2020年深圳市普通高中高三年级线上统一测试数学试题

绝密★启用前 试卷类型：A深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数 学（理科） 2020.3本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共 12 小题，每小题5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}3 2 1 0{，，，=A ，}032|{2<--=x x x B ，则A B =A ．)3,1(-B ．]3,1(-C ．)3,0(D ．]3,0(2．设23i32iz +=-，则z 的虚部为 3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若23a =，59a =，则6S 为 5．若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点(1,2)-，则该双曲线的离心率为 6．已知tan 3α=-，则πsin 2()4α+=7．7)2(xx -的展开式中3x 的系数为A ．1-B ．1C ．2-D ．2A ．25B ．23C．12D. 07A ．36B ．32C ．28D. 24AB C D. 2A ．35B ．35-C ．45D ．45-8．函数()2ln |e 1|x f x x =--的图像大致为9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为 A ．323π3B ．32πC ．36πD ．48π10．已知动点M 在以1F ，2F 为焦点的椭圆2214y x +=上，动点N 在以M 为圆心，半径长为1||MF 的圆上，则2||NF 的最大值为 11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则 A ．33AB AC HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=- C ．24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=-12．已知定义在π[0]4，上的函数π()sin()(0)6f x x ωω=->的最大值为3ω，则正实数ω的取值个数 最多为 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．A ．168B ．84C ．42 D. 21ABCDA ．2B ．4C ．8D ．16A ．4B ．3C ．2D. 1（第9题图）13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+101022x y x y x ，则y x z 2-=的最小值为 ___________．14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n a S n n -=2，则=6a ___________．15．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”(如0123)，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为___________．16．已知点1(,)2M m m -和点1(,)2N n n -()m n ≠，若线段MN 上的任意一点P 都满足：经过点P 的所有直线中恰好有两条直线与曲线21:2C y x x =+(13)x -≤≤相切，则||m n -的最大值为___．三 、 解答题： 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，222+2a b c S -=. （1）求cos C ；（2）若cos sin a B b A c +=，a =，求b .18．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形， 点M ，N 分别在棱1C C ，1A A 上，且12C M MC =，12A N NA =.（1）求证：1//NC 平面BMD ；（2）若13A A =，22AB AD ==，π3DAB ∠=， 求二面角N BD M --的正弦值.19．（本小题满分12分）已知以F 为焦点的抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)P -，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB中点，且OM OP OF λ+=.（1）当3λ=时，求点M 的坐标； （2）当12OA OB ⋅=时，求直线l 的方程.20．（本小题满分12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能．．．．（即概率最大．．．．．）是多少？ 附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=.21．（本小题满分12分）已知函数()e ln(1)xf x a x =--.（其中常数e=2.718 28⋅⋅⋅，是自然对数的底数） （1）若a ∈R ，求函数()f x 的极值点个数；（2）若函数()f x 在区间(1,1+e )a-上不单调，证明：111a a a +>+.（二）选考题：共 10 分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x （t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）直线1C 与2C 相交于F E ,两个不同的点，点P 的极坐标为π)，若PF PE EF +=2，求直线1C 的普通方程．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知,,a b c 为正数，且满足 1.a b c ++= 证明： （1）1119a b c++≥； （2）8.27ac bc ab abc ++-≤绝密★启封并使用完毕前试题类型：A1 20 0x 0 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试理科数学试题答案及评分参考一、选择题1. B2. B3. C4. A5. C6. D7. B8. A9. D10. B11. D12. C12. 解析：当ωπ - π > π时，即ω> 8时， f (x )= 1 = ω，解得ω= 3 ； 4 6 23max3ω ω当 ωπ - π ≤ π时，即0 < ω≤ 8时， f (x ) = sin(π - π) = ，4 6 2 3max4 6 3令 g (ω) = sin(ωπ - π) ， h (ω) = ω， 4 6 3如图，易知 y = g (ω) ， y = h (ω) 的图象有两个交点 A (ω1 , y 1 ) ， B (ω2 , y 2 ) ，ωω 所以方程 s in( π - π) = 有两个实根ω，ω ， 4 6 3又 g (8) = 1 > 8 = h (8) ，所以易知有ω < 8 < ω ，3 9 3 1 3 2所以此时存在一个实数ω= ω1 满足题设， 综上所述，存在两个正实数ω满足题设，故应选 C. 二、填空题：13.- 314. 6315.4154 16.316. 解析：由对称性不妨设 m < n ，易知线段 M N 所在直线的方程为 y = x - 1，2又 1 x 2 + x > x - 1，∴点 P 必定不在曲线 C 上， 2 2不妨设 P (t ,t - 1) ， (m ≤ t ≤ n ) ，且过点 P 的直线 l 与曲线 C 相切于点 Q ( x, 1x 2 + x ) ， 2 ( 1 x 2+ x) - (t - 1 )0 2 0 0易知 y ' |x = x = k PQ ，即 x 0 + 1 = 2 2 ，整理得 x - 2tx - 1 = 0 ，0 - t0 0 2x0 0 （法一）显然 x ≠ 0 ，所以 2t = x -1， 0令 f ( x ) = x -1 ， x ∈[-1, 0) U (0,3]，x5 ⎪ ⎨-1 < t < 3 如图，直线 y = 2t 和函数 y = f ( x ) 的图象有两个交点，又 f (-1) = 0 ，且 f (3) =8，30 ≤ 2t ≤ 8，即 0 ≤ t ≤ 4， ∴3 3 ∴ 0 ≤ m < n ≤4 ，∴ | m - n | 的最大值为 4 ，故应填 4．3 3 3（法二）由题意可知 -1 ≤ x 0 ≤ 3 ，令 f ( x ) = x - 2tx - 1 ，∴函数 f ( x ) 在区间[-1, 3] 上有两个零点，⎧ f (-1) = 2t ≥ 0⎪ f (3) = 8 - 6t ≥ 0 则 ⎪⎪⎩V = 4t 2 + 4 > 0，解得 0 ≤ t ≤ 4 ， 3 ∴ 0 ≤ m < n ≤4，∴ | m - n | 的最大值为 4 ，故应填 4． 3 3 3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分 12 分）已知△ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，△ ABC 的面积为 S ，a 2 +b 2 - c 2 = 2S . （1）求c os C ；（2）若 a c os B + b sin A = c ， a = ，求b . 解：（1） S = 1ab sin C ，a 2 + b 2 - c 2 = 2S ，2∴ a 2 + b 2 - c 2 = ab sin C ， …………………………………………………………………2 分 a 2 + b 2 - c 2 ab sin C sin C在△ ABC 中，由余弦定理得 c os C = = =， 2ab 2ab 2 ∴sin C =2cosC ，…………………………………………………………………………4 分又 sin 2C +cos 2C=1 ，∴5cos 2C=1，cosC= ±5 ，5由于 C ∈(0, π) ，则 s in C > 0 ，那么 c osC>0 ，所以 c osC=5 . ………………………6 分5（2）（法一）在△ABC 中，由正弦定理得 s in A c os B + sin B sin A = sin C ，……………7 分 2sin C= sin[π- (A + B)] = sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B ，………………………8 分∴sin A cos B + sin B sin A = sin A cos B + cos A sin B ，即s in B sin A = cos A sin B ，5 5 ⨯ 2 5 5 ⨯ 2 又 A , B ∈(0, π) ，∴sin B ≠ 0 ， s in A =cosA ，得 A = π.……………………………9 分4sin B = sin[π - (A + C )] = sin(A + C ) ，……………………………………………10 分∴sin B = sin A cos C + cos A sin C = 2 ⨯ 5 + 2 ⨯ 2 5 =310， ………………11 分2 5 2 5 10a s in B 10 在△ABC 中，由正弦定理得 b = == 3 . ……………………………12 分（法二）a cos B +b s in A =c ， 又a cos B +b cos A =c ， sin A2 2∴ a cos B + b s in A = a cos B + b cos A ，…………………………………………………8 分即 s in A = cos A ，又 A ∈(0, π) ， ∴ A = π. ……………………………………………9 分4a sin C 5 在△ ABC 中，由正弦定理得 c = == 2 .………………………10 分b = C cos A + a cos C ，sin A2 2∴c = 2 ⨯ 2 + ⨯ 5= 3 . ………………………………………………………12 分2 5（法三）求 A 同法一或法二a sin C 5 在△ABC 中，由正弦定理得 c = == 2 ， ………………………10 分sin A2 2又由余弦定理 c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C ，得 b 2 - 2b - 3 = 0 ，解得 b = -1 或 b = 3 . 所以 b = 3 .……………………………………………………………………………12 分（余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 - 2b cos A ，得 b 2 - 4b + 3 = 0 ，解得b = 1 或 b = 3 . 