定义域和值域的逆向问题精

解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。
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实用标准
因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD，
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。

逆向型函数题的十种类型由于逆向型问题能很好考查学生的思维能力，已成为近年高考的热点题型．本文仅谈函数中的逆向型问题，它主要是以已知函数的性质求参数的取值范围形式出现，下面对此类问题加以归纳总结，供参考．一 已知函数定义域型例1 若函数y ＝lg(242x x a -+-)的定义域为R ，求a 的取值范围． 解：由原函数的定义域为全体实数，故不等式242x x a -+-＞0对一切实数恒成立．即a ＜2x ＋4·2－x恒成立．则a 应小于2x ＋4·2－x 的最小值，而2x ＋4·2－x ≥4，最小值是4，故a ＜4．点评：此类问题常可转化为不等式恒成立问题来解决.二 已知函数值(或值域)型例2 若函数y ＝lg(2x ＋4·2－x －a )的值域为R ，求a 的取值范围． 解：要使函数的值域为R ，等价于2x ＋4·2－x －a 应能够取到所有的正实数，即2x ＋4·2－x －a 的最小值为零或负数(最大值不存在)，而由基本不等式得2x ＋4·2－x －a ≥4－a ，令4－a ≤0，有a ≥4．故a 的取值范围为[)4,+∞．点评：此类问题常用等价转化思想来解决，同时应把握内层函数的变化规律.三、已知函数图象型常规题已知函数的解析式，画出函数的图象；而逆向题是已知函数的图象，求函数的解析式或参数的值．例3 设函数y f x =()是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图像为如图1所示的线段AB ，则在区间[1，2]上，f x ()=___________．解：根据奇偶性与周期性画图象，知在区 间[1，2]上是斜率为1，过点B （1，1）的线段. 故f (x )＝x .点评：此类题要充分利用函数的图象的特殊点、特殊线等性质．四、已知函数奇偶性型主要是已知函数奇偶性，求解析式中待定系数或求函数值．例4 已知函数1().21x f x a =-+若()f x 为奇函数，则______.a = 解法1：由于在R 上的奇函数过原点，即f (0)＝0，则有0＝a －12，解得a ＝12． 解法2：由f (x )为奇函数，则121x a --+＝121x a -++，即2a ＝121x +＋121x -+＝121x +＋221x x +＝1，解得a ＝12． 点评：解法1是利用在R 上的奇函数过原点，而解法2是运用奇函数的定义来解决．五、已知函数对称性型例5⑴函数()y f x =的图像与函数2()l o g (0)g x x x =>的图像关于原点对称，则()f x 的表达式为（A ）21()(0)log f x x x => （B ）21()(0)log ()f x x x =<- （C ）2()log (0)f x x x =-> （D ）2()log ()(0)f x x x =--<⑵已知函数y ＝x e 的图像与函数y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，则( )(A) f (2x )＝2x e (x ∈R ) (B) f (2x )＝ln2•ln x (x ＞0)(C) f (2x )＝2x e (x ∈R ) (D) f (2x )＝ln x ＋ln2 (x ＞0)解：⑴由于关于原点对称，将点(－x ，－y )代换原来的(x ，y )，则－y ＝2log ()x -，则y ＝－2log ()x -，即2()l o g ()(0)f x x x =--<，而选(D)．⑵由于关于直线y ＝x 对称，等价转化为求y ＝x e 的反函数，即反函数为f (x )＝ln x ，故有f (2x )＝ln2x ＝ln x ＋ln2 (x ＞0)，而选(D)．点评：对于五类常见的对称结论，即关于x 轴、y 轴、原点、y ＝±x 应熟记．六、 已知函数单调性型例6已知(3)4,1()log ,1aa x a x f x x x --⎧=⎨≥⎩＜，是（－∞，+∞）上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）（A ）(1，+∞) （B ）(－∞,3) (C)⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,53 (D)(1,3)解：当x ＜1时，f 1(x )＝(3a －1)x ＋4a 为增函数，则需3－a ＞0，得a ＜3；当x ≥1时，f 2(x )＝log a x 为增函数，则需a ＞1．综上知1＜a ＜3，故选(D)．点评：要熟练掌握基本初等函数的单调性，并能运用导数解决单调性问题．七、已知反函数的值例7 已知函数()43x f x a a =-+的反函数的图象经过点（－1，2），那么a 的值等于_________．解：由题意，知1f -(－1)＝2，则f (2)＝－1，即a 2－4a ＋3＝－1，解得a ＝2．点评：原函数过点(a ，b )，则其反函数过(b ，a )，即有f (a )＝b ⇔f －1(b )＝a . 利用方程的思想就可求出参数．八、 已知函数最值型例8 函数y ＝x a 在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a ＝___. 解： 由题意知，a ＞0，且a ≠1．显然此函数是单调函数，将原题的文字语言转化为符号语言，得10a a + ＝3，即a ＝2．点评：求函数最值方法很多，本题是运用单调性得出最值．九、 已知函数恒成立型例9已知函数f (x )＝22x x a x++，x ∈[)1,+∞．若对任意x ∈[)1,+∞，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．解：在区间[)1,+∞上，f (x )＝22x x a x++＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立，分离参数a ，得－a＞x2－2x＝－(x＋1)2＋1恒成立．又在[)1,+∞上，由函数的单调性得－(x＋1)2＋1≤－3．所以只有a＞－3，就有f(x)＞0．故a的取值范围是[)3,-+∞．点评：此类问题解法是把参数分离出来，即可转化为用“大于时在大于值域上限，小于时小于值域下限”，从而得到参数的范围.十、已知多种性质型是指已知函数的多种性质如周期性、奇偶性及单调性等，进行考查函数的解析式、参数的取值范围等问题.例10下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A.3,y x x R=-∈ B. sin,y x x R=∈ C. ,y x x R=∈ D.1(),2xy x R =∈解：y＝－x3既奇又减；而y＝sin x是奇但不具有单调性；y＝x既奇又增；1()2xy=是减函数但不具有奇偶性，而选(A)．点评：多性质的函数选择题，是高考的一个重点，往往只能逐一判断．。

