2020年上海市虹口区初三数学一模卷含答案

2022学年度学生学习能力诊断练习初三数学（满分150分，时间100分钟）一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如果某个斜坡的坡度是，那么这个斜坡的坡角为（）A.30° B.45°C.60°D.90°【答案】A 【解析】【分析】根据坡角的正切=坡度，列式可得结果．【详解】设这个斜坡的坡角为α，由题意得：.= 3.3，∴α=30°；故选A.【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.2.如图，在Rt ABC △中，9012C AC BC ∠︒==，，，那么cos A 的值为（）A.12B.2C.D.【答案】C 【解析】【分析】先利用勾股定理求解AB ，再利用余弦的定义直接求解即可．【详解】解：∵9012C AC BC ∠=︒==，，，∴AB ==，∴5cos5AC A AB ===，故选：C ．【点睛】本题考查的是勾股定理，锐角的余弦的定义，解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还有熟记三角函数的定义．3.已知抛物线()221y a x =-+有最低点，那么a 的取值范围是（）A.0a >B.a<0C.2a > D.2a <【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件中二次函数的图象有最低点，可知抛物线的开口方向向上；利用抛物线的开口方向和二次项系数有关，再结合抛物线开口向上，得到20a ->，由此即可得到a 的取值范围．【详解】解：∵二次函数()221y a x =-+的图像有最低点，∴函数图象开口向上，则20a ->，解得2a <．故选D ．4.已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么下列四个结论中，错误的是（）A.a<0B.0b < C.0c > D.0abc <【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的图象与解析式中字母系数之间关系解答即可．【详解】解：A 、图象的开口向下，则0a <，此选项不符合题意；B 、对称轴在y 轴右边且0a <，则0b >，此选项符合题意；C 、图象与y 轴正半轴相交，则0c >，此选项不符合题意；D 、0abc <，此选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图象与各项系数间的关系，熟知二次函数的图象与各项字母系数之间关系是解答的关键．5.如果点()12,A y -与点()23,B y -都在抛物线2y x k =+上，那么1y 和2y 的大小关系是（）A.12y y >B.12y y < C.12y y = D.不能确定【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数图像与性质，对于比较二次函数的y 值大小，只需要比较相应点到对称轴距离即可得到答案．【详解】解： 点()12,A y -与点()23,B y -都在抛物线2y x k =+上，∴抛物线对称轴为0y =，∴()12,A y -到对称轴距离为2；()23,B y -到对称轴距离为3，抛物线2y x k =+中二次项系数为正，开口向上，∴抛物线上的点离对称轴越近y 值越小，即12y y <，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数y 值大小比较，熟练掌握二次函数图形与性质、掌握二次函数y 值大小比较的方法步骤是解决问题的关键．6.如图，点D E 、分别在ΔABC 边AB AC 、上，3AB AE AD CE==，且AED B ∠=∠，那么ADAC 的值为（）A.12B.13C.14D.23【答案】A 【解析】【分析】根据AED B ∠=∠与A A ∠=∠，即可得到ΔADE ∽ΔACB ，即可得到AD AEAC AB=，结合3AB AE AD CE==即可得到ADAC 的值；【详解】解：∵AED B ∠=∠，A A ∠=∠，∴ΔADE ∽ΔACB ，∴AD AEAC AB =，∵3AB AEAD CE ==，∴343AD CECE AD=，∴224AD CE =，∴142AD AD AC CE ==，故选A ．【点睛】本题考查三角形相似的性质与判定，解题的关键是根据分式的性质得到AD 与CE 的关系．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.已知线段b 是线段a 、c 的比例中项，且2a =，8c =，那么b =________．【答案】4【解析】【分析】根据比例中项的概念，可得a bb c=，可得216b ac ==，即可得到b 的值，注意线段的长为正数．【详解】解：∵线段b 是线段a 、c 的比例中项，且2a =，8c =，∴a b b c=，∴216b ac ==，解得4b =±，又∵线段的长度是正数，∴4b =．故答案为：4【点睛】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方；求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．根据比例中项的概念列出比例式是解答本题的关键．8.计算：()12622b a b --=__________．【答案】33b a-【解析】【分析】按照向量线性运算法则计算即可．【详解】解：()12622b a b --，1126222b a b =-⨯+⨯ ，23b a b =-+ ，33b a =- ，故答案为：33b a -．【点睛】本题考查了向量的线性运算，掌握向量的运算法则是解题关键．9.抛物线243y x x =-+与y 轴的交点坐标是___________．【答案】()0,3【解析】【分析】令0x =得出y 的值，从而得出与y 轴的交点坐标．【详解】令0x =，得3y =，∴抛物线243y x x =-+与y 轴的交点坐标是()0,3，故答案为：()0,3．【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数与y 轴交点的求法是解题的关键．10.沿着x 轴正方向看，抛物线22y x x =-+在其对称轴右侧的部分是___________的．（填“上升”或“下降”）【答案】下降【解析】【分析】根据二次函数的性质解答即可．【详解】解：因为10a =-<，所以抛物线22y x x =-+在对称轴右侧部分是下降的，故答案为：下降．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．11.在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线22y x x =+沿着y 轴向下平移2个单位，所得到的新抛物线的表达式为__________________．【答案】222y x x =+-【解析】【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，进行计算即可．【详解】解：将抛物线22y x x =+沿着y 轴向下平移2个单位长度所得抛物线解析式为：222y x x =+-；故答案为：222y x x =+-．【点睛】本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握抛物线的平移规律，是解题的关键．12.已知抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：x…1-0234…y…522510…如果点()2,m -在此抛物线上，那么m =___________．【答案】10【解析】【分析】根据题目表中数据，利用待定系数法确定函数关系式，再由点()2,m -在此抛物线上，代值求解即可得到答案．【详解】解：由题意可得，52242a b c c a b c =-+⎧⎪=⎨⎪=++⎩，解得122a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为222y x x -=+，点()2,m -在此抛物线上，()()2222210m ∴=--⨯-+=，故答案为：10．【点睛】本题考查二次函数求值，涉及待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数解析式的求法是解决问题的关键．13.已知111ABC A B C ∽△△，顶点、、A B C 分别与111A B C 、、对应，1112,9AC A C ==，1A ∠的平分线的长为6，那么A ∠的平分线的长为________．【答案】8【解析】【分析】根据题意，作出图形，根据111ABC A B C ∽△△，由三角形相似的性质得到111ABD A B D △∽△，再由三角形相似的性质即可得到答案．【详解】解：如图所示：111ABC A B C ∽△△，1112,9AC A C ==，1111B B BAC B A C ∴∠=∠∠=∠，，111112493AB AC A B A C ===，AD 是BAC ∠的角平分线，11A D 是111B A C ∠的角平分线，111BAD B A D ∴∠=∠，∴111ABD A B D △∽△，∴111143AD AB A D A B ==， 1A ∠的平分线的长为6，∴A ∠的平分线的长为11114683AB AD A D A B =⋅=⨯=，故答案为：8．【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，熟练掌握两个三角形相似对应角相等、对应边成比例是解决问题的关键．14.如图，在ABC 中，点D 在边AC 上，已知ABD △和BCD △的面积比是12：，AB a =，DB b =，那么用向量、a b 表示向量AC 为________．【答案】33a b-【解析】【分析】由题中ABD △和BCD △的面积比是12：，根据三角形“等高”的面积表示即可知道12AD DC =，根据平面向量的加法运算可知()33AC AD AB BD ==+，从而得到答案．【详解】解：过B 作BE AC ⊥，如图所示：ABD △和BCD △的面积比是12：，∴112122ABDCBDAD BES AD S DC DC BE ⋅===⋅△△，∴AC 3AD =，AB a =，DB b =，∴用向量、a b 表示向量AC 为AC3AD= ()3AB BD=+ ()3AB DB =- ()3a b =- 33a b =- ，故答案为：33a b -．【点睛】本题考查向量运算，涉及三角形面积、向量加法运算及向量共线等知识，熟练掌握向量的相关表示是解决问题的关键．15.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E F 、分别在边AB CD 、上且EF AD ∥，已知:1:2AE EB =，3,4AD EF ==，那么BC 的长是________．【答案】6【解析】【分析】由题中AD BC ∥，EF AD ∥，得到AD BC ∥EF ∥，从而利用平行线分线段成比例定理得到12DF AE FC EB ==，连接AC ，如图所示，由相似三角形的判定得到∽CFH CDA △△、AEH ABC ∽△△，利用相似比即可得到答案．【详解】解：连接AC在梯形ABCD 中，AD BC ∥，EF AD ∥，AD EF BC ∴∥∥，:1:2AE EB =，12DF AE FC EB ∴==， EF AD ∥，D HFC ∴∠=∠，FCH DCA ∠=∠ ，∽CFH CDA ∴△△，23HF CF AD CD ∴==， 3,4AD EF ==，24323EH EF HF ∴=-=-⨯=， EF BC ∥，B AEH ∴∠=∠，EAH BAC ∠=∠ ，∽AEH ABC ∴△△，13EH AE BC AB ∴==，3326BC EH ∴==⨯=，故答案为：6．【点睛】本题考查相似比求线段长，涉及平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质，准确作出辅助线是解决问题的关键．16.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点G 为ABC 的重心，过点G 作GD BC ∥交AB 于点D ．已知310sin 5AB B ==，，那么GD 的长为________．【答案】83【解析】【分析】如图所示，连接CG 并延长交AB 于O ，过点O 作OH GD ⊥于H ，先由重心的定义得到O 为AB 的中点，则152OC OB AB ===，得到OCB OBC ∠=∠，再由平行线的性质推出OGD ODG ∠=∠，得到OG OD =，则2GD GH =，由重心的性质求出53OG =，解Rt OGH 求出43GH =，则823GD GH ==．【详解】解：如图所示，连接CG 并延长交AB 于O ，过点O 作OH GD ⊥于H ，∵点G 为ABC 的重心，90ACB ∠=︒∴O 为AB 的中点，∴152OC OB AB ===，∴OCB OBC ∠=∠，∵GD BC ∥，∴OGD OCB ODG OBC ==∠∠，∠∠，∴OGD ODG ∠=∠，∴OG OD =，∵OH GD ⊥，∴2GD GH =，由重心的性质可知1533OG OC ==，在Rt OGH 中，3sin sin 5OGH B ==∠，∴sin 1OH OG OGH =⋅=∠，∴43GH ==，∴823GD GH ==，故答案为：83．【点睛】本题主要考查了重心的性质与定义，直角三角形斜边上的中线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．17.魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形ABCD 、四边形EFGD 和四边形EAIH 都是正方形．如果图中EMH ∆与DMI ∆的面积比为169，那么tan GDC ∠的值为_________________．【答案】47【解析】【分析】先判定EMH 和DMI △相似，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，容易得到相似比为43，多次运用正方形的四条边相等，勾股定理，可分别求出CG 、CD ，即可求解．【详解】解：在EMH 和DMI △中，EMH DMI ∠=∠，EHM DIM ∠=，EMH DMI∴ EMH 面积：DMI △面积169=43EH DI ∴= 四边形EAIH 为正方形EH AI ∴=，即43AI DI =则7AD AI DI =+=在ADE V 中，根据勾股定理：DE =四边形EFGD 、ABCD 为正方形DG DE ∴==7CD AD ==根据勾股定理：CG =4tan 7CG GDC CD ∴∠==．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定、勾股定理．18.我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知直线12l l ∥，1l 与2l 之间的距离是3，“等高底”ABC ∆的“等底”BC 在直线1l 上（点B 在点C 的左侧），点A 在直线2l 上，AB =，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转45︒得到111A B C ∆，点A C 、的对应点分别为点11A C 、，那么1AC 的长为____________．【答案】3-【解析】【分析】根据题意分情况画出相应图，然后根据旋转性质找到线段对应关系求解即可．【详解】解：当如下图所示时，3BC =，AB ==，点A 到直线1l 的距离为3，∴=45ABC ∠︒，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转45︒得到111A B C ∆，113AC A B BC =-=-；当如下图所示时，3BC =，AB ==，点A 到直线1l 的距离为3，∴45ABD ∠=︒，135ABC ∠=︒，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转45︒得到111A B C ∆，145ABA ∠=︒，1A B AB ==∴190A BC ∠=︒，∴在1Rt A BC △中，1A C ==故答案为：3-．【点睛】本题考查了旋转性质、勾股定理、二次根式的运算等知识，分情况讨论并画出相应图像是解题关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.计算：cos 245°tan302sin60︒-︒＋cot 230°.【答案】196.【解析】【分析】把各特殊角度的三角函数值代入进行计算即可．【详解】原式＝22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭23332＋)2＝1123-＋3＝196.【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题关键是熟记各特殊角度的三角函数值．20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()1,0A 和()5,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求此抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）将此抛物线沿x 轴向左平移()0m m >个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点C ，求m 的值．【答案】（1）265y x x =-+，点C 的坐标是()0,5（2）6【解析】【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式，进而求出点C 的坐标；（2）把二次函数配方得到顶点式，根据题目进行平移解题即可．【小问1详解】解：把()1,0A 和()5,0B 代入2y x bx c=++010255b c b c =++⎧⎨=++⎩，解得65b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线的表达式为265y x x =-+∴当0x =时，5y =∴点C 的坐标是()0,5【小问2详解】()226534y x x x =-+=--设平移后的抛物线表达式为()234y x m =-+-把()0,5C 代入得()25034m =-+-解得126,0m m ==∵0m >，∴6m =【点睛】本题考查二次函数的解析式和抛物线的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．21.如图，在Rt ABC 中，290,9,sin 3BAC BC B ∠=︒==，点E 在边AC 上，且2AE EC =，过点E 作DE BC ∥交边AB 于点D ，ACB ∠的平分线CF 交线段DE 于点F ，求DF 的长．【答案】4【解析】【分析】在Rt ABC △中，得出AC ，由DE BC ∥得出ADE ABC △△∽，根据相似三角形的性质得出23DE AE BC AC ==，得出6DE =，由CF 平分ACB ∠，得出ACF BCF ∠=∠，继而得出2EF EC ==，即可求解．【详解】解：∵29,sin 3BC B ==在Rt ABC △中，2sin 963AC BC B =⋅=⨯=∵2AE EC =，∴2EC =，∵DE BC ∥，∴ADE ABC△△∽∴23DE AE BC AC ==∵9BC =，∴6DE =，∵DE BC ∥，∴EFC BCF ∠=∠，∵CF 平分ACB ∠，∴ACF BCF ∠=∠，∴EFC ACF∠=∠∴2EF EC ==，∴4DF =【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，证明ADE ABC △△∽是解题的关键．22.如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图．AB 是缓降器的底板，压柄BC 可以绕着点B 旋转，液压伸缩连接杆DE 的端点D E 、分别固定在压柄BC 与底板AB 上，已知12cm BE =．（1）如图2，当压柄BC 与底座AB 垂直时，DEB ∠约为22.6︒，求BD 的长；（2）现将压柄BC 从图2的位置旋转到与AB 成37︒角（即37ABC ∠=︒），如图3的所示，求此时液压伸缩连接杆DE 的长．（结果保留根号）（参考数据：5125sin 22.6,cos 22.6tan 22.6131312︒≈︒≈︒≈；343sin37,cos37,tan37554︒≈︒≈︒≈）【答案】（1）5cm（2【解析】【分析】（1）根据正切即为对边与邻边的比可得答案；（2）过点D 作DH BE ⊥，垂足为H ，在Rt BDH △中，根据三角函数解直角三角形求出,BH DH 的值，根据EH BE BH =-求出EH 的长度，然后根据勾股定理可得DE 的长度．【小问1详解】解：在Rt BDE △中，5tan 12tan 22.612512BD BE BED =⋅∠=⨯︒≈⨯=，答：此时BD 的长约为5cm ；【小问2详解】过点D 作DH BE ⊥，垂足为H ，在Rt BDH △中，cos 5cos374BH BD DBE =⋅∠=︒≈，sin 5sin 373DH BD DBE =⋅∠=︒≈，∴1248EH BE BH =-=-=，在Rt DEH △中，DE ==，答：此时液压伸缩连接杆DE ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，熟练利用三角函数解直角三角形是解本题的关键．23.如图，在四边形ABCD 中，对角线BD 与AC 交于点F ，ADB ACB ∠=∠．（1）求证：ABD ACD ∠=∠；（2）过点A 作AE DC ∥交BD 于点E ，求证：EF BC AD AF = ．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）先证明AFD BFC ，再证明ABF DCF V :V ，即可求证；（2）先证明FAE FBA △△ ，再证明AFD BFC ，即可求证．【小问1详解】证明：∵,ADB ACB AFD BFC ∠=∠∠=∠，∴AFD BFC∴AF DF BF CF =，即AF BF DF CF=，∵AFB DFC ∠=∠，∴ABF DCF V :V ，∴ABD ACD ∠=∠．【小问2详解】证明：∵AE DC ∥，∴FAE ACD ∠=∠，∵ACD ABF ∠=∠，∴FAE ABF ∠=∠，∵AFE AFB Ð=Ð，∴FAE FBA △△ ，∴EF AF AF BF=∵AFD BFC ，∴AF AD BF BC =∴EF AD AF BC =即EF BC AD AF = ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2240y x kx k k =-+-<的顶点为P ，抛物线与y 轴交于点A ．（1）如果点A 的坐标为()0,4，点()3,B m -在抛物线上，连接AB ．①求顶点P 和点B 的坐标；②过抛物线上点D 作DM x ⊥轴，垂足为M ，DM 交线段AB 于点E ，如果DE EM =，求点D 的坐标；（2）连接OP ，如果OP 与x 轴负半轴的夹角等于APO ∠与POA ∠的和，求k 的值．【答案】（1）①顶点()15P -，；点()31B -，；②点()24D -，；（2）2k =【解析】【分析】（1）①把()0,4A 代入224y x kx k =-+-求出解析式，化为一般式，即可求出顶点坐标；把B （3，m ）代入求出m 的值即可得点B 坐标；②先求出AB 的解析式，根据DE EM =，列出等式即可求点D 的坐标．（2）过点P 分别作PQ x ⊥轴，PN y ⊥轴，垂足为Q 、N ，构建直角三角形，从而得到POQ PAN ∠=∠，tan tan POQ PAN ∠=∠，即可建立等式求出k 的值．【小问1详解】解：如图1，①把()0A ，4代入224y x kx k =-+-，∴44k -=，解得1k =-，∴抛物线的表达式为()222415y x x x =--+=-++∴顶点()15P -，把()3B m -，代入224y x x =--+，得1m =，∴点()31B -，，②∵()0A ，4，()31B -，可得直线AB 的解析式为4y x =+，设()224D t t t --+，，则()()4,0E t t M t +，，，∵DE EM =，∴234t t t --=+，解得122t t ==-∴点()24D -，．【小问2详解】解：如图2，过点P 分别作PQ x ⊥轴，PN y ⊥轴，垂足为Q 、N ，由题意可得，点()04A k -，，∵()222244y x kx k x k k k =-+-=--+-，∴()24P k k k -，，由题意可得POQ APO POA ∠=∠+∠，∵PAN APO POA ∠=∠+∠，∴POQ PAN ∠=∠，即tan tan POQ PAN ∠=∠，∴22444k k k k k k k--=--+，解得1222k k ==，∵0k <，∴2k =的关键．25.如图，在ABC 中，310,sin 5AB AC B ===，点D E 、分别在边AB BC 、上，满足CDE B ∠=∠．点F 是DE 延长线上一点，且ECF ACD ∠=∠．（1）当点D 是AB 的中点时，求tan BCD ∠的值；（2）如果3AD =，求CF DE的值；（3）如果BDE △是等腰三角形，求CF 的长．【答案】（1）1tan 4BCD ∠=（2）107CF DE =（3）CF =【解析】【分析】（1）过点A 作AG BC ⊥，过点D 作DH BC ⊥，垂足分别为G H 、，利用310,sin 5AB AC B ===求出BG 、BH 、DH 的长，即可得出结论；（2）证明DCE BCD ∽和CFD CAB △∽△，得出CF CA DE BD=，代入数值即可得出结论；（3）分三种情况讨论，DEB B ∠=∠，BDE B ∠=∠，BDE DEB ∠=∠，进而得出结论．【小问1详解】过点A 作AG BC ⊥，过点D 作DH BC ⊥，垂足分别为G H 、，∵310,sin 5AB AC B ===，∴在Rt ABG △中，cos 8BG AB B == ，∵AB AC =，∴216BC BG ==，∵点D 是AB 的中点，∴5BD =，在Rt BDH △中，cos 4BH BD B == ，sin 3DH BD B == ，∴16412CH =-=，在Rt CDH △中，31tan 124DH BCD CH ∠===；【小问2详解】∵,CDE B DCE BCD ∠=∠∠=∠，∴DCE BCD ∽，∴DE CD BD BC =，∵ECF ACD ∠=∠，∴ACB DCF ∠=∠，∵CDE B ∠=∠，∴CFD CAB △∽△，∴CF CD CA CB =，∴CF DE CA BD =，即CF CA DE BD=，∵3AD =，∴7BD =，∴107CF DE =；【小问3详解】∵BDE △是等腰三角形，①DEB B ∠=∠，∵CDE B ∠=∠，∴CDE DEB ∠=∠，∴CD BC ∥，∴舍去；②BDE B ∠=∠，∵CDE B ∠=∠，∴290CDB B ∠=∠<︒，∵90CDB A ∠>∠>︒，∴舍去；③BDE DEB ∠=∠，∴BD BE =，过点E 作EP BD ⊥，垂足为P ，可得44331,,55555BP BE BD EP BE BD DP BD =====，105DE BD ==∴，由DCE BCD ∽得DE CD BD BC=，即10516BD CD BD =，∴CD =由（2）可得，CFD CAB △∽△，CF CD CA CB =，∴161051016CF =，可得CF =综合①②③，CF =【点睛】本题考查解直角三角形、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．第25页/共25页。

