平面直角坐标系教学设计(三)

北师大版八年级上第五章《平面直角坐标系》135页---137页《平面直角坐标系（第三课时）》教学设计与教学反思合肥市第四十五中学何钧设计理念根据基础教育课程的具体目标，结合学习是学习者主动建构知识的过程的建构主义理论，把握学生的独立探索与教师的引导支持之间的辩证关系。

教学中，关注学生的学习兴趣和经验，让学生主动参与学习活动，进行多向、充分的探索交流，在课堂活动中感悟知识的生成、发展与变化，形成良好的情感、态度、价值观。

教材分析本节内容选于《义务教育课程标准实验教科书—数学》（北师大版）第五章第2节，本章前面已初步介绍平面直角坐标系由点定坐标和用坐标描点等基本知识，本节课的内容以“建立适当的直角坐标系”为核心内容，内容的处理以“Z+Z智能平台”的辅助工具，学生自主动手完成。

经历根据已知图形建立适当的直角坐标系并确定各顶点坐标的过程，进一步发展学生数形结合意识，培养良好的学习情感、态度以及主动参与、合作交流的意识。

本课重在学生自己动脑、动手，培养创造精神和探究意识，因而在教学中，教师要热情鼓励学生自主探究和大胆创新，对每一位同学建立不同的直角坐标系的方法给予鼓励和足够的重视。

学生分析（1）学生已初步感知了平面直角坐标系、由点定坐示和用坐标描点等基本知识；（2）这个年龄阶段的学生有很强的好奇心，学习中学生会选择不同的点为原点建立直角坐标系，因而教学过程中尽可能多给学生表现的机会，激发学生探究意识。

资源分析本节课利用“Z+Z智能教育平台”教学。

《三角函数》新世纪版可演示建立直角坐标西的过程，并可移动已建成的平面直角坐标系，有利于学生的探究讨论。

教学目标（1）经历根据已知图形建立适当的坐标系并确定各顶点坐标的过程，进一步发展学生形数结合意识和合作交流意识。

（2）会根据已知图形建立适当的坐标系写出图形的顶点坐标。

教学重点会选择并建立适当的平面直角坐标系写出图形的顶点坐标。

教学难点（1）直角坐标系的选择；（2）根据已知图形建立适当的直角坐标系。

课题第五章平面直角坐标系
课时分配
本节共需 3 课时
本节课为第 3 课
时
平面直角坐标系（3）
教学目标1．在同一直角坐标系中，探索位置变化与数量变化的关系、图形位置的变化与点的坐标变化的关系．
2．能建立适当直角坐标系，将实际问题数学化，用直角坐标系解决问题．
重点领会实际模型中确定位置的方法，会正确画出平面直角坐标系．
难点领会实际模型中确定位置的方法，会正确画出平面直角坐标系．
教学过程
教法摘要、学法指
导、教学设计修改问题的引入
站在中心广场，如果没有直角坐标系，即便有课本图中所示
的方格标记，人们也难以说清各景点的准确位置；在自动化生产
过程中，如果没有建立直角坐标系，机械手就无法将元器件准确
插入相应的位置，从而引导学生感受在日常生活中常常需要通过
建立平面直角坐标系来确定物体的位置．教学中，也可以另行设
计贴近学生生活的实例，例如，出示当地或某地旅游景点分布图，
让学生感受建立平面直角坐标系的必要性．
探索活动
（1）在尝试说明各景点位置时，学生可能会有许多方法，
但往往难以简明、准确地表达，从而感受建立直角坐标系的必要
性和优越性．
（2）具体问题的讨论，使学生知道：在同一问题中，可以有
多种建立直角坐标系的方法；在不同直角坐标系中，同一点的坐
标是不同的．
例题精讲
已知正方形ABCD的边长为4，建立适当的平面直角坐标系，分别写出各顶点的坐标．
讨论：还能建立不同的平面直角坐标系，表示正方形各顶点的坐标吗？
课堂练习
1．随堂演练（t展示）
2．完成课本P127页练习1、2
总结
通过这节课你学到了什么？
作业课本P129第5、6题。

苏科版数学八年级上册教学设计《5-2平面直角坐标系（3）》一. 教材分析《5-2平面直角坐标系（3）》这一节内容，是在学生已经掌握了平面直角坐标系的定义、坐标轴、坐标点等基本知识的基础上进行讲解的。

本节课主要让学生了解平面直角坐标系中图形的性质，能够利用坐标系解决一些实际问题。

教材通过例题和练习题的形式，帮助学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对平面直角坐标系的概念和基本知识有了一定的了解。

但学生在解决实际问题时，还存在着一定的困难，对坐标系中图形的性质理解不够深入。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、操作等活动，加深对知识的理解，提高解决问题的能力。

三. 教学目标1.理解平面直角坐标系中图形的性质，能够利用坐标系解决一些实际问题。

2.培养学生的观察能力、思考能力和动手操作能力。

3.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：平面直角坐标系中图形的性质。

2.难点：利用坐标系解决实际问题。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，帮助学生理解知识。

2.实例法：教师通过举例子，让学生直观地理解平面直角坐标系中图形的性质。

3.练习法：学生通过做练习题，巩固所学知识，提高解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的例题和练习题，以便学生在课堂上进行操作和练习。

2.准备一些实际问题，让学生在课堂上进行解决。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问，引导学生回顾平面直角坐标系的基本知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过讲解和展示实例，让学生了解平面直角坐标系中图形的性质，引导学生进行观察和思考。

3.操练（10分钟）学生分组进行讨论，根据教师提供的实际问题，利用所学知识解决问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）学生独立完成教师提供的练习题，巩固所学知识。