定义域和值域的逆向问题河南 范长如定义域和值域的逆向问题，是数学中的常见问题，解决好此类问题，可以锻炼同学们的逆向思维能力，因此要重视此类问题的解决。

一、已知定义域求值域例1 求定义域在［-1，1］上的函数)0(>>-+=b a bx a bx a y 的值域。

解：函数式变形为bxa a y -+-=21，显然y ≠-1 由原函数表达式可得)1()1(+-=y b y a x 。

又11≤≤-x ，得)1()1(1+-≤-y b y a 1≤， 解得ba b a y b a b a -+≤≤+-， 即此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-b a b a b a b a ，。

注：此法是把函数式视为关于x 的方程，解出x ，再运用已知的定义域，解关于y 的不等式求得值域。

二、已知值域求定义域例2 已知函数112--=x x y 的值域是}30|{≥≤y y y 或，求此函数的定义域。

解：由0112≤--x x ，解得121<≤x 。

由3112≥--x x ，解得21≤<x 。

∴此函数的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠≤≤1221|x x x 且。

注：此题直接由函数值域得出表达式的不等式，进而求得定义域，同时还可以利用反比例函数图象直观地得出结论，同学们不妨试一试。

三、已知定义域求解参数问题例3 已知函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

解：由题意知R x ∈时，012)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立。

（1）当012=-a 且01≠+a 时，有a=1，此时f(x)=1，显然对R x ∈时，012)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立。

（2）当012≠-a 时，有⎪⎩⎪⎨⎧≤+⋅---=∆>-012)1(4)1(01222a a a a 解不等式组得91≤<a 。

专题13：函数的定义域与值域求法典型例题（解析版）函数定义域的常见其一、已知函数解析式型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例1、求函数yx 2 2x 15的定义域。

x 3 82 x 5或x3 x 2x 15 0解：要使函数有意义，则必须满足即 x 5且x 11 x 3 8 0解得x 5或x 3且x 11即函数的定义域为x x 5或x 3且x 11 。

