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黑龙江省哈尔滨市2019年中考试卷试卷
第I 卷选择题（共
30分）一、选择题（每小题
3分，共计30分）1.-9的相反数是（
）（A ）-9
（B ）-91（C ）9 （D ）91【答案】C
【解析】﹣9的相反数是9，故选：C ．
2.下列运算一定正确的是（
）. （A ）2222a a a
（B ）632a a a （C ）6326)
2(a a （D ）2
2))((b a b a b a 【答案】D 【解析】2a+2a ＝4a ，A 错误；a 2?a 3＝a 5，B 错误；（2a 2）3＝8a 6
，C 错误；故选：D ．
3.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）. 【答案】B
【解析】A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；
B.是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：
B ．4.七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,其左视图是（）.
【答案】B
【解析】这个立体图形的左视图有
2列，从左到右分别是2，1个正方形，故选：B ．
5.如图,P A,PB 分别与⊙O 相切于A,B 两点,点C 为⊙O 上一点,连接AC,BC,若∠P=50°,则。
数学试卷 第1页（共34页）数学试卷 第2页（共8页）毕业学校_____________ 姓名_____________ 考生号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效------------绝密★启用前黑龙江省哈尔滨市2019年中考试卷数 学一、选择题（每小题3分，共计30分） 1．9-的相反数是（ ） A.9B.9-C.19-D.19 2．下列运算一定正确的是（ ）A.2222a a a +=B.236a a a ⋅=C.236(2)6a a =D.22()()a b a b a b +-=-3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）ABCD 4．七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）ABCD5．如图，PA 、PB 分别与O e 相切于A 、B 两点，点C 为O e 上一点，连接AC 、BC ，若50P ∠=︒，则ACB ∠的度数为（ ）A.60︒B.75︒C.70︒D.65︒6．将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）A.22(2)3y x =++B.22(2)3y x =-+C.22(2)3y x =--D.22(2)3y x =+-7．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（ ）A.20%B.40%C.18%D.36% 8．方程2331x x=-的解为（ ）A.311x =B.113x =C.37x =D.73x =数学试卷 第3页（共34页）数学试卷 第4页（共34页）9．点(1,4)-在反比例函数ky x =的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A.(4,1)-B.1(4-，1)C.(4,1)--D.1(4，2)10．如图，在□ABCD 中，点E 在对角线BD 上，EM AD ∥，交AB 于点M ，EN AB ∥，交AD 于点N ，则下列式子一定正确的是（ ）A.AM NEBM DE=B.AM ANAB AD=C.BC BEME BD =D.BD BCBE EM=二、填空题（每小题3分，共计30分）11．（3分）数6 260 000用科学记数法可表示为12.（3分）在函数323xy x =-中，自变量x 的取值范围是 .13.（3分）把多项式32269a a b ab -+分解因式的结果是 .14.（3分）不等式组302321xx -⎧⎪⎨⎪+⎩……的解集是 .15.（3分）二次函数2(6)8y x =--+的最大值是 .16.（3分）如图，将ABC △绕点C 逆时针旋转得到△A B C ''，其中点A '与A 是对应点，点B '与B 是对应点，点B '落在边AC 上，连接A B '，若45ACB ∠=︒，3AC =，2BC =，则A B '的长为 .17.（3分）一个扇形的弧长是11πcm ，半径是18cm ，则此扇形的圆心角是 度. 18.（3分）在ABC △中，50A ∠=︒，30B ∠=︒，点D 在AB 边上，连接CD ，若ACD△为直角三角形，则BCD ∠的度数为 度.19.（3分）同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为 .20.（3分）如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，BC DC =，60A ∠=︒，点E 为AD边上一点，连接BD 、CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE AB ∥，若8AB =，6CE =，则BC 的长为 .三、解答题（其中21～22题各7分，23-24题各8分，25～27题各10分，共计60分）21.（7分）先化简再求值：22224()2442x x x x x x x x +---÷--+-，其中4tan452cos30x =︒+︒.数学试卷 第5页（共34页）数学试卷 第6页（共8页）毕业学校_____________ 姓名_____________ 考生号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效------------22.（7分）图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC 的两个端点均在小正方形的顶点上.（1）在图1中画出以AC 为底边的等腰直角三角形ABC ，点B 在小正方形顶点上； （2）在图2中画出以AC 为腰的等腰三角形ACD ，点D 在小正方形的顶点上，且ACD △的面积为8.23.（8分）建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活动.为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图.请根据图中所给的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）请通过计算补全条形统计图；（3）如果海庆中学共有1 500名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名.24.（8分）已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE BD ⊥于点E ，CF BD ⊥于点F .（1）如图1，求证：AE CF =；（2）如图2，当30ADB ∠=︒时，连接AF 、CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的18.数学试卷 第7页（共34页）数学试卷 第8页（共34页）25.（10分）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用.若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？26.（10分）已知：MN 为O ○的直径，OE 为O ○的半径，AB 、CH 是O ○的两条弦，AB OE ⊥于点D ，CH MN ⊥于点K ，连接HN 、HE ，HE 与MN 交于点P .（1）如图1，若AB 与CH 交于点F ，求证：2HFB EHN ∠=∠；（2）如图2，连接ME 、OA ，OA 与ME 交于点Q ，若OA ME ⊥，4EON CHN ∠=∠，求证：MP AB =；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC 、BC 、AH ，OC 与EH 交于点G ，AH 与MN 交于点R ，连接RG ，若:2:3HK ME =，BC RG 的长.27.（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线443y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线BC 与x 轴交于点C ，且点C 与点A 关于y 轴对称； （1）求直线BC 的解析式；（2）点P 为线段AB 上一点，点Q 为线段BC 上一点，BQ AP =，连接PQ ，设点P 的横坐标为t ，PBQ △的面积为(0)S S ≠，求S 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点E 在线段OA 上，点R 在线段BC 的延长线上，且点R 的纵坐标为25-，连接PE 、BE 、AQ ，AQ 与BE 交于点F ，APE CBE ∠=∠，连接PF ，PF 的延长线与y 轴的负半轴交于点M ，连接QM 、MR ，若24tan 23QMR ∠=，求直线PM 的解析式.数学试卷 第9页（共34页）数学试卷 第10页（共8页）毕业学校_____________ 姓名_____________ 考生号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效------------黑龙江省哈尔滨市2019年中考试卷数学答案解析一、选择题 1.【答案】A【解析】解：9-的相反数是9，【提示】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数. 【考点】相反数 2.【答案】A【解析】解：224a a a +=，A 错误；235a a a ⋅=，B 错误；236(2)8a a =，C 错误；【提示】利用同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式解题即可； 【考点】幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，平方差公式3.【答案】B【解析】解：A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误； B.是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误.【提示】根据轴对称及中心对称图形的定义对各选项进行逐一分析即可. 【考点】轴对称图形，中心对称图形 4.【答案】B【解析】解：这个立体图形的左视图有2列，从左到右分别是2，1个正方形， 22数学试卷 第11页（共34页）数学试卷 第12页（共34页）数学试卷 第13页（共34页）数学试卷 第14页（共8页）毕业学校_____________ 姓名_____________ 考生号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效------------数学试卷 第15页（共34页）数学试卷 第16页（共34页）【考点】弧长的计算 18.【答案】60或10 【解析】解：分两种情况： ①如图1，当90ADC ∠=︒时，30B ∠=︒Q ，903060BCD ∴∠=︒-︒=︒； ②如图2，当90ACD ∠=︒时，50A ∠=︒Q ，30B ∠=︒，1803050100ACB ∴∠=︒-︒-︒=︒， 1009010BCD ∴∠=︒-︒=︒，综上，则BCD ∠的度数为60︒或10︒； 故答案为：60或10；【提示】当ACD △为直角三角形时，存在两种情况：90ADC ∠=︒或90ACD ∠=︒，根据三角形的内角和定理可得结论.