2019-2020学年新教材人教A版高中数学必修第二册课件：第六章 6.2.4 向量的数量积

第六章平面向量及其应用

6.2ꢀ平面向量的运算

6.2.2ꢀ向量的减法运算

素养目标·定方向必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能

素养目标·定方向素养目标学法指导1．理解相反向量的含义，能用相反向量 说出向量相减的意义.(逻辑推理) 向量的减法运算是通过类比实 2．掌握向量减法的运算及其几何意义，数的减法运算来引入的，可依 能熟练地进行向量的减法运算.(数学运算)照物理上力的分解为背景来理 3．能将向量的减法运算转化为向量的加解把握. 法运算.(逻辑推理)

必备知识·探新知知识点1 相反向量相等ꢀ 与向量a长度_______，方向_______的向量，叫做a的相反向量， 相反ꢀ 定义 记作－a aꢀ (1)－(－a)＝____ (2)零向量的相反向量仍是零向量 性质 0ꢀ (3)a＋(－a)＝(－a)＋a＝____ (4)如果a，b互为相反向量，那么a＝__－__b_ꢀ_，b＝______，a＋b＝0 －aꢀ 知识点2 向量的减法

相反向量ꢀ

终点ꢀ 终点ꢀ

关键能力·攻重难题型探究题型一向量的减法及其几何意义典例1Aꢀ (2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.

[分析]ꢀ求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量.

[归纳提升]ꢀ求作两个向量差向量的2种思路 (1)直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向 量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. (2)转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋ (－b)即可. 【对点练习】❶ꢀ如图所示，已知向量a，b，c，d ，求作向量a－b，c－d. 题型二三角形法则下的向量加减法运算典例2

①④ꢀ 题型三利用已知向量表示其他向量典例3

[归纳提升]ꢀ解此类问题要根据图形的几何性质，运用向量的平行 四边形法则和三角形法则解题.要特别注意向量的方向以及运算式中向量 之间的关系. 易错警示错误使用向量的减法法则典例4

6.2.3 向量的数乘运算

一、选择题

1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )

A．a－2b B．a

C．a－6b D．a－8b

解析：原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.

答案：D

2．点C在直线AB上，且AC→＝3AB→，则BC→等于( )

A．－2AB→ B.13AB→

C．－13AB→ D．2AB→

解析：如图，AC→＝3AB→，所以BC→＝2AB→.

答案：D

3．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为( )

A．－1或3 B.3

C．－1或4 D．3或4

解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝－32－m，解得m＝－1或m＝3.

答案：A

4.

如图，已知AB→＝a，AC→＝b，BD→＝3DC→，用a，b表示AD→，则AD→＝( )

A．a＋34b

B.34a＋14b C.14a＋14b

D.14a＋34b

解析：AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋34BC→＝AB→＋34(AC→－AB→)＝14AB→＋34AC→＝14a＋34b.

答案：D

二、填空题

5．已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b＝________a.

解析：由于|a|＝4，b＝8，则|b|＝2|a|，又两向量同向，故b＝2a.

答案：2

6．点C在线段AB上，且ACCB＝32，则AC→＝________AB→，BC→＝________AB→.

解析：因为C在线段AB上，且ACCB＝32，所以AC→与AB→方向相同，BC→与AB→方向相反，且ACAB＝35，BCAB＝25，所以AC→＝35AB→，BC→＝－25AB→.

答案：35 －25

7．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________．

解析：由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|.∵|a|＝3，|b|＝5，

课时素养评价 五 向量的数量积

(15分钟 30分)

1.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,且a与b的夹角为,则(a+b)·(2a-b)= (

A. B.- C.- D.

【解析】选A. =2a2-b2+a·b=2-3+1××=.

2.(2020·广州高一检测)已知向量a,b满足|a|=,|b|=2,a·b=-3,则a与b的夹角是

( )

A.150° B.120 C.60 D.30°

【解析】选B.设a与b的夹角为θ,

则cos θ===-,

因为0°≤θ≤180°,所以θ=120°.

【补偿训练】

已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=1,则向量a与a-b的夹角为 ( )

A. B. C. D.

【解析】选A.|a-b|=

设向量a与a-b的夹角为θ,

则cos θ===, 又因为θ∈[0,π],所以θ=.

3.如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是 (

A.· B.·

C.· D.·

【解析】选A.由于⊥,故其数量积是0,可排除C;与的夹角是,故其数量积小于零,可排除D;设正六边形的边长是a,

则·=||||cos 30°=a2,

·=||||cos 60°=a2.

4.如图,AB是圆C的弦,设=a,=b,则向量在向量上的投影向量为 (用a或b表示).

【解析】如图所示,过点C作CD⊥AB,垂足为D,连接CB,则向量在向量上的投影向量为.

因为CA=CB,所以D是AB的中点, 所以==.

答案:

5.△ABC三边的长分别为AC=3,BC=4,AB=5,若=,=,则·=

__.

【解析】由题知·=(+)·

=(+)·=·

=+·=×42+0=.

答案:

6.已知非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直,求a与b的夹角.

6.2 平面向量的运算

知识点一 向量加法的三角形法则

已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作AB→＝a，BC→＝b，则向量AC→叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB→＋BC→＝AC→.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．

注意点：

运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾连”．

反思感悟 向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，即

AA1→＋A1A2——→＋……＋An－1An——→＝AAn→.

知识点二 向量加法的平行四边形法则

1.以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量OC→(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和．把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．

2．从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的．

3．对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. 注意点：

运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同．

反思感悟 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系

区别 联系

三角形法则 (1)首尾相接

(2)适用于任何两个非零向量求和 当两个向量不共线时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 (1)共起点

(2)仅适用于不共线的两个向量求和

知识点三 共线向量的加法与向量加法的运算律

1．一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立．

2．(加法交换律)a＋b＝b＋a；

(加法结合律)a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c.

反思感悟 向量加法运算律的意义和应用原则

(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．

(2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．