福建省厦门市思明区2018-2019年厦门大学附属科技中学高二理科(上)试卷(无答案)

2018-2019学年福建省厦门市高三（上）数学期末试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|x2+x﹣6≤0}，N＝{x|x＞0}，则M∩N＝（）A．（0，2]B．[﹣3，2]C．（0，3]D．[﹣3，+∞）2．（5分）设a∈R，则“a＝﹣1”是“直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+5＝0平行”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是（）A．＜1B．2﹣x＜2﹣y C．lg（x﹣y）＞0D．x2＞y24．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+3y的最大值等于（）A．9B．12C．27D．365．（5分）已知角α的顶点为坐标原点始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点P（sin47°，cos47°），则sin（α﹣13°）＝（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（log23））＝（）A．﹣9B．﹣1C．D．7．（5分）长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|＝10km/h，水流的速度v2的大小为|v2|＝4km/h．设v1和v2的夹角为θ（0°＜θ＜180°），北岸的点A′在A的正北方向，游船正好到达A′处时，cosθ＝（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝sin2x，若将其图象沿x轴向右平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则实数φ的最小值为（）A．πB．C．D．9．（5分）函数y＝cos x+ln（|x|+1）（x∈[﹣2π，2π]）的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）直线l与双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，l过抛物线C：y2＝4x的焦点，交C于A，B两点，若|AB|＝5，则E的离心率为（）A．2B．C．D．11．（5分）已知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面半径为r，点A，B，C，D在底面圆周上，当四棱锥P﹣ABCD体积最大时，r＝（）A．B．C．D．12．（5分）在平面四边形ABCD中，△ACD面积是△ABC面积的2倍，数列{a n}满足a1＝3，且＝（a n+1﹣3）+（a n﹣2），则a5＝（）A．31B．33C．63D．65二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知复数z满足（1+2i）z＝i，其中i为虚数单位，则|z|＝．14．（5分）《张丘建算经》卷上第22题有如下内容：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织布5尺，现在一个月（按30天计算）共织布390尺．那么，该女子本月中旬（第11天到第20天）共织布尺．15．（5分）某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱外接球的表面积为．16．（5分）已知偶函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）＝a x﹣1og a（x+1）﹣1（a＞1），若f（x）恰有三个零点，则a的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，已知a2+b2﹣c2＝4S．（1）求角C；（2）若c＝2，求b﹣a的取值范围．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣n﹣2．（1）求证：{a n+1}是等比数列；（2）数列{b n}满足b n＝数列{c n}满足c n＝b n+，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥平面P AC，四边形ABCD为平行四边形，且AD＝AB＝4，∠BAD＝135°．（1）证明：AC⊥平面P AB；（2）当直线PC与平面P AB所成角的正切值为时，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．-baiduwenku**百度文库baiduwenku**百度文库--百度文库百度文库百度文库精品文库-baiduwenku**百度文库baiduwenku**20．（12分）已知圆E：（x+）2+y2＝16，点F（，0），动点P在E上，线段PF的垂直平分线与直线PE相交于点Q，Q的轨迹是曲线C．（1）求C的方程；（2）已知过点（2，﹣1）的直线l与C交于A，B两点，M是C与y轴正半轴的交点，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝ae x﹣e﹣x﹣（a+1）x（a＜1），若f（x）存在极大值点x1和极小值点x2．（1）求实数a的取值范围；（2）若f（x1）＞kf（x2），求实数k的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2+y′2＝1，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρsin （θ﹣）＝．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）过点P（1，0）作l的垂线交C于A，B两点，点A在x轴上方，求．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．函数f（x）＝|ax+2|，不等式f（x）≤a的解集为{x|﹣2≤x≤0}．（1）求a的值；（2）求证：对任意x∈R，存在m＞1，使得不等式f（x﹣2）+f（2x）≥m+成立．2018-2019学年福建省厦门市高三（上）数学期末试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵x2+x﹣6≤0，∴﹣3≤x≤2，∴M＝{x|﹣3≤x≤2}∴M∩N＝{x|0＜x≤2}＝（0，2]故选：A．2．【解答】解：当a＝﹣1时，两直线方程分别为﹣x+y﹣1＝0与直x﹣y+5＝0，满足两直线平行．当a＝1时，两直线方程分别为x+y﹣1＝0与直x+y+5＝0满足平行，但a＝﹣1不成立，∴“a＝﹣1”是“直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+5＝0平行”的充分不必要条件．故选：A．3．【解答】解：对于选项A：当x＝﹣1，b＝﹣2时，＞1，故选项A错误，对于选项B：因为y＝2x在R上为增函数，又x＞y，所以﹣x＜﹣y，所以2﹣x＜2﹣y，故选项B正确，对于选项C：当x＝﹣1，b＝﹣2时，lg（x﹣y）＝0，故选项C错误，对于选项D：当x＝﹣1，b＝﹣2时，x2＜y2，故选项D错误，故选：B．4．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：A（3，3），化目标函数z＝x+3y为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z＝3+3×3＝12．故选：B．5．【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点P（sin47°，cos47°），∴sinα＝cos47°＝sin43°，cosα＝sin47°＝cos43°，∴α＝43°，则sin（α﹣13°）＝sin30°＝，故选：A．6．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（log23）＝﹣（）＝﹣，f（f（log23））＝f（﹣）＝3×（﹣）＝﹣1．故选：B．7．【解答】解：设船的实际速度为，v1和v2的夹角为θ，北岸的点A′在A的正北方向，游船正好到达A′处，则⊥，∴cosθ＝﹣cos（π﹣θ）＝﹣＝﹣＝﹣故选：D．8．【解答】解：因为，f（x）＝sin2x，由二倍角公式得：f（x）＝﹣cos2x，将其图象沿x轴向右平移φ（φ＞0）个单位，则所得图象对应的解析式为：g（x）＝﹣cos2（x﹣φ）＝﹣cos（2x﹣2φ），所得图象关于原点对称，即函数y＝g（x）为奇函数，即2φ＝k，又φ＞0，所以φ的最小值为，故选：D．9．【解答】解：函数是偶函数，关于y轴对称，f（2π）＝cos2π+ln（|2π|+1）＝1+ln（2π+1）＞0，排除D，f（0）＝cos0+ln1＝1，f（π）＝cosπ+ln（|π|+1）＝﹣1+ln（π+1）＝ln＜1，排除B，C故选：A．10．【解答】解：依题意，点F的坐标为（1，0），设直线l的方程为x＝my+1，联立方程组，消去x并整理得：y2﹣4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，则|AB|＝•＝4（m2+1）＝5，解得：m＝±，∴直线l的方程为2x+y﹣2＝0或2x﹣y﹣2＝0；直线的斜率为：±2．直线l与双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，可得b＝2a，所以b2＝4a2＝c2﹣a2，e＞1，解得e＝．故选：C．11．【解答】解：圆锥的顶点为P，母线长为2，底面半径为r，点A，B，C，D在底面圆周上，设四棱锥P﹣ABCD的高为h，V P﹣ABCD＝＝＝＝﹣，0＜h＜2，令f（h）＝h2﹣4h，则f′（h）＝3h2﹣4＝0，解得h＝，f（h）在（0，）上是减函数，在（，2）上是增函数，∴f（x）min＝f（）＝﹣，此时r＝＝，（V P﹣ABCD）max＝．故选：C．12．【解答】解：根据题意，如图，连接AC、BD，设AC与BD交于点O，过点B作BE⊥AC与点E，过点D作DF⊥AC与点F，若△ACD面积是△ABC面积的2倍，即×|DF|×|AC|＝×|BE|×|AC|，则有|DF|＝2|BE|，又由△DOF～△BOE，则|DO|＝2|BO|，即＝2，则有（﹣）＝2（﹣），变形可得：＝+，设＝λ，则＝+，又由＝（a n+1﹣3）+（a n﹣2），则（a n+1﹣3）＝2（a n﹣2），变形可得（a n+1﹣1）＝2（a n﹣1），则数列{a n﹣1}是首项为a1﹣1＝2，公比为2的等比数列，则a n﹣1＝2×2n﹣1＝2n，则有a n＝2n+1；则a5＝25+1＝33，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：由（1+2i）z＝i，得z＝，∴|z|＝．故答案为：．14．【解答】解：根据题意，该女子每天织的布的数量为等差数列，设该数列为{a n}，若该女子一个月）共织布390尺，则S30＝a1+a2+a3+……+a30＝390，该女子本月中旬织布的数量为S20﹣S10＝a11+a12+a13+……+a20＝（a1+a21）+（a12+a22）+……+（a10+a30）＝（a1+a2+a3+……+a30）＝130；故答案为：130．15．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为正三棱柱，底面边长为2，高为2．设三角形ABC的重心为G，则AG＝，设三棱柱外接球的球心为O，连接OG，则OG＝1，∴三棱柱外接球的半径满足．∴该三棱柱外接球的表面积为．故答案为：．16．【解答】解：∵f（0）＝a0﹣1og a1﹣1＝1﹣0﹣1＝0，即f（x）有一个零点0，∵f（x）是偶函数，∴要使f（x）恰有三个零点，则等价为当x＞0时，f（x）只有一个零点，由f（x）＝a x﹣1og a（x+1）﹣1＝0，得a x﹣1＝1og a（x+1）在x＞0时只有一个根，设y＝a x﹣1和y＝1og a（x+1）则两个函数互为反函数，图象关于y＝x对称，要使a x﹣1＝1og a（x+1）在x＞0时只有一个根，则只需要函数的y＝a x﹣1在x＝0处的导数y′＜1即可，即y′＝a x lna，则y′|x＝0＝a0lna＝lna＜1，得1＜a＜e，即实数a的取值范围是（1，e），故答案为：（1，e）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．【解答】解：（1）∵4S＝b2+a2﹣c2，∴2ab cos C＝4×ab sin C，∴cos C＝sin C，∴tan C＝，又0＜C＜π，∴C＝；（2）∵c＝2，C＝，由正弦定理＝＝＝4，可得：a＝4sin A，b＝4sin B，∴b﹣a＝4（sin B﹣sin A）＝4[sin（﹣A）﹣sin A]＝4（cos A+sin A）＝4sin（A+），∵A∈（0，），∴A+∈（，），∴∴sin（A+）∈（﹣，1），∴4sin（A+）∈（﹣2，4），即b﹣a的取值范围是（﹣2，4），18．【解答】解：（1）证明：S n＝2a n﹣n﹣2，可得a1＝S1＝2a1﹣3，即a1＝3；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣n﹣2﹣2a n﹣1+n﹣1+2，可得a n+1＝2（a n﹣1+1），即有{a n+1}是首项为4，公比为2的等比数列；（2）b n＝＝＝，c n＝b n+＝+＝2+﹣，前n项和T n＝2n+﹣+﹣+…+﹣＝2n+．19．【解答】证明：（1）∵四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥平面P AC，四边形ABCD为平行四边形，且AD＝AB＝4，∠BAD＝135°，∴AC⊥PB，AB＝2，BC＝4，∠ABC＝45°，∴AC＝＝＝2，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，又PB∩AB＝B，∴AC⊥平面P AB．解：（2）∵AC⊥平面P AB，∴∠APC是直线PC与平面P AB所成角，∵直线PC与平面P AB所成角的正切值为，∴tan∠APC＝＝，∴AC＝＝2，∴P A＝2，PC＝＝2，PB＝＝＝2，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），C（0，2，0），P（，0，），D（﹣2，2，0），＝（），＝（﹣，﹣），＝（﹣3，2，﹣），设平面APC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，﹣1），设平面PCD的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，2），设二面角A﹣PC﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．20．【解答】解：（1）依题意得|QE|+|QF|＝|QE|+|QP|＝|PE|＝4＞|EF|＝2，根据椭圆的定义可得Q的轨迹曲线C是以E，F为焦点的椭圆，这里2a＝4，a＝2，2c＝2，c＝，所以b2＝a2﹣c2＝4﹣3＝1故C的方程为+y2＝1；（2）证明：根据题意，C的方程为+y2＝1，M是C与y轴正半轴的交点，则M（0，1），显然直线l有斜率，设直线l的方程为y+1＝k（x﹣2）与椭圆方程联立消去y可得：（k2+）x2﹣2k（2k+1）x+（2k+1）2﹣1＝0，变形可得：（1+4k2）x2﹣8k（2k+1）x+16k2+16k＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，则k1＝，k2＝，则k1+k2＝（）+（）＝+＝＝2k﹣（2k+2）＝﹣1；故k1+k2为定值﹣1．21．【解答】解：（1）f′（x）＝ae x+e﹣x﹣（a+1）＝＝，∵f（x）存在极大值点x1和极小值点x2，∴0＜a＜1，令f′（x）＝0，解得x2＝﹣lna，或x1＝0，且﹣lna＞0，∴当x＜0或x＞﹣lna时，f′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜﹣lna时，f′（x）＜0，函数单调递减，∴当x1＝0时，函数取得极大值，当x2＝﹣lna时，函数取得极小值，故a的范围为（0，1），（2）由（1）可知0＜a＜1，且f（x）的极大值点为x1＝0，极小值点为x2＝﹣lna，∴f（x2）＝f（﹣lna）＝1﹣a+（a+1）lna，f（x1）＝f（0）＝a﹣1，∵f（x1）＞kf（x2），∴a﹣1＞k[1﹣a+（a+1）lna]对任意0＜a＜1恒成立，由于此时f（x1）＜f（x2）＜0，故k＞0，故（a+1）lna＜（1+）（a﹣1），即lna＜（1+），设g（x）＝lnx﹣（1+），则g′（x）＝，令x2﹣+1＝0（*），①k≥1时，△＝﹣4≤0，故g′（x）＞0，g（x）在（0，1）递增，故g（a）＜g（1）＝0，即lna＜（1+），符合题意，②0＜k＜1时，△＝﹣4＞0，设（*）的两根为x3，x4，且x3＜x4，则x3+x4＝＞0，x3•x4＝1，故0＜x3＜1＜x4，则当x3＜x4＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（x3，1）递增，故当x4＜a＜1时，g（a）＞g（1）＝0，即lna＞（1+），故f（x1）＜kf（x2），矛盾，不合题意，综上，k≥1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．【解答】（1）∵在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2+y′2＝1，∴C的轨迹方程是，∵直线的极坐标方程为ρsin（θ﹣）＝，即ρsinθ﹣ρcosθ＝，∴直线的直角坐标方程是y﹣x＝，即y﹣x＝2；（2）由上解之l的斜率是，故其倾斜角是60°，所以其垂线的倾斜角是150°故直线l的垂线的方程可设为，将其代入整理得7t2﹣4t﹣12＝0∴t1t2＝﹣，t1+t2＝，由题意，点A在x轴上方，故可令|P A|＝t1＞0，|PB|＝﹣t2＞0，∴＝＝．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【解答】解：（1）f（x）≤a⇔|ax+2|≤a⇔﹣a≤ax+2≤a⇔﹣1﹣≤x≤1﹣，∴﹣1﹣＝﹣2，a＝2（2）证明：由（1）得f（x）＝|2x+2|，∴f（x﹣2）+f（2x）＝|2x﹣2|+|4x+2|＝2|x﹣1|+2|2x+1|＝∴f（x）min＝3，当m＝2时，m+＝3，所以对任意x∈R，存在m＝2＞1，使得不等式f（x﹣2）+f（2x）≥m+＝3成立析，能在头脑里形成生动而清晰的物理情景，找到解决问题的简捷办法，才能顺利地、准确地完成解题的全过程。

