高三总复习三角函数专题

高中三角函数知识点归纳总结(通用10篇)高中数学三角函数知识点总结：三倍角公式篇一sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)高中数学三角函数知识点总结：三倍角公式推导篇二sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina高中数学三角函数知识点总结：半角公式篇三tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)高中数学三角函数知识点总结：辅助角公式篇四Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))高中数学三角函数知识点总结：和差化积篇五sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)高中三角函数知识点归纳篇六1.做高中数学题的时候千万不能怕难题！有很多人数学分数提不动，很大一部分原因是他们的畏惧心理。

高考专题复习三角函数专题模块一——选择题一、选择题： (将正确答案的代号填在题后的括号内． )π5π1．(2021天·津)以下图是函数 y ＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间 －6，6上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将 y ＝sinx(x∈R)的图象上所有的点 ( )π1A ．向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变π2倍，纵坐标不变B ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3π1C ．向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短2，纵坐标不变到原来的π2倍，纵坐标不变D ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6y ＝Asin(ωx＋φ)中A ＝1，2ππ π解析：观察图象可知，函数 ω＝π，故ω＝2，ω×－6＋φ＝0，得φ＝ 3，所以函数y ＝sin 2x ＋ ，故只要把y ＝sinx 的图象向左平移π1即个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的2可．答案：A2．(2021全·国Ⅱ)为了得到函数 y ＝sin2x －π的图象，只需把函数y ＝sin2x ＋π的图象()36πB ．向右平移A ．向左平移个长度单位个长度单位44πD ．向右平移C ．向左平移2个长度单位2个长度单位解析：由y＝sin2x＋πx→x＋φ＝sin2x－πππ――→y＝sin2(x＋φ)，即2x＋2φ＋＝2x－，解得φ＝－6634π即向右平移4个长度单位．应选B. 答案：B3．(2021重·庆)函数y＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π的局部图象如下图，那么()2πB．ω＝1，φ＝－πππA．ω＝1，φ＝66C．ω＝2，φ＝6D．ω＝2，φ＝－6解析：依题意得T＝2π7ππππ2πππω＝412－3＝π，ω＝2，sin2×3＋φ＝1.又|φ|<2，所以3＋φ＝2，φ＝－6，选D.答案：D4．函数 y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)在区间[0,2π]上的图象如下图，那么ω＝( )11A．1B．2 C.2D.32π解析：由函数的图象可知该函数的周期为π，所以 ω＝π，解得ω＝2.答案：Bπ()5．函数y ＝sinx －12cosx －12，那么以下判断正确的选项是A ．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是π，012B ．此函数的最小正周期为 π，其图象的一个对称中心是π，012C ．此函数的最小正周期为 2π，其图象的一个对称中心是π，6D ．此函数的最小正周期为 π，其图象的一个对称中心是π，6ππ1π解析：∵y＝sinx －12·cosx－12＝2sin2x －6，∴T＝2ππ2＝π，且当x ＝12时，y＝0.答案：Bπa 的值为()6．如果函数y ＝sin2x ＋acos2x 的图象关于直线对称，那么实数 x ＝－8A.2B ．－2C．1D．－1π分析：函数f(x)在x ＝－ 时取得最值；或考虑有8ππf－＋x＝f－－x对一切x∈R恒成立．88解析：解法一：设f(x)＝sin2x＋acos2x，因为函数的图象关于直线x＝－πππ8对称，所以f－8＋x＝f－8－x对一切实数x都成立，即sin2ππ－＋x＋acos2－＋x＝sin2ππ－－x＋acos2－－xππsin－4＋2x＋sin4＋2xππ＝acos4＋2x－cos－4＋2x，ππ∴2sin2x·cos4＝－2asin2x·sin4，即(a＋1)sin2x·＝0对一切实数x恒成立，而sin2x不能恒为，∴a＋1＝0，即a＝－1，应选D.π解法二：∵f(x)＝sin2x＋acos2x关于直线x＝－8对称．ππ∴有f－＋x＝f－－x对一切x∈R恒成立．88π特别，对于x＝8应该成立．π将x＝8代入上式，得f(0)＝f－，ππ∴sin0＋acos0＝sin－2＋acos－2∴0＋a＝－1＋a×0.∴a＝－1.应选D.解法三：y＝sin2x＋acos2x＝1＋a2sin(2x＋φ)，其中角φ的终边经过点(1，a)．其图象的对称轴方程π2x＋φ＝kπ＋2(k∈Z)，kππφx＝2＋4－2(k∈Z)．kππφπ令2＋4－2＝－8(k∈Z)．3π得φ＝kπ＋4(k∈Z)．π但角φ的终边经过点(1，a)，故k为奇数，角φ的终边与－2角的终边相同，∴a＝－1.解法四：y＝sin2x＋acos2x＝21＋asin(2x＋φ)，其中角φ满足tanφ＝a.因为f(x)的对称轴为πy＝－8，π∴当x＝－8时函数y＝f(x)有最大值或最小值，所以1＋a2＝fπ－8或－1＋a2＝fπ－8，即1＋a2＝sinπ－4＋acosπ－4，或－1＋a2＝sinπ－4＋acosπ－4.解之得a＝－1.应选D.答案：D评析：此题给出了四种不同的解法，充分利用函数图象的对称性的特征来解题．解法一是运用了方程思想或恒等式思想求解．解法二是利用了数形结合的思想求解，抓住f(m＋x)＝f(m－x)的图象关于直线＝m对称的性质，取特殊值来求出待定系数a的值．解法三利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴是方程xωxππkπ＋2－φπ＋φ＝kπ＋2(k∈Z)的解x＝ω(k∈Z)，然后将x＝－8代入求出相的φ，再求a的．解法四利ππ用称的特殊性，在此函数f(x)取最大或最小．于是有f－8＝[f(x)]max或f－8＝[f(x)]min.从而化解方程，体了方程思想．由此可，本体了丰富的数学思想方法，要从多种解法中悟出其西．模块二——填空题二、填空：(把正确答案填在后的横上．)π7．(2021福·建)函数f(x)＝3sinωx－6(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的象的称完全相同．假设π，f(x)的取范是________．x∈0，2解析：∵f(x)与g(x)的象的称完全相同，∴f(x)与g(x)的最小正周期相等，∵ω>0，∴ω＝2，∴f(x)ππππ5π13≤3，即f(x)＝3sin2x－6，∵≤2x－≤≤sin2x－61，∴－≤3sin2x－6 0≤x≤2，∴－666，∴－22的取范，3.答案：－3，318．函数y＝cos2πx的象位于y 右所有的称中心从左依次A1，A2，⋯，An，⋯.A50的坐是________．解析：称中心横坐x＝2k＋1，k≥0且k∈N，令k＝49即可得．答案：(99,0)9．把函数y＝cosx＋π的象向左平移m个位(m>0)，所得象关于y称，m的最小是3________．解析：由y＝cos(x＋πππ3＋m)的象关于y称，所以3＋m＝kπ，k∈Z，m＝kπ－3，当k＝1，m最2小3π.答案：2π310．定义集合A，B的积A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}．集合M＝{x|0≤x≤2π}，N＝{y|cosx≤y≤1}，那么M×N所对应的图形的面积为________．解析：如下图阴影面积可分割补形为ABCD的面积即BC×CD＝π·2＝2π.答案：2π模块三——解答题三、解答题：(写出证明过程或推演步骤．) 11．假设方程3sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数解x1、x2，求a的取值范围，并求x1＋x2的值．分析：设函数y1＝3sinx＋cosx，y2＝a，在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象，应用数形结合解答即可．解：设f(x)＝π3 sinx ＋cosx ＝2sin x＋6，x∈[0,2．π]π令x＋6＝t，那么f(t)＝2sint，且t∈π6，13π6 .在同一平面直角坐标系中作出y＝2sint及y＝a的图象，从图中可以看出当1＜a＜2和－2＜a＜1时，两图象有两个交点，即方程3sinx＋cosx＝a在[0,2上π]有两个不同的实数解．当1＜a＜2时，t1＋t2＝π，ππ即x1＋6＋x2＋6＝π，2π∴x1＋x2＝3；当－2＜a＜1时，t1＋t2＝3π，ππ即x1＋6＋x2＋6＝3π，8πx1＋x2＝3.综上可得，a的取值范围是(1,2)∪(－2,1)．2π当a∈(1,2)时，x1＋x2＝3；8πa∈(－2,1)时，x1＋x2＝3.评析：此题从方程的角度考查了三角函数的图象和对称性，运用的主要思想方法有：函数与方程的思想、数形结合的思想及换元法．解答此题常见的错误是在换元时忽略新变量t的取值范围，仍把t当成在[0,2 π]中处理，从而出错．11πφ<π)，其图象过点π1＋φ(0<，12．(2021山·东)函数f(x)＝2sin2xsinφ＋cosxcosφ－2sin262.(1)求φ的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的1，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函2π数g(x)在0，4上的最大值和最小值．11π解：(1)因为f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin＋φ(0<φ<π)，2211＋cos2x1所以f(x)＝2sin2xsinφ＋2cosφ－2cosφ1 12sin2xsinφ＋2cos2xcosφ12(sin2xsinφ＋cos2xcosφ)1π2cos(2x－φ)，π1又函数图象过点6，2，11ππ所以2＝2cos2×6－φ，即cos3－φ＝1，π又0<φ<π，所以φ＝3.1π1(2)由(1)知f(x)＝2cos2x－3，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变，得1 2 3 4 56π到函数y ＝g(x)的象，可知g(x)＝f(2x)＝2cos4x －3，π4x∈[0，π]，因x∈0，4 ，所以ππ2π1因此4x － 3∈－3，3 ，故－ 2≤cos4x －3≤1. 所以y ＝g(x)在0，π114上的最大和最小分 2和－4.13.〔2021天津卷理〕在⊿ ABC 中，BC=5，AC=3，sinC=2sinA求AB 的： (II) 求sin 2A 的4本小主要考正弦定理、余弦定理、同角三角函数的根本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基知，考根本运算能力。

