北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（文史类）2014．3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．（1）已知集合|03}A x x =∈<<N ｛，1|21}x B x -=>｛，则A B =（）．A ．∅B ．{}1C ．{}2D ．{}1,2（2）已知i 为虚数单位，复数2i1i-的值是（）． A ．1i --B ．1i +C ．1i -+D ．1i -（3）若,x y 满足约束条件,1,33,x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪+⎩≤3≤≥则函数2z x y =-的最大值是（）．A ．1-B ．0C ．3D ．6（4）在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没 有站稳”可表示为（）．A ．p q ∨B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝（5）执行如右图所示的程序框图，则输出S 的值是（）．A ．10B ．17C ．26D ．28（6）函数2sin ()1xf x x =+的图象大致为（）．A ．B ．C ．D ．（7）已知AB 和AC 是平面内两个单位向量，它们的夹角为60，则2AB AC -与CA 的夹角是（）．A ．30B ．60C ．90D ．120（8）如图，梯形ABCD 中，AD BC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ∠=，将ABD ∆沿对角线BD折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD ．给出下面四个命题： ①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-；③CD ⊥平面A BD '； ④平面A BC '⊥平面A DC '． 其中正确命题的序号是（）．A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． （9）抛物线28y x =的准线方程是．（10）在一次选秀比赛中，五位评委为一位表演者打分，若去掉一个最低分后平均分为90分，去掉一个最高分后平均分为86分．那么最高分比最低分高分．（11）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边．已知4b =，2c =，60A ∠=，则a =；C ∠=．（12）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为； 表面积为．（13）已知直线y x m =+与曲线224x y +=交于不同的两点,A B ，若||AB ≥则实数m 的取值范围是．（14）将1，2，3，…………，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则6应该写在第张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）已知函数()2sin cos 2f x x x x =-．（Ⅰ）求(0)f 的值及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）求函数()x f 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．俯视图 CB A某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为15．（Ⅰ）求a， 的值；（Ⅱ）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，O 为11A C 与11B D 交点，已知11AA AB ==，60BAD ∠=． （Ⅰ）求证：11AC ⊥平面11B BDD ； （Ⅱ）求证：AO ∥平面1BC D ； （Ⅲ）设点M 在1BC D ∆内（含边界），且OM ⊥11B D ，说明满足条件的点M 的轨迹，并求OM 的最 小值．1设函数()ln f x x =，()1g x ax =+，a ∈R ，记()()()F x f x g x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在e x =处的切线方程； （Ⅱ）求函数()F x 的单调区间；（Ⅲ）当0a >时，若函数()F x 没有零点，求a 的取值范围．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点，一个焦点为0)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线(1)(0)y k x k =-≠与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求||||AB PQ 的取值范围．已知{}n a 是公差不等于0的等差数列，{}n b 是等比数列(N )n *∈，且110a b =>．（Ⅰ）若33a b =，比较2a 与2b 的大小关系； （Ⅱ）若2244,a b a b ==．（ⅰ）判断10b 是否为数列{}n a 中的某一项，并请说明理由；（ⅱ）若m b 是数列{}n a 中的某一项，写出正整数m 的集合（不必说明理由）．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（文史类）二、填空题30三、解答题15．解：（Ⅰ）因为π()sin 22sin(2)3f x x x x ==-所以，(0)f =． 由πππ2π22π232k x k -+-+≤≤，k ∈Z ， 得π5πππ1212k x k -++≤≤，k ∈Z 所以)(x f 的单调递增区间是π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．