2020-2021学年上海市虹口区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1. 如图，已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =1，AC =2，则tan A 的值为( )A. 2B. 12C. √55D. 2√55 2. 将抛物线y =2x 2向左平移3个单位得到的抛物线的表达式是( )A. y =2x 2+3B. y =2x 2−3C. y =2(x +3)2D. y =2(x −3)23. 下列式子中，一定是二次函数的是( )A. y =ax 2+bx +cB. y =x (−x +1)C. y =(x −1)2−x 2D. y =1x 2 4. 如图，传送带和地面所成斜坡AB 的坡比为1：2，物体沿传送带上升到点B 时，距离地面的高度为3米，那么斜坡AB 的长度为( )A. 3√5米B. 5√3米C. 4√5米D. 6米 5. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin∠A =34，AB =8cm ，则△ABC 的面积是( )A. 6cm 2B. 24cm 2C. 2√7cm 2D. 6√7cm 26. 如图，向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n ⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|n ⃗ |=( )A. 1B. √2C. √3D. 2二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）=_____．7.若2a=5b，则aa−b(a⃗−2b⃗ )−4b⃗ =______．8.计算：329.如果抛物线y=−x2+(m−1)x+3经过点(2,1)，那么m的值为______．10.已知抛物线y=(m−1)x2+4的顶点是此抛物线的最高点，那么m的取值范围是______ ．11.如果点A(2,−4)与点B(6,−4)在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上，那么该抛物线的对称轴为直线______．12.抛物线y=−x2+2x−1在对称轴______(填“左侧”或“右侧”)的部分是下降的．13.已知点P在线段AB上，满足AP：BP=BP：AB，若BP=2，则AB的长为______．14.在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=6，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=1，如果△ABC∽△ADE，那么AE=______．=______．15.如图，DE//BC，DF=2，FC=4，那么ADDB16.如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，则CD=_______．17.在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6.若点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP=30°，则CP的长为______．18.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=2√5，D为边AC上一点(点D与点A、C不重合).将△ABD沿直线BD翻折，使点A落在点E处，连接CE.如果CE//AB，那么AD：CD=______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19. 计算：cot45°4sin 245∘−tan60∘−cos30°．20. 如图二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过A 、B 、C 三点．(1)求出抛物线解析式；(2)求此抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)观察图象，当x 取何值时，y <0？21. 如图，已知▱ABCD 的对角线交于点O ，点E 为边AD的中点，CE 交BD 于点G ．(1)求OGDG 的值；(2)如果设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，试用a ⃗ 、b ⃗ 表示GO ⃗⃗⃗⃗⃗．22.如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮筐D 的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮筐D到地面的距离(精确到0.01米)(参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，√3≈1.732，√2≈1.414)23.已知：如图，在△ABC中，点D、G分别在边AB、BC上，∠ACD=∠B，AG与CD相交于点F．(1)求证：AC2=AD⋅AB；(2)若ADAC =DFCG，求证：CG2=DF⋅BG．24.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−1,0)，且经过直线y=x−3与x轴的交点B及与y轴的交点C．(1)求抛物线所对应的函数关系式；(2)求抛物线的顶点坐标；(3)若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标．25.如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，∠BDE=∠ABC，BE⊥DE于E，BE交AC于点G．(1)求证：∠A=∠DBE；(2)如图2，过E作EF⊥AC于F，连接BF，若BF平分∠ABE，求证：AB=EB；(3)在(2)的条件下，如图3，连接DG，若AF=2FG，S△BDG=8，求BG的长．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义有关知识，利用锐角三角函数的定义进行解答即可．【解答】解：∵∠C=90°，BC=1，AC=2，．故选B．2.【答案】C【解析】解：将抛物线y=2x2向左平移3个单位所得抛物线解析式为：y=2(x+3)2；故选：C．根据“左加右减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是二次函数的定义有关知识，利用二次函数的定义对选项进行逐一判断．【解答】解：A.不能确定a是否为零，故不是二次函数；B.是二次函数；C.不是二次函数；D.不是二次函数．故选B．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念是解题的关键．作BC ⊥地面于点C ，根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可．【解得】解：作BC ⊥地面于点C ，∵传送带和地面所成斜坡AB 的坡度为1：2，BC =3米，∴AC =2BC =6米，由勾股定理得，AC 2+BC 2=AB 2，即AB =√62+32=√45=3√5米.故选A ．5.【答案】D【解析】解：在Rt △ACB 中，∵∠C =90°，AB =8cm ，∴sinA =BC AB =34，∴BC =6(cm)，∴AC =√AB 2−BC 2=√82−62=2√7(cm)，∴S △ABC =12⋅BC ⋅AC =12×6×2√7=6√7(cm 2). 故选：D ．在Rt △ABC 中，求出BC ，AC 即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6.【答案】B【解析】解：∵向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 均为单位向量， ∴|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， ∵OA ⊥OB ，∴AB =√12+12=√2，∵n ⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴|n ⃗ |=AB =√2，故选：B ．根据平面向量的性质以及勾股定理即可解决问题．本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．7.【答案】53【解析】【分析】本题考查了比例的性质，能正确根据比例的性质进行变形是解此题的关键，根据比例的性质得出a b =52，设a =5k ，b =2k ，代入求出即可．【解答】解：∵2a =5b ，∴a b =52， 设a =5k ，b =2k ，则a a−b =5k 5k−2k =53，故答案为53．8.【答案】32a ⃗ −7b ⃗【解析】【分析】实数的运算法则同样适用于平面向量的计算．本题考查了平面向量的有关概念，是基础题．【解答】解：：32(a⃗ −2b ⃗ )−4b ⃗ =32a ⃗ −32×2b ⃗ −4b ⃗ =32a ⃗ −7b ⃗ ． 故答案是：32a ⃗ −7b ⃗ ． 9.【答案】2【解析】解：∵抛物线y=−x2+(m−1)x+3经过点(2,1)，∴−4+2m−2+3=1，解得m=2．故答案为2．把点(2,1)代入函数解析式，计算即可求出m的值．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较简单，理解函数图象上的点的坐标满足函数关系式是解题的关键．10.【答案】m<1【解析】【分析】此题主要考查了利用二次函数顶点坐标位置确定图象开口方向，此题型是中考重点，同学们应熟练掌握．根据二次函数y=(m+1)x2+2的顶点是此抛物线的最高点，得出抛物线开口向下，即m+1<0，即可得出答案．【解答】解：∵抛物线y=(m−1)x2+4的顶点是此抛物线的最高点，∴抛物线开口向下，∴m−1<0，∴m<1，故答案为m<1．11.【答案】x=4【解析】解：∵点A(2,−4)与点B(6,−4)的纵坐标相等，∴点A、B关于抛物线对称轴对称，=4．∴抛物线的对称轴为直线x=2+62故答案为：x=4．由点A、B的纵坐标相等可得出点A、B关于抛物线的对称轴对称，再由点A、B的横坐标即可求出抛物线的对称轴，此题得解．本题考查了二次函数的性质，牢记二次函数的性质是解题的关键．12.【答案】右侧【解析】解：∵a=−1<0，∴抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴右侧的部分是下降的，故答案为：右侧．根据二次函数的性质解题．本题考查了二次函数的性质，熟练掌握性质上解题的关键．13.【答案】√5+1【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，得出BP=√5−12AB，代入数据即可得出AB 的长．本题考查了比例线段、黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的√5−12倍．【解答】解：∵点P在线段AB上，满足AP：BP=BP：AB，∴P为线段AB的黄金分割点，且BP是较长线段，∴BP=√5−12AB，∴√5−12AB=2，解得AB=√5+1．故答案为：√5+1．14.【答案】53【解析】解：∵△ABC∽△ADE，∴ADAB =AEAC，即13=AE5，解得，AE=53，故答案为：53．根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，计算即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边的比相等是解题的关键．15.【答案】1【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，能够运用相似三角形的性质得出对应线段成比例是解答此题的关键．先根据相似三角形的判定方法可判断△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，再根据相似三角形的性质得DFFC =DEBC=12，DEBC=ADAB=12，设AD=k，则AB=2k，可得结果．【解答】解：∵DE//BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴DFFC =DEBC=12，∵DE//BC，∴∠CDE=∠BCD，∠DEB=∠EBC，∴△DEF∽△CBF，∴DEBC =ADAB=12，设AD=k，则AB=2k，BD=2k−k=k，∴ADDB =kk=1．故答案为：1．16.【答案】3√2【解析】【分析】本题考查梯形，矩形，直角三角形的相关知识.解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为矩形和直角三角形，从而由矩形和直角三角形的性质来求解．作辅助线DE⊥BC，由已知条件可知△CED为等腰直角三角形，再用勾股定理求出CD的长。

中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若0＜m ＜2，则关于x 的一元二次方程﹣（x+m ）（x+3m ）＝3mx+37根的情况是（ ） A ．无实数根B ．有两个正根C ．有两个根，且都大于﹣3mD ．有两个根，其中一根大于﹣m【答案】A【解析】先整理为一般形式，用含m 的式子表示出根的判别式△，再结合已知条件判断△的取值范围即可.【详解】方程整理为22x 7mx 3m 370+++=，△()()22249m 43m 3737m 4=-+=-，∵0m 2<<，∴2m 40-<，∴△0<，∴方程没有实数根，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．2．如图1，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，Ð1=30°，Ð2=50°，则Ð3的度数为A ．80°B ．50°C ．30°D ．20°【答案】D 【解析】试题分析：根据平行线的性质，得∠4=∠2=50°，再根据三角形的外角的性质∠3=∠4-∠1=50°-30°=20°．故答案选D ．考点：平行线的性质;三角形的外角的性质．3．为了解中学300名男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得数据整理后，画出频数分布直方图(如图)．估计该校男生的身高在169.5cm～174.5cm之间的人数有（）A．12 B．48 C．72 D．96【答案】C【解析】解:根据图形，身高在169.5cm～174.5cm之间的人数的百分比为：12100%=24% 6+10+16+12+6，∴该校男生的身高在169.5cm～174.5cm之间的人数有300×24%＝72(人)．故选C．4．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（）A．2-2B 3C3-1D．1【答案】C【解析】延长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D，然后根据BC′=BD-C′D计算即可得解.【详解】解：延长BC′交AB′于D，连接BB＇，如图，在Rt△AC′B′中，2AC′=2，∵BC′垂直平分AB′，∴C′D=12AB=1，∵BD为等边三角形△ABB′的高，∴33，∴BC′=BD-3-1．故本题选择C.【点睛】熟练掌握勾股定理以及由旋转60°得到△ABB′是等边三角形是解本题的关键.5．一条数学信息在一周内被转发了2180000次，将数据2180000用科学记数法表示为（）A．2.18×106B．2.18×105C．21.8×106D．21.8×105【答案】A【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】2180000的小数点向左移动6位得到2.18，所以2180000用科学记数法表示为2.18×106，故选A.【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6．有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择下列统计量中的（）A．方差B．中位数C．众数D．平均数【答案】A【解析】试题分析：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，体现数据的稳定性，集中程度；方差越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，数据越稳定．故教练要分析射击运动员成绩的波动程度，只需要知道训练成绩的方差即可．故选A.考点：1、计算器-平均数，2、中位数，3、众数，4、方差7．如图，函数y ＝kx ＋b(k≠0)与y ＝m x (m≠0)的图象交于点A(2，3)，B(－6，－1)，则不等式kx ＋b ＞m x的解集为( )A ．602x x <-<<或B ．602x x -<或C ．2x >D ．6x <-【答案】B 【解析】根据函数的图象和交点坐标即可求得结果．【详解】解：不等式kx+b ＞m x的解集为：-6＜x ＜0或x ＞2， 故选B ．【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．24+2πB ．16+4πC ．16+8πD ．16+12π【答案】D 【解析】根据三视图知该几何体是一个半径为2、高为4的圆柱体的纵向一半，据此求解可得．【详解】该几何体的表面积为2×12•π•22+4×4+12×2π•2×4=12π+16， 故选：D ．【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据三视图得出几何体的形状及圆柱体的有关计算． 9．如图，AD 是半圆O 的直径，AD ＝12，B ，C 是半圆O 上两点．若AB BC CD ==，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π【答案】A 【解析】根据圆心角与弧的关系得到∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，根据扇形面积公式计算即可．【详解】∵AB BC CD ==，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°.∴阴影部分面积=2606=6360⨯ππ. 故答案为：A.【点睛】本题考查的知识点是扇形面积的计算，解题关键是利用圆心角与弧的关系得到∠AOB=∠BOC=∠COD=60°. 10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点D 在y 轴上，且(3,0)A -，(2,)B b ，则正方形ABCD 的面积是（ ）A ．13B ．20C ．25D ．34【答案】D 【解析】作BE ⊥OA 于点E.则AE=2-(-3)=5，△AOD ≌△BEA （AAS ）, ∴OD=AE=5，22223534AD AO OD ∴=+=+= ,∴正方形ABCD 的面积是343434= ,故选D.二、填空题（本题包括8个小题）11．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD 相交于O，则tan∠BOD的值等于__________．【答案】3【解析】试题解析：平移CD到C′D′交AB于O′，如图所示，则∠BO′D′=∠BOD，∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，设每个小正方形的边长为a，则O′B=，O′D′=，BD′=3a，作BE⊥O′D′于点E，则BE=，∴O′E=，∴tanBO′E=，∴tan∠BOD=3.考点：解直角三角形．12．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的处，则AP的长为__________．【答案】32或94【解析】①点A落在矩形对角线BD上，如图1，∵AB=4，BC=3，根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′P ，∠A=∠PA′D=90°，∴BA′=2，设AP=x ，则BP=4﹣x ，∵BP 2=BA′2+PA′2，∴（4﹣x ）2=x 2+22，解得：x=32，∴AP=32； ②点A 落在矩形对角线AC 上，如图2，根据折叠的性质可知DP ⊥AC ，∴△DAP ∽△ABC ，∴AD AB AP BC=， ∴AP=AD BC AB =334⨯=94． 故答案为32或94．13．若反比例函数y ＝﹣6x的图象经过点A(m ，3)，则m 的值是_____． 【答案】﹣2 【解析】∵反比例函数6y x =-的图象过点A （m ，3）， ∴63m=-，解得=2-. 14．抛物线y=（x+1）2 - 2的顶点坐标是 ______ ．【答案】 (-1,-2)【解析】试题分析：因为y=（x+1）2﹣2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣2），故答案为（﹣1，﹣2）．考点：二次函数的性质．15．如图，点G 是ABC 的重心，AG 的延长线交BC 于点D ，过点G 作GE //BC 交AC 于点E ，如果BC 6=，那么线段GE 的长为______．【解析】分析：由点G是△ABC重心，BC=6，易得CD=3，AG：AD=2：3，又由GE∥BC，可证得△AEG∽△ACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段GE的长．详解：∵点G是△ABC重心，BC=6，∴CD=1BC=3，AG：AD=2：3，2∵GE∥BC，∴△AEG∽△ADC，∴GE：CD=AG：AD=2：3，∴GE=2.故答案为2.点睛：本题考查了三角形重心的定义和性质、相似三角形的判定和性质.利用三角形重心的性质得出AG：AD=2：3是解题的关键.16．如图，圆锥底面圆心为O，半径OA＝1，顶点为P，将圆锥置于平面上，若保持顶点P位置不变，将圆锥顺时针滚动三周后点A恰好回到原处，则圆锥的高OP＝_____．【答案】【解析】先利用圆的周长公式计算出PA的长，然后利用勾股定理计算PO的长．【详解】解：根据题意得2π×PA＝3×2π×1，所以PA＝3，所以圆锥的高OP＝故答案为．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．17．如图，在边长为3的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线与AD延长线的交点．若DE=1，则DF的长为________．【解析】求出EC ，根据菱形的性质得出AD ∥BC ，得出相似三角形，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．【详解】∵DE=1，DC=3，∴EC=3-1=2，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∴△DEF ∽△CEB ， ∴DF DE BC CE=， ∴132DF =， ∴DF=1.1，故答案为1.1．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是根据菱形的性质证明△DEF ∽△CEB ，然后根据相似三角形的性质可求解.18．与直线2y x =平行的直线可以是__________（写出一个即可）．【答案】y=-2x+5（答案不唯一）【解析】根据两条直线平行的条件：k 相等，b 不相等解答即可．【详解】解：如y=2x+1（只要k=2，b≠0即可，答案不唯一）．故答案为y=2x+1．（提示：满足y 2x b =+的形式，且b 0≠）【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题．直线y=kx+b ，（k≠0，且k ，b 为常数），当k 相同，且b 不相等，图象平行；当k 不同，且b 相等，图象相交；当k ，b 都相同时，两条直线重合．三、解答题（本题包括8个小题）19．一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y （升）与行驶路程x （千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．求y 关于x 的函数关系式；（不需要写定义域）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？【答案】（1）该一次函数解析式为y=﹣x+1．（2）在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．【解析】（1）根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为8升时行驶的路程，即可求得答案. 【详解】（1）设该一次函数解析式为y=kx+b，将（150，45）、（0，1）代入y=kx+b中，得，解得：，∴该一次函数解析式为y=﹣x+1；（2）当y=﹣x+1=8时，解得x=520，即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．530﹣520=10千米，油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米，∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，弄清题意是解题的关键.20．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,求证：AC•CD=CP•BP；若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．【答案】（1）证明见解析；（2）25 3.【解析】（2）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到BP ABCD CP，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP ∽△PCD ， ∴BP AB CD CP =， ∴AB•CD=CP•BP ．∵AB=AC ，∴AC•CD=CP•BP ；（2）∵PD ∥AB ，∴∠APD=∠BAP ．∵∠APD=∠C ，∴∠BAP=∠C ．∵∠B=∠B ，∴△BAP ∽△BCA ，∴BA BP BC BA=． ∵AB=10，BC=12，∴101210BP =， ∴BP=253． “点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP 转化为证明AB•CD=CP•BP 是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C 进而得到△BAP ∽△BCA 是解决第（2）小题的关键．21．如图，已知二次函数y=ax 2+2x+c 的图象经过点C （0，3），与x 轴分别交于点A ，点B （3，0）．点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点．求二次函数y=ax 2+2x+c 的表达式；连接PO ，PC ，并把△POC 沿y 轴翻折，得到四边形POP′C ．若四边形POP′C 为菱形，请求出此时点P 的坐标；当点P 运动到什么位置时，四边形ACPB 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ACPB 的最大面积．