二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。

（一）已知f (x )的定义域，求f g (x ) 的定义域。

其解法是：已知f (x )的定义域是[a ,b ]求f g (x ) 的定义域是解a g (x ) b ，即为所求的定义域。

例2、已知f (x )的定义域为[ 2,2]，求f (x 1)的定义域。

2解： 2 x 2， 2 x 1 2，解得 3 x 23即函数f (x 1)的定义域为x 3 x 3（二）已知fg (x ) 的定义域，求f (x )的定义域。

2其解法是：已知f g (x ) 的定义域是[a ,b ]求f (x )的定义域的方法是：a x b ，求g (x )的值域，即所求f (x )的定义域。

例3、已知f (2x 1)的定义域为[1,2]，求f (x )的定义域。

解： 1 x 2， 2 2x 4， 3 2x 1 5。

即函数f (x )的定义域是x |3 x 5 。

三、逆向思维型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。

特别是对于已知定义域为R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例4、已知函数ymx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。

22分析：函数的定义域为R ，表明mx 6mx m 8 0，使一切x R 都成立，由x 项的系数是m ，所以应分m 0或m 0进行讨论。

高中函数值域和定义域的大小,是高中数学常考的一个知识点,本文介绍了函数求值域最常用的九种方法和例题讲解.一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

1. 函数与映射的异同点是什么？答：函数和映射都是建立在两个非空集合A,B 之间的一种特殊的对应，对应法则f 使得集合A 中的任一元素在B 中都有唯一的元素相对应。

二者的区别是：函数强调A 和B 是非空的数集而已。

2．给定两个非空集合A 和B ，从A 到B 可以建立多少个不同的映射？ 例如：A={1,23},B={6,7}从A 到B 建立映射就是确定一个对应法则f 把A 中每一个元素在B 中得到唯一对应的元素。

这样的对应法则有几个，就是映射有几个。

完成这一事情分三步：第一步给A 中元素1找对象，有两种选择，同理第二步给2找对象有两种选择，第三步给3找对象也有两种选择，故不同的对应法则有2*2*2=8个。

重点例习题整理：1.已知集合{}2540A x x x =-+|≤，集合{}2|220B x x ax a =-++≤（1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；2.已知函数)(x f 的定义域为[)b a ,，值域为[]d c ,，则)12(+-x f 的定义域为________； 值域为__________3.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=0,20,2)(22x x x x x x x f ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是______ 4.函数f(x)=⎩⎨⎧x 2+1，x ≥01 ，x<0,则满足不等式f(1－x 2)>f(2x)的x 的范围是______5. 若函数)(x f 的定义域是[]1,1-，则函数的定义域是xx f )12(-__________ 变式1：若函数2(2)f x -的定义域是[1-，1]，则函数(32)f x +的定义域为____________ 变式2：若函数()y f x =的定义域是[-2,4]，则函数()()()g x f x f x =+-的定义域_______ 6. 已知一个函数的解析式为y=x 2,它的值域为[1,4],这样的函数的个数为 变式：函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个 7. 函数12++=x x y 的值域为 ；函数216x y -=值域为 ；递减区间为函数251xy x =+的值域为 ；单调区间为8.直接写出函数=y xx3121+-的值域为____________，曲线的对称中心为________；若添加条件[]1,0∈x ，则值域为________；9. 已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：的解为10. 设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为8. 函数()[[]]f x x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 2.1]3,-=-[2]2,-=-[2.2]2=,如果[2,0]x ∈-，那么()y f x =的值域为 ____11. 函数2()2()g x x x R =-∈，()4,12()(),12g x x x x f x g x x x ++<->⎧=⎨--≤≤⎩或,()f x 的值域是 ___12. 函数6)1(3)1()(22+-+-=x a x a x f（1）若)(x f 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值. （2）若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围. （3）若)(x f 的值域为),0[+∞，求实数a 的取值范围. 13.已知函数13+-=x ax y 在区间()1,-∞-上是增函数，则实数a 的取值范围是_________ 14.函数⎪⎩⎪⎨⎧<-+-+≥-+=0,)3()4(0),1()(22222x a x a a x x a k x k x f ,其中R a ∈. 若对任意的非零实数1x ,存在唯一的非零实数)(212x x x ≠,使得)()(21x f x f =成立,则k 的取值范围为_____函数模型四：可化为二次函数的绝对值型复合函数 引例1：已知R a ∈，函数a x x x f -=)(（1）判断函数)(x f 的奇偶性，请说明理由；（2）求函数)(x f 在区间[]2,1上的最小值； （3）设0≠a ，函数)(x f 在区间),(n m 上既有最大值又有最小值，请分别求出n m ,的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程）思考：已知a R ∈，函数2()f x x x a =-.求函数()y f x =在区间[1,2]上的最小值. 练习：1. 已知函数ax x x f +-=22)(R)(∈x 有最小值，则实常数a 的取值范围是 变式：函数1)(-+=x a x x f 在()+∞,0上有最大值，则实数a 的取值范围是___2. 已知函数3)(2-=x x x f ，[]m x ,0∈，其中R m ∈，且0>m .（1）如果函数)(x f 的值域是[]2,0，则实数m 的取值范围为___________； （2）如果函数)(x f 的值域是[]2,0m λ，实数λ的最小值为_________一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

