2018年苏教版数学必修1 第3章 3.2.2 第2课时 对数函数的图象与性质的应用

第2课时对数函数及其性质的应用1.了解函数图象的变换．2.理解对数函数的图象和性质．3.掌握对数函数性质的应用．[学生用书P55]1．对数型复合函数的单调性(1)对于形如y＝log a[g(x)](a＞0且a≠1)的一类函数的单调性，在定义域上，当a＞1时，与函数y＝g(x)的单调性相同，当0＜a＜1时，则相反．(2)判断复合函数的单调性可以借助图象来判断．(3)求复合函数单调区间的步骤：①求定义域；②分解成y＝log a u，u＝g(x)两个函数；③求u的单调区间(注意定义域)，并判断y＝log a u的单调性；④利用同一区间上“同增异减”得出结论．2．对数型复合函数的定义域、值域由图可知对数函数y＝log a x的定义域为(0，＋∞)，值域为R，反过来，要使函数y＝log a x 的值域为R，由图可知，x必须取遍(0，＋∞)内所有的值(一个也不能少)．因此，(1)若y＝log a[φ(x)]的定义域为R，则对于任意实数x恒有φ(x)＞0，特别是当φ(x)＝a1x2＋bx＋c(a1≠0)时，要使y＝log a[φ(x)]的定义域为R，则有a1＞0，且Δ＜0.(2)若已知y＝log a[φ(x)]的值域为R，则φ(x)必须取遍(0，＋∞)内的所有值(一个也不能少)，则对于函数t＝φ(x)而言，必须有t＝φ(x)的值域包含(0，＋∞)(此时y＝log a[φ(x)]的定义域一般包含于t＝φ(x)的定义域之中)．反之，若φ(x)≥m(m＞0)，则当a＞1时，有y＝log a[φ(x)]≥log a m；当0＜a＜1时，有y＝log a[φ(x)]≤log a m，因此其值域一定不为R.特别地当φ(x)＝a1x2＋bx＋c(a1≠0)，要使y＝log a[φ(x)]的值域为R，则有a1＞0，且Δ≥0，同时φ(x)>0.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)关于函数f(x)＝log12⎝⎛⎭⎫2x－13的判断有如下说法：(1)在R上是增函数．()(2)是奇函数．()(3)值域为R .( )(4)在区间⎝⎛⎭⎫16，＋∞上是减函数．( ) ★★答案★★：(1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为________． 解析：因为x ≥1，所以log 2x ≥0， 所以y ＝2＋log 2x ≥2. ★★答案★★：[2，＋∞)3．若0<x <1，y >1，则log x 3________log y 3.(填“>”“＝”或“<”) 解析：因为0<x <1，所以log x 3<0， 因为y >1，所以log y 3>0， 所以log x 3<log y 3. ★★答案★★：<4．不等式log 3(1－x )＞log 3(x ＋2)的解集是________． 解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋2＞0，1－x ＞x ＋2.解得－2＜x ＜－12.★★答案★★：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2＜x ＜－12与对数函数有关的图象变换[学生用书P55]根据表格回答下面的问题.xy 18 14 12 1 2 4 8 y ＝log 2x －3 －2 －1 0 1 2 3 y ＝|log 2x |32112322(2)在同一坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝|log 2x |的图象，并比较这两个图象之间的关系； (3)通过上述两个问题，你发现函数y ＝f (x )与y ＝|f (x )|的函数值之间、图象之间有什么关系？【解】 (1)当x ＝1，2，4，8时，函数y ＝log 2x 与y ＝|log 2x |的函数值对应相等；当x ＝12，14，18时，函数y ＝log 2x 与y ＝|log 2x |的函数值互为相反数．(2)在同一坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝|log 2x |的图象，如图所示，函数y ＝|log 2x |的图象可以看作将y ＝log 2x 的图象在x 轴上方(包括在x 轴上的点)的部分保持不变，而将x 轴下方的部分作关于x 轴的对称变换而得到．(3)当x ＝a 时，若f (a )≥0，则两个函数的函数值都为f (a )；若f (a )<0，则两个函数的函数值相反，即y ＝f (x )的函数值为f (a )，y ＝|f (x )|的函数值为－f (a )．函数y ＝|f (x )|的图象可看作由函数y ＝f (x )的图象在x 轴上方(包括在x 轴上的点)的部分保持不变，而将x 轴下方的部分作关于x 轴的对称变换而得到．函数图象的对称变换是一种常见的变换，本例题由特殊到一般归纳总结出f (x )与|f (x )|图象之间的关系．1.函数y ＝log a (x －1)＋3(a >0且a ≠1)恒过定点并求出．试说明该函数是函数y ＝log a x 经过怎样的变换得到的？解：因为y ＝log a x 的图象恒过定点(1，0)，所以y ＝log a (x －1)的图象恒过定点(2，0)，它是由y ＝log a x 的图象向右平移1个单位得到的．又因为y ＝log a (x －1)＋3的图象是由y ＝log a (x －1)的图象向上平移3个单位得到的，即函数的图象恒过定点(2，3)．对数型复合函数的单调性[学生用书P56]求函数y ＝log 12(1－x 2)的单调增区间，并求函数的最小值．【解】 要使y ＝log 12(1－x 2)有意义，则1－x 2＞0，所以x 2＜1，则－1＜x ＜1， 因此函数的定义域为(－1，1)． 令t ＝1－x 2，x ∈(－1，1)．x ∈(－1，0]时，x 增大，t 增大，y ＝log 12t 减小，所以x ∈(－1，0]时，y ＝log 12(1－x 2)是减函数；当x ∈[0，1)时，y ＝log 12(1－x 2)是增函数．故函数y ＝log 12(1－x 2)的单调增区间为[0，1)，且函数的最小值y min ＝log 12(1－02)＝0.