因为当 b = 1时， a 2 +b 2 -c 2 = -2 < 0 ，不满足c osC>0 (不满足 a 2 +b 2 - c 2 = -2 ≠ 2S )，故舍去，所以 b = 3 ） 【命题意图】综合考查三角函数的基本运算、三角函数性质，考查利用正弦、余弦定理解决三 角形⨯ 32 2 2问题，检验学生的数学知识运用能力.18．（本小题满分 12 分）如图，在直四棱柱 A BCD - A 1B 1C 1D 1 中，底面 A BCD 是平行四边形， 点 M ，N 分别在棱 C1C ，A 1 A 上，且 C 1M = 2MC ， A 1 N = 2NA .（1）求证： N C 1 // 平面 B MD ；A π （2）若 A 1 A = 3，AB = 2AD = 2 ， ∠DAB =，求二面角3MN - BD - M 的正弦值.解：（1）证明：（法一）如图，连接 A C 交 B D 于点GMG ．设 C 1M 的中点为 E ，连接 A E ．………2 分G , M 是在△ ACE 边 C A ,CE 的中点，∴ MG //AE ， ……………………………………3 分又 C 1M = 2MC ，A 1 N = 2NA ， A A 1 //CC 1 ， ∴四边形 A NC 1E 是平行四边形，故 N C 1 //AE ，∴ NC 1 //GM ， …………………………………4 分 GM ⊂ 平面 B MD ，∴ NC 1 // 平面 B MD . …………………………………5 分 （法二）如图，设 E 是 B B 1 上一点，且 B E = 2B 1E ，连接 E C 1 . 设 G 是 B E 的中点，连接G M . ……………………1 分BE = MC 1，BE //MC 1 ，∴四边形 B EC 1M 是平行四边形，故 E C 1 //BM ， ……2 分又 BM ⊂ 平面 B MD ，∴ EC 1 // 平面 B MD ， …………………………………3 分同理可证 N E //AG ， A G //DM ，故 N E //DM ，2 ∴ NE // 平面 B MD ， (4)分 又 EC 1，NE ⊂ 平面 N EC 1 ，且 N E C 1E = E ，∴平面 N EC 1 // 平面 B MD ，又 N C 1 ⊂ 平面 N EC 1 ，所以 N C 1 // 平面 B MD .……………5 分（2）（法一）设二面角 N - BD - M 为α，二面角N - BD - A 为 β，根据对称性，二面角 M - BD - C的大小与二面角 N - BD - A 大小相等，故α= π - 2β，sin α= sin(π - 2β) = sin 2β.下面只需求二面角 M - BD - C 的大小即可. ………7 分 由余弦定理得 B D 2 = AD 2 + AB 2 - 2AD ⋅ AB cos ∠DAB = 3 ，故 AB 2 = AD 2 + BD 2 ，A D ⊥ BD . (8)分四棱柱 A BCD - A 1B 1C 1D 1 为直棱柱，∴ DD 1 ⊥ 底面 A BCD ，D D 1 ⊥ BD ， ……………………9 分 又 AD , D 1D ⊂ 平面 A DD 1 A 1 ， A D D 1D = D ，∴ BD ⊥ 平面B DD 1B 1 ， …………………………………10 分ND ⊂ 平面A DD 1 A 1 ， ∴ND ⊥ BD ，所以二面角 N - BD - A 的大小为 ∠NDA ，即 ∠NDA = β，在 R t ∆NAD 中，s in β = AN= 1 ND = 2 ，…………11 分 2∴ β= π ，α= π，4 2∴二面角N- BD - M 的正弦值为1 . …………………12 分（法二）由余弦定理得B D2 = AD2 + AB2 - 2AD ⋅ AB cos∠DAB = 3 ，故AB2 = AD2 + BD2 ，A D ⊥ BD . ……………………6分以D为坐标原点O，以D A, DC, DD1 分别为x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.依题意有 D (0,0,0) ， B (0, ,0) ， M (-1, ,1) ， N (1, ,1) ，DB = (0, ,0) ， DM = (-1, ,1) ， D N = (1, ,1) ，……7 分设平面 M BD 的一个法向量为 n = (x , y , z ) ，⎧⎪n ⋅ DB = 0 ∴⎨ ⎧⎪ ， ∴⎨ 3y = 0 ， ⎪⎩n ⋅ DM = 0⎪⎩-x + y + z = 0令 x = 1 ，则 z = 1， y = 0 ，∴n = (1,0,1) ，……………9 分 同理可得平面 N BD 的一个法向量为 m = (1,0, -1) ，……10 分 所以 c os < m , n >=m ⋅ n 0= | m || n |= 0 ， ……………11 分所以二面角 N - BD - M 的大小为 π，正弦值为1 . …12 分2【命题意图】考察线面平行、线面垂直判定定理等基本知识，考查空间想象能力，计算能力， 考查学生综合运用基本知识处理数学问题的能力.19．（本小题满分 12 分）已知以 F 为焦点的抛物线 C : y 2 = 2 p x ( p > 0) 过点 P (1, -2) ，直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，M 为AB 中点，且 O M + OP = λOF .（1）当 λ=3 时，求点 M 的坐标；uur u u u r（2）当 O A ⋅ OB = 12 时，求直线 l 的方程.解：（1）因为 P (1, -2) 在y 2 = 2 p x 上，代入方程可得 p = 2 ， 所以 C 的方程为 y 2 = 4x ，焦点为 F (1, 0) ， (2)分 设 M ( x 0 , y 0 ) ，当 λ=3 时，由 O M + OP = 3OF ，可得M (2, 2) ， ………………4 分 （2）（法一）设A (x 1 , y 1 ) ，B (x 2 , y 2 ) ， M (x 0 , y 0 ) ， 由 O M + OP = λOF ，可得 (x 0 + 1, y 0 - 2) = (λ, 0) ，所以 y 0 =2 ， y - y 所以 l 的斜率存在且斜率k = 1 2=x 1 - x 24 = 2y + y y3 3 3 3 3 33 2 ⋅ 2= 1，……………7分⎧ y = x + b可设l方程为y= x + b ，联立⎨得x2 + (2b - 4)x + b2 = 0 ，⎩ y2 = 4x∆=（2b-2 - 4b2 =16 -16b > 0 ，可得b<1，………………………………9分2则 x 1 + x 2 = 4 - 2b ， x 1x 2 = b， y 1 y 2 = x 1 x 2 + b (x 1 + x 2 ) + b = 4b ，所以 O A ⋅ OB = x x + y y =b 2 + 4b = 12 ，…………………………………11 分1 21 2解得 b = -6 ，或 b = 2 （舍去），所以直线l 的方程为 y = x - 6 . ……………………………………………12 分（法二）设 l 的方程为x = my + n ， A (x 1 , y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ， M (x 0 , y 0 ) ， ⎧x = my + n 联立 ⎨ ⎩ y 2= 4x得 y 2 - 4my - 4n = 0 ， ∆ =16m 2 +16n > 0 ， ………………6 分则 y 1 + y 2 = 4m ， y 1 y 2 = -4n ， x 1 + x 2 = m ( y 1 + y 2 ) + 2n = 4m+ 2n ，所以 M (2m 2 + n , 2m ) ，…………………………………………………………7 分由 O M + OP = λOF ，得 (2m 2 + n +1, 2m - 2) = (λ, 0) ，所以 m =1， …………8 分 所以 l 的方程为x = y + n ， 由 ∆ = 16 + 16n > 0 可得， n > -1，……………………………………………9 分( y 1 y 2 ) 2由 y 1 y 2 = -4n 得 x 1 x 2 == n ，16所以 O A ⋅ OB = x x + y y =n 2 - 4n = 12 ， ………………………………………11 分1 21 2解得 n = 6 ，或 n = -2 （舍去），所以直线l 的方程为 y = x - 6 . ……………………………………………12 分【命题意图】本题以直线与抛物线为载体，考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系、向量 的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力.20．（本小题满分 12 分） 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000 名患者的 相关信息，得到如下表格：222（1）求这1000 名患者的潜伏期的样本平均数 x （同一组中的数据用该组区间的中点（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否 超过 6 天为标准进行分层抽样，从上述1000 名患者中抽取 200 人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有 95% 的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）以这1000 名患者的潜伏期超过 6 天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过 6 天发生的概 率，每名患者的潜伏期是否超过 6 天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了 20 名患者， 其中潜伏期超过 6 天的人数最．有．可．能．（即．概．率．最．大．）是多少？ 附：2n (ad - bc )2K = ，其中 n = a + b + c + d .(a + b )(c + d )(a + c )(b + d )解：（1） x =1 1000⨯（1⨯ 85 + 3⨯ 205 + 5⨯ 310 + 7 ⨯ 250 + 9 ⨯130 +11⨯15 +13⨯ 5）= 5.4 天.……………………………………………………………………………2 分（2）根据题意，补充完整的列联表如下：则 K 2 = (65 ⨯ 45 - 55 ⨯ 35) ⨯ 200 =25 ≈ 2.083 ， ………………………………………5 分120 ⨯ 80 ⨯100 ⨯10012经查表，得 K 2 ≈ 2.083 < 3.841 ，所以没有95% 的把握认为潜伏期与年龄有关. ……6 分（3）由题可知，该地区每 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率为400 = 2， ……7 分 1000 5设调查的 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数为 X ，则 X ~ B (20, 2) , P ( X = k ) = C kk⎪  ⎪20-k， k = 0 ，1， 2 ，…， 20 ， ………8 分⎛ 2 ⎫20深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 12 页 共 16页5 2 3 2 3 得 5 2 3 2 320 20 ⎧ ⎝ ⎭ ⎛ 3 ⎫ ⎝ 5 ⎭k 20-k ⎛ ⎫ ⎛ ⎫ k +1 19-k⎛ ⎫ ⎛ ⎫ ⎪C k ⎪  ⎪≥ C k +1 ⎪ ⎪ ⎧P ( X = k ) ≥ P ( X = k + 1) ⎪ 由 ⎨ ⎨ 20⎝ ⎭ ⎝ 5 ⎭ 20 ⎝ 5⎭ ⎝ 5 ⎭ ， …………10 分 ⎩P ( X = k ) ≥ P ( X = k -1) ⎪ k 20-k ⎛ ⎫ ⎛ ⎫ k -1 21-k⎛ ⎫ ⎛ ⎫ ⎪C k ⎪  ⎪ ≥ C k -1 ⎪ ⎪⎩ ⎝ 5 ⎭ ⎝ 5 ⎭⎝ 5 ⎭ ⎝ 5 ⎭深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 13 页 共 16页0 ⎧3(k + 1) ≥ 2(20 - k ) 化简得 ⎨ ⎩2(21 - k ) ≥ 3k ，解得 375 ≤ k ≤ 42 ,5 又 k ∈ N ,所以 k = 8 ,即这 20 名患者中潜伏期超过6 天的人数最有可能是 8 人.…12 分【命题意图】以医学案例为实际背景，考查频数分布表，考查平均数，二项分布的随机变量概 率最大时的取值；考查分析问题、解决问题的能力；处理数据能力、建模能力和核心素养.21．