函数的定义域与值域知识点及题型总结函数的定义域与值域知识点及题型总结知识点精讲一、函数的定义域求解函数的定义域应注意：1) 分式的分母不为零；2) 偶次方根的被开方数大于或等于零；3) 对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；4) 零次幂或负指数次幂的底数不为零；5) 三角函数中的正切$y=\tan x$的定义域是$x\neqk\pi+\frac{\pi}{2}$，其中$k\in Z$；6) 已知$f(x)$的定义域求解$f(g(x))$的定义域，或已知$f(g(x))$的定义域求解$f(x)$的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则下，括号内式子的范围相同；7) 对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域。

二、函数的值域求解函数值域主要有以下十种方法：1) 观察法；2) 配方法；3) 图像法；4) 基本不等式法；5) 换元法；6) 分离常数法；7) 判别式法；8) 单调性法；9) 有界性法；10) 导数法。

需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式。

题型归纳及思路提示题型1 函数定义域的求解思路提示：对求函数定义域问题的思路是：1) 先列出使式子$f(x)$有意义的不等式或不等式组；2) 解不等式组；3) 将解集写成集合或区间的形式。

二、给出函数解析式求解定义域例 2.10 函数$y=\frac{\ln(x+1)-x}{-3x+4}$的定义域为（）。

A。

$(-4,-1)$ B。

$(-4,1)$ C。

$(-1,1)$ D。

$(-1,1]$分析本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解。

解：$x+1>0$，$-3x+4\neq 0$，即$x\neq\frac{4}{3}$。

解不等式$\ln(x+1)>x-4$，得$-1<x<1$。

故选C。

变式1 函数$y=x\ln(1-x)$的定义域为（）。

A。

函数定义域,值域的逆向问题
1、已知函数的定义域，求函数中字母取值范围的问题，解法与求函数定义域类似。

注：求定义域时，一般考虑：二次根式中根号内的因式大于等于零；分式的分母不为零，对数的真数大于等于零。

2、求函数值域的逆向问题，主要是利用已知函数的值域，求出满足条件的参数值。

注：本题应用了我们前面提到的求值域方法中的判别式法，利用二次方程韦达定理求解出未知数。

注：本题利用二次函数对称轴右边y随x的增大而增大，得出X的最小值对应y的最小值，x的最大值对应y的最大值，求出答案。

反函数知识点总结
反函数知识点总结
函数y=f(x)的定义域和值域，分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域，
例如：f(x)的定义域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函数定义域为[0，+∞），值域是[-1，+∞)。

2．反函数存在的条件
按照函数定义，y=f(x)定义域中的每一个元素x，都唯一地对应着值域中的元素y，如果值域中的每一个元素y也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应，即定义域中的元素x和值域中的元素y，通过对应法则y=f(x)存在着一一对应关系，那么函数y=f(x)存在反函数，否则不存在反函数．例如：函数y=x2,x∈R，定义域中的元素±1，都对应着值域中的同一个元素1，所以，没有反函数．而y=x2, x≥1表示定义域到值域的一一对应，因而存在反函数．
3．函数与反函数图象间的关系
函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于y=x对称．若点(a,b)在y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上．4．反函数的几个简单命题
（1）一个奇函数y=f(x)如果存在反函数，那么它的反函数y=f-1(x)一定是奇函数．
（2）一个函数在某一区间是（减）函数，并且存在反函数，那么它的反函数在相应区间也是增（减）函数．
高中数学反函数知识点总结（二）。

