、BD ，AC 与BD 相交于点O ．则△ABC 的面积被分为6等份．同理可把△ADC 的面积等分为6份．显然四边形AGCD 占有8份，即O FEA BC D EFGAB CDEF GABCDAGCD S S 矩形四边形 32128==．因此选D ．2. 解析 分别取PA 、PB 的中点M 、N ，连结EM 、DM 、MN 、DN 、NF ，在Rt △AEP 中，EM =AM =MP ，又DM 为△ABP 的中位线，可得BP DM 21=．同理，FN =BN =NP ，且AP DN 21=，从而EM =DN ，DM =NF ．又∵DE=DF ，∴△EMD ≌△DNF ．∴∠EMD =∠DNF ．又∵∠1=∠3=∠2，∴∠AME =∠BNF ．从而可得∠PAE =∠PBF ．3．证明：如图，分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连△PBAPE .由AB // =CD ,易知≌△ECD .有PA ＝ED ，PB ＝EC .显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有∠BCE ＝∠BPE ，∠APE ＝∠ADE .由∠BAF ＝∠BCE ，可知∠BAF ＝∠BPE .有P 、B 、A 、E 四点共圆.于是,∠EBA ＝∠APE .所以,∠EBA ＝∠ADE .PE DGA B F C4．证明：延长CB 到D ，使BD =AB ，连结AD ，则AB +BD >AD ，即2AB >AD ．∵AB =BD ，∴∠BAD=∠D ．∴∠ABC =2∠D ．而∠ABC =2∠C ，∴∠C =∠D ．∴AC =AD ．∴2AB >AC ．5．解：设B 2到C 1A 1的垂线，C 2到A 1B 1的垂线相交于Q .则2222221221PB PA B C A C -=- （1） 2222221221PC PB C A B A -=- （2） 2222221221PA PC A B C B -=- （3） 2121212212QA QC A B C B -=- （4） 2121212212QB QA B C A C -=- （5）五式相加得2121221221QB QC A B A C -=- 即B B 11ACBDANCDEBM2121212212QB QC B A C A -=- 从而A 2Q ⊥B 1C 1.6.证明：如图，过点B 作AC 的平行线交ND 延长线于E .连ME .由BD ＝DC ，可知ED ＝DN .有△BED ≌△CND .于是，BE ＝NC .显然，MD 为EN 的中垂线.有EM ＝MN .由BM 2＋BE 2＝BM 2＋NC 2＝MD 2＋DN 2＝MN 2＝EM 2，可知△BEM 为直角三角形，∠MBE ＝90°.有∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°.于是，∠BAC ＝90°.所以，AD 2＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛BC ＝41(AB 2＋AC 2).7．证明：设AF 的延长线交AEF =△BDF 于K ，∵∠∠AKB ，∴∆AEF ≌∆AKB ．因此,EK BK AE AKAF AB AF AB==.于是要证（1），只需证明：(2)CD BK DF AK BD AB ⋅+⋅=⋅ 又注意到KBD KFD C ∠=∠=∠. 我们有1sin 2DCKSCD BK C ∆=⋅⋅∠，进一步有1sin 21sin 2ABD ADKS BD AB C S AK DF C ∆∆=⋅⋅∠=⋅⋅∠，因此要证（2），只需证明ABDDCK ADKS S S ∆∆∆=+（3）而（3）//(4)ABCAKCS S BK AC ∆∆⇔=⇔事实上由BKA FDB KAC ∠=∠=∠知（4）成立，得证. 8.证明：连结OA ，OD ，并延长OD 交△ABC 的外接圆于M ，则OD ⊥BC ，BM︿＝MC ︿，∴A 、E 、M 三点共线.∵AE 、AF 分别是△ABC 的∠A 及其外角平分线，∴AE ⊥AF .又∵HE ⊥AE ，HF ⊥AF ，∴四边形AEHF 为矩形.因此AH 与EF 互相平分，设其交点为G ，于是：AG ＝12 AH ＝12 EF ＝EG .而OA ＝OM ，且OD ∥AH ，∴∠OAM ＝∠OMA ＝∠MAG ＝∠GEA .故EG ∥OA (1) ∵O 、H 分别是△ABC 的外心和垂心，且OD ⊥BC ，∴OD ＝12 AH ＝AG ，因此，若连结DG ，则四边形AODG 为平行四边形 从而DG ∥OA . (2)由(1)和(2)知，D 、E 、G 三点共线，但F 在EG 上，故D 、E 、F 三点共线.“习题16”解答：··P OA BCD1．解：答案是PB =42㎝.连接OA ，OB .易知O ，P ，A ，B 四点共圆，有∠APB =∠AOB =90°.故PA 2+PB 2=AB 2=1989.由于PA :PB =5:14，可求PB .2.证明：如图,延长AD 与△ABC 的外接圆相交于点F ,连结CF 与BF ,则∠BFA ＝∠BCA ＝∠ABC ＝∠AFC ,即∠BFD ＝∠CFD .故BF :CF＝BD :DC .又∠BEF ＝∠BAC ,∠BFE ＝∠BCA ,从而∠FBE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠BFE .故EB ＝EF .作∠BEF 的平分线交BF 于G ,则BG ＝GF .因∠GEF ＝21∠BEF ＝∠CEF ,∠GFE ＝∠CFE ,故△FEG ≌△FEC .从而GF ＝FC .于是,BF ＝2CF .故BD ＝2CD .3.提示：连结BP '、P'R 、P'C 、P'P ，（1）证四边形APPQ 为平行四边形；（2）证点A 、R 、Q 、P'共圆；（3）证△BP'Q 和△P'RC 为等腰三角形；（4）证∠P'BA =∠ACP '，原题得证. 4.略.5.证明：如图,过点P 作AB 的平行线交BDAN E BK G C D M F P AB GCD FE于F ,过点F 作BC 的平行线分别交PQ 、AC 于K 、G ,连PG .由BD 平行∠ABC ,可知点F 到AB 、BC 两边距离相等.有KQ ＝PN .显然,PD EP＝FDEF ＝GD CG ,可知PG ∥EC .由CE 平分∠BCA ,知GP平分∠FGA .有PK ＝PM .于是,PM ＋PN ＝PK ＋KQ ＝PQ .6.提示：证B ，Q ，E ，P 和B ，D ，E ，P 分别共圆。