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = e x- a ln(x -1) .（其中常数 e =2.718 28 ⋅ ⋅ ⋅ ，是自然对数的底数）（1）若 a ∈ R ，求函数 f (x ) 的极值点个数；（2）若函数 f (x ) 在区间(1,1+e -a) 上不单调，证明： 1+ 1> a .(x -1)e 解：（1）易知 f '(x ) =x- a a a +1， x > 1 ，………………………………………1 分x -1①若 a ≤ 0 ，则 f '(x ) > 0 ，函数 f (x ) 在 (1, +∞) 上单调递增，∴函数 f (x ) 无极值点，即函数 f (x ) 的极值点个数为 0 ；……………………2 分②若 a > 0 ，（法一）考虑函数 y = (x -1)e x - a (x ≥ 1) ，Q y (1 + a ) = a e 1+a - a > a - a = 0 ，y (1) = -a < 0 ，∴函数 y = (x -1)e x - a (x ≥ 1) 有零点x ，且1< x <1+ a ， 0Q y ' = x e x > 0 ，∴函数 y = (x -1)e x - a (x ≥ 1) 为单调递增函数，∴函数 y = (x -1)e x - a (x ≥ 1) 有唯一零点x ，∴ f '(x ) =(x -1)e - a亦存在唯一零点 x ， …………………………………4 分x -1 0x深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 14 页 共 16页∴当 x ∈(1, x 0 ) 时，易知 f '(x ) < 0 ，即函数 f (x ) 在 (1, x 0 ) 上单调递减，当 x ∈(x 0 , +∞) 时，易知 f '(x ) > 0 ，即函数 f (x ) 在 (x 0 , +∞) 上单调递增，∴ 函数 f (x ) 有极小值点 x 0 ，即函数 f (x ) 的极值点个数为1 ， ……………………5 分 综上所述，当 a ≤ 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为 0 ；当 a > 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为1 .（法二）易知函数 y = e x 的图象与 y =ax -1(a > 0) 的图象有唯一交点 M (x 0 , y 0 ) ，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 15 页 共 16页∴ e x=a x 0 -1，且 x 0 > 1 ，…………………………………………………………………3 分∴当 x ∈(1, x 0 ) 时，易知 f '(x ) < 0 ，即函数 f (x ) 在 (1, x 0 ) 上单调递减，当 x ∈(x 0 , +∞) 时，易知 f '(x ) > 0 ，即函数 f (x ) 在 (x 0 , +∞) 上单调递增，∴ 函数 f (x ) 有极小值点 x 0 ，即函数 f (x ) 的极值点个数为1 ， ……………………4 分 综上所述，当 a ≤ 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为 0 ；当 a > 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为1 .（注：第（1）问采用法二作答的考生应扣 1 分，即总分不得超过 4 分）（法三）对于 ∀a > 0 ，必存在 n ∈N *，使得 n >2 - ln a，即 2 - na < ln a ，aQ e- na< 1 ，∴ e1-na +e - na- a < e 2 -na- a < e ln a- a = 0 ，e -na e 1+e - na- a ∴ f '(1+ e-na) = < 0 ， e -naa e1+ a又 f '(1 + a ) = a - a =e 1+ a-1 > 0 ， ∴函数 f '(x ) = (x -1)e x- a 有零点，不妨设其为 x ，x -1 0 显然 f '(x ) = e x-a x -1(x > 1) 为递增函数， ∴ x 0 为函数 f '(x ) 的唯一零点， …………………………………………………………4 分∴当 x ∈(1, x 0 ) 时，易知 f '(x ) < 0 ，即函数 f (x ) 在 (1, x 0 ) 上单调递减，当 x ∈(x 0 , +∞) 时，易知 f '(x ) > 0 ，即函数 f (x ) 在 (x 0 , +∞) 上单调递增，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 16 页 共 16页∴ 函数 f (x ) 有极小值点 x 0 ，即函数 f (x ) 的极值点个数为1 ， ……………………5 分 综上所述，当 a ≤ 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为 0 ；当 a > 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为1 .（2） Q 函数f (x ) 在区间 (1,1+e -a) 上不单调，∴存在 x ∈(1,1+e -a ) 为函数 f (x ) 的极值点， ……………………………………6 分e -a ⋅ e 1+e - a- a∴由（1）可知 a > 0 ，且 f '(1+e -a) => 0 ，即 e1-a +ee -a> a ，两边取对数得1 - a +e - a > ln a ，即1+e - a - ln a > a ， ………………………………7 分深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 11 页 共 16页（法一）欲证1 + 1 > a ，不妨考虑证a a +11 + 1 ≥1+e -a - ln a ， a a +1 先证明一个熟知的不等式： e x ≥ 1 + x ，令 g (x ) = e x - x -1，则 g '(x ) = e x -1，∴ g '(0) = 0 ， 不难知道函数 g (x ) 的极小值（即最小值）为 g (0) = 0 ，∴ e x - x -1 ≥ 0 ，即 e x ≥ 1 + x ，……………………………………………………8 分（思路 1：放缩思想）∴ e -a = 1≤ 1 ， 即 1 ≥ e -a， ………………………9 分1-111- 1e a a +1 1 a +11又 ea≥ ，∴ e a≤ a ，∴1- ≤ ln a ，即 ≥ 1- ln a ，………………………11 分∴ 1+ a a1≥1+e -a- ln a ，∴ 1 + 1a > a . …………………………12 分 a a +1 a a +1（思路 2：构造函数）令ϕ(a ) = 1 + ln a -1 ，则ϕ'(a ) = 1 - 1= a -1 ，a a a 2 a 2不难知道，函数ϕ(a ) 有最小值ϕ(1) = 0 ，∴ϕ(a ) ≥ 0 ，…………………………10 分当 a > 0 时， 1- e - a= e- a -1> 0 ， …………………………………………11 分a + 1 (a + 1)e a∴ 1 + ln a -1 + 1 - e -a 1 1> 0，即 + ≥1+e -a - ln a ， aa +1a a +1∴ 1 + 1 > a .…………………………………………………………………12 分a a +1（法二）令 F (x ) = 1+e - x - ln x - x ，则 F '(x ) = -e - x - 1 -1 < 0 ，x∴函数 F (x ) 为单调递减函数，显然 F (2) < 2 - ln 2 - 2 < 0 ，且 F (a ) > 0 ，∴ 0 < a < 2 ，①若 0 < a < 1 ，则1 + 1 > 1 > a ，即1 + 1> a 成立； …………………………8 分 a a +1a深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 12 页 共 16页②若1≤ a < 2 ，只需证 1+ aa a +1 1≥1+e -a - ln a ，a a +1 111414不难证明 +≥ a a +1 7a + 3，只需证明 7a + 3≥1+e -a - ln a ， …………………………9 分令 G (a ) = 14 7a + 3- e -a + ln a -1，1≤ a ≤ 2 ，则 G '(a ) = e -a + 1 - a 98 (7a + 3)2 > 1 - a 98 ， (7a + 3)2当1≤ a ≤ 2 时， 1 - 98=49a - 56a + 9 ，a (7a + 3)2 a (7a + 3)2显然函数 y = 49a 2 - 56a + 9 在 [1, 2] 上单调递增，且 y (1) = 2 > 0 ，2深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 13 页 共 16页ea∴ G '(a ) > 0 ，即函数 G (a ) 为单调递增函数， ………………………………………10 分∴当1≤ a < 2 时， G (a ) ≥ G (1) = 2 - 1 =2e - 5> 0 ，即 G (a ) > 0 ， ………………11 分5 e 5e∴14 ≥1+e -a- ln a ，即 1 + 1 > a ， 7a + 3 a a +11 1综上所述，必有 +> a 成立. …………………………………………………12 分 a a +1（法三）同（法二）得 0 < a < 2 ，1 11 1 1①若 0 < a < 1 ，则 +> > a ，即 + > a 成立； …………………………8 分a a +1 ②若1≤ a < 2 ，只需证 1 +a a a +11≥1+e -a - ln a ， 令 G (a ) = 1 + 1a a +1- e - a + ln a -1 ，1≤ a ≤ 2 ，a a + 1则 G '(a ) = e -a- 1 + a -1 ≥ e -a - 1， (a +1)2 a 2 (a +1)2下证当1≤ a ≤ 2 时，e -a-1(a +1)2a > 0 ，即证 e a < (a +1)2，即证 e 2< a +1 ， ………9 分a令 H (a ) = e 2- a -1，1≤ a ≤ 2 ，则 H '(a ) = 1 e 2 -1，当 a = 2ln 2 时， H '(a ) = 0 ，2不难知道，函数 H (a ) 在 [1, 2ln 2) 上单调递减，在 (2ln 2, 2] 上单调递增，∴函数 H (a ) 的最大值为 H (1) ，或 H (2) 中的较大值，显然 H (1) =- 2 < 0 ，且 H (2) = e - 3 < 0 ，a∴函数 H (a ) 的最大值小于 0 ，即 H (a ) < 0 ，亦即 e 2 < a +1 ，…………………………10 分∴ e -a -1 (a +1)2> 0 ，即 G '(a ) > 0 ，∴函数 G (a ) = 1 + 1- e - a + ln a -1 ，1≤ a ≤ 2 单调递增，a a + 1易知 G (1) = 1 - 1> 0 ，∴ G (a ) > 0 ，即 1 + 1≥1+e -a - ln a ，………………………11 分深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 14 页 共 16页2 e∴当1≤ a < 2 时，有 1 + 1a a +1> a 成立，a a +111综上所述， +> a .…………………………………………………………12 分a a +1深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 15 页 共 16页3 【命题意图】 本题以基本初等函数及不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题 的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性.22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程⎪⎧x = -2 在直角坐标系 x Oy 中，直线 C 1 的参数方程为 ⎨+ tcos α,（t 为参数，α为倾斜角）， ⎪⎩ y = t sin α,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程为 ρ= 4sin θ．（1）求 C 2 的直角坐标方程；（2）直线 C 1 与 C 2 相交于 E , F 两个不同的点，点 P 的极坐标为 (2, π) ，若 2 EF = PE + PF ，求直线 C 1 的普通方程．