求形如y ＝log a f (x )函数的单调区间的步骤(1)求出函数的定义域；(2)研究函数t ＝f (x )和函数y ＝log a t 在定义域上的单调性； (3)判断出函数的增减性求出单调区间．2.求函数y ＝log 12(6＋x ＋2x 2)的单调增区间．解：由6＋x ＋2x 2＝2⎝⎛⎭⎫x ＋142＋478＞0， 即函数定义域是R . 令u (x )＝2x 2＋x ＋6，则函数u (x )＝2x 2＋x ＋6的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－14，＋∞，单调减区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－14. 又因为y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是减函数，所以函数y ＝log 12(6＋x ＋2x 2)的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－14. 对数函数性质的综合[学生用书P56]已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及y 取得最大值时x的值．【解】 因为f (x )＝2＋log 3x ，所以y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝log 23x ＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.因为f (x )的定义域是[1，9]， 所以函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，所以1≤x ≤3，所以0≤log 3x ≤1，所以6≤(log 3x ＋3)2－3≤13. 所以当log 3x ＝1即x ＝3时y max ＝13.综上可知，函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是13，相应的x 值是3.本题综合考查了对数函数、对数运算、对数型复合函数定义域及闭区间上二次函数求最值问题．常见错误是忽视已知函数定义域的限制条件，误认为y ＝[f (x )]2＋f (x 2) 的定义域也是[1，9]．3.已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )(a ＞0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明． 解：(1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1， 故所求定义域为(－1，1)． (2)f (x )为奇函数，证明如下： 由(1)知f (x )的定义域为(－1，1)， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )] ＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．1．函数y ＝log a f (x )可看作是y ＝log a t 与t ＝f (x )两个简单函数复合而成的，则由复合函数的判断法则同增异减知：当a ＞1时，若t ＝f (x )为增函数，则y ＝log a f (x )为增函数，若f (x )为减函数，则y ＝log a f (x )为减函数；当0＜a ＜1时，若t ＝f (x )为增函数，则y ＝log a f (x )为减函数，若t ＝f (x )为减函数，则y ＝log a f (x )为增函数．2．解决对数函数综合问题的方法对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算．解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．若函数f (x )＝log a (2－ax )在区间[0，1]上单调递减，求实数a 的取值范围． [解] 因为a >0，a ≠1，所以y ＝2－ax 是减函数．又因为f (x )＝log a (2－ax )是减函数，所以对数函数y ＝log a x 必是增函数，得a >1. 又由2－ax >0，得x <2a ，由题意，得[0，1]⊆⎝⎛⎭⎫－∞，2a ， 所以1<2a ，即a <2.故a 的取值范围是(1，2)．(1)错因：本题易认为底数a >0，a ≠1，故y ＝2－ax 是减函数，从而由已知得y ＝log a x 为增函数，故a 的取值范围是(1，＋∞)．此解法忽视了单调区间必是函数定义域的子区间，造成了解题的失误．(2)防范：对于复合函数，外函数为对数函数的情况，研究问题时不仅要注意复合函数单调性的问题，还要注意内函数满足为真数的要求，如y ＝log a f (x )，必须满足f (x )>0.1．函数y ＝log a (2－x )是x 的增函数，则a 的取值范围是________． 解析：u ＝2－x 是x 的减函数，故y ＝log a u 为u 的减函数，所以0<a <1. ★★答案★★：(0，1)2．函数y ＝1＋log 2(x ＋1)(0<x ≤3)的值域是________．解析：y ＝1＋log 2(x ＋1)在区间(0，3]上为增函数，所以值域为(1，3]． ★★答案★★：(1，3]3．若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值等于________．解析：当0＜a ＜1时，因为y ＝a x 在[0，1]上为减函数，y ＝log a (x ＋1)在[0，1]上也是减函数，所以f (x )在[0，1]上为减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (1)＝a ＋log a 2，于是1＋a ＋log a 2＝a ，解得a ＝12；同理，当a ＞1时，f (x )在[0，1]上为增函数，所以f (x )max ＝f (1)＝a ＋log a 2，f (x )min ＝f (0)＝1，于是1＋a ＋log a 2＝a ，解得a ＝12，与a ＞1矛盾．