中考数学精学巧练备考秘籍第2章方程与不等式第10课时不等式与不等式组

2019版中考数学复习 第二章 方程（组）与不等式（组）讲义【考点1】一元一次方程定义：只含有 未知数，并且未知数的次数都是 。

（系数不为0）的整式方程。

形式：一般形式ax+b=0 ； 最简形式 ax=b (a ≠0) 解 ：abx（a ≠0） 【提示】判断一个方程是否为一元一次方程，一定要先把方程化简以后再用定义进行判别。

解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项（移项要变号）；合并同类项；化系数为1【考点2】二元一次方程组 1.二元一次方程定义：含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 的整式方程。

一般形式: ax+by=c ，有无数组解。

2. 二元一次方程组的解法⑴代入消元法：多适用于方程组中有一个未知数的系数是 或 的情形。

⑵ ：多适用于方程组的两个方程中相同未知数的系数 或互为 的情形。

【考点3】一次方程（组）的应用 1.列方程组解应用题的一般步骤：⑴审：即审清题意，分清题中的已知量、未知量； ⑵设：即设关键未知数；⑶列：即找出适当等量关系，列出方程（组）； ⑷解：即解方程（组）；⑸验：即检验所解答案是否正确或是否符合题意； ⑹答：即规范作答，注意单位名称。

2.列一元一次方程常见的应用题类型及关系式 ⑴ 利润率问题：利润=售价-进价 ；利润率=进价利润×100﹪ （先确定售价、进价、再计算利润率，其中打折、降价的词义应清楚）⑵ 利息问题：利息=本金×利率×期数 ；本息和=本金+利息 ；利息税=利息×税率 ； 贷款利息=贷款数额×利率×期数⑶ 工程问题：工作量=工作效率× （把全部工作量看作单位1，各部分工作量之和=1）⑷ 浓度问题：浓度=溶液质量溶质质量×100﹪⑸ 行程问题：路程=速度×时间 ① 追击问题（追击过程时间相等）② 相遇问题 （甲走的路程 乙走的路程=A 、B 两地间的路程） ③ 航行问题：顺水（风）速度= +静水（风）；逆水（风）速度=船速-【中考试题精编】1.练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好花去14元，如果设水性笔的单价为x 元，那么下列方程正确的是（ ）A. 5(x-2)+3x=14B. 5(x+2)+3x=14C. 5x+3(x+2)=14D. 5x+3(x-2)=142.某班在学校组织的某场篮球比赛中，小杨和小方一共投进篮球21个，小杨比小方多投进5个。

第2章 方程与不等式【精学】考点一、不等式的概念 1、不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

3、用数轴表示不等式的方法 考点二、不等式基本性质1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

若a ＜b ，则a +c ＜c b ；2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

若a ＞b ，c ＞0则ac ＞bc （或c a ＞c b）；3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

若a ＞b ，c ＜0则ac ＜bc （或c a ＜c b ）考点三、一元一次不等式 1、一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x 项的系数化为1 考点四、一元一次不等式组 1、一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

