云南省昆明市第三中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题

云南昆明三中2015—2016学年度上学期期末考试高二数学理试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“对任意，都有”的否定为( )A ．存在，使得 B.对任意，都有C.存在，都有D.不存在，使得2．阅读右面的程序框图，则输出的S=（ ）A.14B.30C.20D.553．双曲线与直线 (m ∈R)的公共点的个数为( )．A ．0B ．1C ．0或1D ．0或1或24.设满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则的最小值是（ ）A. B. C. D.5.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，，则6．若直线与圆相交与P ，Q 两点，且此圆被分成的两段弧长之比为，则的值为（ ）A ．或B ．C ．或D ．7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面中，面积最大的面的面积是（ ）A.8B.10C.D.8．执行如图所示的程序框图，如果输出，则判断框中应填（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知椭圆和双曲线有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为（ ）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．10. 若动圆过定点，且在轴上截得弦的长为，则动圆圆心的轨迹方程是 （ ）A. B.C. D.11.在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （ ）A.0()cos 2R θρρθ=∈=和B.()cos 22R πθρρθ=∈=和 C. ()cos 12R πθρρθ=∈=和 D.0()cos 1R θρρθ=∈=和12.如图，双曲线的左焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.以上情况都有可能第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．13. 圆锥曲线(t 为参数)的焦点坐标是 .14.过椭圆 ()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为15.如图,过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为16．球O 的球面上有四点S 、A 、B 、C ，其中O 、A 、B 、C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S －ABC 的体积的最大值为三、解答题：（共70分）17．（本小题满分10分）已知等差数列的首项，公差，前项和为，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：．18．（本小题满分12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，。

昆明三中2015——2016学年高二上学期期末考试试卷 理 科 数 学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为( )A ．存在0x R ∈，使得200x < B.对任意x R ∈，都有20x <C.存在0x R ∈，都有200x ≥D.不存在x R ∈，使得20x <2．阅读右面的程序框图，则输出的S=（ ）A.14B.30C.20D.553．双曲线1 ＝ 4－922y x 与直线m x －y ＋ 32＝(m ∈R)的公共点的个数为( )．A ．0B ．1C ．0或1D ．0或1或24.设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（ ）A.7-B.6-C.5-D.3-5.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥，,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥B ．若//αβ，,m n αβ⊂⊂，则//m nC ．若m n ⊥，,m n αβ⊂⊂，则αβ⊥D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥6．若直线1+=kx y 与圆122=+y x 相交与P ，Q 两点，且此圆被分成的两段弧长之比为1:2，则k 的值为（ ）A ．3-或3B ．3C ．2-或2D ．27．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面中，面积最大的面的面积是（ ）A.8B.10C.D.8．执行如图所示的程序框图，如果输出132=S ，则判断框中应填（ ）A ．?10≥iB ．?11≥iC ．?12≥iD ．?11≤i9．已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为（ ）Ａ．x y = Ｂ．y =Ｃ．x y = Ｄ．y = 10. 若动圆C 过定点(4,0)A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8，则动圆圆心C 的轨迹方程是 （ ）A. 28x y =B. 28(0)x y x =≠C. 28y x =D. 28(0)y x x =≠11.在极坐标系中，圆=2cos ρθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （ ）A.0()cos 2R θρρθ=∈=和B.()cos 22R πθρρθ=∈=和 C. ()cos 12R πθρρθ=∈=和 D.0()cos 1R θρρθ=∈=和 12.如图，双曲线12222=-by a x 的左焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.以上情况都有可能第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．13. 圆锥曲线22x t y t ⎧=⎨=⎩ (t为参数)的焦点坐标是 .14.过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为15.如图,过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为16．球O 的球面上有四点S 、A 、B 、C ，其中O 、A 、B 、C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S －ABC 的体积的最大值为三、解答题：（共70分）17．（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差1d =，前n 项和为n S ，且1n n b S =． （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求证：1232n b b b b ++++<．18．（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin cos c C c A =⋅-⋅。

【高二】年高二上册数学理科期中试卷（有答案）昆明三中-学年度高二年级上学期期中试题数学（科学）（共100分,考试时间120分钟）第一卷一、选择题（每小题3分，共36分.每小题只有一项是符合题目要求）1.如果抛物线y2=4x通过点P（3），则点P到抛物线焦点的距离等于（）a.94b．4c.134d．32.如果双曲线x2+y2=1的虚轴长度是实轴长度的两倍，则等于（）a．－14 b．－4 c．4 d.143.命题：“如果A2+B2=0（a，B∈ R），那么a=b=0“，反命题是（）a．若a≠b≠0(a，b∈r)，则a2＋b2≠0b、如果a=b≠ 0（a，B）∈ R）然后是A2+B2≠ 0c．若a≠0且b≠0(a，b∈r)，则a2＋b2≠0d、如果≠ 0或B≠ 0（a，B）∈ R），然后是A2+B2≠ 04.“>n>0”是“方程x2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )a、充分和不必要条件B.必要和充分条件c．必要而不充分条件d．既不充分也不必要条件5.已知点P是抛物线y2=4x上的点，点P到抛物线的距离是D1到直线的距离 x＋2y＋10＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是( )a、五,b、四,c、 1155d、 1156．设a∈r，则a＞1是1a＜1的( )a、充分但不必要的条件B.必要但不充分的条件c．充要条件d．既不充分也不必要条件7.如果已知椭圆X25+y2=1的偏心率e为105，则值为（）a3b．3或253c.15d.15或51538.假设向量a=（1,1,0），B=（-1,0,2），Ka+B和2a-B相互垂直，那么K的值是（）a．1b.15c.75d.359.如果双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的焦点到渐近线的距离等于焦距的14，双曲线的偏心率为（）a.5b.62c．233d.210.从抛物线y2=4x上的点P画出其引导线的垂直线，垂直脚为，让抛物线的焦点为f，PF=5，然后是△ PF是（）a．56b.2534c．20d．1011.在平面直角坐标系中，如果由不等式组x+Y-1表示的平面区域的面积≥ 0，X-1≤ 0，ax-y+1≥ 0（a是常数）等于2，则a的值为（）a．－5b．1c．2d．312.如果已知椭圆和双曲线的公共焦点，则椭圆的偏心率的值范围为昆明三中-学年度高二年级上学期期中试题数学（科学）第ⅱ卷问题一23总分1718192021分数二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分.）13.否定命题“任意x”∈ R、 x3-x2+1≤ 0“是；14．设实数满足，则的最大值是；15.通过椭圆X22+y2=1的右焦点，画一条倾斜角度为45°的直线L，并在a点和B点与椭圆相交。

