三角形的中位线习题精讲精析

、定理1.三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触)，并且等于第三边的一半。

2.连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。

逆定理逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

注意：在三角形内部，经过一边中点，且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线。

（微课精讲）三角形中的三条重要线段：中线、角平分线、高线概念中线在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）。

三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。

如图，AD是边BC上的中线，BE是边AC上的中线，CF是边AB上的中线三条中线交于点O，点O称为△A BC的重心角平分线在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

如图，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，三角形三条角平分线交于点O点O称为△ABC的内心高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，定点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。

如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB三角形三条高线交于点O点O称为△ABC的垂心以上是我们在初一时所学的三角形三条重要线段，今天，我们将学习三角形中第四条重要的线段——中位线（知识点精讲)中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

如图，E、F分别是三角形AB、AC边上的中点，所以，EF是三角形BC 边所对的中位线，则EF∥BC且EF=1/2BC三角形的中位线衍生出很多重要的图形，其中最重要的就是中点四边形（微课堂精讲）中点四边形任意画一个四边形，以四边形的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形称为——中点四边形中点四边形一定是平行四边形证明：连接AC因为E、F分别为AB、BC的中点，所以EF平行且等于AC的一半同理，GH平行且等于AC的一半因此，EF∥HG，EF=HG所以，四边形EFGH是平行四边形思考：四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？矩形？正方形？三角形中位线的解题策略三角形的中位线定理，既有线段的位置关系，又有线段的数量关系，它是一个在三角形中遇到中点，必须联想到的重要定理之一。

《中位线》专题练习参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2013•淄博）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A．B．C．3D．4考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周长为26，及BC=10，可得DE=6，利用中位线定理可求出PQ．解答：解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），∴PQ是△ADE的中位线，∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，∴DE=BE+CD﹣BC=6，∴PQ=DE=3．故选C．点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是判断出△BAE、△CAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是△ADE的中位线．2．（2009•绍兴）如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE=48°，则∠APD等于（）A．42°B．48°C．52°D．58°考点：三角形中位线定理；翻折变换（折叠问题）．专题：操作型．分析：由翻折可得∠PDE=∠CDE，由中位线定理得DE∥AB，所以∠CDE=∠DAP，进一步可得∠APD=∠CDE．解答：解：∵△PED是△CED翻折变换来的，∴△PED≌△CED，∴∠CDE=∠EDP=48°，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠APD=∠CDE=48°，故选B．点评：本题考查三角形中位线定理的位置关系，并运用了三角形的翻折变换知识，解答此题的关键是要了解图形翻折变换后与原图形全等．3．（2010•威海）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD．若BD 平分∠ABC，则下列结论错误的是（）A．B C=2BE B．∠A=∠EDA C．B C=2AD D．B D⊥AC考点：三角形中位线定理．分析：根据D，E分别是边AC，AB的中点，得出DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC 且BC=2DE；又BD平分∠ABC，所以∠CDB=∠DBE=∠BDE，所以BE=DE=AE，所以AB=2DE，所以AB=BC，即可得出B、D选项正确．解答：解：∵D，E分别是边AC，AB的中点，∴DE∥BC且BC=2DE，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBE=∠BDE，∴BE=DE=AE，∴AB=2DE，BC=2DE=2BE，故A正确；∴AB=BC，∴∠A=∠C=∠EDA，故B正确；C、∵AE=DE，与AD不一定相等，故本选项不一定成立；D、∵AB=BC，点D是AC的中点，∴BD⊥AC，故本选项正确．故选C．点评：本题利用三角形的中位线定理、角平分线的性质和平行线的性质推出等角，得到等腰三角形是解题的关键．4．如图，△ABC中，AB=8cm，AC=5cm，AD平分∠BAC，且AD⊥CD，E为BC中点，则DE=（）A．3cm B．5cm C．2.5cm D．1.5cm考点：三角形中位线定理．分析：延长CD交AB于F点．根据AD平分∠BAC，且AD⊥CD，证明△ACD≌△AFD，得D是CF的中点；又E为BC中点，所以DE是△BCF的中位线，利用中位线定理求解．解答：解：延长CD交AB于F点．∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠CAD；∵AD⊥CD，∴∠ADF=∠ADC；又AD=AD，∴△ACD≌△AFD，∴CD=DF，AF=AC=5cm．∵E为BC中点，BF=AB﹣AF=8﹣5=3，∴DE=BF=1.5（cm）．故选D．点评：此题关键是作辅助线构造全等三角形，证明D是CF的中点，从而证明DE是三角形的中位线，运用中位线定理求解．5．如图，△ABC中，D为BC中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则为（）A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：2考点：相似三角形的判定与性质．分析：过D作BF的平行线，交AC边于G，即：DG∥BF，又D为BC中点可得出：△CDG∽△CBF，即：==，CG=FC=FG；同理可得：△AEF∽△ADG，AF=AG=FG，所以AF=FG=GC，即：==．解答：解：过D作BF的平行线，交AC边于G，如下图所示：∵D为BC中点，DG∥BF∴∠CGD=∠CFB又∵∠C=∠C∴△CDG∽△CBF∴==，即：CG=CF=FG又E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，DG∥BF同理可得：△AEF∽△ADG∴==，即：AF=AG=FG∴AF=FG=GC∴===1：2故选：D．点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质，关键在于找出条件判断两个三角形相似，再运用相似三角形的性质求解．二．解答题（共3小题）6．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC=20°，∠ACB=66°，求∠FEG的度数．考点：三角形中位线定理．分析：根据中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可．解答：解：∵AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，又∵AD=BC，∴GF=GE，∠FGC=∠DAC=20°，∠AGE=∠ACB=66°，∴∠FGE=∠FGC+∠EGC=20°+（180°﹣66°）=134°，∴∠FEG=（180°﹣∠FGE）=23°．点评：主要考查了中位线定理和等腰三角形两底角相等的性质，题目的难度不大．7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF=DE．连接BF、CF、AC．求证：四边形ABFC是平行四边形．考点：等腰梯形的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定．专题：证明题．分析：根据等腰梯形性质求出∠ABC=∠DCB，根据DE⊥BC，DE=EF，得出△DFC是等腰三角形，推出∠ABC=∠DCB=∠FCE，AB=CD=CF，推出AB∥CF，根据平行四边形的判定定理推出即可．解答：证明：等腰梯形ABCD中，AB=DC，∴∠ABC=∠DCB，∵DE⊥BC，DE=EF，∴△DFC是等腰三角形，∴∠DCB=∠FCE，DC=CF，∴∠ABC=∠FCE，∴AB∥CF，∵AB=CD=CF，∴四边形ABFC是平行四边形．点评：本题考查了等腰梯形的性质，等腰三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点的应用，关键是推出AB=CF，AB∥CF，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，难度适中．8．（2013•永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．分析：（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．解答：（1）证明：在△ABN和△ADN中，∵，∴△ABN≌△ADN，∴BN=DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，DN=NB，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．点评：本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形．。