【考点】三角形的外角性质，三角形内角和定理数学试卷 第17页（共34页）数学试卷 第18页（共8页）毕业学校_____________ 姓名_____________ 考生号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效------------数学试卷 第19页（共34页）数学试卷 第20页（共34页）【解析】解；（1）作AC 的垂直平分线，作以AC 为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点B ；（2）以C 为圆心，AC 为半径作圆，格点即为点D ；【提示】（1）作AC 的垂直平分线，作以AC 为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点B ；（2）以C 为圆心，AC 为半径作圆，格点即为点D ；【考点】等腰三角形的判定，勾股定理的逆定理，作图——应用与设计作图，等腰直角三角形，勾股定理 23.【答案】（1）60 （2）159数学试卷 第21页（共34页）数学试卷 第22页（共8页）毕业学校_____________ 姓名_____________ 考生号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效------------8数学试卷 第23页（共34页）数学试卷 第24页（共34页）【考点】矩形的性质，全等三角形的判定与性质25.【答案】（1）每副围棋16元，每副中国象棋10元 （2）25【解析】解：（1）设每副围棋x 元，每副中国象棋y 元，根据题意得：359883158x y x y +=⎧⎨+=⎩，∴1610x y =⎧⎨=⎩， ∴每副围棋16元，每副中国象棋10元；（2）设购买围棋z 副，则购买象棋(40)z -副， 根据题意得：1610(40)550z z +-…，25z ∴…，∴最多可以购买25副围棋；【提示】（1）设每副围棋x 元，每副中国象棋y 元，根据题意得：359883158x y x y +=⎧⎨+=⎩，求解即可；（2）设购买围棋z 副，则购买象棋(40)z -副，根据题意得：1610(40)550z z +-…，即可求解；【考点】一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用 26.【答案】（1）见解析数学试卷 第25页（共34页）数学试卷 第26页（共8页）毕业学校_____________ 姓名_____________ 考生号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效------------数学试卷 第27页（共34页）数学试卷 第28页（共34页）数学试卷 第29页（共34页） 数学试卷 第30页（共8页）毕业学校_____________ 姓名_____________ 考生号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效------------数学试卷 第31页（共34页）数学试卷 第32页（共34页）数学试卷 第33页（共34页）数学试卷 第34页（共8页）毕业学校_____________ 姓名_____________ 考生号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效------------。
2019年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共计30分）1．﹣9的相反数是（）A．﹣9B．−19C．9D．192．下列运算一定正确的是（）A．2a+2a＝2a2B．a2•a3＝a6C．（2a2）3＝6a6D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b23．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A．B．C．D．5．如图，P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（）A ．60°B ．75°C ．70°D ．65°6．将抛物线y ＝2x 2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）A ．y ＝2（x +2）2+3B ．y ＝2（x ﹣2）2+3C ．y ＝2（x ﹣2）2﹣3D ．y ＝2（x +2）2﹣37．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（ ） A ．20% B ．40%C ．18%D ．36%8．方程23x−1=3x的解为（ ）A ．x =311 B ．x =113C ．x =37D ．x =739．点（﹣1，4）在反比例函数y =k x 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A ．（4，﹣1）B ．（−14，1）C ．（﹣4，﹣1）D ．（14，2）10．如图，在▱ABCD 中，点E 在对角线BD 上，EM ∥AD ，交AB 于点M ，EN ∥AB ，交AD 于点N ，则下列式子一定正确的是（ ）A ．AM BM=NE DEB ．AM AB=AN ADC ．BCME=BE BDD ．BD BE=BC EM二、填空题（每小题3分，共计30分） 11．将数6260000用科学记数法表示为 ． 12．在函数y =3x2x−3中，自变量x 的取值范围是 ． 13．把多项式a 3﹣6a 2b +9ab 2分解因式的结果是 ．14．不等式组{3−x2≤03x +2≥1的解集是 ．15．二次函数y ＝﹣（x ﹣6）2+8的最大值是 ．16．如图，将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△A ′B ′C ，其中点A ′与A 是对应点，点B ′与B 是对应点，点B ′落在边AC 上，连接A ′B ，若∠ACB ＝45°，AC ＝3，BC ＝2，则A ′B 的长为 ．17．一个扇形的弧长是11πcm ，半径是18cm ，则此扇形的圆心角是 度．18．在△ABC 中，∠A ＝50°，∠B ＝30°，点D 在AB 边上，连接CD ，若△ACD 为直角三角形，则∠BCD 的度数为 度．19．同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为 ．20．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BC ＝DC ，∠A ＝60°，点E 为AD 边上一点，连接BD 、CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB ，若AB ＝8，CE ＝6，则BC 的长为 ．三、解答题（其中21～22题各7分，23-24题各8分，25～27题各10分，共计60分） 21．（7分）先化简再求值：（x+2x−2−x 2−2x x 2−4x+4）÷x−4x−2，其中x ＝4tan45°+2cos30°．22．（7分）图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图1中画出以AC为底边的等腰直角三角形ABC，点B在小正方形顶点上；（2）在图2中画出以AC为腰的等腰三角形ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD 的面积为8．23．（8分）建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活动．为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中所给的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）请通过计算补全条形统计图；（3）如果海庆中学共有1500名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名．24．（8分）已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ． （1）如图1，求证：AE ＝CF ；（2）如图2，当∠ADB ＝30°时，连接AF 、CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的18．25．（10分）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？26．（10分）已知：MN为⊙O的直径，OE为⊙O的半径，AB、CH是⊙O的两条弦，AB ⊥OE于点D，CH⊥MN于点K，连接HN、HE，HE与MN交于点P．（1）如图1，若AB与CH交于点F，求证：∠HFB＝2∠EHN；（2）如图2，连接ME、OA，OA与ME交于点Q，若OA⊥ME，∠EON＝4∠CHN，求证：MP＝AB；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC、BC、AH，OC与EH交于点G，AH与MN 交于点R，连接RG，若HK：ME＝2：3，BC=√2，求RG的长．27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线BC与x轴交于点C，且点C与点A关于y轴对称；（1）求直线BC的解析式；（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC上一点，BQ＝AP，连接PQ，设点P的横坐标为t，△PBQ的面积为S（S≠0），求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点E在线段OA上，点R在线段BC的延长线上，且点R的纵坐标为−25，连接PE、BE、AQ，AQ与BE交于点F，∠APE＝∠CBE，连接PF，PF的延长线与y轴的负半轴交于点M，连接QM、MR，若tan∠QMR=2423，求直线PM的解析式．2019年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共计30分）1．﹣9的相反数是（）A．﹣9B．−19C．9D．19【解答】解：﹣9的相反数是9，故选：C．2．下列运算一定正确的是（）A．2a+2a＝2a2B．a2•a3＝a6C．（2a2）3＝6a6D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【解答】解：2a+2a＝4a，A错误；a2•a3＝a5，B错误；（2a2）3＝8a6，C错误；故选：D．3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．4．七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A．B．C．D．【解答】解：这个立体图形的左视图有2列，从左到右分别是2，1个正方形，故选：B．5．如图，P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（）A．60°B．75°C．70°D．65°【解答】解：连接OA、OB，∵P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣50°＝130°，∴∠ACB=12∠AOB=12×130°＝65°．故选：D．6．将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x﹣2）2+3C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x+2）2﹣3【解答】解：将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2+3，故选：B．7．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（）A．20%B．40%C．18%D．