【答案】（1）y=﹣x 2+2x+3（2）（2+102，32）（3）当点P 的坐标为（32，154）时，四边形ACPB 的最大面积值为758 【解析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P 点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；（3）根据平行于y 轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PQ 的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．【详解】（1）将点B 和点C 的坐标代入函数解析式，得9603,a c c ++=⎧⎨=⎩ 解得13,ab =-⎧⎨=⎩二次函数的解析式为y=﹣x 2+2x+3；（2）若四边形POP′C 为菱形，则点P 在线段CO 的垂直平分线上，如图1，连接PP′，则PE ⊥CO ，垂足为E ，∵C （0，3）， ∴30,2E ，⎛⎫ ⎪⎝⎭∴点P 的纵坐标32， 当32y =时，即23232x x -++=， 解得1221021022x x +-==（不合题意，舍）， ∴点P 的坐标为21032；⎫+⎪⎪⎝⎭（3）如图2，P 在抛物线上，设P （m ，﹣m 2+2m+3），设直线BC 的解析式为y=kx+b ，将点B 和点C 的坐标代入函数解析式，得3303,k b +=⎧⎨=⎩解得13.k b =-⎧⎨=⎩直线BC 的解析为y=﹣x+3，设点Q 的坐标为（m ，﹣m+3），PQ=﹣m 2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m 2+3m ．当y=0时，﹣x 2+2x+3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3，OA=1，()314AB =--=，S 四边形ABPC =S △ABC +S △PCQ +S △PBQ111,222AB OC PQ OF PQ FB =⋅+⋅+⋅ ()2114333,22m m =⨯⨯+-+⨯ 23375228m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 当m=32时，四边形ABPC 的面积最大． 当m=32时，215234m m -++=，即P 点的坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭． 当点P 的坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭时，四边形ACPB 的最大面积值为758． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用菱形的性质得出P 点的纵坐标，又利用了自变量与函数值的对应关系；解（3）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质．22．已知2是关于x 的方程x 2﹣2mx+3m ＝0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为_____．【答案】11【解析】将x=2代入方程找出关于m 的一元一次方程，解一元一次方程即可得出m 的值，将m 的值代入原方程解方程找出方程的解，再根据等腰三角形的性质结合三角形的三边关系即可得出三角形的三条边，根据三角形的周长公式即可得出结论．【详解】将x=2代入方程，得：1﹣1m+3m=0，解得：m=1．当m=1时，原方程为x 2﹣8x+12=（x ﹣2）（x ﹣6）=0，解得：x 1=2，x 2=6，∵2+2=1＜6，∴此等腰三角形的三边为6、6、2，∴此等腰三角形的周长C=6+6+2=11．【点睛】考点：根与系数的关系；一元二次方程的解；等腰三角形的性质23．如图，一次函数y ＝kx+b 的图象与反比例函数y ＝m x的图象交于A （﹣2，1），B （1，n ）两点． 求反比例函数和一次函数的解析式；根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．【答案】 (1)y=2x-,y=−x−1；(2)x<−2或0<x<1 【解析】（1）利用点A 的坐标可求出反比例函数解析式,再把B （1,n ）代入反比例函数解析式,即可求得n 的值,于是得到一次函数的解析式；（2）根据图象和A,B 两点的坐标即可写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．【详解】(1)∵A(−2,1)在反比例函数y=m x 的图象上, ∴1=2m -,解得m=−2.∴反比例函数解析式为y=2x-, ∵B(1,n)在反比例函数上,∴n=−2,∴B 的坐标(1,−2), 把A(−2,1),B(1,−2)代入y=kx+b 得122k b k b =-+⎧⎨-=+⎩解得：11k b =-⎧⎨=-⎩∴一次函数的解析式为y=−x−1；(2)由图像知：当x<−2或0<x<1时,一次函数的值大于反比例函数的值.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,属于简单题,熟悉函数图像的性质是解题关键.24．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，OF ⊥AB ，交AC 于点F ，点E 在AB 的延长线上，射线EM 经过点C ，且∠ACE+∠AFO=180°.求证：EM 是⊙O 的切线；若∠A=∠E,BC=3，求阴影部分的面积.（结果保留π和根号）.【答案】（1）详见解析；（2）1332π 【解析】（1）连接OC ，根据垂直的定义得到∠AOF=90°，根据三角形的内角和得到∠ACE=90°+∠A ，根据等腰三角形的性质得到∠OCE=90°，得到OC ⊥CE ，于是得到结论；（2）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，推出∠ACO=∠BCE ，得到△BOC 是等边三角形，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】：（1）连接OC ，∵OF ⊥AB ，∴∠AOF=90°，∴∠A+∠AFO+90°=180°，∵∠ACE+∠AFO=180°，∴∠ACE=90°+∠A ，∵OA=OC ，∴∠A=∠ACO ，∴∠ACE=90°+∠ACO=∠ACO+∠OCE ，∴∠OCE=90°，∴OC ⊥CE ，∴EM 是⊙O 的切线；（2）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCO=∠BCE+∠BCO=90°，∴∠ACO=∠BCE ，∵∠A=∠E ，∴∠A=∠ACO=∠BCE=∠E ，∴∠ABC=∠BCO+∠E=2∠A ，∴∠A=30°，∴∠BOC=60°，∴△BOC 是等边三角形，∴，∴阴影部分的面积1122π= 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积计算，连接OC 是解题的关键． 25．某种型号油电混合动力汽车，从A 地到B 地燃油行驶需纯燃油费用76元，从A 地到B 地用电行驶需纯用电费用26元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元．求每行驶1千米纯用电的费用；若要使从A 地到B 地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少需用电行驶多少千米？【答案】（1）每行驶1千米纯用电的费用为0.26元．（2）至少需用电行驶74千米．【解析】（1）根据某种型号油电混合动力汽车，从A 地到B 地燃油行驶纯燃油费用76元，从A 地到B 地用电行驶纯电费用26元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元，可以列出相应的分式方程，然后解分式方程即可解答本题；（2）根据（1）中用电每千米的费用和本问中的信息可以列出相应的不等式，解不等式即可解答本题．【详解】（1）设每行驶1千米纯用电的费用为x 元，根据题意得：760.5x +=26x解得：x=0.26经检验，x=0.26是原分式方程的解，答：每行驶1千米纯用电的费用为0.26元；（2）从A地到B地油电混合行驶，用电行驶y千米，得：0.26y+（260.26﹣y）×（0.26+0.50）≤39解得：y≥74，即至少用电行驶74千米．26．为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．【答案】(1) 14；（2）112.【解析】（1）直接利用概率公式求解；（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率=14；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1，所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率=．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为（）A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm【答案】A【解析】试题分析：利用轴对称图形的性质得出PM=MQ，PN=NR，进而利用PM=2．5cm，PN=3cm，MN=3cm，得出NQ=MN-MQ=3-2．5=2．5（cm），即可得出QR的长RN+NQ=3+2．5=3．5（cm）．故选A．考点：轴对称图形的性质2．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC＝4，△ABC的周长为23，则△ABD 的周长为（）A．13 B．15 C．17 D．19【答案】B【解析】∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，AC=2EC=8，∵C△ABC=AC+BC+AB=23，∴AB+BC=23-8=15，∴C△ABD=AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=15.故选B.3．下列分式是最简分式的是（）A ．223a a bB ．23a a a -C ．22a b a b ++D ．222a ab a b -- 【答案】C【解析】解：A ．22233a a b ab =，故本选项错误； B ．2133a a a a =--，故本选项错误； C ．22a b a b++，不能约分，故本选项正确； D ．222()()()a ab a a b a a b a b a b a b--==-+-+，故本选项错误． 故选C ．点睛：本题主要考查对分式的基本性质，约分，最简分式等知识点的理解和掌握，能根据分式的基本性质正确进行约分是解答此题的关键．4．下列说法中，错误的是（ ）A ．两个全等三角形一定是相似形B ．两个等腰三角形一定相似C ．两个等边三角形一定相似D ．两个等腰直角三角形一定相似【答案】B【解析】根据相似图形的定义，结合选项中提到的图形，对选项一一分析，选出正确答案．【详解】解：A 、两个全等的三角形一定相似，正确；B 、两个等腰三角形一定相似，错误，等腰三角形的形状不一定相同；C 、两个等边三角形一定相似；正确，等边三角形形状相同，只是大小不同；D 、两个等腰直角三角形一定相似，正确，等腰直角三角形形状相同，只是大小不同.故选B ．【点睛】本题考查的是相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．特别注意，本题是选择错误的，一定要看清楚题．5．关于x 的一元二次方程x 2+2x+k+1=0的两个实根x 1，x 2，满足x 1+x 2﹣x 1x 2＜﹣1，则k 的取值范围在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】试题分析：根据根的判别式和根与系数的关系列出不等式，求出解集．解：∵关于x 的一元二次方程x 2+2x+k+1=0有两个实根，∴△≥0，∴4﹣4（k+1）≥0，解得k≤0，∵x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=k+1，∴﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k ＞﹣2，不等式组的解集为﹣2＜k≤0，在数轴上表示为：，故选D ．点评：本题考查了根的判别式、根与系数的关系，在数轴上找到公共部分是解题的关键．6．二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图，则反比例函数y=a x与一次函数y=bx ﹣c 在同一坐标系内的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据二次函数的图象找出a 、b 、c 的正负，再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论．【详解】解：观察二次函数图象可知：开口向上，a ＞1；对称轴大于1，2b a＞1，b ＜1；二次函数图象与y 轴交点在y 轴的正半轴，c ＞1． ∵反比例函数中k ＝﹣a ＜1，∴反比例函数图象在第二、四象限内；∵一次函数y ＝bx ﹣c 中，b ＜1，﹣c ＜1，∴一次函数图象经过第二、三、四象限．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象、反比例函数的图象以及一次函数的图象，解题的关键是根据二次函数的图象找出a、b、c的正负．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数图象找出a、b、c 的正负，再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论．7．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab【答案】B【解析】根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，由此即可解答．【详解】∵图1中阴影部分的面积为：（a﹣b）2；图2中阴影部分的面积为：a2﹣2ab+b2；∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选B．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示出阴影部分的面积是解题的关键．8．已知x﹣2y=3，那么代数式3﹣2x+4y的值是（）A．﹣3 B．0 C．6 D．9【答案】A【解析】解：∵x﹣2y=3，∴3﹣2x+4y=3﹣2（x﹣2y）=3﹣2×3=﹣3；故选A．9．下列事件中，属于必然事件的是（）A．三角形的外心到三边的距离相等B．某射击运动员射击一次，命中靶心C．任意画一个三角形，其内角和是180°D．抛一枚硬币，落地后正面朝上【答案】C【解析】分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．详解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，是不可能事件，故本选项不符合题意；B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；C 、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；D 、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；故选C ．点睛：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．10．在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由几何体的三视图知识可知，主视图、左视图是分别从物体正面、左面看所得到的图形，细心观察即可求解.【详解】A 、正方体的左视图与主视图都是正方形，故A 选项不合题意；B 、长方体的左视图与主视图都是矩形，但是矩形的长宽不一样，故B 选项与题意相符；C 、球的左视图与主视图都是圆，故C 选项不合题意；D 、圆锥左视图与主视图都是等腰三角形，故D 选项不合题意；故选B ．【点睛】本题主要考查了几何题的三视图，解题关键是能正确画出几何体的三视图.二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点B 的坐标为（2，0），若抛物线21y x k 2=+与扇形OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是 .【答案】－2＜k ＜12。

上海市虹口区2019-2020学年中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若一个多边形的内角和为360°，则这个多边形的边数是（）A．3 B．4C．5 D．62．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB＝3，BC＝1，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE折叠，得到多边形AFGE，点B、C的对应点分别为点F、G.在点E从点C移动到点D 的过程中，则点F运动的路径长为（）A．πB．3πC．33πD．233π3．如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（）A．3 B．4﹣3C．4 D．6﹣234．甲、乙两人加工一批零件，甲完成240个零件与乙完成200个零件所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成8个零件．设乙每天完成x个零件，依题意下面所列方程正确的是（）A．2402008x x=-B．2402008x x=+C．2402008x x=+D．2402008x x=-5．关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（）A．14 B．7 C．﹣2 D．26．下图是由八个相同的小正方体组合而成的几何体，其左视图是（）A．B．C．D．7．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：①BE＝DH;②△AGE≌△ECF;③∠FCD＝45°;④△GBE∽△ECH．其中，正确的结论有（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个8．如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（）A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.69．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．720元C．1080元D．2160元10．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果∠1=30°，那么∠2的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°11．某美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本相同的画册，第二次用240元在同一家商店买与上一次相同的画册，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本画册？设第一次买了x本画册，列方程正确的是（）A．120240420x x-=+B．240120420x x-=+C．120240420x x-=-D．240120420x x-=-12．下列各式计算正确的是（）A．a4•a3=a12B．3a•4a=12a C．（a3）4=a12D．a12÷a3=a4二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．某自然保护区为估计该地区一种珍稀鸟类的数量，先捕捉了20只，给它们做上标记后放回，过一段时间待它们完全混合于同类后又捕捉了20只，发现其中有4只带有标记，从而估计该地区此种鸟类的数量大约有______只.14．已知'''ABC A B C∆∆:且''':1:2ABC A B CS S∆∆=，则:''AB A B=__________．15．因式分解：x2y-4y3=________.16．如图，⊙O的半径为2，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，过点P作⊙O的切线，切点为C．若PC=23，则BC的长为______．17．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数y=1x的图象上，则菱形的面积为_____．18．函数1xyx=-的自变量x的取值范围是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）计算：2-1+20160-3tan30°320．（6分）解不等式组3122324xx x⎧-≥⎪⎨⎪+<⎩请结合题意填空，完成本题的解答：（I）解不等式（1），得；（II）解不等式（2），得；（III）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来：（IV）原不等式组的解集为．21．（6分）有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：（1）A、B两点之间的距离是米，甲机器人前2分钟的速度为米/分；（2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式；（3）若线段FG∥x轴，则此段时间，甲机器人的速度为米/分；（4）求A、C两点之间的距离；（5）若前3分钟甲机器人的速度不变，直接写出两机器人出发多长时间相距28米．22．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）．（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出B1点的坐标；（2）画出△ABC绕原点O旋转180°后得到的图形△A2B2C2，并写出B2点的坐标；（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并直接写出点P的坐标．23．（8分）嘉兴市2010～2014年社会消费品零售总额及增速统计图如下：请根据图中信息，解答下列问题：（1）求嘉兴市2010～2014年社会消费品零售总额增速．．这组数据的中位数． （2）求嘉兴市近三年(2012～2014年)的社会消费品零售总额．．．．这组数据的平均数． （3）用适当的方法预测嘉兴市2015年社会消费品零售总额(只要求列出算式，不必计算出结果)．24．（10分）根据函数学习中积累的知识与经验，李老师要求学生探究函数y=1x +1的图象．同学们通过列表、描点、画图象，发现它的图象特征，请你补充完整． （1）函数y=1x+1的图象可以由我们熟悉的函数 的图象向上平移 个单位得到； （2）函数y=1x +1的图象与x 轴、y 轴交点的情况是： ； （3）请你构造一个函数，使其图象与x 轴的交点为（2，0），且与y 轴无交点，这个函数表达式可以是 ．25．（10分）如图，在ABC V 中，A 90∠=o ，AB AC =，点D 是BC 上任意一点，将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90o ，得到线段AE ，连结EC ．()1依题意补全图形；()2求ECD ∠的度数；()3若CAE 7.5∠=o ，AD 1=，将射线DA 绕点D 顺时针旋转60o 交EC 的延长线于点F ，请写出求AF 长的思路．26．（12分）如图，抛物线y=﹣213x +bx+c 交x 轴于点A （﹣2，0）和点B ，交y 轴于点C （0，3），点D 是x 轴上一动点，连接CD ，将线段CD 绕点D 旋转得到DE ，过点E 作直线l ⊥x 轴，垂足为H ，过点C 作CF ⊥l 于F ，连接DF ．（1）求抛物线解析式；（2）若线段DE 是CD 绕点D 顺时针旋转90°得到，求线段DF 的长；（3）若线段DE 是CD 绕点D 旋转90°得到，且点E 恰好在抛物线上，请求出点E 的坐标．27．（12分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】利用多边形的内角和公式求出n即可.【详解】由题意得：(n-2)×180°=360°，解得n=4;故答案为：B.【点睛】本题考查多边形的内角和，解题关键在于熟练掌握公式.2．D【解析】【分析】点F的运动路径的长为弧FF'的长，求出圆心角、半径即可解决问题．【详解】如图，点F的运动路径的长为弧FF'的长，在Rt△ABC中，∵tan∠BAC=333BCAB==，∴∠BAC=30°，∵∠CAF=∠BAC=30°，∴∠BAF=60°，∴∠FAF′=120°，∴弧FF'的长=120323ππ⨯=．故选D.【点睛】本题考查了矩形的性质、特殊角的三角函数值、含30°角的直角三角形的性质、弧长公式等知识，解题的关键是判断出点F运动的路径．3．B【解析】分析：首先得到当点E旋转至y轴上时DE最小，然后分别求得AD、OE′的长，最后求得DE′的长即可．详解：如图，当点E旋转至y轴上时DE最小；∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，∴AD⊥BC∵AB=BC=2∴AD=AB•sin ∠∵正六边形的边长等于其半径，正六边形的边长为2，∴OE=OE′=2∵点A 的坐标为（0，6）∴OA=6∴DE′=OA -AD-OE′=4故选B ．点睛：本题考查了正多边形的计算及等边三角形的性质，解题的关键是从图形中整理出直角三角形． 4．B【解析】【分析】根据题意设出未知数，根据甲所用的时间＝乙所用的时间，用时间列出分式方程即可.【详解】设乙每天完成x 个零件，则甲每天完成(x+8)个.即得，2402008x x +＝ ，故选B. 【点睛】找出甲所用的时间＝乙所用的时间这个关系式是本题解题的关键.5．D【解析】【分析】解不等式得到x≥12m+3，再列出关于m 的不等式求解. 【详解】 23m x -≤﹣1， m ﹣1x≤﹣6，﹣1x≤﹣m ﹣6， x≥12m+3， ∵关于x 的一元一次不等式23m x -≤﹣1的解集为x≥4， ∴12m+3=4，解得m=1． 故选D ．考点：不等式的解集6．B【解析】【分析】【详解】解：找到从左面看所得到的图形，从左面可看到从左往右三列小正方形的个数为：2，3，1．故选B．7．C【解析】【分析】由∠BEG＝45°知∠BEA＞45°，结合∠AEF＝90°得∠HEC＜45°，据此知HC＜EC，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG＝45°，推出∠GAE＝∠FEC，根据SAS 推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE ＝∠ECF＝135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH 不相似，即可判断④．