求欧拉回路,Fleury算法的C语言实现[1]

欧拉图中欧拉回路的算法，演示，及分析
设G为欧拉图，一般来说G中存在若干条欧拉回路，下面介绍两种求欧拉回路的算法。

1．Fleury算法，能不走桥就不走桥：
（1）任取v0∈V(G)，令P0=v0.
（2）设Pi=v0e1v1e2…e i v i已经行遍，按下面方法来从E(G)-{e1,e2,…,e i}中选取e i+1：
（a）e i+1与v i相关联；
（b）除非无别的边可供行遍，否则e i+1不应该为G i=G-{e1,e2,…,e i}中的桥。

（3）当（2）不能再进行时，算法停止。

可以证明，当算法停止时所得简单回路P m=v0e1v1e2…e m v m(v m=v0)为G中一条欧拉回路。

例15.2 图15.4(1)是给定的欧拉图G。

某人用Fleury算法求G中的欧拉回路时，走了简单回路v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2之后(观看他的错误走法)，无法行遍了，试分析在哪步他犯了错误?
解此人行遍v8时犯了能不走桥就不走桥的错误，因而他没行遍出欧拉回路。

当他走到v8时，G-{e2,e3,e14,e10,e1,e8}为图15.4(2)所示。

此时e9为该图中的桥，而e7,e11均不是桥，他不应该走e9，而应该走e7或e11，他没有走，所以犯了错误。

注意，此人在行遍中，在v3遇到过桥e3，v1处遇到过桥e8，但当时除桥外他无别的边可走，所以当时均走了桥，这是不会犯错误的。

来自ＵＳＡＣＯ上的例子 来自ＵＳＡＣＯ上的例子 ＵＳＡＣＯ
Stack: 1 4 2 5 Location: 6 Circuit: 1 5 7 6 4 3 7 2
来自ＵＳＡＣＯ上的例子 来自ＵＳＡＣＯ上的例子 ＵＳＡＣＯ
Stack: 1 4 2 Location: 5 Circuit: 1 5 7 6 4 3 7 2 6
Q&A
混合图
混合图的定义： 有的边是有向的，有的边是无向的。例如城市 里的交通网络，有的路是单行道，有的路是双 行道。 找到一个给每条无向的边定向的策略，使得每 个顶点的入度等于出度，这样就能转换成上面 第二种情况。
关于欧拉路径
源点与汇点不为同一点． 判定一个图是否有欧拉路径． 一个无向图中除源点与汇点的度数为奇数 外，其于点的度数都为偶数，那么则存在欧拉 路径．
伪代码
find_circuit(node i) { 如果当前结点没有边 将其加入到路径中 否则：while(node i 没有相连的边) { j是与i相临的顶点（即i,j之间有一条边） find_circuit(j); 删除i和j之间的边 } 将i加入路径中去 }
void solve(int x) { if(match[x] == 0) { Record[RecordPos] = x; RecordPos++; }
无向图
每个顶点的入度是偶数，则存在欧拉回路． 证明很简单：其原理就是每个顶点要进去多少 次，就必须出来多少次．如果存在度为奇数的 顶点，那么必有通过某一边进入这一点后，没 有边可以出去，这样就不会有回路．
有向图
每个顶点的入度和出度相等． 原理同无向图．也是有多少边进入，就要有多 少边出去． 对于混合图这里就不祥细说明了．

弗罗莱（Fleury）算法,求欧拉（Euler）通路/回路 算法及分析 2009-09-20 17:11:54 阅读807 评论0字号：大中小 1、基本概念： （1）定义 欧拉通路(欧拉迹)—通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的 通路。 欧拉回路(欧拉闭迹)—通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点 的回路。 欧拉图—存在欧拉回路的图。欧拉图就是从一顶出发每条边恰通过一次 又能回到出发顶点的那种图，即不重复的行遍所有的边再回到出发点。 通路和回路－称vie1e2…envj为一条从vi到vj且长度为n的通路，其中长 度是指通路中边的条数．称起点和终点相同的通路为一条回路。 简单图－不含平行边和自回路的图。 混合图－既有有向边，也有无向边的图 平凡图－仅有一个结点的图 完全图－有n个结点的且每对结点都有边相连的无向简单图，称为无向 完全图；有n个结点的且每对结点之间都有两条方向相反的边相连的有 向简单图为有向完全图。 （2）欧拉图的特征： 无向图 a）G有欧拉通路的充分必要条件为：G连通，G中只有两个奇度顶点(它 们分别是欧拉通路的两个端点)。 b）G有欧拉回路(G为欧拉图)：G连通，G中均为偶度顶点。 有向图 a）D有欧拉通路：D连通，除两个顶点外，其余顶点的入度均等于出 度，这两个特殊的顶点中，一个顶点的入度比出度大1，另一个顶点的 入度比出度小1。
{ int a[200],x,i,k=0; LinkQueue Q; InitQueue(Q); EnQueue(Q,0); for(i=0;i<v;i++) a[i]=0; a[0]=1; while(!QueueEmpty(Q)) { DeQueue(Q,x); for(i=0;i<v;i++) if(G[x][i]>0) if(a[i]!=1) { a[i]=1; EnQueue(Q,i); }//if }//while for(i=0;i<v;i++) if(a[i]==0) { k=1; break; } if(k==1) return 0;