36%【解答】解：设降价的百分率为x根据题意可列方程为25（1﹣x）2＝16解方程得x1=15，x2=95（舍）∴每次降价得百分率为20%故选：A．8．方程23x−1=3x的解为（）A．x=311B．x=113C．x=37D．x=73【解答】解：去分母得：2x＝9x﹣3，解得：x=3 7，经检验x=37是分式方程的解，故选：C．9．点（﹣1，4）在反比例函数y=kx的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（）A．（4，﹣1）B．（−14，1）C．（﹣4，﹣1）D．（14，2）【解答】解：将点（﹣1，4）代入y=k x，∴k＝﹣4，∴y=−4 x，∴点（4，﹣1）在函数图象上，故选：A．10．如图，在▱ABCD 中，点E 在对角线BD 上，EM ∥AD ，交AB 于点M ，EN ∥AB ，交AD 于点N ，则下列式子一定正确的是（ ）A ．AM BM=NE DEB ．AM AB=AN ADC ．BCME=BE BDD ．BD BE=BC EM【解答】解：∵在▱ABCD 中，EM ∥AD ∴易证四边形AMEN 为平行四边形 ∴易证△BEM ∽△BAD ∽△END ∴AM BM=NE BM=DE BE，A 项错误AM AB =ND AD ，B 项错误 BC ME =ADME =BD BE ，C 项错误 BD BE=AD ME=BC ME，D 项正确故选：D ．二、填空题（每小题3分，共计30分）11．将数6260000用科学记数法表示为 6.26×106 ． 【解答】解：6260000用科学记数法可表示为6.26×106， 故答案为：6.26×106．12．在函数y =3x 2x−3中，自变量x 的取值范围是 x ≠32 ． 【解答】解：函数y =3x2x−3中分母2x ﹣3≠0， ∴x ≠32； 故答案为x ≠32；13．把多项式a 3﹣6a 2b +9ab 2分解因式的结果是 a （a ﹣3b ）2 ． 【解答】解：a 3﹣6a 2b +9ab 2 ＝a （a 2﹣6ab +9b 2）＝a （a ﹣3b ）2． 故答案为：a （a ﹣3b ）2．14．不等式组{3−x2≤03x +2≥1的解集是 x ≥3 ．【解答】解：解不等式3−x 2≤0，得：x ≥3，解不等式3x +2≥1，得：x ≥−13， ∴不等式组的解集为x ≥3， 故答案为：x ≥3．15．二次函数y ＝﹣（x ﹣6）2+8的最大值是 8 ． 【解答】解：∵a ＝﹣1＜0， ∴y 有最大值，当x ＝6时，y 有最大值8． 故答案为8．16．如图，将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△A ′B ′C ，其中点A ′与A 是对应点，点B ′与B 是对应点，点B ′落在边AC 上，连接A ′B ，若∠ACB ＝45°，AC ＝3，BC ＝2，则A ′B 的长为 √13 ．【解答】解：∵将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△A ′B ′C ， ∴AC ＝A 'C ＝3，∠ACB ＝∠ACA '＝45° ∴∠A 'CB ＝90° ∴A 'B =√BC 2+A′C2=√13故答案为√1317．一个扇形的弧长是11πcm ，半径是18cm ，则此扇形的圆心角是 110 度． 【解答】解：根据l =nπr 180=nπ⋅18180=11π， 解得：n ＝110， 故答案为：110．18．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为60°或10度．【解答】解：分两种情况：①如图1，当∠ADC＝90°时，∵∠B＝30°，∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；②如图2，当∠ACD＝90°时，∵∠A＝50°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，综上，则∠BCD的度数为60°或10°；故答案为：60°或10；19．同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为16．【解答】解：列表得：（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）（1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）由表可知一共有36种情况，两枚骰子点数相同的有6种， 所以两枚骰子点数相同的概率为636=16，故答案为：16．20．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BC ＝DC ，∠A ＝60°，点E 为AD 边上一点，连接BD 、CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB ，若AB ＝8，CE ＝6，则BC 的长为 2√7 ．【解答】解：如图，连接AC 交BD 于点O∵AB ＝AD ，BC ＝DC ，∠A ＝60°， ∴AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形 ∴∠BAO ＝∠DAO ＝30°，AB ＝AD ＝BD ＝8， BO ＝OD ＝4 ∵CE ∥AB∴∠BAO ＝∠ACE ＝30°，∠CED ＝∠BAD ＝60° ∴∠DAO ＝∠ACE ＝30°∴AE ＝CE ＝6 ∴DE ＝AD ﹣AE ＝2 ∵∠CED ＝∠ADB ＝60° ∴△EDF 是等边三角形 ∴DE ＝EF ＝DF ＝2∴CF ＝CE ﹣EF ＝4，OF ＝OD ﹣DF ＝2 ∴OC =√CF 2−OF 2=2√3 ∴BC =2+OC2=2√7三、解答题（其中21～22题各7分，23-24题各8分，25～27题各10分，共计60分） 21．（7分）先化简再求值：（x+2x−2−x 2−2xx 2−4x+4）÷x−4x−2，其中x ＝4tan45°+2cos30°． 【解答】解：原式＝[x+2x−2−x(x−2)(x−2)2]÷x−4x−2＝（x+2x−2−x x−2）•x−2x−4=2x−2•x−2x−4 =2x−4， 当x ＝4tan45°+2cos30°＝4×1+2×√32=4+√3时，原式=4+3−4=3 =2√33． 22．（7分）图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC 的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图1中画出以AC 为底边的等腰直角三角形ABC ，点B 在小正方形顶点上； （2）在图2中画出以AC 为腰的等腰三角形ACD ，点D 在小正方形的顶点上，且△ACD 的面积为8．【解答】解；（1）作AC的垂直平分线，作以AC为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点B；（2）以C为圆心，AC为半径作圆，格点即为点D；23．（8分）建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活动．为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中所给的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）请通过计算补全条形统计图；（3）如果海庆中学共有1500名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名．【解答】解：（1）根据题意得：18÷30%＝60（名）， 答：在这次调查中，一共抽取了60名学生； （2）60﹣（18+9+12+6）＝15（名），则本次调查中，选取国防类书籍的学生有15名， 补全条形统计图，如图所示：（3）根据题意得：1500×960=225（名）， 答：该校最想读科技类书籍的学生有225名．24．（8分）已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ． （1）如图1，求证：AE ＝CF ；（2）如图2，当∠ADB ＝30°时，连接AF 、CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，AD ∥BC ， ∴∠ABE ＝∠CDF ，∵AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ， ∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°，在△ABE 和△CDF 中，{∠ABE =∠CDF ∠AEB =∠CFDAB =CD ，∴△ABE ≌△CDF （AAS ）， ∴AE ＝CF ；（2）解：△ABE 的面积＝△CDF 的面积＝△BCE 的面积＝△ADF 的面积＝矩形ABCD 面积的18．理由如下：∵AD ∥BC ，∴∠CBD ＝∠ADB ＝30°， ∵∠ABC ＝90°， ∴∠ABE ＝60°， ∵AE ⊥BD ， ∴∠BAE ＝30°， ∴BE =12AB ，AE =12AD ，∴△ABE 的面积=12BE ×AE =12×12AB ×12AD =18AB ×AD =18矩形ABCD 的面积， ∵△ABE ≌△CDF ，∴△CDF 的面积═18矩形ABCD 的面积；作EG ⊥BC 于G ，如图所示： ∵∠CBD ＝30°，∴EG =12BE =12×12AB =14AB ， ∴△BCE 的面积=12BC ×EG =12BC ×14AB =18BC ×AB =18矩形ABCD 的面积，同理：△ADF 的面积=18矩形ABCD 的面积．25．（10分）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？【解答】解：（1）设每副围棋x 元，每副中国象棋y 元，根据题意得：{3x +5y =988x +3y =158， ∴{x =16y =10， ∴每副围棋16元，每副中国象棋10元；（2）设购买围棋z 副，则购买象棋（40﹣z ）副，根据题意得：16z +10（40﹣z ）≤550，∴z ≤25，∴最多可以购买25副围棋；26．（10分）已知：MN 为⊙O 的直径，OE 为⊙O 的半径，AB 、CH 是⊙O 的两条弦，AB⊥OE 于点D ，CH ⊥MN 于点K ，连接HN 、HE ，HE 与MN 交于点P ．（1）如图1，若AB 与CH 交于点F ，求证：∠HFB ＝2∠EHN ；（2）如图2，连接ME 、OA ，OA 与ME 交于点Q ，若OA ⊥ME ，∠EON ＝4∠CHN ，求证：MP ＝AB ；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC 、BC 、AH ，OC 与EH 交于点G ，AH 与MN交于点R，连接RG，若HK：ME＝2：3，BC=√2，求RG的长．