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高中数学 必修1知识点集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。
、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。
、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。
真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。
集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合.（2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.N N *N +Z Q R （3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.a M a M ∈a M ∉（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.x x x ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().∅【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集BA ⊆（或)AB ⊇A 中的任一元素都属于B (1)A A ⊆(2)A ∅⊆(3)若且，则B A ⊆B C ⊆A C ⊆(4)若且，则B A ⊆B A ⊆A B=A(B)或B A真子集A B ≠⊂（或B A ）≠⊃，且B 中B A ⊆至少有一元素不属于A （1）（A 为非空子集）A ≠∅⊂(2)若且，则A B ≠⊂B C ≠⊂A C ≠⊂B A集合相等A B=A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A (1)A B ⊆(2)B A⊆A(B)（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非A (1)n n ≥2n 21n -21n -22n-空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A ==0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A == 求补律：A∩ A∪=U反演律：(A∩B)=(A)∪(B) (A∪B)=(A)∩(B)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
高中文科数学公式及知识点速记一、函数、导数1、函数的单调性(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.2、函数的奇偶性对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。
3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.*二次函数： （1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+- 4、几种常见函数的导数①'C 0=；②1')(-=n n nxx ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a xx ln )('=；⑥xx e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '= 5、导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+. （3）'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 指数函数、对数函数分数指数幂(1)m na =0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm naa-==（0,,a m n N *>∈，且1n >）.根式的性质（1）当na =； 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.有理指数幂的运算性质(1) r sa a⋅=(2) ()r s rsa a=(3)()r rab a b=注：若a＞0，指数幂都适用..(0,1,0)a a N>≠>..1a≠,0m>,且1m≠,0N>).对数恒等式：).推论logmnab).常见的函数图象822sin cosθθ+9απ±kα看成锐角时该函数的符号；αππ±+2kα看成锐角时该函数的符号。
圆锥曲线常用结论（自己选择）一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点。
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离。
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切。
5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=。
6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=。
7. 椭圆22221x y a b+= （a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=。
8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+，20||MF a ex =-（1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ）.9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF 。
10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b +=+. 二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点。
