因数和倍数讲义(最新整理)

五年级因数和倍数知识点一、因数和倍数的基本概念。

1. 因数。

- 定义：如果a× b = c（a、b、c都是非0自然数），那么a和b就是c的因数。

例如3×4 = 12，3和4就是12的因数。

- 找一个数因数的方法：- 列乘法算式找，从1开始，一对一对地找。

如找18的因数，1×18 = 18，2×9=18，3×6 = 18，所以18的因数有1、2、3、6、9、18。

- 列除法算式找，想这个数除以哪些数能整除，这些除数和商就是这个数的因数。

2. 倍数。

- 定义：如果a× b = c（a、b、c都是非0自然数），那么c就是a和b的倍数。

例如3×4 = 12，12就是3和4的倍数。

- 找一个数倍数的方法：用这个数分别乘1、2、3、4……所得的积就是这个数的倍数。

如3的倍数有3、6、9、12……3. 因数和倍数的关系。

- 因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数，必须说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。

例如，不能说3是因数，应该说3是6的因数；不能说12是倍数，应该说12是3的倍数。

二、2、5、3的倍数的特征。

1. 2的倍数的特征。

- 个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。

例如10、12、14等都是2的倍数。

2的倍数也叫偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫奇数。

2. 5的倍数的特征。

- 个位上是0或5的数都是5的倍数。

如5、10、15等都是5的倍数。

3. 3的倍数的特征。

- 一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

例如123，各位数字之和1 + 2+3=6，6是3的倍数，所以123是3的倍数。

三、质数与合数。

1. 质数。

- 定义：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。

例如2、3、5、7等都是质数，2只有1和2两个因数，3只有1和3两个因数。

2. 合数。

- 定义：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。

因数和倍数学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容奇数与偶数、因数与倍数、2,3,5的倍数特征、质数与合数课型一对一/一对N教学目标1、理解因数与倍数概念，能举例说明；2、了解奇数与偶数，能准确判断奇数与偶数，通过探索奇数、偶数相加的结果是奇数还是偶数（奇偶性）；3、了解质数与合数，在1～100的自然数中，能找出质数与合数，并能熟练判断20以内的数哪个是质数，哪个是合数。

