江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考
高三数学（理）试卷
命题人：景德镇一中 江 宁 赣州三中 明小青 余江一中 官增文 审题人：景德镇一中 曹永泉
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知复数z 满足()
1z +=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2．函数()lg(3)
f x x =
+-的定义域是 A ．(3,)+∞
B ．(2,3)
C ．[2,3)
D ．(2,)
+∞
3．已知,m n 是两条不同直线,,,αβγ是三个不同平面,则下列命题正确的是
A ．若αα//,//n m ,则n m //
B ．若,αγβγ⊥⊥,则α∥β
C ．若βα//,//m m ,则βα//
D ．若,m n αα⊥⊥,则m ∥n
4．为了调查你们学校高中学生身高分布情况，假设你的同桌抽取的样本容量与你抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是
A ．你与你的同桌的样本频率分布直方图一定相同
B ．你与你的同桌的样本平均数一定相同
C ．你与你的同桌的样本的标准差一定相同
D ．你与你的同桌被抽到的可能性一定相同
5．下列函数中，与函数1
1
1
()22x x f x -+=-
的奇偶性、单调性均相同的是
A ．x
y e = B ． ln(y x =
C ． 2
y x =
D ．tan y x =
6．已知直线1x y +=与圆22
x y a +=交于A 、B 两点，O 是原点，C 是圆上一点，若
OC OB OA =+，则a 的值为
A ．1
B
C ．2
D ．4
7．设lg lg lg 111()121418x x x f x =
+++++，则
1
()()=f x f x
+ A ． 1 B ．2 C ．3
D ．4
8
．如图，函数()sin()f x A x ωϕ=+
（其中0A >，与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足(2,0)P ，为QR 的中点，PM = 则A 的值为 A B C ．8
D ．16
9．给出下列命题，其中真命题的个数是
①存在0x R ∈，使得007sin cos 2sin
24
x x π
+=成立; ②对于任意的三个平面向量a 、b 、c ，总有()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅
成立;
③相关系数r (||1r ≤)，||r 值越大，变量之间的线性相关程度越高. A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
10．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长是1，点
E 是 对角线1AC 上一动点，记AE x =（0x <<,过点E
平行于平面1A BD 的截面将正方体分成两部分，其中点
A 所在的部分的体积为()V x ，则函数()y V x =的图像大致为
A B
C
D 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
1
A 第10题图
11．已知30
sin a xdx π
=⎰，则6
1()x ax
+的展开式中的常数项是__________． 12．下图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的
y
13．春节期间，某单位安排甲、乙、丙三人于正月初一至初五值班，每人至少值班一天，且每人均
不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班，则共有__________种不同的值班安排方案．
14．过双曲线22221x y a b
-=(0,0)a b >>的左焦点(,0)F c -(0)c >，作倾斜角为6π
的直线FE 交该
双曲线右支于点P ，若1()2
OE OF OP =+
，且0O E E F ⋅= ，则双曲线的离心率为__________．
三．选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分． 15（1）．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1)sin cos 2(:1=+θθρC 与曲线
)0(,:2>=a a C ρ的一个交点在极轴上，则a 的值为__________．
15（2）．（不等式选做题）若关于x 的不等式|1|||3x x m -+-<的解集不为空集，则实数m 的取值范围是__________．
四．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且有tan tan sin 3cos A C B
C
+=．
（1）求cos A 的值；
（2）若2b =，3c =，D 为BC 上一点．且2CD DB =
,求AD 的长．
17．（本小题满分12分）
江西某品牌豆腐食品是经过A 、B 、C 三道工序加工而成的，A 、B 、C 工序的产品合格率分
别为
34、23、4
5
．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；恰有两次合格为二等品；其它的为废品，不进入市场． （1）生产一袋豆腐食品，求产品为废品的概率； （2）生产一袋豆腐食品，设X 为三道加工工序中产品合格的工序数，求X 的分布列和数学期望． 18．（本题满分12分）
如图，三棱锥P ABC -
中，AB AC ==
4BC =
，PC =P 在平面ABC 内的射影
恰为ABC ∆的重心G ，M 为侧棱AP 上一动点． （1）求证：平面PAG ⊥平面BCM ；
（2）当M 为AP 的中点时，求直线BM 与平面PBC
所成角的正弦值． 19．（本题满分12分）
已知数列{}n a 前n 项和为n S ，向量(,)a n = 2
与(,)n b n S = +1 ，且a b λ= ，R λ∈
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求2
1
{
}n n a a +的前n 项和n T ，不等式3log (1)4n a T a <-对任意的正整数n 恒成立，求a 的取
值范围．
20．（本题满分13分）
设定圆22:(16M x y +=，动圆N
过点0)F 且与圆M 相切，记动圆N 圆心N 的轨迹为C .