综上，a ＝12.★★答案★★：124．函数f (x )＝log 2(3－a x )在(－∞，1)上是减函数，则a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝log 2(3－a x )在(－∞，1)上是减函数， 又因为y ＝log 2u 是增函数，所以u ＝3－a x 在(－∞，1)上是减函数，由已知，⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3－a ≥0，解得1<a ≤3.★★答案★★：(1，3][学生用书P114(单独成册)])[A 基础达标]1．若log a 2＜log b 2＜0，则下列结论正确的是( ) A ．0＜a ＜b ＜1 B ．0＜b ＜a ＜1 C ．a ＞b ＞1 D ．b ＞a ＞1解析：选B.因为log a 2＜0，log b 2＜0， 所以0＜a ＜1，0＜b ＜1，又log a 2＜log b 2，所以a ＞b ，故0＜b ＜a ＜1.2．函数f (x )＝|log 12x |的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B ．(0，1] C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D.f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．3．函数y ＝log 15(1－3x )的值域为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选C.因为3x ＞0，所以－3x ＜0， 所以1－3x ＜1.又y ＝log 15t (t ＝1－3x )是关于t 的减函数所以y ＝log 15t ＞log 151＝0.选C.4．函数y ＝f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x ＋1－1的图象的对称性为( )A ．关于直线y ＝x 对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于原点对称解析：选D.因为y ＝f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x ＋1－1＝lg 1－x 1＋x ，所以f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x ＝－f (x )，又因为函数的定义域为(－1，1)，关于原点对称，则函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称．5.若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是________． 解析：由lg(2x －4)≤1得 lg(2x －4)≤lg 10， 所以0＜2x －4≤10， 解之得2＜x ≤7. ★★答案★★：(2，7]6．函数f(x)＝log a x (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是________． 解析：因为0＜a ＜1，所以f (x )＝log a x 在[a 2，a ]上是减函数， 所以f (x )max ＝f (a 2)＝log a a 2＝2. ★★答案★★：27．已知函数f (x )＝lg(2x －b )(x ≥1)的值域是[0，＋∞)，则b 的值为________． 解析：因为x ≥1， 所以f (x )≥lg(2－b )． 又因为f (x )≥0， lg(2－b )＝0，即b ＝1. ★★答案★★：18．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________．解析：因为a ＞1，所以f (x )＝log a x 在[a ，2a ]上递增， 所以log a (2a )－log a a ＝12，即log a 2＝12，所以a 12＝2，a ＝4.★★答案★★：49．根据下列条件，分别求实数x 的值： (1)log 2(2－x )＝log 2(x －1)＋1； (2)32x ＋1－6x ＝22x ＋2.解：(1)原方程可化为log 2(2－x )＝log 2[2(x －1)]，得2－x ＝2(x －1)，解得x ＝43.经检验知，原方程的解为x ＝43.(2)原方程可化为3×32x －2x ×3x －4×22x ＝0，因式分解得(3×3x －4×2x )(3x ＋2x )＝0， 则3×3x －4×2x ＝0， 即⎝⎛⎭⎫32x＝43， 解得x ＝log 3243.10．已知f (x )＝log a (a －a x )(a ＞1)． (1)求f (x )的定义域和值域； (2)判断并证明f (x )的单调性． 解：(1)由a ＞1，a －a x ＞0， 即a ＞a x ，得x ＜1.故f (x )的定义域为(－∞，1)．由0＜a －a x ＜a ，可知log a (a －a x )＜log a a ＝1. 故函数f (x )的值域为(－∞，1)．(2)f (x )在(－∞，1)上为减函数，证明如下：任取1＞x 1＞x 2，因为a ＞1，所以ax 1＞ax 2， 所以a －ax 1＜a －ax 2，所以log a (a －ax 1)＜log a (a －ax 2)，即f (x 1)＜f (x 2)， 故f (x )在(－∞，1)上为减函数．[B 能力提升]1.若函数f (x )＝log a (2x ＋1)(a ＞0，且a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫－12，0内恒有f (x )＞0，则a 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝log a (2x ＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞， 当x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0时，2x ＋1∈(0，1)，由题意知0＜a ＜1. ★★答案★★：0<a <12.