专题18.7 三角形的中位线（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】三角形的中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.特别提醒：1.三角形有三条中位线.2.不要把三角形的中位线与三角形的中线混淆，应从它们的定义加以区别.【知识点二】三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.特别提醒：三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，每个小三角形的周长为原三角形周长的一半，每个小三角形的面积为原三角形面积的四分之一.【考点目录】【考点1】利用三角形中位线求值；【考点2】利用三角形中位线证明；【考点3】利用三角形的中位线求值与证明；【考点4】三角形的中位线综合应用；（2）:PE PB 的值？【答案】（1）:AP PD 的值为1；；（2）1:3PE PB =:．【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理．（1）如图所示，取BE 中点G ，连接DG ，则DG 是BCE V 的中位线，即可证明12DG CE =，DG CE ∥，进而推出32DG AE =，再证明DGP AEP △≌△，即可求解；（2）由DGP AEP △≌△，推出EP PG =，再根据点G 是BE 中点，据此求解即可．（1）解：如图所示，取BE 中点G ，连接DG ，∵AD 是BC 边上的中线，即D 是BC 的中点，∴DG 是BCE V 的中位线，∴12DG CE =，DG CE ∥，∵:1:2AE EC =，∴DG AE =，∵DG AE ∥，∴DGP AEP Ð=Ð，GDP EAP Ð=Ð，∴DGP AEP △≌△，∴AP PD =，∴:AP PD 的值为1；（2）解：∵DGP AEP △≌△，∴EP PG =，∵点G 是BE 中点，∴1:3PE PB =:．【变式1】（2023·广东肇庆·统考三模）如图，ABCD Y 中，3AB =，BE 平分ABC Ð，交AD 于点E ，2DE =，点F ，G 分别是BE 和CE 的中点，则FG 的长为（ ）A ．3B ．2.5C ．2D ．5【答案】B【分析】首先根据平行四边形的性质可得AD BC ∥，AD BC =，再结合角平分线的定义和平行线的性质证明ABE V 为等腰三角形，易得3AB AE ==，进而可得5AD BC ==，然后结合点F ，G 分别是BE 和CE 的中点，易得FG 是BEC V 的中位线，结合三角形中位线的性质即可获得答案．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，AD BC =，∴AEB EBC Ð=Ð，∵BE 平分ABC Ð，∴ABE EBC Ð=Ð，∴AEB ABE Ð=Ð，∴3AB AE ==，∴325AD BC AE ED ==+=+=，∵点F ，G 分别是BE 和CE 的中点，∴FG 是BEC V 的中位线，∴12.52FG BC ==．故选：B ．【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线的性质是解题关键．【变式2】（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，在平行四边形ABCD 中，AD =E 、F 分别为边BC 、CD 的中点，连接EF 、AE 、BD ，当AE 平分BEF Ð时，BD 的长为 ．【答案】【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角形中位线定理．由三角形的中位线定理可得EF BD ∥，12BE BC ==AD DO ==BE BO ==，即可求解．解：如图，设AE 与BD 的交点为O ，AE Q 平分BEF Ð，AEF AEB \Ð=Ð，∵AD BC ∥，AEB DAE \Ð=Ð，E Q 、F 分别为边BC 、CD 的中点，∴EF BD ∥，12BE BC ==，BOE AEF \Ð=Ð，AOD AEF Ð=Ð，DAE AOD BEO BOE \Ð=Ð=Ð=Ð，AD DO \==，BE BO ==，DB \=故答案为：．【考点2】利用三角形的中位线证明；【例2】（2024下·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考开学考试）如图，DE 是ABC V 的中位线，延长CB 至点F ，使12BF BC =，连接BE ，DF ．（1）求证：四边形BEDF 是平行四边形．（2）若12DF AC =，试判断ABC V 的形状，并说明理由．【答案】（1）见分析；（2）ABC V 为直角三角形，理由见分析【分析】（1）根据三角形中位线定理可得DE BC ∥，12DE BC =，求出DE BF =，根据平行四边形的判定可得结论；（2）根据平行四边形的性质和三角形中位线定理求出AE EC BE ==，可得EAB EBA Ð=Ð，ECB EBC Ð=Ð，然后利用三角形内角和定理求出90EBA EBC Ð+Ð=°即可．解：（1）证明：DE Q 是ABC V 的中位线，\DE BC ∥，12DE BC =，12BF BC =Q ，DE BF \=，\四边形BEDF 是平行四边形；（2）解：ABC V 为直角三角形；理由：Q 四边形BEDF 是平行四边形，DF BE \=，12DF AC =Q ，12BE AC \=，DE Q 是ABC V 的中位线，12AE EC AC \==．AE EC BE \==，∴EAB EBA Ð=Ð，ECB EBC Ð=Ð，∵180EAB EBA ECB EBC Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴90EBA EBC Ð+Ð=°，即90ABC Ð=°，ABC \V 为直角三角形．【点拨】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．【变式1】（2023·云南德宏·统考一模）如图，在钝角ABC V 中，点D ，E 分别是边AC BC ，的中点，且DA DE =，那么下列结论错误的是（ ）A ．12Ð=ÐB ．13Ð=ÐC ．B C Ð=ÐD ．3BÐ=Ð【答案】D【分析】先证明DE 是ABC V 的中位线，DA DC =，则DE AB ∥，31Ð=Ð，B CED Ð=Ð，由DA DE =得到23ÐÐ=，DE DC =，则12Ð=Ð，C CED Ð=Ð，得到B C Ð=Ð，即可作出判断．解：∵点D ，E 分别是边AC BC ，的中点，∴DE 是ABC V 的中位线，DA DC =，∴DE AB ∥，∴31Ð=Ð，B CED Ð=Ð，故B 选项正确；∵DA DE =，∴23ÐÐ=，DE DC =，∴12Ð=Ð，C CED Ð=Ð，∴B C Ð=Ð，故选项A 和C 都正确；无法证明3B Ð=Ð，故D 选项符合题意，故选：D【点拨】此题考查了三角形中位线定理、等边对等角等知识，熟练掌握三角形中位线定理、等边对等角是解题的关键．【变式2】（2023下·重庆南岸·八年级重庆市南坪中学校校联考期中）如图，在ABD △中，C 是BD 上一点，若E 、F 分别是AC 、AB 的中点，DEF V 的面积为6，则ABC V 的面积为．【答案】24【分析】连接CF ，先证明6EFC EFD S S ==V V ，再证明2ACF EFC S S =V V ，2ABC ACF S S =V V 即可解决问题．解：连接CF ．E Q 、F 分别是AC 、AB 的中点，EF BC \∥，6EFC EFD S S \==V V ，AE EC =Q ，212ACF EFC S S \==V V ，AF FB =Q ，224ABC ACF S S \==V V ，故答案为：24．【点拨】本题考查三角形中位线定理，三角形中线的性质，解题的关键是灵活应用三角形中线的性质，三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，属于中考常考题型．【考点3】利用三角形的中位线求值或证明【例3】（2024上·上海静安·八年级上海田家炳中学校考期末）如图，直角ABC V 中，90A Ð=°，2AB AC ==，点D 是BC 边的中点，点E 是AB 边上的一个动点（不与A ，B 重合），DF DE ^交AC 于点F ，设BE x =，FC y =．（1）求证：DE DF =；（2）写出y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）写出x 为何值时，EF BC ∥？【答案】（1）见详解；（2）2y x =-，02x <<；（3）1x =【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，正确证明EDH FDN V V ≌是关键．（1）取AB 的中点记为H ，取AC 的中点记为N ．根据三角形中位线的性质可得DH DN =，根据余角的性质可得EDH FDN Ð=Ð，根据ASA 可证EDH FDN V V ≌，根据全等三角形的性质即可证明DE DF =；（2）根据全等三角形的性质可得HE NF =，从而得到y 关于x 的函数关系式，以及x 的定义域；（3）连接HN ，根据三角形中位线的性质可得x 为1时，EF BC ∥．（1）解：取AB 的中点记为H ，取AC 的中点记为N ．连接DH DN，∵90A Ð=°，点D 是BC 边的中点，∴DH DN ，都是三角形中位线∴DN AB ∥，1122DN AB DH AC DH AC ==P ，，∵2AB AC ==，∴1DH DN ==，∴90NDH Ð=°，∵9090NDF NDE NDE EDH Ð+Ð=°Ð+=°，，∴EDH FDN Ð=Ð，在EDH V 与FDN V 中，EDH FDN DH DNEHD FND Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴EDH FDN V V ≌，∴DE DF =；（2）解：∵EDH FDN V V ≌，∴HE NF =，∴1122x AB AC y -=-即2y x=-∵E 是AB 边上的一个动点（不与A 、B 重合），∴02x <<；（3）解：连接HN ，当E 与H 重合时，EF BC ∥，∵此时1x BH ==，∴当1x =时，EF BC ∥．【变式1】（2019·安徽阜阳·校联考一模）如图，AB ＝12，C 是线段AB 上一点，分别以AC 、CB 为边在A 的同侧作等边△ACP 和等边△CBQ ，连接PQ ，则PQ 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【分析】分别延长AP 、BQ 交于点D ，易证四边形CPDQ 为平行四边形，得出PD +DQ ＝PC +CQ ＝AC +BC ＝12，作△ABD 的中位线MN ，则MD ＝DN ＝MN ＝12AB ，运用中位线的性质和等边三角形的性质求出MD ＝DN ＝MN ＝12AB ，进而求得MD +DN ＝PD +DQ ，得出PM ＝QN ，作PE ⊥MN ，QF ⊥MN ，则PE ∥QF ，然后证得△PME ≌△QNF ，从而证得MN ＝EF ，根据平行线间的距离得出PQ ≥EF ，从而求得PQ 的最小值．解：如图，分别延长AP 、BQ 交于点D ，∵∠A ＝∠QCB＝60°，∴AD ∥CQ ，∵∠B ＝CPCA ＝60°，∴BD ∥PC ，∴四边形CPDQ 为平行四边形，∴PD ＝CQ ，PC ＝DQ ，∴PD +DQ ＝PC +CQ ＝AC +BC ＝12，作△ABD 的中位线MN ，则MD ＝DN ＝MN ＝12AB ，∴MD +DN ＝AB ＝12，∴MD +DN ＝PD +DQ ，∴PM ＝QN ，作PE ⊥MN ，QF ⊥MN ，∴PE ∥QF ，∴∠PEM ＝∠QFN ＝90°，且∠PME ＝∠QNF ＝60°，PM ＝QN ∴△PME ≌△QNF （AAS ），∴EM ＝FN ，∴MN ＝EF ，∴PQ ≥EF ，∴C 是线段AB 的中点时，PQ 的值最小，最小值为12AB ＝6．故选D ．【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形全等的判定和性质、三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，得到PQ ≥EF ，综合性较强．【变式2】（2022上·山东临沂·八年级校考阶段练习）如图，ABC V 为等边三角形，边长为4，点O 为BC 的中点，120EOF Ð=°，其两边分别交AB 和CA 的延长线于E F 、，则AE AF -= ．【答案】6【分析】过点O 作OD AB ∥，设OF 与AB 交于点H ，证明ODF OBE V V ≌，由全等三角形的性质可得DF BE =，结合,AD AF DF AB BE AE +=+=，可知AE AF AB AD -=+，即可获得答案．解：∵ABC V 是等边三角形，边长为4，∴60CAB CBA Ð=Ð=°，4AC AB BC ===，如图，过点O 作OD AB ∥，设OF 与AB 交于点H ，∴60CDO CAB Ð=Ð=°，∴120ODF OBF BAF Ð=Ð=Ð=°，又∵120EOF Ð=°，OHE AHF Ð=Ð，∴E F Ð=Ð，又∵点O 为BC 的中点，且OD AB ∥，∴OD 是ABC V 的中位线，∴1112,2,2222OD AB OB BC AD AC ======，在ODF △和OBE △中，1202F E ODF OBE OD OB Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï==î，∴(AAS)ODF OBE V V ≌，∴DF BE =，又∵,AD AF DF AB BE AE +=+=，∴()()AE AF AB BE DF AD -=+--()()AB BE BE AD =+--AB AD=+42=+6=．故答案为：6．【点拨】本题主要考查了平行线的性质、等边三角形的性质、三角形中位线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用、正确作出辅助线构建全等三角形是解题关键．【考点4】三角形的中位线的综合应用【例4】（2023下·河南三门峡·八年级统考期末）（1）回归课本请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________．（2）回顾证法证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程．已知：在ABC V 中，点,D E 分别是,AB AC 的中点．求证：________________．证明：过点C 作CF AB ∥，与DE 的延长线交于点F ．（3）实践应用如图3，点B 和点C 被池塘隔开，在BC 外选一点A ，连接,AB AC ，分别取,AB AC 的中点,D E ，测得DE 的长度为9米，则,B C 两点间的距离为________________．【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2）DE BC ∥，12DE BC =；详见分析；（3）18米【分析】（1）根据三角形的中位线定理直接阐述即可；（2）过点C 作CF AB ∥，与DE 的延长线交于点F ，证明ADE CFE △△≌，再证四边形DBCF 是平行四边形，即可证明结论；（3）直接利用三角形中位线定理求解即可．解：（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2）求证：DE BC ∥，12DE BC =．证明：∵点,D E 分别是,AB AC 的中点，∴BD AD =，=AE CE ，过点C 作CF AB ∥，与DE 的延长线交于点F ．∴ADE F Ð=Ð，在ADE V 和CFE V 中，ADE F AED CEFAE CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=îADE CFE \≌△△．AD CF \=，12DE EF DF ==．CF BD \∥，CF BD =．\四边形DBCF 是平行四边形，∥DF BC \，DF BC =，又12DE DF =Q ，\DE BC ∥，12DE BC =．故答案为：DE BC ∥，12DE BC =；（3）∵点,D E 分别是,AB AC 的中点，9DE =米，∴12DE BC =，即：218BC DE ==米故答案为：18米．【点拨】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．【变式1】（2023下·广东珠海·八年级珠海市前山中学校考期中）如图，ABC V 的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形111A B C △，再以111A B C △的三边中点为顶点，组成第2个三角形222A B C △，…，则第n 个三角形的周长为（ ）A ．112n -B ．12n C ．222n -D ．112n +【答案】A【分析】根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，即可得到答案．解：Q ABC V 的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形111A B C △，\1112A B BC =，1112A C AC =，1112BC AB =，\111A B C △的周长为()1111111112122A B A C B C BC AC AB ++=++=´=，\222A B C △的周长为211222´=，…以此类推，第n 个三角形的周长为111222n n -´=，故选：A ．【点拨】本题考查了找规律-图形的变化类，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．【变式2】（2022下·河北唐山·八年级统考期中）如图，为测量位于一水塘旁的两点A ，B 间的距离，在地面上确定点O ，分别取OA ，OB 的中点C ，D ，量得CD ＝10m ，则A ，B 之间的距离是 ．【答案】20m【分析】根据三角形的中位线定理即可进行解答．解：∵C 、D 分别为AO 、BO 中点，∴CD=12∵CD＝10m，∴AB=20m，故答案为：20m．【点拨】本题主要考查了三角形的中位线定理，熟练掌握“三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半” 是解题的关键．。