高考一轮复习专题——三角函数第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数基础梳理1．任意角 (1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零， |α|＝l r，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r (r ＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝yr ，cos α＝x r，tan α＝y x，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT为正切线一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)终边落在x 轴上的角的集合{β|β＝kπ，k ∈Z }；终边落在y 轴上的角的集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ,2ππββ；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k ,2πββ. 两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP |＝r 一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列与9π4的终边相同的角的表达式是( )．A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4(k∈Z)2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )．A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )．A．－55B.255C．－255D．－125．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y＝________.考向一角的集合表示及象限角的判定【例1】►(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限．【训练1】角α与角β的终边互为反向延长线，则( )．A．α＝－βB．α＝180°＋βC．α＝k·360°＋β(k∈Z)D ．α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )考向二 三角函数的定义【例2】►已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．【训练2】(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )． A ．－45 B ．－35 C.35 D.45考向三 弧度制的应用【例3】►已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【训练3】已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？考向四 三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.【训练4】求下列函数的定义域：(1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x )． 解 (1)∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.重点突破——如何利用三角函数的定义求三角函数值【问题研究】三角函数的定义：设α是任意角，其终边上任一点P (不与原点重合)的坐标为(x ，y )，它到原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2＞0)，则sin α＝yr、cosα＝x r 、tan α＝yx 分别是α的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x ，y 的符号由α终边所在象限确定，r 的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程．【解决方案】利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x ，y ，r 的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论．【示例】►(本题满分12分)(2011·龙岩月考)已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α、tan α的值．【试一试】已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α＋cos α＋45tan α.第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式基础梳理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，其中k ∈Z .公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α. 公式五：sin )2(απ-＝cos α，cos )2(απ-＝sin α.公式六：sin )2(απ+＝cos α，cos )2(απ+＝－sin α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．三种方法在求值与化简时，常用方法有： (1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝…. 三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知sin(π＋α)＝12，则cos α的值为( )．A ．±12 B.12 C.32 D ．±322．(2012·杭州调研)点A (sin 2 011°，cos 2 011°)在直角坐标平面上位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α的值等于( )．A.43B.34 C ．±43 D ．±344．cos )417(π-－sin )417(π-的值是( )． A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.225．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.考向一 利用诱导公式化简、求值【例1】►已知)tan()2sin()2cos()sin()(απαπαπαπα++--=f ，求【训练1】已知角α终边上一点P (－4,3)，则的值为________．考向二 同角三角函数关系的应用)3(πf )29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+【例2】►(2011·长沙调研)已知tan α＝2. 求：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α；(2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.【训练2】已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5.则sin 2α－sin αcos α＝________.考向三 三角形中的诱导公式【例3】►在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．【训练3】若将例3的已知条件“sin A ＋cos A ＝2”改为“sin(2π－A )＝－2sin(π－B )”其余条件不变，求△ABC 的三个内角．重点突破——忽视题设的隐含条件致误【问题诊断】涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时，应深挖隐含条件，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误.,【防范措施】一要考虑题设中的角的范围；二要考虑题设中的隐含条件 【示例】►若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．【试一试】已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，求tan θ.第3讲 三角函数的图象与性质基础梳理1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，)1,2(π，(π，0)，)1,23(-π，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π，(2π，1)．2．三角函数的图象和性质定义域R R {x|x≠kπ＋π2，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：错误!无对称轴对称中心：)0,2(πk(k∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππkk(k∈Z)；单调减区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ232,22kk(k∈Z)单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调增区间)2,2(ππππ+-kk(k∈Z)奇偶性奇偶奇两条性质(1)周期性函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．三种方法求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝cos )3(π+x ，x ∈R ( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数2．函数y ＝tan )4(x -π的定义域为( )．A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠Z k k x x ,4ππB.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠Z k k x x ,42ππC.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,4ππD.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,42ππ3．(2011·全国新课标)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)（20πϕω＜，＞）的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )． A ．f (x )在)2,0(π单调递减B ．f (x )在)43,4(ππ单调递减C ．f (x )在)2,0(π单调递增D ．f (x )在)43,4(ππ单调递增4．y ＝sin )4(π-x 的图象的一个对称中心是( )．A ．(－π，0) B.)0,43(π-C.)0,23(π D.)0,2(π5．(2011·合肥三模)函数f (x )＝cos )62(π+x 的最小正周期为________．考向一 三角函数的定义域与值域【例1】►(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域． (2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x （4π≤x ）的最大值与最小值．【训练1】(1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域．(2)已知函数f (x )＝cos )32(π-x ＋2sin )4(π-x ·sin )4(π+x ，求函数f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,12ππ上的最大值与最小值．考向二 三角函数的奇偶性与周期性【例2】►(2011·大同模拟)函数y ＝2cos 2)4(π-x －1是( )．A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数 【训练2】已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是________．考向三 三角函数的单调性【例3】►已知f (x )＝sin x ＋sin )2(x -π，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．【训练3】函数f (x )＝sin )32(π+-x 的单调减区间为______．考向四 三角函数的对称性【例4】►(1)函数y ＝cos )32(π+x 图象的对称轴方程可能是( )．A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π12【训练4】(1)函数y ＝2sin(3x ＋φ)（2πϕ＜）的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.(2)函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.重点突破——利用三角函数的性质求解参数问题含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析． 一、根据三角函数的单调性求解参数【示例】►(2011·镇江三校模拟)已知函数f (x )＝sin )3(πω+x (ω＞0)的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k (k ∈Z )，单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,12ππππk k (k ∈Z )，则ω的值为________．二、根据三角函数的奇偶性求解参数【示例】► (2011·泉州模拟)已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )． A.π6 B.π3 C ．－π6 D ．－π3▲根据三角函数的周期性求解参数【示例】► (2011·合肥模拟)若函数y ＝sin ωx ·sin )2(πω+x (ω＞0)的最小正周期为π7，则ω＝________.▲根据三角函数的最值求参数【示例】► (2011·洛阳模拟)若函数f(x)＝a sin x－b cos x在x＝π3处有最小值－2，则常数a、b的值是( )．A．a＝－1，b＝ 3 B．a＝1，b＝－ 3C．a＝3，b＝－1 D．a＝－3，b＝1第4讲正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用基础梳理1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x 0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0 2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的步骤3．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形． 一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定．