解：（1）由题意得， C 2 的极坐标方程为 ρ= 4sin θ，所以 ρ2 = 4ρsin θ，………………1 分 又x = ρcos θ, y = ρsin θ，………………2 分代入上式化简可得， x 2 + y 2 - 4 y = 0 ，………………3 分 所以 C 2 的直角坐标方程 x 2 + ( y - 2)2 = 4 ．………………4 分 （2）易得点 P 的直角坐标为 (-2 ,0) ，⎪⎧x = -2 将 ⎨ + t cos α,代入 C 2 的直角坐标方程，可得⎪⎩ y = t sin α,t 2 - (4∆ = (4 cos α+ 4sin α)t + 12 = 0 ，………………5 分cos α+ 4sin α)2 - 48=[8sin(α+ π)]2 - 48 > 0 ，3 解得 s in(α+ π) > 3 ，或 s in(α+ π) < - 3，3 2 3 2不难知道α必为锐角，故 s in(α+ π) >3， 3 2所以 π <α+ π < 2π ，即 0 < α< π ,………………6 分3 3 3 33333 33设这个方程的两个实数根分别为 t 1 ， t 2 ，则t 1 + t 2 = 4 cos α+ 4sin α， t 1 ⋅ t 2 = 12 ，………………7 分3 3 ) 所以 t 1 与t 2 同号， 由参数t 的几何意义可得，PE + PF = t + t= t + t= 8 sin(α+ π) ， 1 2 1 2 3EF = t - t = ，………………8 分 1 2所以 2 ⨯= 8 sin(α+ π ，3两边平方化简并解得 s in(α+ π ) = 1，所以α= π + 2k π ， k ∈ Z ,3 6 因为 0 < α< π ，所以α= π ，………………9 分3 6 ⎧ ⎪⎪x = -2+ t, 2 所以直线 C 1 的参数方程为 ⎨ ⎪ y = 1 t , ⎩⎪ 2消去参数 t ，可得直线 C 1 的普通方程为 x - y + 2 = 0 ．………………10 分【命题意图】本题主要考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程中参数的 几何意义和三角函数等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养， 考察考生的化归与转化能力．23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知 a , b , c 为正数，且满足 a + b + c = 1. 证明：（1） 1 + 1 + 1 ≥ 9 ； a b c（2） a c + bc + ab - abc ≤ 8.273 3⎝ ⎭证明：（1）因为 1 + 1 + 1 = (a + b + c ) ⎛ 1+ 1 + 1 ⎫a b c = 3 + b + a + c + a + c + ba b a c b ca b c ⎪3≥ 3 + +1（当且仅当 a = b = c = 时，等号成立）. ………………5 分3（2）（法一）因为 a , b , c 为正数，且满足 a + b + c = 1， 所以 c = 1 - a - b ，且1 - a > 0 ，1 - b > 0 ，1 - c > 0 ， 所以 a c + bc + ab - abc= (a + b - ab )c + ab=(a+b -) 1- a - b ）+ ab = (b -1)(a -1)(a + b )= (1- a )(1- b )(1- c )≤ ⎡(1- a ) + (1- b ) + (1- c ) ⎤ = 8 ，⎣⎢ 3 ⎦⎥ 27所以 a c + bc + ab - abc ≤ 8.271（当且仅当 a = b = c = 时，等号成立）. ………………10 分3（法二）因为 a , b , c 为正数，且满足 a + b + c = 1，所以 c = 1 - a - b ，且1 - a > 0 ，1 - b > 0 ，1 - c > 0 ，ac + bc + ab - abc = 1 - (a + b + c ) + ac + bc + ab - abc= (1 - a ) + b (a - 1) + c (a - 1) + bc (1 - a )= (1- a ) ⎡⎣1- (b + c ) + bc ⎤⎦= (1- a)(1- b)(1- c)⎡3 -(a + b + c) ⎤38≤ ⎢⎥ =⎣ 3 ⎦27所以a c + bc + ab - abc ≤ 8 .271（当且仅当a= b = c =时，等号成立）. ………………10 分3【命题意图】本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式（三元均值不等式）的证明，涉及代数恒等变形等数学运算、充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力的考察．。

绝密★启用前试卷类型：A 深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）2020.3本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共12 小题，每小题5分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}3210{，，，=A，}032|{2<--=xxxB，则A B=UA．)3,1(-B．]3,1(-C．)3,0(D．]3,0(答案：B解析：{|13}B x x=-<<，所以，集合A中，元素0，1，2集合B都有，3不在集合B中，所以，A B=U]3,1(-2．设23i32iz+=-，则z的虚部为答案：B解析：23i32iz+=-＝(23i)(3+2i)6496(32i)(3+2i)13i ii+++-==-，所以，虚部为1。

3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 8632 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42答案：C解析：如下图，第1行第5列的数字开始，大于30的数字舍去，重复的舍去，取到数字依次为：07、04、08、23、12、所以，第5个编号为12，选C。

A．1-B．1C．2-D．2 A．25B．23C．12 D. 074．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若23a =，59a =，则6S 为答案：A 解析：16256256()6()3()22a a a a S a a ++===+＝36 5．若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点(1,2)-，则该双曲线的离心率为答案：C解析：双曲线的渐近线为：by x a=±，经过点(1,2)-， 所以，2b a =，离心率为：c e a ====6．已知tan 3α=-，则πsin 2()4α+=答案：D解析：πsin 2()4α+=22sin(2)cos 2cos sin 2παααα+==-＝222222cos sin 1tan 194cos sin 1tan 195αααααα---===-+++，选D 。

绝密★启用前2020年深圳市普通高中高三年级线上统一测试(一模)数学（理）试卷学校：___________一、选择题1.已知集合{}{}20,1,2,3,230A B x x x ==--<，则A B =U ( )A. ()1,3-B. (]1,3-C. ()0,3D. (]0,32.设23i32iz +=-，则z 的虚部为( ) A. 1-B.1C. 2-D.23.某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为( )4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若253,9a a ==，则6S 为( ) A.36B.32C.28D.245.若双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线经过点()1,2-，则该双曲线的离心率为( )D.26.已知tan 3α=-，则sin 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A. 35B. 35-C.45 D. 45-7.72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为( )A.168B.84C.42D.218.函数()2ln |e 1|xf x x =--的图像大致为( )A. B.C. D.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为( )B. 32πC. 36πD. 48π10.已知动点M 在以12,F F 为焦点的椭圆2214y x +=上，动点N 在以M 为圆心，半径长为1MF 的圆上，则2NF 的最大值为( ) A.2B.4C.8D.1611.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点,O H 分别是ABC △的外心、垂心，且M 为BC 中点，则( ) A. 33AB AC HM MO +=+u u u r u u u r u u u u u r u u u u r B. 33AB AC HM MO +=-u u u r u u u r u u u u u r u u u u r C. 24AB AC HM MO +=+u u u r u u u r u u u u u u r u u u u r D. 24AB AC HM MO +=-u u u r u u u r u u u u u u r u u u u r12.已知定义在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数π()sin()(0)6f x x ωω=->的最大值为3ω，则正实数ω的取值个数最多为( ) A.4 B.3C.2D.1二、填空题13.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n n S a n =-，则6a =___________．14.很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0,1,2,,9⋅⋅⋅中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”(如0123)，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为___________．15.已知点1(,)2M m m -和点1(,)2N n n -()m n ≠，若线段MN 上的任意一点P 都满足：经过点P 的所有直线中恰好有两条直线与曲线21:(13)2C y x x x =+-≤≤相切，则m n -的最大值为________. 三、解答题16.若,x y 满足约束条件220101x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为 ___________．17.已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC △的面积为S ，222+2a b c S -=. （1）求cos C ；（2）若cos sin ,a B b A c a +== b.18.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形， 点,M N 分别在棱11,C C A A 上，且112,2C M MC A N NA ==.（1）求证：1//NC 平面BMD ； （2）若13,22,3A A AB AD DAB π===∠=，求二面角N BD M --的正弦值.19.已知以F 为焦点的抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)P -，直线l 与C 交于,A B 两点，M 为MB中点，且OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r.（1）当3λ=时，求点M 的坐标；（2）当12OA OB ⋅=uu r uu u r时，求直线l 的方程.20.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：（1）（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95％的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）以这天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？ 附：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.21.已知函数()e ln(1)x f x a x -=-.（其中常数e=2.718 28⋅⋅⋅，是自然对数的底数） （1）若R a ∈，求函数()f x 的极值点个数； （2）若函数()f x 在区间(1,1+e )a -上不单调，证明：111a a a +>+. 22.选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为cos ,sin ,x t y t αα⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （1）求2C 的直角坐标方程；（2）直线1C 与2C 相交于,E F 两个不同的点，点P 的极坐标为π)，若2EF PE PF =+，求直线1C 的普通方程． 23.选修4－5：不等式选讲已知,,a b c 为正数，且满足1a b c ++=证明：（1）1119a b c++≥；（2）8.27 ac bc ab abc++-≤。