【解答】解：（1）如图1，∵AB⊥OE于点D，CH⊥MN于点K∴∠ODB＝∠OKC＝90°∵∠ODB+∠DFK+∠OKC+∠EON＝360°∴∠DFK+∠EON＝180°∵∠DFK+∠HFB＝180°∴∠HFB＝∠EON∵∠EON＝2∠EHN∴∠HFB＝2∠EHN（2）如图2，连接OB，∵OA⊥ME，∴∠AOM＝∠AOE∵AB⊥OE∴∠AOE＝∠BOE∴∠AOM+∠AOE＝∠AOE+∠BOE，即：∠MOE＝∠AOB∴ME＝AB∵∠EON＝4∠CHN，∠EON＝2∠EHN∴∠EHN＝2∠CHN∴∠EHC＝∠CHN∵CH⊥MN∴∠HPN＝∠HNM∵∠HPN＝∠EPM，∠HNM＝HEM∴∠EPM＝∠HEM∴MP＝ME∴MP＝AB（3）如图3，连接BC，过点A作AF⊥BC于F，过点A作AL⊥MN于L，连接AM，AC，由（2）知：∠EHC＝∠CHN，∠AOM＝∠AOE∴∠EOC＝∠CON∵∠EOC+∠CON+∠AOM+∠AOE＝180°∴∠AOE+∠EOC＝90°，∠AOM+∠CON＝90°∵OA⊥ME，CH⊥MN∴∠OQM＝∠OKC＝90°，CK＝HK，ME＝2MQ，∴∠AOM+∠OMQ＝90°∴∠CON＝∠OMQ∵OC＝OA∴△OCK≌△MOQ（AAS）∴CK＝OQ＝HK∵HK：ME＝2：3，即：OQ：2MQ＝2：3∴OQ：MQ＝4：3∴设OQ＝4k，MQ＝3k，则OM=√OQ2+MQ2=√(4k)2+(3k)2=5k，AB＝ME＝6k在Rt△OAC中，AC=√OA2+OC2=√(5k)2+(5k)2=5√2k∵四边形ABCH内接于⊙O，∠AHC=12∠AOC=12×90°＝45°，∴∠ABC＝180°﹣∠AHC＝180°﹣45°＝135°，∴∠ABF＝180°﹣∠ABC＝180°﹣135°＝45°∴AF＝BF＝AB•cos∠ABF＝6k•cos45°＝3√2k在Rt△ACF中，AF2+CF2＝AC2即：(3√2k)2+(3√2k+√2)2=(5√2k)2，解得：k1＝1，k2=−17（不符合题意，舍去）∴OQ＝HK＝4，MQ＝OK＝3，OM＝ON＝5∴KN＝KP＝2，OP＝ON﹣KN﹣KP＝5﹣2﹣2＝1，在△HKR中，∠HKR＝90°，∠RHK＝45°，∴RKHK=tan∠RHK＝tan45°＝1∴RK＝HK＝4∴OR＝RN﹣ON＝4+2﹣5＝1∵∠CON＝∠OMQ∴OC∥ME∴∠PGO＝∠HEM∵∠EPM＝∠HEM∴∠PGO＝∠EPM∴OG＝OP＝OR＝1∴∠PGR＝90°在Rt△HPK中，PH=2+PK2=√42+22=2√5∵∠POG＝∠PHN，∠OPG＝∠HPN∴△POG∽△PHN∴PGPO =PNPH，即PG1=2√5，PG=2√55∴RG=√RP2−PG2=22−(255)2=4√55．27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线BC与x轴交于点C，且点C与点A关于y轴对称；（1）求直线BC的解析式；（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC上一点，BQ＝AP，连接PQ，设点P的横坐标为t，△PBQ的面积为S（S≠0），求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点E在线段OA上，点R在线段BC的延长线上，且点R的纵坐标为−25，连接PE、BE、AQ，AQ与BE交于点F，∠APE＝∠CBE，连接PF，PF的延长线与y轴的负半轴交于点M，连接QM、MR，若tan∠QMR=2423，求直线PM的解析式．【解答】解：（1）∵y=43x+4，∴A（﹣3，0），B（0，4），∵点C与点A关于y轴对称，∴C（3，0），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，将B （0，4），C （3，0）代入，{3k +b =0b =4， 解得k =−43，b ＝4，∴直线BC 的解析式y =−43x +4；（2）如图1，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，过点P 作PN ⊥BC 于N ，PG ⊥OB 于点G ．∵OA ＝OC ＝3，OB ＝4，∴AC ＝6，AB ＝BC ＝5，∴sin ∠ACD =AD AC =OB BC ， 即AD 6=45， ∴AD =245，∵点P 为直线y =43x +4上，∴设P （t ，43t +4）， ∴PG ＝﹣t ，cos ∠BPG ＝cos ∠BAO ，即PG PB =OA AB=35， ∴PB =−53t ，∵sin ∠ABC =PN PB =AD AB =2455=2425， ∴PN =2425PB =2425×(−53t)=−85t ，∵AP＝BQ，∴BQ＝5+53 t，∴S=12BQ⋅PN=12(5+53t)⋅(−85t)，即S=−43t2−4t；（3）如图，延长BE至T使ET＝EP，连接AT、PT、AM，PT交OA于点S．∵∠APE＝∠EBC，∠BAC＝∠BCA，∴180°﹣∠APE﹣∠BAC＝180°﹣∠EBC﹣∠ACB，∴∠PEA＝∠BEC＝∠AET，∴PT⊥AE，PS＝ST，∴AP＝AT，∠TAE＝∠P AE＝∠ACB，AT∥BC，∴∠TAF＝∠FQB，∵∠AFT＝∠BFQ，AT＝AP＝BQ，∴△ATF≌△QBF，∴AF＝QF，TF＝BF，∵∠PSA＝∠BOA＝90°，∴PT∥BM，∴∠TBM＝∠PTB，∵∠BFM＝∠PFT，∴△MBF≌△PTF，∴MF＝PF，BM＝PT，∴四边形AMQP为平行四边形，∴AP∥MQ，MQ＝AP＝BQ，∴∠MQR＝∠ABC，过点R作RH⊥MQ于点H，∵sin∠ABC＝sin∠MQR=RHRQ=2425，设QR＝25a，HR＝24a，则QH＝7a，∵tan∠QMR=24 23，∴MH＝23a，BQ＝MQ＝23a+7a＝30a，BR＝BQ+QR＝55a，过点R作RK⊥x轴于点K．∵点R的纵坐标为−2 5，∴RK=2 5，∵sin∠BCO=BOBC=sin∠KCR=KRCR=45，∴CR=12，BR=112，∴55a=112，a=110，∴BQ＝30a＝3，∴5+53t=3，t=−65，∴P（−65，125），∴PS=12 5，∵BM＝PT＝2PS=245，BO＝4，∴OM=4 5，∴M（0，−4 5），设直线PM的解析式为y＝mx+n，∴{−65m+n=125n=−45，解得{m =−83n =−45， ∴直线PM 的解析式为y =−83x −45．。
哈尔滨市2019年中考数学试题与答案哈尔滨市2019年中考数学试题与答案一．选择题（共10小题）1．﹣9的相反数是（）A．﹣9 B．﹣C．9 D．2．下列运算一定正确的是（）A．2a+2a＝2a2B．a2?a3＝a6C．（2a2）3＝6a6D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b23．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．4．七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A． B．C． D．5．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（）A．60°B．75°C．70°D．65°6．将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣37．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（）A．20% B．40% C．18% D．36%8．方程＝的解为（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝9．点（﹣1，4）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（）A．（4，﹣1）B．（﹣，1）C．（﹣4，﹣1）D．（，2）10．如图，在?ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB 于点M，EN ∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝二．填空题（共10小题）11．将数6260000用科学记数法表示为．12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是．13．把多项式a3﹣6a2b+9ab2分解因式的结果是．14．不等式组的解集是．15．二次函数y＝﹣（x﹣6）2+8的最大值是．16．如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与A是对应点，点B′与B是对应点，点B′落在边AC上，连接A′B，若∠ACB ＝45°，AC＝3，BC＝2，则A′B的长为．17．一个扇形的弧长是11πcm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是度．18．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为度．19．同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为．20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为．三．解答题（共7小题）21．先化简再求值：（﹣）÷，其中x＝4tan45°+2cos30°．22．图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图1中画出以AC为底边的等腰直角三角形ABC，点B在小正方形顶点上；（2）在图2中画出以AC为腰的等腰三角形ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD的面积为8．23．建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活动．为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中所给的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）请通过计算补全条形统计图；（3）如果海庆中学共有1500名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名．24．已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．（1）如图1，求证：AE＝CF；（2）如图2，当∠ADB＝30°时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．25．寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？26．已知：MN为⊙O的直径，OE为⊙O的半径，AB、CH是⊙O的两条弦，AB⊥OE于点D，CH⊥MN于点K，连接HN、HE，HE与MN交于点P．（1）如图1，若AB与CH交于点F，求证：∠HFB＝2∠EHN；（2）如图2，连接ME、OA，OA与ME交于点Q，若OA⊥ME，∠EON＝4∠CHN，求证：MP＝AB；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC、BC、AH，OC与EH 交于点G，AH与MN交于点R，连接RG，若HK：ME＝2：3，BC ＝，求RG的长．27．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线BC与x轴交于点C，且点C 与点A关于y轴对称；（1）求直线BC的解析式；（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC上一点，BQ＝AP，连接PQ，设点P的横坐标为t，△PBQ的面积为S（S≠0），求S与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点E在线段OA上，点R在线段BC的延长线上，且点R的纵坐标为﹣，连接PE、BE、AQ，AQ与BE交于点F，∠APE＝∠CBE，连接PF，PF的延长线与y轴的负半轴交于点M，连接QM、MR，若tan∠QMR＝，求直线PM的解析式．参考答案1．C．2．D．3．B．4．B．5．D．6．B．7．A．8．C．9．A．10．D．11．6.26×106．12．x≠．13．a（a﹣3b）2．14．x≥3．15．8．16．．17．110．8．60°或10．19．．20．2．21．解：原式＝[﹣]÷＝（﹣）?＝?＝，当x＝4tan45°+2cos30°＝4×1+2×＝4+时，原式＝＝＝．22．解：23．解：（1）根据题意得：18÷30%＝60（名），答：在这次调查中，一共抽取了60名学生；（2）60﹣（18+9+12+6）＝15（名），则本次调查中，选取国防类书籍的学生有15名，补全条形统计图，如图所示：（3）根据题意得：1500×＝225（名），答：该校最想读科技类书籍的学生有225名．24．