高中文科数学公式及知识点速记一、函数、导数1、函数的单调性(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.2、函数的奇偶性对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。
3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.*二次函数： （1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+- 4、几种常见函数的导数①'C 0=；②1')(-=n n nxx ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a xx ln )('=；⑥xx e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '= 5、导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+. （3）'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 指数函数、对数函数分数指数幂(1)m na =0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm naa-==（0,,a m n N *>∈，且1n >）.根式的性质（1）当na =； 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.有理指数幂的运算性质(1) r sa a⋅=(2) ()r s rsa a=(3)()r rab a b=注：若a＞0，指数幂都适用..(0,1,0)a a N>≠>..1a≠,0m>,且1m≠,0N>).对数恒等式：).推论logmnab).常见的函数图象822sin cosθθ+9απ±kα看成锐角时该函数的符号；αππ±+2kα看成锐角时该函数的符号。
高一数学常用公式及结论必修1：一、集合1、含义与表示:（1）集合中元素的特征:确定性,互异性，无序性 (2）集合的分类；有限集，无限集 (3）集合的表示法:列举法,描述法，图示法2、集合间的关系：子集：对任意x A ∈，都有 x B ∈，则称A 是B 的子集。
记作A B ⊆ 真子集:若A 是B 的子集，且在B 中至少存在一个元素不属于A ，则A 是B 的真子集, 记作A ≠⊂B 集合相等:若：,A B B A ⊆⊆，则A B =3. 元素与集合的关系：属于∈ 不属于：∉ 空集：φ4、集合的运算:并集：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集,记为 A B交集：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B补集：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集，记为U C A5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；6。
常用数集：自然数集：N 正整数集：*N 整数集：Z 有理数集:Q 实数集：R 二、函数的奇偶性1、定义： 奇函数 〈=> f （– x ） = – f ( x ） ，偶函数 〈=〉 f (–x ) = f ( x ）（注意定义域）2、性质：（1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形； （2)偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形；（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； （4）如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数． 二、函数的单调性1、定义：对于定义域为D 的函数f （ x )，若任意的x 1， x 2∈D,且x 1 〈 x 2① f （ x 1 ） < f （ x 2 ) 〈=〉 f （ x 1 ） – f ( x 2 ) < 0 <=> f （ x ）是增函数 ② f （ x 1 ) 〉 f ( x 2 ） <=〉 f ( x 1 ) – f （ x 2 ) 〉 0 〈=> f ( x ）是减函数 2、复合函数的单调性： 同增异减三、二次函数y = ax 2 +bx + c （0a ≠)的性质1、顶点坐标公式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22， 对称轴：a b x 2-=，最大（小）值：a b ac 442-2.二次函数的解析式的三种形式(1）一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠； (2）顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠； (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠。
高中数学必修四知识点总结⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lr α=．7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+， 21122S lr r α==．9、（一）设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=；（2）x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=；（3）yx叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)yx xα=≠。
高中数学常用公式及结论1 元素与集合的关系：xA xC u A,xC u A x A. ? A A2集合佝旦丄，％｝的子集个数共有2n个；真子集有2n1个；非空子集有2n1个；非空的真子集有2n2个.3二次函数的解析式的三种形式：⑴一般式f(x) ax2 bx c(a 0);(2) 顶点式f(x) a(x h)2 k(a 0);(当已知抛物线的顶点坐标(h,k)时，设为此式)(3) 零点式f (x) a(x xj(x x2)(a 0)；(当已知抛物线与x轴的交点坐标为(x1,0),( X2,0)时，设为此式)(4) 切线式：f (x) a(x x。