函数y ＝log a x 在x ∈[2，＋∞)时恒有|y |>1，则a 应满足的条件是________．解析：若0<a <1，当x ≥2时，log a x <0，所以log a x <－1，由题意log a 2<－1，所以a ∈⎝⎛⎭⎫12，1. 若a >1，当x ≥2时，log a x >0，所以log a x >1.由题意log a 2>1， 所以a ∈(1，2)． 综上可知12<a <1或1<a <2.★★答案★★：12<a <1或1<a <23.求下列函数的值域． (1)y ＝log 2(x 2－4x ＋6)； (2)y ＝log 21－x 2＋2x ＋2；(3)y ＝log 2(x 2－4x －5)．解：(1)因为x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2≥2， 又f (x )＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，所以log 2(x 2－4x ＋6)≥log 22＝1.所以函数的值域是[1，＋∞)． (2)因为－x 2＋2x ＋2＝－(x －1)2＋3≤3， 所以1－x 2＋2x ＋2<0(舍)或1－x 2＋2x ＋2≥13.因为真数大于0，f (x )＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，所以log 21－x 2＋2x ＋2≥log 213.所以函数的值域是⎣⎡⎭⎫log 213，＋∞. (3)因为x 2－4x －5＝(x －2)2－9≥－9， 所以x 2－4x －5能取得所有正实数．所以函数y ＝log 2(x 2－4x －5)的值域是R .4．(选做题)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（4a ＋1）x －8a ＋4，x ＜1，log a x ，x ≥1.(1)当a ＝12时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝12时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ＜1，log 12x ，x ≥1.当x ＜1时，f (x )＝x 2－3x 是减函数， 所以f (x )＞f (1)＝－2；当x ≥1时，f (x )＝log 12x 是减函数，所以f (x )≤f (1)＝0， 综上，函数f (x )的值域是R .(2)若函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数， 则⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋12≥1，0＜a ＜1，12－（4a ＋1）－8a ＋4≥log a1.解得14≤a ≤13，故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤14，13.。

第2课时对数函数及其性质学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法(重、难点)；2•掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法(难点)；3.会解简单的对数不等式(重点)；4•了解反函数的概念及其图象特点(难点).I课前預习“耋ilif證噩I盲至瑩旨鑒鬆逹基画预习教材P86—87,完成下面问题：知识点一对数型复合函数的单调性⑴设y= log a f(x)(a>0, a^ 1),首先应求使f(x)>0的x的范围，即函数的定义域.(2)在定义域内考虑u = f(x)与y= log a u的单调性，然后根据复合函数单调性规律“同增异减”来确定复合函数的单调性，所谓“同增异减”即内、外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内、外层函数单调性相反时，复合函数为减函数.【预习评价】我们知道y= 2f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同，那么y= log2f(x)的单调区间与y= f(x)的单调区间相同吗？提示y= log2f(x)与y= f(x)的单调区间不一定相同，因为y= log2f(x)的定义域与y=f(x)定义域不一定相同.知识点二对数型函数的奇偶性对数函数本身没有奇偶性，但有些函数与对数函数复合后，就具有奇偶性，如y二log2|x|就是偶函数.证明这类函数具有奇偶性的方法是利用函数奇偶性的定义，并结合有关对数的运算性质.【预习评价】广 1 、解析f(x)定义域为R，f( —x) + f(x) = lg函数f(x) = lg寸x?+ 1 + x的奇偶性是__________ •1 一lg7 2二lg 1 二0，「f(x)为奇函数.x + 1 —x答案奇函数知识点三对数不等式的解法一般地，对数不等式的常见类型：当a> 1时，fx >0可省略，lOg a f(X)> lOg a g(X)? g X > 0,f X >g X ；当0v a v 1时，y f x >0，lOg a f(X)> lOg a g(X)? g X > 0 可省略，fx v gx.【预习评价】已知log0.72x v log°.7(x—1)，求x的取值范围.解•函数y= log0.7x在(0，+x)上为减函数，'2x> 0，•••由Iog0.72x v log0.7(x—1)得x—1 >0，2x> x—1，解得x> 1.•的取值范围为(1,+x).课堂互甬八—儿耳迪卜穷题型一对数型复合函数的单调性【例1】求函数y= 「(—x2+ 2x+ 1)的值域和单调区间.解设t= —x2+ 2x+ 1,贝U t=—(x—1)2+ 2.log±••y= t为单调减函数，且o v t<2，• y= 2=—1,即函数的值域为［—1,+x).