2015-2016学年云南省昆明三中高三（上）第五次综合测试数学试卷（理科）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合A=｛x｜ln（x﹣l）＞0}，B=｛x｜x2≤9｝，则A∩B=（）A．(2，3) B．［2,3）C．（2,3］D．［2，3]2．已知i为虚数单位，复数满足(1+i）z=1﹣i，则||=（)A．B． C．D．23．如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞48 B．i＞24 C．i＜48 D．i＜244．已知命题p：函数y=2﹣a x+1（a＞0，a≠1)恒过定点（﹣1,1）：命题q：若函数f(x﹣1)为偶函数,则f（x)的图象关于直线x=1对称．下列命题为真命题的是（)A．p∧q B．¬p∧¬q C．¬p∧q D．p∧¬q5．已知｛a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0,dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞06．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（）A．B．4 C． D．57．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ｜＜）的图象如图所示，为得到g(x）=cosωx的图象，则只要将f（x）的图象（)A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度8．在区间[0,1］上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y ≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤"的概率，则（）A．P1＜P2＜P3B．P2＜P3＜P1C．P3＜P1＜P2 D．P3＜P2＜P19．已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=y﹣ax取得最大值时的唯一最优解是(1，3），则实数a的取值范围为（)A．（﹣∞，﹣1）B．（0，1）C．[1,+∞) D．（1,+∞)10．已知非零向量与满足且=．则△ABC为( ）A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形11．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为2，直线l与双曲线C交于A、B两点,线段AB中点M在第一象限，并且在抛物线y2=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，则直线l的斜率为( ) A．1 B．2 C． D．12．已知函数，则函数y=f[f（x）]+1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知，那么展开式中含x2项的系数为．14．设数列｛a n｝满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列｛｝的前10项的和为．15．已知a，b都是正实数，且满足log9（9a+b）=log3，则3a+b的最小值为．16．表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC体积的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为△ABC内角A，B,C的对边,且a=1，b+c=2,f（A）=1，求△ABC的面积．18．（1）某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N现从该省某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157。

昆明滇池中学高二上学期期中考数学试卷（文/理科） 第Ⅰ卷(共36分,答在答题卡上)一.选择题(本大题共12题,每小题3分,共36分) 1. 某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①.某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是( )A. ①用随机抽样法，②用系统抽样法B. ①用分层抽样法，②用随机抽样法C. ①用系统抽样法，②用分层抽样法D. ①用分层抽样法，②用系统抽样法2. 命题 “320,10x R x x ∃∈-+>”的否定是（ ）A ．32,10x R x x ∀∈-+≤， B ．0x R ∃∈，3210x x -+< C ．0x R ∃∈，3210x x -+≤ D ．不存在32,10x R x x ∈-+>3. 两条直线mx+y-1=0和2x+y+2=0互相平行的条件是( ) A.m=-2 B. m=1 C. m= -1 D. m=24.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球， 若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想获得中奖机会最大， 应选择的游戏盘是（ ）5.如果执行右边的程序框图，那么输出的S=（ ） A ．10 B ．22 C ．46 D ．946. 已知2z x y =-，式中变量x,y 满足约束条件13y xx y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z 的最大值为（ ）A. 3B.5C.6D.87. 经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ ） A.10x y ++= B.10x y +-= C.10x y -+= D.10x y --=8. 从一批产品中取出三件产品，设A= “三件产品全不是次品”，B= “三件产品全是次品”，C= “三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）A.A 与C 互斥B.B 与C 互斥C.任何两个事件均互斥D.任何两个事件均不互斥9. 已知直线l 的倾斜角为34π，直线l 1经过点A (3,2)和B (a ，－1)，且直线l 1与直线l 垂直，直线l 2的方程为2x ＋by ＋1＝0，且直线l 2与直线l 1平行，则a ＋b 等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．0D ．210. 对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10）得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断（ ）（图1） （图2）A.变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B.变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C.变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D.变量x 与y 负相关，u 与v 负相关11. 甲、乙两名同学在五次《数学基本能力》测试中，成绩统计用茎叶图表示如下，若甲、乙两人的平均成绩分别是X 甲、X 乙，则下列结论正确的是 ( )A ．X 甲＞X 乙，甲比乙成绩稳定B ．X 甲＞X 乙，乙比甲成绩稳定C ．X 甲＜X 乙，甲比乙成绩稳定D ．X 甲＜X 乙，乙比甲成绩稳定12.已知函数：c bx x x f ++=2)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，记函数)(x f 满足条件：(2)12(2)4f f ≤⎧⎨-≤⎩为事件为A ，则事件A 发生的概率为（ ） A ．14 B ． 58 C ． 12D ． 38昆明滇池中学2012----2013学年高二上学期期中考数学试卷（文/理科） 第Ⅱ卷(共64分,答在试卷上)二.填空题(本大题共4题,每小题3分,共12分)13．要从165个人中抽取15人进行身体检查，现采用分层抽样的方法进行抽取，若这165人中老年人的人数为22人，则老年人中被抽到参加健康检查的人数是_________.14．直线10x ++=的倾斜角为__________.15．设圆22450x y x +--=的弦的中点为P(3,1)则直线AB 的方程是__________16．已知直线:40l x y -+=与圆()()22:112C x y -+-=，则C 上各点到l 的距离的最大值为____。

昆明市高二上学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二上·潮阳期末) 已知圆（x+2）2+（y﹣2）2=a截直线x+y+2=0所得弦的长度为6，则实数a的值为（）A . 8B . 11C . 14D . 172. （2分） (2016高二上·桐乡期中) 已知直线m，n和平面α，满足m⊂α，n⊥α，则直线m，n的关系是（）A . 平行B . 异面C . 垂直D . 平行或异面3. （2分）各棱长均为a的三棱锥的表面积为（）A .B .C .D .4. （2分）垂直于直线与圆相切于第一象限的直线方程是（）A .B .C .D .5. （2分）如图，长方体中，，点分别是的中点，则异面直线与所成的角是（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°6. （2分） (2018高三上·大连期末) ①“两条直线没有公共点，，是两条直线异面”的必要不充分条件；②若过点作圆的切线有两条，则；③若，则；④若函数在上存在单调递增区间，则；以上结论正确的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分） (2016高一下·湖南期中) 下列说法正确的是（）①若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线和这个平面垂直；④垂直于同一直线的两平面互相平行．A . ①和②B . ②和③C . ②和④D . ③和④8. （2分）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体，使平面平面BCD，则下列结论正确的是A .B .C . 与平面所成的角为D . 四面体的体积为9. （2分） (2016高二下·六安开学考) 在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1中，已知AB=2，CC1= ，则异面直线AB1和BC1所成角的正弦值为（）A .B .C .D . 110. （2分）已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为正三角形，AB=2AD=4，则球O的表面积为（）A .B .C . 32πD . 64π11. （2分） (2016高二上·绵阳期中) 过点（1，1）的直线与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为（）A . 2B . 2C . 2D .12. （2分）已知点A（1，﹣2），B（5，6）到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值等于（）A . ﹣2或1B . 1或2C . ﹣2或﹣1D . ﹣1或2二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2018高二上·衢州期中) 圆 :关于直线与直线都对称，则＝________，若原点在圆外，则的取值范围是________．14. （1分）(2017·南通模拟) 在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：．若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是________．15. （1分）已知圆M过两点C（1，﹣1），D（﹣1，1）且圆心M在直线x+y﹣2=0上，设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B是切点，则四边形PAMB面积的最小值为________．16. （1分）若方程有两个不同的实根，则b的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）(2017·揭阳模拟) 已知图1中，四边形 ABCD是等腰梯形，AB∥CD，EF∥CD，DM⊥AB于M、交EF于点N，DN=3 ，MN= ，现将梯形ABCD沿EF折起，记折起后C、D为C'、D'且使D'M=2 ，如图2示．（Ⅰ）证明：D'M⊥平面ABFE；，（Ⅱ）若图1中，∠A=60°，求点M到平面AED'的距离．18. （10分）已知正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，M为AC上一点，N为BF 上一点，且AM=FN．（1）求证：MN∥平面CBE；（2）求证：MN⊥AB．19. （10分） (2017高二上·钦州港月考) 设直线与圆交于M、N两点，且M、N关于直线对称．（1）求m，k的值；（2）若直线与圆C交P，Q两点，是否存在实数a使得OP⊥OQ，如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．20. （10分） (2019高二上·哈尔滨期末) 如图，四棱锥的底面为菱形且，底面，（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在一点，使平面成立．如果存在，求出的长；如果不存在，请说明理由.21. （5分） (2015高二下·乐安期中) 如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（Ⅱ）若DE=A1E，试求二面角E﹣A1C﹣D的余弦值．22. （5分）如图，已知圆C的方程为：x2+y2+x﹣6y+m=0，直线l的方程为：x+2y﹣3=0．（1）求m的取值范围；（2）若圆与直线l交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、22-1、。