函数的逆函数及应用函数是高中数学中十分重要的一个概念，它描述了自变量和因变量之间的对应关系。

一般来说，函数都是从自变量到因变量的映射，但是我们也可以考虑从因变量到自变量的映射，这就是函数的逆函数。

在本文中，我们将介绍函数的逆函数的概念和性质，并探讨一些应用。

一、函数的逆函数的定义和性质1. 定义设函数 $f$ 的定义域为 $D_f$，值域为 $R_f$。

如果对于 $f$ 中的任意 $y\in R_f$，都有唯一的 $x\in D_f$，满足 $f(x)=y$，那么我们称 $f$ 是一种单射，或者叫一一映射。

此时，我们可以定义$f$ 的逆函数为 $f^{-1}$，满足 $f^{-1}(y)=x$。

随后，我们还需要验证 $f^{-1}$ 也是函数。

2. 性质函数 $f$ 和其逆函数 $f^{-1}$ 有如下性质：（1）$f(f^{-1}(y))=y$，$f^{-1}(f(x))=x$；（2）$f$ 和 $f^{-1}$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称；（3）如果 $f$ 连续，则 $f^{-1}$ 也连续。

其中，（1）表明 $f$ 和 $f^{-1}$ 是互逆函数，即反函数；（2）解释了为什么 $f$ 和 $f^{-1}$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称，这是因为 $x$ 和 $y$ 的位置互换了；（3）说明了连续函数 $f$ 的逆函数 $f^{-1}$ 也是连续的。

二、逆函数的求法1. 利用解方程的方法求逆函数设 $y=f(x)$，将 $y$ 看作自变量 $x$，$x$ 看作因变量 $y$，即$x=f(y)$。

我们要做的就是求得 $f^{-1}(y)$，即 $x=f^{-1}(y)$。

于是，我们可以得到如下方程：$$f(x)=y\Rightarrow x=f^{-1}(y)$$$$f(f^{-1}(y))=y\Rightarrow f^{-1}(f(y))=y$$由于 $f(x)$ 一般是不可逆的，所以我们通常需要对该方程进行化简。

高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足 由①解得 3x -≤或5x ≥。

③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。

故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤Y 且。

例2 求函数2x161x sin y -+=的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，，Y评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。

（2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。

例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。

解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。

（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。

其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。

例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。

解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。

实用标准高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例 1求函数 y x 22x15| x 3 |8的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足x 22x150①| x 3 |8 0②由①解得x3或 x 5 。

③由②解得x5或 x11④③和④求交集得x3且 x11或x>5。

故所求函数的定义域为{ x | x 3且x11}{ x | x5} 。

例 2求函数 y sin x1的定义域。

16x 2解：要使函数有意义，则必须满足sin x0①16x 20②由①解得2k x2k，k Z③由②解得 4 x4④由③和④求公共部分，得4x或 0x故函数的定义域为(4， ](0， ]评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（ 1）已知f (x )的定义域，求f [ g(x )]的定义域。

（ 2）其解法是：已知 f (x) 的定义域是［a，b］求 f [g(x)] 的定义域是解a g(x) b ，即为所求的定义域。

例 3已知 f (x) 的定义域为［－2， 2］，求f ( x 21) 的定义域。

解：令 2 x21 2 ，得 1 x2 3 ，即0 x 23，因此0| x | 3 ，从而3 x 3 ，故函数的定义域是{ x | 3 x3} 。

（ 2）已知f [g( x)]的定义域，求f(x) 的定义域。

其解法是：已知 f [g(x )] 的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由a x b，求g(x) 的值域，即所求f(x) 的定义域。