再由函数\y= (-x2+ 2x+ 1)的定义域为一x2+ 2x+ 1>0, 即卩1—2<x v 1+ 2••• t= —x2+ 2x+ 1在(1—2, 1］上递增，在［1,1+ 2)上递减，而、= t为单调减函数.•••函数、=(—x2+ 2x+ 1)的增区间为［1,1 + 2)，减区间为(1 —2, 1］.规律方法求复合函数的单调性要抓住两个要点：(1)单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域；(2)f(x), g(x) 单调性相同，贝U f(g(x))为单调增函数；f(x)，g(x)单调性相异，则f(g(x))为单调减函数，简称“同增异减”.【训练1】已知函数f(x)= ：•(—x2+ 2x).(1) 求函数f(x)的值域；(2) 讨论f(x)的单调性.2 2解(1)由题意得一x + 2x>0，/.x —2x<0，•0< x< 2.当0<x< 2 时，y= —x2+ 2x= —(x2—2x) 6(0,1］，•函数y= •(—x + 2x)的值域为［0，+*).5 2lOg丄⑵设u= —x + 2x(0<x<2)，y= u，•••函数u= —x2+ 2x在(0,1)上是单调增函数，在(1,2)上是单调减函数，、= u是单调减函数，•由复合函数的单调性得到函数f(x)= * (—x2+ 2x)在(0,1)上是单调减函数，在(1,2)上是单调增函数.题型二对数型复合函数的奇偶性【例2】判断函数f(x)= In -一的奇偶性.厶I X2 —x解由 >0可得一2v X V2,2 + x所以函数的定义域为(一2,2)，关于原点对称.2+ x 2 —x i 2 —x 方法一一f(—x = In = In ( )_ =一In2-x 2 + x 2 + x =一f(x) • 即f( —x)= —f(x),2—x所以函数f(x)二In 是奇函数.2+ x2—x 2 + x方法二f(x) + f(—x) = In + In2+ x 2 —x+ x2+ X ］寸1 + X2-x1 + X2-X二—X ；1 + X2-x)二—f(x).即f( —x)= —f(x).所以函数f(x) = IgC ：‘1 + X2—x)是奇函数. 方法二由-'''1+ x2—x>0 可得x^R, f(x) + f(—X)二IgC ''1 + X2—X) + IgC ：' 1+ x2+ x) =lg( ;'1+ x2—x)( : 1 + x2+ x)2 2=lg(1 + x2—x2) = 0.所以f(—x)= —f(x)，所以函数f(x)= IgC '1 + X2—x)是奇函数.题型三对数不等式【例3】已知函数f(x) = log a(1 —a x)(a>0,且a^ 1).解关于x的不等式: X—a)> f(1).解・f(x)= log a(1— a) ,「f(1) —log a(1 —a).-1 —a > 0. - O v a v 1.不等式可化为log a(1 — a ) > log a(1 —a).1 —a > 0, a v 1,即］.Ov x v 1.1—a v 1 —a. a > a.•••不等式的解集为(0,1).规律方法对数不等式解法要点(1)化为同底log a f(x)> log a g(x);⑵根据a> 1或O v a v 1去掉对数符号，注意不等号方向;(3)加上使对数式有意义的约束条件f(x) > 0且g(x) > 0.log a(1=Ig【训练3】 已知函数f(x)二" ' •若f(a)>f(— a),则实数a 的取 值范围是 ________ • 解析 ①当 a >0 时，f(a) = log 2a , f(— a)=" a , 1 f(a)>f(— a)，即 log 2a > a = log 2 , a 1 •'a >孑解得a > 1; 1OF 丄 ② 当 a v 0 时，因 f(a)>f(— a)，则 (—a)>log 2( — a), 解得 a >— 1,即一1 v a v 0, 综上实数a 的取值范围是(—1,0)U(1,+^). 答案(一1,0) U (1,+x ) 典例【例4】 已知函数f(x)= log a (a >0且a ^ 1), x — 1 (1) 求f(X)的定义域； (2) 判断函数的奇偶性和单调性. 解得x > 1或x v — 1 ,此函数的定义域为(一X,— 1)U 1,+x ).迁移 题型四 对数型函数的综合应用 x + 1 x + 1> 0, 解(1)要使此函数有意义，则有 X — 1> 0x + 1 V 0, 或x — 1 V0.—x+ 1 x—1x+ 1又由⑴知f(x)的定义域关于原点对称, 所以f(x)为奇函数.x +1 2f(X)= F =吸 + 二)，2函数u = 1 + 在区间(一X,— 1)和区间(1,+x )上单调递减.x - 1x + 1所以当 a > 1 时，f(x) = log a 在(—X,— 1), (1 , + X )上递减;x — 1x + 1当 O v a v 1 时，f(x)= log a 在(—X,— 1), (1,+X )上递增.x — 1【迁移1】 已知实数x 满足4x — 10 2x + 16< 0,求函数 尸(log 3x)2 — log3 x+ 2 的值域.解 不等式 4x — 10 2x + 16< 0 可化为(2x )2 — 10 2x + 16< 0, 即(2x — 2)(2x — 8)< 0.从而有 2<2x <8,即 K x < 3.所以 0W log 3x < 1.由于函数y = (log 3x)2 — log 3 x + 2可化为2 1 1 2 31y = (Iog 3x) — qiog 3x + 2= (Iog 3x — 4) +花,31 5所以，所求函数的值域为［亦，刁.【迁移2】 已知函数f(x)= lg(ax 2 + 2x + 1).(1) 若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围;(2) 若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围.解(1)若 f(x)的定义域为R ,则关于x 的不等式ax 2 + 2x + 1>0的解集为R ,1当 Iog 3x =4时, 31 y min = 16； 当 Iog 3x = 1 时, y max = 52.a>0,结合二次函数图象可得S 22— 4 a 1<0,解得a>1.