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七宝自招数学试题基本由四个方向组成一、重视知识点的灵活运用。
比如这道分母有理化的计算题，同学可以尝试做一下。
大多数同学都会把分子、分母同时乘以，这样去做未尝不可，但是计算过程极其复杂。
在七宝自招数学共60分的试卷中，这道题占5分，换言之如果付出十多分钟的计算时间显然得不偿失。
那么，更好、更巧妙的方法是什么呢？二、重视知识面的考察。
二期课改之后，初中课本中大量知识点被删除，原先很多初中核心知识点被标上“星号”从而移除出考纲，但是自主招生考试对于这些“纲外”知识一并纳入，都会考到。
此外，包括部分高中知识点，如基本不等式、三角函数、等差数列求和公式，甚至“更难”的高斯方程，这些考点在近年七宝的自招中都出现过。
既然有过先例，那么对于上述知识，凡是想考七宝的同学，必须全力攻克。
三、重视数学思想方法考察。
毫无疑问，数学思想方法几乎是每一个高中生学好数学的必备钥匙。
那么，高中老师以它作为侧重点来考核初中学生就再自然不过了。
尤其是分类讨论、数形结合、函数与方程、换元化归，这四大思想几乎是所有学校的必考内容。
当然，七宝中学也有所谓个性存在。
比如，极限思想。
这是一道典型的极限思想考察题。
无数个根号三，根号里面套根号，初中学生几乎没有学过类似的解题工具。
如果同学真的很有能力，可以把上面这道题轻松解决的话，不妨来看看下面这道题。
例题6和例题5相比，虽然形式上有相似的地方，但是难度上提升了一大截。
初二同学可能觉得做起来很困难，其实都是正常的反应。
但是必须要明确的是，如果想考七宝，那么未来大半年时间内一定要在这些领域里下足功夫。
毕竟，机会青睐那些有准备的人。
四、重视能力的考察。
对于这一类型的要求，最明显的就是近年自招考场上出现了大量所谓“新概念题”，这是未来高考一个鲜明的特征，重视同学的能力迁移，以及对于新知识点所谓“现学现卖”的能力。
比如七宝中学连续几年都考了“高斯方程”，这个知识点不仅初中没学过，就连高中课本里也没有，它是大学高等数学的内容。
2022-2023年七宝中学高二上开学考一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1. 已知向量()3,5,1a =，()2,2,3b =，()4,1,3c =--，则向量234a b c -+的坐标为_________.2. 一个正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的体积为_________.3. ()1,1,3a =-，()1,4,2b =--，()1,5,c x =，若a ，b ，c 三向量共面，则实数x =_________.4. 如果平面α外有两点A 、B 到平面α的距离相等，则直线AB 与平面α的位置关系为_________.5. 一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的表面积与球的表面积之比为_________.6. 如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为1的正方形，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，12AA =，则线段1AC 的长为_________.7. 已知四面体ABCD 中，E 、F 、G 分别为BC 、AD 、BD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3π，则FGE ∠=_________. 8. 圆锥P O -轴截面的顶角为34π，母线长为2，则过任意两条母线的截面面积的取值范围为_________.9. 四面体OABC ，E 、F 、G 分别为OA 、OC 、BC 中点，则GE GF ⋅=_________.10. 设空间向量i 、j 、k 是一组单位正交基底，若空间向量a 满足对任意x 、y ，a xi y j --的最小值是2，则3a k +的最小值是_________.11. 正方体中1111ABCD A B C D -，过1D 作直线l ，若直线l 与平面ABCD 中的直线所成角的最小值为6π，且直线l 与直线1BC 所成角为4π，则满足条件的直线l 的条数为_________. 12. 已知四边形ABCD 为矩形，24AB AD ==，M 为AB 的中点，将ADM △沿DM 折起，得到四棱锥1A DMBC -，设1A C 的中点为N ，在翻折过程中，得到如下有三个命题：①BN ∥平面1A DM ；②三棱锥N DMC -；③在翻折过程中，存在某个位置，使得1DM AC ⊥.其中正确命题的序号为_________. 二、选择题（本大题共4题，满分20分）13. 已知空间中三点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，则下列说法错误的是（ ）A. AB 与AC 不是共线向量B. 与AB 同向的单位向量是⎫⎪⎪⎝⎭C. AB 和BCD. 平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-14. 已知直二面角l αβ--，直线a 在平面α上，直线b 在平面β上，且直线a 与直线l 不垂直，直线b 与直线l 不垂直，则以下判断正确的是（ ） A. a 与b 可能垂直，但不可能平行 B. a 与b 可能垂直，也可能平行 C. a 与b 不可能垂直，但可能平行D. a 与b 不可能垂直，也不可能平行15. 三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为1S ，2S ，3S ，则三棱锥的体积是（ ）A.B.C.D.16. 已知两个平面α、β和三条直线m 、a 、b ，若m αβ=，a α⊂且a m ⊥，b β⊂，设α和β所成的一个二面角的大小为1θ，直线a 和平面β所成的角的大小为2θ，直线a 、b 所成的角的大小为3θ，则（ ） A. 123θθθ=≥B. 312θθθ≥=C. 13θθ≥，23θθ≥D. 12θθ≥，32θθ≥三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，M 为AB 的中点.（1）证明：1BC ∥平面1ACM ； （2）求点1B 到平面1ACM 的距离. 18. 如图，S 为圆锥的顶点，O 为底面圆心，点A 、B 在底面圆周上，且60AOB ∠=︒，点C 、D 分别为SB 、OB 的中点.（1）求证：AC OB ⊥；（2）若圆锥的底面半径为2，高为4，求直线AC 与平面SOA 所成的角的正弦值.19. 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为h 米，盖子边长为a 米.