2018—2018学年上学期高二物理（理科）半期考试题卷（20181111）（鲁科版选修3—1第1章、第2章、第3章和第4章第1节）（考试时间：120分钟满分：150分）班级座号姓名一、单项选择题（本题共8小题，每小题6分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1．一块手机电池的背面印有如图所示的一些参数，另外在手机使用说明书上还查到了部分参数：通话时功率0.6W、待机时间100h等，如果数据是真实的，则该电池最多能供通话的时间是：（）A．3h B．6h C．12h D．18h2．如图所示的电容式话筒就是一种电容式传感器，其原理是：导电性振动膜片与固定电极构成了一个电容器，当振动膜片在声压的作用下振动时，两个电极之间的电容发生变化，电路中电流随之变化，这样声信号就变成了电信号，则当振动膜片向右振动时：（）A．电容器电容减小B．电容器带电荷量减小C．电容器两极板间的场强增大D．电阻R上电流方向自左向右3．将一电荷量为+Q的小球放在原来不带电的金属球附近，最终所形成的电场线分布图。

a、b为电场中的两点，c、d为金属球表面与内部上两点（未标出）．则（）A．a点的电场强度比点的小B．a点的电势比b点的高，而c、d电势必相等C．检验电荷-q 在a点的电势能比在b点的大D．将检验电荷-q从a点移到b点的过程中，电场力做正功4．如图，一带有绝缘座的空心球壳A带有4×10-8C的正电荷，一带绝缘柄的金属球B带有－2×10-8C的负电荷，通过A上的小孔使B和A的内表面接触，则A、B各自带电为：（）A．Q A=10-8C，Q B =10-8C；B．Q A =0，Q B =2×10-8C；C．Q A=2×10-8C，Q B =0；D．Q A =－2×10-8C，Q B =2×10-8C；5．如图所示的电路中，灯泡A、灯泡B原来都是正常发光的。

5 2018-2019学年福建高二上学期期末考试物理试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷（选择题)一、单选题1．如图，a 、b 两根垂直纸面的导体通以大小相等的电流，两导线旁有一点P ，P 点到a 、b 距离相等，要使P 处磁场方向向右，则a 、b 中电流方向为（ ）A ．都向外B ．都向里C ．a 中电流向外，b 中电流向里D ．a 中电流向里，b 中电流向外2．磁场中某区域的磁感线如图所示，则( )A ．a 、b 两处的磁感应强度的大小不等，Ba ＞B bB ．a 、b 两处的磁感应强度的大小不等，B a ＜B bC ．同一通电导线放在a 处受力一定比放在b 处受力大D ．同一通电导线放在a 处受力一定比放在b 处受力小3．下列图中表示闭合电路中的一部分导体ab 在磁场中做切割磁感线运动的情景，导体ab 上的感应电流方向为a →b 的是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．电源、开关S 、定值电阻R 1、灯泡L 、光敏电阻R 2和电容器连接成如图所示的电路，电容器的两平行板水平放置。

当开关S 闭合，并且无光照射光敏电阻R 2时，一带电液滴恰好静止在电容器两板间的M 点。

当用强光照射时，光敏电阻的阻值变小，则（ ） A ．带电液滴带正电 B ．灯泡亮度变暗 C ．电容器所带电荷量减小 D ．液滴向上运动 5．两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a 、b ，以不同的速率沿着AO 方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示。

▲门丈曝附属科毀屮修2018-2019学年度第一学期高三理科期中检測数学试题本试檔分(选择軀〉和第口卷(非选择魁〉两部分*構分［歸分，静试时间1朗分钟.第I 魅(选拗■共60分}-> ftWli 車为■类12小■, ■小■ §分，共3分.在■小出的四个逢現中，只鼻一項是将會■ 目豪黨的•在鲁■•上相歯■冒的誓■区H 内作誓，】.已知H 合/珂列尸二］0岳仪-2)}, B = 則Arx(C xB)^ ( > A. ［23) B- (2,3) C. (3,理 D. (2,-Hw)2. M#X = {l t m 1}- 5 = {2,9},则出刑=3” 是-^ = {9} ”的(>A.充分不昭要条件B.必要不充分惫件3.td</><0,则下列结论中正确的迪B. ab^b 14.已知尊比戴列{虬}中，0^2」」=^,敕列g}的1U 琐的和&=( > I 汚 dG 充要条件 D.既不充分也不必襄条件* 则 mH a C.若加丄住上丄0’祈丄n,则a"0 * 若M G ad* 9Am//n 山若fli 丄a t mc.p t 丄0bgj(-x)r x<0 ,则 /(2019) A. I B. log 32 C. 0 D. -1s.已I D 三M 的正視凰与侑视图如图所示，俯视图是边也为2的正三轴形,盛加三■的胡視图可鹽为() 5,爾数/W=777的部分图«可能是()&已1毎0捷两个不慟平面，朋山是两杀不同直找，则以下命馬正确的是(>9. 敬列｛%｝满足昭“厂则数列｛%｝的前20琐的和为t ）A. -100B. 100 C, -110 11010. 将函数/（刃二5血倔*5$阿（由AO）,XER*IH・上各点的横坐标的半纵坐标不变, 删r⑴巫若函數g（*在酗（一辂）草吐増m的■大值为〈>Ju Jt'A. —B. —C. 3 D* 22 4 4山已知通載/（jrXxwR）制足『卜工）+/（力=2,若=—与y二/（Q的图■的交点为（和为），X E，円），f gy」・馬山+片）+（屮风）+…+ （耳+儿）第于｛ >A. 0B. mC. 2m D* 4m12.已知广G）是函#tf（x）的导函数.且对任案的实ftj#有广W = h（2jr + 3）+ /W@JI自做对敷的ftfth /（0）= l.若不第式/（x）-Jt<0的解集中恰有两个務載，则实做片的取值范樽是（）二规空■:水大■報小■, ■小■§分’血除・必2,II已知实足*£2, 则i^2x-3y的量大值是____________ .x+j-3^0,14. 己知平面向与张夹角为+ 3=2.归*20则肝________________________________15, 馳践7 = /在期口）处的切找与x轴及该抛物践所围成的图降面积为_________ .低对VX J E/1,3X J e[3,4],便得不等式彳+话+禺。