绝密★启用前 试卷类型：（A ）2020年深圳市普通高中高三年级线上统一测试文科数学参考答案与评分标准一、选择题1. B2. A3. D4. B5. D6. C7. B 8. B 9. C 10. B 11. B 12. B二、填空题： 13. 79− 14. 4π3 15. 4π 16. 415⎡⎫⎪⎢⎣⎭，. 12.【解析】设()()F x x f x =⋅，则()F x '=()()(1)x xf x f x x e '+=−，因此，(0,1)x ∈，()0F x '>，()F x 递增；(1,)x ∈+∞，()0F x '<，()F x 递减． 因为当0x →时，(0)0F →，且有(2)0F =．所以由()()F x x f x =⋅图象可知，当(0,2)x ∈时，()()0F x xf x =>，此时()0f x >．16.解析：为使2113F F AF PA ≤+恒成立，只需213F F ≥max 1)(AF PA +， 由椭圆的定义可得，a AF AF 221=+， 所以a PF a AF PA AF PA 22221+≤+−=+，当且仅当A F P ,,2三点共线时取等号(2F 在线段PA 上)，又点P 的轨迹是以O 为圆心，半径为a 2的圆，所以圆上点P 到圆内点2F 的最大距离为半径与2OF 的和，即c a PF +≤22， 所以≤+≤+a PF AF PA 221c a a c a +=++422，所以c a c +≥46，a c 45≥，54≥=a c e ， 又1<e ，所以C 的离心率的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡154，．三 、 解答题： 共70分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。

第17 ～2 1 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分．17．（本小题满分12分）已知数列，14a =，1(1)4(1)n n n a na n ++−=+()n *∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 前n 项和为n T ． 解：（1）由1(1)4(1)n n n a na n ++−=+()n *∈N 可得，2128a a −=， ………………………………1分323212a a −=，434316a a −=，……，1(1)4n n na n a n −−−=，(2)n ≥ …………………………2分累加得1812+4n na a n −=++…， ……………………3分 所以(4+4)=4+812+4=2n n n na n ++…， …………………4分 得=22(2)n a n n +≥， ……………………5分由于14a =，所以=22()n a n n *+∈N ． ……………………6分（2）111111()(22)(24)22224n n n b a a n n n n +===−⋅++++，……………………9分 1111111111[()()()]()2466822242424n T n n n =−+−++−=−+++ 816n n =+．………………………………………12分 【命题意图】本题主要考查已知递推公式用累加法求通项，注重思维的完整性和严密性，另外考查裂项相消法求数列的前n 项和．重点考查等价转换思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．18．（本小题满分12分）某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y （单位：万件）与月销售单价x （单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量i y 和月销售单价i x (1,2,3,,6)i =数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：{}n a（1）若用线性回归模型拟合y 与x 之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：ˆ4105yx =−+，ˆ453y x =+和1043ˆ+−=x y ，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；（2）若用c bx ax y ++=2模型拟合y 与x 之间的关系，可得回归方程为25.90875.0375.0ˆ2++−=x x y，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数2R 分别为9702.0和9524.0，请用2R 说明哪个回归模型的拟合效果更好；（3）已知该商品的月销售额为z （单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到01.0）参考数据：91.806547≈.解：（1）已知变量x ，y 具有线性负相关关系，故乙不对，因为5.66987654=+++++=x ，796677479828389=+++++=y 代入甲和丙的回归方程验证甲正确． ……………………4分（2）因为9524.09702.0>且2R 越大，残差平方和越小，模拟的拟合效果越好，所以选用25.90875.0375.0ˆ2++−=x x y更好．（言之有理即可得分）……………7分 （3）由题意可知，x x x yx z 25.90875.0375.0ˆ23++−==，……………………8分 即x x x z 4361878323++−=，则436147892++−='x x z ，……………………9分令0='z ，则976547+−=x （舍去）或976547+=x ，……………………10分 令9765470+=x ，当()0,0x x ∈时，z 单调递增，当()∞+∈0x x 时z 单调递减， 所以当0x x =时，商品的月销售额预报值最大， ……………………11分因为91.806547≈，所以77.9≈x ，所以当77.9≈x 时，商品的月销售额预报值最大． ……………………12分19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为长方形，24AB BC ==，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，将ADF ∆沿AF 折到AD F '∆的位置，将BCE ∆沿CE 折到B CE '∆的位置，使得平面AD F '⊥底面AECF ，平面B CE '⊥底面AECF ，连接B D ''，（1）求证：B D ''//平面AECF ；（2）求三棱锥B 'AD F '−的体积．解：（1）证明：作D M '⊥AF 于点M ，作B N '⊥EC 于点N ，………………1分2AD D F ''==，2B C B E ''==，90AD F CB E ''∠=∠=︒，∴M ，N 为AF ，CE 中点，且D M '=2B N '2分平面AD F '⊥底面AECF ，平面AD F '底面AECF =AF ，D M '⊥AF ，D M '⊂平面AD F ' ∴ D M '⊥底面AECF ，……………………3分同理：B N '⊥底面AECF ，……………4分∴//D M 'B N '，∴四边形D B NM ''为平行四边形,∴//B D MN ''…………………5分B D ''⊄平面AECF ，MN ⊂平面AECF ，∴B D ''//平面AECF ．…………………6分（2）设点B '到平面AD F '的距离为h ，连接NF ．………………………………7分 //D M 'B N '，D M '⊂平面AD F '，B N '⊄平面AD F '∴B N '//平面AD F '，………………………………8分故点B '到平面AD F '的距离与点N 到平面AD F '的距离相等．………………………8分 N 为CE 中点，2EF CE ==，∴NF CE ⊥，//AF CE ，∴NF AF ⊥，…………………9分平面AD F '⊥底面AECF ，平面AD F '底面AECF =AF ，NF ⊂底面AECF ，∴NF ⊥平面AD F '，………………………10分∴点N 到平面AD F '的距离为2NF∴点B '到平面AD F '的距离2h 11分12222AD F S '∆=⨯⨯=， ∴三棱锥B 'AD F '−的体积112222333B AD F AD F V S h '''−∆=⨯=⨯．………………12分 20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，过点)0,2(F 的动圆恒与y 轴相切,FP 为该圆的直径，设点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点)4,2(A 的任意直线l 与曲线C 交于点M ,B 为AM 的中点，过点B 作x 轴的平行线交曲线C 于点D ,B 关于点D 的对称点为N ，除M 以外，直线MN 与C 是否有其它公共点？说明理由．【解析】（1）如图，过P 作y 轴的垂线，交y 轴于点H ，交直线2−=x 于点1P ，--------------------1分设动圆圆心为E ，半径为r ，则E 到y 轴的距离为r ，在梯形OFPH 中，由中位线性质得，22−=r PH ，----------------------2分 所以r r PP 22221=+−=，又r PF 2=， 所以1PP PF =，--------------------3分由抛物线的定义知，点P 是以)0,2(F 为焦点，直线2−=x 为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为x y 82=．------------------4分(2) 由)4,2(A 得，A 在曲线C 上，(i)当l 的斜率存在时，设)2)(,(111≠x y x M ，则1218x y =，AM 的中点)24,22(11++y x B ，即)22,12(11++y x B ，------------------5分 在方程x y 82=中令221+=y y 得21)22(81+=y x ， 所以)22,)22(81(121++y y D ．----------------------------6分 设),(22y x N ，由中点坐标公式22)22(411212+−+=x y x ， 又1218x y =，代入化简得212y x =， 所以)22,2(11+y y N ，--------------------------------7分 直线MN 的斜率为112111111428222)22(y y y y y x y y =−−=−+−， 直线MN 的方程为111)(4y x x y y +−=①， 将8211y x =代入①式化简得2411y x y y +=②，------------------------8分 将82y x =代入②式并整理得022112=+−y y y y ③， ③式判别式04)2(2121=−−=∆y y ，-----------------------------9分所以直线MN 与抛物线C 相切，所以除M 以外，直线MN 与C 没有其它公共点．--------------------------10分(ii)当l 的斜率不存在时，)4,2(−M ，)0,2(B ，)0,0(D ，)0,2(−N ，直线MN 方程为2−−=x y ，代入x y 82=得0442=+−x x ，-------------------11分 上式方程判别式0=∆，除M 以外，直线MN 与C 没有其它公共点．综上，除M 以外，直线MN 与C 没有其它公共点．