（1）求a 关于h 的函数解析式；（2）设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值（求解本题时，不计容器的厚度）.20. 如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，1ACBD O =，ACMN G =.沿MN 将CMN △翻折到PMN △的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ABMND -.（1）在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；（2）当四棱锥P MNDB -体积最大时，求直线PB 和平面MNDB 所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，在线段PA 上是否存在一点Q ，使得二面角Q MN P --余弦值的绝对值为10？若存在，试确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由.21. 已知四棱锥T ABCD -的底面是平行四边形，平面α与直线AD 、TA 、TC 分别交于点P 、Q 、R 且AP TQ CRx AD TA CT===，点M 在直线TB 上，N 为CD 的中点，且直线MN ∥平面α.（1）设TA a =，TB b =，TC c =，试用底{},,a b c 表示向量TD ；（2）证明：四面体TABC 中至少存在一个顶点，从其出发的三条棱能够组成一个三角形； （3）证明：对所有满足条件的平面α，点M都落在某一条长为2的线段上.2022-2023年七宝中学高二上开学考参考答案一、填空题1.【解析】向量()()()()23423,5,132,2,344,1,316,0,19a b c -+=-+--=-.2.【解析】由于该四棱柱为正四棱柱，所以底面为边长为2的正方形， 所以22416V =⨯⨯=.3.【解析】()1,1,3a =-，()1,4,2b =--，()1,5,c x =，若a ，b ，c 三向量共面，设c ma nb =+， 即()()()()1,5,,,3,4,2,4,32x m m m n n n m n n m m n =-+--=---，所以15432m n n m x m n =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得325m n x =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以5x =.4.【解析】①当A 、B 两点在平面α的同侧时，由于A 、B 到α的距离相等， 所以直线AB 与平面α平行；②当A ，B 两点在平面α的两侧时，并且AB 的中点C 在平面α内时，A 、B 到α的距离相等，此时直线AB 与平面α相交，综上所述，直线与平面平行或直线与平面相交.5.【解析】设球的半径为R ，则圆柱的表面积2212226S R R R R πππ=+⋅=，球的表面积224S R π=，所以12:3:2S S =.6.【解析】()()222111AC AB BC CC AB AD AA =++=++222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅114212cos60212cos6010=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯=︒⨯，所以1AC =7.【答案】3π或23π8.【答案】(]0,29.【解析】因为四面体OABC ，所以四面体OABC 是正四面体，OA ，OB ，OC 不共面，如图，2cos601OA OB OC OB ⋅=⋅=⨯︒=，因为E 、F 、G 分别为OA 、OC 、BC 中点， 所以1122GE GC CO OE BC OC OA =++=-+111222OA OB OC =--， 12GF OB =-，所以()14GE GF OA OB OC OB ⋅=-++⋅()21142OA OB OB OC OB =-⋅++⋅=.10.【解析】以i ，j 方向为x 、y 轴，垂直下i ，j 方向为z 轴，建立空间真角坐标系， 则()1,0,0i =，()0,1,0j =，()0,0,1k =， 设(),,a r s t =，则()a xi y j r x --=-当r x =，s y =时，a xi y j --的最小值是2，所以2t =±， 取(),,2a x y =，则()3,,5a k x y +=，所以23a k x +=+，因为x ，y 是任意值，所以3a k +的最小值为5， 取(),,2a x y =-，则()3,,1a k x y +=，所以23a k x +=+因为x ，y 是任意值，所以3a k +的最小值为1.11.【解析】设立方体的棱长为1，过1D 作直线l ， 若直线l 与平面ABCD 中的直线所成角的最小值为6π， 即l 与平面ABCD 所成角为6π， 1DD 为轴的圆锥母线（母线与1DD 成60︒）是直线l 的运动轨迹，连接1D A ，由题意得11D A BC ∥，直线l 与直线1BC 所成角为4π， 直线l 与直线1D A 所成角为4π. 此时1D A 为轴的圆锥母线（母线与1D A 成45︒）是直线l 的运动轨迹， 两个圆锥相交得到两条交线.12.【解析】对于①，分别延长DM 、CB 交于H ，连接1A H ，如图所示： 由M 为中点，12BM CD =，得B 为CH 的中点， 得BN 为1ACH △的中位线，得1BN A H ∥， BN ⊄平面1A DM ，1A H ⊂平面1A DM ，得BN ∥平面1A DM ，①正确；对于②，当平面1A DM ⊥平面DMBC 时，1A 到平面DMBC此时N 到平面DMBC 的距离最大，且为2， DMC △的面积为12442⨯⨯=，得三棱锥N DMC -的最大体积为14323⨯⨯=，②正确； 对于③，若1DM AC ⊥，又2DM CM ==，4CD =，得DM MC ⊥， 则DM ⊥平面1ACM ，即有1DM A M ⊥，这与DM 为斜边矛盾，③错误； 综上，以上正确命题的序号为①②.二、选择题13.【解析】对于A ，()2,1,0AB =，()1,2,1AC =-，所以AB 与AC 不是共线向量，故A 正确； 对于B ，()2,1,0AB =，255ABAB ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭，故B 正确； 对于C ，()2,1,0AB =，()3,1,1BC =-，co s 5,AB BC AB BC AB BC⋅===⋅C 错误；对于D ，()2,1,0AB =，()1,2,1AC =-，设平面ABC 的法向量(),,n x y z =，则2020n AB x y n AC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1x =，得()1,2,5n =-，故D 正确， 故选C.14.