2015-2016学年云南省昆明三中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．一条直线的倾斜角的正弦值为，则此直线的斜率为（）A．B．±C．D．±2．设集合I={x||x|＜3，x∈Z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∪（C I B）=（）A．{1} B．{1，2} C．{2} D．{0，1，2} 3．两个球的半径之比为1：3，那么这两个球的表面积之比为（）A．1：9 B．1：27 C．1：3 D．1：34．圆x2+y2﹣2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切5．已知向量，满足||=3，||=2，且⊥（），则与的夹角为（）A．B．C．D．6．在等差数列{a n}中，已知a5=15，则a2+a4+a6+a8的值为（）A．30 B．45 C．60 D．1207．设x，y满足约束条件：，则z=x+y的最大值与最小值分别为（）A．，3 B．5，C．5，3 D．4，38．一几何体的三视图如下，则它的体积是（）A．B．C．D．9．过坐标原点且与点（，1）的距离都等于1的两条直线的夹角为（）A．90°B．45°C．30°D．60°10．如图，一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为（）A．B．1﹣C．1﹣D．1﹣11．已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．12．在2010年3月15日那天，哈市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x 9 9.5 10 10.5 11销售量y 11 10 8 6 5由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是；y=﹣3.2x+a，（参考公式：回归方程；y=bx+a，a=﹣b），则a=（）A．﹣24 B．35.6 C．40.5 D．40二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．若tanα=﹣，且α∈（0，π），则sin（+α）= ．14．直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|= ．15．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=7：8：13，则C= 度．16．已知x，y满足则的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题；共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知圆C的圆心坐标为（2，0），且圆C与直线x﹣y+2=0相切，求圆C的方程．18．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥AC．（1）求证：AB⊥平面SAC；（2）设SA=AB=AC=1，求点A到平面SBC的距离．19．从一条生产线上每隔30分钟取一件产品，共取了n件，测得其产品尺寸后，画出其频率分布直方图如图，已知尺寸在[15，45）内的频数为92．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求尺寸在[20，25]内产品的个数；（Ⅲ）估计尺寸大于25的概率．20．某班有男生33人，女生11人，现按照分层抽样的方法建立一个4人的课外兴趣小组．（Ⅰ）求课外兴趣小组中男、女同学的人数；（Ⅱ）老师决定从这个课外兴趣小组中选出2名同学做某项实验，选取方法是先从小组里选出1名同学，该同学做完实验后，再从小组里剩下的同学中选出1名同学做实验，求选出的2名同学中有女同学的概率；（Ⅲ）老师要求每位同学重复5次实验，实验结束后，第一位同学得到的实验数据为68，70，71，72，74，第二位同学得到的实验数据为69，70，70，72，74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．21．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．22．等比数列{a n}的前n项和为S n，，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列的前n项和T n．2015-2016学年云南省昆明三中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．一条直线的倾斜角的正弦值为，则此直线的斜率为（）A．B．±C．D．±【考点】直线的斜率．【分析】根据倾斜角的正弦值，由倾斜角的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出倾斜角的余弦函数值，然后求出倾斜角的正切值即为此直线的斜率．【解答】解：由sinα=（0≤α＜π），得cosα=±．所以k=tanα==±．故选：B．【点评】本题考查直线的倾斜角以及同角三角函数的基本关系式的应用，直线的斜率的求法，是基础题．2．设集合I={x||x|＜3，x∈Z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∪（C I B）=（）A．{1} B．{1，2} C．{2} D．{0，1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】把集合A用列举法表示，然后求出C I B，最后进行并集运算．【解答】解：因为I={x||x|＜3，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，所以，C I B={0，1}，又因为A={1，2}，所以A∪（C I B）={1，2}∪{0，1}={0，1，2}．故选D．【点评】本题考查了并集和补集的混合运算，考查了学生对集合运算的理解，是基础题．3．两个球的半径之比为1：3，那么这两个球的表面积之比为（）A．1：9 B．1：27 C．1：3 D．1：3【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】利用球的表面积公式，直接求解即可．【解答】解：两个球的半径之比为1：3，又两个球的表面积等于两个球的半径之比的平方，（球的面积公式为：4πr2）则这两个球的表面积之比为1：9．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题．4．圆x2+y2﹣2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题．【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r和R+r的值，判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．【解答】解：把圆x2+y2﹣2x=0与圆x2+y2+4y=0分别化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，x2+（y+2）2=4，故圆心坐标分别为（1，0）和（0，﹣2），半径分别为R=2和r=1，∵圆心之间的距离d=，R+r=3，R﹣r=1，∴R﹣r＜d＜R+r，则两圆的位置关系是相交．故选C【点评】圆与圆的位置关系有五种，分别是：当0≤d＜R﹣r时，两圆内含；当d=R﹣r时，两圆内切；当R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；当d=R+r时，两圆外切；当d＞R+r时，两圆外离（其中d表示两圆心间的距离，R，r分别表示两圆的半径）．5．已知向量，满足||=3，||=2，且⊥（），则与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】设与的夹角为θ，根据⊥（），则有（）=0，利用向量的运算性质，即可求出cosθ=﹣，结合向量夹角的取值范围，即可求得答案．【解答】解：设与的夹角为θ，∵⊥（），则（）=0，∴||2+=0，即||2+||||cosθ=0，又∵||=3，||=2，∴32+3×2cosθ=0，则cosθ=﹣，又∵θ∈[0，π]，∴θ=，故与的夹角为．故选：D．【点评】本题考查了数量积求两个向量的夹角，数量积判断两个向量的垂直关系．根据数量积的定义可以求解两个向量的夹角，注意两个向量的夹角要共起点所形成的角，熟悉向量夹角的取值范围为[0，π]，其中夹角为0时，两向量同向，夹角为π时，两向量反向．两个向量互相垂直，则其数量积为0．属于中档题．6．在等差数列{a n}中，已知a5=15，则a2+a4+a6+a8的值为（）A．30 B．45 C．60 D．120【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等差数列的性质进行求解即可．【解答】解：在等差数列{a n}中，若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q，∴a2+a4+a6+a8=（a2+a8）+（a4+a6）=2a5+2a5=4a5=4×15=60．故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质，以及利用等差数列的性质进行计算，要求熟练掌握等差数列的性质：在等差数列{a n}中，若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q．7．设x，y满足约束条件：，则z=x+y的最大值与最小值分别为（）A．，3 B．5，C．5，3 D．4，3【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；不等式的解法及应用；不等式．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（2，3），代入目标函数z=x+y得z=2+3=5．即目标函数z=x+y的最大值为5．当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（1，2），代入目标函数z=x+y得z=1+2=3．即目标函数z=x+y的最小值为3．故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．8．一几何体的三视图如下，则它的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】几何体是一个简单组合体，上面是一个圆锥，圆锥的高是a，底面直径是2a，这些都比较好看出，再根据圆锥的体积公式，得到结果，下面是一个特正方体，棱长是a，做出体积把两个体积相加得到结果．