厦门市2018-2019学年度第一学期高二年级质量检测数学(理科)试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题“”为真，“”为真，则下列说法正确的是（）A. 真真B. 假真C. 真假D. 假假【答案】B【解析】【分析】根据逻辑或真假判断的真值表， p是假命题，又“”为真命题，进而可得q是真命题．【详解】解：命题“”和命题“非”均为真命题，为假命题，为真命题，故选：B．【点睛】本题考查的知识点是复合命题的真假判断，熟练掌握复合命题真假判断的真值表是解答的关键．2.双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的方程直接求解渐近线方程即可．【详解】解：双曲线即，其中a=2，b=1，故其渐近线方程是：．故选：B．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，渐近线方程的求法，是基础题．3.记为等差数列的前项和，若，，则的公差等于（）A. -2B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】根据题意，由等差数列的前项和公式可得，解可得，又由，可得，由等差数列的通项公式分析可得答案．【详解】解：根据题意，等差数列中，若，即，则，又由，则，则等差数列的公差；故选：D【点睛】本题考查等差数列的性质以及前项和的性质，注意等差数列通项公式的应用，属于基础题．4.若实数，满足约束条件则的最大值是（）A. -7B. -1C. 1D. 3【答案】C【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．由，解得，解得，代入目标函数得．即目标函数的最大值为1．故选：C．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．5.若，且，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】根据基本不等式，,又a b,;由a>b，易知a+b<a+a=2a,故.故选：A.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于简单题．6.如图，在平行六面体中，为的中点，设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的几何运算可得结果．【详解】根据向量的三角形法则得到.故选：A.【点睛】本题考查空间向量以及线性运算，属于基础题.7.在中，，，，则的面积是（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】先根据正弦定理求出角，从而求出角，再根据三角形的面积公式进行求解即可．【详解】解：由，，，根据正弦定理得：，为三角形的内角，或，或在中，由，，或则面积或．故选：C.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．8.已知，，若是的必要条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据是的必要条件，列不等式方程确定实数的取值范围．【详解】解：设满足p的实数集合为M,满足q的实数集合为N，是的必要条件，即解得.故选：D.【点睛】本题考查必要条件的定义，属于基础题.9.已知，则的最小值是（）A. 4B. 8C. 9D. 10【答案】C【解析】【分析】进行等式变换后，根据基本不等式求解.【详解】由，根据基本不等式，.当且仅当，即时有最小值9.故选：C.【点睛】本题主要考查基本不等式的运用．属于基础题.10.记为数列的前项和，若，，则的最大值为（）A. -1B.C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】由，将已知项变形得=，同除以，可得出为等差数列，从而得出，再利用单调性即可得解.【详解】解：=，等号两侧同除以，得到,又,是以11为首项，以-2为公差的等差数列.故，，由单调性可知，当n=6时，的最大值为1.故选：C.【点睛】本题考查了数列与的关系和运算能力，考查了函数单调性，属于中档题.11.如图，在四棱锥中，平面，，，，，点是棱的中点，与平面交于点，设,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将平面ABE延展,再利用三角形相似得出点F位置，从而得解.【详解】解：过点D作垂直于平面ABCD的直线交AE延长线于点M，连接MP、MB，由题意知平面，PA=AD,且E为DP中点，所以四边形MPAD为正方形，,M,P,B,C四点共面，MB与PC交与点F.,F为PC三等分点(靠近点C)又，.故选：C.【点睛】本题考查平面延展和三角形相似，属于中档题.12.光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则与的离心率之比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的定义，分别列出关系式再做差，得出椭圆双曲线“复合”光学装置中光线路程；然后计算单椭圆光学装置中光线路程，两者相比可得出椭圆长半轴和双曲线实半轴的关系，即可得两离心率的关系.【详解】解：如图，由双曲线定义得：①，由椭圆定义得：②，②-①得：；所以椭圆双曲线“复合”光学装置中，光线从出发到回到左焦点走过的路程为对于单椭圆光学装置，光线经过2次反射后回到左焦点，路程为；由于两次光速相同，路程比等于时间比，所以，所以.所以.故选：B.【点睛】本题考查对圆锥曲线的定义的掌握与应用能力、识图能力、阅读及文字理解能力，属于基础题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.对任意，都有，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据不等式转化为方程，根据判别式求解.【详解】根据题意，m需满足方程=0无解，即，故答案为：.【点睛】本题考查了一元二次不等式及其方程与判别式的关系，属于基础题.14.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为和，如果这时气球的高是30米，则河流的宽度为______米.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，利用特殊角的三角函数，可得答案．【详解】解：由题意可知，，，，．故答案为：.【点睛】本题给出实际应用问题，着重考查了三角函数的定义，属于简单题．15.已知点，，分别是轴、轴上的动点，且满足.若点满足，则点的轨迹方程是______.【答案】【解析】【分析】设点M,N,P三点坐标，根据平面向量垂直特性，列出方程可得结果.【详解】解：设点M坐标（a,0），N坐标（0，b），点P坐标（x,y）,则=（-1，b），=（-a,b），，而=,=,,代入可得.故答案为：.【点睛】本题考查了平面向量垂直的乘积和点的轨迹方程的求法，属于简单题.16.记为数列的前项和，若，，，则等于______. 【答案】131【解析】【分析】根据计算得出，再依次计算出的值，遂得出的值.【详解】解：根据，，，，，从而，.故答案为：131.【点睛】本题考查了数列递推式的运用和运算能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在中，角所对的边分别是，.（1）求角的大小；（2）是边上的中线，若，，求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：，由于，可得：，结合范围，可求的值．（2）由三角形面积公式可求，进而利用余弦定理可得，即可解得的值．【详解】解：（1）在中，，由正弦定理得，∵，∴，∴，即，∵，∴.（2）在中，，，，∴，∴，∵是的中线，∴，在中，由余弦定理得.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.记为等比数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知得到的值，再利用得出q的值，进而得到的值，即得到数列的通项；（2）由（1）可得到，再利用错位相减，可得解.【详解】解：（1）∵，，∴，∴，∴，即，∴数列的通项公式为.（2）由得，即，∴，∴，①，②由①-②得，∴.【点睛】本题考查等比数列的通项、错位相减数列求和等知识，属于基础题.19.如图，四边形是矩形，，，且，，（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）根据勾股定理，求得AC长度，结合FA,FC长度，从而证明FA AC，又由FA BA,故FA 平面ABCD;（2）建立空间直角坐标系，根据条件求出平面和平面的法向量，利用法向量夹角余弦值可得二面角余弦值.【详解】解：（1）∴，∴，即，∴，即.∵四边形为矩形，∴.∵，，，∴.（2）∵，，∴，∵，，∴，∴，，两两互相垂直，建立如图空间直角坐标系，则，，，，，∴，∵，∴平面的一个法向量设平面的一个法向量为，则，即，取，则，，，∴，∴二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考査直线与平面位罝关系，利用空间向量法求二面角，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考査数形结合思想、转化与化归思想.20.设为坐标原点，抛物线的焦点为，点在上，.（1）求的方程；（2）过点的直线与交于，两点，若与圆相切，求的面积【答案】（1）（2）16【解析】【分析】（1）结合已知条件，根据抛物线定义列出方程可得解；（2）设出直线方程，与抛物线联立，结合面积公式和韦达定理即可得解.【详解】解：（1）由抛物线定义，点到准线的距离①∵点在抛物线上，∴②由①②解得，∴抛物线方程为.（2）设直线方程为，，，∵直线与圆相切，∴，即由，得，∴.【点睛】本题主要考查抛物线的定义与标准方程，直线与抛物线、圆的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、函数与方程思想，属于基础题.21.某公司计划在办公大厅建一面长为米的玻璃幕墙.先等距安装根立柱，然后在相邻的立柱之间安装一块与立柱等高的同种规格的玻璃.一根立柱的造价为6400元，一块长为米的玻璃造价为元.假设所有立柱的粗细都忽略不计，且不考虑其他因素，记总造价为元（总造价=立柱造价+玻璃造价）.（1）求关于的函数关系式；（2）当时，怎样设计能使总造价最低？【答案】（1）且；（2）安装8根立柱时，总造价最小. 【解析】【分析】（1）分析题意，建立函数关系模型，即可得出函数关系式；（2）由（1）将函数解析式变形，根据基本不等式，即可求出最值.【详解】解：（1）依题意可知，所以，（2）∵，且，∴.∴，当且仅当，即时，等号成立，又∵，∴当时，.所以，安装8根立柱时，总造价最小.【点睛】本题主要考查函数、基本不等式等知识：考查运算求解能力、数学应用意识；考查函数与方程、化归转化等数学思想，属于中档题.22.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，.（1）求的方程；（2）过点且与轴不重合的直线与交于，两点，直线，分别与直线交于，两点，且以为直径的圆过点.（ⅰ）求的方程；（ⅱ）记，的面积分别为，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，根据条件列出方程求解即可；（2）（ⅰ）设M,N坐标分边为，，直线的方程为，结合椭圆方程可得BM、BN方程，并得出点P、Q坐标的表达式，根据圆过点，故向量，列方程可得m的值；（ⅱ）由（ⅰ），将，的面积，转换为、的表达式，相比可得出的取值范围.【详解】解：（1）依题意得，即，∴，解得，∴椭圆的方程为.（2）（ⅰ）设，，直线的方程为.由得，显然，且，，直线方程为，直线方程为，令，得，，∵以为直径的圆过点，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴的方程为.（ⅱ）由（ⅰ），，∴.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位罝关系、三角形面积公式等知识，考查运算求解能力、推理论证能力：考查数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想.。

试卷第1页，总9页 ………装…___________姓名：………装…绝密★启用前 【市级联考】福建省厦门市2018-2019学年高二上学期期末物理试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．物理学的基本原理在生产生活中有着广泛应用。