一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin )42(π-x 的振幅、频率和初相分别为( )． A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π82.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)（2πϕ＜）的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )． A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π33．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x4．设ω＞0，函数y ＝sin )3(πω+x ＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32D ．35．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.考向一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)（02-0＜＜，＞ϕπω）的最小正周期为π，且)4(πf ＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．【训练1】已知函数f (x )＝3sin )421(π-x ，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？考向二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】►(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．【训练2】已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示． (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．考向三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M )2,32(-π. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,12ππ时，求f (x )的值域．【训练3】(2011·南京模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P )0,12(π，图象上与点P 最近的一个最高点是Q )5,3(π.(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．重点突破——怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】(1)求三角函数的最值是高考的一个热点．在求解中，一定要注意其定义域，否则容易产生错误．(2)主要题型：①求已知三角函数的值域(或最值)；②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题．【解决方案】①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，可通过引入辅助角Φ（2222sin ,cos b a b b a a +=+=φφ），将原式化为y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)＋c的形式后，再求值域(或最值)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ，将原式化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 的形式，进而在t ∈[－1,1]上求值域(或最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，将原式化为二次函数y ＝±12a (t 2－1)＋bt ＋c 的形式，进而在闭区间t ∈[－2，2]上求最值．【示例】►(本题满分12分)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin )6(π+x －1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,6ππ上的最大值和最小值．【试一试】是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值？若不存在，试说明理由．第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos_αsin β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin )4(πα±.4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝)2(βα+－)2(βα+.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14的是( )．A ．2cos 2 π12－1 B ．1－2sin 275° C.2tan 22.5°1－tan 222.5°D ．sin 15°cos 15° 2．(2011·福建)若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )．A ．2B ．3C ．4D ．6 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )．A ．－53 B ．－19 C.19 D.534．(2011·辽宁)设sin )4(θπ+＝13，则sin 2θ＝( )．A ．－79B ．－19 C.19 D.795．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________.考向一 三角函数式的化简【例1】►化简)4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x +-+-ππ.【训练1】化简：ααααα2sin )1cos )(sin 1cos (sin +--+.考向二 三角函数式的求值【例2】►已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos )2(βα-＝－19，sin )2(βα-＝23，求cos(α＋β)的值．【训练2】已知α，β∈)2,0(π，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．考向三 三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.【训练3】已知α，β∈)2,2(ππ-，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．考向四 三角函数的综合应用【例4】►(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f )3(π的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．【训练4】已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,6ππ上的最大值和最小值．重点突破——三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法． 一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．【示例】► (2011·江苏)已知tan )4(π+x ＝2，则tan x tan 2x 的值为________．二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．【示例】► (2011·南昌月考)已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．▲三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．【示例】► (2011·温州一模)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈)2,0(π.(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．第6讲正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：asin A ＝bsin B＝csin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2)a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；(3)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C．余弦定理可以变形为：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab.3．S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜b sin A a＝b sin Ab sin A＜a＜ba≥b a＞b a≤b解的个数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于( )．A．5 2 B．10 2C.1063D．5 62．在△ABC中，若sin Aa＝cos Bb，则B的值为( )．A．30° B．45° C．60° D．90°3．(2011·郑州联考)在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于( )． A．30° B．45° C．60° D．75°4．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝13，则△ABC的面积为( )．A．3 3 B．2 3 C．4 3 D. 35．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________．考向一利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.【训练1】(2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________.考向二利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos Bcos C＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．【训练2】(2011·桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2A2＋cos A＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状．【训练3】在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ；则△ABC 是( )． A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形考向四 正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3. (1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．【训练4】(2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b，c，且cos B＝45，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．重点突破——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件., 【防范措施】解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】►(2011·安徽)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．【试一试】(2011·辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a ；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.第7讲正弦定理、余弦定理应用举例基础梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．双基自测1．(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )．A．50 2 m B．50 3 m C．25 2 m D.2522m2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )． A．α＞β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A 在点B的( )．A．北偏东15° B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里5．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC ＝75°，则B，C间的距离是________海里．考向一测量距离问题【例1】►如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．【训练1】如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．考向二测量高度问题【例2】►如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.【训练2】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.考向三正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例3】►如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．【训练3】如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．重点突破——如何运用解三角形知识解决实际问【问题研究】1.解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题——建模准确地画出图形——求解——检验作答；2.三角形应用题常见的类型：①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解；③实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.【解决方案】航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据，这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离，因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中.【示例】►(本题满分12分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？【试一试】如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cos θ.。