专题9.13 三角形的中位线（知识讲解）【学习目标】4. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.=4;(2).S S S S ABC DEF ADF CEF BDE DEF ABC D E F AB BC AC DE EF DF ABC ∆∆∆∆∆∆∆∆===如图：在中，、、分别为、、三边的中点，则、、为中位线，则有如下结论：(1).S S（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.1214【典型例题】类型一、三角形中位线有关的求解问题1．如图，Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，点D ，E 分别是,AB AC 的中点，点F 在BC 的延长线上，且CEF A Ð=Ð．（1）求证：四边形DCFE 是平行四边形；（2）若26,==BC AB ，求四边形DCFE 的周长．【解析】（1）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；（2）分别利用中位线定理和直角三角形斜边中线性质得到DE 和CD ，从而计算结果．（1）证明：∵∠ACB=90°，AD=DB ，∴CD=DA=DB ，∴∠DAC=∠DCA ，∵∠CEF=∠A ，∴∠CEF=∠DCE ，∴CD ∥EF ，∵AD=DB ，AE=EC ，∴DE ∥CF ，∴四边形DCEF 是平行四边形．（2）∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，26,==BC AB ，∴DE=12BC=1，CD=12AB=3，∴四边形DCFE 的周长为（1+3）×2=8．【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质和中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．举一反三【变式】已知，如图，CD 是Rt △FBE 的中位线，A 是EB 延长线上一点，且AB=12BE ． （1）证明：四边形ABCD 是平行四边形；（2）若∠E=60°，AD=3cm ，求BE 的长．（1）证明：∵CD 是Rt △FBE 的中位线，∴CD ∥BE ，CD=12BE ，∴AB=12BE ，∴AB=CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC=AD=3cm ，∵CD 是Rt △FBE 的中位线，∴BC=CE=12EF ，∵∠E=60°，∴△BCE 是等边三角形，∴BE=BC=3cm ．【点拨】此题考查了平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．注意利用三角形中位线的性质，证得CD ∥AB ，CD=AB 是解此题的关键．类型二、三角形中位线与面积问题2．如图，AD 为ABC ∆的中线，BE 为ABD ∆的中线．（1）15ABE Ð=°，40BAD Ð=°，求 BED Ð的度数；（2）若ABC ∆的面积为40，5BD =，则E 到BC 边的距离为多少．【答案】（1）55°；（2）4．【分析】（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；（2）过E 作BC 边的垂线即可得：E 到BC 边的距离为EF 的长，然后过A 作BC 边的垂线AG ，再根据三角形中位线定理求解即可．解：（1）BED ÐQ 是ABE ∆的外角，154055BED ABE BAD \Ð=Ð+Ð=°+°=°；（2）过E 作BC 边的垂线，F 为垂足，则EF 为所求的E 到BC 边的距离，过A 作BC 边的垂线AG ，AD ∴为ABC ∆的中线，5BD =，22510BC BD ∴==´=，ABC ∆Q 的面积为40，∴1402BC AG =g ，即110402AG ´=g ，解得8AG =，∵AD 为ABC ∆的中线，∴11402022ABD ABC S S D D ==´=，又∵BE 为ABD ∆的中线，∴11201022EBD ABD S S D D ==´=，则有：1151022BD EF EF =´=g 4EF ∴=．即E 到BC 边的距离为4．【点拨】本题考查了三角形外角的性质、三角形中位线的性质及三角形的面积公式，添加适当的辅助线是解题的关键．举一反三【变式】如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，CE ⊥BF 于点O ．（1）求证：四边形EBCF 是等腰梯形；（2）EF=1，求四边形EBCF 的面积．（1）证明：∵点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF//BC ，BE=12AB=12AC=CF ，∴四边形EBCF 是等腰梯形；（2）如图，延长BC 至点G ，使CG=EF ，连接FG ，∵EF//BC ，即EF//CG ，且CG=EF ，∴四边形EFGC 是平行四边形，又∵四边形EBCF 是等腰梯形，∴FG=EC=BF ，∵EF=CG ，FC=BE ，∴△EFB ≌△CGF （SSS ），∴BFG EBCF S S V 四边形，∵GC=EF=1，且EF=12 BC，∴BC=2，∴BG=BC+CG=1+2=3．∵FG//EC，∴∠GFB=∠BOC=90°，∴FH=12BG=32，∴BFGEBCF 1393224S S==´´=V四边形．【点拨】本题考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．类型三、与三角形有关的证明3．已知：如图AB＝AC，AB⊥AC，AD＝AE，AD⊥AE，点M为CD的中点求证：2AM＝BE【分析】作CN∥AM，交DA延长线于N，根据AM∥CN，点M是CD的中点，得到AM是△DCN的中位线，推出CN=2AM，AE=AN，根据∠BAC=∠DAE=90°证出∠CAN=∠BAE，证得△BAE≌△CAN，推出BE=CN，由此得到结论．证明：如图，作CN∥AM，交DA延长线于N，∵AM∥CN，点M是CD的中点，∴AM是△DCN的中位线，∴CN=2AM，AD=AN，∴AE=AN，∵AD⊥AE，AB⊥AC，∴∠BAC=∠DAE=90°∴∠EAN=90°，∴∠CAE+∠EAN=∠BAC+∠CAE，∴∠CAN=∠BAE，∵AB=AC，AE=AN，∴△BAE≌△CAN，∴BE=CN，∴2AM=BE．．【点拨】此题考查全等三角形的判定及性质，三角形中位线的性质，题中辅助线的引出是解题的关键，在三角形中，已知一边中点时，通常是利用中点构造全等三角形解决问题．举一反三【变式】如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．证明：四边形EFGH是平行四边形，理由如下连接AC，如图．∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥AC ，且EF=12AC ，同理HG ∥AC ，且HG=12AC ，∴EF ∥HG ，且EF=HG ．∴四边形EFGH 是平行四边形．【点拨】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线．类型四、三角形中位线的应用4．在Rt ABC ∆中，90BAC Ð=o ，,E F 分别是,AB AC 上的点，且//EF BC ，作EG 平分AEF Ð交于点G ，在EF 上取点D ，使ED EA =，连接DG 并延长，交BA 的延长线于点P ，连接PF .（1）求证：PD EF ^；（2）若ED DF =，求B Ð的大小（3）在（2）的条件下，若四边形AEDG 的面积为S ，请直接写出PEF ∆的面积（用含S 的式子表示）【分析】（1）由已知证明AEG DEG ∆@∆可得出GAE GDE Ð=Ð=90°，即PD EF^（2）根据已知由中垂线性质可得GE GF =，即GEF GFE AEG Ð=Ð=Ð，由//EF BC 即可得出60B AEF Ð=Ð=o .(3)由已知可推出3PEF S S ∆=.（1）证明：EG Q 平分AEF Ð，AEG DEG ∴Ð=Ð，在AEG ∆和DEG ∆中，ED EA AEG DEGEG EG =ìïÐ=Ðíï=î()AEG DEG SAS ∴∆@∆GAE GDE∴Ð=Ð90EAG Ð=oQ 90GDE ∴Ð=o ，即PD EF ^；（2）,ED DF PD EF =^Q ，∴由中垂线性质得：GE GF =，GEF GFE AEG∴Ð=Ð=Ð∴在Rt AEF ∆中，30,60GEF GFE AEG AEF Ð=Ð=Ð=Ð=o o ，又//EF BC Q ，60B AEF ∴Ð=Ð=o（3）由已知可得：3PEF S S ∆=.【点拨】本题考查三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理的性质及判定是解题关键.举一反三【变式】如图，直线1:3l y x =-+与x 轴相交于点A ，直线2:l y kx b =+经过点31-（，），与x 轴交于点()6,0B ，与y 轴交于点C ，与直线1l 相交于点D ．()1求直线2l 的函数关系式；()2点P 是2l 上的一点，若ABP △的面积等于ABD △的面积的2倍，求点P 的坐标．()3设点Q 的坐标为3m （，） ，是否存在m 的值使得QA QB +最小？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=13x-2；（2）（212 ，32）或（32，−32 ）；（3）（92，3）．【分析】（1）把点（3，-1），点B （6，0）代入直线l 2，求出k 、b 的值即可；（2）设点P 的坐标为（t ，13t-2），求出D 点坐标，再由S △ABP =2S △ABD 求出t 的值即可；（3）作直线y=3，作点A 关于直线y=3的对称点A′，连结A′B ，利用待定系数法求出其解析式，根据点Q （m ，3）在直线A′B 上求出m 的值，进而可得出结论．解：（1）由题知：1306k b k b-+ìí+î＝＝ 解得：213b k -ìïíïî＝＝，故直线l 2的函数关系式为：y=13x-2；（2）由题及（1）可设点P 的坐标为（t ，13 t-2）．解方程组1233y x y x ì-ïíï-+î＝＝ ，得15434x y ìïïíï-ïî＝＝ ，∴点D 的坐标为（154，-34）．∵S △ABP =2S △ABD ，∴12AB•|13t-2|=2×12AB•|-34|，即|13t-2|=32，解得：t=212或t=32，∴点P 的坐标为（212 ，32）或（32，−32 ）；（3）作直线y=3（如图），再作点A 关于直线y=3的对称点A′，连结A′B ．由几何知识可知：A′B与直线y=3的交点即为QA+QB最小时的点Q．∵点A（3，0），∴A′（3，6）∵点B（6，0），∴直线A′B的函数表达式为y=-2x+12．∵点Q（m，3）在直线A′B上，∴3=-2m+12解得：m=92，故存在m的值使得QA+QB最小，此时点Q的坐标为（92，3）．【点拨】此题考查一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点，轴对称最短路线问题，三角形的面积公式，解题关键在于在解答（3）时要注意作出辅助线，利用轴对称的性质求解．。

中位线一、知识点讲解1、三角形中位线及性质（1）定义：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线。

（2）性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

证明：2、三角形的重心及其性质。

（1）定义：三角形三边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心。

（2）性质：三角形重心与一边中点的连线的长是对应中线长的31 证明：二、典例分析题型一、运用三角形中位线的性质进行计算例1 如图，在□ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为AD 上一点，EF 交AC 于点G ，AF =4cm ，DF =8cm ，AG =6cm ，则AC 的长为（ ）A 、28cmB 、20cmC 、24cmD 、30cm变式练习：1、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则下列结论不正确的是（ ） A 、BC =2DEB 、△ADE ∽△ABCC 、ACABAE AD D 、S △ABC =3S △ADE 2、如图，已知点E 、F 分别是△ABC 中AC 、AB 边的中点，BE 、CF 相交于点G ，FG =2，则CG 的长为（ ） A 、4 B 、4.5 C 、5 D 、6第1题 第2题 第3题 3、如图，在△ABC 中，点E 、D 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，AB =6，AC =4，则四边形AEDF 的周长是（ ） A 、10 B 、20 C 、30 D 、404、如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点的得三角形的周长可能是（ ） A 、5.5 B 、5 C 、4.5 D 、45、（易错）在等腰直角三角形ABC 中，∠C =90°，AB =10cm ，D 、E 分别是AB 、BC 的中点，求DE 的长。

题型二：三角形中位线的性质的应用例2 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 是BC 延长线上的一点，且BC CF 21。