【解析】直二面角l αβ--，直线a 在平面α上，直线b 在平面β上， 直线a 与直线l 不垂直，直线b 与直线l 不垂直，当直线a ∥直线l ，直线b ∥直线l 时，a b ∥，排除选项AD ；当直线a ⊥直线b 时，则直线a ⊥直线l ，与直线a 与直线l 不垂直相矛盾， 所以a 与b 不可能垂直，排除B.故选C.15.【解析】设三棱锥P ABC -的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两相互垂直，设PA a =，PB b =，PC c =，则这个三棱锥的体积11326abcV abc =⨯=， 三个侧面的面积分别为1S 、2S 、3S ，112S ab =，212S bc =，312S ac =，所以21231()8S S S abc =，abc =，这个三棱锥的体积为V =，故选C.16.【解析】由直线与平面所成角的定义得1θ、2θ、3θ这三个角中，2θ是最小的角， 所以12θθ≥，32θθ≥.故选D. 三、解答题17.【解析】（1）连接1AC 交AC 于点N ，则N 为1AC 中点，连接MN ， 在直二棱柱111ABC A B C -中，M 为AB 的中点，所以1BC MN ∥， 因为1BC ⊄平面1ACM ，MN ⊂平面1ACM ，所以1BC ∥平面1ACM ；（2）因为AC AB ⊥，1AC AA ⊥ ，所以AC ⊥平面11A B M ， 所以11114222323C A B M V -=⨯⨯⨯⨯=，设点1B 到平面1ACM 的距离为h ， 由1111C A B M B A CM V V --=，得111143323A CM S h h ⋅=⋅⋅=△，解得3h =. 18.【解析】（1）因为OA OB =，60AOB ∠=︒，所以AOB △是等边三角形， 因为D 是OB 的中点，所以AD OB ⊥，因为C 、D 分别是SB 、OB 的中点，所以CD SO ∥， 因为SO ⊥平面AOB ，所以SO OB ⊥，所以CD OB ⊥， 又CDAD D =，所以OB ⊥平面ACD ，又AC ⊂平面ACD ，所以AC OB ⊥.（2）因为SO ⊥平面AOB ，SO CD ∥，所以CD ⊥平面AOB ，以D 为原点，DA 、DB 、DC 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系D xyz -，则)A，()0,1,0O -，()0,1,4S -，()0,0,2C ，所以()2AC =-，()3,1,0OA =，()0,0,4OS =，设平面SAO 的法向量为(),,n x y z =，则n OA n OS⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即040y z +==⎪⎩，令1x =，得()1,3,0n =-，所以cos ,142n AC n AC n AC⋅-===-⨯设直线AC 与平面SOA 所成的角为θ，则21sin cos ,14n AC θ==， 故直线AC 与平面SOA . 19.【解析】（1）设h '为正四棱锥的斜高，由题意得2222142214a h a h a h ⎧'+⋅=⎪⎪⎨⎪'+=⎪⎩，解得0)a h =>；（2）()221(0)331hV ha h h ==>+，易得113V h h =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为12h h +≥=，所以16V ≤，当且仅当1h h=，即1h =时取等号， 故当1h =米时，V 有最大值，V 的最大值为16立方米. 20.【解析】（1）在翻折过程中总有平面PBD ⊥平面PAG ，证明如下：因为点M ，N 分别是边CD ，CB 的中点，又60DAB ∠=︒，所以BD MN ∥且PMN △是等边三角形， 因为G 是MN 的中点，所以MN PG ⊥，因为菱形ABCD 的对角线互相垂直，所以BD AC ⊥，所以MN AC ⊥， 因为ACPG G =，AC ⊂平面PAG ，PG ⊂平面PAG ，所以MN ⊥平面PAG ，所以BD ⊥平面PAG ， 因为BD ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PAG .（2）由题意得四边形MNDB 为等腰梯形，且4DB =，2MN =，1OG ， 所以等腰梯形MNDB的面积S ==要使得四棱锥P MNDB -体积最大，只要点P 到面MNDB 的距离最大即可， 所以当PG ⊥平面MNDB 时，点P 到平面MNDB此时四棱锥P MNDB -体积的最大值为133V =⨯=， 直线PB 和平面MNDB 所成角的为PBG ∠， 连接BG ，在直角三角形PBG △中，PG =BG =，sin 10PG PBG PB ∠===. （3）假设符合题意的点Q 存在，以G 为坐标原点，GA ，GM ，GP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则()A ，()0,1,0M ，()0,1,0N -，(P ， 由（2）得AG PG ⊥，又AG MN ⊥， 且MNPG G =，MN ⊂平面PMN ，PG ⊂平面PMN ，所以AG ⊥平面PMN ，故平面PMN 的一个法向量为()11,0,0n =，设()01AQ AP λλ=≤≤，因为(AP =-，()AQ =-，)()1Q λ-，所以()0,2,0NM =，)()31,1,QM λ=-.设平面QMN 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则20n NM ⋅=，20n QM ⋅=，即2222201)0y x y z λ=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令21z =，所以()21,0,1,0,3(1)3(1)3(1)n λλλλλ⎛⎫==-⎪--⎝⎭，则平面QMN 的一个法向量()(),0,31n λλ=-，设二面角Q MN P --的平面角为θ，则11c os n n n n λθ==⋅=，解得12λ=. 故符合题意的点P 存在且P 为线段PA 的中点.21.