即a的取值范围是(1,+^).(2)若函数f(x)的值域为R，则ax2+ 2x+ 1可取一切正实数，a>0,结合函数图象可得a=0或S 2|22—4 a 1> 0,k 7解得O w a< 1•即a的取值范围是[0,1].4 __ mv【迁移3】已知函数f(x)= log a (a>0,且a^ 1, 1)是奇函数.x—I(1)求实数m的值；⑵探究函数f(x)在(1,+^)上的单调性.mx+ 1 lOg「0,解(1)由已知条件得f(—x) + f(x) = 0对定义域中的x均成立.「.loga——x— 1 1 mx+ 1 1 —mx即• •- = 1,—x— 1 x—1 •'m2x2—1 = x2—1对定义域中的x均成立.•，m2= 1, 即卩m= 1(舍去)或m=— 1.1 + x⑵由(1)得f(x) = loga—x—1x+1 x—1+2 2设t= = = 1 +1 —mxx—1 x—1 x—1•••当X1 > X2> 1 时,2 2 2 X2 —x it l —12= —= V 0,X i —1 X2 —1 (X i —1 [X2—1 )•11 V t2.当a> 1 时，log a t1 V log a t2, 即卩f(X1)V f(X2),•••当a> 1时，f(x)在(1 ,+x)上是减函数.同理得当O V a v 1时，f(x)在(1 ,+x)上是增函数.规律方法(1)对于函数y= log a f(X)(a>0且a^ 1单调性的判断，首先应求满足f(x) >0的x的范围，即函数的定义域.假设f(x)在定义域的子区间I1上单调递增，在区间12上单调递减，则①当a> 1时，原函数与内层函数f(x)的单调性相同，即在11上单调递增，在I2 上单调递减.②当O V a v 1时，原函数与内层函数f(x)的单调性不同，即在11上单调递减，在I2上单调递增.⑵关于对数函数性质的几点应用：①y= log a x中定义域(0，+ X)可延伸为>y= log a f(x)的定义域，需f(x) >0.—可延伸为②y= log a x过定点(1,0) -------------- y= log a f(x)过定点，只需f(x) = 1即可.—可延伸为③y= log a x的单调性 ------- y= log a f(x)的单调性，利用y= log a u和u= f(x)的单调性判断.④考查y= log a f(x)的奇偶性，定义域关于原点对称后利用函数奇偶性的定义来判定较容易.il堂反馈I 首垂辰M嶠捡測成魄课堂达标1.函数y= log2(x2—1)的增区间为_________ .解析•••由X 2—1>0解得定义域为{x|x v — 1或x > 1},又尸log 2x 在定义域上单 调递增，y = x 2— 1在(1,+x )上单调递增，.••函数的增区间为(1,+x ).答案 (1,+^)2 •已知函数y = log 2(x 2— 2kx + k)的值域为R ，则k 的取值范围是 _________ . 解析 令 t = x 2 — 2kx + k ,由 y = log 2(x 2— 2kx + k)的值域为 R ，得函数 t = x 2 — 2kx + k 的图象一定恒与x 轴有交点，所以△= 4k 2— 4k >0,即k <0或k > 1.答案(—X, 0] u [1, +^)3. ___________________________________________________________ 已知 x = In ,n y = log 52, Z =E ',则 x , y , z 的大小关系为 ________________________ . 解析 ，.x = In > In e,.°x > 1. e > 4- 2,A 2<Z <2综上可得，y < Z < x.答案 y < Z < x4. _________________________ 若函数y = log a |x — 2|(a >0且a ^ 1)在区间(1,2)上是单调增函数，则f(x)在区间 (2,+^)上的单调性为 .解析 当1<x < 2时，函数f(x)= log a |x — 2|= log a (2 — X )在区间(1,2)上是单调增函 数，所以 0<a < 1;当 x >2 时，函数 f(x)= log a |x —2|= log a (x — 2)在(2,+x )上 是单调减函数.答案单调递减2 5. 已知函数y = lg (1+x — a)是奇函数，求实数a 的值.2解 由函数y = lg( --------— a)是奇函数，得1 + x2 + xy = Iog 52< Iog 5 5, ••O v y v £2 2 1 lg( —a)= —lg( —a)= lg 2 , 1 —x 1 + x —a1 ~22即亠-a1 — x 化简得 4— 4a + a 2(1 — x 2)= 1 — x 2,4— 4a = 0,所以2解得a = 1. a 2二 1,k 7课堂小结1.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题， 其依据是对数函数的单调性. 对数的底数是字母且范围不明确，一般要分 a > 1和O v a v 1两类讨论求解. 2•解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形 结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用 .2 — x 2 + x=In ( • )= In 1 = 0,2 + x 2 — x即 f( — x)= — f(x),2— x所以函数f(x) = In 是奇函数.2+ x规律方法 (1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他 函数复合成奇函数(或偶函数)•(2)含对数式的奇偶性判断，一般用f(x)+ f(— x) = 0来判断，运算相对简单.【训练2】 判断函数f(x)= Ig ( .1+ x 2— x)的奇偶性.解方法一由门1 + x 2 — x >0可得x 取，所以函数的定义域为R 且关于原点对称, 又 f( — X )二 Ig ( .''1 + x 2+ x) —a1+ x。