专题18 构造三角形中位线的常用技巧（解析版）专题典例剖析及针对训练类型一 连接两中点构造中位线典例1如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 为BC 上的两点，FG ＝3，线段DG ，EF 的交点为O ，当线段FG 在线段BC 上移动时，三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是（ ）A ．15B ．12C ．9D ．6思路指引：连接DE ，过A 作AH ⊥BC 于H ．由于DE 是AB 、AC 的中点，利用三角形中位线定理可得DE ∥BC ，并且可知△ADE 的高等于12AH ，再结合等腰三角形三线合一性质，以及勾股定理可求AH ，那么△ADE 的面积就可求．而所求S △FOG +S 四边形ADOE ＝S △ADE +S △DOE +S △FOG ，又因为△DOE 和△FOG 的底相等，高之和等于AH 的一半，故它们的面积和可求，从而可以得到S △FOG +S 四边形ADOE 的面积．解：如图：连接DE ，过A 向BC 作垂线，H 为垂足，∵△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ，AH 分别是△ABC 的中位线和高，BH ＝CH =12BC =12×6＝3，∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，由勾股定理得AH ==4，∴S △ADE =12BC •AH 2=12×3×42=3，设△DOE 的高为a ，△FOG 的高为b ，则a +b =AH 2=2，∴S △DOE +S △FOG =12DE •a +12FG •b =12×3（a +b ）=12×3×2＝3，∴三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是S △ADE +S △DOE +S △FOG ＝3+3＝6．故选：D ．方法点睛：本题属中等难度题目，涉及到三角形中位线定理，解答此类题目时一般只要知道中点要作中位线，已知等腰三角形要作高线，利用勾股定理解答．针对训练1．如图，△ABC 的中线BD ，CE 相交于点0，F ，G 分别是BO ，CO 的中点，求证：EF ∥DG 且EF ＝DG ．解：连接ED ，FG .证四边形DEFG 是平行四边形，∴EF ∥DG 且EF ＝DG ．类型二 连接第三边构造中位线典例2（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若∠B ＝45°，BC ＝GH 的最小值为（ ）ABC DGF E DC B AABDE F G思路指引：连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH=12AF，求出AF的最小值即可解决问题．解：连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，∴GH=12 AF，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB＝90°，∵∠B＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF==∴GH=即GH故选：D．方法点睛：本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．针对训练1．（2021秋•孟津县期末）如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减少C ．线段EF 的长不变D ．△ABP 和△CRP 的面积和不变思路指引：连接AR ，根据三角形的中位线定理可得EF =12AR ，根据AR 的变化情况即可判断．解：连接AR ，∵E ，F 分别是AP ，RP 的中点，∴EF =12AR ，∵当点P 在BC 上从点C 向点B 移动，点R 从点D 向点C 移动时，AR 的长度逐渐增大，∴线段EF 的长逐渐增大．S △ABP +S △CRP =12BC •（AB +CR ）．∵CR 随着点R 的运动而减小，∴△ABP 和△CRP 的面积和逐渐减小．观察选项，只有选项A 符合题意．故选：A ．方法点睛：此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 典例3 如图，点B 为AC 上一点，分别以AB ，BC 为边在AC 同侧作等边△ABD 和等边△BCE ，点P ，M ，N 分别为AC ，AD ，CE 的中点．（1）求证：PM ＝PN ；（2）求∠MPN 的度数．思路指引：（1）连接DC和AE，AE交CD于点M，证明△ABE≌△DBC，得到AE＝DC，利用中位线的性质证明PM＝PN；（2）根据中位线的性质把∠MPA+∠NPC转化成∠MCA+∠MAC，根据∠DMA＝∠MCA+∠MAC可知求出∠DMA度数即可．解：（1）连接DC和AE，AE交CD于点M，在△ABE和△DBC中，AB=BD∠ABE=∠DBCBE=BC∴△ABE≌△DBC（SAS）．∴AE＝DC．∵P为AC中点，N为EC中点，AE．∴PN=12DC．同理可得PM=12所以PM＝PN．（2）∵P为AC中点，N为EC中点，∴PN∥AE．∴∠NPC＝∠EAC．同理可得∠MPA＝∠DCA∴∠MPA+∠NPC＝∠EAC+∠DCA．又∠DQA＝∠EAC+∠DCA，∴∠MPA+∠NPC＝∠DQA．∵△ABE ≌△DBC ，∴∠QDB ＝∠BAQ ．∴∠DQA ＝∠DBA ＝60°．∴∠MPA +∠NPC ＝60°．∴∠MPN ＝180°﹣60°＝120°．方法点睛：本题主要考查全等三角形的判定和性质、中位线的性质、等边三角形的性质，解题的关键是找到“手拉手”全等模型．针对训练1.如图，分别以△ABC 的边AB ，AC 同时向外作等腰直角三角形，其中AB ＝AE ，AC ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD ＝90°，点G 为BC 的中点，点F 为BE 的中点，点H 为CD 的中点．探索GF 与GH 的数量关系及位置关系，并说明理由．解：连接BD ，CE ，易证△ABD ≌△AEC ，∴BD ＝ CE ，易证BD ⊥CE .由中位线性质可得GF ＝GH ，GF ⊥GH .类型三 取中点构造中位线（1）直接取一边中点典例4（2022春•武昌区期中）如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD 为AC 边上的高，E 为BC 边的中点，点F 在AB 边上，∠EDF ＝60°，若AF ＝2，BF =103，则BC 边的长为（ ）HG FEDCB AAB CDEFG HA ．163BCD 思路指引：过点D 作DM ⊥AB ，垂足为M ，取AB 的中点H ，连接EH ，DH ，根据已知可求出AB =163，先在Rt △ABD 中求出AD ，AH 的长，从而可得△ADH 是等边三角形，进而可得AD ＝DH ，∠ADH ＝∠AHD ＝60°，然后利用利用等腰三角形的三线合一性质求出AM 的长，从而求出DM ，DF 的长，最后证明手拉手模型﹣旋转型全等△ADF ≌△HDE ，从而利用全等三角形的性质可得DE ＝DF 进而利用直角三角形斜边上的中线，即可解答．解：过点D 作DM ⊥AB ，垂足为M ，取AB 的中点H ，连接EH ，DH ，∵AF ＝2，BF =103，∴AB ＝AF +BF =163，∵BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝∠CDB ＝90°，∵∠A ＝60°，∴∠ABD ＝90°﹣∠A ＝30°，∴AD =12AB =83，∵点H 是AB 的中点，∴AH ＝BH =12AB =83，∴AD ＝AH ，∴△ADH 是等边三角形，∴AD ＝DH ，∠ADH ＝∠AHD ＝60°，∴AM＝MH=12AH=43，∴DM=∵AF＝2，∴MF＝AF﹣AM＝2―43=23，∴DF∵点H是AB的中点，点E是BC的中点，∴EH是△ABC的中位线，∴EH∥AC，∴∠DHE＝∠ADH＝60°，∴∠ADH＝∠A＝60°，∵∠EDF＝∠ADH＝60°，∴∠ADH﹣∠FDH＝∠EDF﹣∠FDH，∴∠ADF＝∠HDE，∴△ADF≌△HDE（ASA），∴DE＝DF=∵∠CDB＝90°，∴BC＝2DE=故选：D．方法点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．针对训练1．（2022•长春一模）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E是CD的中点，点F是OA的中点，连结EF，则线段EF的长为 ．思路指引：取AD的中点M，连接FM，EM，构造三角形中位线，利用三角形中位线定理分别求得FM、EM的长度；然后利用勾股定理求得EF的长度．解：如图，取AD的中点M，连接FM，EM，∵点E是CD的中点，∴EM是△ACD的中位线．∴EM∥AC，EM=12AC＝4．同理，FM∥BD，FM=12OD=14BD＝3．在菱形ABCD中，AC⊥BD，则FM⊥ME．故在直角△EFM中，由勾股定理得到：EF5．故答案是：5．方法点睛：本题主要考查了菱形的性质和三角形中位线定理，解题过程中，巧妙地作出辅助线，利用三角形中位线定理求得直角三角形的两直角边的长度．（2）连接对角线，再取对角线中点典例5（2021秋•龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC 和EF的关系是（ ）A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF思路指引：连接AC，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，根据三角形中位线定理求出EG=12BC，GF=12AD ，再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD ，BC 和EF 的关系．解：如图，取AC 的中点G ，连接EF ，EG ，GF ，∵E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，∴EG ，GF 分别是△ABC 和△ACD 的中位线，∴EG =12BC ，GF =12AD ，在△EGF 中，由三角形三边关系得EG +GF ＞EF ，即12BC +12AD ＞EF ，∴AD +BC ＞2EF ，当AD ∥BC 时，点E 、F 、G 在同一条直线上，∴AD +BC ＝2EF ，所以四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则AD ，BC 和EF 的关系是AD +BC ≥2EF ．故选：B ．方法点睛：此题主要考查学生对三角形中位线定理和三角形三边关系的灵活运用，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．针对训练1．如图，在□ABCD 中，E 是CD 中点，F 是AE 的中点，FC 交BE 于点G（1）求证：GF ＝GC（2）求证：BG ＝3EG解：（1）取BE 的中点M ，∵FM ＝21AB ，∴FM //EC ，∴四边形 FMCE 为平行四边形，∴GF ＝GC（2）易证EG ＝MG ，∴EM ＝MB ，∴BG ＝3EG类型四 延长一边构造中位线典例6（2022秋•江北区校级期末）如图，在正方形ABCD 中，点E ，G 分别在AD ，BC 边上，且AE ＝3DE ，BG ＝CG ，连接BE 、CE ，EF 平分∠BEC ，过点C 作CF ⊥EF 于点F ，连接GF ，若正方形的边长为4，则GF 的长度是（ ）A B ．2C D 思路指引：延长CF 交BE 于H ，利用已知条件证明△HEF ≌△CEF （ASA ），然后利用全等三角形的性质证明GF =12BH ，最后利用勾股定理即可求解．解：延长CF 交BE 于H ，∵EF 平分∠BEC ，∴∠HEF ＝∠CEF ，∵CF ⊥EF ，∴∠HFE ＝∠CFE ，在△HEF 和△CEF 中，∠HEF =∠CEF EF =EF ∠HFE =∠CFE，∴△HEF ≌△CEF （ASA ），∴HF ＝CF ，EH ＝EC ，而BG ＝CG ，∴GF =12BH ，∵AE ＝3DE ，正方形的边长为4，∴AE ＝3，AB ＝CD ＝4，DE ＝1，在Rt △ABE 中，BE =5，在Rt △CDE 中，CE ＝HE ==∴BH ＝BE ﹣HE ＝5―∴GF =12BH 故选：C ．方法点睛：此题主要考查了全等三角形的性质与判定，也利用了正方形的性质，三角形的中位线的性质，有一定的综合性，对于学生的能力要求比较高．针对训练1．（2022•合肥一模）如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 是BC 中点，AD ⊥BD ，AC ＝7，AB ＝4，则DE 的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．32思路指引：延长BD 交AC 于H ，证明△ADB ≌△ADH ，根据全等三角形的性质得到AH ＝AB ＝4，BD ＝DH ，根据三角形中位线定理计算即可．解：延长BD 交AC 于H ，在△ADB 和△ADH 中，∠BAD =∠HAD AD =AD ∠ADB =∠ADH，∴△ADB ≌△ADH （ASA ）．∴AH ＝AB ＝4，BD ＝DH ，∴HC ＝AC ﹣AH ＝3，∵BD ＝DH ，BE ＝EC ，∴DE =12HC =32，故选：D ．方法点睛：本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．类型五 延长两边构造中位线典例7（2022秋•封丘县校级期末）如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，D 是BC 的中点AE ⊥BE ，AB ＝5，AC ＝3，则DE 的长为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．52思路指引：连接BE 并延长交AC 的延长线于点F ，易证明△ABF 是等腰三角形，则得AF 的长，点E 是BF 的中点，求得CF 的长，从而DE 是中位线，即可求得DE 的长．解：连接BE 并延长交AC 的延长线于点F ，如图，∵AE ⊥BE ，∴∠AEB ＝∠AEF ＝90°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠FAE ，∴∠ABE ＝∠AFE ，∴△ABF 是等腰三角形，∴AF ＝AB ＝5，点E 是BF 的中点，∴CF ＝AF ﹣AC ＝5﹣3＝2，DE 是△BCF 的中位线，∴DE =12CF =1．故选：A ．方法点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形．针对训练1．如图，AD 为△ABC 的外角平分线，且AD ⊥BD 、M 为BC 的中点，若AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长8．延长BD ，CA 交于点E ，易证AE ＝AB ，BD ＝ED ，∵BM ＝CM ，∴DM ＝21CE ＝21(AB ＋AC )＝15.类型六作平行线或倍长中线先构造8字全等再构造中位线典例7（2021秋•宛城区期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（ ）A．2.5B．3C．4D．5思路指引：如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，首先证明CH＝BD，∠ECH＝90°，解直角三角形求出EH，利用三角形中位线定理即可解决问题．解：作CH∥AB，连接DN并延长交CH于H，连接EH，∵BD∥CH，∴∠B＝∠NCH，∠ECH+∠A＝180°，∵∠A＝90°，∴∠ECH＝∠A＝90°，在△DNB和△HNC中，∠B=∠NCHBN=CN，∠DNB=∠HNC∴△DNB≌△HNC（ASA），∴CH＝BD＝4，DN＝NH，在Rt△CEH中，CH＝4，CE＝3，∴EH=5，∵DM＝ME，DN＝NH，EH＝2.5，∴MN=12故选：A．方法点睛：本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．针对训练：如图，AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，D、B、C在一条直线上，F为AE的中点．（1）求证：BF∥CE；（2）若AB＝2，DE＝5，求BF的长．思路指引：（1）延长AB交CE于G，求出△ACG是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出AB＝BG，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明；（2）根据等腰直角三角形的性质求出CE、CG，再求出GE，然后求解即可．（1）证明：如图，延长AB交CE于G，∵AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，∴△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∴△ACG也是等腰直角三角形，∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AG，∴AB＝BG，∵点F是AE的中点，∴BF是△AGE的中位线，∴BF∥CE；（2）解：∵AB ＝2，DE ＝5，∴CG ＝AC =＝CE =＝∴GE ＝CE ﹣CG ＝=∵BF 是△AGE 的中位线，∴BF =12GE方法点睛：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质与定理并作辅助线构造出以BF 为中位线的三角形是解题的关键。