下面列举的四种器件中，在工作时利用安培力的是 A ．电动机 B ．回旋加速器 C ．电磁炉 D ．质谱仪 2．某同学做观察电磁感应现象的实验，将电流表线圈A 和B 、蓄电池、开关用导线连接成如图所示的实验电路，实验进行中，下列所描述的现象与实验事实相符合的是 A ．闭合开关瞬间，电流表指针不会发生偏转 B ．开关闭合稳定后，电流表指针会发生偏转，且示数不变 C ．开关闭合稳定后，把线圈A 插入及拔出线圈B 这两个过程，电流表指针都会发生偏转，且偏转方向相反 D ．断开开关瞬间，电流表指针不会发生偏转 3．一带电粒子从电场中的A 点运动到B 点，轨迹如图中虚线所示，带箭头的实线表示电场线。

不计粒子所受重力，则下列说法正确的是（ ）试卷第2页，总9页 ………○…………订…………………○……※※请※※不※内※※答※※题※※………○…………订…………………○…… A ．粒子带正电 B ．粒子在A 点的加速度小于在B 点的加速度 C ．粒子在A 点的速度大于在B 点的速度 D ．粒子在A 点的电势能大于在B 点的电势能 4．在匀强磁场中，一矩形金属线框绕与磁感线垂直的转轴匀速转动，如图1所示，产生的交变电动势的图象如图2所示，则（ ）A ．t ＝0时线框平面与中性面重合B ．t ＝0.01s 时线框的磁通量为0C ．线框产生的交变电动势有效值为10VD ．线框产生交变电动势的频率为100Hz5．如图所示，水平放置的平行板电场，上极板接地，下极板带正电，从板间电场的左边缘P 点可连续水平打出完全相同的带负电的液滴，其初速度都为v 0，垂直进入电场区域，若某液滴恰落在B 点位置，其速度大小为v ，液滴落在下极板后电量即被吸收，则之后的另一液滴落在下极板时，下列说法正确的是A ．可能仍落在B 点B ．可能落在C 点C ．落在下极板时的速度将大于vD ．落在下极板时的速度将小于v6．当病人发生心室纤颤时，必须要用除颤器进行及时抢救，除颤器工作时的供电装置是一个C=70μF 的电容器，它在工作时，一般是让100J 到300J 的电能在2ms 的时间内试卷第3页，总9页 …外…………○……………订…………学校:______________考号：_________…内…………○……………订…………通过病人的心脏部位，已知充电后电容器储存的电能为，下列说法正确的是 A ．除颤器工作时的电功率在50W 到150W 之间 B ．除颤器工作时的电功率在50kW 到150kW 之间 C ．要使除颤器的电容器储存140J 的电能，充电电压需达到20V D ．要使除颤器的电容器储存140J 的电能，充电电压需达到200V 7．如图所示为质谱仪的原理图，某带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器，其内部的匀强磁场磁感应强度为B ，匀强电场的强度为E ，垂直纸面的匀强磁场B 未画出，平板S 上有可让粒子通过的狭缝P 和记录粒子位置的胶片A 1A 2．平板S 下方有强度为B 0的匀强磁场。

…………○名：___________班级…………○绝密★启用前 【市级联考】福建省厦门市2018-2019学年高二上学期月考物理试卷（10月份) 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．如图是两个等量异种电荷形成的电场，AB 为中垂线上两点，CD 为两电荷连线上两点，且A 、B 、C 、D 与O 点间距离相等，则 A ．A 、B 、C 、D 四点场强相同 B ．C 点电势比D 点电势低 C ．正电荷从A 运动到B ，电场力不做功 D ．正电荷从C 运动到D ，电势能增加 2．真空中，两个等量异种点电荷电量数值均为q ，相距为r ，两点电荷连线中点处的电场强度的大小为 A ．0 B ． C ． D ． 3．已知平行板电容器电容为C ，带电量为Q ，板间距离为d ，今在两板正中央 处放一电荷q ，则它受到的电场力大小为 A ． B ． C ． D ． 4．安培提出了著名的分子电流假说．根据这一假说，电子绕核运动可等效为一环形电○……………装……………○……※※要※※※答※※题※※ ○……………装……………○……列关于该环形电流的说法正确的是 A B C D 5．如图所示，某带电粒子在电场中运动，轨迹如图中虚线所示，则可判定A ．A 点电势比B 点低B ．该粒子带正电C ．在A 点电势能小于在B 点电势能D ．在A 点加速度小于在B 点加速度6．如图所示，a 、b 、c 为电场中同一条电场线上的三点，其中c 为a 、b 的中点。

若一个运动的正电荷 只受电场力 先后经过a 、b 两点，a 、b 两点的电势分别为 、 ，则A ．c 点电势为 2VB ．a 点的场强小于 b 点的场强C ．正电荷在 a 点的动能小于在 b 点的动能D ．正电荷在 a 点的电势能小于在 b 点的电势能7．如图所示，a 、b 和c 表示电场中的三个等势面，a 和c 的电势分别为U 和，a 、b的电势差等于b 、c 的电势差 一带电粒子从等势面a 上某处以速度 释放后，仅受电场力作用而运动，经过等势面c 时的速率为 ，则它经过等势面b 时的速率为…………○……订………………线…学校_____考号：______…………○……订………………线…A ． B ． C ． D ． 8．如图所示，在处于O 点的点电荷 形成的电场中，试探电荷 由A 点移到B 点，电场力做功为 ；以OA 为半径画弧交于OB 于C ， 由A 点移到C 点电场力做功为 ； 由C 点移到B 点电场力做功为 则三者的做功关系是 A ． B ． C ． D ．9．如图为一匀强电场，某带电粒子从A 点运动到B 点。