【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，上面是一个圆锥，圆锥的高是a，底面直径是2a，∴圆锥的体积是=，下面是一个棱长是a的正方体，正方体的体积是a3，∴空间几何体的体积是，故选A．【点评】本题考查由三视图求空间组合体的体积，解题的关键是看清题目的个部分的长度，特别是椎体，注意条件中所给的是锥体的高，还是母线长，这两个注意区分．9．过坐标原点且与点（，1）的距离都等于1的两条直线的夹角为（）A．90°B．45°C．30°D．60°【考点】点到直线的距离公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】设所求直线方程为kx﹣y=0，利用点到直线距离公式求出k=0或k=，由此能求出这两条直线的夹角．【解答】解：当所求直线的斜率不存在时，直线方程为x=0，点（，1）的距离都等于，不成立；当所求直线的斜率k存在时，设所求直线方程为y=kx，即kx﹣y=0，∵所求直线与点（，1）的距离等于1，∴=1，解得k=0或k=，∴这两条直线的夹角为60°．故选：D．【点评】本题考查两直线夹角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．10．如图，一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为（）A．B．1﹣C．1﹣D．1﹣【考点】几何概型．【分析】求出三角形的面积；再求出据三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对理事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率．【解答】解：三角形ABC的面积为离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为所以其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为P=1﹣故选D【点评】本题考查几何概型概率公式、对立事件概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式．11．已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，由，解得，即C（1，﹣1），∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，∴﹣1=﹣2a，解得a=．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．12．在2010年3月15日那天，哈市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x 9 9.5 10 10.5 11销售量y 11 10 8 6 5由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是；y=﹣3.2x+a，（参考公式：回归方程；y=bx+a，a=﹣b），则a=（）A．﹣24 B．35.6 C．40.5 D．40【考点】线性回归方程．【专题】计算题．【分析】先求出横标和纵标的平均数，根据a=﹣b，把所求的平均数和方程中出现的b 的值代入，求出a的值．题目中给出公式，只要代入求解即可，得到结果．【解答】解：∵a=﹣b=8﹣（﹣3.2）10=40，故选D．【点评】本题考查线性回归方程的应用，是一个运算量比较小的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，不然会前功尽弃．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．若tanα=﹣，且α∈（0，π），则sin（+α）= ．【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的求值．【分析】由已知利用同角三角函数的基本关系式求解．【解答】解：∵tanα=﹣，且α∈（0，π），secα==．∴sin（+α）=cosα=．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的化简与求值，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．14．直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|= 2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】可以直接求出A、B然后求值；也可以用圆心到直线的距离来求解．【解答】解：圆心为（0，0），半径为2，圆心到直线x﹣2y+5=0的距离为d=，故，得|AB|=2．故答案为：2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的理解能力，是基础题．15．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=7：8：13，则C= 120 度．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想．【分析】利用正弦定理可将sinA：sinB：sinC转化为三边之比，进而利用余弦定理求得cosC，故∠C可求．【解答】解：∵由正弦定理可得sinA：sinB：sinC=a：b：c，∴a：b：c=7：8：13，令a=7k，b=8k，c=13k（k＞0），利用余弦定理有cosC===，∵0°＜C＜180°，∴C=120°．故答案为120．【点评】此题在求解过程中，先用正弦定理求边，再用余弦定理求角，体现了正、余弦定理的综合运用．16．已知x，y满足则的取值范围是[﹣1，] ．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合．【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与（4，1）构成的直线的斜率问题，求出斜率的取值范围，从而求出目标函数的取值范围．【解答】解：由于z==，由x，y满足约束条件所确定的可行域如图所示，考虑到可看成是可行域内的点与（4，1）构成的直线的斜率，结合图形可得，当Q（x，y）=A（3，2）时，z有最小值1+2×=﹣1，当Q（x，y）=B（﹣3，﹣4）时，z有最大值1+2×=，所以﹣1≤z≤．故答案为：[﹣1，]【点评】本题考查线性规划问题，难点在于目标函数几何意义，近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．三、解答题：本大题共6小题；共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知圆C的圆心坐标为（2，0），且圆C与直线x﹣y+2=0相切，求圆C的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由点到直线的距离公式，算出点（2，0）与直线x﹣y+2=0的距离，得出所求圆的半径，即可写出所求圆的标准方程．【解答】解：点（2，0）与直线x﹣y+2=0的距离为d==2，∵直线x﹣y+2=0与圆相切，∴圆的半径为2，可得圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=4．【点评】本题求以定点为圆心，且与已知直线相切的圆方程．着重考查了圆的标准方程和点到直线的距离公式等知识，属于基础题．18．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥AC．（1）求证：AB⊥平面SAC；（2）设SA=AB=AC=1，求点A到平面SBC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可；（2）作出辅助线，求出BC，SD的长，从而求出点到面的距离．【解答】证明：（1）∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，∵AB⊥AC，∴AB⊥平面SAC；（2）如图，做AD⊥BC，交点为D，连接SD，做AE⊥SD，交点为E，∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥BC，∵AD⊥BC，∴BC⊥平面SAD，∴BC⊥AE，∵AE⊥SD，∴AE⊥平面SBC，∴AE的长度是A到平面SBC的距离，由勾股定理得BC=，（面积相等）AD×BC=AB×AC=1，∴AD=，勾股定理得SD=，（面积相等）SA×AD=AE×SD，即=AE×，∴AE=，∴A到平面SBC的距离为．【点评】本题考查了线面垂直的判定定理，考查了距离的计算，是一道中档题．19．从一条生产线上每隔30分钟取一件产品，共取了n件，测得其产品尺寸后，画出其频率分布直方图如图，已知尺寸在[15，45）内的频数为92．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求尺寸在[20，25]内产品的个数；（Ⅲ）估计尺寸大于25的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ由频率分布直方图中概率和为1，由此能求出n．（Ⅱ）由频率分布直方图，先求出尺寸在[20，25]内产品的频率，再计算尺寸在[20，25]内产品的个数．（Ⅲ）根据频率分布直方图，利用对立事件概率公式能估计尺寸大于25的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵尺寸在[15，45）内的频数为92，∴由频率分布直方图，得（1﹣0.016×5）n=92，解得n=100．（Ⅱ）由频率分布直方图，得尺寸在[20，25]内产品的频率为0.04×5=0.2，∴尺寸在[20，25]内产品的个数为0.2×100=20．（Ⅲ）根据频率分布直方图，估计尺寸大于25的概率为：p=1﹣（0.016+0.020+0.040）×5=1﹣0.076×5=0.62．【点评】本题考查频率直方图的应用，考查概率的求法，则基础题，解题时要认真审题，注意频率直方图的性质的合理运用．20．某班有男生33人，女生11人，现按照分层抽样的方法建立一个4人的课外兴趣小组．（Ⅰ）求课外兴趣小组中男、女同学的人数；（Ⅱ）老师决定从这个课外兴趣小组中选出2名同学做某项实验，选取方法是先从小组里选出1名同学，该同学做完实验后，再从小组里剩下的同学中选出1名同学做实验，求选出的2名同学中有女同学的概率；（Ⅲ）老师要求每位同学重复5次实验，实验结束后，第一位同学得到的实验数据为68，70，71，72，74，第二位同学得到的实验数据为69，70，70，72，74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．【考点】分层抽样方法．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）由分层抽样能求出男生、女生分别应抽取多少人．（Ⅱ）选出的2名同学中有女同学的情况包含两种情况：第1次选出女生第2次选出男生，第一次选出男生第二次选出女生，由此能求出结果．（Ⅲ）分别求出第一位同学所得数据的平均数、方差和第二位同学所得数据的平均数、方差，由此能判断第二位同学的实验更稳定．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵某班有男生33人，女生11人，现按照分层抽样的方法建立一个4人的课外兴趣小组．∴由分层抽样得：男生应抽取=3人；女生应抽取=1人．（Ⅱ）选出的2名同学中有女同学的概率：p==0.5．