欧拉回路构造算法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：欧拉回路是图论中的一个重要概念，在一幅图中指的是一条包含图中每一条边且经过每一条边仅一次的闭合路径。

欧拉回路构造算法是指寻找一条欧拉回路的方法，即将给定的图转化为满足欧拉回路性质的路径。

欧拉回路构造算法有多种，其中最为经典和常用的算法是Fleury 算法和Hierholzer算法。

Fleury算法是一种基于贪心思想的算法，其基本思路是每次选择一条不是桥的边，通过DFS搜索来构造欧拉回路。

具体步骤如下：1. 从图中任选一个顶点作为起点。

2. 找到可以走的一条不是桥的边，并走向该边所连接的顶点。

3. 如果该边是割边，则在走完该边后，必须选择一条不是割边的边继续前进。

4. 重复步骤2和步骤3，直到不能走为止。

Fleury算法的时间复杂度为O(E^2)，其中E为图中的边数。

Hierholzer算法是另一种求解欧拉回路的经典算法，其基本思想是通过遍历所有的边来构造欧拉回路。

具体步骤如下：1. 从图中任意一个顶点开始，选择一条边进行遍历。

2. 如果走到某个节点时无法继续行走，则回退到之前分叉点重新选择一条边继续遍历。

3. 直到遍历完所有的边，形成一个闭合回路即为欧拉回路。

欧拉回路构造算法的应用十分广泛，例如在网络设计、图像处理、数据压缩等领域都有着重要的作用。

通过欧拉回路构造算法，我们可以快速有效地找到一条经过所有边的闭合路径，从而解决一系列实际问题。

欧拉回路构造算法是解决图论中欧拉回路问题的重要工具。

不同的算法适用于不同的情况，可以根据具体问题的要求选择合适的算法。

通过学习和了解欧拉回路构造算法，我们可以更好地运用图论知识解决实际问题，提高问题解决的效率和准确性。

希望本文对读者有所帮助，欢迎大家进一步深入学习和探讨。

第二篇示例：欧拉回路构造算法是图论中一种重要的算法，用于寻找图中存在的欧拉回路。

欧拉回路是指一条包含所有边且不重复经过任何边的闭合路径。

在很多实际应用中，欧拉回路是一个非常有用的概念，比如在电子电路的布线设计、网络路由、以及城市旅行等领域都有很多应用。

求欧拉图G=V,E的欧拉回路【实验⽬的】通过算法设计并编程实现，使学⽣掌握利⽤计算机语⾔实现欧拉图的判定和欧拉回路的求解⽅法。

【实验内容】给定n个结点的⽆向图G=<V, E>的邻接矩阵，可判断该图是否是欧拉图，如果是欧拉图，请给出欧拉回路。

【实验原理和⽅法】1. 判定图G是否是欧拉图欧拉图的判定定理1. 求欧拉图G=<V,E>的欧拉回路设G为欧拉图，⼀般说来G中存在若⼲条欧拉回路，下⾯是求欧拉回路的Fleury算法：（1）任取v0∈V(G)，令P0=v0；（2）设Pi=v0e1v1e2...eivi已经⾏遍，按下⾯⽅法来从E(G)-{e1,e2,...,ei}中选取ei+1：（a）ei+1与vi想关联；（b）除⾮⽆别的边可供⾏遍，否则ei+1不应该为Gi=G-{e1,e2,...,ei}中的桥.（3）当（2）不能再进⾏时，算法停⽌。