三角函数总复习57.3.的终边上的任意一点（异于原点）0)，sec2sin sin tan tan 1tan tan 2tan 1tan ααβαβαα±-三角函数的化简、计算、注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！tan tan αcos 22α，sin 22cos α，1对角、函数名、式子结构化同)。

x 2sec x =”的内存联系――“知一求二”2cot 2tanCB A =+ ②任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. ③正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===(R 为ABC ∆外接圆半径) ④余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=，=2b _________________,=2c ___________________.=A cos _______________________,=B cos _________________,=C cos _______________________.⑤面积公式 C ab S ABC sin 2121高＝底⨯=∆=_______=_________=))()((c p b p a p p ---＝rp Rabc=4（其中ABC r R c b a p ∆++=分别为、、)(21的外接圆、内切圆半径） ⑥边角之间的不等关系B A b a B A sin sin >⇔>⇔>15、正余弦定理适用的题型⑴余弦定理适用的题型 ①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角。

⑵正弦定理适用的题型 ①已知两角和任一边，求其它两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，这时解三角形会产生多解的情况，举例说明已知时，和、A b a 解的情况如下： i A 为锐角（A b a sin 与的关系）ii A 为钝角（b a 与的关系）16.三角函数的图像和性质1.正弦曲线：正弦函数x y sin =,R x ∈的图像叫做正弦曲线。