重、难点2,3,5的倍数特征、质数与合数知识导图导学一：因数与倍数知识点讲解 1：因数与倍数1、自然数的个数是（）的，最小的自然数是（），（）最大的自然数。

2、在自然数中，是（）的数叫做偶数，（）的数叫做奇数。

3、因数和倍数的意义：如果整数a（a≠0）乘整数b（b≠0）得到整数c，那么a和b都是（）的因数，c是（）的倍数， c也是（）的倍数。

因数和倍数是相互（）的，不能说哪个数是因数，哪个数是倍数。

例 1. 判断（对的打“√”，错的打“×”）（1）18是倍数，2是因数。

（）（2）因为1.4÷0.2＝7，所以1.4是0.2的倍数，0.2是1.4的因数。

（）（3）一个非零自然数的最大因数和最小倍数都是它本身。

（）例 2. [单选题] 属于因数和倍数关系的等式是（）。

A、2×0.25=0.5B、2×25=50C、2×0=0例 3. 在12、6、3、4中，（）是（）的倍数，（）是（）的因数。

例 4. [单选题] 15的最大因数是（），最小倍数是（）。

A、1B、3C、5D、15 我爱展示1. 10×3＝30，（）是（）的因数，（）是（）的倍数。

60÷5＝12，60是（）的倍数，（）是（）的因数。

1.一个数既是20的因数，又是20的倍数，这个数是（）。

2.[单选题] 一个数既是4的因数，又是2的倍数，这个数是（）。

A、2B、4C、2或43.[单选题] a是b的倍数，c是b的因数，则a是c的（）。

初中资源班数学教材---因子与倍数年班号姓名：单元：因子与倍数因子与倍数一、整除：a、b两个整数，b 0，若a除以b所得的且则称b可以整除a，或a可以被b整除。

32÷4＝8（….0）余数0，我们就说4可以整除32，或32可被4整除。

写写看：1.72÷8＝9余数0，）可以整除72，或72可被（）整除。

2.72÷9＝8余数0，）可以整除72，或72可被（）整除。

3.72÷4＝18余数0，），或（）可被 4 整除。

4.72÷18＝4余数0，），或（）可被 18整除。

初中资源班数学教材---因子与倍数年班号姓名：单元：因子与倍数二、因子与倍数：任意两整数a和b，b 0，若b可以整除a，则称b是a的因子，a是b的倍数。

32÷4＝8余数0，我们就说4是32的因子，或32是4的倍数。

写写看：1.72÷8＝9余数0，我们就说（）是72的因子，或72是（）的倍数。

2.72÷9＝8余数0，我们就说（）是72的因子，或72是（）的倍数。

3.72÷4＝18余数0，我们就说 4是（）的因子，或（）是4的倍数。

4.72÷18＝4余数0，我们就说 18是（）的因子，或（）是4的倍数。

三、因子的个数：若a、b、c都是整数，且a、b、c皆不等于0，我们可以说a是b、c的倍数，b、c是a的因子，换句话说，若a可以被b或c整除，则b和c是a的因子。

10÷2＝5 10÷5＝2 10＝5×210是5和2的倍数 5和2是10的因子，这里要注意，10的因子并不是只有5和2两个，5和2只是10的因子中其中的两个。

如果要全部找出10的因子，我们可以这么想：10÷1＝10…….0 (余数为0，所以1是10的因子)，也就是10=1 ×10 10÷2＝5……...0 (余数为0，所以2是10的因子)，也就是10=2 ×510÷3＝3…..….1 (余数为1，所以3不是10的因子)10÷4＝2…..….2 (余数为2，所以4不是10的因子)10÷5＝2…..….0 (余数为0，所以5是10的因子)，也就是10=5 ×210÷6＝1…..….4 (余数为4，所以6不是10的因子)10÷7＝1…..….3 (余数为3，所以7不是10的因子)10÷8＝1…..….2 (余数为2，所以8不是10的因子)10÷9＝1…..….1 (余数为1，所以3不是10的因子)10÷10＝1…….0 (余数为0，所以10是10的因子)，也就是10=10×1所以我们可以找出10的因子有1、2、5、10共4个。

因数和倍数学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容因数和倍数课型一对一教学目标1、会利用短除法、分解质因数法求解两个数的最大公因数和最小公倍数。

2、学会根据最大公因数和最小公倍数求解两个数。

3、学会从题意出发判断是最大公因数的应用还是最小公倍数的应用。

重、难点重点：教学目标1、2 难点：教学目标2、3导学一知识点讲解 1一运用短除法、分解质因数法求解最大公因数和最小公倍数例 1. 求42、168、252的最大公因数（）和最小公倍数（）。

例 2. （1）用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是（）？（2）一个数用9、15、20除都能整除，这个数最小是（）？例 3. A=2×3×M，B=3×5×M（M是自然数且M≠0），如果A和B的最大公约数是21，则M是（），A和B的最小公倍数是（）。

【学有所获】(1)做此类题我们要想先学会，再观察最后将；最后.(2)当题目中出现字母，切忌不要迷惑，将字母看成是一个数字。

(3)练习X=2×2×3×m×n，Y=2×3×5×m×n，求X和Y的最大公因数和最小公倍数？我爱展示1. （1）求48和64的最大公约数（），（2）求8和12的最小公倍数（）。

2. 如果A=2×3×m×n，B=2×5×m×n，那么A、B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

导学二通过最大公因数和最小公倍数求解两个数知识点讲解 1例 1. 两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，这两个数各是多少？有几组这样的数？例 2. 两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，两个数相差54.求这两个数各是（）例 3. 两个数的最大公因数是8，最小公倍数是160，其中的一个数是32，另一个数是（）我爱展示1. 两个数的最大公因数是12，最小公倍数是60，求这两个数（）。

总结倍数与因数知识点一、倍数的定义和性质1.1倍数的定义正整数a是正整数b的倍数，是指存在一个整数k，使得a=k*b。

例如，6是3的倍数，因为存在一个整数k=2，使得6=2*3。

1.2倍数的性质（1）零是一切整数的倍数，因为对于任意整数a，都有0=a*0。

（2）整数a是自己的倍数，因为对任意整数a，都有a=1*a。

（3）整数a的所有倍数可以用集合的形式表示为{a, 2a, 3a, ...}。

1.3倍数的运算（1）两个正整数a和b的最小公倍数（最小公倍数定义为能同时被a和b整除的最小正整数）可以表示为a*b/gcd(a,b)，其中gcd(a,b)表示a和b的最大公约数。