【实验环境及⼯具】运⾏Windows 或Linux操作系统的PC机，任意软件开发语⾔C，C++，Java等及相应的开发环境。

【测试⽤例】[数据输⼊]边数5，点数6相关联的点1 21 32 54 23 24 5[数据输出] 存在欧拉回路 1，3，2，4，5，2，1恩，Fleury（弗洛莱）算法，#include "bits/stdc++.h"using namespace std;const int maxn = 1e3;int vis[maxn][maxn];int n, m, x, y;vector<int> e[maxn];deque<int> q;void addEdge(int a, int b) {e[a].push_back(b);e[b].push_back(a);}bool dfs(int now, int sum) {if (sum == m) {while (!q.empty()) {cout << q.back() << "";q.pop_back();}cout << endl;return1;}for (int i = 0; i < e[now].size(); i++) {if (!vis[now][e[now][i]]) {vis[now][e[now][i]] = 1;vis[e[now][i]][now] = 1;q.push_front(e[now][i]);if (dfs(e[now][i], sum + 1))return1;q.pop_front();vis[now][e[now][i]] = 0;vis[e[now][i]][now] = 0;}}return0;}int main() {//freopen("input.txt", "r", stdin);cin >> n >> m;for (int i = 0; i < m; i++) {cin >> x >> y;addEdge(x, y);}q.push_front(1);if (!dfs(1, 0))cout << "NO answer" << endl; return0;}。

.欧拉路径（欧拉回路）相关定义：若图G中存在这样一条路径，使得它恰通过G中每条边一次,则称该路径为欧拉路径。

若该路径是一个圈，则称为欧拉回路。

具有欧拉回路的图称为欧拉图（简称E图）。

具有欧拉路径但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。

判断图是否为欧拉图：无向图为欧拉图，当且仅当为连通图且所有顶点的度为偶数。

无向图为半欧拉图，当且仅当为连通图且除了两个顶点的度为奇数之外，其它所有顶点的度为偶数。

有向图为欧拉图，当且仅当其基图（忽略有向图所有边的方向，得到的无向图称为该有向图的基图）连通，且所有顶点的入度等于出度。

有向图为半欧拉图，当且仅当其基图连通，且有且仅有一个顶点的入度比出度大1、有且仅有一个顶点的入度比出度小1，其它所有顶点的入度等于出度。

欧拉回路（路径）的算法：有向图：第一步，判断是否存在欧拉路径（欧拉回路），如果不存在，算法结束。

第二步，如果存在欧拉路径，从入度比出度小1的点开始BFS；如果存在欧拉回路，从任意一点开始。

第三步，设DFS到点u，遍历u的出边e(u,v)。

第四步，如果e未被标记，转到第五步，否则转到第三步。

第五步，标记e(u,v)，DFS点v。

第六步，边e(u,v)入栈。

第七步，完成DFS后，从栈顶顺序输出边构成一个欧拉路径（欧拉回路）。

无向图：第一步，判断是否存在欧拉路径（欧拉回路），如果不存在，算法结束。

第二步，如果存在欧拉路径，从度为奇数的点开始BFS；如果存在欧拉回路，从任意一点开始。

第三步，设DFS到点u，遍历u的出边e(u,v)。

第四步，如果e未被标记，转到第五步，否则转到第三步。

第五步，标记e(u,v)及它的反向边，DFS点v。

第六步，边e(u,v)入栈。

第七步，完成DFS后，从栈顶顺序输出边构成一个欧拉路径（欧拉回路）。

'.。

第30卷第4期1998年8月　南　京　航　空　航　天　大　学　学　报Journal of Nanjing U niversity of Aeronautics&Astronautics　V o l.30No.4　A ug.1998关于Fleury算法的一点注记X吕义忠(南京航空航天大学计算机科学与工程系　南京,210016)摘要　为了使用F leur y的算法,在每一步都必须去判断图G-e的连通性[1]。

本文将给出一个十分简单的判断图的连通性的线性算法。

为了证明它的正确性,本文将证明以下三个条件是等价的:(1)图G是连通的;(2)M的任意n-1行都是线性无关的(这里M为图G的关联矩阵);(3)在M中存在n-1个线性无关的行。

关键词:图论;算法;数理逻辑;计算复杂性;连通性中图分类号:O157.5;T P301.5当使用Fleury算法时,判别图的连通性是十分重要的[2]。

因为每次走一条边e时,都要判明它是否是桥。

下面给出一个十分简便的判明图的连通性的线性算法:假定图G有n个点(n>1),因为图的自环不影响图的连通性,我们不妨删去自环,因而G的关联矩阵为(0,1)矩阵。

设其n个行向量为A1,A2,…,A n,则可定义两个行向量之间的模2加(记成A iÝA j)为它们的对应元素之间的模2加(即0Ý1=1Ý0=1,0Ý0=1Ý1=0)的结果。

现在可描述算法如下:(1)检查图G的关联矩阵M是否有零行H,如有,则G不连通,停机;否则,转向(2)。

(2)在A1中,从左向右查找A1的第一个1,设其位于第k列。

在第k列中,由上向下查找另一个1,设其位于第j行(这表示边e k=v i v j),则执行A1:=A1ÝA j,且删去第j行(这两个动作相当于把图的第j个点收缩到第1个点,这里的收缩运算G/e是指将G的边e删除并将它的两个端点合并为一个点)。