三角函数知识点一、任意角的三角函数1、终边在x 轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ．2．象限角是指： ．3．区间角是指： ．4．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．5．弧度与角度互化：180º＝ 弧度，1º＝ 弧度，1弧度＝ ≈ º．6．弧长公式：l ＝ ；扇形面积公式：S ＝ .7．定义：设P(x, y)是角α终边上任意一点，且 |PO| ＝r ，则sin α＝ ； cos α＝ ；tan α＝ ；8．三角函数的符号与角所在象限的关系：910．三角函数线：在图中作出角α的正弦线、余弦线、正切线．二、同角三角函数的基本关系及诱导公式1．同角公式：(1) 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1，1＋tan 2α＝ ，1＋cot 2α＝ (2) 商数关系：tanα＝ ，cotα＝(3) 倒数关系：tanα ＝1，sinα ＝1，cotα ＝1 2．诱导公式：－ ＋ －+cos x ,＋ ＋ － － sin x ,－ ＋ ＋ － tan x ,x y O xyO x y O规律：奇变偶不变，符号看象限3．同角三角函数的关系式的基本用途：根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式．4．诱导公式的作用：诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为0°~90º角的三角函数值．三、两角和与差的三角函数1．两角和的余弦公式的推导方法： 2．基本公式sin(α±β)＝sinα cosβ±cosα sinβ cos(α±β)＝ ; tan(α±β)＝ . 3．公式的变式tanα＋tanβ＝tan (α＋β)(1－tanα tanβ) 1－tanα tanβ＝)tan(tan tan βαβα++4．常见的角的变换： 2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝2βα+＋2βα-α＝(α＋β)－β ＝(α－β)＋β 2βα+＝(α－2β)－(2α－β)； )4()4(x x ++-ππ＝2π四、二倍角的正弦、余弦、正切1．基本公式：sin2α＝ ； cos2α＝ ＝ ＝ ； tan2α＝ . 2．公式的变用：1＋cos2α＝ ； 1－cos2α＝ ．五、三角函数的化简和求值1．三角函数式的化简的一般要求：① 函数名称尽可能少； ② 项数尽可能少；③ 尽可能不含根式； ④ 次数尽可能低、尽可能求出值． 2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次． 3．求值问题的基本类型及方法① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．② “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；③ “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．4．反三角函数arcsinα、arccosα、arctanα分别表示[2,2ππ-]、[0，π]、（2,2ππ-）的角．六、三角函数的恒等变形（一）、三角恒等式的证明1．三角恒等式的证明实质是通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差异、函数名称的差异等）．2．证三角恒等式的基本思路是“消去差异，促成同一”，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、结构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进同一．3．证明三角恒等式的基本方法有：⑴ 化繁为简；⑵ 左右归一；⑶ 变更问题． （二）、三角条件等式的证明1．三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程，须注意转化过程确保充分性成立．2．三角条件等式的证明，关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在联系，其常用的方法有：⑴ 代入法：就是将结论变形后将条件代入，从而转化为恒等式的证明． ⑵ 综合法：从条件出发逐步变形推出结论的方法．⑶ 消去法：当已知条件中含有某些参数，而结论中不含这些参数，通过消去条件中这些参数达到证明等式的方法．⑷ 分析法：从结论出发，逐步追溯到条件的证明方法，常在难于找到证题途径时用之．七、三角函数的图象与性质1．用“五点法”作正弦、余弦函数的图象．“五点法”作图实质上是选取函数的一个 ，将其四等分，分别找到图象的 点， 点及“平衡点”．由这五个点大致确定函数的位置与形状． 2．y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 的图象． 函数y ＝sinx y ＝cosx y ＝tanx 图象注：⑴ 正弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ． ⑵ 余弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ． ⑶ 正切函数的对称中心为 ．3．“五点法”作y ＝Asin(ωx ＋ϕ)(ω>0)的图象．令x'＝ωx ＋ϕ转化为y ＝sinx'，作图象用五点法，通过列表、描点后作图象． 4．函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)的图象与函数y ＝sinx 的图象关系．振幅变换：y ＝Asinx(A>0，A≠1)的图象，可以看做是y ＝sinx 的图象上所有点的纵坐标都 ，(A>1)或 (0<A<1)到原来的 倍（横坐标不变）而得到的．周期变换：y ＝sinωx(ω>0，ω≠1)的图象，可以看做是把y ＝sinx 的图象上各点的横坐标 (ω>1)或 (0<ω<1)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的．由于y ＝sinx 周期为2π，故y ＝sinωx(ω>0)的周期为 ．相位变换：y ＝sin(x ＋ϕ)(ϕ≠0)的图象，可以看做是把y ＝sinx 的图象上各点向 (ϕ>0)或向 (ϕ<0)平移 个单位而得到的．由y ＝sinx 的图象得到y ＝Asin(ωx ＋ϕ)的图象主要有下列两种方法：或说明：前一种方法第一步相位变换是向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平移 个单位．后一种方法第二步相位变换是向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平移 个单位．八、三角函数的性质1．三角函数的性质函 数 y ＝sinx y ＝cosx y ＝tanx 定义域 值 域 奇偶性 有界性 周期性 单调性最大(小)值2．函数y ＝sinx 的对称性与周期性的关系．⑴ 若相邻两条对称轴为x ＝a 和x ＝b ，则T ＝ ． ⑵ 若相邻两对称点(a ，0)和(b ，0) ，则T ＝ ．⑶ 若有一个对称点(a ，0)和它相邻的一条对称轴x ＝b ，则T ＝ ． 注：该结论可以推广到其它任一函数．九、三角函数的最值1．一元二次函数与一元二次方程一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标． 2．函数与方程两个函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标就是方程()()f x g x =的解；反之，要求方程()()f x g x =的解，也只要求函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标．3．二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(,)m n ，则必有()()0f m f n ⋅<，再取区间的中点2m np +=，再判断()()f p f m ⋅的正负号，若()()0f p f m ⋅<，则根在区间(,)m p 中；若()()0f p f m ⋅>，则根在(,)p n 中；若()0f p =，则p 即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．。

高考三角函数题型归纳总结
高考解三角函数题型归纳总结
一、函数值的计算
1.由某个函数的定义求指定的函数值
2.由表达式求某个函数的值
3.由一切三角函数的基本等式求某个函数的值
二、函数的延长
1.函数的延长：对某个函数的符号或值作一定重新定义，以推广原函数的定义域，使原值可以成为新函数的值
2.求函数值时把原函数的值替换新定义的函数的值
三、函数的平移
1.对某个函数作一定的平移变换，使其实轴、值轴都做出一定的平移
2.函数按照平移变换规则，将原函数的值按比例地经过初始点再离开
四、函数的综合运用
1.记住一些常见的组合等式，如：sinα±cosα=sincosα、sin α-cosα=-2sinsinα/2
2.按延长或平移变换，用组合等式解决具体问题
3.用其他三角函数的关系转换，把一种函数转换成另一种，如tanα=sinα/cosα。