（Ⅲ）第一位同学所得数据的平均数：=（68+70+71+72+74）=71，第一位同学所得数据的方差：= [（68﹣71）2+（70﹣71）2+（71﹣71）2+（71﹣71）2+（74﹣71）2]=4，第二位同学所得数据的平均数：=（69+70+70+72+74）=71，第fg 位同学所得数据的方差：= [（69﹣71）2+（70﹣71）2+（70﹣71）2+（72﹣71）2+（74﹣71）2]=3.2，∵，＜，∴第二位同学的实验更稳定．【点评】本题考查分层抽样的性质，考查概率的求法，考查平均数及方法的应用，是中档题，解题时要注意互斥事件加法公式的合理运用．21．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】解三角形．【专题】解三角形．【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．【解答】解：（1）∵=2csinA∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴，又∵C锐角，∴（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积得．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．22．等比数列{a n}的前n项和为S n，，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列的前n项和T n．【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）设等比数列的公比为q，根据，建立关于q的等式，从而可求出数列{a n}的通项公式；（2）先求出数列{b n}的通项公式，然后根据数列的通项的特点利用裂项求和法进行求和即可．【解答】解：（1）设等比数列的公比为q，由题意，，所以，即，因此．（2），所以，=．【点评】本小题主要考查运用数列基础知识求解数列的通项公式，其中还包括对数的运算与裂项求和的应用技巧，属于基础题．。

2015-2016学年云南省昆明三中高三（上）第三次综合测试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案涂在答题卡上．1．设集合U={x|x＜3}，A={x|x＜2}，则∁U A=( )A．{x|2≤x＜3} B．{x|2＜x≤3} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x≥2}2．i是虚数单位，复数表示的点落在哪个象限( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．如图是一个程序框图，运行这个程序，则输出的结果为( )A．B．C．D．4．“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．把函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是( )A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x﹣）C．y=cos2x D．y=﹣cos2x6．已知F1和F2分别是双曲线的左、右焦点，P是双曲线左支的一点，PF1⊥PF2，PF1=c，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．D．7．如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P 在球面上，如果，则求O的表面积为( )A．4πB．8πC．12πD．16π8．函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=( )A．10 B．8 C．D．9．已知数列{a n}的通项公式为a n=log2（n∈N），设其前n项和为S n，则使S n＜﹣5成立的自然数n( )A．有最小值63 B．有最大值63 C．有最小值31 D．有最大值3110．如图，半圆的直径AB=4，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是( )A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣211．设f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，当n∈N时，f（n）∈N，且f[f（n）]=2n+1，则f（1）+f（2）+…+f（7）=( )A．39 B．40 C．43 D．4612．已知函数f（x），当x∈（0，1]时满足如下性质：f（x）=2lnx且，若在区间内，函数g（x）=f（x）﹣ax，有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在等差数列{a n}中，已知前20项之和S200=170，则a5+a16=__________．14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=__________．15．已知直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于不同的两点A、B，O是坐标原点，，那么实数m的取值范围是__________．16．如图，在面积为1的正△A1B1C1内作正△A2B2C2，使，，，依此类推，在正△A2B2C2内再作正△A3B3C3，…．记正△A i B i C i的面积为a i（i=1，2，…，n），则a1+a2+…+a n=__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在数列{a n}中，a1=1，．（Ⅰ）求证数列{a n}为等差数列，并求它的通项公式；（Ⅱ），求证：．18．已知，，．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当时，f（x）的最大值为，且在此范围内，关于x的方程f（x）=k恰有2个解，确定a的值，并求k的范围．19．如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AB的中点，MA⊥平面ABCD，且在矩形ADNM中，AD=2，．（1）求证：AC⊥BN；（2）求证：AN∥平面MEC；（3）求二面角M﹣EC﹣D的大小．20．如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（2）试比较20142015与20152014的大小，并说明理由；（3）是否存在k∈Z，使得kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ．（1）求直线l与曲线C的平面直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若|AB|=8，求α的值．2015-2016学年云南省昆明三中高三（上）第三次综合测试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案涂在答题卡上．1．设集合U={x|x＜3}，A={x|x＜2}，则∁U A=( )A．{x|2≤x＜3} B．{x|2＜x≤3} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x≥2}【考点】补集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由集合U={x|x＜3}，A={x|x＜2}，求出A的补集即可．【解答】解：∵集合U={x|x＜3}，A={x|x＜2}，∴∁U A={x|2≤x＜3}．故选：A．【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．i是虚数单位，复数表示的点落在哪个象限( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义，利用复数的基本运算先化简即可得到结论．【解答】解：==﹣3﹣8i，对应的坐标为（﹣3，﹣8），位于第三象限，故选：C【点评】本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算先化简是解决本题的关键．3．如图是一个程序框图，运行这个程序，则输出的结果为( )A．B．C．D．【考点】循环结构．【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环x y z循环前/1 1 2第一圈是1 2 3第二圈是2 3 5第三圈是3 5 8第四圈否故最终的输出结果为：故选D．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．4．“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；综合题．【分析】分别解出2a＞2b，log2a＞log2b中a，b的关系，然后根据a，b的范围，确定充分条件，还是必要条件．【解答】解：2a＞2b⇒a＞b，当a＜0或b＜0时，不能得到log2a＞log2b，反之由log2a＞log2b即：a＞b＞0可得2a＞2b成立．故选B．【点评】本题考查对数函数的单调性与特殊点，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题．5．把函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是( )A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x﹣）C．y=cos2x D．y=﹣cos2x【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律以及诱导公式求得所得图象的解析式．【解答】解：把函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是y=sin2（x+）=cos2x，故选C．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．6．已知F1和F2分别是双曲线的左、右焦点，P是双曲线左支的一点，PF1⊥PF2，PF1=c，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由|PF1|=c，结合双曲线的定义得到|PF2|，再根据PF1⊥PF2，由勾股定理列式得到关于a，c的方程，整理得到关于e的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：因为P是双曲线左支的一点，又|PF1|=c，所以|PF2|=2a+c，又PF1⊥PF2，所以，即c2+（2a+c）2=4c2，c2﹣2ac﹣2a2=0．e2﹣2e﹣2=0．解得（舍），或e=．故选C．【点评】本题考查的是双曲线的简单性质，考查了双曲线的定义，解答的关键是得到关于a，c的关系式，此题是中档题．7．如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P 在球面上，如果，则求O的表面积为( )A．4πB．8πC．12πD．16π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；综合题．【分析】由题意可知，PO⊥平面ABCD，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，S ABCD=2R2，，所以，R=2，球O的表面积是16π，故选D．【点评】本题考查球的内接体问题，球的表面积、体积，考查学生空间想象能力，是基础题．8．函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=( )A．