太 原 五 中
2012—2013学年度第一学期月考(10月)
高 二 数 学(理)
一、选择题:本大题共10小题.每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.答案填在答卷纸上. 1.在空间,下列命题正确的是
A.平行直线的平行投影重合
B.平行于同一直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行
D.垂直于同一平面的两条直线平行
2.如右图,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形,俯视图是一个圆,那
么几何体的侧面积为
A . 12
π B.
2 C. 4
D.4π
3.已知m 、n 为两条不同的直线,βα,为两个不同的平面,下列四个命题中,正确的命题个数是 ①n m n m //,,,//则βαβα??; ②若βαββαα//,//,//,,则且n m n m ??
③βαβα⊥?⊥m m 则若,,; ④βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n m
A .1
B .2
C .3
D .4
4.一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图中△ABC 是边长为2的正三角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的侧视图的面积为
A .12
B .
32 C .2
3 D .6
5.在正三棱锥中,相邻两侧面所成二面角的取值范围
是
A .3
π
π(,) B .
23ππ(,) C .(0,2
π
) D .23ππ(,)3
6.如图,ABCD -A
1B 1C 1D 1为正方体,下面结论错误..
的是
A .BD ∥平面C
B 1D 1 B .A
C 1⊥BD
C .AC 1⊥平面CB 1
D 1 D .异面直线AD 与CB 1角为60°
7.已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等,E 是SB 的中点,则AE SD ,所成的角的余弦值为 A .
1
3
B
.
3
C
.
3
D .
23
8.如图在正三棱锥A-BCD 中, E 、F 分别是AB 、BC 的中点,EF
⊥DE ,且BC =1,则正三棱锥A-BCD 的体积是
24
3D. 123C. 242B. 122.
A 9.一个几何体的三视图及长度数据如图, 则该几何体的表面积与体积分别为
A
、7 B
、8 C
、372+ D
、3
82
10.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是 A .
4
3
3 B .33 C . 43 D .123
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案
填在答卷纸上.
11.已知点G 是△ABC 的重心,O 是空间任一点,若OA →+OB →+OC →= mOG →
,则实数m= . 12.若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面,则该圆锥的体积为 13.一个几何体的三视图如下图所示,则该几何体外接球的表面积为
14.如图,设A 是棱长为a 的正方体的一个顶点,过从此顶点出发的三条棱的中点作截面,对正方体的所有顶点都如此操作,所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体,则关于此多面体有以下结论:①有12个顶点;②有24条棱;③有12个面;④表面积为2
3a ;⑤体积为
3
6
5a .其中正确的结论是____________.(要求填上所有正确结论的序号)
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2012—2013学年度第一学期月考(10月)
高二数学答卷纸(理)
11. ;12. ; 13. ; 14. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分10分)
如图,在三棱锥P ABC
-中,PA ⊥底面
,,60,A B C P A A B A B C B C A
?
?
=∠=
∠=, 点D ,E 分别在棱
,
PB PC上,且//
DE BC
(Ⅰ)求证:BC⊥平面PAC;
(Ⅱ)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成的角的正弦值;
16.(本小题10分)如图,已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,
2
,1=
=AD AB,
,
600=
=
∠AF ADC
(1)求证:AC⊥BF;
(2)求点A到平面FBD的距离
17.(本题满分10分)
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=2,E为PA的中点,过E作平行于底面的平面EFGH,分别与另外三条侧棱相交于点F、G、H.已知底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,∠BCD=135°.
(1) 求异面直线AF 与BG 所成的角的大小;
(2) 求平面APB 与平面CPD 所成的锐二面角的余弦值
18. (本小题满分12分)
如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,a CB DC AD ===,
60=∠ABC ,平面⊥ACFE 平
面ABCD ,四边形ACFE 是矩形,a AE =,点M 在线段EF 上. (1)求证:平面BCF ⊥平面ACFE;
(2)当EM 为何值时,AM ∥平面BDF ?证明你的结论;
M F
E
C
D B
A
19.(本小题12分)如图, P 、O 分别是正四棱柱1111ABCD A B C D -上、下底面的中 心,E 是AB 的中点,
1AB kAA =.