)2 (kx d),(a 0)。
(当已知抛物线与直线y kx d相切且切点的横坐标为x0时，设为此式)4真值表：同真且真，同假或假5常见结论的否定形式；原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个［一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个［至多有(n 1)个小于不小于至多有n个至少有(n 1)个对所有X，成立存在某x，不成立p或q p且q对任何x，不成立存在某x，成立p且q p或q6四种命题的相互关系(下图):(原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.)充要条件：(1)、p q，则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件；(2) 、p q，且q工> p，则P是q的充分不必要条件；(3) 、p H > p，且q p，则P是q的必要不充分条件；4、p H > p，且q H > p，贝U P是q的既不充分又不必要条件。
7函数单调性：增函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而增大。
(2)、数学符号表述是：设f (x)在x D上有定义，若对任意的x1,x2 D,且x1 X2，都有f(Xi) f(x2)成立，则就叫f (X )在x D 上是增函数。
D 则就是f (x )的递增区间。
减函数：(i)、文字描述是：y 随x 的增大而减小。
高中数学必修 + 选修知识点概括必修 1 数学知识点第一章：会合与函数观点1、会合三因素：确立性、互异性、无序性。
2、常有会合：正整数会合：N*或N，整数会合：Z ，有理数会合： Q，实数会合： R.3、并集 . 记作：A B.交集.记作： A B.全集、补集C U A { x | x U ,且 x A}(C U A)∩( C U B) = C U(A∪B) (C U A)∪( C U B) = C U(A∩B)；A B B B A；简略逻辑：或：有真为真，全假为假。
且：有假为假，全真为真。
非：真假相反原命题互逆逆命题若 p则 q互若 q 则 p否为互逆互否为逆否否互否命题逆否命题若┐q则┐p若┐p则┐q互逆原命题：若 P则 q；抗命题：若q 则 p；否命题：若┑ P 则┑q；逆否命题：若┑ q 则┑ p。
常用变换：① f ( x y) f ( x) f ( y) f ( x y) f ( x).f ( y)证f ( x y)f ( y)f( )[()]() ( )f ( x)x f x y y f x y f y② f (x) f ( x) f (y) f (x y) f ( x) f ( y)y证：x xf()f()f() f (y)yy4、设 A、B 是非空的数集，假如依据某种确立的对应关系 f ，使对于会合A中的随意一个数 x ，在会合B中都有唯一确立的数 f x和它对应，那么就称 f : A B 为会合A到会合B的一个函数，记作： y f x , x A .分母不等于零5、定义域被开方大于等于零对数的幂大于零，底大于零不等于1值域：利用函数单一性求出所给区间的最大值和最小值，6、函数单一性：(1)定义法：设x1、x2[ a, b], x1 x2那么f (x1 ) f ( x2 )0 f ( x)在[ a, b] 上是增函数；f (x1 ) f ( x2 )0 f ( x)在[ a, b] 上是减函数.步骤：取值—作差—变形—定号—判断(2)导数法：设函数 y f ( x) 在某个区间内可导，若f (x) 0 ，则f ( x)为增函数；若f ( x)0 ，则 f ( x)为减函数 .7、奇偶性f x 为偶函数：f x f x 图象对于y 轴对称.函数 f x 为奇函数f x f x 图象对于原点对称 .若奇函数y f x 在区间0,上是递加函数，则y f x 在区间,0 上也是递加函数．若偶函数 yf x 在区间 0,上是递加函数，则yf x 在区间 ,0 上是递减函数．函数的几个重要性质：① 如 果 函 数 yf x 对 于 一 切 x R ， 都 有f ax f ax 或 f （ 2a-x ） =f （ x ），那函数 y f x 的图象对于直线 x a 对称 .②函数 yf x 与函数 y fx 的图象对于直线x 0对称；函数 yf x 与函数 y f x 的图象对于直线y 0 对称；函数 yf x 与函数 yf x的图象对于坐标原点对称 .二、函数与导数1、几种常有函数的导数① C '0 ；② ( x n )' nx n 1 ；③ (sin x) ' cos x ； ④ (cos x) ' sin x ； ⑤ ( a x ) 'a xln a ； ⑥ ( e x) 'e x； ⑦ (log a x)'1 ；⑧ (ln x) ' 1x ln ax2、导数的运算法例（ 1） (u v)'u ' v '.（ 2） (uv)' u 'v uv ' .（ 3） ( u)'u 'v uv ' (v 0) .vv 23、复合函数求导法例复合函数 yf (g (x)) 的导数和函数y f (u), u g ( x) 的导数间的关系为 y x y u u x ， 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 .解题步骤 :分层—层层求导—作积复原导数的应用：1、 yf ( x) 在点 x 0 处的导数的几何意义 ：函数 yf (x) 在点 x 0 处的导数是曲线yf ( x) 在P(x 0 , f (x 0 )) 处的切线的斜率 f (x 0 ) ，相应的切线方程是 yy 0 f (x 0 )(xx 0 ) .切线方程 : 过点 P x 0 , y 0 的切线方程，设切点为x 1, y 1 ，则切线方程为 y y 1 f ' x 1 x x 1 ，再将 P 点带入求出 x 1 即可 2、函数的极值 (---- 列表法 )(1) 极值定义：极值是在 x 0 邻近全部的点，都有f ( x) ＜ f ( x 0 ) ，则 f ( x 0 ) 是函数 f (x) 的极大值；极值是在 x 0 邻近全部的点，都有 f ( x) ＞ f (x 0 ) ，则 f ( x 0 ) 是函数 f (x) 的极小值 .(2) 鉴别方法：①假如在 x 0 邻近的左边 f ' (x) ＞ 0，右边 f ' (x) ＜ 0，那么 f ( x 0 ) 是极大值；②假如在 x 0 邻近的左边 f ' (x) ＜ 0，右边 f ' (x) ＞ 0，那么 f ( x 0 ) 是极小值 .3、求函数的最值(1) 求 y f (x) 在 (a, b) 内的极值（极大或许极小值）(2) 将 y f (x) 的各极值点与 f (a), f (b) 比较，此中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。