（1）求轨迹C 的方程；
（2）已知(,)A -2 0 ，过定点(,)B 1 0 的动直线l 交轨迹C 于P 、Q 两点，APQ ∆的外心为N ．
若直线l 的斜率为1k ，直线ON 的斜率为2k ，求证：12k k ⋅为定值．
21．（本题满分14分）
已知函数()ln a
f x ax bx x
=++ （a 、b 为常数），在1x =-时取得极值． （1）求实数b 的取值范围；
（2）当1a =-时，关于x 的方程()2f x x m =+有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围； （3）数列{}n a 满足1111
n n a a -=-
+ （*
n N ∈且2n ≥），11
2
a =
，数列{}n a 的前n 项和为n S ， 求证：1
2n n S a n n a e +-⋅≥（*
n N ∈,e 是自然对数的底）．
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高三数学（理）试卷 参考答案
11．160 12．3 13．28 141 三．选做题
15（1）．
2
15（2）．(2,4) -
四．解答题 16解：（1）∵
tan tan sin 3cos A C B C += ∴sin sin 3sin cos cos cos A C B
A C C
+=
∴ 3sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+=
∵sin 0B ≠ ∴3cos 1A = ∴ 1
cos 3
A =
…………………………….6分
（2）∵ 2b =，3c = ∴ 222
2cos 9a b c bc A =+-= ∴ 2DC = 1c o s
3
C =
∴222
1622222cos 3AD C =+-⨯⨯=
∴AD =
……………………12分
17解：（1）产品为废品的概率为：
1113111211141
4354354354356
P =
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ……………………………6分
（2）由题意可得0,1,2,3ξ=
3241
()(1)(1)(1)435060
P ξ=-⨯=-⨯-=
3111211143
()435435435201P ξ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==
3242
()43535
P ξ=⨯⨯==
故13
(2)1(0)(1)(3)30P P P P ξξξξ==-=-=-==
，
………………………………9分
得到ξ的分布列如下：
31321332320305160
E ξ∴⨯
+⨯+⨯== ……………………………………………12分
18解：（1）取BC 中点D ，连接AD 、PD ，
∵PG ⊥平面ABC ，∴PG BC ⊥
等腰ABC ∆中，G 为重心，∴AG BC ⊥ ∴BC ⊥平面PAG
∴平面PAG ⊥平面BCM ……………6分
（2）ABC ∆中，6AD = ∴2GD =
∵BC ⊥平面PAG ∴ C D P D ⊥
∴PD =∴6GP =
过G 作BC 的平行线为x 轴，AG 为y 轴，GP 为z 轴
建立空间直角坐标系
(2,0)B 2 , (2,0)C -2 , (0,6)P 0 , (4,0)A 0 , - ∴ (2,3)M 0 , -
设直线BM 与平面PBC 所成角为θ
设平面PBC 的法向量为n
(0,0)CB = 4 , (2,6)PB = 2 , - ∴(3,1)n = 0 ,
(4,3)BM = -2 , -
∴||sin |cos ,|||||n BM n BM n BM θ⋅=<>==⋅
……………12分 19解：（1）∵a b λ= ∴ //a b ∴ (1)
2n n n S += 1121
n n n S S n a S n -- ≥⎧=⎨ =⎩
∴ n a n = ……………4分 （2）132********n n n T a a a a a a a a +=+++⋅⋅⋅+
1111132435
(2)n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯+
11111111111111
(1)()()()()2322423521122n n n n =⨯-+⨯-+⨯
-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯--++ 11113111(1)()22124212