三角形的中位线习题全面归类一、 直接应用1． 如图1所示，EF 是△ABC 的中位线，若BC=8cm ， 则EF=_______cm ．2．三角形的三边长分别是3cm ，5cm ，6cm ，则连结三边中点 所围成的三角形的周长是_________cm ．3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=•5，•BC=•12，•则连结两条直角 边中点的线段长为_______．4．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ， 则原三角形的周长为_______．5．如图2所示，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端， 小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一 位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到 达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为_______．6.已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形， •再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推， 第2010个三角形的周长是（ ） A 、20081 B 、20091 C 、220081 D 、2200917．如图4,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6， AC=4，则四边形AEDF•的周长是（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．408.如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ．9.如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ， CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF=12BD ．10.如图所示，已知在□ABCD 中，E ，F 分别是 AD ，BC 的中点，求证：MN ∥BC ．11.已知：如图，E 为□ABCD 中DC 边的延长线上的一点， 且CE ＝DC ，连结AE 分别交BC 、BD 于点F 、G ，连结AC 交BD 于O ，连结OF ．求证：AB ＝2OF ．12.如图，△ABC 中，AD=41AB ，AE=41AC ，BC=16.求DE 的长.(角平分线的垂线必有等腰三角形)13.如图，在△ABC 中，已知AB=6，AC=10，AD 平分 ∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，E•为BC 中点．求DE 的长．14.如图，AD 是△ABC 的外角平分线，CD ⊥AD 于D ，E 是BC 的中点. 求证：（1）DE ∥AB ； （2）DE=21（AB+AC ）如图17，BE 、CF 是△ABC 的角平分线，AN ⊥BE 于N ，AM ⊥CF 于M .BGA EFH DC求证：MN ∥BC .二、中点寻线，线组形（多个中点）1.如图，在四边形ABCD 中，点E 是线段AD 上的任意一点 ，G F H ，，分别是BE BC CE ，，的中点． 证明四边形EGFH 是平行四边形；2.如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，点 E ，F ，G 分别是AB ，CD ，AC 的中点。

易错拔尖：三角形的中位线➢易错点忽视整体思想的应用而求不出中位线的长1．（2019春•红塔区期中）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD＝24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长为．思路引领：根据AC+BD＝24厘米，可得出出OA+OB＝12cm，再根据△OAB的周长是18cm，即可求出AB，依据EF是△OAB的中位线即可得出EF的长度．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，又∵AC+BD＝24厘米，∴OA+OB＝12cm，∵△OAB的周长是18厘米，∴AB＝6cm，∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线，∴EF=12AB＝3cm．故答案为：3cm．总结提升：本题考查了三角形的中位线定理以及平行四边形的性质，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．➢拔尖角度角度1利用三角形的中位线求线段的长2．（2016春•梅河口市校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，P是对角线AC的中点，M是AD的中点，N是BC的中点．（1）若AB＝6，求PM的长；（2）若∠PMN＝20°，求∠MPN的度数．思路引领：（1）由题意可知PM是△ADC的中位线，进而可求出MP的长；（2）易证△PMN是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可求出∠MPN的度数．解：（1）∵AB＝DC，AB＝6，∴DC＝6，∵点P是AC的中点，点M是AD的中点，∴PM=12DC=12×6＝3；（2）∵点P是AC的中点，点N是BC的中点，∴PN=12BC，∵AB＝DC，∴PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN＝20°，∴∠MPN＝180°﹣∠PMN﹣∠PNM＝140°．总结提升：此题主要考查了三角形中位线定理，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．角度2利用三角形的中位线巧证线段间的数量关系3．（2021春•浦城县月考）已知：如图，E为▱ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．思路引领：本题可先证明△ABF≌△ECF，从而得出BF＝CF，这样就得出了OF是△ABC的中位线，从而利用中位线定理即可得出线段OF与线段AB的关系．解：AB＝2OF，AB∥OF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，OA＝OC．∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF．∵CE＝DC，在平行四边形ABCD中，CD＝AB，∴AB＝CE．∴在△ABF和△ECF中，{∠BAF=∠CEF AB=CE∠ABF=∠BCF，∴△ABF≌△ECF（ASA），∴BF＝CF．∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB＝2OF，AB∥OF．总结提升：此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定及三角形的中位线定理，综合的知识点比较多，解答本题的关键是判断出OF是△ABC的中位线．角度3 利用三角形中位线巧证角相等（构造中位线法）4．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，G，H分别是BC，AD的中点，BA，CD的延长线分别交GH的延长线于点E，F．求证：∠AEH＝∠F．思路引领：连接AC，并取其中点M，得到中位线HM、GM，根据三角形中位线的性质，得到HM和GM 的大小关系，从而得到∠MHG和∠MGH的关系；再次根据中位线所得的平行关系，得到∠MHG和∠F、∠MGH和∠AEH的关系，利用等量代换即可得证．证明：如图，连接AC，取AC的中点M，连接HM，GM．∵H是AD的中点，M是AC的中点，∴HM∥CD，HM=12CD，∴∠MHG＝∠F．同理：GM∥AB，GM=12AB．∴∠MGH＝∠AEH．又∵AB＝CD，∴GM＝HM，∴∠MHG＝∠MGH，∴∠AEH＝∠F．总结提升：本题主要考查三角形的中位线性质定理，熟练运用三角形的中位线定理进行线段转换是解此题的关键，构造合理的辅助线是难点．角度2利用三角形中位线巧证线段相等（构造平行四边形法）5．（2020春•清河区校级期中）已知，如图平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于点G，求证：GF＝GC．思路引领：取BE的中点H，连接FH、CH，利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理证明四边形EFHC为平行四边形即可得出结论．证明：取BE的中点H，连接FH、CH，如图所示：∵F是AE的中点，H是BE的中点，∴FH是三角形ABE的中位线，∴FH∥AB且FH=12AB，又∵点E是DC的中点，∴EC=12DC，∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝DC，∴FH＝EC，又∵AB∥DC，∴FH∥EC，∴四边形EFHC是平行四边形，∴GF＝GC．总结提升：本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形的中位线的判定和性质等知识；通过作BE的中点H构造平行四边形EFHC是解决问题的关键．。