10 B．8 C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正切函数．【专题】计算题．【分析】由解析式求出函数的周期与最值，做出辅助线过p作PD⊥x轴于D，根据周期的大小看出直角三角形中直角边的长度，解出∠APD与∠BPD的正切，利用两角和的正切函数求出tan∠APB．【解答】解：函数y=sin（πx+φ）∴T=，最大值为1，过p作PD⊥x轴于D，则AD是四分之一个周期，有AD=，DB=，DP=1，在直角三角形中有tan∠APD=与tan∠BPD=，所以tan∠APB=tan（∠APD+∠BPD）==8．故选B．【点评】本题考查三角函数的图象的应用与两角和的正切函数公式的应用，本题解题的关键是看出函数的周期，把要求正弦的角放到直角三角形中，利用三角函数的定义得到结果，本题是一个中档题目．9．已知数列{a n}的通项公式为a n=log2（n∈N），设其前n项和为S n，则使S n＜﹣5成立的自然数n( )A．有最小值63 B．有最大值63 C．有最小值31 D．有最大值31【考点】数列的求和．【专题】常规题型．【分析】先有{a n}的通项公式和对数的运算性质，求出S n，再把S n＜﹣5转化为关于n的不等式即可．【解答】解：∵a n=log2，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=log2+log2+…+log2=log2=log2，又因为S n＜﹣5=log2⇒⇒n＞62，故使S n＜﹣5成立的正整数n有最小值：63故选 A【点评】本题考查了数列的求和以及对数的运算性质，是一道基础题．10．如图，半圆的直径AB=4，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是( )A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】根据O为AB的中点，我们易得=，又由OPC 三点共线，故为定值，根据基本不等式，我们易得的最小值．【解答】解：因为O为AB的中点，所以，从而则==；又为定值，所以当且仅当，即P为OC的中点时，取得最小值是﹣2，故选D．【点评】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，基本不等式，根据O为AB的中点，将化为，进而转化为一个基本不等式问题是解答本题的关键．11．设f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，当n∈N时，f（n）∈N，且f[f（n）]=2n+1，则f（1）+f（2）+…+f（7）=( )A．39 B．40 C．43 D．46【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用；推理和证明．【分析】利用函数单调递增及n∈N时，f（n）∈N，通过赋值法，和简单的逻辑推理，即可得到f（4）的值．【解答】解：由f[f（n）]=2n+1，令n=1，2得：f[f（1）]=3，f[f（2）]=5．∵当n∈N时，f（n）∈N，且f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，①若f（1）=1，则由f[f（1）]=3得：f（1）=3，与单调递增矛盾，故不成立；②若f（1）=2，则f（2）=3，则f（3）=5，则f（5）=7，则f（3）＜f（4）＜f（5）即5＜f（4）＜7，∴f（4）=6．f（6）=f（f（4））=2×4+1=9，f（7）=f（f（5））2×5+1=11．∴f（1）+f（2）+…+f（7）=2+3+5+6+7+9+11=43．故选：C．【点评】本题考查函数的单调性，抽象函数的应用，以及赋值法，考查推理能力，属于中档题．12．已知函数f（x），当x∈（0，1]时满足如下性质：f（x）=2lnx且，若在区间内，函数g（x）=f（x）﹣ax，有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )A．B．C．D．【考点】函数零点的判定定理．【专题】分类讨论；分类法；函数的性质及应用．【分析】若函数g（x）=f（x）﹣ax，有三个不同的零点，则函数y=f（x）和y=ax的图象有三个不同的交点，根据已知求出函数的解析式，利用导数法，求出两图象相切时的临界值，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）当x∈（0，1]时满足如下性质：f（x）=2lnx且，∴在区间内，f（x）=，∵f（1）=0，f（3）=﹣4ln3，若y=ax的图象过（3，﹣4ln3）则a=，若y=ax的图象与f（x）=﹣4lnx，x∈[1，3]相切于（b，﹣4lnb）点，则切线方程为：y+4lnb=（x﹣b），即4lnb=4，b=e，此时a=若函数g（x）=f（x）﹣ax，有三个不同的零点，则函数y=f（x）和y=ax的图象有三个不同的交点，则a∈，故选：B．【点评】此题充分利用了分类讨论的思想，是一道综合题，将函数零点问题，转化为函数图象交点个数问题，是解答的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在等差数列{a n}中，已知前20项之和S200=170，则a5+a16=17．【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，前20项之和S20=170，∴S20==10（a5+a16）=170，∴a5+a16=17．故答案为：17．【点评】本题考查等差数列中两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=．【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．【分析】先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系，再运用两角和与差的正弦公式化简可得到sinBcosA=sinB，进而可求得cosA的值．【解答】解：由正弦定理，知由（b﹣c）cosA=acosC可得（sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，∴sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∴cosA=．故答案为：【点评】本题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦公式的应用．考查对三角函数公式的记忆能力和综合运用能力．15．已知直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于不同的两点A、B，O是坐标原点，，那么实数m的取值范围是．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题．【分析】根据直线与圆有两个交点可推断出圆心到直线的距离小于或等于半径，根据，利用平行四边形法则推断出和的夹角为锐角，利用直线的斜率可推断出其与x轴的夹角，看当和的夹角为直角时求得原点到直线的距离，进而可推断出d＞1，最后综合可得d范围，然后过原点作一直线与x+y+m=0垂直，两直线交点可得，进而求得d和m的关系，进而根据d的范围求得m的范围．【解答】解：∵直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于相异两点A、B，∴O点到直线x+y+m=0的距离d＜，又∵，由平行四边形可知，夹角为钝角的邻边所对的对角线比夹角为锐角的邻边所对的对角线短，∴和的夹角为锐角．又∵直线x+y+m=0的斜率为﹣1，即直线与x的负半轴的夹角为45度，当和的夹角为直角时，直线与圆交于（﹣，0）、（0，﹣），此时原点与直线的距离为1，故d＞1综合可知1≤d＜，过原点作一直线与x+y+m=0垂直，即y=x，两直线交点为（﹣，﹣），则d=|m|综上有：﹣2＜m≤﹣或≤m＜2故答案为：【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质，向量的几何意义等．考查了学生分析问题和解决问题的能力．16．如图，在面积为1的正△A1B1C1内作正△A2B2C2，使，，，依此类推，在正△A2B2C2内再作正△A3B3C3，…．记正△A i B i C i的面积为a i（i=1，2，…，n），则a1+a2+…+a n=．【考点】数列的求和．【专题】计算题．【分析】先利用边长之间的关系得出三角形的面积组成以1为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式进行求和【解答】解：由，，，∴tanB1=，∴=tanB1•||=||，∴，进而，…（i=1，2，…，n），根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得：S i+1=3S i（i=1，2，…，n），即所作三角形的面积构成以1为项，以为公比的等比数列∴a1+a2+…+a n==故答案为：【点评】本题主要考查等比数列的和的求解，关键是从实际问题中抽象出等比数列的模型，进而再利用等比数列的求和公式三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在数列{a n}中，a1=1，．（Ⅰ）求证数列{a n}为等差数列，并求它的通项公式；（Ⅱ），求证：．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（I），化为a n+1﹣a n=2，即可证明；（II）当n≥2时，=＜=．利用“裂项求和”与“放缩法”即可证明．【解答】证明：（I）∵，化为a n+1﹣a n=2，∴数列{a n}为等差数列，首项为1，公差为2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（II）当n≥2时，=＜=．∴b1+b2+…+b n+…+=1+．当n=1时也成立，∴．【点评】本题考查了“裂项求和”、等差数列的通项公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知，，．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当时，f（x）的最大值为，且在此范围内，关于x的方程f（x）=k恰有2个解，确定a的值，并求k的范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．【专题】数形结合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）运用数量积的坐标计算公式，辅助角公式化简函数式，再求最小正周期和单调区间；（2）根据自变量的范围得出函数的最值，求出a，再结合函数图象求k的范围．【解答】解：（1）f（x）=2cos2x+sin2x+a=cos2x+sin2x+a+1=sin（2x+）+a+1，该函数的最小正周期为：π，令2x+∈[2kπ﹣，2kπ+]，解得x∈[kπ﹣，kπ+]；所以，f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（2）当x∈[0，]时，2x+∈[，π]，此时，sin（2x+）∈[0，1]，所以，f（x）max=+a+1=，解得a=﹣1，因此，f（x）=sin（2x+），要使f（x）=k在x∈[0，]内恰有两解，结合正弦函数图象知，k∈[f（0），f（）），即k∈[1，），故实数k的取值范围为[1，）．【点评】本题主要考查了向量的数量积，三角函数恒等变换，三角函数的图象与性质，以及运用函数图象解决根的个数问题，属于中档题．19．如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AB的中点，MA⊥平面ABCD，且在矩形ADNM中，AD=2，．