2、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

3、由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <）x ax b <⎧⎨<⎩的解集是x a <，即“小小取小”； x a x b >⎧⎨>⎩的解集是x b >，即“大大取大”；x a x b >⎧⎨<⎩的解集是a x b <<，即“大小小大中间找”； x a x b <⎧⎨>⎩的解集是空集，即“大大小小取不了”【巧练】 题型一 不等式的性质例1 (2016某某某某)下列说法不一定成立的是（ ）A ．若a b >，则a c b c +>+B ．若a c b c +>+，则a b >C ．若a b >，则22ac bc >D ．若22ac bc >，则a b >【答案】C ． 【解析】【方法技巧规律】不等式的基本性质是不等式变形的依据，是我们应掌握的基本知识．特别要注意的是，不等式的两边同乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变． 题型二 不等式(组)的解集的数轴表示例 2 （2016某某省某某市）不等式组20260x x +⎧⎨-≤⎩＞的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C ．【方法技巧规律】不等式(组)的解集可以在数轴上直观地表示出来，具体表示方法是先确定边界点，解集包含边界点，则边界点是实心圆点；解集不包含边界点，则边界点是空心圆圈；再确定方向，大向右，小向左．题型三 解不等式(组)例3.(2016某某省)不等式组⎩⎨⎧<>+6205x x 的解集是（ ）A ．x>5B ．x<3C ．-5<x<3D ．x<5 【答案】C 【解析】试题分析：先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．解⎩⎨⎧<>+②① 6205x x 由①得x>-5 由②得x<3 所以不等式组的解集是-5<x<3【方法技巧规律】解不等式组的方法是分别解不等式组中各个不等式，再利用数轴求出这些不等式的公共部分．解不等式组与解方程组截然不同，不能将两个不等式相加或相减，否则将可能出现错误． 题型四 不等式（组）的整数解例4（2016某某某某）不等式组：3112(21)51x x x x -<+⎧⎨-≤+⎩的最大整数解为（ ）A ．1B ．﹣3C ．0D ．﹣1 【答案】C ．题型五 确定不等式(组)中字母的取值X 围例5.（2015·某某某某）关于x 的不等式组⎩⎨⎧1ax ＞＞x 的解集为x ＞1 ，则a 的取值X 围是（ ）A. a ＞1B. a ＜1C. a≥1D. a≤1 【答案】D 【解析】试题分析：根据不等式组的解集的确定方法：同大取大，可知a ＜1 ，当a=1时，符合题意，所以1a ≤，故选：D.【方法技巧规律】根据不等式(组)的解集确定待定系数的取值X 围，解决此类问题时，一般先求出含有字母系数的不等式(组)的解集，再根据已知不等式(组)的解集情形，求出字母的取值X围．【限时突破】（20分钟）1.(2015·某某崇左)不等式5x≤－10的解集在数轴上表示为( )A.B.C.D.2.(2016某某省某某)不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．3.(2015某某某某)下列不等式变形正确的是（）A．由a＞b得ac＞bcB．由a＞b得﹣2a＞﹣2bC．由a＞b得﹣a＜﹣bD．由a＞b得a﹣2＜b﹣24.(2016某某省某某)当1≤x≤4时，mx ﹣4＜0，则m 的取值X 围是（ ）A ．m ＞1B ．m ＜1C ．m ＞4D ．m ＜45.（2016某某滨州）对于不等式组下列说法正确的是（ ）A ．此不等式组无解B ．此不等式组有7个整数解C ．此不等式组的负整数解是﹣3，﹣2，﹣1D ．此不等式组的解集是﹣25＜x≤26．（2016某某省）不等式1302x -+<的解集是． 7.(2016某某某某)不等式组的解集是．8．（2016某某省凉山州）已知关于x 的不等式组423()23(2)5x x a x x +>+⎧⎨>-+⎩仅有三个整数解，则a 的取值X 围是．9.(2016某某省某某)求不等式组372231x x -<⎧⎨+≥⎩的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来．10.(2016某某某某)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案解析】 1.【答案】D ．【解析】试题分析：3x﹣2＜1，移项，得：3x＜3，系数化为1，得：x＜1，故选D．2.【答案】B【解析】考点：(1)、解一元一次不等式组；(2)、在数轴上表示不等式的解集．3.【答案】C4.【答案】B【解析】试题分析：设y=mx﹣4，由题意得，当x=1时，y＜0，即m﹣4＜0，解得m＜4，当x=4时，y＜0，即4m﹣4＜0，解得，m＜1，则m的取值X围是m＜1，考点：含字母系数的一元一次不等式的解法5.【答案】B.考点：一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．6.【答案】x ＞6． 【解析】试题分析：移项，得132x -<-，系数化为1得x ＞6． 故答案为：x ＞6． 7.【答案】﹣2＜x≤1 【解析】试题分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．， 由①得，x≤1， 由②得，x ＞﹣2， 故不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．8.【答案】﹣1≤a ＜23-． 【解析】试题分析：由4x +2＞3x +3a ，解得x ＞3a ﹣2，由2x ＞3（x ﹣2）+5，解得3a ﹣2＜x ＜﹣1，由关于x 的不等式组423()23(2)5x x a x x +>+⎧⎨>-+⎩仅有三个整数解，得﹣5≤3a ﹣2＜﹣4，解得﹣1≤a ＜23-，故答案为：﹣1≤a ＜23-．9.【答案】13x -≤<． 【解析】试题分析：先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，然后再数轴上表示出来即可．试题解析：372231x x -<⎧⎨+≥⎩①②，解不等式①得：3x <； 解不等式②得：1x ≥-．则不等式组的解集是：13x -≤<．10.【答案】﹣3＜x≤1；数轴见解析 【解析】试题分析：首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．试题解析：，解①得x≤1，解②得x＞﹣3，不等式组的解集是：﹣3＜x≤1．。