【解析】（1）因为TA TC TB TD +=+，所以TD a b c =-+； （2）不妨设AB 是四面体最长的棱，则在ABT △，ABC △中，AT TB AB +>，AC CB AB +>，所以2AT TB AC CB AB +++>，所以()()2AT AC TB BC AB +++>， 所以AT AC +，TB BC +至少有一个大于AB ，不妨设AT AC AB +>， 所以AT 、AC 、AB 能构成三角形；（3）设TA a =，TB b =，TC c =，由（1）得TD a b c =-+， 因为AP TQ CRx AD TA CT===，所以TQ xa =，()1TR x c =-， 因为AP xAD =，所以()()1TP x a x a c b a xc xb =-++-=+-，()1QP a xc xb xa x a xc xb =+--=-+-，()()11QR x c xa xa x c =--=-+-，设TM TB b λλ==，因为11112222TN TC TD a b c =+=-+，11112222NM b a c b a b c λλ⎛⎫=--+=-++- ⎪⎝⎭， 因为NM ∥平面PQR ，所以存在实数y 、z 使得NM yQP zQR =+， 所以()()111122a b c y x a yxb yxc zxa z x c λ⎛⎫++-=--+-+- ⎪⎝⎭ ()()y xy zx a yxb yx z xz c =---++-， 所以12121y xy zx yx yx z xz λ⎧--=-⎪⎪⎪-=+⎨⎪+-=-⎪⎪⎩，消元得2(41)(43)210x x λλλ+-+++=， 当14λ=-时，1202x -+=，解得14x =， 当14λ≠-时，2(43)4(41)(21)0λλλ∆=+-++≥，解得44λ-≤≤，综上，λ≤≤， 故对所有满足条件的平面α，点M的线段上.。
上海七宝中学自招数学试题今天分享几道能够比肩上海四大名校的七宝中学的自招数学试题。
题目一：计算 \frac{\sqrt{6}+4 \sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}【详解】\frac{\sqrt{6}+4 \sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{6} +\sqrt{3}+3\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}+3(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+\frac{\sqrt{3}\cdot(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{3}=\boxed{\sqrt{6}-\sqrt{2}}.\square一般我们看到分式化简第一时间想到的就是分母有理话，比如针对这道题应该分子、分母同时乘以 (\sqrt{6}-\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})。
这样做也是可以的，毕竟分母变成整数，肯定是能够做出来的。
不过，这样做分子的计算量比较大，且很容易就会算错了。
七宝中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．函数的定义域为______．2．计算______．3．已知是1与9的等比中项，则正实数______．4．在的展开式中，的系数为______（用数字作答）．5．在复平面内，复数对应的点位于第______象限。
6．已知，则______．7．已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为______．8．已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为______（从中选择作答）．9．已知函数．在中，，且，则______．10．如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为______．11．抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段y =(4log =a a =4(x -2x 2ii-π1sin 42θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πcos 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭{}22,,A a a x y x y ==+∈N ,x y A ()f x '()f x ()f x y e '=()f x ,,,a b c d ()22cos 2xf x x =+ABC △()()f A f B =a b ≠C ∠=,AD BC O ,,,AB AD BC CD {}1,3,5,,90x ABO DCO ∠=∠=︒x 24y x =F ,,l A B π3AFB ∠=AB的中点在准线上的投影为，则的最大值是______．12．平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知满足，则的取值范围为______．二、选择题（本大题共4题，满分20分）13．已知是非零实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．B ．C ．D14．已知直线，动直线，则下列结论正确的为（）A ．不存在，使得的倾斜角为B ．对任意的与都不垂直C ．存在，使得与重合D ．对任意的与都有公共点15．一组学生站成一排．若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．816．若，有限数列的前项和为，且对一切都成立．给出下列两个命题：①存在，使得是等差数列；②对于任意的，都不是等比数列．则（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．如图，为正方体，动点在对角线上（不包含端点），记．M l N MNAB(0,1)λλλ>≠,,a b c 1,2,1a c b a b ===⋅=1122c a c b ++-a 1a a>2211a a a a+≥+12a a+>-≥-1:10l x y --=()()2:10l k x ky k k +-+=∈R k 2l π21,k l 2l k 1l 2l 1,k l 2l 3n ≥12,,,n a a a k k S 1k k S S +>11k n ≤≤-3n ≥12,,,n a a a 3n ≥12,,,n a a a 1111ABCD A B C D -P 1BD 11D PD Bλ=（1）求证：；（2）若异面直线与所成角为，求的值．18．已知点是坐标原点．（1）若，求的值：（2）若实数满足，求的最大值．19．