（1）求证：AC⊥BN；（2）求证：AN∥平面MEC；（3）求二面角M﹣EC﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）通过连接BD，证明AC⊥平面NDB，利用BN⊂平面NDB，从而证明AC⊥BN；（2）利用CM与BN交于F，连接EF．证明AN∥EF，通过直线与平面平行的判定定理证明AN∥平面MEC；（3）通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，设平面MEC的法向量为=（x，y，z）．利用求出向量，求出平面ADE的法向量，利用，求出二面角M﹣EC﹣D的大小．【解答】（共14分）解：（1）证明：连接BD，则AC⊥BD．由已知DN⊥平面ABCD，因为DN∩DB=D，所以AC⊥平面NDB．…又因为BN⊂平面NDB，所以AC⊥BN．…（2）CM与BN交于F，连接EF．由已知可得四边形BCNM是平行四边形，所以F是BN的中点．因为E是AB的中点，所以AN∥EF．…又EF⊂平面MEC，AN⊄平面MEC，所以AN∥平面MEC．…（3）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DE⊥AB．如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），，C（0，2，0），.，．…，设平面MEC的法向量为=（x，y，z）．则所以令x=2．所以．…，又平面ADE的法向量=（0，0，1），所以．．所以二面角M﹣EC﹣D的大小是60°．…（14分）【点评】本题考查直线与平面垂直的性质，直线与平面平行的判断，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．20．如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆E的方程．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m≠0，△=0，进而可得P（，），由得Q（4，4k+m），取k=0，m=；k=，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a=8，∴a=2∵e=，∴c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0∴4k2﹣m2+3=0①此时x0==，y0=，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）【点评】本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．21．已知函数f（x）=（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（2）试比较20142015与20152014的大小，并说明理由；（3）是否存在k∈Z，使得kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）由求导公式求出导数，再由切线的方程得f′（1）=1，列出方程求出a的值，代入函数解析式和导数，分别求出f′（x）＞0、f′（x）＜0对应的x的范围，即求出函数f （x）的单调区间；（2）解法一：根据函数f（x）的单调性得：＞，由对数的运算律、单调性化简即可，解法二：将化为：，由二项式定理化简=，再由放缩法和裂项相消法进行化简；（3）先将kx＞f（x）+2分离出k：，构造函数g（x）=，再求出此函数的导数g′（x）并化简，再构造函数并二次求导，通过特殊函数值的符号，确定函数零点所在的区间，列出表格判断出g（x）的单调性，从而求出g（x）的最大值，再由自变量的范围确定出g（x）的最大值的范围，从而求出满足条件的k的最小值．【解答】解：（1）依题意，（x＞0），所以=，由切线方程得f′（1）=1，即=1，解得a=0，此时（x＞0），，令f′（x）＞0得，1﹣lnx＞0，解得0＜x＜e；令f′（x）＜0得，1﹣lnx＜0，解得x＞e，所以f（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）．（2）解法一：由（1）知，函数f（x）在（e，+∞）上单调递减，所以f＞f，即＞，则2015ln2014＞2014ln2015，所以ln20142015＞ln20152014，即20142015＞20152014解法二：=，因为==1+1+++…+＜2+＜2+＜2+（1﹣）+（）+…+（﹣）=3﹣＜3，所以，所以20142015＞20152014．（3）若kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立，则，记g（x）=，只需k＞g（x）max．又=，记h（x）=1﹣2x﹣2lnx（x＞0），则，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减．又h（1）=﹣1＜0，=1﹣+ln2＞1﹣+ln2=ln＞0，所以存在唯一，使得h（x0）=0，即1﹣2x0﹣2lnx0=0，x （0，x0）x0（x0，+∞）h（x）+ 0 ﹣g′（x）+ 0 ﹣g（x）↗极大值↘所以g（x）max=g（x0）=，又因为1﹣2x0﹣2lnx0=0，所以2x0+2lnx0=1，所以g（x0）===，因为，所以，所以，（13分）又g（x）max≥g（1）=2，所以，因为k＞g（x）max，即k＞g（x0），且k∈Z，故k的最小整数值为3．所以存在最小整数k=3，使得kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立．（14分）【点评】本题考查导数的几何意义，导数与函数的单调性、最值之间的关系，恒成立问题转化为求函数的最值，以及构造法、二次求导判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力，化简计算能力．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ．（1）求直线l与曲线C的平面直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若|AB|=8，求α的值．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】直线与圆．【分析】（1）先利用消去参数t得到曲线C的直角坐标方程．再将原极坐标方程ρcos2θ=4sinθ两边同时乘以ρ，利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其直角坐标方程；（2）将代入曲线C的标准方程：x2=4y得：t2cos2α﹣4tsinα﹣4=0，利用直线的参数方程中t的几何意义结合根与系数的关系建立关于α的方程即可求出求出α的值．【解答】解：（1）消去参数t，得直线l的直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+cosα=0．曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ，即ρ2cos2θ=4ρsinθ，曲线C的标准方程：x2=4y．（2）将代入曲线C的标准方程：x2=4y得：t2cos2α﹣4tsinα﹣4=0，∴|AB|=|t1﹣t2|==8，∴cosα=．∴或．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．古今名言敏而好学，不耻下问——孔子业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随——韩愈兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子己所不欲，勿施于人——孔子读书破万卷，下笔如有神——杜甫读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修读万卷书，行万里路——刘彝黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦书犹药也，善读之可以医愚——刘向莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄声明访问者可将本资料提供的内容用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本文档及相关权利人的合法权利。

昆明三中高二年级上学期期中试题数 学（理）（共100分, 考试时间120分钟）第Ⅰ卷一、 选择题（每小题3分，共36分. 每小题只有一项是符合题目要求）1．抛物线y 2＝4x ，经过点P (3，m )，则点P 到抛物线焦点的距离等于 ( )A.94 B ．4 C.134 D ．32．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于 ( )A ．－14B ．－4C ．4 D.143．命题：“若a 2＋b 2＝0(a ，b ∈R )，则a ＝b ＝0”的逆否命题是 ( )A ．若a ≠b ≠0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0B ．若a ＝b ≠0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0C ．若a ≠0且b ≠0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0或b ≠0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠04.“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的 ( )A ．充分而不必要条件B ． 充要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上一点，设点P 到此抛物线准线的距离为d 1，到直线 x ＋2y ＋10＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是 ( )A ．5B ．4 C.1155 D.1156．设a ∈R ，则a ＞1是1a＜1的 ( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为 ( )A3 B ．3或253 C.15 D.15或51538．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( )A ．1 B.15 C. 75 D. 359. 若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，求该双曲线的离心率是( ) A. 5B.62C ．233D. 210．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引其准线的垂线，垂足为M ，设抛物线的焦点为F ，且|PF |＝5，则△MPF 的面积为 ( )A ．5 6 B.2534C ．20D ．1011．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0，(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．312．已知椭圆221:12x y C m n +=+与双曲线222:1x y C m n-=共焦点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为( )A ．(2B ．(0,2C ．(0,1)D ．1(0,)2昆明三中2012-2013学年度高二年级上学期期中试题数 学（理）二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分.）13．