第10讲不等式与不等式组1．不等式的概念及性质考试内容考试要求不等式的有关概念用不等号连接起来的式子叫做不等式，使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解集．a不等式的基本性质性质1 若a<b，则a±c<b±c；c 性质2若a<b且c>0，则ac____________________bc(或ac____________________bc)；性质3 若a<b且c<0，则ac bc(或acbc)．2.一元一次不等式(组)的解法及应用考试内容考试要求一元一次不等式的解法(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.c不等式组的解法一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．不等式组的解集情况(假设b<a) {x>ax≥b,x≥b x>a 同大取大b {x<ax≤b，x≤b x≤b 同小取小{x<ax≥b，x≥b b≤x<a大小小大中间找{x>ax≤b，x≤b 无解大大小小无处找考试内容考试要求基本思想1.类比思想，解一元一次不等式的全部过程，与解一元一次方程相比，只是最后一个步骤上有所变化．c2.数形结合思想，本讲中在数轴上表示不等式的解集是典型的数形结合思想的体现，它可以形象、直观地看到不等式有无数多个解，尤其是根据不等式的解集确定字母的取值范围时，借助数形结合思想效果更明显．3.分类思想，分类讨论思想在不等式中的应用主要体现在求含有字母系数的不等式的解集．将一个不等式两边同时乘以(或除以)同一个不确定的数，则需要进行分类讨论．基本方法已知不等式(组)的解集确定不等式(组)中字母的取值范围有以下四种方法：(1)逆用不等式(组)解集确定；(2)分类讨论确定；(3)从反面求解确定；(4)借助数轴确定．1．(2015·嘉兴)一元一次不等式2(x＋1)≥4的解在数轴上表示为( ) 2．(2015·丽水)如图，数轴上所表示关于x的不等式组的解集是( )A．x≥2 B．x>2 C．x>－1 D．－1<x≤23．(2017·湖州)一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x>x－1，12x≤1的解集是( )A．x＞－1 B．x≤2 C．－1＜x≤2 D．x＞－1或x≤2 4．(2016·金华)不等式3x＋1＜－2的解集是____________________．5．(2017·衢州)解下列一元一次不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧12x≤2，3x＋2＞x.【问题】给出以下不等式：①2x ＋5<4(x ＋2)， ②x －1<23x ， ③1x －1>0， ④x －1≤8－4x.(1)上述不等式是一元一次不等式的是________；(2)上述不等式中，选取其中二个一元一次不等式，并求其公共解． (3)选取其中一个一元一次不等式，使其只有一个正整数解．(4)通过以上问题解答的体会，解一元一次不等式(组)要注意哪些问题？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理解一元一次不等式(组)的一般步骤及注意的问题．类型一 不等式的基本性质例1 (1)若x ＞y ，则下列式子中错误的是( )A ．x －3＞y －3B .x 3＞y3C ．x ＋3＞y ＋3D ．－3x ＞－3y(2)若实数a ，b ，c 在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是( )A ．ac ＞bcB ．ab ＞cbC ．a ＋c ＞b ＋cD ．a ＋b ＞c ＋b(3)设a 、b 、c 表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是( )A ．c ＜b ＜aB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c【解后感悟】将一个不等式两边同时加上(或减去)同一个数，不等号方向肯定不变；将一个不等式两边同时乘以(或除以)同一个不确定的数，则需要进行分类讨论．对于第(2)、(3)题渗透了数形结合的思想．1．(2016·大庆)当0<x<1时，x 2、x 、1x的大小顺序是( )A ．x 2<x<1x B .1x <x<x 2 C .1x <x 2<x D ．x<x 2<1x类型二 一元一次不等式的解法例2 解不等式：x ＋12＋x －13≤1.【解后感悟】解答这类题学生往往在解题时不注意，在去分母时漏乘没有分母的项．移项时不改变符号而出错；解一元一次不等式的过程与解一元一次方程极为相似，只是最后一步把系数化为1时，需要看清未知数的系数是正数还是负数．