英语学习中学生喜爱用背单词"神器"提升自己的英文水平，为了解上海中学生和大学生对背单词“神器”的使用情况，随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款背单词“神器”，结果如下：百词斩扇贝单词秒词邦沪江开心词场中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对背单词“神器”的喜爱互不影响．（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用“百词斩”的概率；（2）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人．记X 为这3人中最喜爱使用“扇贝单词”的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）记样本中的中学生最喜爱使用这四款背单词“神器”的频率依次为，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款背单词“神器”的频率依次为，其方差为的方差为．写出的大小关系．（结论不要求证明）20．在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，设不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，焦点到直线的距离为．（1）求该粗圆的离心率；（2）若直线经过坐标原点，求面积的最大值；（3）如果直线的斜率依次成等差数列，求的取值范围．21．若斜率为的两条平行直线，曲线满足以下两条性质：（Ⅰ）分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在之间或两条直线上．则称直线为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为．已知曲线1AP B C ⊥AP 11D B π3λ()())1,1,1,1,,A B CO θθ-BC BA -=sin2θ,m n π,0,2mOA nOB OC θ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭22(3)m n ++1234,,,x x x x 21s 1234,,,y y y y 2212341234;,,,,,,,s x x x x y y y y 23s 222123,,s s s 12,F F 22143x y +=1F l ,A B 2F l d l 2F AB △11,,AF l BF d k 12,l l ():C y f x =12,l l C C 12,l l 12,l l C C k ()d k．（1）判断时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由；（2）若，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由．（3）对于任意的正实数，函数是否都存在"双夹线"？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由．2025届七宝中学高三（上）期中考试参考答案一、填空题1、； 2、； 3、3； 4．18； 5、四；6．；7、； 8、a ； 9、；10、4；11、1； 12、10、【答案】412、【答案】二、选择题13～16、BDBC三、解答题17、（1）证明：如图，连接．由已知可得，平面平面，所以，又是正方形，所以，又平面平面，所以平面，又动点在对角线上，所以平面，所以平面，所以．():sin C f x mx n x =+0,1m n ==C 1,1m n ==-1:1l y x =+2:1l y x =-()y f x =()d k ,m n ()y f x =()d k ()1,+∞3412{}0,1,2,4π311,BC AD AB ⊥111,BCC B B C ⊂11BCC B 1AB B C ⊥11BCC B 11B C BC ⊥1BC ⊂11,ABC D AB ⊂111,ABC D AB BC B = 1B C ⊥11ABC D P 1BD P ∈11ABC D AP ⊂11ABC D 1AP B C ⊥（2）以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，设，则，则．由已知，可得，设点，则，所以，所以，即，所以，．又异面直线与所成角为，所以，即，解得或0，因为，所以满足条件．18、【答案】（1）； （2）16．19、【答案】（1）； （2）； （3）20．【答案】（1）； （2 （3）．21、【答案】（1）存在；（2）是，3）是，C 1CD CB CC 、、x y z 、、1CD =()()()()()()()1110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1,0C D B C D B A ()11111,1,0,D B D B =-=11D PD Bλ=11D P D B λ= ()000,,P x y z ()10001,,1D P x y z =-- 00011x y z λλλ-=-⎧⎪=⎨⎪-=-⎩00011x y z λλλ=-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩()1,,1P λλλ-+-+(),1,1AP λλλ=---+AP ==AP 11D B π311π1cos ,cos 42AP D B 〈==〉 11cos ,2AP D 1λ=01λ<<45λ=12-320[]34E X =222231s s s <<12()d k =()0)d k n =>。
2015年七宝中学自招试卷1、已知：2x =-是220x ax b ++=的一个根，求22a b +的最小值【答案】2【解析】2x =-Q 是220x ax b ++=的一个根，4220a b ∴-+=2a b ∴=+()222222244a b b b b b ∴+=++=++()22122b =++≥，所以最小值为22、已知正方形ABCD 的边长为6，E 为AD 的中点，F 为DC 的中点，AF ，BE 的交点为P ，求PC【答案】【解析】如图，延长BC ，AF 交于G ，Q 四边形ABCD 是正方形，∴AB AD CD BC ===，90BAE D ∠=∠=︒，Q E 、F 分别为AD 、CD 的中点，∴12AE AD =，12DF CD =，∴AE DF =，在ADF V 与BAE V 中AD AB BAE D AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADF V ≅BAE V ，∴DAF ABE ∠=∠，Q 90ABE AEB ∠+∠=︒，∴90DAF AEB ∠+∠=︒∴90APE ∠=︒Q BPG APE ∠=∠∴90BPG ∠=︒在ADF V 与CGF V 中90AFD GFC DCG D CF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴ADF V ≅CGF V ，∴CG AD =，∴CG BC =，∴162PC BG ==，3、已知：12320151,,,,1a a a a -≤⋅⋅⋅≤，求122320151a a a a a a ++⋅⋅⋅+的最小值。
