复数项级数

复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数)有大小.2.复数的表示1）模：z =2)幅角：在0z ≠时,矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩; 4）三角表示:()cos sin z z i θθ=+,其中arg z θ=；注：中间一定是“+” 5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=. (二） 复数的运算1。

加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2。

乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++;()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。

2）若121122,i i z z e z z e θθ==， 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3。

乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=,则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=. 2）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭(有n 个相异的值)（三)复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射.2．复初等函数指数函数:()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析;且()z z e e '=.注：z e 是以2i π为周期的周期函数.（注意与实函数不同）对数函数: ln (arg 2)Lnz z i z k π=++(0,1,2)k =±±（多值函数)；主值：ln ln arg z z i z =+。

第四章 解析函数的级数表示§1. 复数项级数 一. 复数序列的极限定义： 设{}n z 为一个复数序列，其中n n n y i x z +=， 又设000y i x z +=为一个复定值. 若,0,0>∃>∀N ε使得,N n >∀有不等式ε<-0z z n恒成立，则称复数序列{}n z 收敛于0z ，或称{}n z 以0z 为极限，记作0l i m z z n n =∞→ 或()∞→→n z z n 0.如果对于任意复数0z ，上式均不成立，则称复数序列{}n z 不收敛或发散.定理1 设000y i x z +=，n n n y i x z +=，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇔=∞→∞→∞→.lim ,limlim 000y y x x z z n n n n n n 定理1说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.二. 复数项级数定义： 设{}n z 为一个复数序列，表达式 +++++n z z z z 321称为复数项无穷级数.如果它们的部分和序列() 2,1321=++++=n z z z z S n n有极限S S n n =∞→l i m （有限复数），则称级数是收敛的，S 称为级数的和；如果{}n S 没有极限，则称级数是发散的. 例1.当1<z 时，判断级数++++++nz z z z 321是否收敛？定理2 级数 ++++n z z z 21收敛的充分必要条件是实数项级数 ++++n x x x 21与 ++++n y y y 21都收敛.定理2说明: 可将复级数的敛散性转化为判别两 个实级数的敛散性.定理3 （级数收敛的必要条件）若级数++++n z z z 21收敛，则0lim =∞→n n z . 定理4 若级数+++++=∑∞=n n n z z z z z 3211收敛，则级数+++++=∑∞=n n nz z z z z3211一定收敛.定义： 若级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211收敛， 则称级数++++=∑∞=n n nz z z z 211绝对收敛，若级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211发散，而级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211收敛，则称级数 ++++=∑∞=n n nz z z z211条件收敛.例2.判断下列级数的敛散性：（1）∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+121n n i n ；（2）∑∞=1n nni ；（3）∑∞=12n nn i.§2. 复变函数项级数一. 复变函数项级数定义： 设(){}() ,,n z f n 21=为区域D 内的函数序列，称以()z f n 为一般项的复级数 ()()()()+++++z f z f z f z f n 321为区域D 内的复变函数项级数.该级数的前n 项的和()()()()()z f z f z f z f z S n n ++++= 321称为该级数在D 内的部分和. 设0z 为区域D 内的一个定点，若极限()()00lim z S z S n n =∞→存在，则称该复变函数项级数在0z 点收敛，()0z S 为其和，即()()01z S z f n n=∑∞=.如果该复变函数项级数在D 内处处收敛，则称该复变函数项级数在D 内收敛，由此所定义的函数()z S 称为和函数，记作()∑∞=1n n z f .即 ()()∑∞==1n n z f z S 二. 幂级数定义： 形如()()()()+-++-+-+=-∑∞=nn n nnz z C z z C z z C C z z C 02020100的复变函数项级数称为幂级数，其中n C 与0z 均为复常数. 定理5如果幂级数()∑∞=-00n nn z z C 在点()011z z z ≠ 收敛，则该级数在圆域010z z z z -<-内绝对收敛.推论 如果幂级数()∑∞=-10n nn z z C 在点2z 发散，则在区域020z z z z ->-内发散.定义：若存在圆R z z <-0，使得幂级数()∑∞=-10n nn z z C 在此圆内绝对收敛，在此圆外发散，则称该圆为幂级数的收敛圆，称该圆的半径R 为幂级数的收敛半径. 结论：对幂级数()∑∞=-10n nn z z C 而言，一定存在某一圆R z z <-0，使得该幂级数在此圆内绝对收敛，在此圆外发散.达朗贝尔比值判别法——若 λ=+∞→n n n C C 1lim ，则幂级数()∑∞=-10n nn z z C 的收敛半径λ1=R .柯西根值判别法——若 λ=∞→nnn C lim ，则幂级数()∑∞=-10n nn z z C 的收敛半径λ1=R .例3. 求级数∑∑∑∞=∞=∞=1210,,n nn nn nn z nzz 的收敛半径. 例4.求级数()∑∞=-11n nnz 的收敛半径.说明：达朗贝尔比值判别法与柯西根值判别法都只是充分条件，而非必要条件. 例5. 把函数z 1表示成形如()∑∞=-02n nn z c 的幂级数. 性质 (1)幂级数()∑∞=-00n nn z z C 的和函数在收敛圆内一定解析；(2)在收敛圆内，幂级数()∑∞=-00n nn z z C 可以逐项积分或求任意阶导数，所得到的幂级数在该圆内也收敛，且相应的和函数即为对幂级数()∑∞=-00n nn z z C 的和函数进行积分或求相应阶导数所得的结果.例6 求幂级数∑∞=12n nz n 的和函数，并计算级数∑∞=122n n n 之值.§3. 泰勒级数定理6 (泰勒定理) 设函数()z f 在区域D 内解析，0z 为D 内的一点，设R 为0z 到D 的边界的距离，则当R z z <-0时，()z f 可展为幂级数()()∑∞=-=00n nn z z C z f 其中()() 2,1,0!10==n z f n C n n .称该幂级数为()z f 在区域D 内以0z 为心的泰勒级数.说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多; (想一想, 为什么?);, , )( .200z d z d D z f -=αα即之间的距离一个奇点到最近等于则内有奇点在如果4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的. 结论：函数在()z f 点0z 解析的充分必要条件是在0z 点()z f 可展成幂级数.根据结论，解析函数()z f 在点0z 可展成泰勒 级数，其展开法分别是直接展开法和间接展开法.直接展开法是指由泰勒展开定理计算系数间接展开法是指借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式.例7．将()0==z e z f z在处展开为泰勒级数.例8. 将()0sin ==z z z f 在处展开为泰勒级数.;,0.30级数级数也可称为麦克劳林时当=z,2,1,0,)(!10)(==n z f n c n n .)( 0展开成幂级数在将函数z z f例9．将()z z f -=11在z =0的邻域展开.例10. 求函数()0112=+=z zz f 在的邻域内的泰勒 展开式.例11. 例12. 求函数()21-=z z f 在1-=z 的邻域内的泰勒展开式.例13.将函数()()211z z f -=展开为i z -的幂级数.例14.求对数函数ln (1+z )在z =0处的泰勒展开式.例15. 将函数()ze zf -=11展开为z 的幂级数.§4. 洛朗级数引例 求函数()122-+-=z zz z f 的展开式..0arctan 的幂级数展开式在求=z z定理7 设函数()z f 在环域201R z z R <-<内解析，则()z f 在此环域内一定可以展成()()∑∞-∞=-=n n n z z C z f 0， 其中()()() 2,1,02110±±=-=⎰+n d z f i C C n n ςςςπ.C 为此环域内绕0z 的任意一条简单闭曲线. 称此级数为环域内的解析函数的洛朗级数. 说明:环域201R z z R <-<内的解析函数则()z f 在此环域内一定可以展成惟一的洛朗级数. 例16． 将函数 ()()()211--=z z z f分别在圆环域(1)10<<z ;(2)21<<z ;(3)+∞<<z 2内展开为洛朗级数.例17. 将函数()2z shz z f =在+∞<<z 0内展开为洛朗级数.例18. 试求()211z z f +=以z =i 为中心的洛朗级数.。