o高中数学第四章-三角函数1. ①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）： {| = k ⨯ 360 +, k ∈ Z }②终边在 x 轴上的角的集合： {| = k ⨯180 , k ∈ Z} ③终边在 y 轴上的角的集合：{| = k ⨯180 + 90 , k ∈ Z} ④终边在坐标轴上的角的集合： {| = k ⨯ 90 , k ∈ Z} ⑤终边在 y =x 轴上的角的集合：{| = k ⨯180 + 45 , k ∈ Z }⑥终边在 y = -x 轴上的角的集合：{| = k ⨯180 - 45 , k ∈ Z}SIN \COS 三角函数值大小关系图 1¡ 2¢¡ ¢3¡ 4¢表示第一、二、三、四象限一半所在区域⑦若角与角的终边关于 x 轴对称，则角与角的关系：= 360 k -⑧若角与角的终边关于 y 轴对称，则角与角的关系：= 360 k +180 -⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：= 180 k +⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：= 360 k +± 902. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式： 1rad ＝180 °≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ ≈0.01745（rad ）3、弧长公式：l =|| ⋅r .扇形面积公式： s 扇形= 1 lr = 1||⋅ r 22 21804、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异yya 的 的 的于原点的）一点 P （x,y ）P 与原点的距离为 r ，则 sin = ；rP 、 x,y) cos= x ； rtan= y； xcot= x ； ysec= r；. xcsc = r . yx5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）yTP、 、 、、、、 、 、、、、 、 、、、OM A x6、三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM;正切线： AT.7. 三角函数的定义域：y+ o - + - x y- +o + -x y- +-o + x▲y3 sinx2 sinx4 cosx 1cosx xcosx cosx14sinx 2sinx 3r三角函数定义域f (x) =sin x{x | x ∈R}f (x) =cos x{x | x ∈R}f (x) =tan x ⎧x | x ∈R且x ≠k+1, k ∈Z⎫⎨2⎬ ⎩⎭f (x) =cot x{x | x ∈R且x ≠k, k ∈Z}f (x) =sec x ⎧x | x ∈R且x ≠k+1, k ∈Z⎫⎨2⎬ ⎩⎭f (x) =csc x{x | x ∈R且x ≠k, k ∈Z}8、同角三角函数的基本关系式： sin= tancos cos= cot sintan⋅ cot= 1cscα⋅sin α= 1 secα⋅ cosα= 1sin 2+cos2=19、诱导公式：sec2-tan 2=1csc2- cot 2= 1把k±的三角函数化为的三角函数，概括为2“奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系公式组一公式组二公式组三sin x·csc x=1 tan x= sin xcos xsin2x+cos2x=1sin(2k+x) = sin xcos(2k+x) = cos xsin(-x) =- sin xcos(-x) = cos xcos x·sec x=1x= cos xsin x 1+tan2x =sec2x tan(2k+x) = tan x tan(-x) =- tan xtan x·cot x=1 1+cot2x=csc2xcot(2k+x) = cot x cot(-x) =- cot x 公式组四公式组五公式组六sin(+x) =- sin x cos(+x) =-cos x tan(+x) = tan x cot(+x) = cot x sin(2-x) =- sin xcos(2-x) = cos xtan(2-x) =- tan xcot(2-x) =-cot xsin(-x) = sin xcos(-x) =- cos xtan(-x) =- tan xcot(-x) =- cot x（二）角与角之间的互换公式组一公式组二cos(+) = cos cos -s in sin cos(-) = cos cos + sin sin sin 2= 2 sin coscos 2= cos 2- sin 2= 2 cos 2-1 = 1- 2 sin 2sin(+) = sin cos + cos sin sin(-) = sin cos - cos sintan 2=sin =±22 tan1- tan 21- cos22 costan(+ ) =tan + tan1- t an tan cos= ± 21+ cos2tan(- ) =tan - t an1+ t an tantan= ± 21- cos = 1+ cos sin 1+ cos=1- cos sin 公式组三公式组四 公式组五sin=2 tan2 1+ tan 2sin cos = 1[sin (+)+ s in (-)]2 cos sin = 1[sin (+)- s in (- )] 2 cos(1-) = sin 2 sin(1-) = cos2 2 1[ ( )()]1- tan 2cos cos =cos + + c os - 2tan( 1-) = cot cos =2 sin sin = - 1[cos (+ )- cos (- )]21+ tan 22+ -cos(1+) = -sin 2sin + s in = 2 s in cos 2 2 2 tan sin - sin = 2 cos + sin - tan( 1+) = -cot tan = 2 2 2 2 cos + c os = 2 c os + - 1- tan 2 2 2 cos - cos = -2 s in + 2-sin( 1+) = cos 2sin15 = cos 75 =6 - 4, , tan15 = cot 75 = 2 - ,2. 