教师选取部分学生的作业进行讲解和评价。

一、教学设计思想本节课是在前两节课的基础上，由“在坐标系中由点找坐标”发展为“根据已知条件，建立适当的直角坐标系”。

建立直角坐标系由多种方法，老师不直接把这些方法告诉学生，而是让学生主动探索，分析选择不同坐标系对计算简繁程度的影响。

二、教学目标知识与技能1．进一步巩固画平面直角坐标系，在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标．2．能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置．3．能结合具体情境灵活运用多种方式确定物体的位置．过程与方法根据已知条件有不同的解决问题的方式，灵活地选取既简便又易懂的方法求解是本节的重点，通过多角度的探索既可以拓宽学生的思维，又可以从中找到解决问题的捷径，使大家的解决问题的能力得以提高．情感态度与价值观1．通过学习建立直角坐标系有多种方法，体验数学活动充满着探索与创造．2．通过确定旅游景点的位置，认识数学与人类生活的密切联系，提高学习数学的兴趣．三、教学重点根据实际问题建立适当的坐标系，并能写出各点的坐标．四、教学难点根据已知条件，建立适当的坐标系．五、教学方法探讨法．六、教具准备方格纸若干张．投影片三张：第一张：练习（记作§5．2．3 A）；第二张：补充练习（记作§5．2．3 B）；第三张：补充练习（记作§5．2．3 C）．七、教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课在前两节课中我们学习了在直角坐标系下由点找坐标，和根据坐标找点，并把点用线段连接起来组成不同的图形，还自己设计出了不少漂亮的图案．这些都是在已知的直角坐标系下进行的，如果给出一个图形，要你写出图中一些点的坐标，那么你必须建立直角坐标系，直角坐标系应如何建立？是惟一的情形还是多种情况，这就是本节课的内容．Ⅱ．讲授新课［例］如下图，矩形ABCD的长与宽分别是6，4，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标．［师］在没有直角坐标系的情况下是不能写出各个顶点的坐标的，所以应先建立直角坐标系，那么应如何选取直角坐标系呢？请大家思考．［生甲］如下图所示，以点C为坐标原点，分别以CD、CB所在直线为x轴、y轴，建立直角坐标系．由CD长为6，CB长为4，可得A、B、C、D的坐标分别为A（6，4），B（0，4），C（0，0），D（6，0）．［生乙］如下图所示．以点D为坐标原点，分别以CD、AD所在直线为x轴、y轴，建立直角坐标系．由CD长为6，BC长为4，可得A、B、C、D的坐标分别为A（0，4），B（－6，4），C（－6，0），D（0，0）．［师］这两位同学选取坐标系的方式都是以矩形的某一顶点为坐标原点，矩形的相邻两边所在直线分别作为x轴、y轴，建立直角坐标系的．这样建立直角坐标系的方式还有两种，即以A、B为原点，矩形两邻边分别为x轴、y轴建立直角坐标系．除此之外，还有其他方式吗？［生］有，如下图所示．以矩形的中心（即对角线的交点）为坐标原点，平行于矩形相邻两边的直角为x轴、y轴，建立直角坐标系．则A、B、C、D的坐标分别为A（3，2），B（－3，2），C（－3，－2），D（3，－2）．［师］这位同学做的很棒．较前两种有难度，那还有没有其他建立直角坐标系的方式呢？［生］有，如下图所示．建立直角坐标系，则A、B、C、D的坐标系分别为A（4，3），B（－2，3），C（－2，－1），D（4，－1）．［师］还有其他情况吗？［生］有，把上图中的横坐标逐渐向上移动，纵坐标左、右移动，则可得到不同的坐标系，从而得到A、B、C、D四点的不同坐标．［师］从刚才我们讨论的情况看，大家能发现什么？［生］建立直角坐标系有多种方法．［师］非常正确．［例题］对于边长为4的正三角形ABC，建立适当的直角坐标系，写出各个顶点的坐标．解：如下图，以边BC所在直线为x轴，以边BC的中垂线为y轴建立直角坐标系．由正三角形的性质，可知AO=23，正△ABC各个顶点A、B、C的坐标分别为A（0，23），B（－2，0），C（2，0）．［师］正三角形的边长已经确定是4，则它一边上的高是不是会因所处位置的不同而发生变化呢？［生］不会，只是位置变化，而长度不会变．［师］除了上面的直角坐标系的选取外，是否还有其他的选取方法．［生］有，如下图所示．以点B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系．因为BC=4，AD=23，所以A、B、C三点的坐标为A（2，23），B（0，0），C（4，0）．［师］很好，其他同学还有不同意见吗？［生］有．分别以A、C为坐标原点，以平行于线段BC或线段BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，则A、B、C的坐标相应地发生变化．［师］很棒，其他情况我们就不一一列举了，请大家在课后继续．议一议在一次“寻宝”游戏中，寻宝人员已经找到了坐标为（3，2）和（3，－2）的两个标志点，并且知道藏宝地点的坐标为（4，4），除此外不知道其他信息．如何确定直角坐标系找到“宝藏”？与同伴进行交流．［生］因为（3，2）和（3，－2）到x轴的距离都为2，所以x轴肯定通过连接两个点的线段的中点．［生］因为这两点的横坐标都是3，所以y轴应在这两点的左侧，且连接（3，－2），（3，2）的线段向左移动3个单位长度就与y轴相重合．［师］说的对，下面我完整地给大家叙说一次．如下图，设A（3，2），B（3，－2），C （4，4）．因为点A、B到x轴的距离相等，所以线段AB垂直于x轴，则连接线段AB，作线段AB的垂直平分线即为x轴，并把线段AB四等份，其中的一份为一个单位长度，以线段AB的中点D为起点，向左移动3个单位长度的点为原点O，过点O作x轴的垂线即为y轴，建立直角坐标系，再在新建的直角坐标系内找到（4，4）点，即是藏宝地点．Ⅲ．课堂练习（一）随堂练习投影片（§5．2．3 A）如下图，五个儿童正在做游戏，建立适当的直角坐标系，写出这五个儿童所在位置的坐标．［师］请大家每5个人组成一个小组，每个同学建立直角坐标系的方式不同．请在自己准备的方格纸上建立直角坐标系，并写出在此坐标系下的坐标．［生甲］我是以中间的儿童（即A）为坐标原点，以方格的横线、纵线所在直线为横轴、纵轴，建立直角坐标系，这样，五个儿童所在位置的坐标分别为A（0，0），B（－5，0），C （0，－4），D（4，0），E（0，3），如上图所示．［生乙］我是以图中的B为坐标原点，以方格的横线、纵线所在直线为横轴、纵轴建立直角坐标系，五个儿童所在位置的坐标分别为A（5，0），B（0，0），C（5，－4），D（9，0），E（5，3）．如下图所示．［师］另外以C、D、E为坐标原点，以方格的横线、纵线所在直线为横轴、轴纵建立直角坐标系的方法我们就不一一说明了，我相信大家做的一定很棒．除这五种方法外，是否就没有其他方法了呢？请大家思考．［生］还有，以方格纸的横线、纵线所在直线为横轴、纵轴，横线、纵线的任一交点为原点，都可建立直角坐标系，相应的可求出五个位置的坐标．（二）补充练习投影片（§5．2．3 B）某地为了发展城市群，在现有的四个中小城市A、B、C、D附近新建机场E，试建立适当的直角坐标系，并写出各点的坐标．解：若以A点为坐标原点，过A点的方格的横线、纵线所在直线为横轴、纵轴，建立直角坐标系．这时，A、B、C、D、E五个点的坐标分别为A（0，0），B（8，2），C（8，7），D（5，6），E（1，8）．投影片（§5．2．3 C）如下图，四边形ACEG和四边形BDFH都是正方形，BF的长为8，建立适当的直角坐标系，写出点A、B、C、D、E、F、G、H的坐标．［师］要写出这八个点的坐标，首先要做什么？［生］要求出各线段的长．［师］很好．由已知的BF的长能求出哪些线段的长呢？［生］AC=CE=EG=AG=BF=8AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH=HA=4［师］下面请大家建立适当的直角坐标系．［生］如下图所示．以BF所在直线为x轴，DH所在直线为y轴，建立直角坐标系，BF、DH的交点O为坐标原点．这时八个点的坐标为A（－4，4），B（－4，0），C（－4，－4），D （0，－4），E（4，－4），F（4，0），G（4，4），H（0，4）．［师］这是惟一方法吗？［生］不是，还有许多方法．如上图所示，以点C为坐标原点，CA所在的直线为y轴，CE所在的直线为x轴，建立直角坐标系．这时两个正方形的八个顶点的坐标分别为A（0，8），B（0，4），C（0，0），D （4，0），E（8，0），F（8，4），G（8，8），H（4，8）．Ⅳ．课时小节本节课的目的是能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置．Ⅴ．课后作业习题5．5Ⅵ．活动与探究如下图，建立两个不同的直角坐标系，在各个直角坐标系下，分别写出八角星8个角的顶点的坐标，并比较同一顶点在两个坐标系中的坐标．解：如上图所示建立直角坐标系，则八个顶点的坐标分别为A（－5，10），B（－7，5），C（－5，0），D（0，－2），E（5，0），F（7，5），G（5，10），H（0，12）．第二种：如下图所示建立直角坐标系．这时八个顶点的坐标分别为A（－5，7），B（－7，2），C（－5，－3），D（0，－5），E （5，－3），F（7，2），G（5，7），H（0，9）．比较同一顶点在两种坐标系下的坐标：A（－5，10），A（－5，7），可知横坐标不变，纵坐标减小了；B（－7，5）、B（－7，2），横坐标不变，纵坐标减小了……比较所有顶点的坐标可知，在这两种直角坐标系下，同一顶点的坐标的横坐标不变，纵坐标减小了．八、板书设计。