第四章 级 数 第一节 级数和序列的基本性质1、复数项级数和复数序列：复数序列就是：,...,...,,222111n n n ib a z ib a z ib a z +=+=+=在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。

按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。

设0z 是一个复常数。

如果任给0>ε，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n , 那么我们说}{n z 收敛或有极限0z ，或者说}{n z 是收敛序列，并且收敛于0z，记作 0lim z z n n =+∞→。

如果序列}{n z 不收敛，则称}{n z 发散，或者说它是发散序列。

令ib a z +=0，其中a 和b 是实数。

由不等式||||||||||0b b a a z z b b a a n n n n n -+-≤-≤--及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→ 因此，有下面的注解：注解1、序列}{n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列}{n a 收敛（于a ）以及序列}{n b 收敛（于b ）。

注解2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列}{n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n>N 时，n z在这个邻域内。

注解3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。

复数项级数就是 ......21++++n z z z或记为∑∞+=1n n z，或∑n z ，其中n z是复数。

定义其部分和序列为： n n z z z +++=...21σ如果序列}{n σ收敛，那么我们说级数∑n z 收敛；如果}{n σ的极限是σ，那么说∑n z 的和是σ，或者说∑n z 收敛于σ，记作 σ=∑∞+=1n n z，如果序列}{n σ发散，那么我们说级数∑n z 发散。