2 tan 75 = cot15 = 2 +sin 75 = cos15 =6 + 2 410. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：y = sin xy = cos xy = tan xy = cot xy = A s in (x +)（A 、＞0）定义域 R R⎧x | x ∈ R 且x ≠ k + 1 , k ∈ Z ⎫⎨ 2 ⎬⎩ ⎭{x | x ∈ R 且x ≠ k, k ∈ Z }R值域 [-1,+1] [-1,+1]RR[- A , A ]周期性 2 22奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当≠ 0, 非奇非偶当= 0, 奇函数3 3 sin 2单调性[- + 2k ,2 + 2k ] 2上为增函数 ； [ + 2k , 2 3+ 2k ] 2上为减函数（ k ∈ Z ）[(2k -1),； 2k] 上 为 增 函数[2k ,(2k +1)] 上 为 减 函数 （ k ∈ Z ）⎛- + k , + k ⎫⎪ ⎝ 2 2⎭上为增函数（ k ∈ Z ） (k , (k +1)) 上为减函数（k ∈ Z ） ⎡ 2k - - ⎤ ⎢ 2 ( A ), ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ 1 ⎥ ⎢ 2k + - ⎥ ⎢ 2 (- A )⎥⎣ ⎦上为增函数；⎡ ⎤⎢ 2k + 2- ⎥ ⎢( A ), ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2k + 3- ⎥ ⎢ 2 (- A )⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦上为减函数（ k ∈ Z ）注意：① y = - sin x 与 y = sin x 的单调性正好相反； y = - cos x 与 y = cos x 的单调性也同样相反.一般地，若y = f (x ) 在[a , b ] 上递增（减），则 y = - f (x ) 在[a , b ] 上递减（增）.② y = sin x 与 y = cos x 的周期是.③ y = sin(x +) 或 y = cos(x +) （≠ 0 ）的周期T =2.y = tan x的周期为 2（T = 2⇒ T = 2，如图，翻折无效）.④ y = sin(x +) 的对称轴方程是 x = k +（ k ∈ Z ），对称中心（ k ,0 ）； y = cos(x +) 的对称轴方程是 2x = k （ k ∈ Z ），对称中心（1 ）； y = tan(x +) 的对称中心（k）.k + ,0,022y = cos 2x −原−点−对−称→ y = -cos(-2x ) = -cos 2x⑤当tan · tan= 1,+= k+ (k ∈ Z ) ； tan · tan = -1, - = k + (k ∈ Z ) .2 2⑥ y = cos x 与 y =⎛ ⎫ 是同一函数,而 y = (x +) 是偶函数，则sin x + ⎝ + 2k ⎪2 ⎭ y = (x +) = sin(x + k + 1) = ± cos(x ) .2⑦函数 y = tan x 在 R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域， y = tan x 为增函数，同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是 f (x ) 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数： f (-x ) = f (x ) ，奇函数： f (-x ) = - f (x ) ）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如： y = tan x 是奇函数， y = tan(x + 1) 是非奇非偶.（定义域不关于原点3对称）▲ yxO⎢ ⎥奇函数特有性质：若0 ∈ x 的定义域，则 f (x ) 一定有 f (0) = 0 .（ 0 ∉ x 的定义域，则无此性质）▲y⑨ y = sin x 不是周期函数； y = sin x 为周期函数（ T = ）；y = cos x 是周期函数（如图）； y = cos x 为周期函数（ T = ）；▲yx1/2xy=cos |x|图象y = cos 2x + 1 的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： 2y = f (x ) = 5 = f (x + k ), k ∈ R .y=|cos2x +1/2|图象⑩ y = a cos + b s in =sin(+) + cos= b有 a≥ y . 11、三角函数图象的作法： １）、几何法：２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.３）、利用图象变换作三角函数图象．三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．函数 y ＝Asin （ωx ＋φ）的振幅|A|，周期T = 2 ，频率 f = 1 = || ，相位x +; 初相（即当 x ＝0|| T 2时的相位）．（当 A ＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），由 y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当 0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到 y ＝Asinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换．（用 y/A 替换 y ）由 y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的| 1| 倍，得到 y ＝sinω x 的图象，叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换．