如果是正数，不等号方向不变；如果是负数，不等号方向改变．2．(1)(2016·绍兴)不等式3x ＋134>x3＋2的解是____________________．(2)(2015·南京)解不等式2(x ＋1)－1≥3x＋2，并把它的解集在数轴上表示出来．类型三 一元一次不等式组的解法例3 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5≤3（x ＋2），2x －1＋3x2<1，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．【解后感悟】求不等式组的解集，不管组成这个不等式组的不等式有几个，都要先分别求解每一个不等式，再利用口诀“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”或利用数轴求出它们的公共解集，还要确定其中的特殊解．注意不等式中整数解问题．3．解不等式组：(1)(2015·泰州)⎩⎪⎨⎪⎧x －1>2x ，12x ＋3<－1；(2)⎩⎪⎨⎪⎧3（x ＋2）＞x ＋8，x 4≥x －13，并把它的解集在数轴上表示出来．类型四 不等式的解的应用例4 (1)(2017·丽水)若关于x 的一元一次方程x －m ＋2＝0的解是负数，则m 的取值范围是( )A ．m ≥2B ．m ＞2C ．m ＜2D ．m ≤2(2)若关于x 的一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2m ＜0，x ＋m ＞2有解，则m 的取值范围为( )A ．m ＞－23 B ．m ≤23 C ．m ＞23 D ．m ≤－23【解后感悟】(1)列出不等式是解题的关键；(2)本题是已知不等式组的解集求字母系数，是逆向思维问题，故先求出不等式组的解集，再根据已知解集，列关系式求字母系数．4．(1)(2016·通州模拟)如果不等式(a －3)x>a －3的解集是x>1，那么a 的取值范围是( )A ．a<3B ．a>3C ．a<0D ．a>0(2)(2017·金华)若关于x 的一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>3（x －2），x<m 的解是x ＜5，则m的取值范围是( )A ．m ≥5B ．m ＞5C ．m ≤5D ．m ＜5【阅读理解题】(2017·湖州)对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：a ⊗b ＝2a －b.例如：5⊗2＝2×5－2＝8，(－3)⊗4＝2×(－3)－4＝－10.(1)若3⊗x ＝－2011，求x 的值； (2)若x ⊗3＜5，求x 的取值范围．【方法与对策】解答本题的关键是仔细阅读材料，理解例题的解题过程．这类题型复习时应注意给出方法和过程．【求不等式组中字母系数范围出错】如果一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x>3，x<a 关于x 的整数解为4，5，6，7，则a 的取值范围是( )A ．7<a ≤8B ．7≤a<8C ．a ≤7D ．a ≤8参考答案第10讲 不等式与不等式组【考点概要】 1．< < > > 【考题体验】1．A 2.A 3.C 4.x ＜－1 5.－1＜x≤4. 【知识引擎】【解析】(1)①②④ (2)不唯一．选②和④，公共解为x≤95 (3)④ (4)解一元一次不等式(组)，注意去分母时，不要漏乘没有分母的项；移项时要改变符号；最后一步把系数化为1时，需要看清未知数的系数是正数还是负数．如果是正数，不等号方向不变；如果是负数，不等号方向改变．【例题精析】例1 (1)D ；(2)B ；(3)A 例2 去分母得：3(x ＋1)＋2(x －1)≤6，去括号得：3x ＋3＋2x －2≤6，解得：x≤1. 例3 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5≤3（x ＋2） ①，2x －1＋3x2＜1 ②，由①得：x≥－1，由②得：x ＜3, 不等式组的解集为：－1≤x＜3.在数轴上表示为：.不等式组的非负整数解为2，1，0. 例4 (1)C ；(2)解不等式①得，x ＜2m ，解不等式②得，x ＞2－m ，∵不等式组有解，∴2m ＞2－m ，∴m ＞23.故选C .【变式拓展】 1．A2.(1)x>－3 (2)x≤－1.3．(1)x ＜－8. (2)由①得：x ＞1，由②得：x≤4，所以这个不等式组的解集是1＜x≤4，用数轴表示为4．(1)B (2)A 【热点题型】【分析与解】(1)根据新定义列出关于x 的方程，2×3－x ＝－2011，得x ＝2017；(2)根据新定义列出关于x 的一元一次不等式，2x －3＜5，得x ＜4.【错误警示】A。