Fleury算法这⾥对于实验中⽤到的两个算法进⾏简单的介绍和理解Fluery算法算法简介福楼⾥算法（Fleury算法）在图上求欧拉环游的⼀种⽅法。

中国邮递员问题实质上是在具有⾮负的连通图⽹络G中找出⼀条最⼩权的通过所有边的闭途径。

当G是欧拉图的时候，问题转化成为在G中确定⼀条欧拉环游。

算法的基本原则是：每到⼀点，就沿该点的关联边中从未⾛过的⼀条⾛，当没有其他选择时，才选择未⾛过边所导出的⼦图中的割边。

Floyd算法算法简介floyd算法可以看作是搜索算法在最短路径的简化算法。

即可以通过第三点对所求的a，b两点进⾏路径距离的优化。

⽽算法的⽬的就是尽可能多的找到这样的中转点。

我们假定⼀个邻接矩阵，并且现在只经过1号点，求任意两点最短路程，只需要判断e[i][1]+e[1][j]是不是⼩于e[i][j]，实现这个我们只需要⼀个简单的遍历代码for (i=1;i<n;i++){for(j=1;j<n;j++){if(e[i][j]>e[i][1]+e[1][j])e[i][j] =e[i][1]+e[1][j];}}}同样的判断2号点，3号点......对于这个过程，再套⼀个循环，便可以解决，所以最终的算法是循环k循环i循环j判断 e[i][j]>e[i][k]+e[k][j]赋值 e[i][j]=e[i][k]+e[k][j]end 判断end循环jend循环iend循环kDijkstra算法算法简介这个算法和Flyod算法⽐较像，就⼀并介绍⼀下。

思路⽐较简单，算法步骤如下：—————————————————————————————————\(S1. 令d(v_1)=0, d(v_j)=w_{ij}(权),s={v_1},R=v \ s=\{v_2...v_p\}\)\(S2. 在R中寻找⼀个顶点V_k,使得d(V_k)=min\{d(V_j)\},R=V\S.若R是空集，则结束\)\(S3. 修正的d(v_j),对R中每个V_j,令d(v_j)=min\{d(v_j),d(v_k)+w_{kj}\}\)—————————————————————————————————简单来说就是选中⼀个点作为起始点，然后在剩余的点⾥找到去往选中点权最⼩的点，然后这个点到每个可以抵达选中点的点（不包括已经⽤过的点和选中点）进⾏权值⽐较（即决定是否绕路）。

解微分方程的欧拉法，龙格-库塔法及其MATLAB简单实例欧拉方法（Euler method)用以对给定初值的常微分方程(即初值问题)求解分为前进EULER法、后退EULER法、改进的EULER法。

缺点：欧拉法简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。

因此欧拉格式一般不用于实际计算。

改进欧拉格式：为提高精度，需要在欧拉格式的基础上进行改进。

采用区间两端的斜率的平均值作为直线方程的斜率。

改进欧拉法的精度为二阶。

算法为：微分方程的本质特征是方程中含有导数项，数值解法的第一步就是设法消除其导数值。

对于常微分方程：?x∈[a,b]y(a) = y0可以将区间[a,b]分成n段，那么方程在第xi点有y'(xi) = f(xi,y(xi))，再用向前差商近似代替导数则为：在这里，h是步长，即相邻两个结点间的距离。

因此可以根据xi点和yi点的数值计算出yi+1来：i=0,1,2,L这就是向前欧拉格式。

改进的欧拉公式：将向前欧拉公式中的导数f(xi,yi)改为微元两端导数的平均，即上式便是梯形的欧拉公式。

可见，上式是隐式格式，需要迭代求解。

为了便于求解，使用改进的欧拉公式：数值分析中，龙格－库塔法（Runge-Kutta）是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。

实际上，龙格-库塔法是欧拉方法的一种推广，向前欧拉公式将导数项简单取为f(xn,yn),而改进的欧拉公式将导数项取为两端导数的平均。

龙格-库塔方法的基本思想：在区间[xn,xn+1]内多取几个点，将他们的斜率加权平均，作为导数的近似。

龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法”。

令初值问题表述如下。

则，对于该问题的RK4由如下方程给出：其中这样，下一个值(y n+1)由现在的值(y n)加上时间间隔(h)和一个估算的斜率的乘积决定。

该斜率是以下斜率的加权平均：k1是时间段开始时的斜率；k2是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点tn + h/2的值；k3也是中点的斜率，但是这次采用斜率k2决定y值；k4是时间段终点的斜率，其y值用k3决定。