n n n n =⨯+--=-⨯+++++ ……………8分
∴ 34n T <
不等式3
log (1)4n a T a <-对任意的正整数n 恒成立 ∴ 33
log (1)44
a a ≤- ∴ 1l o g (1)
a a ≤- ……………10分 ∴ 1log (1)01
a a a ≤-⎧⎨<<⎩ ∴log log (1)a a a a ≤- ∴1a a ≥- ∴ 112a >≥ ……12分
20解：（1
）∵点0)F
在圆22:(16M x y +=内 ∴圆N 内切于圆M
∴||||4||NM NF FM +=>
∴点N 的轨迹C .的方程为2
214
x y += ……………5分
（2）由APQ ∆存在 ∴ 直线PQ 斜率不为0
设直线PQ 为1x my =+ 设点11(,)P x y ，22(,)Q x y 22
1
44
x my x y =+⎧⎨
+=⎩ ⇒ 22(4)230m y my ++-= ⇒ 12212224
34m y y m y y m -⎧
+=⎪⎪+⎨
-⎪⋅=
⎪+⎩
直线AP 的中垂线方程为：111
12(22
x x y x y +-=-
- 即2111112422
x x y y x y y +-=-++ ∵ 221144x y += ∴ 即111232x y
y x y +=--
即111232
my y y x y +=-- 即 1132
2y y mx x y =---
同理可得直线AQ 的中垂线方程为：2232
2
y y mx x y =--- ………7分
∴点N 的坐标满足
112
2322322y y m x x y y y m x x y ⎧+=--⎪⎪⎨⎪+=--⎪⎩ ⇒ 121
21212332
222332222()()22y y x x y y y y y mx x x y y ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=-+-+⎪⎩
⇒ 1212121211322()3()2x y y y mx x y y y y ⎧=⎪⎪⎨
⎪+=-+-+⎪⎩
⇒2232(4)32224x m m y mx mx m -⎧=⎪+⎪
⎨⎪+=-+⎪+⎩ ……9分 ⇒ 2222y m x m x m x +=-- ⇒ 23y
k m x
==-
又 ∵直线l 的斜率为1k ∴11
k m
= （0m ≠）⇒ 123k k =- ………13分 21解：（1）222
1'()a bx x a
f x b x x x
+-=+-= ∵()f x 在1x =-有定义 ∴ 0a < ∴1x =-是方程
22
0bx x a
x +-=的根，且不是重根 ∴1b a =+ 且140ab +≠ 又 ∵0a < ∴1b <且1
2
b ≠ ………………………4分
（2）1a =-时 10b a =+= 即方程1
ln()2x x m x
--=+在(,0)-∞ 上有两个不等实根
即方程1
ln 2x x m x
++=在(,) 0 +∞ 上有两个不等实根
令1
()ln 2g x x x x
=++ (0)x >
222
1121
()2x x g x x x x
+-'=-+= (0)x > ∴()g x 在1(0,]2 上单调递减，在1[,)2 +∞上单调递增 1
()3
l n 22
g =- 当0x → 时，()g x →+∞ 且 当x →+∞ 时，()g x →+∞ ∴当3ln 2m >- 时 ，方程()2f x x m =+有两个不相等的实数根 (8)
分 （3）11
11
n n a a -=-
+ ∴ 111n n n a a a --=
+ ∴ 1111n n a a -=+ ∴ 1
1n
n a =+
∴ 1
1
n a n =+ (10)
分
由（2）知1
()ln 23ln 2g x x x x
=+
+≥- 代 1n x n =+ 得 12ln
3ln 211n n n n n n +++≥-++ 即21
ln ln 211n n n n +≥-++ ∴ 121ln ln 2221+≥-
221ln ln 2332+≥-
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
21ln
ln 211n n n n
+≥-++ 累加得 11111ln
ln 21112311
n n n S a n n n +≥++⋅⋅⋅++-=+-+++ 即 l n l n 21
n n n n a S a +≥+- ∴ 1
2n n S a n n a e +-⋅≥ 得证 ………………14分。