第2课时 对数的运算性质1．理解对数的运算性质，能灵活准确地进行对数式的化简与计算；2．了解对数的换底公式，并能将一般对数式转化为自然对数或常用对数，从而进行简单的化简与证明．1．对数的运算法则如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，n ∈R ，那么： 指数的运算法则⇒对数的运算法则 ①a m ·a n ＝a m ＋n⇒log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②a m a n ＝a m ·a －n ＝a m －n ⇒log a MN ＝log a M －log a N ； ③(a m )n ＝a mn ⇒log a (N n)＝n ·log a N.积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前． 【做一做1－1】计算：(1)log 26－log 23＝________；(2)log 53＋log 513＝__________.答案：(1)1 (2)0【做一做1－2】若2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则x y的值是__________． 解析：由等式得(x －2y )2＝xy ， 从而(x －y )(x －4y )＝0， 因为x ＞2y ，所以x ＝4y . 答案：4 2．换底公式 (1)log a b ＝log log c c ba，即有log c a ·log a b ＝log c b (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)； (2)log b a ＝1log a b，即有log a b ·log b a ＝1(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)； (3)log m na b ＝log a nb m(a ＞0，a ≠1，b ＞0)．换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子． 【做一做2】已知lg N ＝a ，用a 的代数式表示： (1)log 100N ＝__________；(2)＝__________. 答案：(1)12a (2)2a运用对数的运算性质应注意哪些问题？ 剖析：对数的运算性质有三方面，它是我们对一个对数式进行运算、变形的主要依据．要掌握它们需注意如下几点：第一，要会推导，要求对每一条性质都会证明，通过推导加深对对数概念的理解和对对数运算性质的理解，掌握对数运算性质中三个公式的特征，以免乱造公式．例如：log n (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N 等都是错误的．第二，要注意对数运算性质成立的条件，也就是要把握各个字母取值的范围：a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0.例如，lg(－2)(－3)是存在的，但lg(－2)、lg(－3)都不存在，因而得不到lg(－2)(－3)＝lg(－2)＋lg(－3)．第三，由于对数的运算性质是三个公式，因此在应用时不仅要掌握公式的“正用”，同时还应掌握公式的“逆用”．题型一 有关对数式的混合运算 【例1】求下列各式的值：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514；(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.分析：利用对数运算性质和“lg 2＋lg 5＝1”解答． 解：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514＝log 535×5014＋12122log 2＝log 553－1＝2. (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋lg 22＝2lg 10＋(lg 2＋lg 5)2＝2＋1＝3.(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8＝12lg 2＋lg 9－lg 10lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝12. 反思：对数的运算一般有两种方法：一种是将式中真数的积、幂、商、方根运用对数运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后计算；另一种是将式中的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、幂、商、方根，然后化简求值．另外注意利用“lg 2＋lg 5＝1”来解题．题型二 有关对数式的恒等证明【例2】已知4a 2＋9b 2＝4ab (a ＞0)，证明lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b 2.分析：运用对数运算性质对所证等式转化为lg 2a ＋3b4＝lg ab ，因此只要利用条件证出真数相等即可．证明：由4a 2＋9b 2＝4ab ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝ab ， 因为a ＞0，所以b ＞0，两边取以10为底的对数，得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝lg(ab )， 即2lg 2a ＋3b 4＝lg(ab )，lg 2a ＋3b 4＝12lg(ab )，所以lg 2a ＋3b 4＝12(lg a ＋lg b )．因此lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b2，所以原等式成立．