（2）在实际问题中，需要计算出某个数的倍数，可以通过不断地累加这个数得到。

二、因数的定义和性质2.1因数的定义正整数a是正整数b的因数，是指存在一个整数k，使得a=k*b。

例如，3是6的因数，因为存在一个整数k=2，使得6=3*2。

2.2因数的性质（1）每个整数都有两个特殊的因数1和自身。

（2）如果一个正整数有除了1和它自己之外的其他因数，那么这个数就是合数，否则就是质数。

（3）整数a的所有因数可以用集合的形式表示为{1, a, f1, f2, ...}，其中f1、f2等为a的其他因数。

2.3因数的运算（1）任意整数可以分解成它的质因数的乘积，例如，60=2*2*3*5=2^2*3*5。

（2）两个正整数a和b的最大公约数可以表示为a*b/lcm(a,b)，其中lcm(a,b)表示a和b 的最小公倍数。

三、倍数和因数的实际应用3.1最大公约数和最小公倍数（1）最大公约数和最小公倍数在实际问题中有着广泛的应用，例如在分数的化简、比例的计算、物品的包装等方面都会用到这两个概念。

（2）在分数的运算中，首先需要求出分子和分母的最大公约数，然后将分子和分母同时除以这个最大公约数，得到最简分数。

3.2倍数和因数在几何中的应用（1）倍数和因数在计算几何图形的周长和面积时有着重要的作用。

因数与倍数复习知识点：一、因数、倍数1、如果自然数a乘自然数b等于c，即a×b=c，我们就说a和b是c的( )，c是a和b的( )。

2、有关因数、倍数的说明：（1）如果a和b是c的因数，c是a和b的倍数，我们有时也说a和b能整除c，或者说c能被a和b 整除。

（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是( )，最大的因数是它( )。

（3）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它( )，没有最大的倍数。

（4）倍数和因数是相互依存的。

0是任何整数的倍数。

（5）( )是任一自然数（0除外）的因数。

也是任一自然数（0除外）的最小因数。

（6）一个数的因数最少有( )个，这个数是1。

除1以外的任何整数至少有两个因数（0除外）。

（7）一个数的因数都( )他本身，一个数的倍数都( )他本身。

（8）一个数的最小倍数=一个数的最大因数=这个数3、找一个数的因数、倍数的方法：（1）找一个数的因数：①根据定义找；②根据除法算式找。

（2）找一个数的倍数：用这个数本身分别与自然数1、2、3、4···相乘，所得的结果就是这个数的倍数。

4．２、３、５倍数的特征。

（1）２的倍数的特征：个位上是０、２、４、６、８的数，都是( )的倍数。

①自然数中，是２的倍数的数（即能被2整除的数）叫做偶数（或双数）。

②自然数中，不是２的倍数的数（即不能被2整除的数）叫做奇数（或单数）。

③奇数与偶数的性质：偶数＋偶数=( ) 偶数－偶数=偶数偶数×偶数=偶数偶数＋奇数=( ) 偶数－奇数=奇数偶数×奇数=偶数奇数＋奇数=( )奇数－偶数=奇数奇数×奇数=奇数奇数－奇数=偶数无论多少个偶数相加都是偶数偶数个奇数相加是偶数奇数个奇数相加是奇数（2）３的倍数的特征：一个数各个数位上的数相加的和是３的倍数，这个数是 ( )的倍数。