第二十三讲三角形中位线定理【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.【典型例题】类型一、三角形的中位线例1、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P 在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C；【解析】连AR，由E、F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线, 则12EF AR，而AR长不变，故EF大小不变.【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．举一反三：【变式】在△ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．【答案】5；解：四边形MNEF是平行四边形．理由如下：∵BE、CF是中线，∴E、F分别是AC、AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC且EF=BC，∵M、N分别是BO、CO中点，∴MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC且MN=BC，∴EF∥MN且EF=MN，∴四边形MNEF是平行四边形．例2、如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（）A．2 B．3 C.52D．4【思路点拨】利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC＝∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF＝DB，进而求出DF的长．【答案解析】解：在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点∴DE∥AB∴∠EDC＝∠ABC∵BF平分∠ABC∴∠EDC＝2∠FBD在△BDF中，∠EDC＝∠FBD＋∠BFD∴∠DBF＝∠DFB∴FD＝BD＝12BC＝12×6＝3．【总结升华】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．例3、如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC ＝18，求MD的长．【思路点拨】本题中所求线段MD 与已知线段AB 、AC 之间没有什么联系，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度．【答案与解析】解：延长BD 交AC 于点N ．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ，∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA)∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6，∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点，∴ DM ＝12CN ＝162⨯＝3． 【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．举一反三：【变式】（2015春•泗洪县校级期中）如图，BE ，CF 是△ABC 的角平分线，AN ⊥BE 于N ，AM ⊥CF 于M ，求证：MN ∥BC ．【答案】证明：延长AN 、AM 分别交BC 于点D 、G ．∵BE 为∠ABC 的角平分线，BE ⊥AG ，∴∠BAG=∠BGA ，∴△ABG 为等腰三角形，∴BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN．同理AM=DM，∴MN为△ADG的中位线，∴MN∥BC．例4、（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．（提示取BD的中点H，连接FH，HE 作辅助线）（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA 的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度．【思路点拨】（1）连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH，证明出EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，证出HE=HF，进而证出AB=CD；（2）连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，证明出EH=OH，可证明证出△OEH是等边三角形，进而求出OE=．【答案与解析】（1）证明：连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH．∵E、F分别是BC、AD的中点，∴EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，∵∠BME=∠CNE，∴HE=HF，∴AB=CD；（2）解：连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，∵AB=CD，∴HO=HE，∴∠HOE=∠HEO，∵∠OEC=60°，∴∠HEO=∠AGO=60°，∴△OEH是等边三角形，∵AB=DC=5，∴OE=．【总结升华】本题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线，有一定难度．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D；解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=12 BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．类型二、中点四边形例5、如图，点O是△ABC外一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，连接DE、EF、FG、GD．（1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由；（2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段DG的长．【答案与解析】解：（1）四边形DEFG是平行四边形，理由是：∵线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，∴EF∥BC，EF=BC，DG=BC，DG∥BC，∴EF∥DG，EF=DG，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=180°﹣90°=90°，∵M为EF的中点，OM=2，∴EF=2OA=4，∵EF=DG，∴DG=4．【总结升华】本题考查了中点四边形形状的判定，主要是利用中位线定理得出一组对边平行且相等，从而判定是平行四边形.【巩固练习】一.选择题1.已知△ABC 的各边长度分别为3cm ，4cm ，5cm ，则连结各边中点的三角形的周长为（ ）A ．2cmB ．7cmC ．5cmD ．6cm2. 如图，点D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点，若△DEF 的周长为10，则△ABC 的周长为（ ）A ．5B ．10C ．20D ．403. 在△ABC 中，AB=3，BC=4，AC=2，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 中点，连接DF 、FE ，则四边形DBEF 的周长是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．114．如图，△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，连接OA ，点G 、F 分别为OC 、OB 的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG 的周长为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．185. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D ，E 为BC 上的点，连接DN 、EM ，若AB ＝5cm ，BC ＝8cm ，DE ＝4cm ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．12cmB ．1.52cmC ．22cmD ．32cm（第5题） （第6题）6. 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点.已知两底的差是6，两腰的和是12，则△EFG 的周长是（ ）A.8B.9C.10D.12二.填空题7. 顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是_________________.8. 如图, E 、F 分别是口ABCD 的两边AB 、CD 的中点, AF 交DE 于P, BF 交CE 于Q,则PQ 与AB 的关系是 .9. 如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点，对角线AC 、BD 的长分别为7和9，则四边形EFGH 的周长是______.第8题第9题 第10题 10.如图，四边形ABCD 中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为 ．11.如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC=10，则PQ 的长 ．第11题 第12题12.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ．下列三个结论：①∠BOC ＝90°＋12∠A ；②设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则AEF S mn △；③EF 不能成为△ABC 的中位线．其中正确的结论是_______.三.解答题13.如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 、P 、Q 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点．求证：MN 和PQ 互相平分．14.已知：在△ABC 中，BC ＞AC ，动点D 绕△ABC 的顶点A 逆时针旋转，且AD ＝BC ，连接DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连接HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF ＝∠BNE （不需证明）；（2）当点D 旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF 与∠BNE 有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．15.已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，连接CD．点E为边AC上一点，过点E作EF∥AB，交CD于点F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG．（1）求证：EF=CF；（2）求证：FG⊥DG．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D ；【解析】由中点和中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可求其周长．2.【答案】C ；【解析】根据中位线定理可得BC ＝2DF ，AC ＝2DE ，AB ＝2EF ，继而结合△DEF 的周长为10，可得出△ABC 的周长．3.【答案】B ；【解析】∵D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 中点，∴DF=12BC=2，DF ∥BC ，EF=12AB=32，EF ∥AB ， ∴四边形DBEF 为平行四边形， ∴四边形DBEF 的周长=2（DF+EF ）=2×（2+32）=7． 故选B ．4.【答案】B ；【解析】解：∵BD ，CE 是△ABC 的中线，∴ED ∥BC 且ED=BC ，∵F 是BO 的中点，G 是CO 的中点，∴FG ∥BC 且FG=BC ，∴ED=FG=BC=4，同理GD=EF=AO=3，∴四边形DEFG 的周长为3+4+3+4=14．故选B ．5.【答案】B ；【解析】连接MN ，作AF ⊥BC 于F ．∵AB ＝AC ，∴BF ＝CF ＝12BC ＝12×8＝4，在Rt △ABF 中，AF ＝22AB BF -＝2254-＝3，∵M 、N 分别是AB ，AC 的中点，∴MN 是中位线，即平分三角形的高且MN ＝8÷2＝4，∴NM ＝12BC ＝DE ，∴△MNO ≌△EDO ，O 也是ME ，ND 的中点，∴阴影三角形的高是12AF÷2＝1.5÷2＝0.75，∴S 阴影＝4×0.75÷2＝1.5．6.【答案】B；【解析】连接AE，延长交CD于H，可证AB＝DH，CH＝两底的差，EF是△AHC的中位线，EF＝1 2两底的差，EG＋FG＝12两腰的和，故△EFG的周长是9.二.填空题7.【答案】平行四边形；8.【答案】PQ∥AB，PQ＝12 AB；【解析】P，Q分别是AF，BF的中点.9.【答案】16；【解析】根据三角形中位线的性质得出HG 12AC，EF12AC，HE12DB，GF12BD，进而得出HE＝GF＝12BD，HG＝FE＝12AC，即可得出答案．10.【答案】3；【解析】解：∵ED=EM，MF=FN，∴EF=DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN=DB==6，∴EF的最大值为3．故答案为3．11.【答案】3；【解析】∵△ABC的周长是26，BC=10，∴AB+AC=26﹣10=16，∵∠ABC的平分线垂直于AE，∴在△ABQ和△EBQ中，，∴△ABQ≌△EBQ，∴AQ=EQ，AB=BE，同理，AP=DP，AC=CD，∴DE=BE+CD﹣BC=AB+AC﹣BC=16﹣10=6，∵AQ=DP，AP=DP，∴PQ是△ADE的中位线，∴PQ=12DE=3．故答案是：3．12.【答案】①，③；【解析】①根据三角形内角和定理求解；②根据△AEF的面积＝△AOE的面积＋△AOF的面积求解；③若此三角形为等边三角形，则EF即为中位线．三.解答题13.【解析】证明：连接MP，PN，NQ，QM，∵AM＝MD，BP＝PD，∴PM是△ABD的中位线，∴PM∥AB，PM＝12 AB；同理NQ＝12AB，NQ∥AB，∴PM＝NQ，且PM∥NQ．∴四边形MPNQ是平行四边形．∴MN与PQ互相平分．14.【解析】解：图1：∠AMF＝∠ENB；图2：∠AMF＝∠ENB；图3：∠AMF＋∠ENB＝180°．证明：如图2，取AC的中点H，连接HE、HF．∵F是DC的中点，H是AC的中点，∴HF∥AD，HF＝12 AD，∴∠AMF＝∠HFE，同理，HE∥CB，HE＝12 CB，∴∠ENB＝∠HEF．∵AD＝BC，∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE，∴∠ENB＝∠AMF．如图3：取AC的中点H，连接HE、HF．∵F是DC的中点，H是AC的中点，∴HF∥AD，HF＝12 AD，∴∠AMF＋∠HFE＝180°，同理，HE∥CB，HE＝12 CB，∴∠ENB＝∠HEF．∵AD＝BC，∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE，∴∠AMF＋∠ENB＝180°．15.【解析】证明：（1）如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，∴CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD=BD=AB．又EF∥AB，∴=，∴==1，∴EF=CF；（2）如图，延长EF交BC于点M，连接GM．∵EF∥AB，∴∠CMF=∠CBD．又∵AD=BD=AB，∴∠DCM=∠CBD，即∠FCM=∠CBD，∴∠CMF=∠FCM，∴CF=MF．又由（1）知，EF=CF，∴EF=FM，即点F是EM的中点，又∵EF∥AB，则FM∥AB∴EM是△ABC的中位线，则点M是BC的中点，∵点G是BE的中点，∴DG是△AEB的中位线，GM是△BEC的中位线，∴GD∥AE，GM∥EC，∴点D、G、M三点共线，∴FG是△CDM的中位线，∴FG∥CM．又∵MC⊥EC，∴FG⊥DG．。

、定理1.三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触)，并且等于第三边的一半。

2.连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。

逆定理逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

注意：在三角形内部，经过一边中点，且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线。

（微课精讲）三角形中的三条重要线段：中线、角平分线、高线概念中线在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）。

三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。

如图，AD是边BC上的中线，BE是边AC上的中线，CF是边AB上的中线三条中线交于点O，点O称为△A BC的重心角平分线在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

如图，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，三角形三条角平分线交于点O点O称为△ABC的内心高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，定点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。

如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB三角形三条高线交于点O点O称为△ABC的垂心以上是我们在初一时所学的三角形三条重要线段，今天，我们将学习三角形中第四条重要的线段——中位线（知识点精讲)中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

如图，E、F分别是三角形AB、AC边上的中点，所以，EF是三角形BC 边所对的中位线，则EF∥BC且EF=1/2BC三角形的中位线衍生出很多重要的图形，其中最重要的就是中点四边形（微课堂精讲）中点四边形任意画一个四边形，以四边形的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形称为——中点四边形中点四边形一定是平行四边形证明：连接AC因为E、F分别为AB、BC的中点，所以EF平行且等于AC的一半同理，GH平行且等于AC的一半因此，EF∥HG，EF=HG所以，四边形EFGH是平行四边形思考：四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？矩形？正方形？三角形中位线的解题策略三角形的中位线定理，既有线段的位置关系，又有线段的数量关系，它是一个在三角形中遇到中点，必须联想到的重要定理之一。

三角形的中位线例题精讲例1如图1，D、E、F分别是△ABC三边的中点．G是AE的中点，BE与DF、DG分别交于P、Q两点.求PQ:BE的值.例2如图2，在△ABC中，AC>AB，M为BC的中点．AD是∠BAC的平分线，若CF⊥AD交AD的延长线于F.求证：()12MF AC AB=-.例3如图3，在△ABC中，AD是△BAC的角平分线，M是BC的中点，ME⊥AD交AC的延长线于E．且12CE CD=.求证：∠ACB=2∠B.FED CBA图1 图2 图3 图4 图5巩固基础练1. 已知△ABC周长为16，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE的周长等于( )A .1 B. 2 C. 4 D. 82. 在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，P是BC上任意一点，那么△PDE面积是△ABC'面积的( )A .12B.13C.14D.183. 如图4，在四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD的中点，则EF与AB+CD的关系是( )A .2EF AB CD=+ B. 2EF AB CD>+ C. 2EF AB CD<+ D. 不确定4. 如图5，AB∥CD，E、F分别是BC、AD的中点，且AB=a,CD=b，则EF的长为.图6 图7 图8 图9 图105. 如图6，四边形ABCD中，AD=BC，F、E、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC=200，∠ACB=600，则∠FEG=.6.(呼和浩特市中考题)如图7，△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形的周长为.7. 已知三角形三条中位线的比为3:5:6，三角形的周长是112cm，求三条中位线长.8. 如图8，△ABC中，AD是高，BE是中线，∠EBC=300,求证：AD=BE.9. 如图9，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB中点，连接CE、CD.求证：CD=2EC.10.如图10，AD是△ABC的外角平分线，CD⊥AD于D，E是BC的中点.求证：(1)DE∥AB; (2)()12DE AB AC=+.提高过渡练1. 如图11，M、P分别为△ABC的AB、AC上的点，且AM=BM，AP=2CP，BP与CM相交于N，已知PN=1，则PB的长为( ) A. 2 B. 3 C .4 D. 52. 如图12，△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB=10，则MD的长为( )A. 10B. 8 C .6 D. 53. 如图13，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，P为不同于B、E、C的BC上的任意一点，△DPH为等边三角形.连接FH，则EP与FH的大小关系是( )A. E P>FHB. EP=FHC. EP<FHD.不确定4. 如图14，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE∥AC，交AB于E,若AB=5，则DE的长为.5. 如图15，△ABC中，AB=4，AC=7，M为BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于.图11 图12 图13 图14 图156. 已知在△ABC中，∠B=600，CD、AE分别为AB、BC边上的高，DE=5，则AC的长为.7. 如图16，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别是BE、CD的中点，直线MN分别交AB、AC于P、Q.求证：AP=AQ8. 如图17，BE、CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M.求证：MN∥BC.9. 如图18，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M.求证：AB+AC=2AM10.如图19，四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AB=CD.BA、CD的延长线交HG的延长线于E、F.求证：∠BEH=∠CFH.图16 图17 图18 图19 图20顶级超强练1. 如图20，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，过BC的中点M作ME⊥AD，交BA的延长线于E，交AD的延长线于F.求证：12BE BD.2. 如图21，在△ABC中，AB<AC，P为AC上的点，CP=AB，K为AP的中点，M为BC的中点，MK的延长线交BA的长线于N.求证：AN=AK.3. 如图22，分别以△ABC的边AC、BC为腰，A、B为直角顶点，作等腰直角△ACE和等腰直角△BCD，M为ED的中点.求证：AM⊥BM.4. 如图23，点O是四边形ABCD内一点，∠AOB=∠COD=1200，AO=BO，CO=DO，E、F、G分别为AB、CD、BC的中点.求证：△EFG为等边三角形.5. 如图24，△ABC中，M是AB的中点，P是AC的中点，D是MB的中点，N是CD的中点，Q是MN的中点，直线PQ交MB于K.求证：K是DB的中点.6. 如图25，P为△ABC内一点，∠P AC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的中点.求证：DM=DN图21 图22 图23 图24 图257. 如图26，AP是△ABC的角平分线，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE.又G、H分别为BC、DE的中点.求证：HG∥AP.8. 如图27，已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=900，如图(a)，连接DE，设M为DE的中点.(1)求证：MB=MC;(2)设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图(b)的位置，试问MB=MC是否成立?并证明其结论.9. 已知△ABC面积为S，作直线l∥BC，交AB于D，交AC于E，若△BED的积为K.求证：S≥4K.10.如图28，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，E是线段AD上的一点．且∠BED=2∠CED=∠BAC.求证：BD=2CD.图26 图27 图28。