2018-2019学年高二第一学期期末数学试卷（理科）一、选择题1．已知命题p∨q为真，￢p为真，则下列说法正确的是（）A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假2．双曲线x2﹣4y2＝1的渐近线方程为（）A．2x±y＝0 B．x±2y＝0 C．2x±y＝1 D．x±2y＝13．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若S5＝25，a3+a7＝18，则{a n}的公差d等于（）A．﹣2 B．0 C．1 D．24．若实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值是（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．35．若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是（）A．2＜a+b＜2a B．a+b＜2a＜2 C．a+b＜2＜2a D．2＜2a＜a+b6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，设＝，＝，＝，则＝（）A．B．C．D．7．在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积为（）A．B．2或C．2或D．28．已知p：﹣1≤x＜2，q：2a≤x≤a2+1，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．﹣1＜a≤﹣C．﹣＜a≤1 D．﹣≤a＜1 9．已知0＜a＜1，则的最小值是（）A．4 B．8 C．9 D．1010．记S n为数列{a n}的前n项和，若a1＝，a n+1＝2S n+1•S n，则S n的最大值为（）A．﹣1 B．C．1 D．211．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝AP＝2，AB＝BC ＝1，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于点F，设PF＝λPC，则λ＝（）A．B．C．D．12．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出．如图，一个光学装置由有公共焦点F1，F2的椭圆Γ与双曲线Γ′构成，一光线从左焦点F1发出，依次经Γ′与Γ反射，又回到了点F1，历时t1秒；若将装置中的Γ′去掉，此光线从点F1出，经Γ两次反射后又回到了点F1，历时t2秒，若t2＝4t1，则Γ与Γ′的离心率之比为（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．3：4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．对任意x∈R，都有x2+x+m＞0，则实数m的取值范围是．14．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为60°和30°，如果这时气球的高是30米，则河流的宽度BC为米．15．已知点A（1，0），M，N分别是x轴、y轴上的动点，且满足•＝0．若点P满足＝2，则点P的轨迹方程是．16．记S n为数列{a n}的前n项和，若a1＝3，a2n＝2n﹣1+a n，a2n+1＝2n﹣a n，则S12等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a cos B＝b sin A．（1）求角B的大小；（2）AD是BC边上的中线，若AD⊥AB，AB＝2，求AC的长．18．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a1+a3＝10，S4＝30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a n＝，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，四边形ABEF是矩形，AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，AD＝AF＝1，CF＝3．（1）证明：AF⊥平面ABCD；（2）求二面角A﹣DF﹣C的余弦值．20．设O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（a，4）在C上，|MF|＝4．（1）求C的方程；（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，若l与圆H：（x﹣1）2+y2＝相切，求△AOB 的面积．21．某公司计划在办公大厅建一面长为a米的玻璃幕墙，先等距安装x根立柱，然后在相邻的立柱之间安装一块与立柱等高的同种规格的玻璃．一根立柱的造价为6400元，一块长为m米的玻璃造价为（50m+100m2）元，假设所有立柱的粗细都忽略不计，且不考虑其他因素，记总造价为y元（总造价＝立柱造价+玻璃造价）．（1）求y关于x的函数关系式；（2）当a＝56时，怎样设计能使总造价最低？22．已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右顶点为B（2，0），|BF1|＝b．（1）求Γ的方程；（2）过点F1且与x轴不重合的直线l与Γ交于M，N两点，直线BM，BN分别与直线l'：x＝m（m＜0）交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆过点F1．（i）求l'的方程；（ii）记△BMN，△F1PQ的面积分别为S1，S2，求的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知命题p∨q为真，￢p为真，则下列说法正确的是（）A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假【分析】命题p∨q为真是真命题，有三种情况：①p、q均为真，②p真q假，③p假q 真；由已知条件然后逐项判断即可．解：命题p∨q为真是真命题，有三种情况：①p、q均为真，②p真q假，③p假q真；∵￢p也为真命题，⇒p为假命题，q为真，￢q为假命题，由逻辑连词链接的命题真假逐项判断即可．故选：B．2．双曲线x2﹣4y2＝1的渐近线方程为（）A．2x±y＝0 B．x±2y＝0 C．2x±y＝1 D．x±2y＝1【分析】根据双曲线渐近线方程的求法，结合题意，直接计算可得答案．解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣4y2＝1，则其渐近线方程为x2﹣4y2＝0，化简可得x±2y＝0．故x2﹣4y2＝1的渐近线方程为：x±2y＝0．故选：B．3．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若S5＝25，a3+a7＝18，则{a n}的公差d等于（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【分析】结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．解：等差数列{a n}中，S5＝25，a3+a7＝18，∴，解可得，d＝2．故选：D．4．若实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值是（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．3【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，把最优解的坐标代入得答案．解：由实数x，y满足约束条件作出可行域如图：联立，解得A（1，﹣1）化z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值3．故选：D．5．若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是（）A．2＜a+b＜2a B．a+b＜2a＜2 C．a+b＜2＜2a D．2＜2a＜a+b【分析】可使用特殊值代入判断．解：不妨设令a＝2，b＝，则2a＝4＞a+b＝＞2，故BCD错，选A．故选：A．6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，设＝，＝，＝，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据空间向量的几何运算、向量的三角形法则可得结果．解：根据向量的三角形法则得到：＝＝＝＝﹣．故选：A．7．在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积为（）A．B．2或C．2或D．2【分析】利用正弦定理，求出C，从而可求A，利用△ABC的面积•AB•AC•sin A，即可得出结论解：∵△ABC中，B＝30°，AB＝2，AC＝2，∴＝，∴sin C＝，∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°，∴△ABC的面积为•AB•AC•sin A＝2或．故选：C．8．已知p：﹣1≤x＜2，q：2a≤x≤a2+1，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．﹣1＜a≤﹣C．﹣＜a≤1 D．﹣≤a＜1 【分析】根据题中给的充要性，判断集合的包含关系，解出参数．解：p：﹣1≤x＜2，对应的集合为A，q：2a≤x≤a2+1，对应的集合为B，若p是q的必要条件，则B⊆A，则，解之得：﹣，故选：D．9．已知0＜a＜1，则的最小值是（）A．4 B．8 C．9 D．10【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：0＜a＜1，则＝（）[（1﹣a）+a]，＝5+≥5+4＝9，当且仅当即a＝时取等号，此时取得最小值9．故选：C．10．记S n为数列{a n}的前n项和，若a1＝，a n+1＝2S n+1•S n，则S n的最大值为（）A．﹣1 B．C．1 D．2【分析】由数列的递推式：a n+1＝S n+1﹣S n，结合等差数列的定义和通项公式，以及数列的单调性，可得所求最大值．解：a1＝，a n+1＝2S n+1•S n，可得a n+1＝S n+1﹣S n＝2S n+1•S n，即有﹣＝﹣2，可得{}为首项为11，公差为﹣2的等差数列，可得＝11﹣2（n﹣1）＝13﹣2n，即S n＝，当1≤n≤6时，S n递增，且S n＞0，n≥7时，S n＜0，且n＝6时，S n最大，且为1，故选：C．11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝AP＝2，AB＝BC ＝1，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于点F，设PF＝λPC，则λ＝（）A．B．C．D．【分析】延长DC和AB交于一点G，连接EG交PC于点F，由已知可确定点F为三角形的重心，从而可得答案．解：延长DC和AB交于一点G，连接EG交PC于点F，平面ABE即为平面AEG，连接PG，因为AD＝2BC，且AD∥BC，可得点C，B分别是DG和AG的中点，又点E是PD的中点，即GE和PC分别为△PDG的中线，从而可得点F为△PDG的重心，即PF＝λPC，可得λ＝，故选：C．12．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出．如图，一个光学装置由有公共焦点F1，F2的椭圆Γ与双曲线Γ′构成，一光线从左焦点F1发出，依次经Γ′与Γ反射，又回到了点F1，历时t1秒；若将装置中的Γ′去掉，此光线从点F1出，经Γ两次反射后又回到了点F1，历时t2秒，若t2＝4t1，则Γ与Γ′的离心率之比为（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．3：4【分析】利用椭圆与双曲线的定义求解即可．解：在图1中：由椭圆定义可得：BF1+BF2＝2a1①；由双曲线定义可得：AF2﹣AF1＝2a2②；①﹣②得：AF1+AB+BF1＝2a1﹣2a2；∴△ABF1的周长为：2a1﹣2a2；在图2中：∵光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；∴直线AB过F2；∴△ABF1的周长为：4a1；又∵两次时间分别为t1，t2；且t2＝4t1；∵光线速度相同；∴；∴；∵椭圆与双曲线焦点相同，∴c1＝c2；∴；故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．对任意x∈R，都有x2+x+m＞0，则实数m的取值范围是．【分析】利用一元二次不等式的图象即可求解．解：由于对任意x∈R，都有x2+x+m＞0，即函数f（x）＝x2+x+m的图象在x轴上方，与x无交点；即△＝1﹣4m＜0；∴m；故答案为：．14．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为60°和30°，如果这时气球的高是30米，则河流的宽度BC为20米．【分析】由题意画出图形，利用特殊角的三角函数，可得答案．解：由题意可知∠C＝30°，∠BAC＝30°，∠DAB＝30°，AD＝30m，∴BC＝AB＝＝20．故答案为：20．15．已知点A（1，0），M，N分别是x轴、y轴上的动点，且满足•＝0．若点P满足＝2，则点P的轨迹方程是y2＝﹣x．【分析】先求出M、N两点横纵坐标之间的关系，再利用＝2，则可求出点P的轨迹方程．解：设M（m，0），N（0，n），因为•＝0，所以（﹣1，n）（﹣m，n）＝m+n2＝0，设点P（x，y），因为＝2，所以（x﹣m，y）＝2（x，y﹣n），即有x＝m，y＝n，代入得x+y2＝0，即y2＝﹣x．故点P的轨迹方程为y2＝﹣x．故答案为：y2＝﹣x．16．记S n为数列{a n}的前n项和，若a1＝3，a2n＝2n﹣1+a n，a2n+1＝2n﹣a n，则S12等于131 ．【分析】由已知递推式求得数列的前6项，可得a12，再由条件可得a2n+a2n+1＝3•2n﹣1，计算可得所求和．解：a1＝3，a2n＝2n﹣1+a n，a2n+1＝2n﹣a n，可得a2＝4，a3＝﹣1，a4＝6，a5＝0，a6＝3，a12＝32+3＝35，可得a2n+a2n+1＝3•2n﹣1，则S12＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a10+a11）+a12＝3+3（1+2+4+8+16）+35＝131．故答案为：131．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a cos B＝b sin A．（1）求角B的大小；（2）AD是BC边上的中线，若AD⊥AB，AB＝2，求AC的长．【分析】（1）由已知结合正弦定理可求tan B，进而可求B，（2）Rt△ABD中，可知AB＝2，B＝，进而可求∠ADB，AD，BD，在△ADC中，结合余弦定理可求．解：（1）∵a cos B＝b sin A，∴sin A cos B＝sin A sin B，∵sin A≠0，∴cos B＝sin B，即tan B＝，∵B∈（0，π），∴B＝，（2）∵AD是BC边上的中线，且AD⊥AB，∴Rt△ABD中，AB＝2，B＝，∴∠ADB＝，AD＝2，BD＝4，∴△ADC中，AD＝2，CD＝4，∠ADC＝，∴AC＝＝2．18．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a1+a3＝10，S4＝30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）等比数列{a n}的公比设为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；（2）求得b n＝n•（）n，数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．解：（1）等比数列{a n}的公比设为q，a1+a3＝10，S4＝30，可得a1+a1q2＝10，a1+a1q+a1q2+a1q3＝30，解得a1＝q＝2，则a n＝2n；（2）由a n＝，可得2n＝2，即b n＝n•（）n，前n项和T n＝1•+2•+3•+…+n•（）n，T n＝1•+2•+3•+…+n•（）n+1，相减可得T n＝+++…+（）n﹣n•（）n+1＝﹣n•（）n+1，化简可得T n＝2﹣（n+2）•（）n．19．如图，四边形ABEF是矩形，AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，AD＝AF＝1，CF＝3．（1）证明：AF⊥平面ABCD；（2）求二面角A﹣DF﹣C的余弦值．【分析】（1）连接AC，通过计算AC2+AF2＝FC2，推出AF⊥AC，结合四边形ABEF是矩形，得到AF⊥AB，然后证明AF⊥平面ABCD；（2）以AD，AB，AF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ADF的一个法向量，平面DFC的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可．【解答】（1）证明：连接AC，因为AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，AD＝AF＝1，CF＝3．所以AC＝＝2，满足AC2+AF2＝FC2，所以AF⊥AC，四边形ABEF是矩形，所以AF⊥AB，AB∩AC＝A，所以AF⊥平面ABCD；（2）解：以AD，AB，AF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（1，0，0），F（0，0，1），C（2，2，0），可知平面ADF的一个法向量为＝（0，1，0），设平面DFC的法向量为＝（x，y，z），＝（﹣1，0，1），＝（1，2，0），所以，取x＝2，则y＝﹣1，z＝2，所以＝（2，﹣1，2）．二面角A﹣DF﹣C的平面角为θ，则cosθ＝＝＝﹣．20．设O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（a，4）在C上，|MF|＝4．（1）求C的方程；（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，若l与圆H：（x﹣1）2+y2＝相切，求△AOB 的面积．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义和点满足抛物线方程，解得p，可得抛物线方程；（2）求得F的坐标，设直线l的方程y＝k（x﹣2），求得圆H的圆心和半径，运用直线和圆相切的条件：d＝r，解方程可得斜率k，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式可得|AB|，结合点到直线的距离公式，由三角形的面积公式计算可得所求值．解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，点M（a，4）在C上，|MF|＝4，可得a+＝4，2pa＝16，解得p＝4，则C的方程为y2＝8x；（2）由（1）可得F（2，0），设直线l的方程为y＝k（x﹣2），圆H：（x﹣1）2+y2＝的圆心H（1，0），半径为，l与圆H：（x﹣1）2+y2＝相切，可得＝，解得k＝±，则直线l的方程为y＝±（x﹣2），联立抛物线方程y2＝8x；可得x2﹣28x+4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝28，可得|AB|＝x1+x2+4＝28+4＝32，又O到直线AB的距离为d＝＝1，则△ABO的面积为×1×32＝16．21．某公司计划在办公大厅建一面长为a米的玻璃幕墙，先等距安装x根立柱，然后在相邻的立柱之间安装一块与立柱等高的同种规格的玻璃．一根立柱的造价为6400元，一块长为m米的玻璃造价为（50m+100m2）元，假设所有立柱的粗细都忽略不计，且不考虑其他因素，记总造价为y元（总造价＝立柱造价+玻璃造价）．（1）求y关于x的函数关系式；（2）当a＝56时，怎样设计能使总造价最低？【分析】（1）根据条件建立函数关系即可．（2）利用基本不等式的性质进行求解解：（1）由题意得＝x﹣1，则m＝，则y＝6400x+[+100（）2]（x﹣1）＝6400x+50a+，（x∈N•且x≥2）．（2）y＝6400x+50a+＝100[64（x﹣1）+]+50a+6400，∵x∈N•且x≥2，∴x﹣1＞0，∴y≥200+50a+6400＝1650a+6400，当且仅当64（x﹣1）＝，即x﹣1＝，即x＝+1时取等号，∵a＝56，∴x＝+1＝7+1＝8时，取得最小值，即等距安装8立柱时，总造价最低．22．已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右顶点为B（2，0），|BF1|＝b．（1）求Γ的方程；（2）过点F1且与x轴不重合的直线l与Γ交于M，N两点，直线BM，BN分别与直线l'：x＝m（m＜0）交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆过点F1．（i）求l'的方程；（ii）记△BMN，△F1PQ的面积分别为S1，S2，求的取值范围．【分析】（1）由题意得a，a+c与b的关系和a，b，c之间的关系求出椭圆方程；（2）（i）设直线l的方程及M，N的坐标联立与椭圆的方程，求出两根之和与之积，再写出直线BM，BN的方程，与直线x＝m联立求出P，Q的坐标，用以PQ为直径的圆过点F1．得数量积为零，求出m的值；（ii）由上一问得面积用坐标表示写出比值，由t的范围求出比的范围．【解答】解（1）由题意得，a＝2，a+c＝b，b2＝a2﹣c2，解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为：＝1；（2）i）显然直线l的斜率不为零，设直线l的方程为x＝ty﹣1，M（x，y），N（x'，y'），联立与椭圆的方程整理的：（4+3t2）y2﹣6ty﹣9＝0，y+y'＝，yy'＝，x+x'＝t（y+y'）﹣2＝，xx'＝t2yy'﹣t（y+y'）+1＝，所以直线BN：y＝（x﹣2），令x＝m，所以y＝，即Q的坐标（m，），同理可得P（m，），由题意得＝0，∴（m+1）2+＝0，即（m+1）2+＝0∴（m+1）2＝，m＜0，解得：m＝﹣4．所以l'的方程x＝﹣4．ii）S△BMN＝|BF2|•|y﹣y'|＝•|y﹣y'|；S＝•[﹣1﹣（﹣4）]•|y P﹣y Q|＝•3•＝|y ﹣y'|，∴＝∈（0，3]，即面积之比的范围（0，3]．。