(Ⅰ)求证:1A E ∥平面PBC ;
(Ⅱ当k 取何值时,O 在平面PBC 内的射影恰好为PBC ?的重心?
A 1
1
C
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2012—2013学年度月考
高二数学答案
一、选择题 (每小题3分)
二、填空题(每小题4分) 11. 3 ;12.
π3
3
; 13. 316π ; 14. ①②⑤ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分10分)
如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ??=∠=∠=, 点D ,E 分别在棱,PB PC 上,且//DE BC (Ⅰ)求证:BC ⊥平面PAC ;
(Ⅱ)当D 为PB 的中点时,求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值; 【解法1】(Ⅰ)∵PA ⊥底面ABC ,∴PA⊥BC .
又90BCA ?
∠=,∴AC ⊥BC .
∴BC⊥平面PAC.
(Ⅱ)∵D 为PB 的中点,DE//BC ,
∴1
2
DE BC =
, 又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC ,
∴DE⊥平面PAC ,垂足为点E.
∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角, ∵PA ⊥底面ABC ,∴PA⊥AB,又PA=AB , ∴△ABP
为等腰直角三角形,∴AD AB =
, ∴在Rt△ABC 中,60ABC ?
∠=,∴1
2
BC AB =
. ∴在Rt△A DE
中,sin 24
DE BC DAE AD AD ∠=
==
, ∴AD 与平面PAC 所成的角的正弦值为
4
2
【解法2】如图,以A 为原煤点建立空间直角坐标系A xyz -, 设PA a =,由已知可得 (
)()10,0,0,,,0,0,,0,0,0,222A B a C P a ????-
? ? ? ?????
. (Ⅰ)∵()10,0,,,0,02AP a BC a ??
== ???
,
∴0BC AP ?=
,∴BC⊥AP .
又∵90BCA ?
∠=,∴BC⊥A C ,∴BC⊥平面PAC. (Ⅱ)∵D 为PB 的中点,DE//BC ,∴E 为PC 的中点,
∴111,,,0,,44242D a a a E a a ????
- ? ? ? ?????
, ∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC ,∴∴DE⊥平面PAC ,垂足为点E. ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角,
∵111,,,422AD a a AE a ????
=-= ? ? ? ????? ,
∴cos 4AD AE DAE AD AE
?∠==
? .
∴AD 与平面PAC 所成的角的正弦值为
4
2 16.(本题满分10分)
如图,已知平行四边形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直,2,1==AD AB ,
3,600==∠AF ADC .
(1)求证:AC ⊥BF ;
(2)求点A 到平面FBD 的距离.
解法1:由2,1==AD AB ,600==∠AF ADC 得3=CA ,故AD 2=AC 2+CD 2,,,所以CD ⊥CA
以CD 为x 轴,CA 为y 轴,以CE 为z 轴建立空间坐标系, (1)C(0,0,0),D(1,0,0),A(0,3,0),F(0, 3,3),B(-1,3,0),
()0,3,0=,()
3,0,1=, ,BF AC ⊥=?,0
(2)),,(),1,0,0(z y x FBD n ==的法向量平面,()3,0,1=()
3,3,1-=
由⊥,⊥可得()
1,2,3--=, 点A 到平面FBD 的距离为d, )0,3,1(
-=AD
4632
233
==
=
d 46
解法2 :(1)由2,1==AD AB ,600==∠AF ADC 得3=CA ,故BC 2=AC 2+AB 2,,,所以AC ⊥AB
因为ACEF 是矩形,AC ⊥AF ,所以AC ⊥平面ABF,故AC ⊥BF
(2)由ABD F FBD A V V --=,得=?=
FBD
ABD S S AF d 46
17. (本题满分10分)如图,四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,PA =AB =BC =2,E 为PA 的中点,过E 作平行于底面的平面EFGH ,分别与另外三条侧棱相交于点F 、G 、H. 已知底面ABCD 为直角梯形,AD ∥BC ,AB ⊥AD ,∠BCD =135°. (3) 求异面直线AF 与BG 所成的角的大小;
(4) 求平面APB 与平面CPD 所成的锐二面角的余弦值. (5) 解 由题意可知:AP 、AD 、AB 两两垂直,可建立空
间直角坐标系A -xyz
由平面几何知识知:AD =4, D (0, 4, 0), B (2 , 0 , 0 ), C ( 2, 2, 0 ), P (0, 0, 2), E (0, 0, 1), F (1 ,0, 1), G (1 ,1 ,1) (1)AF
→=(1,0,1),BG →=(-1,1,1) ∴AF →·BG
→=0, ∴AF 与BG 所成角为π
2 . (2) 可证明AD ⊥平面APB , ∴平面APB 的法向量为n =(0,1,0) 设平面CPD 的法向量为m =(1,y ,z)
由00
m CD m PD ?=??=?? ? ???y =1z =2 故m =(1,1,2)
∵cos
∴平面APB 与平面CPD 所成的锐二面角的余弦值为66.