………………………………………8分（Ⅱ）因为π0,2x ≤≤所以ππ2π2333x --≤≤．所以，当ππ233x -=-，即0x =时，()f x 取得最小值 当ππ232x -=即5π12x =时，()f x 取得最大值2．……………………………………………13分16．解：（I ）由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有(2)a +人． 设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生，则21()205a P A +==． 解得2a =． 所以4b =． ……………………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有6位，分别记为123456,,,,,M M M M M M ．其中5M 和6M 为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生． 从中任意抽取2位，可表示为1213141516,,,,M M M M M M M M M M ，2324,,M M M M 2526,M M M M ，343536,,M M M M M M ，454656,,M M M M M M ，共15种可能．设事件B ：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生．事件B 包括1516,M M M M ，2526,M M M M ，3536,M M M M ，454656,,M M M M M M ，共9种可能．所以93()155P B ==．所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为35．………………………………………………13分17．解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ， 所以1BB ⊥底面1111A B C D ．又11AC ⊂底面1111A B C D ， 所以1BB ⊥11A C ．因为1111A B C D 为菱形， 所以1111AC B D ⊥．而1111BBB D B =， 所以11AC ⊥平面11B BDD ．4分 （Ⅱ）连接AC ，交BD 于点E ，连接1C E ．依题意，1AA ∥1CC ，且11AA CC =，1AA AC ⊥， 所以11A ACC 为矩形． 所以1OC ∥AE ．又11112OC AC =，12AE AC =，11AC AC =， 所以1OC =AE ，所以1AOC E 为平行四边形， 则AO ∥1C E ．又AO ⊄平面1BC D ，1C E ⊂平面1BC D ，所以AO ∥平面1BC D ．………………………………………………………9分 （Ⅲ）在1BC D ∆内，满足OM ⊥11B D 的点M 的轨迹是线段1C E ，包括端点．分析如下：连接OE ，则BD OE ⊥．由于BD ∥11B D ，故欲使OM ⊥11B D ，只需OM BD ⊥，从而需ME BD ⊥． 又在1BC D ∆中，11C D C B =，又E 为BD 中点，所以BD ⊥1C E ． 故M 点一定在线段1C E 上．当1OM C E ⊥时，OM 取最小值．在直角三角形1OC E 中，1OE =，1OC =，1C E =， 所以1min 1OC OE OM C E ⋅==……………………………………………………………14分 18．解：（I ）1()f x x '=，则函数()f x 在e x =处的切线的斜率为1ek =．又(e)1f =， 所以函数()f x 在e x =处的切线方程为11(e)e y x -=-，即1ey x = (4)分（Ⅱ）()ln 1F x x ax =--，11()ax F x a x x-'=-=，（0x >）． ①当0a ≤时，()0F x '>，()F x 在区间(0,)+∞上单调递增； ②当0a >时，令()0F x '<，解得1x a >；令()0F x '>，解得10x a<<． 1综上所述，当0a ≤时，函数()F x 的增区间是(0,)+∞；当0a >时，函数()F x 的增区间是1(0,)a ，减区间是1(,)a+∞．…………………………………………9分（Ⅲ）依题意，函数()F x 没有零点，即()ln 10F x x ax =--=无解．由（Ⅱ）知，当0a >时，函数()F x 在区间1(0,)a 上为增函数，区间1(,)a+∞上为减函数，由于(1)10F a =--<，只需111()ln 1ln 20F a a a a a=-⋅-=--<， 解得2e a ->．所以实数a 的取值范围为21(,)e +∞．…………………………………………………………………13分19．解：（Ⅰ）由题意得2222=3,131,4a b ab ⎧-⎪⎨+=⎪⎩解得=2a ，1b =． 所以椭圆C 的方程是2214x y +=．………………………………………………………4分（Ⅱ）由22(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+，121222(2)14ky y k x x k -+=+-=+．所以线段AB 的中点坐标为2224(,)1414k kk k -++， 所以线段AB 的垂直平分线方程为22214()1414k k y x k k k --=--++． 于是，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点Q 223(,0)14kk+，又点(1,0)P ， 所以22223111414k k PQ k k +=-=++．又AB ==．于是，22||141||14AB k k PQ k +===++因为0k ≠，所以221331k <-<+．所以||||AB PQ 的取值范围为(4,．……………………………………………………14分20．