- 1 -。

：三角函数专题1、 三角函数化简与性质1、已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-（0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π． （Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值． 解：（Ⅰ）()sin 2cos 212)14f x x x x ωωωπ=--=--．因为22T π=，所以 T =π，1ω=． 所以 ()2)14f x x π=--．所以 ()04f π=（Ⅱ）()2)14f x x π=--当 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 32444x πππ-≤-≤， 所以 当242x ππ-=，即8x 3π=时，max ()21f x =， 当244x ππ-=-，即0x =时，min ()2f x =-．2、已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,,)2A x ωϕπ>><∈R 的图象的一部分如下图所示.(1)求函数()f x 的解析式;(2)当2[6,]3x ∈--时,求函数()(2)y f x f x =++的最大值与最小值及相应的x 的值.2、解:(1)由图像知2A =,2284T T ωπ=⇒==,∴4ωπ=,得()2sin()4f x x ϕπ=+. 由对应点得当1x =时,1424ϕϕπππ⨯+=⇒=.∴()2sin()44f x x ππ=+;……………5分(2)2sin()2sin[(2)]2sin()2cos()44444444y x x x x ππππππππ=++++=+++=sin()424x x πππ+=,……………9分∵2[6,]3x ∈--,∴3[,]426x πππ∈--,………………10分∴当6x ππ=-,即23x =-时,y ;当4x π=-π,即4x =-时,y 的最小值-.………………12分2、三角函数与向量综合1、已知平面向量(cos ,sin )a ϕϕ=r ，(cos ,sin )b x x =r ，(sin ,cos )c ϕϕ=-r，其中0ϕπ<<，且函数()()cos ()sin f x a b x b c x =⋅+⋅r r r r 的图象过点)1,6(π．（1）求ϕ的值；（2）将函数)(x f y =图象上各点的横坐标变为原来的的2倍，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g y =在[0,]2π上的最大值和最小值．1、解：（1）cos cos sin sin cos()a b x x x ϕϕϕ⋅=+=-r rQcos sin sin cos sin()b c x x x ϕϕϕ⋅=-=-r r()()cos ()sin f x a b x b c x ∴=⋅+⋅r r r rcos()cos sin()sin x x x x ϕϕ=-+-cos()x x ϕ=--cos(2)x ϕ=-，即()cos(2)f x x ϕ=-∴()cos()163f ππϕ=-=，而0ϕπ<<，∴3πϕ=．（2）由（1）得，()cos(2)3f x x π=-，于是1()cos(2())23g x x π=-，即()cos()3g x x π=-． 当[0,]2x π∈时，336x πππ-≤-≤， 所以1cos()123x π≤-≤，即当0x =时，()g x 取得最小值12，当3x π=时，()g x 取得最大值1．3、三角函数与解三角形1、已知△ABC 中，2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设向量(cos , cos 2)A A =m ，12(, 1)5=-n ，求当⋅m n 取最小值时，)4tan(π-A 值.解：（Ⅰ）因为2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+，所以2sin cos sin()sin()sin A B B C A A =+=π-=. …………………… 3分 因为0A p <<，所以sin 0A ¹.所以1cos 2B =. 因为0B p <<，所以3B π=.（Ⅱ）因为12cos cos 25A A ⋅=-+m n ，所以2212343cos 2cos 12(cos )5525A A A ⋅=-+-=--m n .所以当3cos 5A =时，⋅m n 取得最小值.此时4sin 5A =（0A p <<），于是4tan 3A =.所以tan 11tan()4tan 17A A A π--==+.2、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，且cos A B =（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若1a b -，求边c ．解：(Ⅰ)∵cos 0A A π<<，∴sin A =.又∵sin B =sin sin A B >，∴a b >，∴A B >，∴(0 )2B π∈，，∴cos B =． ……………………… 3分∴cos cos()C A B =-+cos cos sin sin A B A B =-+=，∴34C π=．(Ⅱ)由正弦定理sin sin a b A B =得，sin sin a Ab B==a =.又∵1a b -，∴1a b ==． ………………………9分又∵sin sin b cB C=，∴c .(用余弦定理也可) ………………………12分 10、在ABC ∆中，已知45A =o，4cos 5B =. (Ⅰ)求cos C 的值；(Ⅱ)若10,BC D =为AB 的中点，求CD 的长.解：（Ⅰ）4cos ,5B =Q 且(0,180)B ∈o o ，∴3sin 5B ==． cos cos(180)cos(135)C A B B =--=-o o43cos135cos sin135sin 55B B =+=o o =（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin C===由正弦定理得sin sinBC ABA C=7AB=，解得14AB=．在BCD∆中，7BD=，22247102710375CD=+-⨯⨯⨯=，所以CD=3、在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是cba,,，已知3,2π==Cc．（1）若△ABC的面积等于3，求a，b；（2）若AABC2sin2)sin(sin=-+，求△ABC的面积．3、解：（1）由余弦定理及已知条件，得422=-+abba．又因为△ABC的面积等于3，所以3sin21=Cab，得4=ab．联立方程组⎩⎨⎧==-+,4,422ababba解得⎩⎨⎧==.2,2ba（2）由题意，得AAABAB cossin4)sin()sin(=-++，即AAAB cossin2cossin=．当0cos=A，即2π=A时，6π=B，334=a，332=b，此时△ABC的面积123S bc==．当0cos≠A时，得AB sin2sin=，由正弦定理，得ab2=．联系方程组⎩⎨⎧==-+,2,422ababba解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.334,332ba此时△ABC的面积332sin21==CabS面积332sin21==CabS．。

高考数学-三角函数专题复习三角函数专题考点例题解析】考点1.求值1、求sin330°、tan690°、sin585°的值。

解：利用三角函数的周期性和对称性，可得：sin330°=sin(360°-30°)=sin30°=1/2tan690°=tan(720°-30°)=tan30°=1/√3sin585°=sin(540°+45°)=sin45°=√2/22、已知角α为第三象限角，求sin(α+π/2)的值。

解：由于α为第三象限角，所以sinα<0，cosα<0.又因为sin(α+π/2)=cosα，所以sin(α+π/2)<0.3、已知sinθ+cosθ=5/3，cosθ-sinθ=2，求sin2θ的值。

解：将sinθ+cosθ和cosθ-sinθ相加，可得cosθ+cosθ=5/3+2=11/3，即cosθ=11/6.将cosθ-sinθ和sinθ+cosθ相减，可得2sinθ=-1/6，即sinθ=-1/12.代入sin2θ=2sinθcosθ的公式，可得sin2θ=-11/72.4、已知si n(π/4-α)=2/√5，求cosα的值。

解：sin(π/4-α)=sinπ/4cosα-cosπ/4sinα=2/√5，代入cosπ/4=√2/2和sinπ/4=√2/2，可得cosα=1/√10.5、已知f(cosx)=cos3x，求f(sin30°)的值。

解：将x=π/6代入f(cosx)=cos3x，可得f(cosπ/6)=cos(3π/6)=cosπ=-1.又因为sin30°=cosπ/6，所以f(sin30°)=-1.6、已知tanα=15π/22，求cos(π/2-α)的值。

解：tanα=15π/22，所以α为第三象限角，cos(π/2-α)=sinα>0.由tanα=sinα/cosα，可得cosα=15/√466，代入sin^2α+cos^2α=1，可得sinα=7/√466，最终可得cos(π/2-α)=7/15.7、已知tan(π/4+x)=2tan(π/4-x)，求cos2x的值。

三角函数专题一、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）注意隐含条件的应用：1＝cos 2x ＋sin 2x 。

（2）角的配凑。

α＝（α＋β）－β，β＝2βα+－2βα-等。

（3）升幂与降幂：主要用2倍角的余弦公式。

（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。

（5）引入辅助角。

asinθ＋bcosθ＝22b a +sin (θ＋ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ＝ab确定。