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝BC＝CD，∵AG＝GE，∴BG＝BE，∴∠BEG＝45°，∴∠BEA＞45°，∵∠AEF＝90°，∴∠HEC＜45°，∴HC＜EC，∴CD﹣CH＞BC﹣CE，即DH＞BE，故①错误；∵BG＝BE，∠B＝90°，∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝135°，∴∠GAE+∠AEG＝45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∵∠BEG＝45°，∴∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠GAE＝∠FEC，在△GAE 和△CEF 中，∵AG=CE，∠GAE=∠CEF,AE=EF,∴△GAE≌△CEF（SAS））,∴②正确；∴∠AGE＝∠ECF＝135°，∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°，∴③正确；∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE 和△ECH 不相似，∴④错误；故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大．8．B【解析】试题分析：在△ABC中，∵AB=5，BC=3，AC=4，∴AC2+BC2=32+42=52=AB2，∴∠C=90°，如图：设切点为D，连接CD，∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∵S△ABC=12AC×BC=12AB×CD，∴AC×BC=AB×CD，即CD=AC BCAB⋅=345⨯=125，∴⊙C的半径为125，故选B．考点：圆的切线的性质；勾股定理．9．C【解析】【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．【详解】3m×2m=6m2，∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080元，故选C．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．10．D【解析】如图，因为，∠1=30°，∠1+∠3=60°，所以∠3=30°，因为AD∥BC，所以∠3=∠4，所以∠4=30°，所以∠2=180°-90°-30°=60°，故选D.11．A【解析】分析：由设第一次买了x本资料，则设第二次买了（x+20）本资料，由等量关系：第二次比第一次每本优惠4元，即可得到方程．详解：设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+20）本，根据题意得：1202404 x x20-=+.故选A.点睛：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程解答即可.12．C【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A、B，根据幂的乘方，可判断C，根据同底数幂的除法，可判断D．【详解】A ．a 4•a 3=a 7，故A 错误；B ．3a•4a=12a 2，故B 错误；C ．（a 3）4=a 12，故C 正确；D ．a 12÷a 3=a 9，故D 错误．故选C ．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减是解题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1【解析】【分析】求出样本中有标记的所占的百分比，再用样本容量除以百分比即可解答．【详解】解：()20420÷÷2020%=÷100=只．故答案为：1．【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体，总体百分比约等于样本百分比．14．【解析】分析：根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．详解：∵△ABC ∽△A′B′C′，∴S △ABC ：S △A′B′C′=AB 2：A′B′2=1：2，∴AB ：A′B′=1点睛：本题的关键是理解相似三角形的面积比等于相似比的平方．15．y （x++2y ）（x-2y ）【解析】【分析】首先提公因式y ，再利用平方差进行分解即可．【详解】原式()224(2)(2)y x y y x y x y =-=-+．故答案是：y（x+2y）（x-2y）．【点睛】考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．16．2【解析】【分析】连接OC，根据勾股定理计算OP=4，由直角三角形30度的逆定理可得∠OPC=30°，则∠COP=60°，可得△OCB是等边三角形，从而得结论．【详解】连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP=90°，∵3OC=2，∴22+22OC PC+=4，2(23)∴∠OPC=30°，∴∠COP=60°，∵OC=OB=2，∴△OCB是等边三角形，∴BC=OB=2，故答案为2【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．1【解析】【分析】连接AC 交OB 于D ，由菱形的性质可知AC OB ⊥．根据反比例函数k y x＝中k 的几何意义，得出△AOD 的面积=1，从而求出菱形OABC 的面积=△AOD 的面积的4倍．【详解】连接AC 交OB 于D ．Q 四边形OABC 是菱形，AC OB ∴⊥．Q 点A 在反比例函数1y x=的图象上， AOD ∴V 的面积11122=⨯=， ∴菱形OABC 的面积=4AOD ⨯V 的面积=1．【点睛】本题考查的知识点是菱形的性质及反比例函数的比例系数k 的几何意义．解题关键是反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系，即12S k =． 18．x≠1【解析】【分析】根据分母不等于2列式计算即可得解．【详解】由题意得，x-1≠2，解得x≠1．故答案为x≠1．【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为2．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．32【解析】【分析】原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值化简，最后一项利用绝对值的代数意义化简，即可得到结果；【详解】原式=13+133 2-⨯+=1+133 2-+=32．【点睛】此题考查实数的混合运算．此题难度不大，注意解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．20．（I）x≥1；（Ⅱ）x＞2；（III）见解析；（Ⅳ）x≥1．【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，将不等式解集表示在数轴上即可得出两不等式解集的公共部分，从而确定不等式组的解集．【详解】（I）解不等式（1），得x≥1；（Ⅱ）解不等式（2），得x＞2；（Ⅲ）把不等式（1）和（2）解集在数轴上表示出来，如下图所示：（Ⅳ）原不等式组的解集为x≥1．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，准确求出每个不等式的解集是解本题的关键．21．（1）距离是70米，速度为95米/分；（2）y=35x﹣70；（3）速度为60米/分；（4）=490米；（5）两机器人出发1.2分或2.1分或4.6分相距21米．【解析】【分析】（1）当x=0时的y值即为A、B两点之间的距离，由图可知当=2时，甲追上了乙，则可知（甲速度-乙速度）×时间=A、B两点之间的距离；（2）由题意求解E、F两点坐标，再用待定系数法求解直线解析式即可；（3）由图可知甲、乙速度相同；（4）由乙的速度和时间可求得BC之间的距离，再加上AB之间的距离即为AC之间的距离；（5）分0-2分钟、2-3分钟和4-7分钟三段考虑.【详解】解：（1）由图象可知，A、B两点之间的距离是70米，甲机器人前2分钟的速度为：（70+60×2）÷2=95米/分；（2）设线段EF所在直线的函数解析式为：y=kx+b，∵1×（95﹣60）=35，∴点F的坐标为（3，35），则，解得，∴线段EF所在直线的函数解析式为y=35x﹣70；（3）∵线段FG∥x轴，∴甲、乙两机器人的速度都是60米/分；（4）A、C两点之间的距离为70+60×7=490米；（5）设前2分钟，两机器人出发x分钟相距21米，由题意得，60x+70﹣95x=21，解得，x=1.2，前2分钟﹣3分钟，两机器人相距21米时，由题意得，35x﹣70=21，解得，x=2.1．4分钟﹣7分钟，直线GH经过点（4，35）和点（7，0），设线段GH所在直线的函数解析式为：y=kx+b，则，，解得，则直线GH的方程为y=x+，当y=21时，解得x=4.6，答：两机器人出发1.2分或2.1分或4.6分相距21米．本题考查了一次函数的应用，读懂图像是解题关键..22．（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）画图见解析.【解析】【详解】试题分析：(1)、根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；(2)、根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；(3)、找出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P的位置，然后连接AP、BP并根据图象写出点P的坐标即可．试题解析：(1)、△A1B1C1如图所示；B1点的坐标（-4,2）(2)、△A2B2C2如图所示；B2点的坐标:（-4，-2）(3)、△PAB如图所示，P（2，0）．考点：(1)、作图-旋转变换；(2)、轴对称-最短路线问题；(3)、作图-平移变换．23．（115）这组数据的中位数为15.116%；（116）这组数据的平均数是115 11609.116亿元；（15）116016年社会消费品零售总额为115 15167×(115＋15.116%)亿元．【解析】试题分析：（115）根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，找出最中间的数即可得出答案；（116）根据平均数的定义，求解即可；（15）根据增长率的中位数，可得116016年的销售额．试题解析：解：（115）数据从小到大排列115．16%，116．5%，15．116%，16．115%，5．7%，则嘉兴市1160115～116015年社会消费品零售总额增速这组数据的中位数是15．116%；（116）嘉兴市近三年（1160116～116015年）的社会消费品零售总额这组数据的平均数是：（6．16+7．6+515．7+9．9+1150．0）÷5=11575．116（亿元）；（15）从增速中位数分析，嘉兴市116016年社会消费品零售总额为1150×（115+15．116%）=16158．116716考点：115．折线统计图；116．条形统计图；15．算术平均数；16．中位数．．24．（1）1y x =，1；（2）与x 轴交于（﹣1，0），与y 轴没交点；（3）答案不唯一，如：y=﹣2x+1. 【解析】【分析】（1）根据函数图象的平移规律，可得答案；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（3）根据点的坐标满足函数解析式，可得答案．【详解】 （1）函数11y x =+的图象可以由我们熟悉的函数1y x=的图象向上平移1个单位得到， 故答案为：1y x=，1； （2）函数11y x =+的图象与x 轴、y 轴交点的情况是：与x 轴交于（﹣1，0），与y 轴没交点， 故答案为：与x 轴交于（﹣1，0），与y 轴没交点；（3）请你构造一个函数，使其图象与x 轴的交点为（2，0），且与y 轴无交点，这个函数表达式可以是：y=﹣2x+1， 答案不唯一， 故答案为：y=﹣2x +1． 【点睛】本题考查了函数图像的平移变换，函数自变量的取值范围，函数图象与坐标轴的交点等知识，利用函数图象的平移规律是解题关键．25．（1）见解析；（2）90°；（3）解题思路见解析.【解析】【分析】（1）将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到线段AE ，连结EC ．（2）先判定△ABD ≌△ACE ，即可得到B ACE ∠=∠，再根据45B ACB ACE ∠=∠=∠=︒，即可得出90ECD ACB ACE ∠=∠+∠=︒；（3）连接DE ，由于△ADE 为等腰直角三角形，所以可求DE =；由60ADF ∠=︒，7.5CAE ∠=︒ ，可求EDC ∠的度数和CDF ∠的度数，从而可知DF 的长；过点A 作AH DF ⊥于点H ，在Rt △ADH 中，由60ADF ∠=︒，AD=1可求AH 、DH 的长；由DF 、DH 的长可求HF 的长；在Rt △AHF 中，由AH 和HF ，利用勾股定理可求AF 的长．【详解】解：()1如图，()2Q 线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90o ，得到线段AE ．DAE 90∠∴=o ，AD AE =，DAC CAE 90∠∠∴+=o ．BAC 90∠=o Q ，BAD DAC 90o ∠∠∴+=．BAD CAE ∠∠∴=，在ABD V 和ACE V 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABD ∴V ≌()ACE SAS V． B ACE ∠∠∴=，ABC QV 中，A 90∠=o ，AB AC =，B ACB ACE 45∠∠∠∴===o ．ECD ACB ACE 90∠∠∠∴=+=o ；()3Ⅰ.连接DE ，由于ADE V 为等腰直角三角形，所以可求DE 2=Ⅱ.由ADF 60o ∠=，CAE 7.5∠=o ，可求EDC ∠的度数和CDF ∠的度数，从而可知DF 的长； Ⅲ.过点A 作AH DF ⊥于点H ，在Rt ADH V 中，由ADF 60o ∠=，AD 1=可求AH 、DH 的长； Ⅳ.由DF 、DH 的长可求HF 的长；Ⅴ.在Rt AHF V 中，由AH 和HF ，利用勾股定理可求AF 的长．故答案为（1）见解析；（2）90°；（3）解题思路见解析.【点睛】本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质的运用，解题的关键是要注意对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．26． (1) 抛物线解析式为y=﹣215336x x ++；2；(3) 点E 的坐标为E 1（4，1）或E 2（﹣92，﹣152）或E3（114094+，﹣234094+）或E4（114094-，﹣234094-）．【解析】【分析】（1）将点A、C坐标代入抛物线解析式求解可得；（2）证△COD≌△DHE得DH=OC，由CF⊥FH知四边形OHFC是矩形，据此可得FH=OC=DH=3，利用勾股定理即可得出答案；（3）设点D的坐标为（t，0），由（1）知△COD≌△DHE得DH=OC、EH=OD，再分CD绕点D顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，表示出点E的坐标，代入抛物线求得t的值，从而得出答案．【详解】（1）∵抛物线y=﹣213x+bx+c交x轴于点A（﹣2，0）、C（0，3），∴42033b cc⎧--+=⎪⎨⎪=⎩，解得：563bc⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y=﹣213x+56x+3；（2）如图1．∵∠CDE=90°，∠COD=∠DHE=90°，∴∠OCD+∠ODC=∠HDE+∠ODC，∴∠OCD=∠HDE．又∵DC=DE，∴△COD≌△DHE，∴DH=OC．又∵CF⊥FH，∴四边形OHFC是矩形，∴FH=OC=DH=3，∴DF=32；（3）如图2，设点D的坐标为（t，0）．∵点E恰好在抛物线上，且EH=OD，∠DHE=90°，∴由（2）知，△COD≌△DHE，∴DH=OC，EH=OD，分两种情况讨论：①当CD绕点D顺时针旋转时，点E的坐标为（t+3，t），代入抛物线y=﹣213x+56x+3，得：﹣13（t+3）2+56（t+3）+3=t，解得：t=1或t=﹣152，所以点E的坐标E1（4，1）或E2（﹣92，﹣152）；②当CD绕点D逆时针旋转时，点E的坐标为（t﹣3，﹣t），代入抛物线y=﹣213x+56x+3得：﹣13（t﹣3）2+56（t ﹣3）+3=﹣t ，解得：t=234094+或t=234094-．故点E 的坐标E 3（114094+，﹣234094+）或E 4（114094-，﹣234094-）；综上所述：点E 的坐标为E 1（4，1）或E 2（﹣92，﹣152）或E 3（11409+，﹣23409+）或E 4（114094-，﹣234094-）． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及分类讨论思想的运用．27．无解.【解析】试题分析：首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式的解集．试题解析：由①得x≥4，由②得x ＜1，∴原不等式组无解，考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．。

上海市虹口区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．1．已知α为锐角，如果sinα=，那么α等于( )A．30°B．45°C．60°D．不确定2．把二次函数y=x2﹣4x+1化成y=a（x+m）2+k的形式是( )A．y=（x﹣2）2+1B．y=（x﹣2）2﹣1C．y=（x﹣2）2+3D．y=（x﹣2）2﹣33．若将抛物线平移，得到新抛物线y=（x+3）2，则下列平移方法中，正确的是( ) A．向左平移3个单位B．向右平移3个单位C．向上平移3个单位D．向下平移3个单位4．若坡面与水平面的夹角为α，则坡度i与坡角α之间的关系是( )A．i=cosαB．i=sinαC．i=cotαD．i=tanα5．如图，▱ABCD对角线AC与BD相交于点O，如果=，=，那么下列选项中，与向量（+）相等的向量是( )A．B．C．D．6．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），若▱CDE与▱ABC相似，则点E的坐标不可能是( )A．（4，2）B．（6，0）C．（6，4）D．（6，5）二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．若x：y=5：2，则（x+y）：y的值是__________．8．计算：﹣3（﹣2）=__________．9．二次函数y=x2﹣2x的图象的对称轴是直线__________．10．如果抛物线y=﹣x2+3x﹣1+m经过原点，那么m=__________．11．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为二次函数y=（x﹣1）2图象上的两点，若x1＜x2＜1，则y1__________y2．（填“＞”、“＜”或“=”）12．用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：x (2)101…y…﹣11﹣21﹣2…根据表格上的信息回答问题：当x=2时，y=__________．13．如果两个相似三角形的周长的比为1：4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为__________．14．如图，在▱ABCD中，E是边BC上的点，分别联结AE、BD相交于点O，若AD=5，=，则EC=__________．15．如图，正方形DEFG的边EF在▱ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC 上．若▱ABC的边BC长为40厘米，高AH为30厘米，则正方形DEFG的边长为__________厘米．16．如图，在▱ABC中，▱ACB=90°，若点G是▱ABC的重心，cos▱BCG=，BC=4，则CG=__________．17．如图，在四边形ABCD中，▱B=▱D=90°，AB=3，BC=2，tanA=，则CD=__________．18．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，点E是边BC的中点，联结AE，若将▱ABE沿AE翻折，点B落在点F处，联结FC，则cos▱ECF=__________．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．计算：cos245°+tan60°•cos30°﹣3cot260°．20．已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3）、B（2，﹣3）、C（﹣1，0）三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数图象平移，使顶点移到点P（0，﹣3）的位置，求所得新抛物线的表达式．21．如图，DC▱EF▱GH▱AB，AB=12，CD=6，DE：EG：GA=3：4：5．求EF和GH的长．22．如图，已知楼AB高36米，从楼顶A处测得旗杆顶C的俯角为60°，又从该楼离地面6米的一窗口E处测得旗杆顶C的仰角为45°，求该旗杆CD的高．（结果保留根号）23．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，▱BAE=▱CBD=▱DAC．（1）求证：DE•AB=BC•AE；（2）求证：▱AED+▱ADC=180°．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分别交于点A（2，0）、点B（点B在点A 的右侧），与轴交于点C，tan▱CBA=．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D，求四边形ACBD的面积；（3）设抛物线上的点E在第一象限，▱BCE是以BC为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E的坐标．25．（14分）如图，在▱ABCD中，E为边BC的中点，F为线段AE上一点，联结BF并延长交边AD于点G，过点G作AE的平行线，交射线DC于点H．设==x．（1）当x=1时，求AG：AB的值；（2）设=y，求关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当DH=3HC时，求x的值．上海市虹口区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．1．已知α为锐角，如果sinα=，那么α等于( )A．30°B．45°C．60°D．不确定【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值求解．【解答】解：▱α为锐角，sinα=，▱α=45°．故选B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．2．把二次函数y=x2﹣4x+1化成y=a（x+m）2+k的形式是( )A．y=（x﹣2）2+1B．y=（x﹣2）2﹣1C．y=（x﹣2）2+3D．y=（x﹣2）2﹣3【考点】二次函数的三种形式．【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．【解答】解：y=x2﹣4x+1=x2﹣4x+4﹣3=（x﹣2）2﹣3，故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．3．若将抛物线平移，得到新抛物线y=（x+3）2，则下列平移方法中，正确的是( ) A．向左平移3个单位B．向右平移3个单位C．向上平移3个单位D．向下平移3个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（﹣3，0），然后利用顶点的平移情况确定抛物线的平移情况．【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（﹣3，0），因为点（0，0）向左平移3个单位长度后得到（﹣3，0），所以把抛物线y=x2向左平移3个单位得到抛物线y=（x+3）2．故选A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．4．若坡面与水平面的夹角为α，则坡度i与坡角α之间的关系是( )A．i=cosαB．i=sinαC．i=cotαD．i=tanα【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】利用把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i==tanα．【解答】解：如图所示：i=tanα．故选：D．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角的定义，正确把握坡角的定义是解题关键．5．如图，▱ABCD对角线AC与BD相交于点O，如果=，=，那么下列选项中，与向量（+）相等的向量是( )A．B．C．D．【考点】*平面向量．【分析】由四边形ABCD是平行四边形根据平行四边形法则，可求得==，然后由三角形法则，求得与，继而求得答案．【解答】解：▱四边形ABCD是平行四边形，▱==，▱=+=+，=﹣=﹣，▱=﹣=﹣（+），==（+），=﹣=﹣（﹣），==（﹣）．故选C．【点评】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．6．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），若▱CDE与▱ABC相似，则点E的坐标不可能是( )A．（4，2）B．（6，0）C．（6，4）D．（6，5）【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质．【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．【解答】解：▱ABC中，▱ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．A、当点E的坐标为（4，2）时，▱CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，▱CDE▱▱ABC，故本选项不符合题意；B、当点E的坐标为（6，0）时，▱CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，▱CDE▱▱ABC，故本选项不符合题意；C、当点E的坐标为（6，4）时，▱CDE=90°，CD=2，DE=3，则AB：BC≠DE：CD，▱EDC与▱ABC不相似，故本选项符合题意；D、当点E的坐标为（6，5）时，▱CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=CD：DE，▱CDE▱▱ABC不相似，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定，难度中等．