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六讲二维及三维空间的变换概念及其矩阵表示-精品

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第六讲：二维及三维空间的变换概念及其矩阵表示

第六讲：二维及三维空间的变换概念及其矩阵表示

齐次坐标几何意义
三元组一般用来表示三维空间中
的点，但是此处是用来表示二维
空间的点。这两种表示之间具有
以下联系：如果取所有代表同一
点的三元组，即所有形式为
(tx,ty,W)的三元组（其中t≠0），
便可得到三维空间中的一条直线，
因此，每一个齐次点就代表了三
维空间中的一条直线。又由于我
们可以将一点的坐标齐次化（通
本讲介绍计算机图形学经常用到的基本的二维和三维几何变换，其 中的平移变换、比例变换和旋转变换对很多图形应用程序来说极其 重要。 许多应用程序或图形子程序软件包需要用到各种变换，例如：一个 城市规划程序，利用平移变换将表示建筑物和树木的图符移到合适 的位置，利用旋转变换确定图符的朝向，以及利用比例变换确定图 符的大小。一般来说，很多应用程序在绘图时都要用到几何变换来 改变物体（也称为图符或模板）的位置、方向和大小。本讲还介绍 如何应用三维变换(旋转变换、平移变换和比例变换)作为创建三维 物体的二维显示过程的一部分。
射变换，只保留线段之间的平行关系，不 保持长度和角度不变。
既不会变成单位边长的菱形，也不会变成非单位边长的正方形。这种变换也被称
为刚体变换，因为进行变换的物体不会有任何变形。任意顺序的旋转、平移变换
都等同于这种形式的矩阵。
一系列任意的旋转、平移和比例变换的结果又是如何呢？这些变换称为仿射变换
，它们能够保持直线平行性，但不角和不保长。如上图所示，其中先将一个单位
单位正方体
方体在x方向上错切
正方体在y方向上错切
对单位正方体进行简单的错切变换， 每一种变换情况，斜边的长度都超过了1。
二维的错切变换分为两种：沿x轴的错切变换和沿y轴的错切变换。上图 示出了沿两个轴错切一个单位正方体的效果。

三维空间几何坐标变换矩阵课件

三维空间几何坐标变换矩阵课件
三维空间几何坐标变 换矩阵课件
目录
• 三维空间几何坐标变换矩阵概述 • 三维空间几何坐标变换矩阵的构建 • 三维空间几何坐标变换矩阵的实现 • 三维空间几何坐标变换矩阵的优化 • 三维空间几何坐标变换矩阵的案例分析
01
三维空间几何坐标变换 矩阵概述
定义与性质
定义
坐标变换矩阵是用于描述三维空 间中点或向量在不同坐标系之间 转换关系的矩阵。
减少计算量优化
矩阵分解
将复杂的坐标变换矩阵分解为多个简 单的矩阵，降低计算复杂度。
避免重复计算
在坐标变换过程中，避免重复计算相 同的结果，利用存储机制保存中间结采用高精度的算法和数据类型，以减小计算过程中的误差。
迭代优化
通过迭代的方式逐步逼近精确值，提高坐标变换的精度。
减少内存占用优化
压缩存储
对变换矩阵进行压缩存储，减少内存占用。
动态内存分配
根据实际需要动态分配内存，避免不必要的内存浪费。
05
三维空间几何坐标变换 矩阵的案例分析
平移变换矩阵案例分析
平移变换矩阵
将三维空间中的点沿某一方向移动一定距离。
案例
将点A(1,2,3)沿x轴平移2个单位，得到点B的坐标为(3,2,3)。
使用数学软件实现坐标变换矩阵
数学软件如MATLAB、Octave等 提供了强大的矩阵计算功能，可 以进行复杂的数学运算和矩阵操
作。
使用数学软件可以实现复杂的坐 标变换矩阵，并进行精确的计算
和分析。
数学软件还提供了可视化的功能， 可以方便地展示三维坐标变换的
效果。
04
三维空间几何坐标变换 矩阵的优化
02
三维空间几何坐标变换 矩阵的构建
平移变换矩阵