2018-2019学年福建省厦门科技中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.数列，，，，的一个通项公式为A. B.C. D.【答案】D【解析】解：由已知中数列，，，，可得数列各项的分母为一等比数列，分子，又数列所有的奇数项为正，偶数项为负故可用来控制各项的符号，故数列的一个通项公式为故选：D．根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用来控制各项的符号，再由各项的分母为一等比数列，分子，由此可得数列的通项公式．本题考查数列的通项公式的求解，找出其中的规律是解决问题的关键，属基础题．2.若，那么下列命题中正确的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，若，则A，B不成立，C不一定成立，例如取，．而，解得，因此D正确．故选：D．利用不等式的基本性质即可判断出正误．本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若a：b：：7：8，则的大小为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：中，a：b：：7：8，可设，，，其中，则，又，，．故选：B．利用余弦定理求出与B的值，再求的值．本题考查了余弦定理与三角形内角和定理的应用问题，是基础题．4.若不等式的解集不是空集，则实数m的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：不等式的解集不是空集，，，实数m的取值范围是故选：B．根据题意，利用判别式求得m的取值范围．本题考查了一元二次不等式解集的应用问题，是基础题．5.已知x，y满足约束条件，则的最大值为A. 3B. 4C.D.【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分．由得，平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得，代入目标函数得．即目标函数的最大值为4．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求出最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．6.已知数列中，，，且数列是等差数列，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，且数列是等差数列，，，，，．故选：A．由数列是等差数列及，的值可求公差d，然后代入等差数列的求和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式在求解项中的简单应用，要灵活应用公式．7.在中，，BC边上的高等于，则A. B. C. D. 3【答案】A【解析】解：如图所示：在中，，BC边上的高AD等于，设，则：，由于：，所以为等腰直角三角形．故：，，利用勾股定理得：，，则：，解得：由于：，所以：，故：，所以：，则：，故选：A．根据题意，首先利用勾股定理，求出三角形的三边关系式，进一步利用三角形的面积公式求出A的正弦值，进一步利用同角三角函数的关系式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，解三角形知识的应用，勾股定理的应用和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，”则该人第四天走的路程为A. 3里B. 6里C. 12里D. 24里【答案】D【解析】解：设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得：，解得里，里．故选：D．设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得：，求出里，由此能求出该人第四天走的路程．本题考查等比数列的第4项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．9.已知，则有A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，故选：D．利用对数函数的性质，比较、与1的大小，可得结论．本题考查对数值大小的比较，是基础题．10.已知的三边长为a、b、c，满足直线与圆相离，则是A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 以上情况都有可能【答案】C【解析】解：直线与圆相离，圆心到直线的距离，即，故是钝角三角形，故选：C．由题意可得，圆心到直线的距离，即，故是钝角三角形．本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，得到圆心到直线的距离，是解题的关键．11.已知数列是各项均为正数的等差数列，其前13项和，则的最小值为A. 8B. 9C. 12D. 16【答案】B【解析】解：数列是各项均为正数的等差数列，，，，，则，当且仅当且，即，时取等号，故选：B．由已知及数列的求和公式可求，然后结合等差数列的性质可求，从而，然后利用基本不等式可求．本题主要考查了等差数列的求和公式及性质，还考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是1的代换．12.若直线与圆交于M，N两点，且点M，N关于直线对称，动点在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：、N两点，关于直线对称，又的圆心在直线上原不等式组变为不等式组作出不等式组表示的平面区域，如图又因为表示点与点连线的斜率．故当过点时，则取最小值．当过时，则取最大值．的取值范围是．故选：B．由M与N关于对称得到直线与垂直，利用两直线垂直时斜率的乘积为，得到k的值；设出M与N的坐标，然后联立与圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理得到两横坐标之和的关于m的关系式，再根据MN的中点在上得到两横坐标之和等于，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，把k的值和m的值代入不等式组，在数轴上画出相应的平面区域，先由条件求出，，再画出对应的平面区域，把看成平面区域内的点与连线的斜率，利用图形可得结论．本题是简单的线性规划与直线和直线以及直线与圆的位置关系的一道综合题，是对知识的综合考查利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与的斜率的取值范围．二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.不等式的解集为______．【答案】【解析】解：根据题意，且，解可得：，即不等式的解集为；故答案为：根据题意，原不等式变形可得且，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式转化为整式不等式，属于基础题．14.在等差数列中，，则______．【答案】6【解析】解：等差数列中，，则由等差数列的性质可知，，求出，然后代入可求．本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题．15.设，，则的最小值为______．【答案】【解析】解：，，则．当且仅当，且即，时取等号．故答案为：．由已知可得，，利用基本不等式即可求解本题主要考查了基本不等式在求解最值的应用，基本不等式条件的配凑是求解本题的难点．三、解答题（本大题共7小题，共75.0分）16.如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D，测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高AB等于______．【答案】解：在中，，由正弦定理，得，所以在中，．所以塔高AB为m．【解析】先根据三角形内角和为，求得，再根据正弦定理求得BC，进而在中，根据求得AB本题考查了解三角形的实际应用，考查学生的计算能力，属于基础题．17.先阅读下列结论的证法，再解决后面的问题：已知，，，求证．【证明】构造函数则因为对一切，恒有．所以，从而得，若，，，，，请写出上述结论的推广式；参考上述解法，对你推广的结论加以证明．【答案】解：若，，，，，求证：，证明：构造函数因为对一切，都有，所以从而证得：【解析】由已知中已知，，，求证，及整个式子的证明过程，我们根据归纳推理可以得到一个一般性的公式，若，，，，，则．但此公式是由归纳推理得到的，其正确性还没有得到验证，观察已知中的证明过程，我们可以类比对此公式进行证明．归纳推理的一般步骤是：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题猜想对归纳得到的一般性结论进行证明．18.如图，在中，，，，P为内一点，Ⅰ若，求PA；Ⅱ若，求．【答案】解：Ⅰ由已知得，，在中，由余弦定理得，．Ⅱ设，由已知得，，在中，由正弦定理得，化简得，，．【解析】Ⅰ由已知得，可得，在中，由余弦定理即可得出．设，由已知得，，在中，由正弦定理得，化简整理即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若，且，，成等比数列．问：249是数列的项吗？请说明理由；若，求数列的前n项和．【答案】解：公差d不为零的等差数列的前n项和为，若，且，，成等比数列，可得，即，即为，，由，即有，可得，，由，可得，即249为数列中的第125项；，则前n项和．【解析】公差d不为零的等差数列的前n项和为，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，由通项公式解方程可得249是否为数列中的项；求得，运用数列的裂项相消求和，即可得到所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20.已知的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且．求角A的大小；设AD为BC边上的高，，求AD的取值范围．【答案】本题满分为12分解：由，得：，分，分在中，，，且，分，即，分，分，分解法一：，分，分根据余弦定理有，即分又，，即分分的取值范围为分解法二：，分，分由正弦定理得，所以，，分又，，分， ，，即AD 的取值范围为 分【解析】 由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合 ，可求得 ，由范围 ，可得A 的值．解法一：利用三角形面积公式可求，根据余弦定理，基本不等式可求 ，即可得解．解法二：利用三角形面积公式可求，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，，结合， ，利用正弦函数的性质可求AD 的取值范围．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式，正弦函数的性质等知识的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．21. 某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1t A ，1t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：在现有原料条件下，生产，两种产品各多少时，才能使利润最大？每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？ 【答案】解： 设生产A 、B 两种产品分别为xt ，yt ，其利润总额为z 万元， 根据题意，可得约束条件为；作出可行域如图所示： 目标函数为 ， 作直线 ： ，再作一组平行于 的直线l ： ， 当直线l 经过P 点时 取得最大值， 由，解得交点，所以生产A产品，B产品时，才能使利润最大，最大值为万元；设B产品的利润为a万元，则利润函数为，其斜率为；且直线，斜率为；直线，斜率为；根据题意得，，解得；所以每吨B产品的利润在～范围变化时，原最优解不变；当超出这个范围时，最优解将变为或．【解析】设生产A、B两种产品分别为xt，yt，其利润总额为z万元，列出约束条件，作出可行域，求出最优解，计算目标函数的最大值；设B产品的利润为a万元，写出利润函数，利用斜率值列出不等式，求出a的取值范围，根据图形求超出这个范围时最优解的变化．本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是中档题．22.已知数列的前n项和和通项，且，，在数列中，，，．求数列，的通项公式；数列满足，求证：当时，．【答案】解：当时，，即，所以分由，得当时，，此时，即又，，当时，分从第二项起，是公比为的等比数列，此时，分分由得，又因为，，所以，，数列是首项为1，公差为1的等差数列，分，即分证明：当时，，设，则，，分，分，分，分，，分，即当时，分【解析】求出，推出从第二项起，是公比为的等比数列，然后求解数列的通项公式说明数列是首项为1，公差为1的等差数列，得到通项公式．设，利用错位相减法求解数列的和，然后推出不等式即可．本题考查数列的应用，通项公式的求法，数列求和，以及不等式的证明，考查分析问题解决问题的能力．。