坐标方法的简单应用（第3课时）教学目标掌握坐标变化与图形平移的关系，能利用点的平移规律将平面图形进行平移，会根据图形上点的坐标变化，来判定图形的平移过程．教学重点掌握坐标变化与图形平移的关系．教学难点利用点的坐标变化与图形平移的关系解决问题．教学过程知识回顾一般地，在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)（或(x－a，y)）；将点(x，y)向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)（或(x，y－b)）．新知探究一、探究新知【思考】如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(4，3)，B(3，1)，C(1，2)．（1）将△ABC三个顶点的横坐标都减去6，纵坐标不变，分别得到点A1，B1，C1，依次连接A1，B1，C1各点，所得△A1B1C1与△ABC的大小、形状和位置有什么关系？（2）将△ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到点A2，B2，C2，依次连接A2，B2，C2各点，所得△A2B2C2与△ABC的大小、形状和位置有什么关系？（3）将△ABC三个顶点的横坐标都加3，纵坐标不变，分别得到点A3，B3，C3，依次连接A3，B3，C3各点，所得△A3B3C3与△ABC的大小、形状和位置有什么关系？（4）将△ABC三个顶点的纵坐标都加2，横坐标不变，分别得到点A4，B4，C4，依次连接A4，B4，C4各点，所得△A4B4C4与△ABC的大小、形状和位置有什么关系？【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流．教师提问：将△ABC三个顶点的横坐标都减去6，纵坐标不变，得到的点A1，B1，C1的坐标分别是什么？学生回答：A1(－2，3)，B1(－3，1)，C1(－5，2)．教师追问：依次连接A1，B1，C1各点，你有什么发现？学生独立作图，小组交流并派代表回答：△A1B1C1与△ABC的大小、形状完全相同；△A1B1C1可以看作将△ABC向左平移6个单位长度得到．教师提问：将△ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，按照上述过程探究，你能发现什么？学生回答：将△ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，得到A2(4，－2)，B1(3，－4)，C1(1，－3)．通过作图，可以发现△A2B2C2与△ABC的大小、形状完全相同；△A2B2C2可以看作将△ABC向下平移5个单位长度得到．按照相同的方法，让学生分小组研究将“横坐标都减去6”“纵坐标都减去5”相应地变为“横坐标都加3”“纵坐标都加2”，分别能得出什么结论？画出得到的图形．学生代表发言，教师总结：将△ABC三个顶点的横坐标都加3，纵坐标不变，得到A2(7，3)，B1(6，1)，C1(4，2)．△A3B3C3 与△ABC的大小、形状完全相同；△A3B3C3可以看作将△ABC向右平移3个单位长度得到．将△ABC三个顶点的纵坐标都加2，横坐标不变，得到A4(4，5)，B4(3，3)，C4(1，4)．△A4B4C4与△ABC的大小、形状完全相同；△A4B4C4可以看作将△ABC向上平移2个单位长度得到．【归纳】一般地，在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或下）平移a个单位长度．【设计意图】通过小组交流、活动探究的形式，激起学生的求知欲，调动学生学习的积极性．通过作图探究，让学生理解图形上点的坐标变化引起的图形的位置变化规律．二、典例精讲【例题】如图，在△ABC中，任意一点P(a，b)经平移后的对应点P1(a－2，b＋4)，将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1．求A1，B1，C1的坐标．【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并回答．【答案】解：∵点P(a，b)经平移后对应点P1(a－2，b＋4)，∴P点向上平移4个单位长度，向左平移2个单位长度．由图知A(5，2)，B(－3，－2)，C(6，－4)，∴A1，B1，C1 的坐标分别为(3，6)，(－5，2)，(4，0)．【设计意图】通过例题的讲解与练习，巩固学生对所学知识的理解及应用．课堂小结板书设计一、图形上点的横坐标变化引起的图形的位置变化二、图形上点的纵坐标变化引起的图形的位置变化课后任务完成教材第79页习题7.2第8题．。

人教版七年级数学下册7.1.2《平面直角坐标系》教学设计一. 教材分析《平面直角坐标系》是人教版七年级数学下册第七章第一节的内容，主要介绍了平面直角坐标系的定义、各象限内点的坐标特征及坐标轴上的点的坐标特征。

这部分内容是学生学习函数、几何等知识的基础，对于培养学生的空间想象能力和抽象思维能力具有重要意义。

二. 学情分析七年级的学生已具备一定的数学基础，但对于平面直角坐标系的理解和应用还需要通过实例来加强。

学生在学习过程中应能够借助图形直观地理解坐标系，掌握各象限内点的坐标特征，并能够运用坐标系解决实际问题。

三. 教学目标1.知识与技能：理解平面直角坐标系的定义，掌握各象限内点的坐标特征及坐标轴上的点的坐标特征。

2.过程与方法：通过实例分析，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。

四. 教学重难点1.重点：平面直角坐标系的定义，各象限内点的坐标特征及坐标轴上的点的坐标特征。

2.难点：坐标系在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入坐标系的概念，让学生在实际情境中理解坐标系的含义。

2.合作学习法：引导学生分组讨论，共同探究坐标系的性质，培养学生的合作意识。

3.问题驱动法：提出问题，引导学生思考，激发学生的探究精神。

六. 教学准备1.教学素材：准备相关实例，如图形、图片等，用于导入和巩固环节。

2.教学工具：准备黑板、粉笔、投影仪等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示生活中的实例，如商场地图、停车场示意图等，引导学生思考如何用数学工具表示这些实例中的点。