解：（1）∵四边形ABCD为矩形∴AB∥CD且AB＝CD∴∠ABE＝∠CDF∵AE⊥BD ∴∠AEB＝90°∵CE⊥BD∴∠CFD＝90°∴△ABE≌△CDF（AAS）∴AE＝CF．（2）△AFD，△ABE，△BEC，△FDC．25．解：（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，根据题意得：，∴，答：每副围棋16元，每副中国象棋10元；（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40﹣z）副，根据题意得：16z+10（40﹣z）≤550，∴z≤25，答：最多可以购买25副围棋；26．解：（1）如图1，∵AB⊥OE于点D，CH⊥MN于点K ∴∠ODB＝∠OKC＝90°∵∠ODB+∠DFK+∠OKC+∠EON＝360°∴∠DFK+∠EON＝180°∵∠DFK+∠HFB＝180°∴∠HFB＝∠EON∵∠EON＝2∠EHN∴∠HFB＝2∠EHN（2）如图2，连接OB，∵OA⊥ME，∴∠AOM＝∠AOE∵AB⊥OE∴∠AOE＝∠BOE∴∠AOM+∠AOE＝∠AOE+∠BOE，即：∠MOE＝∠AOB∴ME＝AB∵∠EON＝4∠CHN，∠EON＝2∠EHN∴∠EHN＝2∠CHN∴∠EHC＝∠CHN∵CH⊥MN∴∠HPN＝∠HNM∵∠HPN＝∠EPM，∠HNM＝HEM∴∠EPM＝∠HEM∴MP＝ME∴MP＝AB（3）如图3，连接BC，过点A作AF⊥BC于F，过点A作AL⊥MN于L，连接AM，AC，由（2）知：∠EHC＝∠CHN，∠AOM＝∠AOE∴∠EOC＝∠CON∵∠EOC+∠CON+∠AOM+∠AOE＝180°∴∠AOE+∠EOC＝90°，∠AOM+∠CON＝90°∵OA⊥ME，CH⊥MN∴∠OQM＝∠OKC＝90°，CK＝HK，ME＝2MQ，∴∠AOM+∠OMQ＝90°∴∠CON＝∠OMQ∵OC＝OA∴△OCK≌△MOQ（AAS）∴CK＝OQ＝HK∵HK：ME＝2：3，即：OQ：2MQ＝2：3∴OQ：MQ＝4：3∴设OQ＝4k，MQ＝3k，则OM＝＝＝5k，AB＝ME＝6k在Rt△OAC中，AC＝＝＝5k∵四边形ABCH内接于⊙O，∠AHC＝∠AOC＝×90°＝45°，∴∠ABC＝180°﹣∠AHC＝180°﹣45°＝135°，∴∠ABF＝180°﹣∠ABC＝180°﹣135°＝45°∴AF＝BF＝AB?cos∠ABF＝6k?cos45°＝3k在Rt△ACF中，AF2+CF2＝AC2即：，解得：k 1＝1，（不符合题意，舍去）∴OQ＝HK＝4，MQ＝OK＝3，OM＝ON＝5∴KN＝KP＝2，OP＝ON﹣KN﹣KP＝5﹣2﹣2＝1，在△HKR中，∠HKR＝90°，∠RHK＝45°，∴＝tan∠RHK＝tan45°＝1∴RK＝HK＝4∴OR＝RN﹣ON＝4+2﹣5＝1∵∠CON＝∠OMQ∴OC∥ME∴∠PGO＝∠HEM∵∠EPM＝∠HEM∴∠PGO＝∠EPM∴OG＝OP＝OR＝1∴∠PGR＝90°在Rt△HPK中，PH＝＝＝2∵∠POG＝∠PHN，∠OPG＝∠HPN∴△POG∽△PHN∴，即，PG＝∴RG＝＝＝．27．解：（1）∵y＝x+4，∴A（﹣3，0）B（0，4），∵点C与点A关于y轴对称，∴C（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（0，4），C（3，0）代入，，解得k＝，b＝4，∴直线BC的解析式；（2）如图1，过点A作AD⊥BC于点点D，过点P作PN⊥BC 于N，PG⊥OB 于点G．∵OA＝OC＝3，OB＝4，∴AC＝6，AB＝BC＝5，∴sin∠ACD＝，即，∴AD＝，∵点P为直线y＝x+4上，∴设P（t，t+4），∴PG＝﹣t，cos∠BPG＝cos∠BAO，即，∴，∵sin∠ABC＝，∴PN＝＝，∵AP＝BQ，∴BQ＝5+，∴S＝，即S＝；（3）如图，延长BE至T使ET＝EP，连接AT、PT、AM、PT交OA于点S．∵∠APE＝∠EBC，∠BAC＝∠BCA，∴180°﹣∠APE﹣∠BAC＝180°﹣∠EBC﹣∠ACB，∴∠PEA＝∠BEC ＝∠AET，∴PT⊥AE，PS＝ST，∴AP＝AT，∠TAE＝∠PAE＝∠ACB，AT∥BC，∴∠TAE＝∠FQB，∵∠AFT＝∠BFQ，AT＝AP＝BQ，∴△ATF≌△QBF，∴AF＝QF，TF＝BF，∵∠PSA＝∠BOA＝90°，∴PT∥BM，∴∠TBM＝∠PTB，∵∠BFM＝∠PFT，∴△MBF≌△PTF，∴MF＝PF，BM＝PT，∴四边形AMPQ为平行四边形，∴AP∥MQ，MQ＝AP＝BQ，∴∠MQR＝∠ABC，过点R作RH⊥MQ于点H，∵sin∠ABC＝sin∠MQR＝，设QR＝25a，HR＝24a，则QH＝7a，∵tan∠QMR＝，∴MH＝23a，BQ＝MQ＝23a+7a＝30a，BR＝BQ+QR＝55a，过点R作RK⊥x轴于点K．∵点R的纵坐标为﹣，∴RK＝，∵sin∠BCO＝，∴CR＝，BR＝，∴，a＝，∴BQ＝30a＝3，∴5+＝3，t＝，∴P（），∴，∵BM＝PT＝2PS＝，BO＝4，∴OM＝，∴M（0，），设直线PM的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴直线PM的解析式为y＝．。
2019 年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷一、选择题（每小题3 分，共计30 分）1．（3 分）﹣9 的相反数是（）A．﹣9 C．9 D．2．（3 分）下列运算一定正确的是（）A．2a+2a＝2a2 B．a2•a3＝a6C．（2a2）3＝6a6 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b23．（3 分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．4．（3 分）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A． B．C．5．（3 分）如图，PA、PB 分别与⊙O 相切于A、B 两点，点C 为⊙O 上一点，连接AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB 的度数为（）A．60°B．75°C．70°D．65°6．（3 分）将抛物线y＝2x2 向上平移3 个单位长度，再向右平移2 个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3 7．（3 分）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25 元降到每件16 元，则平均每次降价的百分率为（）A．20% B．40% C．18% D．36%8．（3 分）方程＝的解为（）A．x＝ B．x＝C．x＝ D．x＝9．（3 分）点（﹣1，4）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（）A．（4，﹣1）B．（﹣，1）C．（﹣4，﹣1）D．（，2）10．（3 分）如图，在▱ABCD 中，点E 在对角线BD 上，EM∥AD，交AB 于点M，EN∥AB，交AD 于点N，则下列式子一定正确的是（）A．＝＝C．＝＝二、填空题（每小题3 分，共计30 分）11．（3 分）将数6260000 用科学记数法表示为．12．（3 分）在函数y＝中，自变量x 的取值范围是．13．（3 分）把多项式a3﹣6a2b+9ab2 分解因式的结果是．14．（3 分）不等式组的解集是．15．（3 分）二次函数y＝﹣（x﹣6）2+8 的最大值是．16．（3 分）如图，将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与A 是对应点，点B′与B 是对应点，点B′落在边AC 上，连接A′B，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则A′B 的长为．17．（3 分）一个扇形的弧长是11πcm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是度．18．（3 分）在△ABC 中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D 在AB 边上，连接CD，若△ACD 为直角三角形，则∠BCD 的度数为度．19．（3 分）同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有1 到6 的点数，则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为．20．（3 分）如图，在四边形ABCD 中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E 为AD 边上一点，连接BD、CE，CE 与BD 交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC 的长为．三、解答题（其中21～22 题各7 分，23-24 题各8 分，25～27 题各10 分，共计60 分）21．（7 分）先化简再求值：（﹣）÷，其中x＝4tan45°+2cos30°．22．（7 分）图1、2 是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC 的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图1 中画出以AC 为底边的等腰直角三角形ABC，点B 在小正方形顶点上；（2）在图2 中画出以AC 为腰的等腰三角形ACD，点D 在小正方形的顶点上，且△ACD 的面积为8．23．（8 分）建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活动．为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中所给的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）请通过计算补全条形统计图；（3）如果海庆中学共有1500 名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名．24．（8 分）已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE⊥BD 于点E，CF⊥BD 于点F．（1）如图1，求证：AE＝CF；（2）如图2，当∠ADB＝30°时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2 中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积．25．（10 分）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3 副围棋和5 副中国象棋需用98 元；若购买8 副围棋和3 副中国象棋需用158 元；（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40 副，总费用不超过550 元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？26．（10 分）已知：MN 为⊙O 的直径，OE 为⊙O 的半径，AB、CH 是⊙O 的两条弦，AB⊥OE 于点D，CH⊥MN 于点K，连接HN、HE，HE 与MN 交于点P．（1）如图1，若AB 与CH 交于点F，求证：∠HFB＝2∠EHN；（2）如图2，连接ME、OA，OA 与ME 交于点Q，若OA⊥ME，∠EON＝4∠CHN，求证：MP＝AB；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC、BC、AH，OC 与EH 交于点G，AH 与MN 交于点R，连接RG，若，求RG 的长．27．