第二单元 方程(组)与不等式(组)一、解方程(组)1.若x ＝2是方程x 2－x ＋a ＝0的一个根，则a 的值为( ) A.1 B.2C.－1D.－22.分式方程4x ＋4 ＝1x －1的解是__________. 3.解方程组：⎩⎨⎧2x －y ＝3，3x ＋2y ＝1.4.解方程：x 2－4x －2＝0.5.解方程：x －3x －2 ＋1＝32－x.二、根的判别式及根与系数的关系6.一元二次方程4x 2－2x ＋1＝0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断7.已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋k －1＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A.k ＜0B.k ≤0C.k ≤2D.k ＜28.(2020南京)关于x 的方程(x －1)(x ＋2)＝p 2(p 为常数)的根的情况，下列结论中正确的是( )A.两个正根B.两个负根C.一个正根，一个负根D.无实数根9.若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个实数根，则x 1x 2－x 1－x 2的值为__________.三、解不等式(组)10.已知a ＜b ，下列式子成立的是( ) A.ac 2＜bc 2 B.4a ＞4b C.－13 a ＞－13bD.a ＋1＞b ＋111.不等式2x ＋1＞3x 的解集在数轴上表示正确的是( )12.不等式组⎩⎨⎧13x ＋1＞0，2x ＜3（x －2）的解集为__________.13.解不等式组：⎩⎨⎧x －3（x －2）≤8，x －1＜5－2x ，并写出它的整数解.14.解不等式组：⎩⎨⎧3（x －2）≤8－（x ＋6），x ＋12＜2x －13＋1，并把解集在数轴(如图1)上表示出来.图1四、方程(组)及不等式的应用15.某中学共有3个一样规模的大餐厅和2个一样规模的小餐厅，同时开放2个大餐厅和1个小餐厅，可供3 000名学生就餐；同时开放1个大餐厅和1个小餐厅，可供1 700名学生就餐.则 1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？16.某地2018年为做好“精准扶贫”，投入资金1 280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2020年比2018年多投入1 600万元.(1)从2018年到2020年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？(2)按照这个年平均增长率，预计2021年该地投入异地安置资金多少万元？17.为满足疫情期间民众对口罩的需求，某药房购进甲、乙两种口罩.已知每包甲种口罩的价格比每包乙种口罩的价格贵10元，用350元购买甲种口罩的包数恰好与用300元购买乙种口罩的包数相同.(1)求甲、乙两种口罩每包的价格各是多少元；(2)计划购买这两种口罩共50包，且投入的费用不超过3 200元，那么最多可购买多少包甲种口罩？五、方程与几何的简单综合18.菱形ABCD的一条对角线长为6 cm，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长等于( )A.10 cmB.12 cmC.16 cmD.12 cm或16 cm19.已知方程组⎩⎨⎧2x ＋5y ＝－6，ax －by ＝－4 与⎩⎨⎧3x －5y ＝16，bx ＋ay ＝－8 的解相同.