弗罗莱（Fleury）算法,求欧拉（Euler）通路/回路算法及分析2009-09-20 17:11:54 阅读807 评论0字号：大中小1、基本概念：（1）定义欧拉通路(欧拉迹)—通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的通路。

欧拉回路(欧拉闭迹)—通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的回路。

欧拉图—存在欧拉回路的图。

欧拉图就是从一顶出发每条边恰通过一次又能回到出发顶点的那种图，即不重复的行遍所有的边再回到出发点。

通路和回路－称v i e1e2…e n v j为一条从v i到v j且长度为n的通路，其中长度是指通路中边的条数．称起点和终点相同的通路为一条回路。

简单图－不含平行边和自回路的图。

混合图－既有有向边，也有无向边的图平凡图－仅有一个结点的图完全图－有n个结点的且每对结点都有边相连的无向简单图，称为无向完全图；有n个结点的且每对结点之间都有两条方向相反的边相连的有向简单图为有向完全图。

（2）欧拉图的特征：无向图a）G有欧拉通路的充分必要条件为：G连通，G中只有两个奇度顶点(它们分别是欧拉通路的两个端点)。

b）G有欧拉回路(G为欧拉图)：G连通，G中均为偶度顶点。

有向图a）D有欧拉通路：D连通，除两个顶点外，其余顶点的入度均等于出度，这两个特殊的顶点中，一个顶点的入度比出度大1，另一个顶点的入度比出度小1。

b）D有欧拉回路(D为欧拉图)：D连通，D中所有顶点的入度等于出度。

一个有向图是欧拉图，当且仅当该图所有顶点度数都是0。

2、弗罗莱（Fleury）算法思想－解决欧拉回路Fleury算法：任取v0∈V(G)，令P0=v0；设Pi=v0e1v1e2…ei vi已经行遍，按下面方法从中选取ei+1：（a）ei+1与vi相关联；（b）除非无别的边可供行遍，否则ei+1不应该为Gi=G-{e1,e2,…, ei}中的桥（所谓桥是一条删除后使连通图不再连通的边）；（c）当（b）不能再进行时，算法停止。

一：弗罗莱(Fleury)算法算法步骤如下：(1):任取一起始节点VS;(2):设路EE：=[[v1,v2],[v2,v3],....,[vn,vs]]选出，则从G\EE中选边ee，使ee与VS相连，除非没有其它选择，EE不应为G\EE的桥（即去G\EE应保持连通性）;(3):重复步骤(2)，直至不能进行下去为止。

具体程序如下：> Fleury:=proc(G)> local V,E,ee,VD,i,j,VS,EE;> VS:=1:EE:=[]:> for j from 1 to nops(edges(G)) do> VD:=neighbors(VS,G):> for i from 1 to nops(VD) do> ee:=edges({VS,VD[i]},G):> delete(edges(ee,G),G):> if connectivity(G)=0 then> addedge({VS,VD[i]},G):> if i=nops(VD) then> RETURN(0):> fi:> else> EE:=[op(EE),[VS,VD[i]]]:> VS:=VD[i]:> fi:> od:> od:> RETURN(EE):> end:二：中国邮递员问题解法如下：(1):找出原图G的所有负节点和正节点；(2):求出每对负、正节点之间的最短路的权数，并求出最佳配对与附加配对的最短路；对添加了配对后的最短路的新图，找出一个或若干个欧拉回路，并合理地分配在规定的时间经过的路段。