-----------------------12分【命题意图】本题以直线与圆、直线与抛物线为载体，利用直线与圆的位置关系等知识导出抛物线的方程，借助几何关系，利用方程思想解决问题，主要考察抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系和中点坐标公式等知识，考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养及思辨能力．21．（本小题满分12分）已知函数()()()21ln 1 1.f x x x ax a x =−++−−（1）当1a =−时，判断函数的单调性；（2）讨论()f x 零点的个数.解：（1）因为1a =−，所以()()()()21ln 211ln 1f x x x x x x x x =−−+−=−−+ 又()1ln 23f x x x x '=−−+，设()1ln 23h x x x x=−−+， -----------------2分 又()()()22211112x x h x x x x +−'=−+=，所以()h x 在()0,1为单调递增；在()1,+∞为单调递减， -----------------3分 所以()h x 的最大值为()10h =，所以()0f x '≤，所以()f x 在()0,+∞单调递减. -----------------4分（2）因为()()()1ln 1f x x x ax =−++所以1x =是()f x 一个零点设()ln 1g x x ax =++，所以()f x 的零点个数等价于()g x 中不等于1的零点个数再加上1. -----------------5分 （i ）当1a =−时，由（1）可知，()f x 单调递减，又1x =是()f x 零点，所以此时()f x 有且只有一个零点； -----------------6分（ii ）当0a ≥时，()g x 单调递增，又()10,g >()()()22131ln 1111x ax a x g x x ax ax x x −++−=++<++=++ ()01x << 又()()()()()2231431411ax a x a x a x a x x ++−<+++−=+−+⎡⎤⎣⎦ 所以104g a ⎛⎫< ⎪+⎝⎭，综上可知()g x 在()0,+∞有一个零点且()10g ≠，所以此时()f x 有两个零点； -----------------8分（iii ）又()1ax g x x+'=，所以当10a −<<，()g x 在10,a ⎛⎫− ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭单调递减. ()g x 的最大值为11ln 0g a a ⎛⎫⎛⎫−=−> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又()()()212111011x x g x ax x x −−<++<+=++ 103g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，又10a g e e⎛⎫=< ⎪⎝⎭ 所以()g x 在10,a ⎛⎫− ⎪⎝⎭有一个零点，在1,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭也有一个零点且()10g ≠. 所以此时()f x 共有3个零点； -----------------10分 （iv ）又()1ax g x x+'=，所以当1a <−时， ()g x 在10,a ⎛⎫− ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭单调递减. ()g x 的最大值为11ln 0g a a ⎛⎫⎛⎫−=−< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x 没有零点，此时()f x 共有1个零点.综上所述，当1a ≤−时，()f x 共有1个零点；当10a −<<时，()f x 共有3个零点；当0a ≥时，()f x 有两个零点. -----------------12分（二）选考题：共 10 分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+−=,sin ,cos 32ααt y t x （t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）直线1C 与2C 相交于F E ,两个不同的点，点P 的极坐标为π)，若PF PE EF +=2，求直线1C 的普通方程．解：（1）由题意得，2C 的极坐标方程为θρsin 4=，所以θρρsin 42=，………………1分又θρθρsin ,cos ==y x ，………………2分代入上式化简可得，0422=−+y y x ，………………3分所以2C 的直角坐标方程4)2(22=−+y x ．………………4分（2）易得点P 的直角坐标为)0,32(−， 将⎪⎩⎪⎨⎧=+−=,sin ,cos 32ααt y t x 代入2C 的直角坐标方程，可得 012)sin 4cos 34(2=++−t t αα，………………5分22π4sin )48=[8sin()]4803ααα∆=+−+−>，解得πsin()3α+>πsin()3α+<不难知道α必为锐角，故πsin()3α+>， 所以ππ2π333α<+<，即π03α<<,………………6分 设这个方程的两个实数根分别为1t ，2t ，则ααsin 4cos 3421+=+t t ，1221=⋅t t ，………………7分所以1t 与2t 同号，由参数t 的几何意义可得，1212π8sin()3PE PF t t t t α+=+=+=+，12EF t t =−==8分所以π28sin()3α⨯+，两边平方化简并解得πsin()13α+=，所以π2π6k α=+，k ∈Z , 因为π03α<<，所以π6α=，………………9分 所以直线1C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+−=,21,2332t y t x 消去参数t ，可得直线1C 的普通方程为0323=+−y x ．………………10分【命题意图】本题主要考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义和三角函数等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养，考察考生的化归与转化能力．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知,,a b c 为正数，且满足 1.a b c ++= 证明：（1）1119a b c++≥； （2）8.27ac bc ab abc ++−≤证明：（1）因为()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 3b a c a c b a b a c b c=++++++3≥+ （当且仅当13a b c ===时，等号成立）. ………………5分 （2）（证法一）因为,,a b c 为正数，且满足1a b c ++=，所以1c a b =−−，且10a −>，10b −>，10c −>，所以ac bc ab abc ++−()a b ab c ab =+−+()1a b ab a b ab =+−−−+（）深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 11 页（共11页） (1)(1)()b a a b =−−+(1)(1)(1)a b c =−−−3(1)(1)(1)8327a b c −+−+−⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦， 所以8.27ac bc ab abc ++−≤ （当且仅当13a b c ===时，等号成立）. ………………10分 （证法二）因为,,a b c 为正数，且满足1a b c ++=，所以1c a b =−−，且10a −>，10b −>，10c −>，()1ac bc ab abc a b c ac bc ab abc ++−=−+++++−()()()()1111a b a c a bc a =−+−+−+−()()11a b c bc =−−++⎡⎤⎣⎦()()()111a b c =−−− ()338327a b c −++⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦ 所以8.27ac bc ab abc ++−≤ （当且仅当13a b c ===时，等号成立）. ………………10分 【命题意图】本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式（三元均值不等式）的证明，涉及代数恒等变形等数学运算、充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力的考察．。

2020年高考模拟高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6}，则集合A∩B的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个2．若复数z＝的实部为0，其中a为实数，则|z|＝（）A．2B．C．1D．3．已知向量，，，且实数k＞0，若A、B、C三点共线，则k＝（）A．0B．1C．2D．34．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子．假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N*），其中a1＝1，a2＝1．若从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（）A．B．C．D．5．设，，c＝log0.3，则下列正确的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c6．如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值为（）A．2和6B．4和6C．2和7D．4和77．若双曲线（a＞0，b＞0）的焦距为，且渐近线经过点（1，﹣2），则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个长方体切割而成的三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．12B．16C．24D．329．已知函数的最大值、最小值分别为3和﹣1，关于函数f （x）有如下四个结论：①A＝2，b＝1；②函数f（x）的图象C关于直线对称；③函数f（x）的图象C关于点对称；④函数f（x）在区间内是减函数．其中，正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．410．函数的图象大致为（）A．B．C．D．11．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，BB1和B1C1的中点分别为E、F，则AE与CF夹角的余弦值为（）A．B．C．D．12．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若xf'（x）+f（x）＝（1﹣x）e x，且f（2）＝0，则f（x）＞0的解集为（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，2）D．（1，4）二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sin（α+）＝，则sin2α＝．14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）（sin A﹣sin B）＝（a﹣c）sin C，b＝2，则△ABC的外接圆面积为．15．已知一圆柱内接于一个半径为的球内，则该圆柱的最大体积为．16．设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，O为坐标原点，点P满足|OP|＝2a，点A是椭圆C上的动点，且|PA|+|AF1|≤3|F1F2|恒成立，则椭圆C离心率的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}，a1＝4，（n+1）a n+1﹣na n＝4（n+1）（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n}前n项和为T n．18．