通过讨论，引入平面直角坐标系的概念。

2.呈现（10分钟）用投影仪展示平面直角坐标系的图形，引导学生观察并总结各象限内点的坐标特征及坐标轴上的点的坐标特征。

教师在黑板上板书各象限内点的坐标特征及坐标轴上的点的坐标特征。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选取一个实例，运用坐标系表示实例中的点，并总结坐标系的性质。

3.2《平面直角坐标系（3）》教学设计教学目标：1.能结合所给图形的特点，建立适当的坐标系，写出点的坐标；2.能根据一些特殊点的坐标复原坐标系；3.经历建立坐标系描述图形的过程，进一步发展数形结合意识。

教学重点：建立适当的坐标系，确定点的坐标教学难点：建立适当的坐标系，确定点的坐标教学过程：一、导入新课活动过程：确定适当的直角坐标系，确定各个关键点的坐标。

活动成果：根据坐标系确定点的坐标。

【设计意图】：借助于大家熟悉的长方形着手，建立适当的直角坐标系，确定各个顶点的坐标，引入课题。

二、探究新知活动一：活动过程：通过建立不同的直角坐标系，感受点与坐标之间的对应关系。

活动成果：巩固坐标与点的对应关系。

【设计意图】：通过活动感受点与坐标之间的对应关系，并通过观察、猜想并验证坐标之间的特征，提升能力。

三、例题讲解：讲解过程：先确定如图所示的坐标系，然后再确定各个顶点的坐标。

解题思路：在具体情景中根据建立坐标系确定点的坐标。

解题方法：观察分析法答案：略四、课堂练习1.课本随堂练习五、课堂总结本节课我们通过活动更好的感受点与坐标之间的对应关系，建立适当的直角坐标系，确定各个点的坐标。

通过本节课的学习，你还有什么新的收获？请与大家分享。

六、课后作业课内作业：课本课后习题习题3.4 1、2、3七、板书设计课题：3.2 平面直角坐标系（3）1.建立适当的坐标系：2.例题八、教学反思本节课的内容主要通过建立适当的坐标系，确定图形各个顶点的坐标，增强学生解决问题的能力。

在坐标轴上的点学生易弄错坐标。

湘教版八下数学3.1.1《平面直角坐标系》教学设计一. 教材分析《平面直角坐标系》是湘教版八年级下册数学的一个重要内容，主要介绍平面直角坐标系的定义、特点以及坐标的确定方法。

通过本节课的学习，使学生了解和掌握平面直角坐标系的基本知识，为后续函数、几何等知识的学习打下基础。

二. 学情分析学生在七年级已经学习了坐标系的基础知识，对坐标系有一定的认识。

但他们对平面直角坐标系的理解还不够深入，需要通过本节课的学习进一步巩固和提高。

此外，学生对实际问题中坐标系的应用还不够熟练，需要在课堂上进行大量的练习和操作。

三. 教学目标1.知识与技能：理解平面直角坐标系的定义、特点，学会确定点在坐标系中的位置。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：平面直角坐标系的定义、特点，点的坐标确定方法。

2.难点：平面直角坐标系在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究平面直角坐标系的定义和特点。

2.利用多媒体演示和实际操作，帮助学生直观地理解坐标系的运用。

3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

4.注重个体差异，给予学生个性化的指导和建议。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.平面直角坐标系的图片或模型。

3.练习题和实际问题案例。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中常见的坐标系图片，如地图、股市走势图等，引导学生思考：这些坐标系有什么共同特点？它们在实际生活中有什么作用？2.呈现（10分钟）介绍平面直角坐标系的定义、特点，以及点的坐标确定方法。

通过多媒体演示和实际操作，让学生直观地理解坐标系的运用。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，分析一些实际问题中的坐标系，如公交车路线图、运动员成绩表等。

每组选取一个案例，展示并解释其在坐标系中的表示方法。

第三章位置与坐标2 平面直角坐标系第3课时一、教学目标1.能结合所给图形的特点，建立适当的坐标系，写出点的坐标.2.能根据一些特殊点的坐标复原坐标系.3.经历建立坐标系描述图形的过程，进一步发展数形结合意识.4.通过学习建立直角坐标系的多种方法，体验数学活动充满着探索与创造，激发学习兴趣，感受数学在生活中的应用，增强数学应用意识.二、教学重难点重点：根据实际问题建立适当的坐标系，并能写出各点的坐标.难点：：根据一些特殊点的坐标复原坐标系.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计【情境导入】教师活动：教师出示课件，与学生一起做工兵排雷游戏.根据给出的坐标，找到地雷的位置，如果你找对了，地雷就爆炸了，如果找不对，地雷就不会爆炸哦！(-5，0)、(0，4)、(6，4)、(6，-4)、(2，3)、(-2，3)、(-3，-3)、(-5，6)、(2，-3)、(4，-3)、(0，0).预设：思考：你能写出图中几个点的坐标吗？预设：不能，因为没有建立直角坐标系.给出一个平面图形，要想写出图形中一些点的坐标，必须建立直角坐标系，而直角坐标系如何建立?建立方法是否唯一呢?我们一起来探索下！【探究】教师活动：通过探究活动，引导学生探究如何建立适当的平面直角坐标系.如图，长方形ABCD的长与宽分别是6和4，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标.思考：你是如何建立的直角坐标系?各顶点坐标如何求得?预设：(1)确定坐标原点；(2)确定x轴和y轴，建立直角坐标系；(3)根据条件中线段长度表示各顶点的坐标.解：如图，以点C为坐标原点，分别以CD，CB所在的直线为x轴，y轴建立直角坐标系. 此时C点坐标为( 0，0 ).由CD长为6，CB长为4，可得D，B，A的坐标分别为：D( 6 ，0 )，B( 0，4 )，A( 6，4).【议一议】还可以建立其他平面直角坐标系，表示长方形的四个顶点A，B，C，D的坐标吗？预设：成果展示教师引导学生多尝试，方法多样，合理即可.【想一想】由上得知，建立的平面直角坐标系不同，则【典型例题】教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.例如图，对于边长为4的等边三角形ABC，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标.解：如图，以边BC所在直线为x轴，以边BC的中垂线为y轴建立直角坐标系.由等边三角形的性质可知AO=23，顶点A，B，C的坐标分别为A (0，23)；B (-2，0)；C (2，0).提问：想一想，还有其他方法吗？预设：其他方法展示【议一议】在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了坐标为(3，2)和(3，-2)的两个标志物A，B，并且知道藏宝地点的坐标为(4，4)，除此外不知道其他信息.如何确定直角坐标系找到“宝藏”？预设：连接AB，作线段AB的中垂线，并以这条直线为横轴；将线段AB分成四等份，以其中的一份为单位长度，以线段AB的中点为起点，向【随堂练习】教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.如图，建立适当的直角坐标系，并写出这个四角星的八个顶点的坐标.2.如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系内，已知黑棋(甲)的坐标为(-2，2)，黑棋(乙)的坐标为(-1，-2)，则白棋(甲)的坐标为__________.3.对于边长为4的正方形，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标.4.如图所示，在某次行动中，当我方两架飞机处于A(-1，2）与B(3，2)位置时，雷达探测到有一架可疑飞机C 在(1，-2)位置. 请你建立适当的直角坐标系，找出可疑飞机C的位置.答案：1.解：各顶点坐标如下图：2.解：白棋(甲)的坐标为（2，1）.3.解：如图，以顶点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．正方形四个顶点A，B，C，D的坐标分别为：A(0，0)，B(4，0)，C(4，4)，D(0，4).方法不唯一.4.解：点C的位置如图所示：思维导图的形式呈现本节课的主要内容：。