解：记{}n a 的11a b a ==，{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ，由0d ≠，得1q ≠（Ⅰ）2310b b q =>，1313222a a b b a ++==，2213b b b =，2b =当2b =22a b >；当2b =132b b +13b b =时取等号， 而13b b ≠，所以132b b +22a b >． 综上所述，22a b >． ……………………………………………………………………5分 （Ⅱ）（ⅰ）因为2244,a b a b ==，所以3,3,a d aq a d aq +=+=得313(1),q q -=- 所以213,1q q q ++==或2q =-．因为1q ≠，所以2q =-，(1)3d a q a =-=-．令10k a b =，即911(1)a k d b q +-=，93(1)(2)a k a a --=-，172k =， 所以10b 是{}n a 中的一项．（ⅱ）假设m k b a =，则111(1)m a k d b q -+-=，13(1)(2)m a k a a ---=-，143(2)m k --=- 当1,m =或2m n =，（n *∈N ）时，k *∈N ．正整数m 的集合是{}12m m=m=n,n *∈N 或．……………………………………………13分北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（文史类）一、 选择题 1． 【答案】C【解析】解：因为|03}{1,2}A x x =∈<<=N ｛，1|21}{|1}x B x x x -=>=>｛ 所以{2}A B =故选C2． 【答案】C【解析】解：222i 2i(1i)2i+2i 2i 21i 1i (1i)(1i)1i 2+-====-+--+- 故选C3． 【答案】D【解析】画出,1,33,x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪+⎩≤3≤≥表示的区域，如图所示：由2z x y =-，得2y x z =-，画出2y x =并平移，当过(3,0)时，截距z -最小，即z 最大为6． 故选D4． 【答案】D【解析】解：因为p 是“甲落地站稳”，则p ⌝表示“甲落地没有站稳”；q 是“乙落地站稳”，则q ⌝表示“乙落地没有站稳”所以“至少有一位队员落地没有站稳”可以表示为()()p q ⌝∨⌝．5． 【答案】B【解析】解：列表法：S1 2 5 10 17 循环结束i1 3579故答案选B6． 【答案】A【解析】解：因为22sin()sin ()()()11x xf x f x x x --==-=--++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称；故排除C ．D ；又2π1()0π214f =>+，排除B ． 故选A ．7． 【答案】C【解析】解：设2AB AC -与CA 的夹角是θ，则(2)cos 2AB AC CA AB AC CAθ-⋅=-又AB 和AC 是平面内两个单位向量，则1AB =，1AC =；则22(2)(2)22cos600AB AC CA AB AC AC AB AC AC AB AC AC -⋅=--⋅=-⋅+=-⋅︒+= 所以cos 0θ=，则=90θ︒． 故选C8． 【答案】B【解析】解：依题意，标出平面图形上的信息如图所示，画出折起后的几何体，设BD 中点为E ，并连接'A E 如图所示， 对于①，因为''A B A D =，所以'A E BD ⊥；又平面A BD '⊥平面BCD ，则'A E ⊥面BCD ，'A E BC ⊥； 若A D BC '⊥，'''A D A E A =，则BC ⊥面A BD '，则BC BD ⊥矛盾，故①错；对于②，'11122'2233226A BCD BCD V S A E -==⨯⨯⨯⨯=△，故②错； 对于③，因为'A E ⊥面BCD ，则'A E CD ⊥，又CD BD ⊥，'A E BD E =，所以CD ⊥平面A BD '；故③正确；对于④，由③知，CD ⊥平面A BD '，所以'CD A B ⊥；又''A B A D ⊥，'A D CD D =，所以'A B ⊥面'A DC ；又'A B ⊂平面A BC '，所以平面A BC '⊥平面A DC '．故④正确； 故答案选B二、 填空题 9． 【答案】2x =-【解析】解：因为抛物线28y x =，则28p =，即4p =， 所以准线方程为22px =-=-． 故答案为2x =-． 10． 【答案】16【解析】解：因为去掉一个最低分后平均分为90分，则这4人的总分为904360⨯=． 因为去掉一个最高分后平均分为86分，则这4人的总分为864344⨯=； 所以最高分比最低分高36034416-=． 故答案为16．11．【答案】23，30︒【解析】解：由余弦定理，得2222cos 164812a b c bc A =+-=+-=，解得23a =；由正弦定理，得32sin 12sin 223c A C a ⨯===，所以30C =︒或150︒（舍） 故答案为23，30︒． 12．【答案】13，3+2【解析】解：由三视图画出几何体的直观图如图所示， 则几何体是底面是直角三角形的直三棱柱横着放． 所以1111133V =⨯⨯⨯=，1112111121322S =⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯=+故答案为13，3+213． 【答案】[2,2]-【解析】解：如图，圆心O 到直线AB 距离为2m d =，则222224232m AB r d =-=-≥，解得22m -≤≤． 故答案为[2,2]m ∈-．14． 【答案】二，{3,4,9}【解析】解：因为每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上，所以6只能在第二张卡片上（否则，若6在第一张上，651-=矛盾；若6在第三张卡片上633-=矛盾）同理，4只能在第三张卡片上（否则，4若在第一张上，514-=矛盾；若4在第二张上，422-=矛盾）；同理，8只能在第一张卡片上，7只能在第二张卡片上，9只能在第三张卡片上．如图所示．故答案为：二，{3,4,9}．。