(1)求a ，b 的值；(2)若三角形的一边长是3，另两边的长是关于x 的一元二次方程ax 2＋3bx ＋20＝0的两个根，试判断该三角形的形状，并说明理由.参考答案 1．D 2.x ＝833．解：⎩⎨⎧2x －y ＝3，①3x ＋2y ＝1.②①×2＋②，得7x ＝7，x ＝1.把x ＝1代入①，得2－y ＝3，y ＝－1. 所以原方程组的解为⎩⎨⎧x ＝1y ＝－1.4．解：移项，得x 2－4x ＝2.配方，得x 2－4x ＋4＝2＋4，(x －2)2＝6. 由此可得x －2＝±6 ，x 1＝2＋6 ，x 2＝2－6 .5．解：方程两边乘(x －2)，得x －3＋x －2＝－3. 解得x ＝1.检验：当x ＝1时，x －2≠0. 所以，原分式方程的解为x ＝1.6．C 7.D 8.C 9.1 10.C 11.B 12.x ＞613．解：⎩⎨⎧x －3（x －2）≤8，①x －1＜5－2x .②解不等式①，得x ≥－1. 解不等式②，得x ＜2.∴不等式组的解集为－1≤x ＜2. ∴不等式组的整数解为－1，0，1.14．解：⎩⎨⎧3（x －2）≤8－（x ＋6）①，x ＋12＜2x －13＋1②.解不等式①，得x ≤2. 解不等式②，得x ＞－1. ∴不等式组的解集为－1＜x ≤2.∴不等式组的解集在数轴上的表示如图1所示．图115．解：设1个大餐厅可供x 名学生就餐，1个小餐厅可供y 名学生就餐． 依题意，得⎩⎨⎧2x ＋y ＝3 000，x ＋y ＝1 700.解得⎩⎨⎧x ＝1 300，y ＝400.答：1个大餐厅可供1 300名学生就餐，1个小餐厅可供400名学生就餐． 16．解：(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x . 根据题意，得1 280(1＋x )2＝1 280＋1 600. 解得x 1＝0.5＝50%，x 2＝－2.5(舍去)，答：从2018年到2020年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%. (2)(1 280＋1 600)×(1＋50%)＝4 320(万元). 答：预计2021年该地投入异地安置资金4 320万元．17．解：(1)设每包甲种口罩的价格是x 元，则每包乙种口罩的价格是(x －10)元．根据题意，得350x＝300x －10.解得x ＝70. 经检验，x ＝70是所列分式方程的根，且符合题意． ∴70－10＝60(元).答：每包甲种口罩的价格是70元，每包乙种口罩的价格是60元． (2)设购买甲种口罩y 包，则购买乙种口罩(50－y )包． 根据题意，得70y ＋60(50－y )≤3 200. 解得y ≤20.答：最多可购买20包甲种口罩． 18．C19．解：(1)由题意，得方程组⎩⎨⎧2x ＋5y ＝－6，3x －5y ＝16 与⎩⎨⎧ax －by ＝－4，bx ＋ay ＝－8. 的解相同．解方程⎩⎨⎧2x ＋5y ＝－6，3x －5y ＝16， 得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2.将⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2 代入⎩⎨⎧ax －by ＝－4，bx ＋ay ＝－8， 得⎩⎨⎧a ＋b ＝－2，－a ＋b ＝－4. 解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－3. (2)当a ＝1，b ＝－3时，一元二次方程可化为x 2－9x ＋20＝0. 解得x 1＝4，x 2＝5.∵32＋42＝52，∴该三角形为直角三角形．。