某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y（单位：万件）与月销售单价x（单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量y i和月销售单价x i（i ＝1，2，3，…，6）数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：月销售单价x（元/件）456789月销售量y（万件）898382797467（1）若用线性回归模型拟合y与x之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：＝﹣4x+105，＝4x+53和＝﹣3x+104，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；（2）若用y＝ax2+bx+c模型拟合y与x之间的关系，可得回归方程为+0.875x+90.25，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数R2分别为0.9702和0.9524，请用R2说明哪个回归模型的拟合效果更好；（3）已知该商品的月销售额为z（单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到0.01）参考数据：≈80.91．19．如图，四边形ABCD为长方形，AB＝2BC＝4，E、F分别为AB、CD的中点，将△ADF 沿AF折到△AD'F的位置，将△BCE沿CE折到△B'CE的位置，使得平面AD'F⊥底面AECF，平面B'CE⊥底面AECF，连接B'D'．（1）求证：B'D'∥平面AECF；（2）求三棱锥B'﹣AD'F的体积．20．在平面直角坐标系xOy中，过点F（2，0）的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径，设点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点A（2，4）的任意直线l与曲线C交于点M，B为AM的中点，过点B作x 轴的平行线交曲线C于点D，B关于点D的对称点为N，除M以外，直线MN与C是否有其它公共点？说明理由．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx+ax2+（1﹣a）x﹣1．（1）当a＝﹣1时，判断函数的单调性；（2）讨论f（x）零点的个数．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求C2的直角坐标方程；（2）直线C1与C2相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为，若2|EF|＝|PE|+|PF|，求直线C1的普通方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1．证明：（1）≥9；（2）ac+bc+ab﹣abc≤．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6}，则集合A∩B的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【分析】求出集合的交集，写出子集，判断即可．解：已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6}，则集合A∩B＝{2，4}则子集共有{2}，{4}，{2，4}，∅，4个故选：B．2．若复数z＝的实部为0，其中a为实数，则|z|＝（）A．2B．C．1D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0求得a值，进一步得到z，再由复数模的计算公式求解．解：∵z＝＝的实部为0，∴a＝2，则z＝2i，则|z|＝2．故选：A．3．已知向量，，，且实数k＞0，若A、B、C三点共线，则k＝（）A．0B．1C．2D．3【分析】求出＝＝（2，2﹣k），＝＝（k+1，﹣2），由A、B、C 三点共线，得∥，由此能求出k．解：∵向量，，，且实数k＞0，＝＝（2，2﹣k），＝＝（k+1，﹣2），∵A、B、C三点共线，∴∥，∴，由k＞0，解得k＝3．故选：D．4．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子．假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N*），其中a1＝1，a2＝1．若从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（）A．B．C．D．【分析】从斐波那契数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，可得：每三个数中有应该偶数，即可得出结论．解：从斐波那契数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，可得：每三个数中有一个偶数，可得：从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率＝．故选：B．5．设，，c＝log0.3，则下列正确的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c【分析】利用指数函数对数函数的单调性即可得出．解：∵b＞1＞a＞0＞c，∴b＞a＞c，故选：D．6．如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值为（）A．2和6B．4和6C．2和7D．4和7【分析】利用中位数和平均值的计算公式可得答案．解：由所有选项可知x＞0，y＜9，再由茎叶图可知：甲队的数据中位数为：＝18，乙队的数据中位数为：，若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，即＝16，解得y＝7，＝（7+12+16+20+20+x+31），乙＝（8+9+19+17+27+28），甲＝乙，解得x＝2，甲故选：C．7．若双曲线（a＞0，b＞0）的焦距为，且渐近线经过点（1，﹣2），则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【分析】依题意可得a2+b2＝c2＝5，b＝2a．解得，即可求解．解：依题意可得a2+b2＝c2＝5，…①．∵渐近线经过点（1，﹣2），∴（1，﹣2）在直线上．∴b＝2a…②．由①②可得，则此双曲线的方程为：．故选：B．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个长方体切割而成的三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．12B．16C．24D．32【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：请旋转一下角度再看所以V＝3×4×4﹣4×＝16．故选：B．9．已知函数的最大值、最小值分别为3和﹣1，关于函数f （x）有如下四个结论：①A＝2，b＝1；②函数f（x）的图象C关于直线对称；③函数f（x）的图象C关于点对称；④函数f（x）在区间内是减函数．其中，正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由条件利用正弦函数的最值，求得A和b的值．结合正弦函数性质对命题逐一判断即可．解：由于函数f（x）＝A sin（x+）+b的最大值为3，最小值为﹣1，可得；∴A＝2，b＝1，故f（x）＝2sin（x+）+1．故①正确；直线代入x+＝﹣，故函数f（x）的图象C关于直线对称；②正确；点代入，得x+＝π；故函数f（x）的图象C关于点对称；③正确；当x∈时，x+∈（，）．故函数f（x）在区间内是减函数．④正确；∴正确的结论个数是：4个；故选：D．10．函数的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解．解：，∴函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除AD；当x＝π时，，故排除C．故选：B．11．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，BB1和B1C1的中点分别为E、F，则AE与CF夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，可以点B为原点，直线BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后可求出，然后可求出，从而可得出AE与CF夹角的余弦值．解：分别以直线BA，BC，BB1为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：A（2，0，0），E（0，0，1），C（0，2，0），F（0，1，2），∴，∴＝，∴AE与CF夹角的余弦值为．故选：B．12．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若xf'（x）+f（x）＝（1﹣x）e x，且f（2）＝0，则f（x）＞0的解集为（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，2）D．（1，4）【分析】令g（x）＝xf（x），结合已知可求函数g（x）的单调性，然后结合特殊点g （0）＝g（2）＝0及单项即可求解．解：令g（x）＝xf（x），则g′（x）＝xf′（x）+f（x）＝（1﹣x）e x，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，函数单调递减，又因为f（2）＝0，所以g（2）＝2f（2）＝0，g（0）＝0，由f（x）＞0可得，xf（x）＞0即g（x）＞0，所以0＜x＜2．故选：B．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sin（α+）＝，则sin2α＝﹣．【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式把要求的式子化为2﹣1，运算求得结果．解：∵，∴sin2α＝﹣cos（2α+）＝﹣cos2（α+）＝2﹣1＝﹣，故答案为﹣．14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）（sin A﹣sin B）＝（a﹣c）sin C，b＝2，则△ABC的外接圆面积为．【分析】△ABC中，由条件利用正弦定理可得a2+c2﹣b2＝a，求得cos B＝的值，即可求得B的值．利用正弦定理，圆的面积公式即可求解．解：∵△ABC中，由（a+b）（sin A﹣sin B）﹣（a﹣c）sin C＝0，利用正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣c）c＝0，即a2+c2﹣b2＝a，∴cos B＝＝，∴B＝．∵b＝2，∴设△ABC的外接圆半径为R，可得2R＝＝，可得R＝，可得△ABC的外接圆面积S＝πR2＝．故答案为：．15．已知一圆柱内接于一个半径为的球内，则该圆柱的最大体积为4π．【分析】作出轴截面，设圆柱体的底面半径为r，进而根据截面圆半径、球半径、球心距满足勾股定理，我们可以用R与r表示出圆柱的高，进而得到其体积的表达式，然后结合基本不等式，即可得到圆柱体积的最大和此时底面半径的值．解：作出轴截面如右．设圆柱体的底面半径为r，则球心到底面的距离（即圆柱高的一半）为d，则d＝，则圆柱的高为h＝2，则圆柱的体积V＝πr2h＝2πr2＝πr2＝π≤π＝4π，当且仅当r2＝6﹣2r2，即r＝时，圆柱的体积取最大值，且为4π．故答案为：4π．16．设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，O为坐标原点，点P满足|OP|＝2a，点A是椭圆C上的动点，且|PA|+|AF1|≤3|F1F2|恒成立，则椭圆C离心率的取值范围是[，1）．【分析】设P的坐标，由题意可得|PF1|≤|PA|+|AF1，所以由|PA|+|AF1|≤3|F1F2|恒成立可得|PF1|≤3|F1F2|，将P的坐标代入即P的横坐标的方程可得离心率的取值范围．解：因为|OP|＝2a，所以P在以原点为圆心，以2a为半径的圆上，设P坐标为（x，y），即P满足的方程为：x2+y2＝4a2，由题意可|PF1|≤|PA|+|AF1，所以由|PA|+|AF1|≤3|F1F2|恒成立可得|PF1|≤3|F1F2|，可得（x+c）2+y2≤9×4c2，即4a2+2cx+c2≤36c2恒成立，﹣2a≤x≤2a，所以4a2+4ac+c2≤35c2，整理可得：35e2﹣4e﹣4≥0，解得e，又因为椭圆的离心率e＜1故答案为：[，1）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}，a1＝4，（n+1）a n+1﹣na n＝4（n+1）（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n}前n项和为T n．