牢记相似三角形的判定定理是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．若x：y=5：2，则（x+y）：y的值是．【考点】比例的性质．【分析】根据合比性质：=⇒=，可得答案．【解答】解：由合比性质，得==，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用合比性质是解题关键．8．计算：﹣3（﹣2）=﹣+6．【考点】*平面向量．【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．【解答】解：﹣3（﹣2）=﹣3+6=﹣+6．故答案为：﹣+6．【点评】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号时的符号变化是解此题的关键．9．二次函数y=x2﹣2x的图象的对称轴是直线x=1．【考点】二次函数的性质．【分析】先把二次函数y=x2﹣2x写成顶点坐标式y=（x﹣1）2﹣1，进而写出图象的对称轴方程．【解答】解：▱y=x2﹣2x，▱y=（x﹣1）2﹣1，▱二次函数的图象对称轴为x=1．故答案为x=1．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是把二次函数写出顶点坐标式，此题难度不大．10．如果抛物线y=﹣x2+3x﹣1+m经过原点，那么m=1．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】把原点坐标代入y=﹣x2+3x﹣1+m中得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可．【解答】解：▱抛物线y=﹣x2+3x﹣1+m经过点（0，0），▱﹣1+m=0，▱m=1．故答案为1．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．11．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为二次函数y=（x﹣1）2图象上的两点，若x1＜x2＜1，则y1＞y2．（填“＞”、“＜”或“=”）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】先利用顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=1，由于抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，于是可判断y1与y2的大小．【解答】解：▱二次函数y=（x﹣1）2图象的对称轴为直线x=1，而x1＜x2＜1，▱y1＞y2．故答案为＞．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解决本题的关键是运用二次函数的性质比较y1与y2的大小．12．用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：x (2)101…y…﹣11﹣21﹣2…根据表格上的信息回答问题：当x=2时，y=﹣11．【考点】二次函数的性质．【分析】首先根据表格数据得到二次函数图象的对称轴为x=0，然后求出当x=2时y的值．【解答】解：由表格数据可知：当x=﹣1，y=﹣2；x=1，y=﹣2，则二次函数的图象对称轴为x=0，又知x=﹣2和x=2关于x=0对称，当x=﹣2时，y=﹣11，即当x=2时，y=﹣11．故答案为﹣11．【点评】本题主要考查了二次函数的性质的知识，解答本题的关键是根据表格数据得到二次函数图象的对称轴为x=0，此题难度不大．13．如果两个相似三角形的周长的比为1：4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为1：4．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形对应角平分线的比等于相似比解答即可．【解答】解：▱两个相似三角形的周长的比为1：4，▱两个相似三角形的相似比为1：4，▱周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为1：4，故答案为：1：4．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．14．如图，在▱ABCD中，E是边BC上的点，分别联结AE、BD相交于点O，若AD=5，=，则EC=2．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质得到AD▱BC，AD=BC，推出▱BE0▱▱DAO，根据相似三角形的性质得到，求得BE=3，即可得到结论．【解答】解：▱四边形ABCD是平行四边形，▱AD▱BC，AD=BC，▱▱BE0▱▱DAO，▱，▱AD=5，▱BE=3，▱CE=5﹣3=2，故答案为：2．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．15．如图，正方形DEFG的边EF在▱ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC 上．若▱ABC的边BC长为40厘米，高AH为30厘米，则正方形DEFG的边长为厘米．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】由DG▱BC得▱ADG▱▱ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．【解答】解：设正方形的边长为x．由正方形DEFG得，DG▱EF，即DG▱BC，▱AH▱BC，▱AP▱DG．由DG▱BC得▱ADG▱▱ABC▱=．▱PH▱BC，DE▱BC▱PH=ED，AP=AH﹣PH，即，由BC=40，AH=30，DE=DG=x，得，解得x=．故正方形DEFG的边长是．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．16．如图，在▱ABC中，▱ACB=90°，若点G是▱ABC的重心，cos▱BCG=，BC=4，则CG=2．【考点】三角形的重心．【分析】延长CG交AB于D，作DE▱BC于E，根据重心的概念得到点D为AB的中点，根据直角三角形的性质得到DC=DB，根据等腰三角形的三线合一得到CE=2，根据余弦的概念求出CD，根据三角形的重心的概念得到答案．【解答】解：延长CG交AB于D，作DE▱BC于E，▱点G是▱ABC的重心，▱点D为AB的中点，▱DC=DB，又DE▱BC，▱CE=BE=BC=2，又cos▱BCG=，▱CD=3，▱点G是▱ABC的重心，▱CG=CD=2，故答案为：2．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质以及锐角三角函数的定义，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．17．如图，在四边形ABCD中，▱B=▱D=90°，AB=3，BC=2，tanA=，则CD=．【考点】解直角三角形．【分析】延长AD和BC交于点E，在直角▱ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC的长即可求得，然后在直角▱CDE中利用三角函数的定义求解．【解答】解：延长AD和BC交于点E．▱在直角▱ABE中，tanA==，AB=3，▱BE=4，▱EC=BE﹣BC=4﹣2=2，▱▱ABE和▱CDE中，▱B=▱EDC=90°，▱E=▱E，▱▱DCE=▱A，▱直角▱CDE中，tan▱DCE=tanA==，▱设DE=4x，则DC=3x，在直角▱CDE中，EC2=DE2+DC2，▱4=16x2+9x2，解得：x=，则CD=．故答案是：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．18．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，点E是边BC的中点，联结AE，若将▱ABE沿AE翻折，点B落在点F处，联结FC，则cos▱ECF=．【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．【分析】由矩形的性质得出▱B=90°，BC=AD=10，由勾股定理求出AE，由翻折变换的性质得出▱AFE▱▱ABE，得出▱AEF=▱AEB，EF=BE=5，因此EF=CE，由等腰三角形的性质得出▱EFC=▱ECF，由三角形的外角性质得出▱AEB=▱ECF，cos▱ECF=cos▱AEB=，即可得出结果．【解答】解：如图所示：▱四边形ABCD是矩形，▱▱B=90°，BC=AD=10，▱E是BC的中点，▱BE=CE=BC=5，▱AE===，由翻折变换的性质得：▱AFE▱▱ABE，▱▱AEF=▱AEB，EF=BE=5，▱EF=CE，▱▱EFC=▱ECF，▱▱BEF=▱EFC+▱ECF，▱▱AEB=▱ECF，▱cos▱ECF=cos▱AEB===．故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角函数；熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，证出▱AEB=▱ECF是解决问题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．计算：cos245°+tan60°•cos30°﹣3cot260°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式=（）2+×﹣3×（）2=1．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．20．已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3）、B（2，﹣3）、C（﹣1，0）三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数图象平移，使顶点移到点P（0，﹣3）的位置，求所得新抛物线的表达式．【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用顶点式写出所得新抛物线的表达式．【解答】解：（1）设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意得，解得．所以这个二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）因为新抛物线是由抛物线y=x2﹣2x﹣3平移得到，而新抛物线的顶点坐标是（0，﹣3），所以新抛物线的解析式为y=x2﹣3．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．21．如图，DC▱EF▱GH▱AB，AB=12，CD=6，DE：EG：GA=3：4：5．求EF和GH的长．【考点】平行线分线段成比例．【专题】计算题．【分析】过C作CQ▱AD，交GH于N，交EF于M，交AB于Q，则可判断四边形AQCD 为平行四边形，所以AQ=CD=6，同理可得EM=EM=CD=6，则BQ=AB﹣AQ=6，再利用平行线分线段成比例定理得到DE：EG：GA=CF：HF：HB=3：4：5，然后根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例得到MF：BQ=CF：CB=3：（3+4+5），NH：BQ=CH：CB=（3+4）：（3+4+5），则可计算出MF和NH，从而得到GH和EF的长【解答】解：过C作CQ▱AD，交GH于N，交EF于M，交AB于Q，如图，▱CD▱AB，▱四边形AQCD为平行四边形，▱AQ=CD=6，同理可得GN=EM=CD=6，▱BQ=AB﹣AQ=6，▱DC▱EF▱GH▱AB，▱DE：EG：GA=CF：HF：HB=3：4：5，▱MF▱NH▱BQ，▱MF：BQ=CF：CB=3：（3+4+5），NH：BQ=CH：CB=（3+4）：（3+4+5），▱MF=×6=1.5，NH=×6=3.5，▱EM=EM+MF=6+1.5=7.5，HG=GN+NH=6+3.5=9.5．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．22．如图，已知楼AB高36米，从楼顶A处测得旗杆顶C的俯角为60°，又从该楼离地面6米的一窗口E处测得旗杆顶C的仰角为45°，求该旗杆CD的高．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】过点C作CG▱AE，垂足为点G，由题意得▱CEF=45°=▱CEG，▱ACG=60°，设CG=x，在Rt▱ACG中，AG=CG•tan▱ACG=x，在Rt▱ECG中，EG=CG•cot▱CEG=x，根据AG+EG=AE，列方程=36﹣6，得到CF=EG=15﹣15，于是得到结论．【解答】解：过点C作CG▱AE，垂足为点G，由题意得▱CEF=45°=▱CEG，▱ACG=60°，设CG=x，在Rt▱ACG中，AG=CG•tan▱ACG=x，在Rt▱ECG中，EG=CG•cot▱CEG=x，▱AG+EG=AE，▱=36﹣6，解得：x=15﹣15，▱CF=EG=15﹣15，▱CD=15﹣15+6=15﹣9．答：该旗杆CD的高为（15﹣9）米．【点评】此题主要考查了仰角与俯角问题，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．23．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，▱BAE=▱CBD=▱DAC．（1）求证：DE•AB=BC•AE；（2）求证：▱AED+▱ADC=180°．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据已知条件得到▱BAC=▱EAD，根据三角形额外角的性质得到▱ABC=▱AED，推出▱ABC▱▱AED，根据三角形的外角的性质得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到，推出▱ABE▱▱ACD，根据相似三角形的性质得到▱AEB=▱ADC，等量代换即可得到结论．【解答】证明：（1）▱▱BAE=▱DAC，▱▱BAE+▱EAC=▱DAC+▱EAC，即▱BAC=▱EAD，▱▱ABC=▱ABE+▱CBD，▱AED=▱ABE+▱BAE，▱▱CBD=▱BAE，▱▱ABC=▱AED，▱▱ABC▱▱AED，▱，▱DE•AB=BC•AE；（2）▱▱ABC▱▱AED，▱，即，▱▱BAE=▱DAC▱▱ABE▱▱ACD，▱▱AEB=▱ADC，▱▱AED+▱AEB=180°，▱▱AED+▱ADC=180°．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，邻补角的定义，三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分别交于点A（2，0）、点B（点B在点A 的右侧），与轴交于点C，tan▱CBA=．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D，求四边形ACBD的面积；（3）设抛物线上的点E在第一象限，▱BCE是以BC为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E的坐标．【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）由抛物线解析式和已知条件得出C和B的坐标，（0，3），OC=3，把A（2，0）、B（6，0）分别代入y=ax2+bx+3得出方程组，解方程即可；（2）把抛物线解析式化成顶点式得出顶点坐标，四边形ACBD的面积=▱ABC的面积+▱ABD的面积，即可得出结果；（3）设点E的坐标为（x，x2﹣2x+3），分两种情况：①当▱CBE=90°时；②当▱BCE=90°时；分别由三角函数得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）▱当x=0时，▱C（0，3），OC=3，在Rt▱COB中，▱tan▱CBA=，▱=，▱OB=2OC=6，▱点B（6，0），把A（2，0）、B（6，0）分别代入y=ax2+bx+3，得：，解得：▱该抛物线表达式为y=x2﹣2x+3；（2）▱y=x2﹣2x+3=（x﹣4）2﹣1▱顶点D（4，﹣1），▱四边形ACBD的面积=▱ABC的面积+▱ABD的面积=×4×3+×4×1=8；（3）设点E的坐标为（x，x2﹣2x+3），分两种情况：①当▱CBE=90°时，作EM▱x轴于M，如图所示：则▱BEM=▱CBA，▱=tan▱BEM=tan▱CBA=，▱EM=2BM，即2（x﹣6）=x2﹣2x+3，解得：x=10，或x=6（不合题意，舍去），▱点E坐标为（10，8）；②当▱BCE=90°时，作EN▱y轴于N，如图2所示：则▱ECN=▱CBA，▱=tan▱ECN=tan▱CBA=，▱CN=2EN，即2x=x2﹣2x+3﹣3，解得：x=16，或x=0（不合题意，舍去），▱点E坐标为（16，35）；综上所述：点E坐标为（10，8）或（16，35）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线解析式的求法、三角函数的应用、解方程等知识；本题综合性强，有一定难度，求出抛物线解析式是解决问题的关键．25．（14分）如图，在▱ABCD中，E为边BC的中点，F为线段AE上一点，联结BF并延长交边AD于点G，过点G作AE的平行线，交射线DC于点H．设==x．（1）当x=1时，求AG：AB的值；（2）设=y，求关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当DH=3HC时，求x的值．【考点】相似形综合题．【专题】综合题；图形的相似．【分析】（1）由平行四边形ABCD，得到AD与BC平行且相等，由两直线平行得到两对内错角相等，进而确定出三角形BEF与三角形AGF相似，由相似得比例，把x=1代入已知等式，结合比例式得到AG=BE，AD=AB，即可求出所求式子的值；（2）设AB=1，根据已知等式表示出AD与BE，由AD与BC平行，得到比例式，表示出AG与DG，利用两角相等的三角形相似得到三角形GDH与三角形ABE相似，利用相似三角形面积之比等于相似比的平方列出y与x的函数解析式，并求出x的范围即可；（3）分两种情况考虑：①当点H在边DC上时，如图1所示；②当H在DC的延长线上时，如图2所示，分别利用相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值．【解答】解：（1）在▱ABCD中，AD=BC，AD▱BC，▱▱BEF=▱GAF，▱EBF=▱AGF，▱▱BEF▱▱GAF，▱=，▱x=1，即==1，▱==1，▱AD=AB，AG=BE，▱E为BC的中点，▱BE=BC，▱AG=AB，则AG：AB=；（2）▱==x，▱不妨设AB=1，则AD=x，BE=x，▱AD▱BC，▱==x，▱AG=，DG=x﹣，▱GH▱AE，▱▱DGH=▱DAE，▱AD▱BC，▱▱DAE=▱AEB，▱▱DGH=▱AEB，在▱ABCD中，▱D=▱ABE，▱▱GDH▱▱EBA，▱=（）2，▱y=（）2=（x＞）；（3）分两种情况考虑：①当点H在边DC上时，如图1所示：▱DH=3HC，▱=，▱=，▱▱GDH▱▱EBA，▱==，即=，解得：x=；②当H在DC的延长线上时，如图2所示：▱DH=3HC，▱=，▱=，▱▱GDH▱▱EBA，▱==，即=，解得：x=2，综上所述，可知x的值为或2．【点评】此题属于相似型综合题，涉及的知识有：平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．。

上海市虹口区2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，在△ABC 和△BDE 中，点C 在边BD 上,边AC 交边BE 于点F,若AC=BD ，AB=ED ，BC=BE ，则∠ACB 等于（ ）A ．∠EDB B ．∠BEDC ．∠EBD D ．2∠ABF2．在圆锥、圆柱、球、正方体这四个几何体中，主视图不可能．．．是多边形的是（ ） A ．圆锥 B ．圆柱 C ．球 D ．正方体3．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（ ）A ．在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”B ．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”C ．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”D ．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是64．下面的几何图形是由四个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是( )A ．B ．C ．D ．5．如图所示：有理数,a b 在数轴上的对应点，则下列式子中错误．．的是（ ）A ．0ab >B ．0a b +<C ．1a b <D ．0a b -<6．在一次体育测试中，10名女生完成仰卧起坐的个数如下：38，52，47，46，50，50，61，72，45，48，则这10名女生仰卧起坐个数不少于50个的频率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.67．如图，等腰直角三角形纸片ABC 中，∠C=90°，把纸片沿EF 对折后，点A 恰好落在BC 上的点D 处，点CE=1，AC=4，则下列结论一定正确的个数是（ ）①∠CDE=∠DFB；②BD＞CE；③BC=2CD；④△DCE与△BDF的周长相等．A．1个B．2个C．3个D．4个8．cos45°的值是（）A．12B．32C．22D．19．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．10．如图所示的几何体的主视图是( )A．B．C．D．11．如果解关于x的分式方程2122m xx x-=--时出现增根，那么m的值为A．-2 B．2 C．4 D．-4 12．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．观察下列等式：第1个等式：a1=111(1) 1323=⨯-⨯；第2个等式：a 2=1111()35235=⨯-⨯； 第3个等式：a 3=1111()57257=⨯-⨯； …请按以上规律解答下列问题：（1）列出第5个等式：a 5=_____；（2）求a 1+a 2+a 3+…+a n =4999，那么n 的值为_____． 14．若a ，b 互为相反数，则a 2﹣b 2=_____．15．在某一时刻，测得一根高为2m 的竹竿的影长为1m ，同时测得一栋建筑物的影长为9m ，那么这栋建筑物的高度为_____m ．16．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值为______.17．一个扇形的弧长是83π，它的面积是163π，这个扇形的圆心角度数是_____． 18．已知关于X 的一元二次方程()2m 2x 2x 10-++=有实数根，则m 的取值范围是____________________三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC DF AE ⊥＝，，垂足为F.（1）求证：AF BE ＝；（2）如果21BE EC ：＝：，求CDF ∠的余切值. 20．（6分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中建立平面直角坐标系，格点△ABC(顶点是网格线的交点)的坐标分别是A(﹣2，2)，B(﹣3，1)，C(﹣1，0)．(1)将△ABC 绕点O 逆时针旋转90°得到△DEF ，画出△DEF ；(2)以O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2倍，在网格内画出放大后的△A 1B 1C 1，若P(x ，y)为△ABC 中的任意一点，这次变换后的对应点P 1的坐标为 .21．（6分）某水果店购进甲乙两种水果，销售过程中发现甲种水果比乙种水果销售量大，店主决定将乙种水果降价1元促销，降价后30元可购买乙种水果的斤数是原来购买乙种水果斤数的1.5倍．（1）求降价后乙种水果的售价是多少元/斤？（2）根据销售情况，水果店用不多于900元的资金再次购进两种水果共500斤，甲种水果进价为2元/斤，乙种水果进价为1.5元/斤，问至少购进乙种水果多少斤？22．（8分）如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°．（1）求∠AOC的度数；（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．23．（8分）某生姜种植基地计划种植A,B两种生姜30亩.已知A,B两种生姜的年产量分别为2000千克/亩、2500千克/亩,收购单价分别是8元/千克、7元/千克.(1)若该基地收获两种生姜的年总产量为68000千克,求A,B两种生姜各种多少亩?(2)若要求种植A种生姜的亩数不少于B种的一半,那么种植A,B两种生姜各多少亩时,全部收购该基地生姜的年总收入最多?最多是多少元?24．（10分）阅读下面材料，并解答问题．材料：将分式42231x xx--+-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b则﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣ax2+x2+a+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）∵对应任意x ，上述等式均成立，∴113a ab -=⎧⎨+=⎩，∴a=2，b=1 ∴42231x x x --+-+=222(1)(2)11x x x -+++-+=222(1)(2)1x x x -++-++211x -+=x 2+2+211x -+这样，分式42231x x x --+-+被拆分成了一个整式x 2+2与一个分式211x -+的和． 解答：将分式422681x x x --+-+ 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．试说明422681x x x --+-+的最小值为1．25．（10分）在“双十二”期间，,A B 两个超市开展促销活动，活动方式如下：A 超市：购物金额打9折后，若超过2000元再优惠300元；B 超市：购物金额打8折．某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在,A B 两个超市的标价相同，根据商场的活动方式：若一次性付款4200元购买这种篮球，则在B 商场购买的数量比在A 商场购买的数量多5个，请求出这种篮球的标价；学校计划购买100个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少．（直接写出方案） 26．（12分）数学兴趣小组为了解我校初三年级1800名学生的身体健康情况，从初三随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg ）分成五组（A ：39.5～46.5；B ：46.5～53.5；C ：53.5～60.5；D ：60.5～67.5；E ：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．