反思：在由一般等式证明对数式时，要注意使对数有意义，这里在取对数前要说明b ＞0.题型三 对数换底公式的应用【例3】已知log 23＝a,3b＝7，则log 1256＝__________(用a ，b 表示)．解析：方法一：∵log 23＝a ，∴2a＝3.又3b ＝7，∴7＝(2a )b ＝2ab.故56＝8×7＝23＋ab.又12＝3×4＝2a ×4＝2a ＋2， 从而33+22256=(2)=12ab ab a aa ++++.故log 1256＝32123log 12=2ab a aba ++++. 方法二：∵log 23＝a ，∴log 32＝1a. 又3b＝7，∴log 37＝b .从而log 1256＝log 356log 312＝log 37＋log 38log 33＋log 34＝log 37＋3log 321＋2log 32＝b ＋3·1a 1＋2·1a＝ab ＋3a ＋2.方法三：∵log 23＝lg 3lg 2＝a ，∴lg 3＝a lg 2.又3b＝7，∴lg 7＝b lg 3.∴lg 7＝ab lg 2.从而log 1256＝lg 56lg 12＝3lg 2＋lg 72lg 2＋lg 3＝3lg 2＋ab lg 22lg 2＋a lg 2＝3＋ab2＋a.答案：3＋ab 2＋a反思：方法一是借助指数变形来解；方法二与方法三是利用换底公式来解，显得较简明．应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可．题型四 有关对数的应用题【例4】科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性14C.14C 的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”，动植物在生长过程中衰变的14C ，可以通过与大气的相互作用而得到补充，所以活着的动植物每克组织中的14C 含量保持不变，死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的14C 按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5 730年．(1)设生物体死亡时，体内每克组织的14C 含量为1，试推算生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量p ；(2)湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆汉墓的年代．解：(1)设生物体死亡1年后，体内每克组织中14C 的残留量为x .由于死亡机体中原有的14C 按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t 与其体内每克组织的14C 含量p 有如下关系：由于大约经过5 730年，死亡生物体的14C 含量衰减为原来的一半，所以12＝x 5 730.于是x ＝5 73012＝1573012⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭.(2)由573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭可得125730log t p =.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，即p ＝0.767. 所以125730log 0.767 2 193t =≈.故马王堆汉墓约是2 193年前的遗址．反思：生物体死亡后，机体中原有的14C 每年按相同的比率衰减，因此，可以根据“半衰期”得到这一比率．已知衰减比率，求若干年后机体内14C 的含量属于指数函数模型；反之，已知衰减比率和若干年后机体内14C 的含量，求衰减的年数应属于对数知识．1设lg a ＝1.02，则0.010.01的值为__________(用a 表示)．解析：设0.010.01＝x ，则lg x ＝lg 0.010.01＝0.01lg 0.01＝－0.02， ∴lg a ＋lg x ＝lg ax ＝－0.02＋1.02＝1.∴ax ＝10，x ＝10a.答案：10a2若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 0.18等于__________． 解析：lg 0.18＝lg 18－2＝2lg 3＋lg 2－2＝a ＋2b －2. 答案：a ＋2b －23已知＝1－aa，则log 23＝__________.解析：由条件得log 23＝a 1－a ，所以log 23＝2a 1－a.答案：2a1－a4计算：log 2748＋log 212－12log 242. 解：原式＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫743×12×17×6＝－12.5设x ，y ，z 为正数，且3x ＝4y ＝6z，求证：1z －1x ＝12y.证明：设3x ＝4y ＝6z＝k ，且x ，y ，z 为正数， 所以k ＞1.那么x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，所以1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y .所以1z －1x ＝12y.。

对数函数(一)
学习目标.理解对数函数的概念.掌握对数函数的性质.了解对数函数在生产实际中的简单应用．
知识点一对数函数的概念
思考已知函数＝，那么反过来，是否为关于的函数？
梳理一般地，叫做对数函数，它的定义域是．
知识点二对数函数的图象与性质
思考＝化为指数式是＝.你能用指数函数的单调性推导出对数函数的单调性吗？
梳理类似地，我们可以借助指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质定义＝(>，且≠)
底数><<
图象
定义域
值域
单调性在(，＋∞)上是单调增函数在(，＋∞)上是单调减函数共点性图象过点，即＝
函数值特点
∈()时∈；
∈[，＋∞)∈∈()时∈；
∈[，＋∞)时，∈。