福建省厦门市厦门大学附属科技中学2019届高三上学期期中考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|y =log 2(x −2)}，B ={x|x 2≥9}，则A ∩(∁R B)=( )A. [2,3)B. (2,3)C. (3,+∞)D. (2,+∞)【答案】B【解析】解：A ={x|y =log 2(x −2)}={x|x −2>0}={x|x >2}，B ={x|x 2≥9}={x|x ≥3或x ≤−3}， ∁R B ={x|−3<x <3}，则A ∩(∁R B)={x|2<x <3}=(2,3) 故选：B ．根据条件求出集合A ，B 的等价条件，结合集合的补集和交集的定义进行求解即可． 本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2. 若集合A ={1,m 2}，B ={2,9}，则“m =3”是“A ∩B ={9}”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：由A ∩B ={9}，可得m 2=9，解得m =±3． ∴m =3是“A ∩B ={9}”的充分不必要条件， 故选：A ．由A ∩B ={9}，可得m 2=9，解得m ，即可判断出结论．本题考查了集合的运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 若a <b <0，则下列结论中正确的是( )A. a 2<b 2B. ab <b 2C. (12)a <(12)b D. b a +ab >2【答案】D【解析】解：∵a <b <0，∴a 2>b 2，ab >b 2，(12)a >(12)b ，b a+a b>2√b a⋅a b=2．因此只有D 正确． 故选：D ．利用不等式的性质、函数的单调性即可判断出．本题考查了不等式的性质、函数的单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4. 已知等比数列{a n }中，a 2=2，a 5=14，数列{a n }的前4项的和S 4=( )A. 32B. 72C. 152D. 52【答案】C【解析】解：根据题意，设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ， 若a 2=2，a 5=14，则a 1×q =2，a 1×q 4=14， 解可得：q =12，a 1=4， 则数列{a n }的前4项的和S 4=a 1(1−q 4)1−q=152；故选：C ．根据题意，设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由等比数列的通项公式可得a 1×q =2，a 1×q 4=14，解可得a 1、q 的值，将其值代入等比数列的前n 项和公式计算可得答案．本题考查等比数列的前n 项和的计算，关键是求出数列的首项与公比，属于基础题．5. 函数f(x)=sinxx 2+1的图象大致为( )A.B.C.D.【答案】A【解析】解：此函数是一个奇函数，故可排除C ，D 两个选项； 又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在X 轴下方，当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在x 轴上方，故可排除B ，A 选项符合， 故选：A ．先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项．本题考查由函数的性质确定函数图象，其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性，再研究某些特殊值．6. 已知α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则以下命题正确的是( )A. 若m//n ，n ⊂α，则m//αB. 若m//α，α∩β=n ，则m//nC. 若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α//βD. 若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β【答案】D【解析】解：对于A ，若m//n ，n ⊂α，则m//α不正确， 因为m ⊂α时不成立；对于B ，若m//α，α∩β=n ，则m//n 不正确， 因为m 与n 可能是异面直线；对于C ，若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α//β不正确， 因为α与β也可能垂直；对于D ，若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β正确， 由面面垂直的判断定理得出命题正确． 故选：D ．根据空间中的线线、线面、面面之间的位置，判断选项中的命题是否正确即可．本题利用命题真假的判断，考查了空间中的线线、线面、面面之间的位置应用问题，是中档题．7. 已知函数f(x)={f(x −4),x ≥0log 2(−x),x<0，则f(2019)=( )A. 1B. log 32C. 0D. −1【答案】C【解析】解：根据题意，函数f(x)={f(x −4),x ≥0log 2(−x),x<0， 则f(2019)=f(−1+4×505)=f(−1)， 又由f(−1)=log 2[−(−1)]=log 21=0， 则f(2019)=0； 故选：C ．根据题意，由函数的解析式分析可得f(2019)=f(−1+4×505)=f(−1)，结合函数的解析式计算可得答案． 本题考查分段函数的求值，关键是掌握分段函数的解析式，属于基础题．8. 已知三棱锥的正视图与俯视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】解：由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形，由正视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，且其长度为2故其侧视图为直角边长为2和√3的直角三角形，故选：B．利用俯视图与正视图，由三视图的画法可判断三棱锥的侧视图．本题主要考查空间几何体的直观图，以及学生的空间想象能力，是个基础题．9.数列{a n}满足a n+a n+1=(−1)n⋅n，则数列{a n}的前20项的和为()A. −100B. 100C. −110D. 110【答案】A【解析】解：∵数列{a n}满足a n+1+a n=(−1)n⋅n，∴a2k−1+a2k=−(2k−1)．则数列{a n}的前20项的和=−(1+3+⋯…+19)=−10×(1+19)2=−100．故选：A．数列{a n}满足a n+1+a n=(−1)n⋅n，可得a2k−1+a2k=−(2k−1).即可得出．本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.将函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)，x∈R，图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到y=g(x)图象，若函数g(x)在区间(−π2,π2)单调递增，则ω的最大值为()A. 12B. 14C. 34D. 2【答案】B【解析】解：f(x)=sinωx +cosωx =√2sin(ωx +π4)， 由题意可得：g(x)=√2sin(2ωx +π4)． 由−π2+2kπ≤2ωx +π4≤π2+2kπ， 得−3π8ω+kπω≤x ≤π8ω+kπω，k ∈Z ，取k =0，可得g(x)的一个增区间为[−3π8ω,π8ω]， ∵函数g(x)在区间(−π2,π2)单调递增， ∴{−3π8ω≤−π2π8ω≥π2，得ω≤14．∴ω的最大值为14． 故选：B ．利用辅助角公式化积，再由函数的图象变换得到g(x)，求其单调增区间，结合g(x)在区间(−π2,π2)单调递增列式求解．本题考查y =Asin(ωx +φ)型函数的图象变换与性质，是中档题．11. 已知函数f(x)(x ∈R)满足f(−x)+f(x)=2，若函数y =x+1x与y =f(x)的图象的交点为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x m ,y m )，则(x 1+y 1)+(x 2+2)+⋯+(x m +y m )等于( )A. 0B. mC. 2mD. 4m【答案】B【解析】解：函数f(x)(x ∈R)满足f(−x)+f(x)=2， 可得f(x)关于点(0,1)对称， 函数y =x+1x，即y =1+1x 的图象关于点(0,1)对称，即有(x 1,y 1)为交点，即有(−x 1,2−y 1)也为交点， (x 2,y 2)为交点，即有(−x 2,2−y 2)也为交点，…则有(x 1+y 1)+(x 2+y 2)+⋯+(x m +y m )=12[(x 1+y 1)+(−x 1+2−y 1)+(x 2+y 2)+(−x 2+2−y 2)+⋯+(x m +y m )+(−x m +2−y m )]=m ． 故选：B ．由条件f(x)+f(−x)=2，即有f(x)关于点(0,1)对称，又函数y =x+1x，即y =1+1x 的图象关于点(0,1)对称，即有(x 1,y 1)为交点，即有(−x 1,2−y 1)也为交点，计算即可得到所求．本题考查抽象函数的运用：求和，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．12. 已知f′(x)是函数f(x)的导函数，且对任意的实数x 都有f′(x)=e x (2x +3)+f(x)(e 是自然对数的底数)，f(0)=1，若不等式f(x)−k <0的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是( )A. [−1e ,0)B. [−1e 2,0] C. (−1e 2,0] D. (−1e 2,0)【答案】C【解析】解：令G(x)=f(x)e x，则G′(x)=f ′(x)−f(x)e x=2x +3，可设G(x)=x 2+3x +c ， ∵G(0)=f(0)=1.∴c =1． ∴f(x)=(x 2+3x +1)e x ，∴f′(x)=(x 2+5x +4)e x =(x +1)(x +4)e x ． 可得：x =−4时，函数f(x)取得极大值，x =−1时， 函数f(x)取得极小值．f(−1)=−1e ，f(0)=1，f(−2)=−1e 2<0，f(−3)=1e3>0．∴−1e 2<k ≤0时，不等式f(x)−k <0的解集中恰有两个整数−1，−2． 故k 的取值范围是(−1e 2,0]． 故选：C ． 令G(x)=f(x)e x，可得G′(x)=f ′(x)−f(x)e x=2x +3，可设G(x)=x 2+3x +c ，G(0)=f(0)=1.解得c =1．f(x)=(x 2+3x +1)e x ，利用导数研究其单调性极值与最值并且画出图象即可得出．本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值及其图象性质、方程与不等式的解法、数形结合思想方法、构造方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x 、y 满足{x ≤2y ≤2x +y −3≥0，则z =2x −3y 的最大值是______．【答案】1【解析】解：作出不等式组{x ≤2y ≤2x +y −3≥0表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部， 其中A(1,2)，B(2,1)，C(2,2)设z =F(x,y)=2x −3y ，将直线l ：z =2x −3y 进行平移， 当l 经过点B 时，目标函数z 达到最大值∴z 最大值=F(2,1)=1故答案为：1作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z =2x −3y 对应的直线进行平移，可得当x =2且y =1时，z =2x −3y 取得最大值1．本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．14. 已知平面向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π3，|a ⃗ |=2，|a ⃗ −b ⃗ |=2√3，则|b ⃗ |=______． 【答案】4【解析】解：∵平面向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π3，|a ⃗ |=2，|a ⃗ −b ⃗ |=2√3，∴a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=4−2×2×|b ⃗ |×cos π3+|b ⃗ |2=12，则|b ⃗ |=4，或|b ⃗ |=−2(舍去)， 故答案为：4．由题意利用两个向量的数量积的定义，求得|b ⃗ | 本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．15. 抛物线y =x 2在A(1,1)处的切线与x 轴及该抛物线所围成的图形面积为______． 