2.1.2 多项式教学内容课本第57页至第59页．一.教学目标1．知识与技能使学生理解多项式、整式的概念，会准确确定一个多项式的项数和次数．2．过程与方法通过实例列整式，培养学生分析问题、解决问题的能力．3．情感态度与价值观培养学生积极思考的学习态度，合作交流意识，了解整式的实际背景，进一步感受字母表示数的意义．二重、难点与关键1．重点：多项式以及有关概念．2．难点：准确确定多项式的次数和项．3．关键：掌握单项式和多项式次数之间的区别和联系．三.教具准备投影仪．PPT.四.教学过程1.复习提问1）什么叫单项式？举例说明．数字或字母的积组成的式子叫做单项式。

注意：单独的一个数或者一个字母也是单项式。

2）怎样确定一个单项式的系数和次数？-3a2b3c的系数、次数分别是多少？单项式的系数即为单项式中的数字因（包括数字前的符号）。

单项式的次数即为单项式中所有字母的指数和。

-3，62.导入1）列式表示下列问题：（1）一个数比数x的2倍小3，则这个数为________．（2）买一个篮球需要x（元），买一个排球需要y（元），买一个足球需要z（元），买3个篮球，5个排球，2个足球共需________元．（3）如图，这个建筑工地的面积是_______平方米。

2）通过上述三道生活常见情形，引导学生思考：以上式子有什么特点？（提示：与单项式有什么联系）总结学生的回答，继而得出多项式的概念：上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的.像这样，几个单项式的和叫做多项式。