例 4已知 f (2x1) 的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。

解：因为 1 x2，22x4，32x 1 5 。

即函数 f(x) 的定义域是{ x | 3x5} 。

x =-24-d22d 2=52-12d ,由于-247<d <-3,有6<52-12d <6.5,所以当n =6时,S 6最大.说明:根据项的值判断前n 项和的最值有以下结论:(1)当a 1>0,d >0时,a 1<a 2<a 3<<a n <a n+1<,则S n 最小;(2)当a 1>0,d <0时,a 1>a 2>a 3>>a n >0a n +1>,则S n 最大;(3)当a 1<0,d >0时,a 1<a 2<a 3<<a n <0a n +1<,则S n 最大;(4)当a 1<0,d <0时,a 1>a 2>a 3>>a n >a n+1>,则S n 最小.安徽省岳西县城关中学(246600)聂文喜函数性质的逆解例析如果给出一个函数,要我们判断它的性质,应当说不是什么难题,但是它的逆向问题,既给出函数的性质,要求参数的范围,却是一种别致、新颖而又颇需功力的问题,因而成为近年高考的热点问题,本文通过典型例题剖析这类逆向问题的求解策略,希望能给同学们以启示.一、已知函数定义域求参数例1已知函数f (x )=lo g 21+2x+4xa3的定义域是(-,1),求a 的值.解:由题意,不等式1+2x +4xa >0的解集是(-,1),分离参数,得不等式a >-[(12)x+(14)x]=g (x)的解集是(-,1),因为g (x)在R 上单调递增,所以不等式g (1)>g (x)的解集是(-,1),所以a =g (1)=-34.二、已知函数在某区间上恒成立求参数例2(1990年广东省高考题)已知函数f (x)=+x+x3在x (,]上恒有意义,求a 的取值范围.解:依题意x(-,1]时,1+2x+4xa >0恒成立,分离参数,得a >-[(12)x +(14)x]=g (x)恒成立,即a >[g (x )]max ,又g (x )在(-,1]上是增函数,所以[g (x)]ma x =g (1)=-34,所以a >-34.评注:(1)f (x)>a 恒成立[f (x)]m i n >a;(2)f (x )<a 恒成立[f(x )]max < a.分离参数法就是把方程或不等式中的参数分离出来,然后利用函数的值域或最值来确定参数的范围.例3(2000年上海市高考题)已知函数f (x )=x 2+2x +a x ,x[1,+).若对任意x[1,+),f(x)>0恒成立,求a 的取值范围.解x [,+)时,f (x)=x 2+2x +ax>恒成立x +x +>恒成立数理化学习(高中版)log 2124-1:1022a 0.18分离参数,得a>-x2-2x=-(x+1)2+ 1恒成立.又-(x+1)2+1在[1,+)上的最大值为-3,故a>-3.例4(2003年全国高考题)已知c>0,设P:函数y=c x在R上单调递减.Q:不等式x+|x-2c|>1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确,求c的取值范围.解:y=c x在R上单调递减0<c<1.不等式x+|x-2c|>1的解集为R函数y=x+|x-2c|在R上恒大于1.因为y=x+|x-2c|=2x-2c,x2c, 2c,x<2c.所以y=x+|x-2c|在R上的最小值为2c.所以不等式x+|x-2c|>1的解集为R2c>1c>1 2 .如果P正确,且Q不正确,则0<c12;如果P不正确,且Q正确,则c1,所以c的取值范围是(0,12][1,+).三、已知函数值域求参数例5已知函数f(x)=lg(x2+2x+a)的值域为R,求a的取值范围.解:要使函数f(x)的值域为R,等价于x2+ 2x+a能取到所有的正实数,即x2+2x+a的最小值非负(最大值不存在),即=4-4a0,故a1.评注:(1)y=lg(ax2+b x+c)的值域为R a>0,=b2-4a c0或a=0,b0.(2)y=lg(ax2+b x+c)的定义域为Ra>0,=b2-4a c<0或a=b=0,c>0.四、已知函数奇偶性求参数例6(年广东省高考题)函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是()(A)a b=0(B)a2+b2=0(C)a=b(D)a+b=0.解:因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0,f(-a)=-f(a),所以b=0,a=0,选(B).例7(2001年天津高考题)设a>0,f(x)=e xa+ae x是R上的偶函数,求a的值.解:依题意,对一切x R,f(-x)=f(x),即1a e x+a e x=e xa+ae x,所以(a-1a)(e x-1e x)=0对一切x R成立.所以a-1a=0,又a>0,所以a=1.五、已知函数图像求参数例8(2000年春季高考题)已知函数f(x)=ax3+b x2+c x+d的图像如图1,则()(A)b(-,0)(B)b(0,1)(C)b(1,2)(D)b(2,)解:将三点(0,0),(1,0),(2,0)分别代入f(x)得d=0,a+b+c+d=0,8a+4b+2c+d=0,解得b=-3a.又f(x)=ax(x-1)(x-2),而x>2时,f(x)>0,所以b=-3a<0.选(A).六、已知函数单调性求参数例9(2002年上海市高考题)已知函数f(x)=x2+2ax+2在区间[-5,5]上是单调函数,求a的取值范围.解:由已知得-a-5或-a5,解得a的取值范围是(-,-5][5,+).例10(2000年全国高考题)设函数f(x)=x2+1-ax,其中a>0,求a的取值范围使函数f(x)在区间[0,+)上单调函数.解设x>x,则f(x)f(x)数理化学习(高中版) 2002:2102-119=x22+1-x21+1-a(x2-x1)=x22-x21x2+1+x22+1-a(x2-x1)=(x2-x1)(x1+x2x2+1+x22+1-a).因为0<x1+x2x21+1+x22+1<1,所以a1时,f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),故a>1时,f(x)是单调减函数.七、已知函数最值求参数例11(2002年全国高考题)函数y=a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则a=.解:由题意知a>0,a1,因为y=a x在[0,1]上是单调函数,所以a1+a0=3,即a= 2.八、已知反函数值求参数例12(2000年上海高考题)已知f(x)= 2x+b的反函数为f-1(x),若y=f-1(x)的图像经过点Q(5,2),则b=.解:由题意知f-1(5)=2,所以f(2)=5,即22+b=5,所以b=1.评注:利用结论f(a)=b f-1(b)=a常可回避求反函数.湖北省广水市第一中学(432700)张定强含参数的不等式的解法含参数的不等式,由于参数的不确定性,导致解答过程的复杂性.其主要解答方法是分类讨论法.在不等式的转化变形、写解集时,因参数的取值范围的不同而导致结果不同时,就需要分类讨论.确定讨论的标准,做到不重复、不遗漏.即把参数所取值的集合I,分成若干个非空真子集A1、A2A n(n2),使满足A i A j =(i,j N*,i j),A1A2A n=I.分类讨论后,解集的表达式是确定的.例1解不等式(m+1)x2-4x+10(m R).解析:因二次项系数中含有参数m,所以先按m+1=0,m+1>0,m+1<0进行第一级分类.由于不能分解因式,不要按判别式0,<0进行第二级分类.()当+=即=时,x(2)当m+1>0即m>-1时,方程(m+ 1)x2-4x+1=0的判别式=4(3-m).当0即-1<m3时,2-3-mm+1x2+3-mm+1.当<0即m>3时,原不等式无解.(3)当m+1<0即m<-1时,因为2+3-mm+1<2-3-mm+1.所以x2+3-mm+1或x2-3-mm+1.综上可得,当m<-1时,原不等式的解集为{x|x2+3-mm+1或x2-3-mm+1};当=时,解集为{x|x};当<数理化学习(高中版)1m10m-114.m-114-1m20。