平面直角坐标系第三课时教学设计1. 引言嘿，大家好！今天我们要一起聊聊平面直角坐标系，听起来是不是有点儿严肃？别担心，我们会让这个话题变得轻松有趣，就像吃冰淇淋一样！想象一下，如果我们没有这个坐标系，那我们的数学课可就变成一团乱麻了，像秋天落叶一样到处飞舞。

咱们今天就来揭开平面直角坐标系的神秘面纱，看看它是如何帮助我们在数学世界中找到方向的。

2. 平面直角坐标系的基本概念2.1 坐标系的组成首先，让我们来认识一下平面直角坐标系的“家族成员”。

这个坐标系由两条互相垂直的线组成，横的叫做“X轴”，竖的叫做“Y轴”。

它们就像老朋友一样在原点（0,0）相遇，一起构成了一个“网格”，让我们可以轻松地定位每一个点。

想象一下，你在一个巨大的棋盘上，每一个交叉点都可以用坐标来表示，简直太酷了！2.2 坐标的表示那么，坐标到底是怎么表示的呢？比如说，有个小点在（3, 2）的位置，X轴向右走3步，Y轴向上走2步，你就找到了它！就像在大街上找朋友一样，只要按照这个“导航”走，就绝对不会迷路。

其实，生活中很多事情都和坐标有关，比如你家在哪儿，超市在哪儿，都是可以用坐标来表示的哦！3. 教学活动设计3.1 互动游戏为了让大家更好地理解这个概念，我们可以来个互动游戏。

想象一下，我们在操场上画一个大大的坐标系，大家可以在上面“走动”。

我们把同学们分成两组，每组选择一个点，然后用小旗子标记出来。

谁能最快找到（2, 4）这个点，谁就是我们的“坐标王”！这不仅锻炼了大家的运动能力，还能让你们更直观地理解坐标的位置哦，真是一举两得！3.2 实际应用接下来，我们可以让同学们思考一下，坐标系在生活中有什么实际应用。

比如说，GPS导航就是利用坐标来帮助我们找到目的地的。

想象一下，如果没有坐标，我们的生活会变得多么麻烦！走错路、找不到地方，简直就像是在迷宫里打转。

所以，平面直角坐标系真的是我们日常生活中不可或缺的一部分。

4. 小结通过今天的学习，大家对平面直角坐标系是不是有了更深入的了解呢？这个看似复杂的东西，其实就像是数学世界的“地图”，帮助我们找到正确的方向。

人教版数学七年级下册7.1《平面直角坐标系》教学设计一. 教材分析《平面直角坐标系》是初中数学的重要内容，对于学生理解数学的抽象概念，培养空间想象能力有着至关重要的作用。

人教版数学七年级下册7.1节的内容，主要介绍了平面直角坐标系的定义、各象限内点的坐标特征、坐标轴的性质等。

这部分内容是学生学习函数、几何等后续知识的基础，因此，掌握本节课的内容对于学生来说至关重要。

二. 学情分析学生在七年级上学期已经学习了有理数，对数的概念有了一定的理解，但空间想象能力还不够强。

因此，在教学过程中，需要引导学生将已有的数学知识与新的知识相结合，通过实际操作，提高空间想象能力，理解并掌握平面直角坐标系的相关概念。

三. 教学目标1.了解平面直角坐标系的定义，掌握各象限内点的坐标特征。

2.能正确画出简单的平面直角坐标系，并确定给定点在坐标系中的位置。

3.理解坐标轴的性质，能运用坐标系解决实际问题。

四. 教学重难点1.重点：平面直角坐标系的定义，各象限内点的坐标特征。

2.难点：坐标轴的性质，坐标系在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探索，发现问题，解决问题。

2.利用数形结合的思想，让学生在实际操作中感受坐标系的作用。

3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备平面直角坐标系的教具，如PPT、黑板等。

2.准备一些实际问题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，如地图上的两点距离、体育比赛中运动员的位置等，引导学生思考如何用数学工具来表示这些位置。

从而引出平面直角坐标系的概念。

2.呈现（10分钟）通过PPT或黑板，呈现平面直角坐标系的定义、各象限内点的坐标特征、坐标轴的性质等。

在呈现过程中，引导学生主动参与，发现问题，解决问题。

3.操练（10分钟）让学生分组进行实际操作，如在坐标系中确定给定点的位置，画出简单的函数图象等。

教师巡回指导，解答学生疑问。

《平面直角坐标系》的教案（精选5篇）《平面直角坐标系》的教案（精选5篇）作为一名优秀的教育工作者，时常要开展教案准备工作，教案有助于顺利而有效地开展教学活动。

那么你有了解过教案吗？下面是小编收集整理的《平面直角坐标系》的教案（精选5篇），欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

《平面直角坐标系》的教案1[教学目标]1、认识平面直角坐标系，了解点的坐标的意义，会用坐标表示点，能画出点的坐标位2、渗透对应关系，提高学生的数感。

[教学重点与难点]重点：平面直角坐标系和点的坐标。

难点：正确画坐标和找对应点。

[教学设计][设计说明]一、利用已有知识，引入1．如图，怎样说明数轴上点A和点B的位置，2．根据下图，你能正确说出各个象棋子的位置吗？二、明确概念平面直角坐标系：平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系（rectangular coordinate system）。

水平的数轴称为x轴（x—axis）或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴（y—axis）或纵轴，取向上方向为由数轴的表示引入，到两个数轴和有序数对。