3）分别学习多项式的重难点多项式的项：● 每个单项式都是多项式的项● 多项式中的各项包括它前面的符号● 多项式中不包含字母的项叫常数项例：2abc-3a4b2c+5abc6-7项： 2abc ，-3a4b2c ，+5abc6，-7常数项：-7练习1.指出下列多项式的项：（1）3m-4n+m2n（2） 多项式的次数 ：● 多项式中，次数最高项的次数就是这个多项式的次数。

第70讲 函数问题选讲本节主要内容有运用函数的有关知识解决函数自身的问题和与函数有关的方程、不等式、数列等问题。

A 类例题例1 如果在区间[1，2]上，函数f (x )=x 2+px +q 与g (x )=x +1x 2在同一点取相同的最小值，求f (x )在该区间上的最大值．(1996年全国高中数学联赛) 解 由于g(x)= x +1x 2=12x +12x+1x 2≥3314=3232．当且仅当12x=1x2，即x=32时等号成立．由于32∈[1，2]，故x=32时g(x)取得最小值．因为f (x )=x 2+px +q =22()24p p x q ++-，所以－p 2=32且 4q －p 24=3232， 解得p =－232，q =3232+34． 由于32－1<2－32．故在[1．2]上f(x)的最大值为f(2)=4－5232+34．说明 本题在求g(x)的最小值时，利用了均值不等式：a b c ++≥a b c R +∈，，），当且仅当a =b =c 时等号成立。

例2 若函数)(log 23a ax x y -+=的值域为R ，则实数a 的取值范围是 。

（1994年 “希望杯”全国数学邀请赛）解法一 根据函数值域定义，对于任意实数y ，关于x 的方程y a ax x =-+)(log 23，即032=--+y a ax x 恒有解，因此0344)3(422≥⋅++=++=∆y y a a a a （*） 恒成立。

因为430y⋅>，所以（*）式成立的充要条件是042≥+a a ， 解得4-≤a 或0≥a 。

即实数a 的取值范围是(,4][0,)-∞-+∞。

- 2 -解法二 根据对数函数和二次函数的性质，)()(2R x a ax x x u ∈-+=的最小值应不小于0， 即042≤--a a ，解得4-≤a 或0≥a 。

即实数a 的取值范围是(,4][0,)-∞-+∞。

多项式的教案第一节：引言在数学教学中，多项式是一个重要且常见的概念。

多项式不仅可以用来表示数学问题，还可以应用于实际生活中的各种情境，因此对学生来说，理解和掌握多项式的概念及其相关性质是非常关键的。

本教案将介绍如何通过有趣和互动的方式来教授多项式，以帮助学生更好地理解和应用多项式。

第二节：教学目标通过本节课的学习，学生将能够：1. 理解多项式的概念和特征；2. 辨别多项式的项、系数和次数；3. 进行多项式的加减法运算；4. 应用多项式解决实际问题。

第三节：教学准备为了顺利开展本节课的教学，教师需要做以下准备工作：1. 准备多项式概念的简明易懂的解释；2. 准备多项式的示例和练习题；3. 整理并准备多媒体设备，以便演示和说明概念。