高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧≠-+≥--②①8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。

③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。

故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤Y 且。

例2 求函数2x161x sin y -+=的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧>-≥②①0x 160x sin 2由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③由②解得4x 4<<-④由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，，Y 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。

（2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。

例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。

解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。

（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。

其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。

反三角函数定义域与值域反三角函数，听起来有点复杂，其实就是那些帮助我们“反向”找角度的函数。

我们常用的三角函数，比如正弦、余弦、正切等，都是用来找边长的。

而反三角函数呢，正好相反，它们是用来找角度的。

想想看，反三角函数就像一位老练的侦探，总能把隐藏在边长后面的秘密角度找出来。

这让我们在解决各种几何问题时，倍感轻松。

1. 定义域的探讨1.1 什么是定义域？定义域，听起来很严肃，其实就是“这个函数能接收什么样的输入”。

对于反三角函数来说，输入的值通常是对应的三角函数值。

比如，正弦函数的值可以在1到1之间，所以反正弦函数的定义域就是1, 1。

就像你进门的时候，门口写着“欢迎”，但有些人却是“门外汉”，不能随便进来。

这就是定义域的作用，限制了函数能接收的输入。

1.2 各个反三角函数的定义域说到反三角函数，我们有反正弦（arcsin）、反余弦（arccos）和反正切（arctan）。

它们的定义域各有不同，反正弦的定义域是1, 1，而反余弦的定义域也是1, 1，反正切则是全实数，听起来是不是有点儿不一样？这就像是每个函数都有自己的脾气，反正弦和反余弦比较挑剔，只有在特定的范围内才能表现得淋漓尽致，而反正切则比较随性，想去哪儿就去哪儿，简直是个自由自在的家伙。