第4章二维变换

第4章二维变换

• 性质
U •V = V •U U •V = 0 ⇔ U ⊥ V U •U = 0 ⇔ U = 0
变换的数学基础(3/4) 变换的数学基础
– 矢量的长度
• 单位矢量 • 矢量的夹角
2 U = U • U = u x + u y + u z2 2
U •V cos θ = U •V
– 矢量的叉积
i U ×V = ux vx
– 在世界坐标系（ 在世界坐标系（WCS）中指定的矩形区域 ， ） 用来指定要显示的图形 。
2. 视区
– 在设备坐标系（屏幕或绘图纸） 在设备坐标系（屏幕或绘图纸）上指定的矩形区域 ， 用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小及位置。 用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小及位置。
3. 窗口到视区的变换
P′＝P＋Tm 等价于
[x’ y’]=[x y] +[Mx My]
图形变换的特点（ 4.3.1 图形变换的特点（续）
比例变换 P′＝P×Ts
Sx 0 Ts＝ 0 Sy Sx、Sy分别表示比例因子。 cosθ sinθ Tr＝ -sinθ cosθ θ＞0时为逆时针旋转 θ＜0时为顺时针旋转
旋转变换 P＇＝P×Tr
变换后的 顶点坐标
P
变换前的 顶点坐标
•
T2D
二维变换矩阵
二维变换矩阵中： a b 是对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换。 c d [ l m] 是对图形进行平移变换
• 计算机图形场景中所有图形对象的空间定位和定义，包括观 计算机图形场景中所有图形对象的空间定位和定义， 察者的位置视线等，是其它坐标系的参照。 察者的位置视线等，是其它坐标系的参照。
2.模型坐标系（Modeling Coordinate System，也称局部坐标系） 模型坐标系

线性变换在二维空间和三维空间中的应用

线性变换在二维空间和三维空间中的应用

线性变换在二维空间和三维空间中的应用1、二维图形的几何变换二维齐次坐标变换的矩阵的形式是：这个矩阵每一个元素都是有特殊含义的。

其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡edba可以对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换；⎥⎦⎤⎢⎣⎡fc是对图形进行平移变换；[g h]是对图形作投影变换；[i]则是对图形整体进行缩放变换。

1.1 平移变换1.2缩放变换1.3旋转变换在直角坐标平面中，将二维图形绕原点旋转θ角的变换形式如下：θ取正值，顺时针旋转θ取负值。

逆时针旋转1.4对称变换对称变换其实只是a、b、d、e取0、1等特殊值产生的一些特殊效果。

例如：当b=d=0，a=-1，e=1时有x´=-x，y´=y，产生与y轴对称的图形。

A. 当b=d=0，a=-1，e=-1时有x´=x，y´=-y，产生与x轴对称的图形。

B. 当b=d=0，a=e=-1时有x´=-x，y´=-y，产生与原点对称的图形。

C. 当b=d=1，a=e=0时有x´=y，y´=x，产生与直线y=x对称的图形。

D. 当b=d=-1，a=e=0时有x´=-y，y´=-x，产生与直线y=-x对称的图形。

1.5错切变换A. 当d=0时，x´=x+by，y´=y，此时，图形的y坐标不变，x坐标随初值（x，y）及变换系数b作线性变化。

B. 当b=0时，x´=x，y´=dx+y，此时，图形的x坐标不变，y坐标随初值（x，y）及变换系数d作线性变化。

1.6复合变换如果图形要做一次以上的几何变换，那么可以将各个变换矩阵综合起来进行一步到位的变换。

复合变换有如下的性质：A. 复合平移对同一图形做两次平移相当于将两次的平移两加起来：B. 复合缩放两次连续的缩放相当于将缩放操作相乘：C. 复合旋转两次连续的旋转相当于将两次的旋转角度相加：缩放、旋转变换都与参考点有关，上面进行的各种变换都是以原点为参考点的。