（3）５的倍数的特征：个位上是０、５的数都是( )的倍数。

第二单元因数倍数（讲义）一、教材分析本单元主要包括因数和倍数的概念、性质及应用。

因数和倍数是数学中的基础知识，对于小学生而言，理解因数和倍数的概念十分重要。

因数和倍数的应用不仅存在于数学中，也广泛应用于生活中。

因此，加强学生对于因数和倍数的理解，可以培养学生的数学思维能力和实际运用能力。

二、教学目标1.通过学习因数和倍数的概念及性质，使学生能正确理解、使用因数和倍数的概念。

2.通过实际问题引导学生练习应用因数和倍数的方法，使学生对数学知识的运用有所提高。

3.能够正确使用因数和倍数求得数的各种性质和应用，如：素数、分解质因数等。

4.通过数学学习，培养学生的数学思维能力及实际运用能力。

三、教学内容及教学步骤【知识点一因数】一. 概念引入：请学生拿一根铅笔，经过一次折叠后，折痕处形成的线段的长度与原先的线段的长度相等。

请问这根铅笔是由多少个相等的线段组成的呢？(把学生的回答记录在黑板上)概念引入：以上的问题中，其实就是在问铅笔的长度是否能被分成若干个相等的长度。

那么，这个过程就是因子的运用。

1.定义：如果一个数可以由另外一个数整除，并且商是整数，那么这个数就是另一个数的因数。

2.举例说明：24可以被2整除，商为12，因此2是24的因数，同理4，6，8也是24的因数。

二. 性质1.一个数的因数一定不大于这个数本身。

2.一个数的所有因数之和等于这个数的两倍减自身。

3.其中2和3是在学生学习的举例中就可以理解，第一个性质我们可以通过一个游戏来加深学生的记忆。

游戏引入：老师拿出一叠卡片，上面写着不同的数字，每次向学生发放一张卡片，学生要根据这张卡片写出这个数所有的因数，并口述出来。

如果有人口误或漏掉了因子，则标志着他/她的游戏结束。

经过这个游戏后，同学们更加熟悉因数。

【知识点二倍数】一. 概念1.定义：如果一个数可以被另外一个数整除，并且商是整数，那么这个数就是另一个数的倍数。

2.举例说明：6是3的倍数，因为6除以3等于2。

学生：科目：数学第阶段第次课教师：第二讲、因数和倍数考点一、因数和倍数一、知识要点1、如果a×b=c〔a，b，c都是不为0的整数〕，那么a,b就是c的因数，c就是a,b的倍数。

2、找一个数的因数的方法：〔1〕列乘法算式找〔2〕列除法算式找3、表示一个数的因数的方法：〔1〕列举法〔2〕用集合圈表示4、一个数的因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

5、找一个数的倍数的方法：〔1〕列乘法算式找〔2〕列除法算式找6、一个数的倍数的表示方法：〔1〕列举法〔2〕用集合圈表示7、一个数的倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

8、倍数、因数的关系倍数与因数是相互依存的关系。

没有倍数就不存在因数，没有因数也就不存在倍数，不能单独说一个数是倍数或因数。

二、例题〔基础〕例1 24的因数有哪几个？例2 你能找出多少个3的倍数？三、例题〔提高〕例3 一个数是36的因数，但不是36的最大因数，还是9的倍数，但不是9的最小倍数，这个数是几呢？例4 一个数的最大因数和最小倍数都是45，这个数是几？例5 一个数只有两个因数，且这个数的2倍在25和30之间，这个数是几？例6 幼儿园阿姨买来一些糖果，平均分给5个小朋友，正好分完。

如果阿姨买的糖果总数比5多，比100少，那么阿姨可能买来多少块糖？一、填空题。

1、一个数的因数的个数是〔〕的，其中最小的因数是〔〕，最大的因数是〔〕。

2、一个数的倍数的个数是〔〕的，其中最小的倍数是〔〕，〔〕最大的倍数。

3、一个非零自然数，既是它本身的〔〕，又是它本身的〔〕。

4、〔〕和〔〕是相互依存的。

5、12的因数有〔〕，其中最小的因数是〔〕，最大的因数是〔〕。

6、一个数的最大因数和最小倍数相加等于62，这个数是〔〕。

7、一个数是18的倍数，它又是18的因数，这个数是〔〕。

8、36的全部因数有〔〕个。

二、判断题1、5是5的倍数，但不是5的因数。

因数和倍数奥数辅导讲义
能否从中选择5张卡片，使它们上面的数字之和等于20？为什么？
拓展一：在五角星上的圆圈内共填10个数，如图所示，选出5个数，要使它们的和等于10，你能做到吗？为什么？
拓展二：在黑板上写出三个非零自然数，然后擦去一个数换成其他两个数的和，这样继续操作下去，最后得到44,66，100，那么原来写的三个数能否为1,3,5？
拓展三：在黑板上写出三个非零自然数，然后擦去一个数换成其他两个数的和减1，这样继续操作下去，最后得到17,1967,1983，那么原来写的三个数能否为2,2,2？
例6：9只杯子全部杯口朝上放着，每次“翻动”其中4只杯子，能否经过若干次的“翻动”，使9只杯子的杯口全部朝下？
拓展一：8只杯口朝下的杯子，每次翻动6只杯子，能否经过若干次翻动，使杯口全部朝上？
拓展二：桌子上放着7枚正面朝上的硬币，每次翻动其中的3枚硬币。

能够经过若干次翻动，使硬币正面全部朝下，反面全部朝上？。