补全条形统计图，并估计我校初三年级体重介于47kg 至53kg 的学生大约有多少名．27．（12分）如图，在ABC V 中，CD AB ⊥，垂足为D ，点E 在BC 上，EF AB ⊥，垂足为F.12∠∠=，试判断DG 与BC 的位置关系，并说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ACB=∠DBE的关系，根据三角形外角的性质，可得答案.【详解】在△ABC和△DEB中，AC BDAB EDBC BE=⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以△ABC≅△BDE(SSS)，所以∠ACB=∠DBE.故本题正确答案为C.【点睛】.本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟悉掌握是关键.2．C【解析】【分析】根据各几何体的主视图可能出现的情况进行讨论即可作出判断.【详解】A. 圆锥的主视图可以是三角形也可能是圆，故不符合题意；B. 圆柱的主视图可能是长方形也可能是圆，故不符合题意；C. 球的主视图只能是圆，故符合题意；D. 正方体的主视图是正方形或长方形（中间有一竖），故不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了简单几何体的三视图——主视图，明确主视图是从物体正面看得到的图形是关键. 3．D【解析】【分析】根据统计图可知，试验结果在0.16附近波动，即其概率P≈0.16，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案．【详解】根据图中信息，某种结果出现的频率约为0.16，在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”的概率为23≈0.67>0.16，故A 选项不符合题意， 从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”概率为1327≈0.48>0.16，故B 选项不符合题意， 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率是12=0.5>0.16，故C 选项不符合题意， 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率是16≈0.16，故D 选项符合题意， 故选D.【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键.4．C【解析】试题分析：观察可得，只有选项C 的主视图和左视图相同，都为，故答案选C.考点：简单几何体的三视图.5．C【解析】【分析】从数轴上可以看出a 、b 都是负数，且a ＜b ，由此逐项分析得出结论即可．【详解】由数轴可知：a<b<0，A 、两数相乘，同号得正，ab ＞0是正确的；B 、同号相加，取相同的符号，a+b ＜0是正确的；C 、a ＜b ＜0，1a b＞，故选项是错误的； D 、a-b=a+（-b ）取a 的符号，a-b ＜0是正确的．故选：C ．【点睛】此题考查有理数的混合运算，数轴，解题关键在于结合数轴进行解答.6．C【解析】【分析】用仰卧起坐个数不少于10个的频数除以女生总人数10计算即可得解．仰卧起坐个数不少于10个的有12、10、10、61、72共1个，所以，频率=510=0.1．故选C．【点睛】本题考查了频数与频率，频率=频数数据总和．7．D【解析】等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，∴∠A=∠B=45°，由折叠可得，∠EDF=∠A=45°，∴∠CDE+∠BDF=135°，∠DFB+∠B=135°，∴∠CDE=∠DFB，故①正确；由折叠可得，DE=AE=3，∴=，∴BD=BC﹣DC=4﹣1，∴BD＞CE，故②正确；∵BC=4CD=4，∴CD，故③正确；∵AC=BC=4，∠C=90°，∴，∵△DCE的周长，由折叠可得，DF=AF，∴△BDF的周长=DF+BF+BD=AF+BF+BD=AB+BD=4+（4﹣），∴△DCE与△BDF的周长相等，故④正确；故选D．点睛：本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．8．C【解析】本题主要是特殊角的三角函数值的问题，求解本题的关键是熟悉特殊角的三角函数值. 【详解】cos45°=2 2.故选：C.【点睛】本题考查特殊角的三角函数值.9．B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．10．C【解析】【分析】主视图就是从正面看，看列数和每一列的个数.【详解】解：由图可知，主视图如下故选C．【点睛】考核知识点：组合体的三视图.11．D【详解】2122m x x x-=--，去分母，方程两边同时乘以(x ﹣1)，得： m+1x=x ﹣1，由分母可知，分式方程的增根可能是1．当x=1时，m+4=1﹣1，m=﹣4，故选D ．12．A【解析】【分析】观察四个选项图形，根据轴对称图形的概念即可得出结论．【详解】根据轴对称图形的概念，可知：选项A 中的图形不是轴对称图形．故选A ．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1111()9112911=⨯-⨯ 49 【解析】【分析】（1）观察等式可得()()1111,212122121n a n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭ 然后根据此规律就可解决问题； （2）只需运用以上规律，采用拆项相消法即可解决问题．【详解】(1)观察等式,可得以下规律：()()1111,212122121n a n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴51111.9112911a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭(2)12311111111111(1)()()2323525722121n a a a a n n ⎛⎫+++⋯+=⨯-+⨯-+⨯-+⋯+- ⎪-+⎝⎭ 1149(1)22199n =-=+， 解得：n=49. 故答案为：11119112911⎛⎫=⨯- ⎪⨯⎝⎭49.属于规律型：数字的变化类，观察题目，找出题目中数字的变化规律是解题的关键. 14．1【解析】【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．【详解】∵a，b互为相反数，∴a+b=1，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=1，故答案为1．【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．15．1【解析】分析：根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．详解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得，2=19x，解得x=1，即这栋建筑物的高度为1m．故答案为1．点睛：同时同地的物高与影长成正比，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出这栋高楼的高度，体现了方程的思想．16．1【解析】【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：1，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．【详解】如图：，连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF ，根据题意得：AC ∥BD ，∴△ACP ∽△BDP ，∴DP ：CP=BD ：AC=1：3，∴DP ：DF=1：1，∴DP=PF=CF=BF ，在Rt △PBF 中，tan ∠BPF==1，∵∠APD=∠BPF ，∴tan ∠APD=1．故答案为：1【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．17．120°【解析】【分析】设扇形的半径为r ，圆心角为n°．利用扇形面积公式求出r ，再利用弧长公式求出圆心角即可．【详解】设扇形的半径为r ，圆心角为n°． 由题意：1816··233r ππ=, ∴r ＝4， ∴24163603n ππ= ∴n ＝120，故答案为120°【点睛】本题考查扇形的面积的计算，弧长公式等知识，解题的关键是掌握基本知识.18．m≤3且m≠2【解析】试题解析：∵一元二次方程()22210m x x -++=有实数根 ∴4-4（m-2）≥0且m-2≠0解得：m≤3且m≠2.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）见解析；（2）25 cot CDF∠=.【解析】【分析】（1）矩形的性质得到AD BC AD BC＝，∥，得到AD AE DAF AEB∠∠＝，＝，根据AAS定理证明ABE DFAV V≌；（2）根据全等三角形的性质、勾股定理、余切的定义计算即可.【详解】解：（1）证明：Q四边形ABCD是矩形，AD BC AD BC∴＝，∥，AD AE DAF AEB∴∠∠＝，＝，在ABE△和DFAV中，DAF AEBAFD EBAAD AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABE DFA∴V V≌，AF BE∴＝；（2）ABE DFAQV V≌，AD AE DAF AEB∴∠∠＝，＝，设CE k＝，21BE ECQ：＝：，2BE k∴＝，3AD AE k∴＝＝，225AB AE BE k∴=-=，9090ADF CDF ADF DAF∠+∠︒∠+∠︒Q＝，＝，CDF DAE∴∠∠＝，CDF AEB∴∠∠＝，25cot cot55BECDF AEBAB k∴∠=∠===.本题考查的是矩形的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质以及余切的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.20．(1)见解析；(2)见解析，(﹣2x，﹣2y)．【解析】【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点D、E、F，即可得到△DEF；（2）先根据位似中心的位置以及放大的倍数，画出原三角形各顶点的对应顶点，再顺次连接各顶点，得到△A1B1C1，根据△A1B1C1结合位似的性质即可得P1的坐标.【详解】(1)如图所示，△DEF即为所求；(2)如图所示，△A1B1C1即为所求，这次变换后的对应点P1的坐标为(﹣2x，﹣2y)，故答案为(﹣2x，﹣2y)．【点睛】本题主要考查了位似变换与旋转变换，解决问题的关键是先作出图形各顶点的对应顶点，再连接各顶点得到新的图形．在画位似图形时需要注意，位似图形的位似中心可能在两个图形之间，也可能在两个图形的同侧.21．（1）降价后乙种水果的售价是2元/斤；（2）至少购进乙种水果200斤．【解析】【分析】（1）设降价后乙种水果的售价是x元，30元可购买乙种水果的斤数是30x，原来购买乙种水果斤数是30x1，根据题意即可列出等式；（2）设至少购进乙种水果y斤，甲种水果（500﹣y）斤，有甲乙的单价，总斤数≤900即可列出不等式，求解即可.解：（1）设降价后乙种水果的售价是x 元，根据题意可得：3030 1.51x x =⨯+， 解得：x ＝2，经检验x ＝2是原方程的解，答：降价后乙种水果的售价是2元/斤；（2）设至少购进乙种水果y 斤，根据题意可得：2（500﹣y ）+1.5y≤900，解得：y≥200，答：至少购进乙种水果200斤．【点睛】本题考查了分式的应用和一元一次不等式的应用，根据题意列出式子是解题的关键22．（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M 点坐标分别为：M 1（2，﹣、M 2（﹣2，﹣、M 3（﹣2，）、M 4（2，．【解析】【分析】（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC 是等边三角形，即可得∠AOC=60°．（2）由（1）的结论知：OA=AC ，因此OA=AC=AP ，即OP 边上的中线等于OP 的一半，由此可证得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC 与⊙O 的位置关系．（3）此题应考虑多种情况，若△MAO 、△OAC 的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M 点，即：C 点以及C 点关于x 轴、y 轴、原点的对称点，可据此进行求解．【详解】（1）∵OA=OC ，∠OAC=60°，∴△OAC 是等边三角形，故∠AOC=60°．（2）由（1）知：AC=OA ，已知PA=OA ，即OA=PA=AC ；∴AC=12OP ，因此△OCP 是直角三角形，且∠OCP=90°， 而OC 是⊙O 的半径，故PC 与⊙O 的位置关系是相切．（3）如图；有三种情况：①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M1（2，﹣3；劣弧MA的长为：6044 1803ππ⨯=；②取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M2（﹣2，﹣3）；劣弧MA的长为：12048 1803ππ⨯=；③取C点关于y轴的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M3（﹣2，3；优弧MA的长为：240416 1803ππ⨯=；④当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时M4（2，3；优弧MA的长为：300420 1803ππ⨯=；综上可知：当S△MAO=S△CAO时，动点M所经过的弧长为481620,,,3333ππππ对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣3、M2（﹣2，﹣3）、M3（﹣2，3）、M4（2，3．【点睛】本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．23．（1）种植A种生姜14亩,种植B种生姜16亩；(2) 种植A种生姜10亩,种植B种生姜20亩时,全部收购该基地生姜的年总收入最多,最多为510000元.【解析】试题分析：（1）设该基地种植A种生姜x亩，那么种植B种生姜（30-x）亩，根据：A种生姜的产量+B 种生姜的产量=总产量，列方程求解；（2）设A种生姜x亩，根据A种生姜的亩数不少于B种的一半，列不等式求x的取值范围，再根据（1）的等量关系列出函数关系式，在x的取值范围内求总产量的最大值．试题解析：(1)设该基地种植A种生姜x亩，那么种植B种生姜(30-x)亩，根据题意，2000x+2500(30-x)=68000，解得x=14，∴30-x=16，答:种植A种生姜14亩，种植B种生姜16亩；(2)由题意得，x≥(30-x)，解得x≥10，设全部收购该基地生姜的年总收入为y 元，则y=8×2000x+7×2500(30-x)=-1500x+525000，∵y 随x 的增大而减小，∴当x=10时，y 有最大值，此时，30-x=20，y 的最大值为510000元，答：种植A 种生姜10亩，种植B 种生姜20亩时，全部收购该基地生姜的年总收入最多，最多为510000元.【点睛】本题考查了一次函数的应用．关键是根据总产量=A 种生姜的产量+B 种生姜的产量，列方程或函数关系式．24． (1) =x 2+7+211x -+ (2) 见解析 【解析】【分析】（1）根据阅读材料中的方法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式即可； （2）原式分子变形后，利用不等式的性质求出最小值即可．【详解】（1）设﹣x 4﹣6x+1=（﹣x 2+1）（x 2+a ）+b=﹣x 4+（1﹣a ）x 2+a+b ，可得168a ab -=-⎧⎨+=⎩ ， 解得：a=7，b=1， 则原式=x 2+7+211x -+；（2）由（1）可知，422681x x x --+-+=x 2+7+211x -+ ． ∵x 2≥0，∴x 2+7≥7；当x=0时，取得最小值0，∴当x=0时，x 2+7+211x -+最小值为1，即原式的最小值为1．25．（1）这种篮球的标价为每个50元；（2）见解析【解析】【分析】（1）设这种篮球的标价为每个x 元，根据题意可知在B 超市可买篮球42000.8x个，在A 超市可买篮球42003000.9x+个，根据在B 商场比在A 商场多买5个列方程进行求解即可； （2）分情况，单独在A 超市买100个、单独在B 超市买100个、两家超市共买100个进行讨论即可得.【详解】（1）设这种篮球的标价为每个x 元， 依题意，得4200420030050.80.9x x+-=， 解得：x=50，经检验：x=50是原方程的解，且符合题意，答：这种篮球的标价为每个50元；（2）购买100个篮球，最少的费用为3850元，单独在A 超市一次买100个，则需要费用：100×50×0.9-300=4200元， 在A 超市分两次购买，每次各买50个，则需要费用：2（50×50×0.9-300）=3900元， 单独在B 超市购买：100×50×0.8=4000元， 在A 、B 两个超市共买100个，根据A 超市的方案可知在A 超市一次购买：20000.950⨯=4449，即购买45个时花费最小，为45×50×0.9-300=1725元，两次购买，每次各买45个，需要1725×2=3450元，其余10个在B 超市购买，需要10×50×0.8=400元，这样一共需要3450+400=3850元， 综上可知最少费用的购买方案：在A 超市分两次购买，每次购买45个篮球，费用共为3450元；在B 超市购买10个，费用400元，两超市购买100个篮球总费用3850元.【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.26．576名【解析】试题分析：根据统计图可以求得本次调查的人数和体重落在B 组的人数，从而可以将条形统计图补充完整，进而可以求得我校初三年级体重介于47kg 至53kg 的学生大约有多少名．试题解析：本次调查的学生有：32÷16%=200（名），体重在B 组的学生有：200﹣16﹣48﹣40﹣32=64（名），补全的条形统计图如右图所示，我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有：1800×64200=576（名），答：我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有576名．27．DG∥BC，理由见解析【解析】【分析】由垂线的性质得出CD∥EF，由平行线的性质得出∠2=∠DCE，再由已知条件得出∠1=∠DCE，即可得出结论．【详解】解：DG∥BC，理由如下：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF，∴∠2=∠DCE，∵∠1=∠2，∴∠1=∠DCE，∴DG∥BC．【点睛】本题考查平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质，证明∠1=∠DCE是解题关键．。

上海市虹口区2019-2020学年中考一诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）A ．∠ABC ＝∠ADC ，∠BAD ＝∠BCDB ．AB ＝BCC ．AB ＝CD ，AD ＝BCD ．∠DAB+∠BCD ＝180°2．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长度为（ ）A ．3B ．2C ．23D ．()123+3．在下面四个几何体中，从左面看、从上面看分别得到的平面图形是长方形、圆，这个几何体是（ ）A ．B ．C ．D ．4．若关于x 的一元二次方程x 2－2x －k ＝0没有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞－1B ．k≥－1C ．k ＜－1D ．k≤－15．小亮家与姥姥家相距24 km ，小亮8：00从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈8：30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程s(km)与时间t(h)的函数图象如图所示．根据图象得出下列结论，其中错误的是( )A ．小亮骑自行车的平均速度是12 km/hB ．妈妈比小亮提前0.5 h 到达姥姥家C ．妈妈在距家12 km 处追上小亮D ．9：30妈妈追上小亮各边的长度如图所示，则剪出的小三角形ADE 应是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，数轴上的,,A B C 三点所表示的数分别为a b c 、、，其中AB BC =，如果||||||a c b >>那么该数轴的原点O 的位置应该在（ ）A ．点A 的左边B ．点A 与点B 之间C ．点B 与点C 之间D ．点C 的右边8．如图，ABCD Y 中，E 是BC 的中点，设AB a,AD b ==u u u r r u u u r r ，那么向量AE u u u r 用向量a b r r 、表示为（ ）A ．12a b +rrB ．12a b -r rC ．12a b -+r rD ．12a b --r r9．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于D 点，且AC=5，CD=3，BD=4，则⊙O 的直径等于（ ）A ．5B ．C ．D ．710．若二元一次方程组3,354x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为,,x a y b =⎧⎨=⎩则-a b 的值为（ ）A ．1B ．3C ．14-D ．7411．若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m≥1B ．m≤1C ．m ＞1D ．m ＜112．某班将举行“庆祝建党95周年知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，如图是小明买回奖品时与班长的对话情境：请根据如图对话信息，计算乙种笔记本买了（ ）A ．25本B ．20本C ．15本D ．10本二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．在数轴上，点A 和点B 分别表示数a 和b ，且在原点的两侧，若a b -=2016，AO=2BO ，则a+b=_____ 14．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 在圆O 上，BD ＝CD ，AB ＝10，AC ＝6，连接OD 交BC 于点E ，DE ＝______．15．如果x ＋y ＝5，那么代数式221y xx y x y ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭的值是______．16．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，AD=6，点E 为AB 上一点，AE=23，点F 在AD 上，将△AEF 沿EF 折叠，当折叠后点A 的对应点A′恰好落在BC 的垂直平分线上时，折痕EF 的长为_____．17．因式分解a 3－6a 2+9a=_____．18．等腰ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，且12AD BC =，则等腰ABC ∆底角的度数为__________. 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）第二十四届冬季奧林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市.某区举办了一次冬奥知识网上答题竞赛，甲、乙两校各有400名学生参加活动，为了解这两所学校的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整. [收集数据]从甲、乙两校各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下:60 100 80 60 70 60 60 90 60 60乙：80 90 40 60 80 80 90 40 80 5080 70 70 70 70 60 80 50 80 80[整理、描述数据]按如下分数段整理、描述这两组样本数据:学校人数成绩x3050x≤≤5080x≤＜80100x≤＜甲2144乙4142(说明:优秀成绩为80100x<≤，良好成绩为5080,x<≤合格成绩为3050x≤≤.)[分析数据]两组样本数据的平均分、中位数、众数如下表所示:学校平均分中位数众数甲676060乙7075a其中a=.[得出结论]（1）小明同学说:“这次竞赛我得了70分，在我们学校排名属中游略偏上!”由表中数据可知小明是_校的学生；(填“甲”或“乙”)（2）张老师从乙校随机抽取--名学生的竞赛成绩，试估计这名学生的竞赛成绩为优秀的概率为_ ；（3）根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校，并说明理由: ；(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)20．（6分）某地铁站口的垂直截图如图所示，已知∠A=30°，∠ABC=75°，AB=BC=4米，求C点到地面AD的距离（结果保留根号）．21．（6分）计算：sin30°•tan60°+cos30cot45cos60︒-︒︒.．22．（8分）(1)计算：3tan30°+|2﹣3|+（13）﹣1﹣（3﹣π）0﹣（﹣1）2018.(2)先化简，再求值：（x﹣22xy yx-）÷222x yx xy-+，其中x=2，y=2﹣1.23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点D、E位于AB两侧的半圆上，射线DC切⊙O于点D，已知点E是半圆弧AB上的动点，点F是射线DC上的动点，连接DE、AE，DE与AB交于点P，再连接FP、FB，且∠AED＝45°．（1）求证：CD∥AB；（2）填空：①当∠DAE＝时，四边形ADFP是菱形；②当∠DAE＝时，四边形BFDP是正方形．24．（10分）解不等式组21114(2)xx x+-⎧⎨+>-⎩…25．（10分）小明和小亮为下周日计划了三项活动，分别是看电影（记为A）、去郊游（记为B）、去图书馆（记为C）．他们各自在这三项活动中任选一个，每项活动被选中的可能性相同．（1）小明选择去郊游的概率为多少；（2）请用树状图或列表法求小明和小亮的选择结果相同的概率．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C （4，﹣4）．请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．27．（12分）求不等式组()7153x3x134x x⎧+≥+⎪⎨-->⎪⎩的整数解.