【答案】2015-【解析】令11a =-，21a =，31a =-，41a =……20141a =，20151a =-，所以每一项都是1-，可得最小值为2015-4、已知：[]x 为不大于x 的最大整数，在1,2,3,,2015⋅⋅⋅中，有______个数满足29x -=【答案】40【解析】Q 29x -=且x 在1,2,3,,2015⋅⋅⋅，∴9x ≥，当916x ≤<时，3=，29=，则18x =（舍）；当1625x ≤<时，4=，216=，则25x =（舍）；当2536x ≤<时，5=，225=，则34x =；当3649x ≤<时，6=，236=，则45x =；当4964x ≤<时，7=，249=，则58x =，……在后面()221n x n ≤<+中，每组都有一个数满足题意，Q22441936202545=≤<=，∴共有445140-+=个数满足29x -=5、已知221x y +=的值【答案】3【解析】Q 221x y +=∴11x -≤≤，11y -≤≤，且=∴10x +≥，20y -<，且()()120x y +-≥，∴()()120x y +-=∴1x =-，0y =，∴3= 6、113x x y -+++=的图像围成的面积是________ 【答案】6【解析】进行分类，利用113x x y -+++=对x 和y 进行分类；①1x ≤-，0y >时，23y x =+②11x -≤≤，0y >时，1y =③1x ≤，0y >时，23y x =-+④1x ≤-，0y <时，23y x =--⑤11x -≤≤，0y <时，1y =-⑥1x ≤，0y <时，23y x =-；可画出如图所示的图像为：可看出封闭图形为六边形，且上下分别为两个等腰梯形，则封闭图形面积为()1241262+⨯⨯= 7、方程20x ax b ++=与20x bx a ++=有一个公共根，另两个根为：12,x x ；方程20x cx d -+=与20x dx c -+=有一个公共根，另两个根为34,x x ，求1234x x x x 的取值范围(),,,0,.a b c d a b c d <≠≠【答案】【解析】根据题意，20x ax b ++=，20x bx a ++=，20x cx d -+=，20x dx c -+=均有两个公共根，由两个方程相减的计算可得方程20x ax b ++=与20x bx a ++=的公共根为1，方程20x cx d -+=与20x dx c -+=的公共根为1-，不妨令1x 为方程20x ax b ++=的根，2x 为方程20x bx a ++=的根，3x 为方程20x cx d -+=的根，4x 为方程20x dx c -+=的根，由韦达定理两根之积为c a有1x b =，2x a =，3x d =-，4x c =-且由韦达定理两根之和为b a -有1010b a a b +=->⎧⎨+=->⎩及1010d c c d --=<⎧⎨--=<⎩，则可得10101010a b c d -<<⎧⎪-<<⎪⎨-<<⎪⎪-<<⎩ ∴12340x x x x abcd =>又Q()()()()()()1234111x x x x ab c d a a d d ad a d ad =--=---+=+++且10,10a d -<<-<<∴20a d =--≥，即a d +≤-∴()())21234111x x x x ad a d ad ad ad ad=+++≤-=令t =01t <<∴)()()22222123411x x x x ad t t t t ≤=-=- 由二次函数的性质可知：当102t <≤时，2t t -随t 的增大而减小；当112t <<时，2t t -随t 的增大而增大； 所以2211022t t ⎛⎫-≤-< ⎪⎝⎭，即2104t t -≤-<，则()221016t t <-≤，即()221234116x x x x t t ≤-≤，综上，1234x x x x 的取值范围为12341016x x x x <≤ 附：无答案试卷1、已知：2x =-是220x ax b ++=的一个根，求22a b +的最小值2、已知正方形ABCD 的边长为6，E 为AD 的中点，F 为DC 的中点，AF ，BE 的交点为P ，求PC3、已知：12320151,,,,1a a a a -≤⋅⋅⋅≤，求122320151a a a a a a ++⋅⋅⋅+的最小值。
2016年七宝中学综合素养调研测试一、填空题(每题5分，共40分)1．若125的立方根是A ，25的算术平方根为B ，则A ＋B ＝________． 【答】25 【解析】()333125=5=5，25=525A B ⇒+=2．设x ，y 为实数，则代数式2x 2＋4xy ＋5y 2－4x ＋2y ＋5的最小值为________．【答】0【解析】原式＝(x 2＋4xy ＋4y 2)＋(x 2－4x ＋4)＋(y 2＋2y ＋1)＝(x ＋2y )²＋(x －2)²＋(y ＋1)²≥0当x ＝2，y ＝－1时等号成立．3．方程3456x x x x ++=的解有________个．【答】1【解析】由题意3451666x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而36x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、46x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、56x⎛⎫ ⎪⎝⎭均随x 的增大而减小，值域取到0到正无穷之间．于是原方程有且仅有一个解．4．已知两质数p ，q 之和为2019，则()()11q p p q -->的值为________．【答】2016【解析】根据题意p ，q 中必有一个偶数，⇒p ＝2017，q ＝2⇒()112016q p --= 5．在直角三角形ABC 中，CD ，CE 分别是斜边AB 上的高，中线，BC ＝a ，AC ＝3(a ＞3)若1tan 3DCE ∠=，则a ＝________．【答】3103+【解析】设DE ＝x ，则AE ＝BE ＝CE ＝10x ，()229101210AC AD AB x ==⋅=-⨯ ()()2221012109110BC BD AB x =⋅=+⨯=+3103BC =+．6．