【分析】本题第（1）题根据递推式可用累加法求出数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后用裂项相消法计算出前n项和T n．解：（1）依题意，由（n+1）a n+1﹣na n＝4（n+1）（n∈N*），可得2a2﹣a1＝8，3a3﹣2a2＝12，•••na n﹣（n﹣1）a n﹣1＝4n．各项相加，可得na n﹣a1＝8+12+…+4n，∴na n＝4+8+12+…+4n＝，∴a n＝2n+2，n∈N*．（2）由（1）知，b n＝＝＝（﹣）．故T n＝b1+b2+…+b n＝（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝．18．某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y（单位：万件）与月销售单价x（单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量y i和月销售单价x i（i ＝1，2，3，…，6）数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：月销售单价x（元/件）456789月销售量y（万件）898382797467（1）若用线性回归模型拟合y与x之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：＝﹣4x+105，＝4x+53和＝﹣3x+104，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；（2）若用y＝ax2+bx+c模型拟合y与x之间的关系，可得回归方程为+0.875x+90.25，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数R2分别为0.9702和0.9524，请用R2说明哪个回归模型的拟合效果更好；（3）已知该商品的月销售额为z（单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到0.01）参考数据：≈80.91．【分析】（1）由变量x，y具有负相关关系，说明乙不对，求出样本点的中心坐标，验证甲与丙得答案；（2）由R2越大，残差平方和越小，拟合效果越好，可得选用+0.875x+90.25更好；（3）求出z关于x的函数关系式，再由导数求最值．解：（1）已知变量x，y具有负相关关系，故乙不对．∵，，代入甲和丙的回归方程验证甲正确；（2）∵0.9702＞0.9524，且R2越大，残差平方和越小，拟合效果越好，∴选用+0.875x+90.25更好；（3）由题意可知，，即，则z′＝．令z′＝0，解得x＝（舍去）或x＝．令，当x∈（0，x0）时，z单调递增，当x∈（x0，+∞）时，z单调递减．∴当x＝x0时，商品的月销售额预报值最大，∵，∴x≈9.77．∴当x≈9.77时，商品的月销售额最大．19．如图，四边形ABCD为长方形，AB＝2BC＝4，E、F分别为AB、CD的中点，将△ADF 沿AF折到△AD'F的位置，将△BCE沿CE折到△B'CE的位置，使得平面AD'F⊥底面AECF，平面B'CE⊥底面AECF，连接B'D'．（1）求证：B'D'∥平面AECF；（2）求三棱锥B'﹣AD'F的体积．【分析】（1）作D′M⊥AF于M，作B′N⊥EC于点N，从而M，N为AF，CE的中点，且，推导出D′M⊥底面AECF，B′N⊥底面AECF，D′M∥B′N，四边形D′B′NM是平行四边形，B′D′∥MN，由此能证明B′D′∥平面AECF．（2）设点B′到平面AD’F的距离为h，连结NF，B′到平面AD′F的距离与点N 到平面AD′F的距离相等，求出点B′到平面AD′F的距离h＝，由此能求出三棱锥B'﹣AD'F的体积．解：（1）证明：作D′M⊥AF于M，作B′N⊥EC于点N，∵AD′＝D′F＝2，B′C＝B′E＝2，∠AD′F＝∠CB′E＝90°，∴M，N为AF，CE的中点，且，∵平面AD′F⊥底面AECF，平面AD′F∩底面AECF＝AF，D′M⊥AF，D′M⊂平面‘F，∴D′M⊥底面AECF，同理：B′N⊥底面AECF，∴D′M∥B′N，∴四边形D′B′NM是平行四边形，∴B′D′∥MN，∵B′D′⊄平面AECF，MN⊂平面AECF，∴B′D′∥平面AECF．（2）解：设点B′到平面AD’F的距离为h，连结NF，∵D′M∥B′N，D′M⊂平面AD′F，B′N⊄平面AD′F，∴B′N∥平面AD′F，∴B′到平面AD′F的距离与点N到平面AD′F的距离相等，∵N为CE中点，EF＝2，∴NF⊥CE，∵AF∥CE，∴NF⊥AF，∵平面AD′F⊥底面AECF＝AF，NF⊂底面AECF，∴NF⊥平面AD′F，∴点N到平面AD′F的距离为NF＝，∴点B′到平面AD′F的距离h＝，∵S△AD′F＝，∴三棱锥B'﹣AD'F的体积V B′﹣AD′F＝＝＝．20．在平面直角坐标系xOy中，过点F（2，0）的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径，设点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点A（2，4）的任意直线l与曲线C交于点M，B为AM的中点，过点B作x 轴的平行线交曲线C于点D，B关于点D的对称点为N，除M以外，直线MN与C是否有其它公共点？说明理由．【分析】（1）设P的坐标，过P做y轴的垂线交于点H，及与直线x＝﹣2交于一点，得E到y轴的距离为半径r，又是梯形的中位线可得P到定点F的距离等于到定直线x ＝﹣2的距离，由抛物线的定义可得，P的轨迹为抛物线，并且焦点F（2，0），准线为x＝﹣2的抛物线；（2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论，设M的坐标，可得中点B的坐标，由题意可得D的坐标，进而可得N的坐标，求出直线MN，与抛物线方程联立，由判别式为0可得直线除M点外，没有其他的公共点．解：（1）如图，过P作y轴的垂线，垂足为H，交直线x＝﹣2于P'，设动圆的圆心为E，半径为r，则E到y轴的距离为r，在梯形OFPH中，由中位线性质可得PH＝2r﹣2，所以|PP'|＝2r﹣2+2＝2r，又|PF|＝2r，所以|PF|＝|PP'|，由抛物线的定义知，点P是以F（2，0）为焦点，以直线x＝﹣2为准线的抛物线，所以曲线C的方程为：y2＝8x；（2）由A（2，4）可得A在求出C上，（i当直线l的斜率存在时，设M（x1，y1），N（x2，y2）（x1≠2），则y12＝8x1，AM的中点B（，），即B（+1，+2），在方程y2＝8x中，令y＝+2，得x＝（+2）2，所以D（，），设N（x2，y2），由中点坐标公式可得x2＝（+2）2﹣，又y12＝8x1，代入化简x2＝，所以N（，+2），直线MN的斜率为：＝，所以直线MN的方程为：y＝（x﹣x1）+y1①，将x1＝代入①化简可得：y＝x+②，将x＝代入②式整理可得y2﹣2y1y+y12＝0，△＝4y12﹣4y12＝0，所以直线MN与抛物线相切，所以除M点外，直线MN与C没有其他的公共点．（ii）当直线MN的斜率不存在时．M（2，﹣4），B（2，0），D（0，0），N（﹣2，0），直线MN的方程为：y＝﹣x﹣2代入抛物线的方程可得x2﹣4x+4＝0，△＝42﹣4×4＝0，所以除M点外，直线MN与C没有其他的公共点．综上所述，除M点外直线MN与C没有其他的公共点．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx+ax2+（1﹣a）x﹣1．（1）当a＝﹣1时，判断函数的单调性；（2）讨论f（x）零点的个数．【分析】（1）把a＝﹣1代入后对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调性；（2）先对函数求导，然后结合导可判断函数的单调性，然后结合函数的性质及零点判定定理即可求解．解：（1）a＝﹣1时，f（x）＝（x﹣1）lnx﹣x2+2x﹣1，，令h（x）＝，则＝，易得函数h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，故h（x）≤h（1）＝0即f′（x）≤0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；（2）由f（x）＝（x﹣1）lnx+ax2+（1﹣a）x﹣1可得f（1）＝0，即x＝1为函数f（x）的一个零点，设g（x）＝lnx+ax+1，则f（x）的零点个数即为g（x）的不为1的零点个数加上1，（i）当a＝﹣1时，由（1）知f（x）单调递减，且x＝1是f（x）的零点，故f（x）有且只有1个零点1；（ii）当a≥0时，g（x）单调递增且g（1）＞0，g（x）＝lnx+ax+1＜＝，0＜x＜1，因为ax2+（a+3）x﹣1＜（a+4）x2+（a+3）x﹣1＝[（a+4）x﹣1]（x+1），所以g（）＜0，综上可知，g（x）在（0，+∞）上有1个零点且g（1）＝9，所以f（x）有2个零点（iii）又，所以当﹣1＜a＜0时，g（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣）上单调递减，故g（x）的最大值g（﹣）＝ln（﹣）＞0，又g（x）＜＝0，且g（）＜0，g（）＝＜0，所以g（x）在（0，﹣）上有1个零点，在（﹣）上有1个零点且x＝0也是零点，此时f（x）共有3个零点，（iv）又，所以当a＜﹣1时，g（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣）上单调递减，故g（x）的最大值g（﹣）＝ln（﹣）＜0，故g（x）没有零点，此时f（x）只有1个零点，综上可得，当a＜﹣1时，f（x）有1个零点；当﹣1＜a＜0时，f（x）有3个零点，当a≥0时，f（x）有2个零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求C2的直角坐标方程；（2）直线C1与C2相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为，若2|EF|＝|PE|+|PF|，求直线C1的普通方程．【分析】（1）曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．即ρ2＝4ρsinθ，利用互化公式可得普通方程．（2）点P的极坐标为，可得直角坐标为（﹣2，0）．把直线C1的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），代入C2方程可得：t2﹣（4cosα+4sinα）t+12＝0，△＞0，由α为锐角．可得：sin（α+）＞，解得：0＜α＜．利用根与系数的关系可得：|EF|＝＝4，|PE|+|PF|＝|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝8|sin（α+）|，解出α即可得出．解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．即ρ2＝4ρsinθ，可得普通方程：x2+y2＝4y．（2）点P的极坐标为，可得直角坐标为（﹣2，0）．把直线C1的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），代入C2方程可得：t2﹣（4cosα+4sinα）t+12＝0，△＝﹣48＞0，可得：sin（α+）＞，或sin（α+）＜﹣，由α为锐角．可得：sin（α+）＞，解得：0＜α＜．则t1+t2＝4cosα+4sinα，t1t2＝12．∴|EF|＝＝4，|PE|+|PF|＝|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝8|sin（α+）|，∴8＝8|sin（α+）|，∴化为：sin（α+）＝1，∴α＝+2kπ，k∈Z．α满足0＜α＜．可得α＝．∴直线C1的参数方程为：，可得普通方程：x﹣y+2＝0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1．证明：（1）≥9；（2）ac+bc+ab﹣abc≤．【分析】（1）利用乘一法，结合基本不等式即可求证；（2）ac+bc+ab﹣abc）＝（1﹣a）（1﹣b）（1﹣c），再利用基本不等式即可求证．【解答】证明：（1）＝，当且仅当时，等号成立；（2）∵a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1，∴c＝1﹣a﹣b，1﹣a＞0，1﹣b＞0，1﹣c＞0，∴ac+bc+ab﹣abc＝（a+b﹣ab）c+ab＝（a+b﹣ab）（1﹣a﹣b）+ab＝（b﹣1）（a﹣1）（a+b）＝（1﹣a）（1﹣b）（1﹣c），∴ac+bc+ab﹣abc≤，当且仅当时，等号成立．。