3：旅行商问题
3.1 定义基础 i) 遗传算法:是一种基于生物自然选择与遗传机理的随机搜索算
法。 ii) 蚁群算法:是一种全新的通过模拟自然界蚂蚁寻径的行为的进化
算法 iii)模拟退火法:是一种模拟熔化状态下物体由逐渐冷却至最终达结
晶状态这一物理过程的近似全局优化算法。 3.2 问题描述
TSP 问题（Traveling Salesman Problem），即旅行商问题， 是数学领域中著名问题之一。假设有一个旅行商人要拜访 N 个城 市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访 一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求 得 的 路 径 路 程 为 所 有 路 径 之 中 的 最 小 值 。即 ：给定一个完全无向带 权图 G=(V,E)，其每条边(u,v)∈E 有一非负整数权值 w(u,v)。要求 找出 G 的一条经过每个顶点一次且仅经过一次的回路，使得该回路上 所有边的权值之和尽可能地小。从图论的角度来看，该问题实质是在 一个带权完全无向图中，找一个权值最小的哈密顿回路使得我们能够 通过这些城市至少一次。
关键词：欧拉图、欧拉回路、最小权数、遗传算法、蚁群算法、
模拟退火算法
1 ：引 言
中国邮递员问题和旅行商问题都是著名图论问题。它们在现实生 活中也很重要的意义。中国邮递员问题最早是由管梅谷首先提出并进 行研究的，国际上现在统称之为中国邮递员问题。该问题具有很强的 现实意义。早期关于中国邮递员问题的讨论总是基于无向图展开的， 事实上，由于单行线或上下行路线的坡度等原因，这一问题有时必须 借助于有向图来进行研究和解决。到目前为止，对中国邮递员问题的 研究主要是从图论角度展开的，给出的多数都是各种启发式算法或递 推算法。如果中国邮递员问题中的图是欧拉图，那么欧拉回路就是最 优回路。但一般情形下中国邮递员问题的相关图不是欧拉图，最优回 路包含某些边至少两次。这时求最优回路的思想是：在图 G 中添加 一些重复边使新图 G*成为欧拉图，且使得所有添加的重复边的权和 最小。再由 G*的欧拉回路得到 G 的最优回路。本文也沿袭了以往的 方法，从欧拉图方面进行研究，试图得出当中国邮递员问题的图为欧 拉图时的最短路径，从而得出中国邮递员问题的最优解。

c语言实现弗洛伊德算法弗洛伊德算法，也称为Floyd-Warshall算法，是一种用于求解所有节点对之间最短路径的动态规划算法。

该算法的时间复杂度为O(n^3)，适用于有向图或无向图，可以处理负权边但不能处理负环。

在C语言中，我们可以使用二维数组来表示图的邻接矩阵，其中matrix[i][j]表示从节点i到节点j的边权值。

我们可以使用三重循环来实现弗洛伊德算法，其中第一重循环枚举中间节点k，第二重循环枚举起点i，第三重循环枚举终点j。

具体实现如下：```cvoid floyd(int n, int matrix[][n]) {int i, j, k;for (k = 0; k < n; k++) {for (i = 0; i < n; i++) {for (j = 0; j < n; j++) {if (matrix[i][k] + matrix[k][j] < matrix[i][j]) {matrix[i][j] = matrix[i][k] + matrix[k][j];}}}}}```在上述代码中，n表示节点数，matrix为邻接矩阵。

我们首先枚举中间节点k，然后枚举起点i和终点j，如果从i到k再到j的路径比当前的i到j路径更短，则更新i到j的路径长度。

最终，matrix[i][j]中存储的就是节点i到节点j的最短路径长度。

需要注意的是，如果图中存在负环，则该算法会陷入死循环。

因此，在实际应用中，我们需要先判断图中是否存在负环，如果存在则无法使用弗洛伊德算法。

弗洛伊德算法是一种非常实用的动态规划算法，可以用于求解所有节点对之间的最短路径。

在C语言中，我们可以使用邻接矩阵来表示图，并使用三重循环来实现该算法。

求欧拉回路的Fleury算法一、实验内容：判断图G是否存在欧拉回路，若存在，输出其中一条欧拉回路。

否则，显示无回路。

二、实验环境：vc++三、实验过程与结果1.问题简介：通过图（无向图或有向图）中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的回路称为欧拉回路。

具有欧拉回路的图称为欧拉图2.算法思想（框图）：（1）任取v0∈V(G)，令P0=v0.（2）设Pi=v0e1v1e2…e i v i已经行遍，按下面方法来从E(G)-{e1,e2,…,e i}中选取e i+1：（a）e i+1与v i相关联；（b）除非无别的边可供行遍，否则e i+1不应该为G i=G-{e1,e2,…,e i}中的桥。

（3）当（2）不能再进行时，算法停止。

可以证明，当算法停止时所得简单回路Pm=v0e1v1e2…e m v m(v m=v0)为G中一条欧拉回路。

3.数据输入：边数5，点数6相关联的点1 21 32 54 23 24 54.运行结果：存在欧拉回路 1，3，2，4，5，2，15.分析总结：Fleury算法是求欧拉图的十分有效的算法，在执行过程中需要用到类似于图的深度优先遍历，因为该算法就是需要将已找到的路径不断的扩展下去，直到将所有边扩展进路径。