(用ωx 替换 x)由y ＝sinx 的图象上所有的点向左（当 φ＞0）或向右（当 φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到 y ＝sin （x ＋ φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移．(用 x ＋φ 替换 x) 由 y ＝sinx 的图象上所有的点向上（当 b ＞0）或向下（当 b ＜0）平行移动｜b ｜个单位，得到 y ＝sinx ＋b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移．（用 y+(-b)替换 y ）由 y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数 y ＝Asin （ωx＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延 x 轴量伸缩量的区别。
高中数学解析几何第一部分 :直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角 α(1) 定义：直线 l 向上的方向与 x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角(2) 范围： 0 180 2.斜率：直线倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率 .k t an1).倾斜角为 90 的直线没有斜率。
2).每一条直线都有唯一的倾斜角， 但并不是每一条直线都存在斜率 其斜率不存在 )，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到 这两种情况，否则会产生漏解。
3)设经过 A (x 1,y 1)和 B(x 2,y 2) 两点的直线的斜率为 k ，y 1 y 2o则当 x 1 x 2 时， k tan；当 x 1 x 2 时，90；斜率不存在；x1 x 2二、直线的方程1.点斜式：已知直线上一点 P (x 0,y 0)及直线的斜率 k (倾斜角 α )求直线的方程用点斜式： y-y 0=k(x-x 0)注意： 当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为 x x 0 ；2.斜截式：若已知直线在 y 轴上的截距(直线与 y 轴焦点的纵坐标)为 b ，斜率为 k ，则直 线方程： y kx b ；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：y kx注意：正确理解“ 截距 ”这一概念，它具有 方向性，有正负之分，与“距离”有区别 。
3.两点式：若已知直线经过 (x 1,y 1) 和 (x 2, y 2) 两点，且( x 1 x 2,y 1 y 2 则直线的方程：y y 1 x x 1 y 2 y 1 x 2 x 1注意：①不能表示与 x 轴和 y 轴垂直的直线；②当两点式方程写成如下形式 (x 2 x 1)(y y 1) (y 2 y 1)(x x 1) 0时， 方程可以适应在 于任何一条直线 。
4 截距式：若已知直线在 x 轴， y 轴上的截距分别是 a ， b ( a 0,b 0 )则直线方程：a xb y1；注意： 1) .截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。
1. 常见的数值：e ≈2.72，√2≈1.41，√3≈1.73ln2≈0.69，ln3≈1.102. 类似“√n +1-1”的式子都可以写成n 项和的形式，在一些证明题中会有应用： √n +1-1=(√n +1-√n )+( √n -√n −1)+...+( √2-√1)=∑(√k +1−√k n k=1)3. 几何平均不等式：∑a in i=1≥n √a 1a 2a 3…a n n 4. 组合数的性质：C n+1m =C n m +C n m−1组合数性质的推论：C n n +C n+1n +...+C n+m n=C n+m+1n+15. 正四面体中，外接球半径：内接球半径=3:16. 圆台的侧面积：S 侧=π(r+r 1)l (r 、r 1为上下底圆的半径，l 为母线长。
特殊的，当r 1=0时，即为圆锥时，有S 侧=πrl)7. 圆台的体积公式：V=13(S+√1S 1)h8. 矩形ABCD 的对角线AC 与BC 、CD 所成的角分别为α、β，则有sin 2α+sin 2β=1类比推理有长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，体对角线BD 1与AB 、BB 1、BC 所成角分别为α、β、γ 则有cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1 sin 2α+sin 2β+sin 2γ=29. a n+1=φa n +q γa n +h，一般为周期数列10. 重要不等式的推论：e x≥x+1，e x-1≥x ，e x≥ex 11. 发生的概率等于1的事件不一定为必然事件12. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1，y 1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2，y 2)，则S △ABC =12|x 1y 2−x 2y 1|13. 泰勒展开：e x=x 00!+x 11!+x 22!+x 33!+⋯,−∞<x <∞14. f(x)关于直线x=a 对称，则f(x+a)为偶函数 15. f(a+x)=-f(b-x)，则f(x)关于(a+b 2,0)中心对称16. n 等分点公式：x 2=βx 1+(1-β)x 3x 1、x 2、x 3均为坐标，当β=12时，即为中点公式17. A 1(x 1，y 1)与A 关于直线l ：y=x+a 的对称点A 2(x 2，y 2)的关系：{y 2=x 1+ax 2=y 1−a18. 在上方时是sin θ-cos θ＞0在下方时是sin θ-cos θ＜019. 在上方时sin θ+cos θ＞0在下方时sin θ+cos θ＜020. ○1对于阴影区域有： sin 2θ+cos 2θ=1，tan 2θ+1=1cos 2θ，cot 2θ+1=1sin 2θ○2对角线相乘等于1，如：sin θ×1sinθ=1○3相邻两边构成的三角形，底角相等等于顶角，比如cos θ×1sinθ=cot θ21. 