18. (本小题满分10分)
如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,a CB DC AD ===,
60=∠ABC ,平面⊥ACFE 平
面ABCD ,四边形ACFE 是矩形,a AE =,点M 在线段EF 上. (1)求证:平面BCF ⊥平面ACFE;
(2)当EM 为何值时,AM ∥平面BDF ?证明你的结论;
M F
E
C
(Ⅰ)在梯形ABCD 中,CD AB // ,
?=∠===60,ABC a CB DC AD ∴四边形ABCD 是等腰梯形,
且?
?=∠=∠=∠120,30DCB DAC DCA
?=∠-∠=∠∴90DCA DCB ACB BC AC ⊥∴
又 平面⊥ACFE 平面ABCD ,交线为AC ,
⊥∴BC 平面ACFE
∴平面BCF ⊥平面ACFE; (Ⅱ)解法一、当a EM 3
3
=
时,//AM 平面BDF , 在梯形A B C D 中
,设N BD AC =?,连接FN
,则2:1:=NA CN
a EM 3
3
=
,而a AC EF 3==2:1:=∴MF EM , AN MF //∴,∴四边形ANFM 是平行四边形,NF AM //∴ 又?NF 平面BDF ,?AM 平面BDF //AM ∴平面BDF 解法二:当a EM 3
3
=
时,//AM 平面BDF ,
由(Ⅰ)知,以点C 为原点,CF CB CA ,,所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,
则)0,0,0(C ,)0,,0(a B ,)0,0,3(a A ,)0,21
,23(a a D -,
),0,0(a F ,),0,3(a a E ?AM 平面BDF ,
∴//AM 平面BDF ?→
AM 与→
FB 、→
FD 共面,
也等价于存在实数m 、n ,使→
→
→
+=FD n FB m AM , 设→
→
=EF t EM .
)0,0,3(a EF -=→
,)0,0,3(at EM -=→
),0,3(a at EM AE AM -=+=∴→
→
→
B
又),2
1
,23(a a a FD --=→
,),,0(a a FB -=→,
从而要使得:),2
1
,23(
),,0(),0,3(a a a n a a m a at --+-=-成立, 需???
?
?
?
?
??--=-==-an am a an m a an at 21023
3,解得31=t
∴当a EM 3
3
=
时,//AM 平面BDF 18.(本小题12分)
19.(本小题12分)如图, P 、O 分别是正四棱柱1
ABCD A -心,E 是AB 的中点,1AB kAA =. (Ⅰ)求证:1A E ∥平面PBC ;
(Ⅱ当k 取何值时,O 在平面PBC 内的射影恰好为PBC ?
以点O 为原点,直线OA OB OP 、、所在直线分别为x y z 、、轴, 建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设AB =
则得1A 、(1,1,0)E 、(0,P 、(0,2,0)B 、(C (Ⅰ)证明 由上得1(1,1,A E =- 、(2,2,0)BC =-- 、 (0,2,PB = ,设1A E x BC y PB =?+? 得
(1,1,(2,2,0)(0,2,x y -=?--+? 解得1
12x y ==,, ∴112A E BC PB =+
BC PB B ?= ,1A E PBC ?平面 ∴1A E ∥平面PBC
(Ⅱ)解 由(Ⅰ)知PBC ?的重心G 为22,33?- ??
,则22(,33OG =- ,
A 1
1
C
若O在平面PBC内的射影恰好为PBC
?的重心,则有
OG BC
OG PB
??=
?
?
?=
??
,解得k=
∴当k=O在平面PBC内的射影恰好为PBC
?的重心.