二维图形几何变换

二维图形几何变换
矩阵表示法的定义和意义
矩阵表示法的具体形式和计算方法
矩阵表示法在二维图形几何变换中的应用和实现
定义：矩阵的加法运算是指将两个矩阵的对应元素相加，得到一个新的矩阵。
性质：矩阵的加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
பைடு நூலகம்
运算规则：两个矩阵相加时，必须保证它们的维度相同，即行数和列数分别相等。
添加标题
添加标题
添加标题
矩阵变换的基本概念：介绍矩阵和几何变换的基本概念，以及它们之间的关系。
添加标题
矩阵变换的种类：列举常见的二维图形几何变换，如平移、旋转、缩放、错切等，并解释如何通过矩阵运算实现这些变换。
添加标题
矩阵变换的步骤：详细介绍如何通过矩阵运算实现二维图形的平移、旋转、缩放和错切等几何变换的步骤，包括变换前后的矩阵表示和计算过程。
汇报人：
,a click to unlimited possibilities
01
02
03
04
05
二维图形几何变换是指对二维图形进行旋转、平移、缩放等操作，使其在几何上发生变化的过程。
通过二维图形几何变换，可以实现图形的重新排列、调整和优化，从而满足不同的设计需求。
二维图形几何变换的基本要素包括原点、方向、角度和比例等，这些要素决定了变换的具体效果。
性质：逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩阵
应用：在二维图形几何变换中，矩阵的逆运算可用于还原图形的原始位置和形状
图像处理：平移变换常用于图像处理中的缩放、旋转等操作，以提高图像质量和分辨率。
动画制作：在动画制作中，平移变换可以用来实现角色或物体的移动、缩放等效果，增强视觉效果和表现力。

[课件]计算机图形学--二维几何变换PPT

[课件]计算机图形学--二维几何变换PPT
2018/12/2 34
连续旋转变换
应用于点P的两个连续旋转，得到的点P’的 坐标可计算为 P’ = R(θ2)[ R(θ1)P]= [R(θ2)R(θ1)]P 可以证明：两个连续旋转是可叠加的 R(θ2)*R(θ1)= R(θ1+θ2) 则P’的坐标可计算为 P’ = R(θ1+θ2)P
Other Transformations
大多数图形软件包中包含了平移、旋转和 缩放这些基本变换。有些软件包还提供一 些有用的其它变换，如反射(Reflection)和 错切(Shear)
2018/12/2
28
Reflection对称变换
对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点 ty)P
2018/12/2 25
对于绕坐标原点的旋转变换
可简写为：P’ = R(θ)P
2018/12/2 26
对于相对于坐标原点在X和Y方向上的缩放变换
可简写为：P’ =S(sx , sy)P T、R和S分别时平移、旋转、缩放变换距阵
2018/12/2 27
2018/12/2
9
标准的旋转是当基准点在坐标 原点时，即物体绕坐标原点的 旋转。点P绕原点逆时针旋转θ, 得到P’点。则P和P’的坐标之 间的关系，如图，可如下表示 x’=rcos(θ+Ψ) =rcosθcosΨ - rsinθsinΨ y’=rsin(θ+Ψ) =rsinθcosΨ + rcosθsinΨ
P2 M 1 P1 M 2
21
齐次坐标：
是Maxwell.E.A在1946年从几何的角度提出来
的，它的基本思想是把一个n维空间的几何问 题转换到n+1维空间中去， 从形式上来说，就是用一个n+1维的向量表示 一个n维向量的方法，即n+1维向量表示n维空 间中的点。

矩阵变换 通俗易懂 -回复

矩阵变换通俗易懂-回复矩阵变换，通俗易懂在数学中，特别是在线性代数和几何学中，矩阵变换是一种非常重要的概念。

矩阵变换可以用来描述平面或空间中的对象，例如点、向量和图形的移动、旋转、缩放等操作。

它在计算机图形学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。

本文将以通俗易懂的方式介绍矩阵变换的基本概念和操作。

一、什么是矩阵变换？矩阵变换是指通过矩阵对向量或点进行变换操作。

在几何学中，点可以表示为二维或三维向量，而向量则可以表示某个方向和长度。

通过矩阵变换，我们可以将一个向量或点从一个位置移动到另一个位置，也可以改变其方向或长度。

二、矩阵变换的基本操作1. 平移变换平移变换是指将一个对象从一个位置平移到另一个位置，即通过向量的加法操作改变其位置。

在平面上，平移变换可以用一个二维向量表示，而在三维空间中则需要用一个三维向量表示。

平移变换的矩阵表示为：[x'] [1 0 tx] [x][y'] = [0 1 ty] * [y][1] [0 0 1 ] [1]其中`(x, y)`表示原始点的坐标，`(tx, ty)`表示平移的距离，`(x', y')`表示变换后的点坐标。