三角形的中位线01基础题知识点三角形的中位线1．如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为(A)A．2 B．4C．6 D．82．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC 的周长是(C)A．8 B．10C．12 D．14第2题图第3题图3．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为(C)A．50°B．60°C．70°D．80°4．(2016·梧州)如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F分别为AB，BC，AC中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是(B)A．5 B．7C．9 D．11第4题图第5题图5．如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝20 m，则A，B之间的距离是40m.6．(2017·怀化)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，点E是AB的中点，OE ＝5 cm，则AD的长为10cm.第6题图第7题图7．如图，CD是△ABC的中线，点E，F分别是AC，DC的中点，EF＝1，则BD＝2．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝8 cm，E，F分别为边AC，AB 的中点．(1)求∠A的度数；(2)求EF的长．解：(1)∵∠C ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°.∴∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°. (2)在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝8 cm ， ∴BC ＝12AB ＝4 cm .∵E ，F 分别是AC ，AB 的中点， ∴EF 是△ABC 的中位线． ∴EF ＝12BC ＝2 cm .9．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为边AB ，BC ，CA 的中点．求证：四边形DECF 是平行四边形．证明：∵D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点， ∴DF ，DE 为△ABC 的中位线． ∴DF ∥BC ，DE ∥AC.∴四边形DECF 是平行四边形．02 中档题10．如图，点D ，E ，F 分别为△ABC 各边中点，下列说法正确的是(C )A ．DE ＝DFB ．EF ＝12ABC ．S △ABD ＝S △ACD D ．AD 平分∠BAC11．如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC ，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，量得EF ＝5米，他想把四边形BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是(C )A ．15米B ．20米C ．25米D ．30米第11题图 第12题图12．(2016·陕西)如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝8，BC ＝6.若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为(B)A ．7B ．8C ．9D ．1013．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，点E 是AD 的中点，△BCD 的周长为18，则△DEO 的周长是9．第13题图 第14题图14．如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD ＝BC ，∠PEF ＝18°，则∠PFE 的度数是18°．15．如图，四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，顺次连接E ，F ，G ，H ，得到的四边形EFGH 叫中点四边形．求证：四边形EFGH 是平行四边形．证明：连接BD.∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH 是△ABD 的中位线． ∴EH ＝12BD ，EH ∥BD.同理FG ＝12BD ，FG ∥BD.∴EH ＝FG ，EH ∥FG.∴四边形EFGH 是平行四边形．16．如图，在▱ABCD 中，点O 是对角线AC ，BD 的交点，点E 是边CD 的中点，点F 在BC 的延长线上，且CF ＝12BC ，求证：四边形OCFE 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴点O 是BD 的中点． 又∵点E 是边CD 的中点， ∴OE 是△BCD 的中位线． ∴OE ∥BC ，且OE ＝12BC.又∵CF ＝12BC ，∴OE ＝CF.又∵点F 在BC 的延长线上，∴OE ∥CF.∴四边形OCFE 是平行四边形．03 综合题17．如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD ，AE 分别为△ABC 的中线和角平分线，过点C 作CH ⊥AE 于点H ，并延长交AB 于点F ，连接DH ，求线段DH 的长．解：∵AE 为△ABC 的角平分线， ∴∠FAH ＝∠CAH. ∵CH ⊥AE ，∴∠AHF ＝∠AHC ＝90°. 在△AHF 和△AHC 中，⎩⎨⎧∠FAH ＝∠CAH ，AH ＝AH ，∠AHF ＝∠AHC ，∴△AHF ≌△AHC(ASA )． ∴AF ＝AC ，HF ＝HC. ∵AC ＝3，AB ＝5，∴AF ＝AC ＝3，BF ＝AB －AF ＝5－3＝2. ∵AD 为△ABC 的中线， ∴DH 是△BCF 的中位线． ∴DH ＝12BF ＝1.。

【考点精讲】1. 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

A BCA BCD DE E F2. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

3. 三角形的中位线的作用：一是位置关系，可用来证明线段平行； 二是数量关系，可用来证明线段相等或倍分。

【典例精析】例题1 如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3。

（1）求证：BN ＝DN ； （2）求△ABC 的周长。

A BCDN12思路导航：（1）证明△ABN ≌△ADN ，即可得出结论；（2）先判断MN 是△BDC 的中位线，从而求出CD 的长，再计算△ABC 的周长即可。

答案：（1）证明：∵BN ⊥AN ，∴∠ANB ＝∠AND ＝90°，在△ABN 和△ADN 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2AN ＝AN ∠ANB ＝∠AND ，∴△ABN ≌△ADN ，∴BN ＝DN ； （2）解：∵△ABN ≌△ADN ，∴AD ＝AB ＝10，由（1）知DN ＝BN ，又∵点M 是BC 中点，∴MN 是△BDC 的中位线， ∴CD ＝2MN ＝2×3＝6，故△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋CD ＋AD ＝10＋15＋6＋10＝41。

点评：本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养数学灵感，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找等腰三角形；出现三角形某边的中点，常常构造三角形的中位线。

例题2 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D 、E 为BC 上的点，连接DN ，EM 。

若AB ＝13cm ，BC ＝10cm ，DE ＝5cm ，求图中阴影部分的面积。

A思路导航：连接MN ，根据中位线定理，可得出MN ＝DE ＝5cm ；图中阴影部分的面积就是图中三个三角形的面积，由图可知，这三个三角形的底相等都是5cm ，这三个三角形的高之和是从A 点到BC 的垂线段的长，利用勾股定理可求得高的值，据此可求出图中阴影部分的面积。

三角形中位线训练试题解答题三角形中位线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。

本文将针对三个中位线的相关性质和应用进行讲解和解答题目。

一、三角形中位线的定义和性质1. 定义：三角形中位线是连接一个顶点和对边中点的线段，直线它与对边的交点称为中点。

2. 性质1：三角形的三个中位线交于一点，且该点距离三个顶点相等。

这个点被称为三角形的重心，常用符号为G。

3. 性质2：三角形的重心将每条中位线按1:2的比例分成两段，其中离重心近的那一段的长度是远离重心的那一段的长度的两倍。

4. 性质3：三角形的重心到各个顶点的距离之和等于重心到对边的距离之和，即AG + BG + CG = 2GM。

5. 性质4：三角形中位线的长度等于对边长度的一半，即GM =0.5BC。

二、解答题目现在我们来解答一道与三角形中位线相关的试题。

题目：在△ABC中，AB = 12，BC = 9，AC = 7，D，E，F分别是BC、AC、AB的中点，求△DEF的周长。

解答：首先，我们绘制出三角形ABC，并确定D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，如下所示：B/ \/ \D ----- E/ \/ \A ------------ CF根据中位线的性质，我们可以得到下面的等式：BD = 0.5BC = 0.5 * 9 = 4.5CE = 0.5AC = 0.5 * 7 = 3.5AF = 0.5AB = 0.5 * 12 = 6接下来，我们计算△DEF的周长。

由于△DEF是个等腰三角形，所以我们只需要知道两个边的长度即可。

DE = AC - AD - CE = 7 - 4.5 - 3.5 = 7 - 8 = -1 （注意这里的负号）DF = AB - AF - BD = 12 - 6 - 4.5 = 12 - 10.5 = 1.5由于三角形的边长不能为负数，所以DE的长度为0，即DE = 0。

这意味着△DEF其实是一条线段，而不是一个三角形。

DCBAE F 第九单元第5课时三角形得中位线一、填空题1.如图，D 、E 、F 分别为△ABC 三边上的中点.①线段AD 叫做△ABC 的 ，线段DE 叫做△ABC 的 ，DE 与AB 的位置和数量关系是 _________ ;②图中全等三角形有 _________________ ; ③图中平行四边形有 ___________ . 【答案】：①中线，中位线，DE ∥AB ，DE=12AB. ②△AEF ≌△DEF ≌△FBD ≌△EDC. ③□AFDE ，□FBDE ，□FDCE.【解析】：解：（1）D 、E 、F 分别为△ABC 三边上的中点，根据中线的定义知，线段AD 叫做△ABC 的中线，根据中位线的定义知，线段DE 叫做△ABC 的中位线，再根据中位线的性质知，中位线的长是第三边的长的一半且平行于第三边，∴DE ∥AB ，DE=12AB ； （2）∵DE ，DF ，EF 是三角形的中位线，∴DF ∥AC ，DE ∥AB ，EF ∥BC ，∴四边形AEDF ，BFED ，CEFD 是平行四边形，∴DE=AF=BF ，DF=AE=EC ，EF=BD=DC ，∴△AEF ≌△DEF ≌△FBD ≌△EDC ． 故答案为：（1）中点，中位线，DE ∥AB ，DE=12AB ；（2）△AEF ≌△DEF ≌△FBD ≌△EDC ；（3）□AFDE ，□FBDE ，□FDCE ．【分析】根据三角形的中线、中位线的定义以及中位线的性质可知答案2.三角形各边长为8、11、15，则连结各边中点所构成的三角形的周长是 . 1题 4题 5题【答案】：17；ABCD EFG H【解析】：12（8+11+15）=17，故答案为17.【分析】直接运用三角形中位线的性质即可.3.顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是__ ___.【答案】：平行四边形；【解析】：解答∵这个四边形的两组对边分别是原4边形对角线连线构成的三角形的中位线，∴这个四边形两对边相等∴四边形一定是平行四边形【分析】直接运用三角形中位线的性质即可.4.在四边形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，E F G H，，，分别是边AB BC CD DA，，，的中点，则四边形EFGH的周长为 ..【答案】：14cm；【解析】：∵四边形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴EH=FG=12BD，EF=HG=12AC，∴四边形EFGH的周长为：（EH+FG）+（EF+HG）=12×2BD+12×2AC=BD+AC=8+6=14．故答案为14．【分析】直接运用三角形中位线的性质即可.5. 如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=22m，则AB=__________m．【答案】：44.【解析】：∵E、F是AC，AB的中点，∵EF=22cm，∴AB=44cm．故答案为44．【分析】直接运用三角形中位线的性质即可.二、选择题1.△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若BC=8，则DE等于（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】：C【解析】：△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，∴DE是△ABC的中位线，又∵BC=8，∴DE=4，故选C.【分析】直接运用三角形中位线的性质即可.2.三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，则原三角形的周长为( )A. 6. 5cmB. 34cm C 26cm D. 52cm【答案】：C【解析】：∵三角形的三条中位线分别为4cm、5cm、8cm，∴三角形的三边分别为8cm，10cm，16cm，∴这个三角形的周长=8+10+16=34cm．故选B．【分析】直接运用三角形中位线的性质即可.3.如图，在四边形ABCD 中，AB=CD，M，N，P分别AD，BC，BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP=（）A. 25°B. 30°C. 35°D. 50°第3题第4题【答案】：A【解析】：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM=12AB，PN=12DC，∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥AB，PN∥DC，AF EC BG∴∠MPD=∠ABD=35°，∠BPN=∠BDC=85°，∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=35°+95°=130°，∴∠PMN=25°，故选A．【分析】运三角形中位线的性质，先证明△PMN是等腰三角形，然后在求出∠PMN=25°即可.4.如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，FG=3，则CF的长为（）A．4 B．4.5 C．6 D．9【答案】：D【解析】：∵点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，∴G为△ABC的重心，∴2FG=GC，∵FG=3，∴GC=6，∴CF=9．故选D.．三、证明题：1.如图，四边形各边中点及对角线中点共六个点中，任取四个点连成四边形中，最多可以有几个平行四边形，证明你的结论.【答案】：3个.【解析】：在四边形ABCD中F,G,H,E,M,N分别是AB,BC,CD,DA,BD,AC的中点⑴FG∥AC,EH∥AC；FG＝1/2AC,EH＝1/2AC∴FG∥EH,FG＝EH∴四边形FGHE是平行四边形⑵MG∥CD,EN∥CD;MG＝1/2CD,EN＝1/2CD∴MG∥EN,MG＝EN∴四边形MGNE是平行四边形⑶FM∥AD,NH∥AD；FM＝1/2AD,NH＝1/2ADFEDCBA∴FM ∥NH ；FM ＝NH∴四边形FMHN 是平行四边形 ∴最多可以有3个平行四边形【分析】直接运用三角形中位线性质定理即可.2.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是DC 的中点，EF ∥AB 交BC 于F ，若EF=4，求AB 的长.【答案】：8【解析】：过D 作DG ∥AB 交BC 于G ，∵AD ∥BC ，AB ∥DG ， ∴四边形ABGD 是平行四边形，∴AB=DG. ∵EF ∥AB ，∴EF ∥DG ，∵DE=CE ，∴GF=CF. ∴EF 是△CDG 的中位线，∴EF=12DG. ∴DG=2EF=8，即AB=8.【分析】过D 作DG ∥AB 交BC 于G ，利用三角形中位线性质定理即可. 3.如图，△ABC 中，D 是AB 上一点，且AD =AC ，AE ⊥CD 于E ，F 是B C 中点. 求证：BD =2EF .【答案】：证明过程见解析.【解析】：证明：∵AD=AC ，AE ⊥CD ，∴CE=DE. 又∵F 是BC 中点，∴BD=2EF.【分析】要证BD =2EF ，由于F 是BC 的中点，根据三角形的中位线定理只需证E 是CD 中点即可，这易从已知证得.4.如图，AD 是∠BAC 的外角平分线，CD ⊥AD 于点D ，E 是BC 的中点. 求证：DE =12(AB +AC ).【答案】：证明过程见解析.【解析】：证明：延长CD与BA交于F点.∵AD是∠BAC的外角平分线，∴∠CAD=∠EAD. ∵CD⊥AD，∴∠ADC=∠ADF=90°，∴∠ACD=∠F，∴AC=AF，∴CD=DF.∵E是BC的中点，∴DE=12BF=12(AB+AC).【分析】直接证明DE=12(AB+AC)比较困难，注意到E是BC的中点，联想到三角形的中位线定理，于是延长CD与BA交于F点，只需证D是CF的中点及AF=AC即可，这容易从题设证得.5.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F，G分别是BC，AC，AB的中点. 若AB=23BC=3DE=12，求四边形DEFG的周长. 【答案】：25【解析】：∵AB=23BC=3DE=12，∴BC=18，DE=4.∵AD⊥BC，G是AB的中点，∴DG=12AB=6.∵E，F，G分别是BC，AC，AB的中点，∴FG=12BC=9，EF=12AB=6.∴四边形DEFG的周长为4+6+9+6=25.【分析】直接运用三角形中位线性质定理求出GE和EF的值，利用直角三角形的性质求出DG的值，即可求出周长.。