参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．D 【解析】 【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则四边形ABCD 为菱形．所以根据菱形的性质进行判断． 【详解】 解:Q 四边形ABCD 是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，//AB CD ∴，//AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；过点D 分别作BC ，CD 边上的高为AE ，AF ．则 AE AF =（两纸条相同，纸条宽度相同）； Q 平行四边形ABCD 中，ABC ACD S S ∆∆=，即⨯=⨯BC AE CD AF ，BC CD ∴=，即AB BC =．故B 正确；∴平行四边形ABCD 为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．ABC ADC ∠=∠∴，BAD BCD ∠=∠（菱形的对角相等），故A 正确； AB CD =，AD BC =（平行四边形的对边相等），故C 正确； 如果四边形ABCD 是矩形时，该等式成立．故D 不一定正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质．注意：“邻边相等的平行四边形是菱形”，而非“邻边相等的四边形是菱形”． 2．C【分析】过O作OC⊥AB，交圆O于点D，连接OA，由垂径定理得到C为AB的中点，再由折叠得到CD=OC，求出OC的长，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的长，即可确定出AB的长．【详解】过O作OC⊥AB，交圆O于点D，连接OA，由折叠得到CD=OC=12OD=1cm，在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC2+OC2=OA2，即AC2+1=4，解得：AC=3cm，则AB=2AC=23cm．故选C．【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及翻折的性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．3．A【解析】试题分析：由题意可知：从左面看得到的平面图形是长方形是柱体，从上面看得到的平面图形是圆的是圆柱或圆锥，综合得出这个几何体为圆柱，由此选择答案即可．解：从左面看得到的平面图形是长方形是柱体，符合条件的有A、C、D，从上面看得到的平面图形是圆的是圆柱或圆锥，符合条件的有A、B，综上所知这个几何体是圆柱．故选A．考点：由三视图判断几何体．4．C【解析】试题分析：由题意可得根的判别式，即可得到关于k的不等式，解出即可.由题意得，解得故选C.考点：一元二次方程的根的判别式两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．5．D【解析】【分析】根据函数图象可知根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为10﹣8=2小时，进而得到小亮骑自行车的平均速度，对应函数图象，得到妈妈到姥姥家所用的时间，根据交点坐标确定妈妈追上小亮所用时间，即可解答．【详解】解：A、根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为10﹣8=2小时，∴小亮骑自行车的平均速度为：24÷2=12（km/h），故正确；B、由图象可得，妈妈到姥姥家对应的时间t=9.5，小亮到姥姥家对应的时间t=10，10﹣9.5=0.5（小时），∴妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家，故正确；C、由图象可知，当t=9时，妈妈追上小亮，此时小亮离家的时间为9﹣8=1小时，∴小亮走的路程为：1×12=12km，∴妈妈在距家12km出追上小亮，故正确；D、由图象可知，当t=9时，妈妈追上小亮，故错误；故选D．【点睛】本题考查函数图像的应用，从图像中读取关键信息是解题的关键.6．C【解析】【分析】利用相似三角形的性质即可判断．【详解】设AD＝x，AE＝y，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD AE DE AB AC BC==，∴6121614x yx y==++，∴x＝9，y＝12，故选：C．考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7．C 【解析】 【分析】根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点A 、B 、C 到原点的距离的大小，从而得到原点的位置，即可得解． 【详解】 ∵|a|＞|c|＞|b|，∴点A 到原点的距离最大，点C 其次，点B 最小， 又∵AB=BC ，∴原点O 的位置是在点B 、C 之间且靠近点B 的地方． 故选：C ． 【点睛】此题考查了实数与数轴，理解绝对值的定义是解题的关键． 8．A 【解析】 【分析】根据AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r ，只要求出BE u u u r即可解决问题. 【详解】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，AD BC AD BC ∴∥，＝， BC AD b ∴==u u u r u u u r r ， BE CE Q ＝， 1BE b 2∴=u u u r r ，AE AB BE,AB a =+=u u u r u u u r u u u r u u u r r Q ，1AE a b 2∴=+u u u r r r ，故选：A. 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型. 9．A【分析】连接AO并延长到E，连接BE．设AE＝2R，则∠ABE＝90°，∠AEB＝∠ACB，∠ADC＝90°，利用勾股定理求得AD=，，再证明Rt△ABE∽Rt△ADC，得到，即2R＝=．【详解】解：如图，连接AO并延长到E，连接BE．设AE＝2R，则∠ABE＝90°，∠AEB＝∠ACB；∵AD⊥BC于D点，AC＝5，DC＝3，∴∠ADC＝90°，∴AD＝，∴在Rt△ABE与Rt△ADC中，∠ABE＝∠ADC＝90°，∠AEB＝∠ACB，∴Rt△ABE∽Rt△ADC，∴，即2R＝=；∴⊙O的直径等于．故答案选：A.【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理，解题的关键是掌握辅助线的作法.10．D【解析】先解方程组求出74x y -=，再将,,x a y b =⎧⎨=⎩代入式中，可得解. 【详解】 解：3,354,x y x y +=⎧⎨-=⎩①② +①②，得447x y -=， 所以74x y -=， 因为,,x a y b =⎧⎨=⎩ 所以74x y a b -=-=. 故选D.【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出a-b 的值，本题属于基础题型．11．D【解析】分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．详解：∵方程2x 2x m 0-+=有两个不相同的实数根，∴()2240m =-->V ，解得：m ＜1．故选D ．点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 12．C【解析】【分析】设甲种笔记本买了x 本，甲种笔记本的单价是y 元，则乙种笔记本买了（40﹣x ）本，乙种笔记本的单价是（y+3）元，根据题意列出关于x 、y 的二元一次方程组，求出x 、y 的值即可．【详解】解：设甲种笔记本买了x 本，甲种笔记本的单价是y 元，则乙种笔记本买了（40﹣x ）本，乙种笔记本的单价是（y+3）元，根据题意，得：()()1254033006813xy xy x y =⎧⎨+-+=-+⎩， 解得：2515x y =⎧⎨=⎩， 答：甲种笔记本买了25本，乙种笔记本买了15本．故选C ．【点睛】本题考查的是二元二次方程组的应用，能根据题意得出关于x 、y 的二元二次方程组是解答此题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．-672或672【解析】 ∵2016a = ，∴a-b=±2016,∵AO=2BO ，A 和点B 分别在原点的两侧∴a=-2b.当a-b=2016时，∴-2b-b=2016,解得：b=-672.∴a=−2×(-672)=1342,∴a+b=1344+(-672)=672.同理可得当a-b=-2016时，a+b=-672, ∴a+b=±672,故答案为：−672或672.14．1【解析】【分析】先利用垂径定理得到OD ⊥BC ，则BE=CE ，再证明OE 为△ABC 的中位线得到116322OE AC ==⨯=，入境计算OD−OE 即可．【详解】解：∵BD ＝CD ， ∴¶¶BDCD =， ∴OD ⊥BC ，∴BE ＝CE ，而OA ＝OB ，∴OE 为△ABC 的中位线， ∴116322OE AC ==⨯=，∴DE ＝OD －OE ＝5－3＝1．故答案为1．【点睛】此题考查垂径定理,中位线的性质，解题的关键在于利用中位线的性质求解.15．1【解析】【分析】先将分式化简,然后将x+y=1代入即可求出答案【详解】当x ＋y ＝1时， 原式()()x y y x x y x y x y x y ⎛⎫-=+÷ ⎪--+-⎝⎭ ()()x y x y x x y x+-=⋅- ＝x ＋y ＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查分式的化简求值,解题的关键是利用运用分式的运算法则求解代数式.16．4或3.【解析】【分析】①当AF ＜12AD 时，由折叠的性质得到3，AF=A′F ，∠FA′E=∠A=90°，过E 作EH ⊥MN 于H ，由矩形的性质得到322=3A E HE '-，根据勾股定理列方程即可得到结论；②当AF ＞12AD 时，由折叠的性质得到3AF=A′F ，∠FA′E=∠A=90°，过A′作HG ∥BC 交AB 于G ，交CD 于H ，根据矩形的性质得到DH=AG ，HG=AD=6，根据勾股定理即可得到结论．【详解】①当AF＜12AD时，如图1，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上，则A′E=AE=23，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，设MN是BC的垂直平分线，则AM=12AD=3，过E作EH⊥MN于H，则四边形AEHM是矩形，∴MH=AE=23，∵A′H=22=3A E HE'-，∴A′M=3，∵MF2+A′M2=A′F2，∴（3-AF）2+（3）2=AF2，∴AF=2，∴EF=22AF AE+=4；②当AF＞12AD时，如图2，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上，则3AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，设MN是BC的垂直平分线，过A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，则四边形AGHD是矩形，∴DH=AG，HG=AD=6，∴A′H=A′G=12HG=3，∴∴，∴=6，∴=4综上所述，折痕EF 的长为4或故答案为：4或【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，矩形的性质和判定，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 17．a(a-3)2【解析】【分析】根据因式分解的方法与步骤，先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可.【详解】解：3269a a a -+()269a a a =-+()23a a =-故答案为：()23a a -.【点睛】本题考查因式分解的方法与步骤，熟练掌握方法与步骤是解答关键.18．75︒，45︒，15︒【解析】【分析】分三种情况：①点A 是顶角顶点时，②点A 是底角顶点，且AD 在△ABC 外部时，③点A 是底角顶点，且AD 在△ABC 内部时，再结合直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可求解.【详解】①如图，若点A 是顶角顶点时，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=CD ，∵12AD BC =, ∴AD=BD=CD ，在Rt △ABD 中，∠B=∠BAD= ()118090=452︒︒︒﹣； ②如图，若点A 是底角顶点，且AD 在△ABC 外部时，∵12AD BC =，AC=BC ， ∴12AD AC =， ∴∠ACD=30°，∴∠BAC=∠ABC=12×30°=15°； ③如图，若点A 是底角顶点，且AD 在△ABC 内部时，∵12AD BC =，AC=BC ， ∴12AD AC =， ∴∠C=30°，∴∠BAC=∠ABC=12（180°-30°）=75°；综上所述，△ABC底角的度数为45°或15°或75°；故答案为75︒，45︒，15︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是要分情况讨论.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．80；（1）甲；（2）110；（3）乙学校竞赛成绩较好，理由见解析【解析】【分析】首先根据乙校的成绩结合众数的定义即可得出a的值；（1）根据两个学校成绩的中位数进一步判断即可；（2）根据概率的定义，结合乙校优秀成绩的概率进一步求解即可；（3）根据题意，从平均数以及中位数两方面加以比较分析即可.【详解】由乙校成绩可知，其中80出现的次数最多，故80为该组数据的众数，∴a=80，故答案为：80；（1）由表格可知，甲校成绩的中位数为60，乙校成绩的中位数为75，∵小明这次竞赛得了70分，在他们学校排名属中游略偏上，∴小明为甲校学生，故答案为：甲；（2）乙校随便抽取一名学生的成绩，该学生成绩为优秀的概率为：21 2010=，故答案为：1 10；（3）乙校竞赛成绩较好，理由如下：因为乙校的平均分高于甲校的平均分说明平均水平高，乙校的中位数75高于甲校的中位数65，说明乙校分数不低于70分的学生比甲校多，综上所述，乙校竞赛成绩较好.【点睛】本题主要考查了众数、中位数、平均数的定义与简单概率的计算的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.20．C点到地面AD的距离为：（+2）m．【解析】【分析】直接构造直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出BE，CF的长，进而得出答案．【详解】过点B作BE⊥AD于E，作BF∥AD，过C作CF⊥BF于F，在Rt△ABE中，∵∠A=30°，AB=4m，∴BE=2m，由题意可得：BF∥AD，则∠FBA=∠A=30°，在Rt△CBF中，∵∠ABC=75°，∴∠CBF=45°，∵BC=4m，∴CF=sin45°•BC=22m，∴C点到地面AD的距离为：()222m．【点睛】考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.21．332 2-【解析】试题分析：把相关的特殊三角形函数值代入进行计算即可.试题解析：原式=3113332332122--.22．(1)3；(2) x﹣y，1．【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、零指数幂可以解答本题；（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】（1）3tan30°+|2-3|+（13）-1-（3-π）0-（-1）2018=3×33+2-3+3-1-1，=3+2−3+3-1-1，=3；（2）（x﹣22xy yx-）÷222x yx xy-+，=()()() 222•x x yx xy yx x y x y+-++-，=()()()()2•x y x x yx x y x y-++-=x-y，当x=2，y=2-1时，原式=2−2+1=1．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、零指数幂、分式的化简求值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．23．（1）详见解析；（2）①67.5°；②90°．【解析】【分析】（1）要证明CD∥AB，只要证明∠ODF＝∠AOD即可，根据题目中的条件可以证明∠ODF＝∠AOD，从而可以解答本题；（2）①根据四边形ADFP是菱形和菱形的性质，可以求得∠DAE的度数；②根据四边形BFDP是正方形，可以求得∠DAE的度数．【详解】（1）证明：连接OD，如图所示，∵射线DC切⊙O于点D，∴OD⊥CD，即∠ODF＝90°，∵∠AED＝45°，∴∠AOD＝2∠AED＝90°，∴∠ODF＝∠AOD，∴CD∥AB；（2）①连接AF与DP交于点G，如图所示，∵四边形ADFP是菱形，∠AED＝45°，OA＝OD，∴AF⊥DP，∠AOD＝90°，∠DAG＝∠PAG，∴∠AGE＝90°，∠DAO＝45°，∴∠EAG＝45°，∠DAG＝∠PEG＝22.5°，∴∠EAD＝∠DAG+∠EAG＝22.5°+45°＝67.5°，故答案为：67.5°；②∵四边形BFDP是正方形，∴BF＝FD＝DP＝PB，∠DPB＝∠PBF＝∠BFD＝∠FDP＝90°，∴此时点P与点O重合，∴此时DE是直径，∴∠EAD＝90°，故答案为：90°．【点睛】本题考查菱形的判定与性质、切线的性质、正方形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用菱形的性质和正方形的性质解答．24．﹣1≤x＜1．【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【详解】解不等式2x+1≥﹣1，得：x≥﹣1，解不等式x+1＞4（x﹣2），得：x＜1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜1．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；（2）首先根据题意列表，然后求得所有等可能的结果与小明和小亮选择结果相同的情况，再利用概率公式即可求得答案【详解】（1）∵小明分别是从看电影（记为A）、去郊游（记为B）、去图书馆（记为C）的一个景点去游玩，∴小明选择去郊游的概率=；（2）列表得：A B CA （A，A）（B，A）（C，A）B （A，B）（B，B）（C，B）C （A，C）（B，C）（C，C）由列表可知两人选择的方案共有9种等可能的结果，其中选择同种方案有3种，所以小明和小亮的选择结果相同的概率==．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．26．（1）见解析（2）10 10【解析】试题分析：（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．试题解析：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），故AD=2，CD=6，AC==，∴sin∠ACB===，即sin∠A2C2B2=．考点：作图﹣位似变换；作图﹣平移变换；解直角三角形．27．-1,-1,0,1,1【解析】分析：先求出不等式组的解集，然后求出整数解．详解：()715331?34x xx x⎧+≥+⎪⎨-->⎪⎩①②，由不等式①，得：x≥﹣1，由不等式②，得：x＜3，故原不等式组的解集是﹣1≤x＜3，∴不等式组71533134x xx x+≥+⎧⎪-⎨-⎪⎩（）＞的整数解是：﹣1、﹣1、0、1、1．点睛：本题考查了解一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．。

3 ⎨⎩⎨ ⎩2020 学年第一学期初三数学期终教学质量监控测试参考答案一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1.A 2.B 3.D 4.C 5.B6.D二、填空题本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）1 27. -8.（0,3）9. y = ( x + 2) + 2 22 10. 811. 答案不唯一，如 0,1,2 等 12.5513. 7.5 14. 1 1- a + b15. 3 316. 317. 218. 2 三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）319．解：原式= 3 + 2( 2 )2 1 22 =2 3 + = 5 33 320．解：（1）把（-2，3）、（-1，2）和（0,-1）分别代入 y = ax 2+ bx + c 中，得：⎧3 = 4a - 2b + c⎪2 = a - b + c ⎪-1 = c ⎧a = -1解得： ⎪b = -4⎪c = -1 ∴该二次函数的解析式为 y = -x 2- 4x -1 经检验，（1,-6）也满足该解析式. （2） y = -(x + 2)2+ 321. 证明：∵ AF = DFEF BF 该函数图像的顶点坐标为（-2,3） 对称轴为直线 x = -2∴BE ∥AD ∴∠1=∠E∵∠1=∠2∴∠2=∠E∵∠BFE =∠GFB ∴△BFE ∽△GFB∴即 BF 2= FG ⋅ EFBF = EFFG BF22. 解：过点 D 作 DE ⊥AC 交 AC 的延长线于点 E ，过点 D 作 DF ⊥AB 交 AB 于点 F由 i =1: 2.4 得DE= 1: 12 = 5 CE 5 12设 DE=5k ，CE =12k ，则 CD =13k ∴13k =5.2，解得 k =0.4∴DE=2，CE=4.8 ∴AE=15.2+4.8=20 可得四边形 AFDE 为矩形 ∴DF=AE =20 AF=DE =20 由题意得∠BDF =37°21 532 2 2 22 2 2 23⎩⎩ 3=由 sin37°=0.6，可得tan 37︒= 343在 Rt △BDF 中， BF = DF ⋅ tan ∠BDF = 20 ⨯ = 154∴AB=2+15=17（米）答：电线杆 AB 高为 17 米．23．（1）证明：∵∠CAB=∠CFE又∵∠FGC=∠AGE∴△FGC ∽△AGE ∴ FG = CG AG EG∴FG = AG CG EG 又∵∠AGF=∠EGC ∴△AGF ∽△EGC ∴∠CEG =∠FAG 即∠CEF =∠CAF（2）解：∵∠ACB=∠FCE=90° ∴∠ACF =∠BCE∵∠CAB=∠CFE ∴∠B =∠CEF ∵∠CEF =∠CAF ∴∠CAF =∠B∴△ACF ∽△BCE ∴ AC = AFBC BE在 Rt △CAB 中， BC =15，AC=20 ∴AB =25 又∵AE =7 ∴BE=18 ∴ 20 =AF15 18∴AF=2424. 解：（1）设抛物线C 的表达式为y = -x 2+ n 把 A （2，0）代入上式，得： 0 = -4 + n ∴抛物线C 的表达式为 y = -x 2+ 4 （2）设抛物线C 的表达式为 y = -(x + m )2+ k∴ n = 4 把 A （2，0）、B （3， -1）分别代入上式，得：⎧⎪0 = -(2 + m )2+ k ⎨⎪-1 = -(3 + m )2 + k ⎧m = -2解得⎨k = 0∴抛物线C 的表达式为 y = -(x - 2)2 ∴点 D （0，-4） （3）由题意知点 P 在 x 轴上方，可得∠BAP=∠AED =135°由题意，得ED AE 或APABED = AEAB AP又可求得： ED = 2 ， AB = ， AE = 2 ∴2= 或 2= ∴AP=1 或 2AP 2 AP ∴点 P 的坐标为（2，1）或（2，2）25. 解：（1）分别过点 A 、点 D 作 AM ⊥BC ，DN ⊥BC ，垂足分别为点 M 、N可得 BM=CN=9由可得cos B = 35在 Rt △ABM 中， AB =BMcos B= 15 （2） 在等腰梯形 ABCD 中，AB ＝CD∴∠C ＝∠B ∵∠CPF ＋∠EPF ＝∠BEP ＋∠B ，∠EPF ＝∠B∴∠CPF ＝∠BEP ，∴△CPF ∽△BEP ∴∠BPE ＝∠CFP ∵PE ⊥BC ∴∠CFP ＝∠BPE =90°2在 Rt △CPF 中， PF = CP ⋅ sin C = 16 ⨯ 4 =645 5在 Rt △PFG 中， FG = PF ⋅ sin ∠EPF = 64 ⨯ 4 = 2565 5 25（3） 过点 E 作 EH ⊥BC ，垂足为点 H在 Rt △BEH 中，EH = BE ⋅ sin B = 4 x ， BH = BE ⋅ cos B = 3 x在 Rt △PEH 中， EP5 5=，BE EP∵△CPF ∽△BEP∴x= PF =∴ PF 16 PF 4 在 Rt △PFG 中， FG = PF ⋅sin ∠FPG =⨯5∴ y = （ 48 25x 5≤ x ≤ 15 ）。