2.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

二、例题集锦： 考点一：三角函数的概念1.（2011年东城区示范校考试15）设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是单位圆上的两点，O 是坐标原点，6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ．（1）若34(,)55Q ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos πα的值； （2）设函数()f OP OQ α=⋅u u u r u u u r ，求()αf 的值域．考点二：三角函数的图象和性质2.（2014年课标I ，7）在函数①cos 2y x =，②cos y x =，③cos(2)6y x π=+，④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为 （ ）A.①②③B. ②③④C. ②④D. ①③3.（2012年课标全国，9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A.15[,]24B.13[,]24C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.()0,24.（2011年课标全国，11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A. ()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减B. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C. ()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增5．将函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后，所得函数()g x 的图象关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为 A ．12- B ．12C．6.（2011年东城区期末15）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2x π∈上的最大值和最小值．考点三、四、五：同角三角函数的关系、 诱导公式、三角恒等变换7.已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-（0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π． （Ⅰ）求()4f π的值； （Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值.8.已知向量(cos ,sin ),a x x =r 向量(cos ,sin ),()b x x f x a b =-=⋅r r r（1）求函数()()sin 2g x f x x =+的最小正周期和对称轴方程； （2）若x 是第一象限角且'3()2()f x f x =-，求tan()4x π+的值.考点六：解三角形9．ABC ∆中，角,,A B C成等差数列是sin sin )cos C A A B =+成立的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10．已知函数()cos f x x =,,,a b c 分别为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边，且22233a b c +-4ab =，则下列不等式一定成立的是A ．()()sin cos f A fB ≤ B ．()()sin cos f A f B ≥C ．()()sin sin f A f B ≥D ．()()cos cos f A f B ≤ 11.（2014年课标I ，16）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .12.（2014年河南焦作联考）在ABC ∆中，已知sin sin cos sin sin cos sin sin cos A B C A C B B C A =+，若,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，则2abc 的最大值为 . 13.（2015河北秦皇岛一模，17，12分）在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，满足()222.AB AC a b c ⋅=-+u u u r u u u r（1）求角A 的大小； （2）求24sin()23C B π--的最大值，并求取得最大值时角,B C 的大小.14．（2009全国II ， 17，10分） 设ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为,,a b c ，3cos()cos 2A CB +=-，2b ac =.求B ∠的大小.14.（2015课标II ，17，12分）△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆的面积是ADC ∆面积的2倍. （1）求sin sin BC∠∠；（2）若1,2AD DC ==，求BD 和AC 的长.15、（2011东城一模15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b Ba A-=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值．例题集锦答案：1.（2011年东城区示范校考试理15）如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是 单位圆上的两点，O 是坐标原点，6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ．（1）若34(,)55Q ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos πα的值；（2）设函数()f OP OQ α=⋅u u u r u u u r ，求()αf 的值域．★★单位圆中的三角函数定义解：（Ⅰ）由已知可得54sin ,53cos ==αα……………2分6sin sin 6cos cos 6cos παπαπα+=⎪⎭⎫⎝⎛-∴………3分1043321542353+=⨯+⨯=…………4分（Ⅱ）()f OP OQ α=⋅u u u r u u u r ()cos ,sin cos ,sin 66ππαα⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭………6分ααsin 21cos 23+=………………7分 sin 3πα⎛⎫=+⎪⎝⎭………………8分[0,)απ∈Q 4[,)333πππα∴+∈………9分 sin 123πα⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭ (12)分()αf ∴的值域是⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ (13)分2．（2011年西城期末理15）已知函数2()22sin f x x x =-.（Ⅰ）若点(1,P在角α的终边上，求()f α的值； （Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域.★★三角函数一般定义解：（Ⅰ）因为点(1,P 在角α的终边上，所以sin α=，1cos 2α=， ………………2分 所以22()22sin cos 2sin f αααααα=-=-………………4分21(2(32=⨯-⨯=-. ………………5分 （Ⅱ）2()22sin f x x x =-cos 21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-， ………………8分因为[,]63x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分所以()f x 的值域是[2,1]-. ………………13分 3.（2011年东城区期末理15）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2x π∈上的最大值和最小值．解：（Ⅰ）由图可得1A =，22362T πππ=-=，所以T =π． ……2分 所以2ω=．当6x π=时，()1f x =，可得 sin(2)16ϕπ⋅+=， 因为||2ϕπ<，所以6ϕπ=． ……5分 所以()f x 的解析式为()sin(2)6f x x π=+． ………6分 （Ⅱ）()()cos 2sin(2)cos 26g x f x x x x π=-=+-sin 2cos cos 2sin cos 266xx x ππ=+- 12cos 22x x =- sin(2)6x π=-． ……10分 因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤． 当262x ππ-=，即3x π=时，()g x 有最大值，最大值为1；当266x ππ-=-，即0x =时，()g x 有最小值，最小值为12-．……13分2T =相邻平衡点（最值点）横坐标的差等；2||T =πω ；()max min 12y y A =- ;φ----代点法 4．（2010年海淀期中文16）已知函数x x x f 2cos )62sin()(+-=π.（1）若1)(=θf ，求θθcos sin ⋅的值；（2）求函数)(x f 的单调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心 解：（1）22cos 16sin2cos 6cos2sin )(xx x x f ++-=ππ...3分（只写对一个公式给2分） 212sin 23+=x ....5分 由1)(=θf ，可得332sin =θ ......7分 所以θθθ2sin 21cos sin =⋅ ......8分 63= .......9分 （2）当Z k k x k ∈+≤≤+-,22222ππππ，换元法 ..11即Z k k k x ∈++-∈],4,4[ππππ时，)(x f 单调递增.所以，函数)(x f 的单调增区间是Z k k k ∈++-],4,4[ππππ... 13分5.