在平面直角坐标系内，已知四个定点A (－3，0)，B (1，－1)，C (0，3)，D (－1，3)及一个动点P ，则|P A |＋|PB |＋|PC |＋|PD |的最小值为________． 【答】3225+【解析】易知四边形ABCD 为凸四边形，设对角线BD 与AC 交点为O ， |PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|≥|AC|＋|BD|＝18203225+=+，当P 与O 重合时等号成立．7．已知函数()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+．设()()(){}1max ,H x f x g x =，()()(){}2min ,H x f x g x =，{}max ,p q 表示p ，q 中的较大值，{}min ,p q 表示p ，q 中的较小值，()1H x 记得最小值A ，()2H x 得最大值为B ，则A －B ＝________．【答】－12【解析】()()2244f x x a a =----，()()2248g x x a a =--+-+当2x a =+，()()44f x g x a ==--，当2x a =-，()()48f x g x a ==-+，而()max 248g g a a =-=-+，()()2max 48H x g x g a ⇒≤≤=-+()min 244f f a a =+=--，()()1min 44H x f x f a ⇒≥≥=--，两个等号都能取到， 44,4812A a B a A B ⇒=--=-+⇒-=8．不等式()()21430x x x +-+>有多重解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中做出11y x =+和2243y x x =-+的图像然后进行求解，请类比求解以下问题： 设a ，b 为整数，若对任意y ≤0，都有()()2220ax x b ++≤成立，则a ＋b ＝________．【答】3【解析】作图略，显然a ≠0，由于x 的负半轴上2ax +与22x b +不同号⇒2ax +与22x b +在x 负半轴上交点相同，⇒()22222420a b a x a b a ==⇒=>，a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3二、解答题(共20分)9．(10分)已知关于x 的方程248320x nx n ---=①和()223220x n x n -+-+=②问是否存在这样的n 值，使方程①的两个实数根的差的平方等于方程②的一整数根？若存在，求出这样的n 值；若不存在，请说明理由．【答】0【解析】若存在n 满足题意，()2212432x x n n -=++，②中()()1210x n x n +--+=⎡⎤⎣⎦， 若243210n n n +++-=，则12n =-，但312n -=不为整数，舍；若243222n n n ++=+，则n ＝0，或14-，当22n +为整数，则n ＝0．将n ＝0代入验证成立．10．(10分)对于数对序列P (a 1，b 1)，(a 2，b 2)，…(a n ，b n )，(a ，b )，记T 1(P )＝a 1＋b 1，T k (P )＝b k ＋max {T k －1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }(2≤k ≤n )，其中max {T k －1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }，表示T k －1(P )和a 1＋a 2＋…＋a k 两个数中最大的数．(1)对于数对序列P ：(2，5)，(4，1)，求T 1(P )，T 2(P )的值；(2)记m 为a 、b 、c 、d 四个数中最小值的数，对于有两个数对(a ，b )，(c ，d )组成的数对序列P ：(a ，b )，(c ，d )和P '：(c ，d )，(a ，b )，试分别对m ＝a ，m ＝d 时两种情况比较T 2(P )和T 2(P ')的大小．【答】(1)7，8；(2)T 2(P )≤T 2(P ')【解析】(1)T 1(P )＝2＋5＝7，T 2(P )＝1＋max {7，2＋4}＝1＋7＝8(2)()(){}12,max ,2b c b c T P a b T P d a b a c d a ++-=+=+++=++， ()(){}12,max ,2d a d a T P c d T P b c d c a b c ++-'=+=+++=++，()()1122b c d a a b c d T P T P -----+'-=+若m a =，()()1122a b c b c T P T P a c --+-'-==-或a b -，于是()()12T P T P '≤若m d =，()()1122d b c b c T P T P d b --+-'-==-或d c -，于是()()12T P T P '≤．。
2025届上海市七宝中学高三第二次模拟考试数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N 除以正整数m 所得的余数是n ”记为“(mod )N n m ≡”，例如71(mod 2)≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．16B ．17C ．18D ．192．已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ）A ．12a >-B ．1016a <<C ．116a >或102a -<<D ．116a > 3．若()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，则A ．()f x 的值域为RB ．()f x 为周期函数，且6为其一个周期C ．()f x 的图像关于2x =对称D ．函数()f x 的零点有无穷多个4．已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A ．12 B ．32- C ．12- D ．325．等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（ ）A ．±6B ．6C ．-6D ．1326．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥ 7．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离；②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=．