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是 ；14．设实数,x y 满足20240230x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x 的最大值是 ；15．经过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A 、B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →= ;16．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过焦点F 的动直线l 交抛物线于A 、B 两点，则我们知道1|AF |＋1|BF |为定值，请写出关于椭圆的类似的结论：_____________________________________ ___________；当椭圆方程为x 24＋y 23＝1时，1|AF |＋1|BF |＝___________.三、解答题：（本大题共5小题，共52分）17．(本小题满分10分)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0.若┐p 是┐q 的必要而不充分条件，求实数a 的取值范围．18. （本小题满分10分）（1）求与椭圆2212516x y +=共焦点的抛物线的标准方程.(2)已知两圆()221:42C x y ++=，()222:42C x y -+=，动圆M 与两圆一个内切，一个外切，求动圆圆心M 的轨迹方程． 19．（本小题满分10分）如图，已知点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，60PDA ∠=︒. （1）求DP 与CC 1所成角的大小；（2）求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小.1A20．（本小题满分10分）如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=且侧面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD.（1）求证：PD AC⊥；（2）在棱PA上是否存在一点E，使得二面角E—BD—A的大小为45︒，若存在，试求AE AP的值，若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知圆C 的方程为224x y +=，过点M （2，4）作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆2222:1(0)x y T a b a b+=>>的右顶点和上顶点.（1）求椭圆T 的方程；（2）已知直线l 与椭圆T 相交于P ，Q 两不同点，直线l 方程为0)y kx k =+>，O 为坐标原点，求OPQ ∆面积的最大值.昆明三中2012-2013学年度高二年级上学期期中试题数 学（理）答案一、选择题：BADBC ABCCD DA 二、填空题：13. 存在x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0 14.3215. －1316. 过椭圆的焦点F 的动直线交椭圆于A 、B 两点，则1|AF |＋1|BF |为定值 43三、解答题：17.解析：解|4x －3|≤1得12≤x ≤1.解q 得a ≤x ≤a ＋1.由题设条件得q 是p 的必要不充分条件，即p ⇒q ，q p .∴[12，1][a ，a ＋1]． ∴a ≤12且a ＋1≥1，得0≤a ≤12.18.（1）212y x =或212y x =-（2）221214x y -=19. 解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -．则(100)DA =，，，(001)CC '=，，．连结BD ，B D ''． 在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ．设(1)(0)DH m m m =>，，， 由已知60DH DA <>=，，由cos DA DH DA DH DA DH =<>， 可得2m =．解得2m=，所以22DH ⎛= ⎝（Ⅰ）因为0011cos 2DH CC ++⨯'<>==，所以45DH CC '<>=，．即DP 与CC '所成的角为45（Ⅱ）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =，，． 因为01101cos 2DH DC +⨯<>==，， 所以60DH DC <>=，． 可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30．20．解析： 取AB 中点H ，则由PA ＝PB ，得PH ⊥AB ，又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ∩平面ABCD=AB ，所以PH ⊥平面ABC D ．以H 为原点，建立空间直角坐标系H－xyz （如图）．则(1,0,0),(1,0,0),(A B D C P -- （I）证明：∵(1,2,3),(2,PD AC =-=-,∴(0PD AC ⋅=⋅-=， ∴PD AC⊥，即PD⊥AC ． ………．．6分（II ） 假设在棱PA 上存在一点E ，不妨设AE =λAP (01)λ<<，则点E 的坐标为(1)λ-， ………．．8分 ∴(2,0,3),(2,2,0)BE BD λλ=-= 设(,,)n x y z =是平面EBD 的法向量，则n BE n BD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩00n BE n BD ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩(2)00200x y z x y z λ⎧-+⋅=⎪⇒⎨+⋅=⎪⎩z x y ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩， 不妨取x =EBD 的一个法向量2(3,)n λλ-=--．又面ABD 的法向量可以是HP =（0,0, ，要使二面角E-BD-A 的大小等于45°，则0(cos 45|cos ,|(HP nHP n HP n ⋅=<>==⋅可解得12λ=，即AE =12AP 故在棱PA 上存在点E ，当12AE AP =时，使得二面角E-BD-A的大小等于45°．21．解析：（Ⅰ）由题意：一条切线方程为：2x =，设另一条切线方程为：4(2)y k x -=-2=，解得：34k=，此时切线方程为：3542y x=+切线方程与圆方程联立得：68,55x y=-=，则直线AB的方程为22=+yx令0=x，解得1=y，∴1=b；令0y=,得2x=,∴2=a故所求椭圆方程为1422=+yx（Ⅱ）联立22 1.4y kxxy⎧=⎪⎨+=⎪⎩整理得()08384122=+++kxxk，令),(11yxP，),(22yxQ，则2214138kkxx+-=+，221418kxx+=，)41(32)38(22>+-=∆kk，即：0122>-k原点到直线l的距离为=d12||||PQ x x=-，∴121||22OPQS PQ d x x∆=⋅=-===1=≤当且仅当2k=OPQ∆面积的最大值为1．。

昆明三中2016-2017学年上学期高二年级期中考试理 科 数 学命题人：俞 纲考生注意：1．试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试 时间120分钟。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、学号在答题卡上填写清楚。

3．考试结束，监考人员收答题卡，本试卷不收，请考生妥善保管。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题, 每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

答案涂在答题卡上。

1.双曲线的焦距为（ ）A. B. 4 C. 3 D. 42．若直线1:260l ax y ++=与直线22:(1)(1)0l x a y a +-+-=平行，则实数a =（ ）A ．32B ．1-C ．2D ．1-，或23 已知命题 在命题 ① q p q p q p q p ∨⌝⌝∧∨∧）④（③②);(;;中，真命题是（ ） ② A ①③ B.①④ C.②③ D.②④4．已知两个不同的平面αβ、和两条不重合的直线m n 、，则下列四个命题中不正确的是（ ）A ．若//,m n m α⊥，则n α⊥B ．若,m m αβ⊥⊥，则//αβC ．若,//,m m n n αβ⊥⊂，则αβ⊥D ．若//,m n ααβ=I ，则//m n 5.过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为( )A ．B ．C ．D ．6、命题“存在R ， 0”的否定是 A. 不存在R, >0 B. 存在R, 0 C. 对任意的 R, 0 D. 对任意的R,<07．一个几何体的三视图如图2所示(单位：cm)，则该几何体的体积是（ ）.,:,:22y x y x q y x y x p ><-<->则若；命题则若A.2333cmB.2233cmC.4763cm D.73cm8、在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AC 与平面ABCD 所成的角为θ，则sin θ值为（ ）A.3B.12 C.3D.229.已知直线x ＋y ＝a 与圆＝4交于A ，B 两点，且 (其中O 为坐标原点)，则实数a 等于( )A ．2B ．－2C ．2或－2D.6或－ 610.直线y=x ＋1被椭圆=4截得的弦的中点坐标是 ( ) A. (23，－13) B. (13，－23) C. (－23，13) D. (－13，23) 11．三棱锥P-A BC 的四个顶点都在球D 的表面上，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，PA =3，AB=BC=2，则球O 的表面积为（ ）A ．13πB ．17πC ．52πD ．68π12抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点,A B 在此抛物线上,且90AFB ∠=o ,弦AB 的中点M 在该抛物线准线上的射影为'M ,则|'|||MM AB 的最大值为( )A ．3B ．3C ．1D ．22第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13..圆心在直线2x ﹣y ﹣7=0上的圆C 与y 轴交于两点A （0，﹣4）、B （0，﹣2），则圆C 的方程为14.已知双曲线的两条渐近线方程为，且p(2,2)在双曲线上，则双曲线方程为 ．15. 如图，抛物线顶点在原点，圆x y x 422=+的圆心是抛物线的焦点， 直线l 过抛物线的焦点，且斜率为2，直线l 交抛物线与圆依次为A 、B 、C 、D 四点， 则|AB|+|CD|=16.．在正方体上任意选择4个顶点，由这4个顶点可能构成如下几何体：①有三个面为全等的等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；②每个面都是等边三角形的四面体；③每个面都是直角三角形的四面体；④有三个面为不全等的直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体.以上结论其中正确的是_____ __(写出所有正确结论的编号). 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。