从学生熟悉的物品入手，引申到平面直角坐标系。

描述平面直角坐标系特征和画法正方向；两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

点的坐标：我们用一对有序数对表示平面上的点，这对数叫坐标。

表示方法为（a，b）。

a是点对应横轴上的数值，b是点在纵轴上对应的数值。

例1 写出图中A、B、C、D点的坐标。

建立平面直角坐标系后，平面被坐标轴分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限和第四象限。

你能说出例1中各点在第几象限吗？例2 在平面直角坐标系中描出下列各点。

（）A（3，4）；B（—1，2）；C（—3，—2）；D（2，—2）问题1：各象限点的坐标有什么特征？练习：教材49页：练习1，2、三。

深入探索教材48页：探索：识别坐标和点的位置关系，以及由坐标判断两点的关系以及两点所确定的直线的位置关系。

平面直角坐标系（第3课时）教学目标1．进一步理解平面直角坐标系的相关概念．2．掌握坐标系中各象限内、坐标轴上等特殊点的坐标特征，进一步体会数形结合的数学思想．教学重点坐标系中各象限内、坐标轴上等特殊点的坐标特征．教学难点坐标系中各象限内、坐标轴上等特殊点的坐标特征．教学过程知识回顾在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x 轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点．【设计意图】带领学生复习已学过的平面直角坐标系的知识，为新课“坐标平面内点的坐标特征”作铺垫．新知探究一、探究学习【新知】建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成了Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．坐标轴上的点不属于任何象限．【问题】（1）已知平面直角坐标系，写出图中点A，B，C，D的坐标．【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答．A(5，5)，B(3，－2)，C(－4，2)，D(－2，－3)．教师追问：观察一下，各象限的点的坐标分别有什么特点？学生小组交流并派一名代表回答，教师总结．【问题】（2）在平面直角坐标系中，点E，F，G，H的坐标分别是什么？【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答．E(4，0)，F(－1，0)，G(0，3)，H(0，－2)．教师追问：观察一下，坐标轴上的点的坐标分别有什么特点？学生小组交流并派一名代表回答，教师总结．x轴上的点可表示为(x，0)；y轴上的点可表示为(0，y)．【设计意图】利用数形结合的方法，引导学生分析、解决问题，从而得出象限内或坐标轴上的点的坐标特点．二、典例精讲【例1】在平面直角坐标系中，点P(－2，－3)所在的象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答．∵－2＜0，－3＜0，∴点P(－2，－3)所在的象限是第三象限．【答案】C【例2】在平面直角坐标系中，点A(x，y)的坐标满足以下条件：（1）若xy＞0，则点A在第________象限；（2）若xy＜0，则点A在第________象限；（3）若xy＝0，则点A在________上．【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流并回答．（1）若xy＞0，则x，y同正或者同负，所以点A在第一、三象限．（2）若xy＜0，则x，y一正一负，所以点A在第二、四象限．（3）若xy＝0，则x，y中至少有一个为0，所以点A在x轴或者y轴上，也可以写为点A在坐标轴上．【答案】一、三二、四坐标轴【例3】已知点P(2m－4，m＋1)，请根据以下条件求出点P的坐标．（1）点P在x轴上；（2）点P在y轴上；（3）点P的横坐标比纵坐标大3．【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流并回答，教师板书．【答案】解：（1）∵点P在x轴上，∴m＋1＝0，解得m＝－1．把m＝－1代入横坐标，得2m－4＝－6．∴P(－6，0)．（2）∵点P在y轴上，∴2m－4＝0，解得m＝2．把m＝2代入纵坐标，得m＋1＝3．∴P(0，3)．（3）由题意，得2m－4＝m＋1＋3，解得m＝8．把m＝8代入横、纵坐标，得2m－4＝12，m＋1＝9．即P(12，9)．【设计意图】通过例题的讲解与练习，巩固学生对所学知识的理解及应用．三、拓展提升【探究】如图，正方形ABCD的边长为6，如果以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，那么y轴是哪条线？写出正方形的顶点A，B，C，D的坐标．【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流并回答，教师总结．如图，A(0，0)，B(6，0)，C(6，6)，D(0，6)．教师提示：分别观察A，B，C，D的横、纵坐标，总结你的发现．学生在教师的提示下，小组交流，并派代表回答，教师总结．点A，D的横坐标相等；点B，C的横坐标相等；点A，B的纵坐标相等；点C，D的纵坐标相等．教师追问：另建立一个平面直角坐标系，这时正方形的顶点A，B，C，D的坐标又分别是什么？与同学交流一下．学生独立作图后，组内进行交流，并尝试说出自己的发现，教师总结．【归纳】平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等．【设计意图】通过拓展提升，让学生理解平行于坐标轴的直线上的点的坐标特点．课堂小结板书设计一、象限内点的坐标特征二、坐标轴上的点的坐标特征三、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征课后任务完成教材第70页习题7.1第6题．。