（2011年丰台区期末理15）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=- （0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π．（Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值．解：（Ⅰ）()sin 2cos 212sin(2)14f x x x x π=--=--ωωω． ω意义 ……4分因为 22T π=，所以 T =π，1ω=． ……6分所以 ()2sin(2)14f x x π=--．所以 ()04f π= ………7分（Ⅱ）()2sin(2)14f x x π=--当 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 32444x πππ-≤-≤， 无范围讨论扣分所以 当242x ππ-=，即8x 3π=时，max ()21f x =-， …10分当244x ππ-=-，即0x =时，min ()2f x =-． ………13分6、（2011朝阳二模理15）已知函数2()2sin sin()2sin 12f x x x x π=⋅+-+ ()x ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若02()23x f =，0ππ(, )44x ∈-，求0cos 2x 的值. 解: 2()2sin cos 2sin 1=⋅-+f x x x x ……………………………………1分 sin 2cos2=+x x ……………………………………2分π2sin(2)4x =+. 和差角公式逆用 ………………3分 （Ⅰ）函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==. ……………………………………5分 令πππ2π22π242k x k -++≤≤()k ∈Z ， ……………………………………6分所以3ππ2π22π44k x k -+≤≤. 即3ππππ88k x k -+≤≤.所以，函数()f x 的单调递增区间为3ππ[π, π]88k k -+ ()k ∈Z . ……………8分（Ⅱ）解法一：由已知得0002()sin cos 23x f x x =+=， …………………9分 两边平方，得021sin 29x += 同角关系式 所以 07sin 29x =-…………11分 因为0ππ(, )44x ∈-，所以0π2(, )22x π∈-. 所以20742cos 21()99x =--=. ……………………………………13分 解法二：因为0ππ(, )44x ∈-，所以0ππ(0, )42x +∈. …………………………9分 又因为000ππ2()2)2)2244x x f x =⋅+=+=，得 0π1sin()43x +=. ……………………………………10分 所以20π122cos()1()43x +=-=……………………………………11分 所以，00000πππcos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444x x x x x π=+=+=++ 122422339=⋅⋅=. 诱导公式的运用7、（2011东城二模理15）（本小题共13分）已知πsin()410A+=，ππ(,)42A∈．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求函数5()cos2sin sin2f x x A x=+的值域．解：（Ⅰ）因为ππ42A<<，且πsin()410A+=，πcos()410A+=-．ππππcos()cossin()sin4444A A+++31021025=-⋅+=．所以3cos5A=．………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得4sin5A=．212sin2sinx x=-+2132(sin)22x=--+，x∈R．因为sin[1,1]x∈-，所以，当1sin2x=时，()f x取最大值32；当sin1x=-时，()f x取最小值3-．所以函数()f x的值域为3[3,]2-．8．（2011年朝阳期末理15）已知△ABC中，2sin cos sin cos cos sinA B C B C B=+.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量(cos,cos2)A A=m，12(, 1)5=-n，求当⋅m n取最小值时，)4tan(π-A值.解：和差角公式逆用所以2sin cos sin()sin()sinA B B C A A=+=π-=. ……… 3分因为0A p<<，所以sin0A¹.所以1cos2B=. ……… 5分3Bπ=. …………7分（Ⅱ）因为12cos cos25A A⋅=-+m n，………………… 8分所以2212343cos2cos12(cos)5525A A A⋅=-+-=--m n. …10分所以当3cos5A=时，⋅m n取得最小值.同角关系或三角函数定义……12分所以tan11tan()4tan17AAAπ--==+. …………… 13分9．（2011年石景山期末理15）已知函数23cossinsin3)(2-+=xxxxf()Rx∈．（Ⅰ）求)4(πf的值；（Ⅱ）若)2,0(π∈x，求)(xf的最大值；（Ⅲ）在ABC∆中，若BA<，21)()(==BfAf，求ABBC的值．解：（Ⅰ）234cos4sin4sin3)4(2-+=ππππf21=． 4分（Ⅱ）2)2cos1(3)(xxf-=+232sin21-xxx2cos232sin21-=)32sin(π-=x．…6分2π<<xΘ，32323πππ<-<-∴x．∴当232xππ-=时，即125π=x时，)(xf的最大值为1．…8分（Ⅲ）Θ)32sin()(π-=xxf，若x是三角形的内角，则π<<x令21)(=xf，得解得4π=x或127π=x．……10分由已知，BA,是△ABC的内角，BA<且21)()(==BfAf，∴4π=A，127π=B，∴6π=--π=BAC．…11分又由正弦定理，得221226sin 4sinsin sin ==ππ==C A AB BC ． ……13分 10、（2011东城一模理15）（本小题共13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b Ba A-=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值． 解：（Ⅰ）因为2cos cos c b Ba A-=， 所以(2)cos cos c b A a B -⋅=⋅由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -⋅=⋅．边化角 整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ⋅-⋅=⋅． 所以2sin cos sin()sin C A A B C ⋅=+=． 在△ABC所以1cos 2A =，3A π∠=．（Ⅱ）由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，a = 所以2220220b cbc bc +-=≥- 均值定理在三角中的应用 所以20bc ≤，当且仅当b c=时取“=” ． 取等条件别忘 所以三角形的面积1sin 2S bc A =≤． 所以三角形面积的最大值为 ……………………13分11、(2011丰台一模理15). 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=，当)(B f 取最大值23时，判断△ABC的形状．解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b2+c 2-a 2=bc 可得cos A =12．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ……3分 ∵， （或写成A 是三角形内角） ……………………4分 ∴3A π=．……………………5分 （Ⅱ）2cos2cos 2sin 3)(2x x x x f +=11cos 222x x =++ …7分 1sin()62x π=++， ……9分∵3A π=∴2(0,)3B π∈（没讨论，扣1分）…10分 ∴当62B ππ+=，即3B π=时，()f B 有最大值是23． …11分 又∵3A π=， ∴3C π= ∴△ABC 为等边三角形． ……13分12、(2011海淀一模理15). （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ； (Ⅱ)求ABC ∆的面积. 解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B C B C B C ++=-, …………………1分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . …………………3分 因为180A B C =--o , …………………4分角关系 ………5分 （II ）因为0180A <<o o ，由（I ）结论可得：135A =o . …………………7分因为11tan tan 023BC =>=>，所以090C B <<<o o . …………8分所以sin B =sin C =. …………9分 由sin sin a cA C=得a = …………………11分 所以ABC ∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分 13、（2011石景山一模理15）．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且274sin cos222A B C +-=． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．解：（Ⅰ）∵ A 、B 、C 为三角形的内角， ∴ π=++C B A ．∵ 三角形中角的大小关系∴ …………2分 ∴ 27)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C ．即 021cos 2cos 22=+-C C ． ……4分∴ 21cos =C ． 又∵ π<<C 0 ， ∴ 3π=C ． …7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得 32π=+B A ．∴ A A A sin 32cos cos 32sinsin ⋅-⋅+=ππ)6sin(3cos 23sin 23π+=+=A A A ．…10分 ∵ 320π<<A ，∴ 6566πππ<+<A ．∴ 当26ππ=+A ，即 3π=A 时，B A sin sin +取得最大值为3．…………13分。