2023-2024学年度初三年级第一次学生学习能力诊断练习数学练习卷（一模）（满分150分，时间100分钟）注意：1．本练习卷含三个大题，共25题；2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1. 下列函数中，y 是关于x 的二次函数的是（ ）A. 21y x =−B. 21y x =C. 221y x =−D. 321y x =−【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的定义，形如2(y ax bx c a =++、b 、c 为常数, 0)a ≠ 的函数，叫二次函数，对照函数的解析式，根据函数的定义逐一判断即可．【详解】A ．21y x =−是一次函数，不是二次函数，故选项A 不符合题意；B ．21y x =不是二次函数，故选项B 不符合题意； C ．221y x =−是二次函数，故选项C 符合题意；D ．321y x =−不是二次函数，故选项D 不符合题意．2. 将抛物线23y x =−向左平移4个单位长度，所得到抛物线的表达式是（ ）A. ()234y x =−+B. ()234y x =−−C. 234y x =−+D. 234y x =−−【答案】A【解析】【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据“左加右减，上加下减”的法则解答即可．【详解】解：将抛物线23y x =−向左平移4个单位长度，得到抛物线是23(4)y x =−+．3. 如图，在Rt ABC △中，已知90C ∠=︒，3cos 4A =，3AC =，那么BC 的长为（ ）A. 7B. 7C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，正确理解锐角三角函数的定义是解决问题的关键．先根据余弦的定义计算出4AB =，然后利用勾股定理计算出BC 的长．【详解】解：∵90C ∠=︒， ∴3cos 4AC A AB ==， ∵3AC =，∴4AB =， ∴2222437BC AB AC ，故选：A ．4. 如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O 到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角∠AOB 为40°，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为（ ）A. ()5050sin 40−︒厘米B. ()5050cos 40−︒厘米C. ()5050sin 20−︒厘米D. ()5050cos 20−︒厘米【答案】D【解析】【分析】此题考查了解直角三角形的应用，三角函数的基本概念，当小球在最高位置时，过小球作小球位置最低时细绳的垂线，在构建的直角三角形中，可根据偏转角的度数和细绳的长度，求出小球最低位置时的铅直高度，进而可求出小球在最高位置与最低位置时的高度差．【详解】解：如图：过A 作AC OB ⊥于C ，Rt OAC 中，50OA =厘米，40220AOC ∠=︒÷=︒，cos2050cos20OC OA ∴=⋅︒=⨯︒．5050cos2050(1cos20)CD OA OC ∴=−=−⨯︒=−︒（厘米）．故选：D ．5. 如图，点G 是ABC 的重心，GE AC ∥交BC 于点E ．如果12AC =，那么GE 的长为（ ）A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】 【分析】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．连接BG 并延长交AC 于D ，根据点G 是ABC 的重心，得到1112622CD AC ==⨯=，23BG BD =，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】解：连接BG 并延长交AC 于D ，∵点G是ABC的重心，∴1112622CD AC==⨯=，23BGBD=，∵GE AC∥，∴BEG BCD∽，∴BG EG BD CD=，∴236EG =，∴4GE=，故选：B．6. 如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，如果两个四边形的四条边对应成比例，且四个角对应相等，那么这两个四边形相似，据此求解即可．【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则已知四边形的四条边分别为12，25．选项A2，2，210，两个四边形的四条边对应不成比例，不符合题意；选项B中的四边形的四条边分别为25134，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项B中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意；选项C中的四边形的四条边分别为25134，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项C 中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意；选项D 中的四边形的四条边分别为2，2，4，25将已知四边形表示为四边形ABCD ，将选项D 中的四边形表示为EFGH ．如图，连接AC 、EG ，则5AC =25EG =．在ABC 与EFG 中，12AB BC AC EF FG EG ===， ABC EFG ∴∽，BAC FEG ∴∠=∠，B F ∠=∠，ACB EGF ∠=∠．在ADC △与EHG 中，12AD DC AC EH HG EG ===， ADC EHG ∴∽，DAC HEG ∴∠=∠，D H ∠=∠，ACD EGH ∠=∠，BAD FEH ∴∠=∠，B F ∠=∠，DCB HGF ∠=∠，D H ∠=∠， 又12AB BC AD DC EF FG EH HG ====， ∴四边形ABCD ∽四边形EFGH ．故选：D ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 已知:3:2x y =，那么():x y x −=____．【答案】1:3【解析】【分析】本题考查了比例的性质，表示出y 是解题的关键．先用x 表示出y ，再代入比例式进行计算即可得【详解】解：∵:3:2x y =， ∴23y x =， ∴()211:333x y x x x x x x ⎛⎫−=−== ⎪⎝⎭:::，故答案为：1:3．8. 如果向量a 、b 和x 满足()2a x a b −=−，那么x =____．【答案】2a b −+##2b a −【解析】【分析】本题考查的是平面向量，正确利用等式的性质是解题的关键．根据等式的性质变形，得到答案．【详解】解：()2a x a b −=−，∴2x a b −=−，∴2x a b =−+，故答案为：2a b −+．9. 已知抛物线()213y a x =−+开口向下，那么a 的取值范围是____． 【答案】1a >##1a <【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当0a >时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下．根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数10a −<． 【详解】解：抛物线2(1)3y a x =−+的开口向下，10a ∴−<，解得，1a >．故答案为：1a >．10. 如果点()2,1A 在抛物线()21y x m =−+上，那么m 的值是____． 【答案】0【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据次函数图象上点的坐标满足二次函数解析式，把点(2,1)A 代入2(1)=−+y x m 即可求出m ． 【详解】解：点(2,1)A 在抛物线2(1)=−+y x m 上，21(21)m ∴=−+， 解得0m =，11. 将抛物线y ＝2x 2平移，使顶点移动到点P （﹣3，1）位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_____．【答案】y ＝2（x +3）2+1【解析】【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．【详解】抛物线y ＝2x 2平移，使顶点移到点P （﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为y ＝2（x+3）2+1． 故答案为y ＝2（x+3）2+1【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．12. 已知点()13,A y −和()21,B y 都在抛物线()2212y x =−−上，那么1y 和2y 的大小关系为1y ____2y （填“>”或“<”或“=”）．【答案】>【解析】【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据图象上点的坐标适合解析式将点A ，B 坐标代入解析式求解．【详解】解：将1(3,)A y −，2(1,)B y 代入22(1)2y x =−−得130y =，22y =−，12y y ∴>．故答案为：>．13. 已知抛物线2y x bx c =−++如图所示，那么点(),P b c 在第____象限．【答案】二【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向和对称轴位置确定b 的符号，抛物线与y 轴的交点确定c 的符号，即可确定点(,)P b c 所在的象限． 【详解】解：由抛物线的图象得，022b b a −=<，0c >， 0b ∴<，的(,)P b c ∴在第二象限．故答案为：二．14. 一个三角形框架模型的边长分别为3分米、4分米和5分米，木工要以一根长6分米的木条为一边，做与模型相似的三角形，那么做出的三角形中，面积最大的是____平方分米．【答案】24【解析】【分析】本题考查相似三角形的性质，勾股定理的逆定理，由相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似求出三角形最大的三边，根据勾股定理的逆定理判断新三角形是直角三角形，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：当长是6分米的木条与三角形框架模型的边长最短的3分米一条边是对应边时，做出的三角形的三边最大，面积最大，设长是4分米，5分米的边的对应边的长分别是a 分米，b 分米，3:64:5:a b ∴==，8a ∴=，10b =，∴其他两条边的长分别是8分米，10分米，2226810+=，∴做出的三角形是直角三角形，直角边分别是6分米，8分米，∴做出的三角形的面积为168242⨯⨯=（平方分米）．15. 如图，已知AD EF BC ∥∥，2BC AD =，2BE AE =，AD a =，那么用a 表示EF =____．【答案】43a 【解析】 【分析】本题考查了向量的运算、相似三角形的判定与性质，连接BD ，交EF 于点G ，先根据AD EF BC ∥∥求得12AE DF BE CF ==，EGB ADB ∽，DGF DBC ∽，根据相似三角形的性质可得23EG AD =，13GF BC =，即可得出43EF EG GF AD =+=，由此即可得．【详解】解：连接BD ，交EF 于点G ，∵AD EF BC ∥∥，2BE AE =， ∴12AE DF BE CF ==，EGB ADB ∽，DGF DBC ∽， 32EG BE AD AB ∴==，31GF DF BC DC ==， ∴23EG AD =，13GF BC =， 2BC AD =， ∴1233GF BC AD == ∴43EF EG GF AD =+= 4433EF AD a ∴==， 故答案为：43a ． 16. 如图，在平行四边形ABCD 中，点F 是AD 上的点，2AF FD =，直线BF 与AC 相交于点E ，交CD 的延长线于点G ，若2BE =，则EG 的值为________．【答案】3【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例，设FD x =，则2AF x =，3AD x =，根据平行四边形的性质可得AD BC ∥，AB CD ∥，3AD BC x ==，根据平行线分线段成比例即可解决问题．【详解】解：设FD x =，由2AF FD =，则2AF x =，3AD x =，四边形ABCD 平行四边形，∴AD BC ∥，AB CD ∥，3AD BC x ==，2233AE AF x EC BC x ∴===， 23BE AE EG EC ∴==， 2BE =，223EG ∴=， 3EG ∴=，故答案为：3．17. 定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图①中正方形ABCD 即为线段AC 的“对角线正方形”．如图②，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，点P 在边AB 上，如果线段PC 的“对角线正方形”有两边同时落在ABC 的边上，那么AP 的长是____．【答案】157【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：当线段PC 的“对角线正方形”有两边同时落在ABC 的边上时，设正方形的边长为x ，则4PE CE PD CD x BE x =====−，，∵PE AC ∥，∴BPE BAC ∽， ∴PE BE AC BC=， ∴434x x −=， 解得：127x =， ∴127PD =，129377AD AC CD =−=−=， ∴22157AP AD PD =+=，故答案为：157． 18. 如图，在ABC 中，5AB AC ==，3tan 4B =，点M 在边BC 上，3BM =，点N 是射线BA 上一动点，连接MN ，将BMN 沿直线MN 翻折，点B 落在点B '处，联结B C '，如果B C AB '∥，那么BN 的长是____．【答案】6【分析】本题主要考查了三角形折叠与解直角三角形，过M 点作MG B C '⊥，FM AB ⊥，AH BC ⊥垂足分别为F 、G 、H ，由5AB AC ==，3tan 4B =，求出3AH =，4BH CH ==，9sin 5FM BM B =⋅∠=，sin 3MG CM BCB '=⋅∠=，得出F 、M 、B '三点在同一直线上，进而可得18tan 5FN FB FB N ''=⋅∠=，再求出12tan 5FM BF B ==∠，由6BN BF FN =+=解题． 【详解】解：过M 点作MG B C '⊥，FM AB ⊥，AH BC ⊥垂足分别为F 、G 、H ，设3AH x =， ∵3tan 4B =，AH BC ⊥ ∴4BH CH x ==∵5AB AC ==，222AH BH AB +=，∴222(3)(4)5x x +=，解得1x =，∴3AH =，4BH CH ==，∴3sin 5B =， ∵BC AB '∥，∴B BCB '∠=∠，∵3BM =，∴5CM =， ∴39sin 355FM BM B =⋅∠=⨯=， 3sin 535MG CM BCB '=⋅∠=⨯=， ∵3MB MB '==，∴MG MB '=，即B '与G 点重合，∴F 、M 、B '三点在同一直线上， ∴924355FB FM MG '=+=+=， 由折叠可知：FB N B '∠=∠， ∴24318tan 545FN FB FB N ''=⋅∠=⨯=， ∵9312tan 545FM BF B ==÷=∠， ∴1218655BN BF FN =+=+=， 故答案为6【点睛】本题涉及了解三角形、折叠性质、等腰三角形性质、勾股定理等，解题关键是通过计算点M 到B C '的距离等于BM 得出F 、M 、B '三点在同一直线上．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19. 计算：2tan 454sin 30cos30cos60︒︒−︒−︒【答案】3【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而计算得出答案．【详解】解：2tan 454sin 30cos30cos60︒︒−︒−︒ 214()231=⨯− 131=− 131)=−+3=−【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角三角函数值．20. 画二次函数2y ax bx =+的图像时，在“列表”的步骤中，小明列出如下表格（不完整）．请补全表格，并求该二次函数的解析式． x …1− 0 2 4 5 … y …5− 4 5− …【答案】见解析，24y x x =−+【解析】【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，求二次函数的值，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解决问题的关键．由表格中的对应值得当=1x −时，5y =−，当2x =时，4y =，然后将其代入二次函数2y ax bx =+中求出a ，b 的值可得该二次函数的解析式，然后再分别求出当0x =时，4x =时对应的y 的值即可． 【详解】解：由表格中的对应值可知：当=1x −时，5y =−，当2x =时，4y =，∴5424a b a b −=−⎧⎨+=⎩， 解得：14a b =−⎧⎨=⎩， ∴该二次函数的解析式为：24y x x =−+，∴当0x =时，0y =，当4x =时，0y =，填表如下： x …1− 0 2 4 5 … y …5− 0 4 0 5− …21. 如图①是某款智能磁吸键盘，如图②是平板吸附在该款设备上的照片，图③是图②的示意图．已知8cm BC =，20cm CD =，63BCD ∠=︒．当AE 与BC 形成的ABC ∠为116︒时，求DE 的长．（参考数据：sin630.90︒≈，cos630.45︒≈，cot 630.50︒≈；sin530.80︒≈，cos530.60︒≈，cot530.75︒≈）【答案】11cm【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过B 作BH CE ⊥于H ，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：过B 作BH CE ⊥于H ，在Rt BCH △中，sin 630.908BH BH BC ︒==≈，cos630.458CH CH BC ︒==≈， 7.2cm BH ∴=， 3.6cm CH =，在Rt BEH △中，53BEH ABC BCE ∠=∠−∠=︒，cot 530.757.2HE HE BH ∴︒==≈， 5.4cm HE ∴=，3.6 5.49(cm)CE CH EH ∴=+=+=，20911(cm)DE CD CE ∴=−=−=，答：DE长为11cm ．22. 如图①，已知线段a 、b 和MON ∠．如图②，小明在射线OM 上顺次截取2OA a =，3AB a =，在射线ON 上顺次截取2OC b =，3CD b =．连接AC 、BC 和BD ，4AC =，6BC =．（1）求BD 的长；（2）小明继续作图，如图③，分别以点B 、D 为圆心，以大于12BD 的长为半径作弧，两弧分别相交于点P 、Q ，连接PQ ，分别交BD 、OD 于点E 、F ．如果BC OD ⊥，求EF 的长．【答案】（1）10BD =（2）154EF =【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及基本作图.（1）由两边对应成比例及夹角相等，两三角形相似证明OCA ODB ∽，在相似三角形性质即可求解； （2）在Rt BCD 由勾股定理求出228CD BD BC =−=，再根据作法可知PQ 是BD 的垂直平分线，证明∽BCD EFD ，由相似三角形性质即可求解.【小问1详解】解：∵2OA a =，3AB a =，2OC b =，3CD b = ∴25OA OC OB OD ==， 又∵O O ∠=∠，∴OCA ODB ∽， ∴25AC OA BD OB ==， ∵4AC =， ∴425BD = ∴10BD =，【小问2详解】∵6BC =，10BD =，BC OD ⊥， ∴2222C 1068CD BD B =−=−=，由作法可知，PQ 是BD 的垂直平分线，即EF BD ⊥，152DE BE BD ===， ∵CDB EDF ∠=∠，BCD FED ∠=∠，∴BCD FED ∽， ∴BC CD EF ED =，即685EF =， ∴154EF = 23. 如图，在ABC 中，已知点D 、E 分别在边BC AB ，上，EC 和AD 相交于点F ，EDB ADC ∠=∠，2DE DF DA =⋅．（1）求证：ABD ECD ∽；（2）如果90ACB ∠=︒，求证：12FC EC =． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．（1）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质即可得到结论．【小问1详解】证明：∵2·DE DF DA =， ∴DE DF AD DE=， ∵FDE EDA ∠=∠，∴DEF DAE ∽，∴DAE DEF ∠=∠，∵EDB ADC ∠=∠，∴ADB CDE ∠=∠，∴ABD ECD ∽；【小问2详解】由（1）知，ABD ECD ∽，∴B ECD ∠=∠，∴BE CE =，∵90ACB ∠=︒，∴BAC B BCE ACE ∠+∠=∠+∠，∴BAC ACE =∠∠，∴AE BE CE ==，取AD 的中点G ，连接CG ，∵=90ACD ∠︒， ∴12DG CG AD ==，∴GDC GCD ∠=∠，∴1802DGC ADC ∠=︒−∠，∵BDE ADC ∠=∠，∴1802ADE ADC ∠=︒−∠，∴ADE CGF ∠=∠，由（1）知，DEF DAE ∽，∴AED DFE ∠=∠，∵DFE CFG ∠=∠，∴AED CFG ∠=∠，∴CGF ADE ∽，∴12CG CF AD AE ==， ∴12CF AE =， ∴12FC EC =． 24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中．已知抛物线22y x x m =++经过点()3,0A −，与y 轴交于点C ，连接AC 交该抛物线的对称轴于点E ．（1）求m 的值和点E 的坐标；（2）点M 是抛物线的对称轴上一点且在直线AC 的上方．①连接AM 、CM ，如果AME MCA ∠=∠，求点M 的坐标；②点N 是抛物线上一点，连接MN ，当直线AC 垂直平分MN 时，求点N 的坐标．【答案】（1）3m =−，点E (1,2)−−（2）①点M (1−，22)，②点N (12−，2)−【解析】【分析】（1）把(3,0)A −代入22y x x m =++，求出m ，求出抛物线的对称轴，在用待定系数法求出直线AC 的解析式，可得点E 的坐标．（2）①设(1,)M n −，证明AME ACM ∽，得到2AM AE AC =⋅，利用勾股定理得出AE ，AC ，AM 的长，列方程求n ，可求M 的坐标．②连接NE ，求出90MEN ∠=︒，N 的纵坐标为2−，在代入二次函数解析式求横坐标．【小问1详解】解： 抛物线22y x x m =++经过点(3,0)A −， 960m ∴−+=，解得3m =−，(0,3)C ∴−，抛物线的解析式为223y x x =+−，2223(1)4y x x x =+−=+−，∴抛物线的对称轴为直线=1x −，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∴303k b b −+=⎧⎨=−⎩，∴13k b =−⎧⎨=−⎩，∴直线AC 的解析式为3y x =−−，当=1x −时，=2y −，∴点E 的坐标为(1,2)−−；【小问2详解】①如图，设(1,)M n −，(3,0)A −，(0,3)C −，(1,2)E −−，22(31)222AE ∴−++，22(3)332AC =−+222(31)4AM n n =−+++AME MCA ∠=∠，MAE CAM ∠=∠，AME ACM ∴∽， ∴AEAMAM AC =，2AM AE AC ∴=⋅，242232n ∴+=122n ∴=−，222n =．∴点M 的坐标为(1−，22)；②连接NE ．3OA OC ==，=90AOC ∠︒，45OAC OCA ∴∠=∠=︒，45AEM ∴∠=︒，直线AC 垂直平分MN ，ME NE ∴=，45AEM AEN ∠=∠=︒，90NEM ∴∠=︒．∵点E 纵坐标为2−，∴点N 的纵坐标为2−，2232x x ∴+−=−，2210x x +−=，112x =−212x =−．所以点N 的坐标为(12−−，2)−．【点睛】本题考查了二次函数的性质和应用，待定系数法求一次函式的解析式，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，关键是二次函数和三角形知识的综合运用．25. 如图①，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，4tan 3ABC ∠=，点D 在边BC 的延长线上，连接AD ，点E 在线段AD 上，EBD DAC ∠=∠．的（1）求证：DBA DEC ∽△△；（2）点F 在边CA 的延长线上，DF 与BE 的延长线交于点M （如图②）．①如果2AC AF =，且DEC 是以DC 为腰的等腰三角形，求tan FDC ∠的值； ②如果52DE =，3EM =，:5:3FM DM =，求AF 的长． 【答案】（1）证明见解析（2）①36tan 7FDC ∠=或2；②85AF = 【解析】【分析】（1）证明ACD BED △∽△，从而得出AD CD BD DE=，进而得出DBA DEC ∽； （2）①由两种情形：当DC CD =时，可推出AD BD =，可设CD x =，3BC a =，4AC a =，则3AD BD a x ==+，在Rt ΔACD 中勾股定理得：222(4)(3)x a a x +=+，从而76x a =，进而得出76CD a =，6CF AF AC a =+=，从而求得36tan 7CF FDC CD ∠==；当CE CD =时，根据DBA DEC ∽得出AB CE AD CD=，从而AB AD =，进一步得出结果； ②根据（1）可设5BD t =，2AD t =，设3BC a =，4AC a =，5AB a =，先由条件52DE =，确定AB BD =，进而表示出EX 和AX ，作DN CF ∥，交BE 的延长线于点N ，设AC 与BE 的交点为X ，可得出DMN FMX ∽，从而35DN MN DM FX MX FM ===，从而得出53FX DN =，可证得DNE AXE ∆≅∆，从而得出5EN EX ==，52DN AX a ==，从而表示出5NX EN EX a =+=，52536FX DN a ==，进而得出53AF FX AX a =−=，根据35MN MX =得出3358a MN NX =EN MN ME −=列出方程535328a −=，从而求得a 的值，进一步得出结果． 【小问1详解】证明：EBD DAC ∠=∠，D D ∠=∠，ACD BED ∴∽， ∴AD CD BD DE=， DBA DEC ∴∽；【小问2详解】解：①当DC CD =时，由（1）知：AD CD BD DE=， AD BD ∴=，设CD x =，3BC a =，4AC a =，则3AD BD a x ==+，则Rt ACD △中，3AD a x =+，4AC a =，CD x =，由勾股定理得：222(4)(3)x a a x +=+，76x a ∴=， 76CD a ∴=， 2AC AF =，2AF a ∴=，6CF AF AC a ∴=+=，36tan 7CF FDC CD ∴∠==， 当CE CD =时，由（1）知：DBA DEC ∽， ∴AB CE AD CD=， AB AD ∴=，AC BD ，3CD CB a ∴==，6CF a =，tan 2CF FDC CD∴∠==， 综上所述：36tan 7FDC ∠=或2； ②如图，由（1）知：BD DE AD CD=， 52DE CD =， ∴52BD AD=， 设5BD t =，2AD t =，设3BC a =，4AC a =，5AB a =，53CD BD CD t a ∴=−=−，在Rt ACD △中，由勾股定理得，222CD AC AD +=，222(53)(4)(2)t a a t ∴−+=，15t a ∴=，255t a =（舍去），55BD t a ∴==，532CD t a a =−=，55DE a ==， AB BD ∴=，由（1）知： ACD BED △∽△，90BED ACD ∴∠=∠=︒，BE AD ∴⊥，5AE DE a ∴==，21tan 42EX CD a DAC AE AC a ∠====， 152EX AE ∴==， 2252AX AE EX a ∴+=，作DN CF ∥，交BE 的延长线于点N ，设AC 与BE 的交点为X ，N AXE ∴∠=∠，DMN FMX ∽， ∴35DN MN DM FX MX FM ===， 53FX DN ∴=， AEX DEN ∠=∠，(AAS)DNE AXE ∴≌，5EN EX ∴==，52DN AX a ==， 5NX EN EX a ∴=+=，52536FX DN a ==， 2555623AF FX AX a a a ∴=−=−=， 35MN MX =， 3358a MN NX ∴==， 由EN MN ME −=得，5353=， 245a ∴=5853AF a ∴==． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．。