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y＝x+4 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，直线BC 与x 轴交于点C，且点C 与点A 关于y 轴对称；（1）求直线BC 的解析式；（2）点P 为线段AB 上一点，点Q 为线段BC 上一点，BQ＝AP，连接PQ，设点P 的横坐标为t，△PBQ 的面积为S（S≠0），求S 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点 E 在线段OA 上，点R 在线段BC 的延长线上，且点R 的纵坐标为，连接PE、BE、AQ，AQ 与BE 交于点F，∠APE＝∠CBE，连接PF，PF 的延长线与y 轴的负半轴交于点M，连接QM、MR，若，求直线PM 的解析式．2019 年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3 分，共计30 分）1．（3 分）﹣9 的相反数是（）A．﹣9 C．9 D．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．【解答】解：﹣9 的相反数是9，故选：C．【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．（3 分）下列运算一定正确的是（）A．2a+2a＝2a2B．a2•a3＝a6C．（2a2）3＝6a6D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【分析】利用同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式解题即可；【解答】解：2a+2a＝4a，A 错误；a2•a3＝a5，B 错误；（2a2）3＝8a6，C 错误；故选：D．【点评】本题考查整式的运算；熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式是解题的关键．3．（3 分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【分析】根据轴对称及中心对称图形的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解答此题的关键．4．（3 分）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A． B．C．【分析】左视图有 2 列，从左到右分别是2，1 个正方形．【解答】解：这个立体图形的左视图有2 列，从左到右分别是2，1 个正方形，故选：B．【点评】此题主要考查了三视图的画法，正确掌握三视图观察的角度是解题关键．5．（3 分）如图，PA、PB 分别与⊙O 相切于A、B 两点，点C 为⊙O 上一点，连接AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB 的度数为（）A．60°B．75°C．70°D．65°【分析】先利用切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB 的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB 的度数．【解答】解：连接OA、OB，∵PA、PB 分别与⊙O 相切于A、B 两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣50°＝130°，∴∠ACB＝∠AOB＝×130°＝65°．故选：D．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．6．（3 分）将抛物线y＝2x2 向上平移3 个单位长度，再向右平移2 个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝2x2 向上平移3 个单位长度，再向右平移2 个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2+3，故选：B．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．7．（3 分）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25 元降到每件16 元，则平均每次降价的百分率为（）A．20% B．40% C．18% D．36%【分析】设降价得百分率为x，根据降低率的公式a（1﹣x）2＝b 建立方程，求解即可．【解答】解：设降价的百分率为x根据题意可列方程为25（1﹣x）2＝16解方程，（舍）∴每次降价得百分率为20%故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程实际应用问题关于增长率的类型问题，按照公式a（1﹣x）2＝b 对照参数位置代入值即可，公式的记忆与运用是本题的解题关键．8．（3 分）方程＝的解为（）A．x＝ B．x＝C．x＝ D．x＝【分析】将分式方程化，即可求解；同时要进行验根即可求解；【解答】解＝，，∴2x＝9x﹣3，∴x＝；将检验是方程的根，∴方程的解为；故选：C．【点评】本题考查解分式方程；熟练掌握分式方程的解法及验根是解题的关键．9．（3 分）点（﹣1，4）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（）A．（4，﹣1）B．（﹣，1）C．（﹣4，﹣1）D．（，2）【分析】将点（﹣1，4）代入，求出函数解析式即可解题；【解答】解：将点（﹣1，4）代入，∴k＝﹣4，∴y＝，∴点（4，﹣1）在函数图象上，故选：A．【点评】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．10．（3 分）如图，在▱ABCD 中，点E 在对角线BD 上，EM∥AD，交AB 于点M，EN∥AB，交AD 于点N，则下列式子一定正确的是（）A．＝＝C．＝＝【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质．【解答】解：∵在▱ABCD 中，EM∥AD∴易证四边形AMEN 为平行四边形∴易证△BEM∽△BAD∽△END∴＝＝，A 项错误＝，B 项错误＝＝，C 项错误＝＝，D 项正确故选：D．【点评】此题主要考查相似三角形的性质及平行四边形的性质，本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．二、填空题（每小题3 分，共计30 分）11．（3 分）将数6260000 用科学记数法表示为 6.26×106 ．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．【解答】解：6260000 用科学记数法可表示为6.26×106，故答案为：6.26×106．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．12．（3 分）在函数y＝中，自变量x 的取值范围是 x≠．【分析】函数中分母不为零是函数有意义的条件，因此2x﹣3≠0 即可；【解答】解：函数中分母2x﹣3≠0，∴x≠；故答案为；【点评】本题考查函数自变量的取值范围；熟练掌握函数中自变量的取值范围的求法是解题的关键．13．（3 分）把多项式a3﹣6a2b+9ab2 分解因式的结果是a（a﹣3b）2 ．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：a3﹣6a2b+9ab2＝a（a2﹣6ab+9b2）＝a（a﹣3b）2．故答案为：a（a﹣3b）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（3 分）不等式组的解集是 x≥3 ．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等≤0，得：x≥3，解不等式3x+2≥1，得，∴不等式组的解集为x≥3，故答案为：x≥3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．15．（3 分）二次函数y＝﹣（x﹣6）2+8 的最大值是 8 ．【分析】利用二次函数的性质解决问题．【解答】解：∵a＝﹣1＜0，∴y 有最大值，当x＝6 时，y 有最大值8．故答案为8．【点评】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．16．（3 分）如图，将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与A 是对应点，点B′与B 是对应点，点B′落在边AC 上，连接A′B，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则A′B 的长为．【分析】由旋转的性质可得AC＝A'C＝3，∠ACB＝∠ACA'＝45°，可得∠A'CB＝90°，由勾股定理可求解．【解答】解：∵将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△A′B′C，∴AC＝A'C＝3，∠ACB＝∠ACA'＝45°∴∠A'CB＝90°∴A'B＝＝故答案为【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．17．（3 分）一个扇形的弧长是11πcm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是 110 度．【分析】直接利用弧长公式即可求出n 的值，计算即可．【解答】解：根据＝＝11π，解得：n＝110，故答案为：110．【点评】本题考查了扇形弧长公式计算，注意公式的灵活运用是解题关键．18．（3 分）在△ABC 中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D 在AB 边上，连接CD，若△ACD 为直角三角形，则∠BCD 的度数为60°或10 度．【分析】当△ACD 为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定理可得结论．【解答】解：分两种情况：①如图1，当∠ADC＝90°时，∵∠B＝30°，∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；②如图2，当∠ACD＝90°时，∵∠A＝50°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，综上，则∠BCD 的度数为60°或10°；故答案为：60°或10；【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，分情况讨论是本题的关键．19．（3 分）同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有1 到6 的点数，则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为．【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两枚骰子点数相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：列表得：由表可知一共有36 种情况，两枚骰子点数相同的有6 种，所以两枚骰子点数相同的概率＝，故答案为．【点评】本题考查了列表法与树状图法求随机事件的概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（3 分）如图，在四边形ABCD 中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E 为AD 边上一点，连接BD、CE，CE 与BD 交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC 的长为 2 ．