2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式整体设计教学分析教材首先把数轴上的基本公式、距离公式和中点公式，推广到平面直角坐标系，再把二维的问题转化为一维问题来处理．等学完平面向量后，可作为练习，让学生用向量方法重新证明这些基本公式和几何问题．应向学生指出，中点公式是中心对称的坐标表示，应多做练习，让学生掌握中点公式的应用．这一节的习题后用探索与研究的方式安排了一个系列习题．通过直线上的距离公式，求解含绝对值符号的方程．新课标只要求学生理解了距离公式的几何意义，学生应能解出即可，而且，这能进一步帮助学生更好地理解距离公式的意义．不妨在学习椭圆方程和双曲线方程时重温此题．如果点在坐标平面上，让学生写出点的轨迹方程．值得注意的是对于平面内两点间距离公式的教学，第一，应向学生指出，距离公式是勾股定理的坐标形式，通过两点的坐标分量来计算两点间的距离；第二，贯彻算法思想(机械化计算)．这是按步骤计算(一点都马虎不得)，是学好数学的基本功.三维目标1．掌握平面内两点间距离公式和中点公式，提高学生推理和类比能力．2．能够利用平面内两点间距离公式和中点公式解决有关问题；掌握坐标法解决几何问题，提高学生分析问题和解决问题的能力．重点难点教学重点：平面内两点间距离公式和中点公式及其应用．教学难点：平面内两点间距离公式的推导．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.上一节我们学习了直线坐标系中的两点间距离公式，本节我们把这个公式推广到平面直角坐标系中，教师点出课题．设计2.已知平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求A(x1，y1)，B(x2，y2)的距离|AB|呢？教师点出课题．推进新课新知探究提出问题(1)回顾平面直角坐标系中点的坐标的意义．(2)已知点A(x，y)，试求d(O，A)．(3)如何求任意两点A(x1，y1)、B(x2，y2)的距离呢？(4)已知两点的坐标，用两点距离公式计算两点之间的距离，写出步骤．(5)已知A(x1，y1)、B(x2，y2)，设点M(x，y)是线段AB的中点，试推导中点公式．讨论结果：(1)在平面直角坐标系中，有序实数对构成的集合与坐标平面内的点的集合具有一一对应关系．如下图所示，有序数对(x，y)与点P对应，这时(x，y)称作点P的坐标，并记为P(x，y)，x叫做点P的横坐标，y叫做点P的纵坐标．(2)如下图所示．从点A(x，y)作x轴的垂线段AA1，垂足为A1，这时，同学们只要想到勾股定理，会马上写出计算d(O，A)的公式：d(O，A)＝x2＋y2.(3)如下图所示，从点A和点B分别向x轴、y轴作垂线AA1、AA2和BB1、BB2，垂足分别为A1(x1,0)、A2(0，y1)、B1(x2,0)、B2(0，y2)．其中直线BB 1和AA 2相交于点C .在直角△ACB 中，|AC |＝|A 1B 1|＝|x 2－x 1|，|BC |＝|A 2B 2|＝|y 2－y 1|.由勾股定理，得|AB |2＝|AC |2＋|BC |2＝|x 2－x 1|2＋|y 2－y 1|2.由此得到计算A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点的距离公式：d (A ，B )＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(4)步骤是：①给两点的坐标赋值：x 1＝？，y 1＝？，x 2＝？，y 2＝？；②计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1；③计算d ＝Δx 2＋Δy 2；④给出两点的距离d .通过以上步骤，对任意两点，只要给出两点的坐标，就可一步步地求值，最后算出两点的 距离．(5)如下图所示：过点A 、B 、M 分别向x 轴、y 轴作垂线AA 1、AA 2、BB 1、BB 2、MM 1、MM 2，垂足分别为A 1(x 1,0)、A 2(0，y 1)，B 1(x 2,0)、B 2(0，y 2)，M 1(x ,0)、M 2(0，y )．因为M 是线段AB 的中点，所以点M 1和点M 2分别是A 1B 1和A 2B 2的中点，则A 1M 1＝M 1B 1，A 2M 2＝M 2B 2.所以x －x 1＝x 2－x ，y －y 1＝y 2－y ，即x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，这就是线段中点坐标的计算 公式，简称中点公式．探究一 数轴上的坐标运算(1)向量的数量(或坐标)与向量的长度是不同的量，向量的数量(或坐标)是在向量的长度前面加上向量的方向符号，它可能为正也可能为负，还可以为零．向量的数量(或坐标)的绝对值等于向量的长度．(2)向量AB 的坐标用AB 表示，BA 表示向量BA 的坐标，AB ＝－BA ，向量AB 的长度记为|AB |，线段AB 的长度记为|AB |，且|AB |＝|AB |＝|x 2－x 1|，AB ＝x 2－x 1．数轴上任意三点A ，B ，C ，都有关系式AC ＝AB ＋BC ，但却不一定有|AC |＝|AB |＋|BC |，它与A ，B ，C 三个点的相对位置有关．【典型例题1】 (1)已知A ，B ，C 是数轴上任意三点．①若AB ＝5，CB ＝3，求AC ．②证明：AC ＋CB ＝AB ．①解：因为AC ＝AB ＋BC ，所以AC ＝AB －CB ＝5－3＝2．②证明：设数轴上A ，B ，C 三点的坐标分别为x A ，x B ，x C ，则AC ＋CB ＝(x C －x A )＋(x B －x C )＝x B －x A ＝AB ，所以AC ＋CB ＝AB ．(2)已知数轴上两点A (a )，B (5)，分别求出满足下列条件时a 的取值．①两点间距离为5．②两点间距离大于5．③两点间距离小于3．解：数轴上两点A ，B 之间的距离为|AB |＝|5－a |．①根据题意得|5－a |＝5，解得a ＝0或a ＝10．②根据题意得|5－a |>5，即5－a >5或5－a <－5，故a <0或a >10．③根据题意得|5－a |<3，即－3<5－a <3，故2<a <8．探究二 平面内两点间距离公式的应用(1)距离公式还可以变形为|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2．(2)在涉及求平方和的最小值的问题时，可通过两点间距离公式的形式进行构造变形，利用动点到定点的最小距离求解．【典型例题2】 已知点A (a,3)，B (3,3a ＋3)的距离为5，求a 的值．思路分析：由两点的距离公式可以表示出|AB |，而|AB |＝5，可得关于a 的方程，解方程即可求出a 的值．解：因为x 1＝a ，y 1＝3，x 2＝3，y 2＝3a ＋3，所以|AB |＝22(3)(333)a a -+-- ＝22(3)(3)a a -+＝5，即(a －3)2＋(3a )2＝25，展开得a 2－6a ＋9＋9a 2＝25，所以10a 2－6a －16＝0，即5a 2－3a －8＝0，解之得a ＝－1或a ＝85，因此a 的值为－1或85． 探究三 平面内中点坐标公式的应用对于平面内中点坐标公式需要从以下两方面来认识：①从公式上看，根据方程思想，可以知二求一，即只要知道公式两边的任意两个量，就可以求出第三个量．②从图象上看，只要知道任意两个点，就可以求出第三个点． 【典型例题3】 已知△ABC 的两个顶点A (3,7)，B (－2,5)，若AC ，BC 的中点都在坐标轴上，求点C 的坐标． 思路分析：由于AC ，BC 的中点的连线为△ABC 中位线，应与底边AB 平行．又因为边AB 与x 轴、y 轴均不平行，所以两中点不会在同一条坐标轴上．再根据坐标轴上点的坐标的特点即可求解．解：设点C 的坐标为(x ，y )，边AC 的中点为D ，BC 的中点为E ，则DE12AB ． 因为AB 与坐标轴不平行，所以D ，E 两点不可能都在x 轴或y 轴上．线段AC 的中点D 的坐标为37,22x y ++⎛⎫⎪⎝⎭， 线段BC 的中点E 的坐标为25,22x y -++⎛⎫⎪⎝⎭． 若点D 在y 轴上，则32x +＝0，即x ＝－3，此时点E 的横坐标不为零，点E 要在坐标轴上只能在x 轴上，所以52y +＝0，即y ＝－5，所以C (－3，－5)． 若点D 在x 轴上，则72y +＝0，即y ＝－7，此时点E 只能在y 轴上， 所以22x -+＝0，即x ＝2，此时C (2，－7)． 综上可知，适合题意的点C 的坐标为(－3，－5)或(2，－7)．点评 对本题而言，讨论三角形两边的中点在不同的坐标轴上是关键．探究四 易错辨析易错点1：因扩大取值范围而致误【典型例题4】 求函数y ＝21x +＋248x x -+的最小值．错解：因为x 2＋1≥1，所以21x +≥1．又因为x 2－4x ＋8＝(x －2)2＋4≥4，所以248x x -+≥2．所以y ＝21x +＋248x x -+≥3．所以函数y ＝21x +＋248x x -+的最小值为3．错因分析：没有验证等号是否成立，而导致扩大了y 的取值范围，实际上x 是同步的，不能轻易分开．若分别讨论，必须验证等号成立的条件是否满足题意．正解：因为y ＝21x +＋248x x -+ ＝22(0)(01)x -+-＋22(2)(02)x -+-，令A (0,1)，B (2,2)，P (x,0)，则y ＝|P A |＋|PB |．这样求函数的最小值问题，就转化为在x 轴上求一点P ，使得|P A |＋|PB |取得最小值问题．借助于光学的知识和对称的知识，如图所示，作出点A 关于x 轴的对称点A ′(0，－1)，连接BA ′交x 轴于点P ，可知|BA ′|即为|P A |＋|PB |的最小值．即|BA ′|＝2223+＝13．所以函数的最小值y min ＝13．易错点2：因考虑问题不全面而致误【典型例题5】 已知一平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1，－2)，(3,1)，(0,2)，求这个平行四边形第四个顶点的坐标．错解：设A (－1，－2)，B (3,1)，C (0,2)，第四个顶点D 的坐标为(x ，y )，由于四边形ABCD 为平行四边形，则由中点坐标公式得103,22221,22x y -++⎧⎪⎪⎨-++⎪=⎪⎩＝解得4,1.x y =-⎧⎨=-⎩ 所以点D 的坐标为(－4，－1)，即平行四边形的第四个顶点的坐标为(－4，－1)．错因分析：误认为平行四边形为四边形ABCD ，其实还有四边形ABDC ，四边形ACBD ，由于考虑不全面而导致丢解．正解：设A (－1，－2)，B (3,1)，C (0,2)，第四个顶点D 的坐标为(x ，y )，(1)若四边形ABCD 是平行四边形，则由中点坐标公式得310,22122,22x y +-+⎧⎪⎪⎨+-+⎪=⎪⎩＝ 解得4,1.x y =-⎧⎨=-⎩所以点D 的坐标为(－4，－1)．(2)若四边形ABDC 是平行四边形， 则由中点坐标公式得130,22212,22x y -+⎧⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩＝ 解得4,5,x y =⎧⎨=⎩所以点D 的坐标为(4,5)．(3)若四边形ACBD 是平行四边形， 则由中点坐标公式得130,22212,22x y -++⎧⎪⎪⎨-++⎪=⎪⎩＝ 解得2,3,x y =⎧⎨=-⎩ 所以点D 的坐标为(2，－3)．综上所述，满足条件的平行四边形第四个顶点的坐标为(－4，－1)或(4,5)或(2，－3)．当堂检测1．以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的三角形是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形【答案】B2．已知点A (－1,3)，B (2,4)，点P 在x 轴上，且|P A |＝|PB |，则点P 的坐标是______．【解析】设P (x ,0)，则(x ＋1)2＋9＝(x －2)2＋16，解得x ＝53. 【答案】533．若A (a ，b )，B (b ，a )，则|AB |＝______. 【答案】2|a －b |4．判断A(－1，－1)，B(0,1)，C(1,3)三点是否共线，并说明理由．解：|AB|＝(－1－0)2＋(－1－1)2＝5；|BC|＝(1－0)2＋(3－1)2＝5；|AC|＝(－1－1)2＋(－1－3)2＝25；则|AC|＝|AB|＋|BC|，所以三点共线．5．已知点A(2,5)，B(4，－7)，(1)求|P A|＋|PB|的最小值；(2)求||QA|－|QB||的最大值．解：(1)如下图，点A关于y轴的对称点是A′(－2,5)，则|P A|＋|PB|＝|P A′|＋|PB|，由三角形的知识得|P A′|＋|PB|≥|A′B|，又|A′B|＝(－2－4)2＋(5＋7)2＝65，即|P A|＋|PB|的最小值是6 5.(2)如下图，点A关于x轴的对称点是A″(2，－5)，则||QA|－|QB||＝||QA″|－|QB||，由三角形的知识得||QA″|－|QB||≤|A″B|，又|A″B|＝(2－4)2＋(－5＋7)2＝22，所以||QA|－|QB||的最大值为2 2.。