矩阵中的第三列是必要的，因为在矩阵乘法中，它确保了变换中的位移操作。

2. 缩放变换缩放变换是通过改变对象的尺寸来进行的。

在二维平面上，缩放变换可以沿x轴和y轴分别进行，也可以同时在两个方向上进行。

在三维空间中，还可以沿z轴进行缩放。

缩放变换的矩阵表示为：[x'] [sx 0 0] [x][y'] = [0 sy 0] * [y][1] [0 0 sz] [1]其中`(x, y)`表示原始点的坐标，`(sx, sy)`表示沿x轴和y轴的缩放比例，`(x', y')`表示变换后的点坐标。

如果沿z轴进行缩放，则在矩阵中添加第三行即可。

3. 旋转变换旋转变换是通过将对象绕某个点或轴旋转一定角度来进行的。

第六讲二维及三维空间的变换概念及其矩阵表示-精品


窗口到视口的变换
2019/11/20
所期望的结果点坐标由 P =Mwv •[x y 1]T
P 代表了视口内新点坐标,[x,y,1] 代表了窗口内点坐标.
视图变换：就是把用户坐标系表 示的点在视口坐标系表示出来。 将一个空间坐标系的窗口变换到 视口的步骤:
窗口到视口的变换步骤
2019/11/20
窗口的剪切和视口的关系
பைடு நூலகம்
x=xr11+y r12+tx y=xr21+y r22+ty
如果有些硬件的矩阵乘法器具有并行加法器和乘法器，那么无需考虑这一效率问 题。
旋转方程R（）需要进行四次乘法和两次加法，当θ 角非常小时（只有几度）， cosθ 非常接近于1，根据这一点可减少计算量，因此旋转变换公式可近似地表示 成：
矩阵的数据结构：
T(x2,y2) ·R() ·S(sx,sy) ·T(-x1,-y1)
如果M1和M2分别代表一个基本的平移变换、比例变换或旋转变换，那么在什么情 况下有M1·M2=M2·M1呢？或者说，何时M1和M2可交换呢？当然，一般来说矩阵乘 法是不可交换的，但是，在下面的特殊情况下，是可以进行交换的：
这种近似上一个公式要好。
2019/11/20
三维变换的矩阵表示(坐标系)
在齐次坐标系中，二维变换可以用3×3的矩阵表示，假定我们也用 齐次坐标来表示三维空间中的点，那么三维变换便可用4×4的矩阵 表示。因此，我们用(x,y,z,W)而不是(x,y,z)来表示三维空间中的一
点，其中若一个四元组是另一个四元组的非零倍数，则认为它们代 表同一点，并且四元组(0,0,0,0)是不允许的。和二维空间一样，任 意点(x,y,z,W)（W≠0)的标准表示为(x/W,y/W,z/W,1)，将坐标转化 成这种形式被称为齐次化，而W为零的点则称为无穷远点。同样，

二维三维图形的变换原理和算法

在这种表示法中，n维向量的变换是在n+1 维的空间进行的，变换后的n维结果是被 反投回到感兴趣的特定的n维空间内得到 的。
图形变换的基本原理
采用了齐次坐标表示法以后，我们可以把二维 的线性变换表示成如下规格化的形式：
a1 a2 0 ［x* y* 1］＝［x y 1］ b1 b2 0
其中： a1 a2 0
图形变换的基本原理
从图形上来看，两种表示方法是没有实质性差别 的。但却为后面矩阵运算的实现提供了可行性和 方便。
Z Z=1
Y X
图形变换的基本原理
这种用三维的向量来表示一个二维向量， 进一步推广来说，用一个 n+1维的向量来 表示 n 维向量的方法，叫做齐次坐标表示 法。（注意，增加的一维是常数 １）
比例变换
比例变换
– 下面讨论缩放因子a1，b2 对图形变换的影响：
• a1 = b2 = 1, 为恒等变换，即变换后点的坐标不变。 • a1 = b2 ≠1，则为等比例变换。
–a1 = b2 >1，图形沿 x 和 y 两个方向等比例放大。 –0 < a1 = b2 <1，图形沿 x 和 y 两个方向等比例例缩小。
0 01
错切变换
错切变换
Y
Y
– 沿 x 向错切变换结果：
x* = x + b1y
y* = y
X
– 从以上结果(a可) 以原看图 到：
X
(b) 沿x方向错切
• 新有图值形的各基顶础点上的增加y 坐了标一图没个6有增-7变量，△错而x，切x这变坐个换标增是量在是原坐
标值 y 的正比例函数（△x = b1y）。所以使得整 个图形在等高的前提下，沿 x 向发生了倾斜，倾 斜角度 （ tan = b1y/y =b1）。