第四节：教学过程1. 导入：通过引入一个实际问题，引发学生对多项式的兴趣。

例如：“小明花了一些时间在阅读和写作上，他一共花了x小时在阅读上，并且比阅读时间少了3个小时在写作上。

请问，他在写作上花了多少时间？”通过这个问题，引导学生思考如何用多项式的形式来表示这个问题。

2. 概念讲解：给出多项式的定义和解释，重点强调多项式的结构和术语。

通过示例和图示，帮助学生理解多项式的基本概念。

3. 技能训练：通过练习和示例演示，教授学生如何辨别多项式的项、系数和次数，并指导他们进行多项式的加减法运算。

同时，提供大量的练习题，以帮助学生巩固所学概念和技能。

4. 应用拓展：通过实际问题和情境，引导学生将多项式应用于解决实际问题。

例如：“小明在超市购买了一些水果，其中苹果的价格是x 元，香蕉的价格是y元，柚子的价格是z元。

请问，小明购买这些水果一共花了多少钱？”通过这个问题，帮助学生理解如何用多项式进行实际问题的求解。

5. 总结归纳：总结本节课所学的内容，强调多项式的重要性和应用价值。

鼓励学生积极参与课堂互动，提出问题并分享自己的见解和经验。

第五节：教学评价本节课的教学评价可以包括以下几个方面：1. 参与度评价：观察学生在课堂上的参与度和积极性，评估他们对多项式概念的理解程度。

《多项式教案》word版第一章：多项式的概念与基本性质1.1 多项式的定义解释多项式的概念，引导学生理解多项式是由常数、变量及它们的运算符组成的代数表达式。

举例说明多项式的不同形式，如ax^2 + bx + c。

1.2 多项式的项解释多项式中的项是指由常数与变量的乘积组成的代数表达式。

强调项中的系数、变量和指数的概念，并提供相关例题进行讲解。

1.3 多项式的度数介绍多项式的度数是指多项式中最高次项的次数。

举例说明如何确定一个多项式的度数，并强调度数与多项式长度之间的关系。

1.4 多项式的系数解释多项式中各项的系数是指变量的系数，即变量前的常数。

提供例题讲解如何计算和理解多项式中各项的系数。

第二章：多项式的运算2.1 多项式的加法解释多项式加法是指将两个多项式相加得到一个新的多项式。

演示如何进行多项式的加法运算，并提供练习题让学生进行实践。

2.2 多项式的减法解释多项式减法是指将一个多项式减去另一个多项式得到一个新的多项式。

演示如何进行多项式的减法运算，并提供练习题让学生进行实践。

2.3 多项式的乘法解释多项式乘法是指将两个多项式相乘得到一个新的多项式。

演示如何进行多项式的乘法运算，并提供练习题让学生进行实践。

2.4 多项式的除法解释多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式得到一个新的多项式。

演示如何进行多项式的除法运算，并提供练习题让学生进行实践。

第三章：多项式的因式分解3.1 因式分解的概念解释因式分解是指将一个多项式分解成两个或多个因式的乘积的形式。

强调因式分解的重要性，并展示因式分解的应用示例。

3.2 提取公因式解释提取公因式是指从多项式中提取出一个共同的因式，简化多项式的形式。

演示如何提取公因式，并提供练习题让学生进行实践。

3.3 因式分解的常用方法介绍因式分解的常用方法，如分组分解法、交叉相乘法等。

演示如何应用这些方法进行因式分解，并提供练习题让学生进行实践。

3.4 因式分解的应用解释因式分解在解决代数方程、不等式等问题中的应用。

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主题：多项式与因式分解
教学目标：
1. 了解多项式的定义和基本性质。

2. 掌握多项式的加减乘除运算方法。

3. 熟练进行多项式的因式分解。

教学重点：
1. 多项式的概念和基本性质。

2. 多项式的加减乘除运算法则。

3. 多项式的因式分解方法。

教学难点：
1. 熟练进行多项式因式分解。

2. 能够运用多项式因式分解解决实际问题。

教学准备：
1. 教师准备多项式相关的教学资料和例题。

2. 学生准备笔记本和书写工具。

教学过程：
1. 导入新知识
教师通过引入一个简单的实际问题，引导学生思考多项式的定义和意义。

2. 教学内容讲解
教师讲解多项式的定义、基本性质、加减乘除运算法则和因式分解方法，并举例说明。

3. 学生练习
学生跟随教师的指导，进行多项式的加减乘除运算练习，加强对概念和方法的理解。

4. 拓展应用
教师讲解多项式的因式分解方法，引导学生进行实际问题的解答，帮助他们应用所学知识解决实际问题。

5. 总结归纳
教师总结本节课的重点和难点内容，帮助学生梳理所学知识。

6. 作业布置
布置相关练习作业，巩固学生的学习成果。

教学反思：
本节课教学内容新颖，但学生们在因式分解部分出现了一定的困难，需要增加相关练习来加深他们的理解。

下节课需要继续巩固这部分知识点，帮助他们更好地掌握多项式的因式分解方法。