【答案】112【解析】解：函数的导数为f′(x)=2x ， 则在(1,1)处的切线斜率k =f′(1)=2，则对应的切线方程为y −1=2(x −1)，即y =2x −1， 令y =0，得x =12，则由积分的几何意义可得阴影部分的面积S =∫(10x 2−(2x −1))dx −12×12×1=13−14=112， 故答案为：112．求出函数的切线方程，利用积分的几何意义即可求出区域的面积．本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义求出切线方程，以及利用积分求区域面积是解决本题的关键．16. 对∀x 1∈R ，∃x 2∈[3,4]，使得不等式x 12+x 1x 2+x 22≥2x 1+mx 2+3成立，则实数m 的取值范围是______． 【答案】(−∞,3]【解析】解：由x 12+x 1x 2+x 22≥2x 1+mx 2+3得：x 12+(x 2−2)x 1≥−x 22+mx 2+3， ∴当x 1=1−x22时，x 12+(x 2−2)x 1取得最小值(1−x 22)2+(x 2−2)(1−x 22)=−x 224+x 2−1，∴−x 224+x 2−1≥−x 22+mx 2+3，∵x 2>0，∴m ≤34x 2−4x 2+1，∵x 2∈[3,4]，∴34x 2−4x 2+1的最大值为3．∴m ≤3．故答案为：(−∞,3]．根据二次函数的性质计算x12+(x2−2)x1的最小值，从而得出x2与m之间的关系，分类参数得出m≤34x2−4x2+ 1，求出右侧函数的最大值即可得出m的范围．本题考查了二次函数的性质，函数存在性问题与函数最值的关系，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=√3sinxcosx+cos2x.(1)若x∈[0,π4]，求f(x)的最大值及相应的x；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(B2)=32，a=5，b=5√3，求△ABC的面积．【答案】解：(1)f(x)=√3sinxcosx+cos2x.=√32sin2x+12cos2x+12，=sin(2x+π6)+12，由于：x∈[0,π4]，所以：2x+π6∈[π6,2π3]，当x=π6时，函数的最大值为32．(2)由于：f(B2)=32，所以：f(B2)=sin(B+π6)+12=32，解得：B=π3，由于a=5，b=5√3，所以：b2=a2+c2−2accosB，整理得：c2−5c−50=0，解得：c=10．所以：S△ABC=12acsinB=12⋅5⋅10⋅√32=25√32．【解析】(1)直接利用三角函数关系是的恒等变换，再利用正弦型函数的性质求出结果．(2)利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.已知等差数列{a n}中，公差d≠0，S7=35，且a2，a5，a11成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若T n为数列{1a n a n+1}的前n项和，且存在n∈N∗，使得T n−λa n+1≥0成立，求实数λ的取值范围．【答案】解：(1)由题意可得：{7a1+7×62d=35(a1+4d)2=(a1+d)(a1+10d)，d≠0，化为{2d=a1a1+3d=5，解得{d=1a1=2，∴a n=2+(n−1)=n+1．(2)1a n a n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2．∴T n=(12−13)+(13−14)+⋯+(1n+1−1n+2)=12−1n+2．不等式T n−λa n+1≥0，即12−1n+2−λ(n+2)≥0.化为：λ≤n2(n+2)2．∵n2(n+2)2=12(n+4n+4)≤12×(2√4+4)=116.当且仅当n=2时取等号．∵存在n∈N∗，使得T n−λa n+1≥0成立，∴实数λ的取值范围是(−∞,116]．【解析】(1)由题意可得：{7a1+7×62d=35(a1+4d)2=(a1+d)(a1+10d)，d≠0，化为{2d=a1a1+3d=5，解出即可得出．(2)1a n a n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2.利用裂项求和方法、基本不等式的性质即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.如图所示，四棱锥P−ABCD的底面为矩形，PA=PB=PC=PD=1，BC=1，AB=√2，E是PD的中点，棱PC与平面ABE交于点F．(1)试判断点F的位置，并加以证明；(2)求二面角E−AC−D的余弦值．【答案】解：(1)F是PC的中点，理由如下：∵AB//CD，CD⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，∴CD//平面ABE．∵CD//平面ABE，平面ABE∩平面PCD=EF，CD⊂平面PCD，∴CD//EF.又E为PD中点，∴F是PC的中点．(2)连接PO，∵四棱锥P−ABCD的底面为矩形，∴AO=OC，∵PA=PC，∴PO⊥AC．同理PO⊥DB，∴PO⊥面ABCD．故以O为原点，OP为z轴，过O平行于AD的直线为x轴．过O平行于CD的直线为y轴，几类空间直角坐标系．可得A(12,−√22,0)，B(12,√22,0)，C(−12,√22,0)，D(−12,−√22,0)，P(0,0，12)，E(−14,−√24,14). EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(34,−√24,−14)，OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−√22,0)， 显然OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ACD 的一个法向量． 设n⃗ =(x,y,z)是面ACE 的法向量， 则{n ⃗ ⋅EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =34x −√24y −14z =0n ⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −√22y =0⇒n ⃗ =(√2,1,2√2) ∴cos <OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=n ⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 12×√11=2√2211， ∴二面角E −AC −D 的余弦值为2√2211． 【解析】(1)利用线面平行的性质判定F 是PC 的中点．(2)建立空间直角坐标系.分别求出平面ACD 的一个法向量和平面ACE 的一个法向量，然后代入向量夹角公式，即可得到答案．本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的性质，其中建立空间坐标系，将线面平行问题及二面角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．20. 为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销.经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p 万件与促销费用x 万元满足：p =3−2x+1(其中0≤x ≤a ，a 为正常数).已知生产该产品还需投入成本10+2p 万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4+20p)元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求． (Ⅰ)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；(Ⅱ)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值． 【答案】解：(Ⅰ)由题意知，y =(4+20p)p −x −(10+2p)，将p =3−2x+1代入化简得：y =16−4x+1−x(0≤x ≤a)； (Ⅱ)y′=−1−−4(x+1)2=−(x+1)2+4(x+1)2=−x 2+2x−3(x+1)2=−(x+3)(x−1)(x+1)2，当a ≥1时，x ∈(0,1)时 0'/>，所以函数y =16−4x+1−x 在(0,1)上单调递增，当x ∈(1,a)时，所以函数y =16−4x+1−x 在(1,a)上单调递减，从而促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a <1时，因为函数y =16−4x+1−x 在(0,1)上单调递增， 所以在[0,a]上单调递增，故当x =a 时，函数有最大值． 即促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为16−41+1−1=13万元；当a<1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大，为16−4a+1−a万元．【解析】(Ⅰ)根据产品的利润=销售额−产品的成本建立函数关系；(Ⅱ)利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．21.已知定义在R上的函数f(x)=2x−12|x|．(1)若f(x)=32，求x的值；(2)若2t f(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：由题意：f(x)=2x−12|x|定义在R上的函数，∴f(x)={2x−12x,(x>0)0,(x≤0) (1)当x≤0时，f(x)=0，无解当x>0时，f(x)=2x−12x，由f(x)=32，即：2x−12x=32，化简：2⋅22x−3⋅2x−2=0因式分解：(2x−2)(2⋅2x+2)=0解得：解得2x=2或2x=−12，∵2x>0，故：x=1．(2)当t∈[1,2]时，f(2t)=22t−122t ，f(t)=2t−12t那么：2t(22t−122t )+m(2t−12t)≥0整理得：m(22t−1)≥−(24t−1)∵22t−1>0，∴m≥−(22t+1)恒成立即可．∵t∈[1,2]，∴−(22t+1)∈[−17,−5]．要使m≥−(22t+1)恒成立，只需m≥−5故：m的取值范围是[−5,+∞)．【解析】(1)化简f(x)去掉绝对值，直接进行带值计算即可．2t(22t−122t )+m(2t−12t)≥0(2)求出f(2t)，f(t)带入，构造指数函数，利用指数函数的图象及性质对t∈[1,2]恒成立求解．本题考查了指数函数的性质及运用能力和化简能力，取值范围问题转化为恒成立问题.属于中档题．22.函数f(x)=lnx+12x2+ax(a∈R)，g(x)=e x+32x2．(1)讨论f(x)的极值点的个数；(2)若对于∀x>0，总有f(x)≤g(x).(i)求实数a的取值范围；(ii)求证：对于∀x>0，不等式e x+x2−(e+1)x+ex>2成立．【答案】解：(1)由题意得，当a2−4≤0，即−2≤a≤2时，恒成立，无极值点；当a2−4>0，即a<−2或a>2时，①a<−2时，设方程x2+ax+1=0两个不同实根为x1，x2，不妨设x1<x1，x2，则x1+x2=−a>0，x1x2=1>0，故0<x1<x2，∴x1，x2是函数的两个极值点．②a>2时，设方程x2+ax+1=0两个不同实根为x1，x2，则x1+x2=−a<0，x1x2=1>0，故x1<0，x2<0，故函数没有极值点．综上，当a<−2时，函数有两个极值点；当a≥−2时，函数没有极值点．(2)(i)f(x)≤g(x)等价于e x−lnx+x2≥ax，由x>0，即a≤e x+x2−lnxx对于∀x>0恒成立，设φ(x)=e x+x2−lnxx(x>0)，φ′(x)=e x(x−1)+lnx+(x+1)(x−1)x2，∵x>0，∴x∈(0,1)时，，φ(x)单调递减，x∈(1,+∞)时，0'/>，φ(x)单调递增，∴φ(x)≥φ(1)=e+1，∴a≤e+1．(ii)(ii)由(i)知，当a=e+1时有f(x)≤g(x)，即：e x+32x2≥lnx+12x2+(e+1)x，等价于e x+x2−(e+1)x≥lnx…①当且仅当x=1时取等号，以下证明：lnx+ex≥2，设θ(x)=lnx+ex ，则θ′(x)=1x−ex2=x−ex2，∴当x∈(0,e)时，θ(x)单调递减，x∈(e,+∞)时0'/>，θ(x)单调递增，∴θ(x)≥θ(e)=2，∴lnx+ex≥2，②当且仅当x=e时取等号；由于①②等号不同时成立，故有e x+x2−(e+1)x+ex>2．【解析】(1)求f(x)的导数f′(x)，根据x>0求出的值域，讨论a的值得出f′(x)的正负情况，判断f(x)的单调性和极值点问题；(2)(i)f(x)≤g(x)等价于e x−lnx+x2≥ax，由x>0，利用分离常数法求出a的表达式，再构造函数求最值即可；(ii)由(i)结论，a=e+1时有f(x)≤g(x)，得出不等式，再进行等价转化，证明转化的命题成立即可．本题考查了函数与导数的综合应用问题，也考查了求函数最值与不等式恒成立问题，是综合性问题．。