【分析】连接AC 交BD 于点O，由题意可证AC 垂直平分BD，△ABD 是等边三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4，通过证明△EDF 是等边三角形，可得DE＝EF＝DF＝2，由勾股定理可求OC ，BC 的长．【解答】解：如图，连接AC 交BD 于点O∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，∴AC 垂直平分BD，△ABD 是等边三角形∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4∵CE∥AB∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°∴∠DAO＝∠ACE＝30°∴AE＝CE＝6∴DE＝AD﹣AE＝2∵∠CED＝∠ADB＝60°∴△EDF 是等边三角形∴DE＝EF＝DF＝2∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2∴OC＝＝2∴BC＝＝2【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．三、解答题（其中21～22 题各7 分，23-24 题各8 分，25～27 题各10 分，共计60 分）21．（7 分）先化简再求值：（﹣）÷，其中x＝4tan45°+2cos30°．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再依据特殊锐角三角函数值求得 x 的值，代入计算可得． 【解答】解：原式﹣]÷＝（﹣）•＝• ＝， 当＝4+时，【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．22．（7 分）图 1、2 是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为 1，线段 AC 的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图 1 中画出以 AC 为底边的等腰直角三角形 ABC ，点 B 在小正方形顶点上；（2）在图 2 中画出以 AC 为腰的等腰三角形 ACD ，点 D 在小正方形的顶点上，且△ACD 的面积为 8．【分析】（1）作 AC 的垂直平分线，作以 AC 为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点B ；（2）以 C 为圆心，AC 为半径作圆，格点即为点 D ；【解答】解；（1）作 AC 的垂直平分线，作以 AC 为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点 B ；（2）以 C 为圆心，AC 为半径作圆，格点即为点 D ；原式＝ ＝ ＝．【点评】本题考查尺规作图，等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形和直角三角形的尺规作图方法是解题的关键．23．（8 分）建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活动．为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中所给的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）请通过计算补全条形统计图；（3）如果海庆中学共有1500 名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名．【分析】（1）由最想读教育类书籍的学生数除以占的百分比求出总人数即可；（2）确定出最想读国防类书籍的学生数，补全条形统计图即可；（2）求出最想读科技类书籍的学生占的百分比，乘以1500 即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：18÷30%＝60（名），答：在这次调查中，一共抽取了60 名学生；（2）60﹣（18+9+12+6）＝15（名），则本次调查中，选取国防类书籍的学生有15 名，补全条形统计图，如图所示：（3）根据题意得：1500×＝225（名），答：该校最想读科技类书籍的学生有225 名．【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．24．（8 分）已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE⊥BD 于点E，CF⊥BD 于点F．（1）如图1，求证：AE＝CF；（2）如图2，当∠ADB＝30°时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2 中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积．【分析】（1）由AAS 证明△ABE≌△CDF，即可得出结论；（2）由平行线的性质得出∠CBD＝∠ADB＝30°，由直角三角形的性质得出AB，AE ＝AD，得出△ABE 的面积＝AB×AD＝矩形ABCD 的面积，由全等三角形的性质得出△CDF 的面积矩形ABCD 的面积；作EG⊥BC 于G，由直角三角形的性质得出EG＝BE＝×AB＝AB，得出△BCE 的面积＝矩形ABCD 的面积，同理：△ADF 的面积矩形ABCD 的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABE＝∠DF，∵AE⊥BD 于点E，CF⊥BD 于点F，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE 和△CDF 中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF；（2）解：△ABE 的面积＝△CDF 的面积＝△BCE 的面积＝△ADF 的面积＝矩形ABCD 面积．理由如下：∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABE＝60°，∵AE⊥BD，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB，AE＝AD，∴△ABE 的面积BE×AE＝×AB×AD＝AB×AD＝矩形ABCD 的面积，∵△ABE≌△CDF，∴△CDF 的面积矩形ABCD 的面积；作EG⊥BC 于G，如图所示：∵∠CBD＝30°，∴EG＝BE＝× AB＝AB，∴△BCE 的面积BC×EG＝BC×AB＝BC×AB＝矩形ABCD 的面积，同理：△ADF 的面积矩形ABCD 的面积．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质、三角形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．25．（10 分）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3 副围棋和5 副中国象棋需用98 元；若购买8 副围棋和3 副中国象棋需用158 元；（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40 副，总费用不超过550 元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？【分析】（1）设每副围棋x 元，每副中国象棋y 元，根据题意得，求解即可；（2）设购买围棋z 副，则购买象棋（40﹣z）副，根据题意得：16z+10（40﹣z）≤550，即可求解；【解答】解：（1）设每副围棋x 元，每副中国象棋y 元，根据题意得：，∴，∴每副围棋16 元，每副中国象棋10 元；（2）设购买围棋z 副，则购买象棋（40﹣z）副，根据题意得：16z+10（40﹣z）≤550，∴z≤25，∴最多可以购买25 副围棋；【点评】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用；能够通过已知条件列出准确的方程组和不等式是解题的关键．26．（10 分）已知：MN 为⊙O 的直径，OE 为⊙O 的半径，AB、CH 是⊙O 的两条弦，AB⊥OE 于点D，CH⊥MN 于点K，连接HN、HE，HE 与MN 交于点P．（1）如图1，若AB 与CH 交于点F，求证：∠HFB＝2∠EHN；（2）如图2，连接ME、OA，OA 与ME 交于点Q，若OA⊥ME，∠EON＝4∠CHN，求证：MP＝AB；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC、BC、AH，OC 与EH 交于点G，AH 与MN 交于点R，连接RG，若，求RG 的长．【分析】（1）利用“四边形内角和为360°”、“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”即可；（2）根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，先证AB＝MB，再根据“等角对等边”，证明MP＝ME；（3）由全等三角形性质和垂径定理可将HK：ME＝2：3 转化为OQ：MQ＝4：3；可设Rt △OMQ 两直角边为：OQ＝4k，MQ＝3k，再构造直角三角形利用，求出k 的值；求得OP＝OR＝OG，得△PGR 为直角三角形，应用勾股定理求RG．【解答】解：（1）如图1，∵AB⊥OE 于点D，CH⊥MN 于点K∴∠ODB＝∠OKC＝90°∵∠ODB+∠DFK+∠OKC+∠EON＝360°∴∠DFK+∠EON＝180°∵∠DFK+∠HFB＝180°∴∠HFB＝∠EON∵∠EON＝2∠EHN∴∠HFB＝2∠EHN（2）如图2，连接OB，∵OA⊥ME，∴∠AOM＝∠AOE∵AB⊥OE∴∠AOE＝∠BOE∴∠AOM+∠AOE＝∠AOE+∠BOE，即：∠MOE＝∠AOB∴ME＝AB∵∠EON＝4∠CHN，∠EON＝2∠EHN∴∠EHN＝2∠CHN∴∠EHC＝∠CHN∵CH⊥MN∴∠HPN＝∠HNM∵∠HPN＝∠EPM，∠HNM＝HEM∴∠EPM＝∠HEM∴MP＝ME∴MP＝AB（3）如图3，连接BC，过点A 作AF⊥BC 于F，过点A 作AL⊥MN 于L，连接AM，AC，由（2）知：∠EHC＝∠CHN，∠AOM＝∠AOE∴∠EOC＝∠CON∵∠EOC+∠CON+∠AOM+∠AOE＝180°∴∠AOE+∠EOC＝90°，∠AOM+∠CON＝90°∵OA⊥ME，CH⊥MN∴∠OQM＝∠OKC＝90°，CK＝HK，ME＝2MQ，∴∠AOM+∠OMQ＝90°∴∠CON＝∠OMQ∵OC＝OA∴△OCK≌△MOQ（AAS）∴CK＝OQ＝HK∵HK：ME＝2：3，即：OQ：2MQ＝2：3∴OQ：MQ＝4：3∴设OQ＝4k，MQ＝3k，则＝＝5k，AB＝ME＝6k在Rt△OAC 中＝＝5k∵四边形ABCH 内接于∠AOC＝×90°＝45°，∴∠ABC＝180°﹣∠AHC＝180°﹣45°＝135°，∴∠ABF＝180°﹣∠ABC＝180°﹣135°＝45°∴AF＝BF＝AB•cos∠ABF＝6k•cos45°＝3k在Rt△ACF 中，AF2+CF2＝AC2即：，解得：k1＝1，（不符合题意，舍去）∴OQ＝HK＝4，MQ＝OK＝3，OM＝ON＝5∴KN＝KP＝2，OP＝ON﹣KN﹣KP＝5﹣2﹣2＝1，在△HKR 中，∠HKR＝90°，∠RHK＝45°，∴＝tan∠RHK＝tan45°＝1∴RK＝HK＝4∴OR＝RN﹣ON＝4+2﹣5＝1∵∠CON＝∠OMQ∴OC∥ME∴∠PGO＝∠HEM∵∠EPM＝∠HEM∴∠PGO＝∠EPM∴OG＝OP＝OR＝1∴∠PGR＝90°在Rt△HPK 中＝＝2∵∠POG＝∠PHN，∠OPG＝∠HPN，PG ＝ ＝ ∴△POG ∽△PHN∴，即 ∴RG ＝ ＝ ．【点评】本题是有关圆的几何综合题，难度较大，综合性很强；主要考查了垂径定理， 圆周角与圆心角，同圆中圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形性质，全等三角形性质， 勾股定理及解直角三角形等．