四、完整源程序#include <iostream.h>#include <stdio.h>#include <string.h>struct stack{int top , node[81];} T,F,A; //顶点的堆栈int M[81][81]; //图的邻接矩阵int n;int degree[81];bool brigde(int i,int j){int flag[81],t,s;for(s=1;s<=n;s++)flag[s]=0;if(degree[i]==1)return false;else{M[i][j]=0;M[j][i]=0;A.top=1;A.node[1]=i;flag[i]=1;t=i;while(A.top>0){for(s=1;s<=n;s++){if(degree[s]>0){if(M[t][s]==1)if(flag[s]==0){A.top++;A.node[A.top]=s;flag[s]=1;t=s;break;}}}if(s>n){A.top--;t=A.node[A.top];}}for(s=1;s<=n;s++){if(degree[s]>0)if(flag[s]==0){M[i][j]=M[i][j]=1;return true;break;}}if(s>n)return false;}}void Fleury(int x) //Fleury算法{int i,b=0;if(T.top<=n+1){T.top++;T.node[T.top]=x;for(i=1;i<=n;i++)if(M[x][i]==1)if(brigde(x,i)==false){b=1;break;}if(b==1){M[x][i]=M[i][x]=0;degree[x]--;degree[i]--;Fleury(i);}}}void main(){int m , s , t , num , i , j,flag[81];//inputcout<<"\n\t输入顶点数和边数:";cin>>n>>m; //n顶点数m边数memset(M , 0 , sizeof(M));for (i = 1; i <=n; i ++)degree[i]=0;for (i = 0; i < m; i ++){cout<<"\n\t\t输入第"<<i+1<<"边的顶点:";cin>>s>>t;M[s][t] = 1; M[t][s] = 1;degree[s]=degree[s]+1;degree[t]=degree[t]+1;}//判断是否存在欧拉回路for(i=1;i<=n;i++)flag[i]=0;s = 0; //判断是否连通F.top=1;F.node[1]=1;flag[1]=1;t=1;for(j=2;j<=n;j++){if(M[t][j]==1){F.top++;F.node[F.top]=j;flag[j]=1;t=j;break;}}if(j>n)s=1;else{while(F.top<=n&&F.top>=1){for(j=2;j<=n;j++){if(M[t][j]==1)if(flag[j]==0){F.top++;F.node[F.top]=j;flag[j]=1;t=j;break;}}if(j>n){F.top--;t=F.node[F.top];}}for(i=1;i<=n;i++)if(flag[i]==0){s=1;break;}}if(s==0) //判断有无奇度点{for (i = 1; i <= n; i ++){num = 0;for (j = 1; j <= n; j ++)num += M[i][j];if (num % 2 == 1){s ++;break;}}}if (s == 0) {T.top=0;Fleury(1);cout<<"\n\t该图的一条欧拉回路：";for(i=1;i<=m+1;i++){cout<<T.node[i]<<" ";}}elsecout<<"\n\t该图不存在欧拉回路!\n";}附加总结类文档一篇，不需要的朋友可以下载后编辑删除，谢谢(中学生感恩节主题教育活动总结5篇)中学感恩节活动总结范文1一、活动目的如今虽然很多人注意到生活礼仪，谢谢常挂在嘴边，但是大家或许是因为羞于表达或许出于缺少机会而省略了对于身边亲人、朋友和老师的感谢。

欧拉（Euler）通路/回路1、基本概念：（1）定义欧拉通路(欧拉迹)—通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的通路。

欧拉回路(欧拉闭迹)—通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的回路。

欧拉图—存在欧拉回路的图。

欧拉图就是从一顶出发每条边恰通过一次又能回到出发顶点的那种图，即不重复的行遍所有的边再回到出发点。

通路和回路－称v i e1e2…e n v j为一条从v i到v j且长度为n的通路，其中长度是指通路中边的条数．称起点和终点相同的通路为一条回路。

简单图－不含平行边和自回路的图。

混合图－既有有向边，也有无向边的图平凡图－仅有一个结点的图完全图－有n个结点的且每对结点都有边相连的无向简单图，称为无向完全图；有n个结点的且每对结点之间都有两条方向相反的边相连的有向简单图为有向完全图。

（2）欧拉图的特征：无向图a）G有欧拉通路的充分必要条件为：G 连通，G中只有两个奇度顶点(它们分别是欧拉通路的两个端点)。

b）G有欧拉回路(G为欧拉图)：G连通，G中均为偶度顶点。

有向图a）D有欧拉通路：D连通，除两个顶点外，其余顶点的入度均等于出度，这两个特殊的顶点中，一个顶点的入度比出度大1，另一个顶点的入度比出度小1。

b）D有欧拉回路(D为欧拉图)：D连通，D中所有顶点的入度等于出度。

一个有向图是欧拉图，当且仅当该图所有顶点度数都是0。

2、弗罗莱（Fleury）算法思想－解决欧拉回路Fleury算法：任取v0∈V(G)，令P0=v0；设Pi=v0e1v1e2…ei vi已经行遍，按下面方法从中选取ei+1：（a）ei+1与vi相关联；（b）除非无别的边可供行遍，否则ei+1不应该为Gi=G-{e1,e2, …, ei}中的桥（所谓桥是一条删除后使连通图不再连通的边）；（c）当（b）不能再进行时，算法停止。