2. 值域的深入分析2.1 什么是值域？再聊聊值域，值域就是函数输出的可能结果。

换句话说，就是“你能拿到什么样的结果”。

对于反三角函数来说，反正弦的值域是π/2, π/2，反余弦的值域是0, π，而反正切的值域则是(π/2, π/2)。

值域的设定，像是一扇窗户，让我们知道在这个范围内我们可以看到什么景象。

2.2 各个反三角函数的值域反正弦的值域从π/2到π/2，想象一下，这就是一个上下颠倒的“U”形区域。

而反余弦的值域则像是一条横着的“线”，从0到π，几乎覆盖了一半的圆。

而反正切的值域则更有趣，它的范围是不包括π/2和π/2的，像是一个开口的“弧”。

每个函数都有自己的风格，不同的定义域和值域就像是他们各自的个性，无法复制又别具一格。

第 1 页 共 1 页 函数定义域、值域问题要点归纳
1、定义域
)(x f 整式 定义域R .
)(x f 分式 分母不为0.
)(x f 偶次根式 被开方数非负.
)(x f 几个部分式子组成的，每个式子均有意义.
)(x f 实际问题列出的 实际问题的取值，一般0>x 优先.
抽象函数求定义域：
原则有二：1）求定义域是求x 的取值范围；2）位置相同范围一致 例如：1、)(x f y =，[]1,0∈x ，求)2(+x f 的定义域；
2、)2(+=x f y ，[]1,0∈x ，求)(x f 的定义域；
3、)2(+=x f y ，[]1,0∈x ，求)3(-x f 的定义域；
4、)2(+=x f y ，[]1,0∈x ，求)(x f 的定义域.
2、值域（定义域优先考虑）
1）观察法
定义域 值域
kx y = )0(≠k
R R b kx y += )0(≠k R
R x k y =)0(≠k 0≠x
0≠y c bx ax y ++=2)0(≠a R ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-<⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞->a b ac a a b ac a 44,0,44022
2）分离常数法：形如b
ax d a bc a c b ax d a bc b ax a c b ax d cx y ++-=++-+=++=)()(a c y ≠. 3）图像法（配方法）.
4）换元法：形如c bx ax y ++=（令c bx t +=，0>t ）.
5）分段函数：各段函数的值域之并。

例如21-++=x x y （去绝对值）.。

函数的三要素：对应法则、定义域、值域只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。

例：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？1．解：不是同一函数，定义域不同2。

解：不是同一函数，定义域不同3。

解：不是同一函数，值域不同4．解：是同一函数5．解：不是同一函数，定义域、值域都不同关于复合函数设f(x=2x3 g(x=x2+2 则称f[g(x]（或g[f(x]）为复合函数。

f[g(x]=2(x2+23=2x2+1g[f(x]=(2x32+2=4x212x+11例：已知：f(x=x2x+3 求：f( f(x+1解：f(=(2+3 f(x+1=(x+12(x+1+3=x2+x+31. 函数定义域的求法分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

正切函数余切函数反三角函数的定义域(有些地方不考反三角,可以不理函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是，函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π .注意，1. 复合函数的定义域。

如：已知函数的定义域为（1，3），则函数的定义域。

2. 函数的定义域为,函数的定义域为,则函数的定义域为，解不等式，最后结果才是3.这里最容易犯错的地方在这里：已知函数的定义域为(1,3,求函数的定义域；或者说，已知函数的定义域为(3,4,则函数的定义域为______?一、复合函数的构成设是到的函数，是到上的函数，且，当取遍中的元素时，取遍，那么就是到上的函数。

此函数称为由外函数和内函数复合而成的复合函数。

说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围。

⑵称为直接变量，称为中间变量，的取值范围即为的值域。

⑶与表示不同的复合函数。

．例2：⑴若函数的定义域是[0，1]，求的定义域；⑵若的定义域是[-1，1]，求函数的定义域；⑶已知定义域是，求定义域．要点1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的．解答：⑴函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．函数的定义域是[0，1]，∴B=[0,1]，即函数的值域为[0，1]．∴，∴，即，∴函数的定义域[0，]．⑵函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．的定义域是[-1，1]，∴A=[-1,1]，即-1，∴,即的值域是[-3，1]，∴的定义域是[-3，1]．要点2：若已知的定义域为，则的定义域就是不等式的的集合；若已知的定义域为，则的定义域就是函数的值域。