第2章 方程与不等式【精学】题型一 一元二次方程的有关概念 1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

考点三、一元二次方程根的判别式根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ 考点四、一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，a cx x =21。

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第一节实数1.命题角度3［2018湖北荆州］解分式方程—3=时,去分母可得（)A.1—3（x—2)=4B.1-3（x-2）=-4C.-1—3(2—x)=-4 D。

1-3(2-x)=42.命题角度3［2018山东德州]分式方程-1=的解为（）A.x=1 B。

x=2C.x=—1 D。

无解3.命题角度3［2018湖南衡阳]衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1。

5倍,总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意,列方程为（)A.-=10B.-=10C.—=10D.+=104.命题角度2［2018山东东营］小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场,气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同。

由于会场布置需要，购买时以一束(4个气球)为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为( ）A。

19 B.18 C.16 D.155.命题角度1[2018山东德州］对于实数a,b，定义运算“◆”:a◆b=例如4◆3,因为4>3,所以4◆3==5。

2021人教版数学第二章方程组与不等式组知识点梳理第5节一次方程(组)及应用方程的概念与一元一次方程及解法1．方程：含有未知数的等式叫做方程．2．方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.3．解方程：求方程解的过程叫做解方程．4．等式的基本性质：(1)若a＝b，则a±m＝b±m；(2)若a＝b，则am＝bm，am＝bm(m≠0).5．移项：把方程的某一项变号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项．6．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1的方程叫做一元一次方程．任何一个一元一次方程都可以化成ax＝b(a，b是常数，且a≠0)的形式．7．解一元一次方程主要有以下步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)把未知数的系数化为1.二元一次方程组及解法8．二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.9．二元一次方程组：由两个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．10．二元一次方程组的解：使二元一次方程组的每个方程左右两边都相等的两个未知数的值是二元一次方程组的解．11．解二元一次方程组可以通过代入法或加减法，逐步消元，变二元为一元．列一次方程(组)解应用题12．列方程解应用题就是要把实际问题抽象为数学问题，然后由数学问题的解决而获得实际问题的解决．正确列出方程的前提是准确理解题意，准确地找出等量关系，进而达到求解的目的．在此过程中，往往要借助于画示意图、列表格等手段帮助我们分析数量关系，并能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理．13．步骤：审，设，列，解，验，答．14．会用一元一次方程、二元一次方程组解决日常生活中的行程问题、工程问题、营销中的利润问题、储蓄问题及数字问题和其他一些常见问题．第6节一元二次方程及应用一元二次方程及解法1．一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式为：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).2．一元二次方程的解法：解一元二次方程的基本思想是降次，将一元二次方程化为一元一次方程，主要有：①直接开平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0). 3．解一元二次方程所选择方法的一般顺序：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法． 一元二次方程根的判别式4．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式为b 2－4ac ，也把它记成Δ＝b 2－4ac .(1)b 2－4ac >0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)b 2－4ac ＝0⇔方程有两个相等的实数根；(3)b 2－4ac <0⇔方程没有实数根；(4)b 2－4ac ≥0⇔方程有实数根．一元二次方程根与系数的关系5．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a，x 1x 2＝c a． 6．若一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q ．一元二次方程的应用7．一元二次方程是刻画现实问题的有效数学模型．通过审题弄清具体问题中的数量关系，是构建数学模型、列一元二次方程，进而解决实际问题的关键．基本类型有：(1)增长(降低)率问题；(2)几何图形面积问题；(3)传播问题；(4)营销中的利润问题．第7节 分式方程及应用分式方程及解法1．分式方程：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程.2．分式方程的解法：分式方程――→去分母转化整式方程―→解整式方程―→检验增根―→确定原方程的根.3．分式方程的增根：(1)定义：使分式方程中分母为0的根；(2)产生增根的原因：将分式方程化为整式方程时，在方程两边同乘以使分母为0的整式；(3)检验方法：①利用方程的解的定义进行检验；②将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为0，不为0就是原方程的根；若为0，则为增根，必须舍去．【温馨提示】分式方程有增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．分式方程的应用4．解分式方程的应用题与解其他方程的应用题的步骤基本相同，但需要注意的是要进行双验根，既要检验是不是原方程的根，还要检验是不是能使实际问题有意义．第8节 一元一次不等式(组)及应用不等式的有关概念和基本性质1．不等式的概念：一般地，用不等号连接的式子叫做不等式．2．不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.3．不等式的解集：含有未知数的不等式的解的集合叫做不等式的解集．4．不等式组的解集：几个不等式的解集的公共部分叫做由它们所组成的不等式组的解集．用数轴表示解集时注意实心点和空心圈的意义．5．不等式的基本性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．一元一次不等式(组)的解法6．解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1(注意不等号的方向是否改变).7．解一元一次不等式组的步骤：①先求出各个不等式的解集；②再利用数轴找它们的公共部分；③写出不等式组的解集．8．几种常见的不等式组的解集(a <b ，且a ，b 为常数)如下表： 不等式组(其中a <b )图示 解集 口诀 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a x ≥b x ≥b 同大取大 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a x ≤b x ≤a 同小取小 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a x ≤b a ≤x ≤b 大小、小大 中间找 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a x ≥b 无解小小、大大 找不到 9.求不等式(组)的特殊解，一方面要先求不等式(组)的解集，然后在解集中找特殊解．一元一次不等式(组)的应用10．列不等式(组)解应用题的基本步骤为：①审题；②设未知数；③列不等式；④解不等式；⑤检验并写出答案．11．列不等式(组)解应用题涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等．12．审题时应紧紧抓住“至多”“至少”“不大于”“不小于”“不超过”“大于”“小于”等关键词，注意分析题中的不等关系，列出不等式(组)，然后根据不等式(组)的解法，结合题意求解．。