第三章位置与坐标2．平面直角坐标系（第三课时）一、学生起点分析学生的基础知识：学生在前两节的学习中已对平面直角坐标系的定义、特点有了清楚的认识，尤其是能准确地在平面直角坐标系中描点、连线、画图，体会到了数形结合的美妙，所以具备了建立和应用直角坐标系的基本能力。

学生的活动经验：在前面的学习中，学生能在给定的坐标系中描点、连线，积累了一定的画图能力。

二、学生任务分析教科书基于学生对平面直角坐标系的定义，以及在平面直角坐标系中描点、画图的基础上，提出本节的具体学习任务：建立适当的直角坐标系表示点的坐标，为此本节课的教学目标是：【知识目标】1、能结合所给图形的特点，建立适当的坐标系，写出点的坐标；2、能根据一些特殊点的坐标复原坐标系；3、经历建立坐标系描述图形的过程，进一步发展数形结合意识。

【能力目标】通过多角度的探索，灵活选取简便易懂的方法解决问题，拓宽学生的思维，提高学生解决问题的能力。

【情感目标】1．通过学习建立直角坐标系的多种方法，让学生体验数学活动充满着探索与创造，激发学生的学习兴趣，感受数学在生活中的应用，增强学生的数学应用意识。

2．通过确定旅游景点的位置，让学生认识数学与人类生活的密切联系，提高他们学习数学的兴趣。

教学重点：根据实际问题建立适当的坐标系，并能写出各点的坐标。

教学难点：根据一些特殊点的坐标复原坐标系；教学方法：探究式学习教具准备：方格纸若干张。

三、教学过程设计第一环节：探究建立平面直角坐标系，描述图形1.如图，矩形ABCD的长与宽分别是6，4，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标。

『师』：在没有直角坐标系的情况下不能写出各个顶点的坐标，所以应先建立直角坐标系，那么应如何选取直角坐标系呢？请大家思考。

『生1』：如下图所示，以点C为坐标原点，分别以CD，CB所在直线为x轴、y 轴，建立直角坐标系。

由CD的长为6，CB长为4，可得A，B，C，D的坐标分别为A（6，4），B（0，4），C（0，0），D（6，0）。

《平面直角坐标系》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系。

在给定的平面直角坐标系中，能由点的位置写出坐标，由坐标描出点的位置。

2、过程与方法目标经历平面直角坐标系的建立过程，体会数学中的数形结合思想。

通过观察、操作、交流等活动，提高学生的数学思维能力和合作交流能力。

3、情感态度与价值观目标让学生感受数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。

培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

二、教学重难点1、教学重点平面直角坐标系的概念。

点的坐标的确定与表示。

2、教学难点理解坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系。

三、教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法四、教学过程1、情境导入展示一张电影院的座位图，提问学生如何准确地找到自己的座位。

引导学生思考需要通过行数和列数来确定位置。

接着，展示一张地图，提问如何确定一个地点的位置。

从而引出本节课的主题——平面直角坐标系。

2、讲授新课（1）平面直角坐标系的概念教师在黑板上画出两条互相垂直的数轴，水平的数轴称为 x 轴（或横轴），取向右为正方向；竖直的数轴称为 y 轴（或纵轴），取向上为正方向。

两轴的交点 O 称为原点。

这样就建立了一个平面直角坐标系。

（2）点的坐标教师在平面直角坐标系中任意选取一个点 P，过点 P 分别向 x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为 M 和 N。

点 M 在 x 轴上对应的数为 a，点 N在 y 轴上对应的数为 b，则有序实数对（a，b）叫做点 P 的坐标。

（3）象限两坐标轴把平面分成四个部分，每个部分称为象限。

坐标轴上的点不属于任何象限。

第一象限：x ＞ 0，y ＞ 0；第二象限：x ＜ 0，y ＞ 0；第三象限：x ＜ 0，y ＜ 0；第四象限：x ＞ 0，y ＜ 0。

3、巩固练习（1）教师在平面直角坐标系中给出一些点，让学生写出它们的坐标。

（2）给出一些坐标，让学生在平面直角坐标系中描出相应的点。