二维图形几何变换三维图形几何变换参数图形几何变换


x = x + Ｔx y = y + Ｔy
( x, y)
3.1.1 二维图形几何变换 (续) 一、基本变换 ⒉ 旋转(Rotation) 点(x, y)围绕原点逆时针转 动一个角度，
y (x’, y’)

( x, y)
x = x cos y sin y = y cos + x sin
newx = xxr newy = yyr
newx = newx cos newy sin newy = newy cos + newx sin x = newx + y = newy +
f
x
x = xr+(xxr)cos (yyr)sin y = yr+(yyr)cos +(xxr)sin
0 0 1
3.1.3 参数图形几何变换 (续) ⒉ 参数曲线、曲面的几何变换
若指定一个平移矢量t，对曲线平移t，即对曲线上的每一点P都 平移t。对平移后的点P*有 P* = P+t 对于参数曲线和曲面的几何系数矩阵B和代数系数矩阵A，可以直 接实现平移变换，即有 B* = B+T，T = ［t t 0 0］T B*是经平移后参数曲线的几何系数矩阵，变换结果如图所示。
Sx 0 0 0 S 0 x y 1 x y 1 y 0 0 1
简记为p=pS(Sx, Sy)，其中(Sx, Sy)表示变化矩阵。
(3.3)
3.1.1 二维图形几何变换 (续) 三、级联变换(Composite Transformation)
⒉ 旋转的矩阵运算表示为
cos sin 0 sin cos 0 x y 1 x y 1 0 1 0
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旋转之前
旋转之后
房子的旋转变 换，旋转的同 时也改变了位 置。
旋转矩阵的推导
小结
2020/7/31
r
正向旋转
r
其中:
齐次坐标系和二维变换的矩阵表示
齐次坐标表示
平移矩阵 平移变换
2020/7/31
P=T+P P=S•P P=R•P
希望能用一种一致的方法来表示这三种变换。
将（x,y)附加第三个坐标，于是每个点的坐标都用 一个三元组(x,y,W)来表示，称为点（x，y)的齐次 坐标。在齐次坐标系中，我们认为两组齐次坐标 (x,y,W)和(x,y,W)代表同一点当且仅当(x,y,W)与 (x,y,W)互为倍数，因此(2,3,6)和(4,6,12)是用不同 的三元组坐标表示的同一点。也就是说每个点齐次
坐标不唯一。要求齐次坐标中至少有一个不为零， 即(0,0,0)是不允许的。如果坐标W不为零，那么我 们可以用它作为除数：由(x,y,W)得到(x/W,y/W,1)， 它们代表同一点。一般来说，当W不为零时，我们 采用W为1的坐标，并将x/W和y/W称为齐次点 (x,y,W)的笛卡儿坐标。而W=0的点被称为无穷远点 ，在这里我们不讨论此类点。
SHx[x y 1]T=[x+ay y 1] T，表示在 x方向上的比例变化是y的函数。
SHy[x y 1]T=[x bx+y 1] T表示在y 方向上的比例变化是x的函数。
二维变换的复合(例一）
(x1,y1)
(x1,y1)
现在考虑绕任意一点P1旋转物体的问题。 1）将P1点平移到原点； 2）旋转； 3）平移还原P1点。
射变换，只保留线段之间的平行关系，不 保持长度和角度不变。
既不会变成单位边长的菱形，也不会变成非单位边长的正方形。这种变换也被称
为刚体变换，因为进行变换的物体不会有任何变形。任意顺序的旋转、平移变换
都等同于这种形式的矩阵。
一系列任意的旋转、平移和比例变换的结果又是如何呢？这些变换称为仿射变换
，它们能够保持直线平行性，但不角和不保长。如上图所示，其中先将一个单位
正方体旋转45度，然后进行不均匀的比例变换。很明显，正方体的角度和长度都
发生了变化，但那些原来平行的线仍保持平行，再继续进行旋转、比例和平移变