其中，所有正确判断的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 8．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ） A ．-1 B ．1 C ．0D ．2 9．已知数列{}n a 满足11a =,1n n a a n --=(2n ≥),则数列{}n a 的通项公式n a =( )A ．()112n n +B ．()1312n n -C ．2n n 1-+D ．222n n -+10．已知正四面体ABCD 的棱长为1，O 是该正四面体外接球球心，且AO x AB y AC z AD =++，,,x y z ∈R ，则x y z ++=（ ）A ．34B ．13C ．12D ．14 11．已知复数11i z i+=-，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．i -C ．1-D ．1 12．已知函数()ln x f x x =，()x g x xe -=.若存在()10,x ∈+∞，2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成立，则221k x e x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值为（ ）A ．2eB ．eC ．24eD ．21e 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市七宝中学2019-2020学年高二数学9月月考试题（含解析）一.填空题1.若“0x <”是“x a <”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是________ 【答案】0a > 【解析】 【分析】“0x <”⇒ “x a <”,但是“x a <”⇏“0x <”，即可求解.【详解】“0x <”是“x a <”的充分非必要条件，故前者是后者的真子集，即可求得0a >。
【点睛】本题考查充分必要条件，是基础题2.函数0(2)()lg(3)1x f x x x -=-++的定义域是________【答案】(3,)+∞ 【解析】 【分析】结合对数的真数大于0，分母不为0以及0次幂底数不为0，即可求解。
【详解】解：3020310x x x x ->⎧⎪-≠⇒>⎨⎪+≠⎩，故原函数定义域为(3,)+∞.【点睛】本题考查定义域的求法，属于基础题。
3.已知向量(2,1)a =-r ，(3,4)b =r ，则向量a r 在向量b r方向上的投影为________【答案】25- 【解析】 【分析】a r 在向量b r方向上的投影为a b br r g r ，即可求解.【详解】向量a r 在向量b r方向上的投影为642cos ,55a b a b a a b a a b b-+<>====-r r r rr r r r g g g r r r g【点睛】a r 在向量b r 方向上的投影a b b r r g r ， b r 在向量a r 方向上的投影a b ar r g r ，可以直接使用，基础题。
4.已知点P 是直线12PP 上一点，且1213PP PP =-uu u r uuu r ，若212P P PP λ=uuu r uuu r ，则实数λ=________ 【答案】23-【解析】 【分析】利用向量的三角形加法法则，即可求解。
一、解答题（共4小题，满分0分）1．菱形OABC中，OB、AC相交于M（x0，y0），y＝过点M、C，2≤x0≤4，求菱形OABC的面积最大值．2．二次函数y＝ax2+bx+c，其图象都在x轴及其上方，设t＝，则t的最值为多少？3．对于各数互不相同的数列a1，a2，a3，…，a k．若1≤m＜n≤k，a n＜a m，则（a n，a m）称为一个逆序．数列中逆序的总数称为该数列的逆序数，如3，2，1中2＜3，则称（3，2）为一个逆序，同理（3，1），（2，1）也为逆序，逆序数为2+1＝3，现有一各数互不相同的数列a1，a2，a3，…，a100，逆序数为k，则该数列颠倒后得到的a100，a99，…，a1，逆序数为多少？4．已知实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，[t3]＝3，…，[t n]＝n都成立，求正整数n的最大值．参考答案与试题解析一、解答题（共4小题，满分0分）1．菱形OABC中，OB、AC相交于M（x0，y0），y＝过点M、C，2≤x0≤4，求菱形OABC的面积最大值．【解答】解：∵菱形OABC中，OB、AC相交于M（x0，y0），∴直线的OM斜率为，由菱形对角线互相垂直可得：AC的斜率为﹣，∴AC：y＝﹣（x﹣x0）+y0，令y＝0，则x＝+x0＝，∴A（，0），∴C（，2y0），∵M、C在同一反比例函数上∴•2y0＝x0•y0，∴x02＝2y02，∴y0＝x0，∴S＝•2y0＝•x0＝x02，∴S最大值＝×42＝24．2．二次函数y＝ax2+bx+c，其图象都在x轴及其上方，设t＝，则t的最值为多少？【解答】解：由题意得：a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0，即（）2≤，故t＝＝1++≥1++3（）2＝3（）2+≥，当且仅当＝﹣时等号成立，而（）2，无最大值，故t无最大值，故t最小值为，无最大值．3．对于各数互不相同的数列a1，a2，a3，…，a k．若1≤m＜n≤k，a n＜a m，则（a n，a m）称为一个逆序．数列中逆序的总数称为该数列的逆序数，如3，2，1中2＜3，则称（3，2）为一个逆序，同理（3，1），（2，1）也为逆序，逆序数为2+1＝3，现有一各数互不相同的数列a1，a2，a3，…，a100，逆序数为k，则该数列颠倒后得到的a100，a99，…，a1，逆序数为多少？【解答】解：根据题意可知：各数互不相同的（a m，a n）和（a n，a m）中恰有一个逆序，所以在数列a1，a2，a3，…，a100与a100，a99，…，a1，中，共有：1+2+3+…+99＝＝4950个逆序，因为数列a1，a2，a3，…，a100，逆序数为k，所以a100，a99，…，a1逆序数为4950﹣k．4．已知实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，[t3]＝3，…，[t n]＝n都成立，求正整数n的最大值．【解答】解：∵[t]＝1，∴则1≤t＜2，∵[t2]＝2，∴2≤t2＜3，∵[t3]＝3，∴3≤t3＜4 ①，[t4]＝4，∴4≤t4＜5，此时2≤t2＜②，∵[t5]＝5，∴5≤t5＜6，由①和②，可知6≤t5＜，与5≤t5＜6矛盾，∴[t5]＝5不成立，因此n的最大值为4．。