高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年级：辅导科目：学科教师：五块石1 上课时间授课主题第04讲_三角形的中位线三角形的中位线一．三角形的中位线1．定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，则线段DE是△ABC的中位线．2．性质：平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．如图，点D、E分别是三角形ABC的边AB、AC的中点，求证：DE∥BC，12DE BC证明：延长DE到F，使EF = DE，连接FC、DC、AF．知识图谱错题回顾知识精讲AB CD E3．补充说明：任一个三角形都有三条中位线，由此有下列结论：（1）三条中位线组成一个三角形，周长为原三角形周长的一半． （2）三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．（3）三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形． （4）三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分．（5）任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等．4．补充说明：任意两点的中点坐标公式：对于平面直角坐标系内的任意两点()11A x y ，，()22B x y ，，线段AB 的中点坐标为121222x xy y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，．一．考点：1．中位线定理．二．重难点： 构造中位线，解决相关的角度线段问题．三．易错点：中线与中位线的区别．题模一：中位线定理例1.1.1如图，在Rt△ABC 中，△A=30°，BC=1，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．D ．1+【答案】A【解析】如图，△在Rt△ABC 中，△C=90°，△A=30°， △AB=2BC=2．ABCD EFABCDEF三点剖析题模精讲又△点D、E分别是AC、BC的中点，△DE是△ACB的中位线，△DE=AB=1．例1.1.2如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是____A．4B．3C．2D．1【答案】D【解析】连接DE并延长交AB于H，∵CD∵AB，∵∵C=∵A，∵CDE=∵AHE，∵E是AC中点，∵AE=CE，∵∵DCE∵∵HAE（AAS），∵DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∵EF是∵DHB的中位线，∵EF=12 BH，∵BH=AB-AH=AB-DC=2，∵EF=1．故选D．例1.1.3在□ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形．（2）若□ABCD的周长为8，求□EFGH的周长．【答案】（1）见解析（2）4【解析】该题考查的是平行四边形的判定与性质． （1）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴,AB CD AD BC ==∵E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点 ∴12EF AB =，12EH AD =，12HG CD =，12FG BC = ∴EF HG =，EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形（2）∵8l ABCD AB BC CD AD =+++=∴()142l EFGH EF FG HG EH AB BC CD AD =+++=+++= 例 1.1.4已知，如图四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，AD 、EF 、BC 的延长线分别交于M 、N 两点．求证：AME BNE ∠=∠．【答案】见解析【解析】连接AC ，取AC 中点H ，连接FH 、EH ．∵DF CF =，AH CH =，∴12FH AD ∥，12FH AD =，同理，12EH BC =，EH BC ∥∵AD BC =，∴EH FH =，∴HFE HEF ∠=∠ ∵FH AM ∥，EH BC ∥∴AME HFE ∠=∠，HEF BNE ∠=∠，∴AME BNE ∠=∠ABC DE F G HO A CDM FE N B随练1.1如图，在△ABC 中，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点．已知EF 的长为3cm ，则BC 的长为（ ）A ．39cm B ．3cmC ．2cmD ．23cm【答案】D 【解析】∵点E ，F 分别为AB ，AC 的中点， ∵EF 为∵ABC 的中位线， ∵BC=2EF=23cm ．故选D ．随练1.2如图，在矩形ABCD 中，P 、R 分别是BC 和DC 上的点，E 、F 分别是AP 和RP 的中点，当点P 在BC 上从点B 向点C 移动，而点R 不动时，下列结论正确的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增长B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长始终不变D ．线段EF 的长与点P 的位置有关 【答案】C【解析】连接AR ，∵矩形ABCD 固定不变，R 在CD 的位置不变， ∴AD 和DR 不变，A HCD M FE N B随堂练习∵由勾股定理得：AR=22AD DR ， ∴AR 的长不变，∵E 、F 分别为AP 、RP 的中点， ∴EF=12AR ， 即线段EF 的长始终不变，随练1.3如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，点F 是BC 延长线上一点，且CF=12BC ，连结CD 、EF ．求证：CD=EF ．【答案】CD=EF ．【解析】证明：∵D 、E 分别是边AB 、AC 的中点， ∴DE ∥BC ，DE=12BC ， ∵CF=12BC ， ∴DE=CF ，∴四边形DEFC 是平行四边形， ∴CD=EF ．随练1.4如图所示，在△ABC 中，M 是BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN ．若AB=14，AC=19，则MN 的长度为__________．【答案】2.5ABCMN【解析】延长BN 交AC 于D ，∵AN ⊥BN ，AN 平分∠BAC ，∴AN 是BD 的垂直平分线，∵点M 是BC 的中点，∴MN 是△BCD 的中位线，111 2.5222MN CD AC AD AC AB ==-=-=（）（） 随练 1.5（1）如图1，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M 、N ，则BME CNE ∠=∠，求证：AB CD =．（提示取BD 的中点H ，连接FH ，HE 作辅助线）（2）如图2，在ABC ∆中，且O 是BC 边的中点，D 是AC 边上一点，E 是AD 的中点，直线OE 交BA 的延长线于点G ，若5AB DC ==，60OEC ∠=︒，求OE 的长度．【答案】（1）见解析（2）52【解析】连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、FH ． E 、F 分别是BC 、AD 的中点，∴EH AB ∥，12EH AB =，FH CD ∥，12FH CD = BME CNE ∠=∠，∴HE HF =， ∴AB CD =；（2）解：连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、OH ， AB CD =，∴HO HE =，∴HOE HEO ∠=∠，60OEC ∠=︒，∴60HEO AGO ∠=∠=︒， ∴OEH ∆是等边三角形， 5AB DC ==∴52OE =自我总结作业1如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（）A．8B．10C．12D．14【答案】C【解析】∵点D、E分别是边AB，BC的中点，∴DE是三角形BC的中位线，AB=2BD，BC=2BE，∴DE∥BC且DE=12 AC，又∵AB=2BD，BC=2BE，∴AB+BC+AC=2（BD+BE+DE），即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，∵△DBE的周长是6，∴△ABC的周长是：6×2=12．作业2如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠PFE的度数是____课后作业A ．15°B ．20°C ．25°D ．30° 【答案】D【解析】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．根据中位线定理和已知，易证明∵EPF 是等腰三角形．∵在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点， ∵FP ，PE 分别是∵CDB 与∵DAB 的中位线， ∵PF=12BC ，PE=12AD ， ∵AD=BC ， ∵PF=PE ，故∵EPF 是等腰三角形． ∵∵PEF=30°， ∵∵PEF=∵PFE=30°．故选：D ．作业3如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD=6，BD=4，CD=3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是_________．【答案】11【解析】∵BD ⊥CD ，BD=4，CD=3， ∴BC=22BD CD +=2243+=5，∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，∴EH=FG=12AD ，EF=GH=12BC ， ∴四边形EFGH 的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC ， 又∵AD=6，∴四边形EFGH 的周长=6+5=11．作业4如图，点A ，B 为定点，定直线l△AB ，P 是l 上一动点，点M ，N 分别为PA ，PB 的中点，对下列各值：①线段MN 的长；②△PAB 的周长；③△PMN 的面积；④直线MN ，AB 之间的距离；⑤△APB 的大小．其中会随点P 的移动而变化的是（ ）A．②③B．②⑤C．①③④D．④⑤【答案】B【解析】△点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，△MN是△PAB的中位线，△MN=AB，即线段MN的长度不变，故①错误；PA、PB的长度随点P的移动而变化，所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；△MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，△△PMN的面积不变，故③错误；直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；△APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．故选：B作业5我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH．（1）这个中点四边形EFGH的形状是____；（2）请证明你的结论．【答案】平行四边形【解析】（1）平行四边形．（2）证明：连接AC，∵E是AB的中点，F是BC的中点，∵EF∵AC，EF=12 AC，同理HG∵AC ，HG=12AC ， 综上可得：EF∵HG ，EF=HG ，故四边形EFGH 是平行四边形．作业6如图，已知ΔABC 是锐角三角形，分别以AB 、AC 为边向外侧作两个等边三角形ΔABM 和ΔCAN ，D 、E 、F 分别是MB ，BC ，CN 的中点，连结DE 、FE ，求证：DE=EF【答案】见解析【解析】该题考查的是全等三角形的判定和性质．连接MC 、AN ，∵△ABM 和△CAN 都是正三角形，∴AM AB =，AN AC =，∴60MAB CAN ∠=∠=︒，∴MAC BAN ∠=∠，∴△MAC ≌△BAN （SAS ）∴MC BN =又∵MC 、BN 分别是△BMC 、△BNC 的中位线，∴12DE MC =，12EF BN =， ∴DE EF =．作业7如图所示，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC <，F ，E 分别是对角线AC ，BD 的中点．求证：()12EF BC AD =-【答案】见解析【解析】如图所示，连接AE 并延长，交BC 于点G ．AD BC ∥，∴ADE GBE ∠=∠，EAD EGB ∠=∠，又E 为BD 中点，∴AED GEB ∆∆≌．∴BG AD =，AE EG =．在AGC ∆中，F ，E 分别是对角线AC ，BD 的中点∴F 、E 是AGC ∆的为中位线，∴EF BC ∥，()()111222EF GC BC BG BC AD ==-=-，即()12EF BC AD =-。