第2章方程与不等式【精学】考点一、列方程（组）解决实际问题一、列方程（组）解应用题的一般步骤1、审题：2、设未知数；3、找出相等关系，列方程（组）；4、解方程（组）；5、检验，作答；二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；1、工程问题（1）基本工作量的关系：工作量=工作效率×工作时间（2）常见的等量关系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量（3）注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题2、行程问题（1）基本量之间的关系：路程=速度×时间（2）常见等量关系：相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程追及问题（设甲速度快）：同时不同地：甲的时间=乙的时间；甲走的路程–乙走的路程=原来甲、乙相距路程同地不同时：甲的时间=乙的时间–时间差；甲的路程=乙的路程3、水中航行问题：顺流速度=船在静水中的速度+水流速度；逆流速度=船在静水中的速度–水流速度4、增长率问题：常见等量关系：增长后的量=原来的量+增长的量；增长的量=原来的量×（1+增长率）；5、数字问题：基本量之间的关系：三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100三、列方程解应用题的常用方法1、译式法：就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。

2、线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段长度的内在联系，找出等量关系。

3、列表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系。

4、图示法：就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意。

考点二、列不等式（组）解决实际问题①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么为；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）【巧练】题型一、一元一次方程（组）应用题例1. (2016福建福州)列方程(组)解应用题:某班去看演出,甲种票每张24元,乙种票每张18元.如果35名学生购票恰好用去750元,甲乙两种票各买了多少张?【答案】甲种票买了20张,乙种票买了15张【解析】解:设甲种票买了x张,则乙种票买了(35－x)张.由题意得24x+18(35－x)=750,解得x=20,∴35－x=15.答:甲种票买了20张,乙种票买了15张.例2.(2016湖南邵阳)为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元．（1）求A，B两种品牌的足球的单价．。