27．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线 y ＝x +4 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，直线 BC 与 x 轴交于点 C ，且点 C 与点 A 关于 y 轴对称；（1）求直线 BC 的解析式；（2）点P 为线段AB 上一点，点Q 为线段BC 上一点，BQ＝AP，连接PQ，设点P 的横坐标为t，△PBQ 的面积为S（S≠0），求S 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点E 在线段OA 上，点R 在线段BC 的延长线上，且点R 的纵坐标为，连接PE、BE、AQ，AQ 与BE 交于点F，∠APE＝∠CBE，连接PF，PF的延长线与y 轴的负半轴交于点M，连接QM、MR，若，求直线PM 的解析式．【分析】（1）由y＝x+4，求出A（﹣3，0）B（0，4），所以C（3，0），设直线BC 的解析式为y＝kx+b，将B（0，4），C（3，0）代入，解得k＝，b＝4，所以直线BC 的解析；（2）过点A 作AD⊥BC 于点点D，过点P 作PN⊥BC 于N，PG⊥OB 于点G．由sin∠ACD ＝，即，求出AD＝，设P（t，t+4），由cos∠BPG＝cos∠BAO，即，求出，由，求得PN＝＝，BQ ＝，所以S ＝，即S ＝；（3）如图，延长BE 至T 使ET＝EP，连接AT、PT、AM、PT 交OA 于点S，易证AT∥BC，所以∠TAE＝∠FQB，△ATF≌△QBF，于是AF＝QF，TF＝BF，再证明△MBF≌△PTF，所以MF＝PF，BM＝PT，于是四边形AMPQ 为平行四边形，由sin∠ABC＝sin∠MQR ＝，设QR＝25a，HR＝24a，则QH＝7a，tan∠QMR＝，所以MH＝23a，BQ＝MQ＝23a+7a＝30a，BR＝BQ+QR＝55a，过点R 作RK⊥x 轴于点K．求得M（0，），设直线PM 的解析式为y＝mx+n，解得，因此直线PM 的解析式为y＝．【解答】解x+4，∴A（﹣3，0）B（0，4），∵点C 与点A 关于y 轴对称，∴C（3，0），设直线BC 的解析式为y＝kx+b，将B（0，4），C（3，0）代入，，解得，b＝4，∴直线BC 的解析；（2）如图1，过点A 作AD⊥BC 于点点D，过点P 作PN⊥BC 于N，PG⊥OB 于点G．∵OA＝OC＝3，OB＝4，∴AC＝6，AB＝BC＝5，∴sin∠ACD＝，即，∴AD＝，∵点P 为直线x+4 上，∴设P（t，t+4），∴PG＝﹣t，cos∠BPG＝cos∠BAO，即，∴，∵sin∠ABC＝，∴PN＝＝，∵AP＝BQ，∴BQ＝5+，∴S＝，即S＝；（3）如图，延长BE 至T 使ET＝EP，连接AT、PT、AM、PT 交OA 于点S．∵∠APE＝∠EBC，∠BAC＝∠BCA，∴180°﹣∠APE﹣∠BAC＝180°﹣∠EBC﹣∠ACB，∴∠PEA＝∠BEC＝∠AET，∴PT⊥AE，PS＝ST，∴AP＝AT，∠TAE＝∠PAE＝∠ACB，AT∥BC，∴∠TAE＝∠FQB，∵∠AFT＝∠BFQ，AT＝AP＝BQ，∴△ATF≌△QBF，∴AF＝QF，TF＝BF，∵∠PSA＝∠BOA＝90°，∴PT∥BM，∴∠TBM＝∠PTB，∵∠BFM＝∠PFT，∴△MBF≌△PTF，∴MF＝PF，BM＝PT，∴四边形AMPQ 为平行四边形，∴AP∥MQ，MQ＝AP＝BQ，∴∠MQR＝∠ABC，过点R 作RH⊥MQ 于点H，∵sin∠ABC＝sin∠MQR＝，设QR＝25a，HR＝24a，则QH＝7a，∵tan∠QMR＝，∴MH＝23a，BQ＝MQ＝23a+7a＝30a，BR＝BQ+QR＝55a，过点R 作RK⊥x 轴于点K．∵点R 的纵坐标为，∴RK＝，∵sin∠BCO＝，∴CR＝，BR＝，∴，a＝，∴BQ＝30a＝3，∴5+＝3，t＝，∴P（），∴，∵BM＝PT＝2PS＝，BO＝4，∴OM＝，∴M（0，），设直线PM 的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴直线PM 的解析式为y＝．【点评】本题考查了一次函数，熟练运用待定系数法、三角形全等以及三角函数是解题的关键．。
哈 尔 滨 市 年 初 中 升 学 考 试数 学 试 卷考生须知：1.本试卷满分为120分,考试时间为120分钟。
2.答题前,考生先将自己的”姓名”、“考号”、“考场"、”座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效。
4.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
5.保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷选择题(共30分)（涂卡)一、选择题（每小题3分,共计30分) 1.75-的绝对值是( ). (A)75 (B)57 (C)75- (D)57- 2．下列运算一定正确的是( ).(A)()222n m n m +=+ (B)()333n m mn = (C)()523m m = (D)22m m m =⋅3.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）.4.六个大小相同的正力体搭成的几何体如图所示,其俯视图是（ ）.5. 如图，点P 为⊙O 外一点,PA 为⊙0的切线,A 为切点,PO 交⊙0于点B ，∠P=30°,OB=3,则线段BP 的长为（ ）. (A)3 (B)33 (C)6 (D)96.将抛物线y=-5x 2+l 向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度, 所得到的抛物线为（ ）. （A)y=-5(x+1)2-1 (B)y=-5(x-1)2-1 (C)y=-5(x+1)2+3 (D)y=-5(x-1)2+37.方程3221+=x x 的解为（ ）. (A)x=-1 (B)x=0 (C) x=53(D)x=1 8.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点0,BD=8,tan ∠ABD=43, 则线段AB 的长为( ).(A)7 (B)27 (C)5 (D)109.已知反比例函数xk y 32-=的图象经过点(1,1),则k 的值为（ ）. (A)-1 (B)0 (C)1 (D)210.如图,在△ABC 中,点D 在BC 边上,连接AD,点G 在线段AD 上,GE ∥BD, 且交AB 于点E,GF ∥AC,且交CD 于点F,则下列结论一定正确的是( ). (A)AD AGAEAB = (B)AD DGCF DF =(C)BDEG ACFG = (D)DFCF BEAE =第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题（每小3分,共计30分）11.将数920 000 000用科学记数法表示为 . 12.函数45y -=x x中,自变量x 的取值范围是 . 13.把多项式x 3-25x 分解因式的结果是 .14.不等式组{1215325≥---x x x ＞的解集为 .15.计算5110-56的结果是 . 16.抛物线y=2(x+2)2+4的顶点坐标为 .17.一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分別刻有1到6的点数,张兵同学掷一次骰子,骰 子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是 .18.一个扇形的圆心角为135°,弧长为3πcm,则此扇形的面积是 .19.在△ABC 中, AB=AC,∠BAC=100°,点D 在BC 边上,连接AD,若△ABD 为直角三角形,则∠ADC 的 度数为 .20. 如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点0,AB=OB ， 点E 、点F 分别是OA 、OD 的中点,连接EF,∠CEF=45°EM ⊥BC 于 点M,EM 交BD 于点N,FN=10,则线段BC 的长为 .三、解答题(其中21～22题各7分,23～24题备8分,25-27题各10分,共计60分 21(本题7分)先化简,再求代数式429621-12-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a a 的值,其中a=4cos30°+3tan45°. 22.(本题7分)如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB 的两个端 点均在小正方形的顶点上.(1) 在图中画出以线段AB 为一边的矩形ABCD(不是正方形),且点C 和点D 均在小正方形的顶点上;(2) 在图中画出以线段AB 为一腰,底边长为22的等腰 三角形ABE,点E 在小正方形的顶点上.连接CE,请直接写出线段 CE 的长. 23.（本题8分)为使中华传统文化教育更具有实效性,军宁中学开展以“我最喜爱的传统文化种类”为主题的调查活动,围绕“在诗词、国画、对联、书法、戏曲五种传统文化中,你最喜爱哪一种?(必选且只选一种)”的问题,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图.请你根据图中提供的信息回答下列问题:(1)本次调查共抽取了多少名学生? (2)通过计算补全条形统计图;(3)若军宁中学共有960名学生,请你估计该中学最喜爱国画的学生有多少名？24.(本题8分)已知:在四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点E ，且AC ⊥BD,作BF ⊥CD 垂足为点F,BF 与AC 交于点G.∠BGE=∠ADE.(1)如图1,求证:AD=CD ；(2)如图2,BH 是△ABE 的中线,若AE=2DE,DE=EG,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四个三角形,使写出的每个三角形的面积都等于△ADE 面积的2倍.25.(本题10分)春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材,计划购买A 型,B 型两种型号的放大镜,若购买8个A 型放大镜和5个B 型放大镜需用220元;若购买4个A 型放大镜和6个B 型放大镜需用152元.(1)求每个A 型放大镜和每个B 型放大镜各多少元？(2)春平中学决定购买A 型放大镜和B 型放大镜共75个,总费用不超过1180元,那么最多可以购买多少个A 型放大镜?26.(本题10分）已知:⊙O 是正方形ABCD 的外接圆,点E 在弧AB 上,连接BE 、DE,点F 在弧AD 上,连接BF,DF,BF 与DE 、DA 分别交于点G 、点H,且DA 平分∠EDF.(1)如图1,求证:∠CBE=∠DHG;(2)如图2,在线段AH 上取一点N （点N 不与点A 、点H 重合),连接BN 交DE 于点L,过点H 作HK ∥BN 交DE 于点K,过点E 作EP ⊥BN 垂足为点P ，当BP=HF 时,求证:BE=HK;(3)如图3,在(2)的条件下,当3HF=2DF 时,延长EP 交⊙0于点R,连接BR,若△BER 的面积与△DHK 的面积的差为47,求线段BR 的长.27.(本题10分)已知:在平面直角坐标系中,点0为坐标原点,点A 在x 轴的负半轴上,直线3273+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点,四边形ABCD 为菱形.(1)如图1，求点A 的坐标；(2)如图2,连接AC,点P 为△ACD 内一点,连接AP 、BP,BP 与AC 交于点G,且∠APB=60°,点E 在线段AP 上,点F 在线投BP 上,且BF=AE.连接AF 、EF,若∠AFE=30°,求AF 2+EF 2的值;(3)如图3在(2)的条件下,当PE=AE 时,求点P 的坐标.。