可以证明,当算法停止时所得的简单回路Wm=v0e1v1e2….emvm(vm=v0)为G中的一条欧拉回路，复杂度为O(e*e)。

欧拉准则c语言范文欧拉准则是一种用于判断图中是否存在欧拉路径或欧拉回路的算法。

在这个算法中，通过统计节点的度数来进行判断。

本文将详细介绍欧拉准则在C语言中的实现。

在图论中，一个欧拉路径是一条通过图中每条边且不重复的路径，而欧拉回路是一条可从一些节点出发并回到该节点的欧拉路径。

要实现欧拉准则算法，首先需要表示一个图。

在C语言中，可以使用邻接矩阵或邻接表来表示图。

在本文中，将使用邻接矩阵来表示。

邻接矩阵是一个二维数组，其中的行和列分别代表图中的节点，而数组中的元素则代表节点之间的边的存在情况。

若两个节点之间存在一条边，则该元素的值为1；否则，为0。

为了方便起见，还可以用一个数据结构来表示节点：```c#define MAX_NODES 100typedef structint adjacencyMatrix[MAX_NODES][MAX_NODES];int numNodes;} Graph;```在这个数据结构中，`adjacencyMatrix`用于存储邻接矩阵；`numNodes`表示图中节点的数量。

接下来，需要实现一个函数来读取图的信息并构建邻接矩阵。

该函数将读取一个文本文件，其中包含了图的信息。

文件的第一行将包含一个整数n，表示图中节点的数量。

接下来的n行将包含一个长度为n的字符串，其中每个字符代表一个节点之间的边的情况。

字符串中的字符为'1'时，表示存在边；为'0'时，表示不存在边。

```cGraph readGraphFromFile(const char* filename)Graph graph;FILE* file = fopen(filename, "r");if (file == NULL)printf("Failed to open file.\n");graph.numNodes = 0;return graph;}//读取节点数量fscanf(file, "%d", &graph.numNodes);//读取邻接矩阵for (int i = 0; i < graph.numNodes; i++)for (int j = 0; j < graph.numNodes; j++)char c;fscanf(file, "%c", &c);if (c == '1')graph.adjacencyMatrix[i][j] = 1;} elsegraph.adjacencyMatrix[i][j] = 0;}}}fclose(file);return graph;```在得到邻接矩阵后，可以使用欧拉准则判断图中是否存在欧拉路径或欧拉回路。

回路径构造算法、巡回路径优化算法和智能算法，其算法简单，计算 量小。而其中，智能算法的研究最为引人注目，如模拟退火、遗传算 法、蚁群算法等，它们给旅行商ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题提供了新的途径。本文就是用这 三种方法来求解旅行商问题。
首先，我们来看中国邮递员问题。
2：中国邮递员问题
2.1 定义基础 定义 经过 G 的每条边的迹叫做 G 的欧拉迹，封闭的欧拉迹叫做 欧拉回路或 E 回路，含有欧拉回路的图叫做欧拉图。 定理 （i）G 是欧拉图的充分必要条件是 G 连通且每顶点皆偶次。
邮递员问题与旅行商问题讨论
摘要：中国邮递员问题（Chinese Postmen Problem）是由我国数学家
管梅谷教授在 1962 年首次提出并研究的。深入研究这个问题，我们 发现这个问题的根本，其实就是图论中的最短路径问题。本文主要 运用欧拉图及其相关性质来展开研究的，希望通过图论的相关方法得 到问题的最优解，主要思想是：找到欧拉图中的最小权数，最小权数 即为最优解。首先，在对邮递员问题进行分析时，我们需要给出在讨 论过程中所需要的相关定理。其次，本文将从欧拉图及其回路方面着 手，找出在中国邮递员问题在相关情况下的最优解。而旅行商问题 （Traveling Salesman Problem）也是数学领域中著名问题之一。 其具有重要的理论和实际研究价值，在工程实践中应用广泛。本 文将采用三种方法求解旅行商问题，分别为：遗传算法、蚁群算 法和模拟退火算法。在得到结果后，我们比较了三种算法的优劣， 得出它们不同的适用范围：蚁群算法适用于缓慢上网较精确的求 解场合；模拟退火算法适用于快速精确的求解；遗传算法适用于 快速求解，但存在结果准备度要求不高的情况。
1）选取一个起始点 z。并设一个较高的起始温度 T，令迭代次数