换也不会改变线的平行性，R(θ)、S(sx,sy)和T(dx,dy)都是仿射变换。 R(θ)、 T(dx,dy)也是刚体变换保长保角。
2020/7/31
错切变换（一种仿射变换）
单位正方体
方体在x方向上错切
正方体在y方向上错切
对单位正方体进行简单的错切变换， 每一种变换情况，斜边的长度都超过了1。
二维的错切变换分为两种：沿x轴的错切变换和沿y轴的错切变换。上图 示出了沿两个轴错切一个单位正方体的效果。
沿x轴的错 切变换矩阵
SHx
2020/7/31
沿y轴的 错切矩阵
Shy
其 中 a、b 是 比 例 常 量 。 注 意 ：
本讲介绍计算机图形学经常用到的基本的二维和三维几何变换，其 中的平移变换、比例变换和旋转变换对很多图形应用程序来说极其 重要。 许多应用程序或图形子程序软件包需要用到各种变换，例如：一个 城市规划程序，利用平移变换将表示建筑物和树木的图符移到合适 的位置，利用旋转变换确定图符的朝向，以及利用比例变换确定图 符的大小。一般来说，很多应用程序在绘图时都要用到几何变换来 改变物体（也称为图符或模板）的位置、方向和大小。本讲还介绍 如何应用三维变换(旋转变换、平移变换和比例变换)作为创建三维 物体的二维显示过程的一部分。
旋转变换
比例变换
2020/7/31
两个连续的旋转变换是可叠加的证 明留作习题。
特殊正交阵
（special orthogonal）
左上角有个2×2的子矩阵，我们可以将其中的每
一行看作是一个行向量。这两个行向量有以下几
个特点：
1）每个都是单位向量。
特殊
2）每两个向量之间相互垂直（它们的点积为零
正交阵
）。
过除以W）而得到形式为(x,y,1)的
坐标，因此，齐次化的点就形成
平面
了(x,y,W)空间中的一个平面,由等
式W=1定义。图中示出了这种联 系，注意：无穷远点没表示在该 平面中。
XYW齐次坐标系，其中示有W=1的平面和投影 到该平面上的点P（X，Y，W）
2020/7/31
二维变换的矩阵表示
平移变换
齐次坐标几何意义
三元组一般用来表示三维空间中
的点，但是此处是用来表示二维
空间的点。这两种表示之间具有
以下联系：如果取所有代表同一
点的三元组，即所有形式为
(tx,ty,W)的三元组（其中t≠0），
便可得到三维空间中的一条直线，
因此，每一个齐次点就代表了三
维空间中的一条直线。又由于我
们可以将一点的坐标齐次化（通
2020/7/31
二维变换
平移变换 x=x+dx , dx = x-x y=y+dy , dy= y-y
P=P+T
比例变换矩阵
x=sx x y= sy y
旋转变换矩阵
2020/7/31
P=R•P
变换前
一座房子的平移 变换.
变换后
比例变换前
比例变换后
房子的比例变换。两个 方向上的变换比例不同 ，并且房子改变了位置 。
1
cos
具有这些特性的矩阵称为特殊正交阵。
0
2020/7/31
刚体变换仿射变换
对于形如：
特殊 正交阵
单位正方体
旋转45度
在x轴方向拉伸
的变换矩阵，若其左上角的主子式是 正交的，那么该矩阵变换保角保长。 也就是说，一个单位的正方形经该矩 阵变换后仍然是一个单位的正方形，
上 图 是 单位正方体先旋转45度，再进行不 均匀的比例变换，结果是单位立方体的仿
2020/7/31
二维及三维空间的变换概念、矩阵表示、三维换
– 二维变换 – 齐次坐标系和二维变换的矩阵表示 – 二维变换的复合 – 窗口到视口的变换 – 效率问题 – 三维变换的矩阵表示 – 三维变换的复合 – 坐标系的变换
2020/7/31
几何变换
3）如果将每个向量所指的方向旋转R(θ)，那么
这些方向量便可位于正x轴、y轴方向上，
即:
前两个特点也适用于该2×2子矩阵的两个列向量，并且列向量所对应的两个
方向量就是沿x轴和y轴正方向的向量(i,j,k)经矩阵R变换后而得到的.
因此，当已知旋转变换的结果时，这些特点便
0
sin
为如何构造旋转变换矩阵提供了两种有效的方法。