若f(x)是[a ，b]上的凸函数，则对不相等的x 1，x 2，x 3，x 4∈[a ，b]则有: f(x 1+x 2+x 3+x 44)＞14[f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)+f(x 4)]22. (x-a)2+(lnx-2a)2具有几何意义：表示(x,lnx)与(a,2a)两点间的距离平方 23. 在证明题中，1+122+132+...+1n2通常进行裂项处理24. g(x)=e x −1e +1为奇函数 25. sin2α=2t1+t²，cos2α=1−t²1+t²，tan2α=2t1−t²， (t=tan α)26. tan α2=1−cosαsinα=sinα1+cosα27. 1±sin2α=(sin α±cos α)²28. 若α+β=45°，则有(1+tan α)(1+tan β)=229. 类似cos20°cos40°cos60°cos80°这样cos 连乘的式子，且角度为公比为2的等比数列，可采用同时乘除sin θ的形式，连续用倍角公式 30. 在△ABC 中，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3),则△ABC 的重心O 为(x 1+x 2+x 33，y 1+y 2+y33)31. 在△ABC 中，GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则G 为△ABC 的重心 32. 在△ABC 中, OA ⃗⃗⃗⃗⃗ . OB ⃗⃗⃗⃗⃗ = OA ⃗⃗⃗⃗⃗ . OC ⃗⃗⃗⃗⃗ = OB⃗⃗⃗⃗⃗ . OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则O 为△ABC 的垂心 33. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为三角形的三条边，若有a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +bOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +c OC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则O 为△ABC 的内心 34. 若G 是三角形的重心，有OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ )35. 若P 、G 、Q 三点共线，则有OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =μOG ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-μ) OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ (即后面系数和要为1),其中μ=n n+m，1-μ=mn+m36. P 、A 、B 、C 四点满足，OP⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ + zOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，x+y+z=1，则P 、A 、B 、C 四点共面 37. 角平分线定理：DC 为∠BCA 的角平分线,则有BD AD=BCAC38. 在△OAB 中，OC 是∠AOB 的内角平分线，ON 是∠AOB 的外角平分线。
○1 若O 为动点，则O 的轨迹是以CN 为直径的圆，因为∠CON=90°○2内外角平分线定理：OA OB=AC BC=AN BN39. 若μ1OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μ2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μ3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,O 为△ABC 中任意一点，则有S 1:S 2:S 3=μ1:μ2:μ340. x ∈(0,π2),则有sinx ＜x ＜tanx ，同时三个函数在x=0相切，k=1 41.a⃗ |a ⃗ |表示a ⃗ 所在方向的单位向量 42. 数列1,11,111....的通项公式为a n =10n −1943. 若数列前n 项和为二次函数，则数列为等差数列。
不过要尤其注意的是！若二次函数带有常数项，则从第二项开始为等差数列，a 1要分开来写，即数列要分段 44. 广义的对勾函数，f(x)=ax+bcx ,勾点为二者相等时，即ax=b cx，解得x=√bac45. 要证明数列前n 项和小于某个常数，要不就是某个等比数列的前n 项和，要不就是裂项 46. 若ax ²+bx+c=0的两根为α、β，则○1 cx ²+bx+a=0的两根为1α、1β○2 cx ²-bx+a=0的两根为−1α、-1β47. 对于分子为二次项，分子为一次项，即y=ax 2+bx+c dx+e，通过长除法可以化成y=(dx+e)+q dx+e+k 的形式48. S n =1+12+13+...+1n为发散数列，故前n 项和趋近无穷大49. S直观图=√24S 原图50. 正四面体可以补形成正方体，三对对棱长相等可补形成长方体 51. 两条异面直线有唯一一条公垂线 52. 在三棱锥中有：○1三条侧棱互相垂直，顶点P 到底面的射影为三角形垂心○2若三对侧棱两两垂直(两对也可以),则P 在底面的投影为垂心○3若三条侧棱相等，则P 到底面的射影为外心 ○4若三个侧面与底面的夹角相等时，若P 在底面的射影O 在形内，则O 为内心；若射影在形外，则O 为旁心53. 若M 为△ABC 的重心，则有OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗354. 若二面角为θ，则DB 2=m 2+n 2+l 2-2mncos θ(形式类似余弦定理)55.已知PC⊥面ABC，有三余弦定理：cos∠PAB=cos∠PAC.cos∠BAC(∠BAC和∠CAP只能为锐角)56.正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C交面BDC1于G点，有CG=1A1C357.面α上存在不共线的三点到β的距离相等，则α∥β，这是一个假命题。
58.圆内接三角形面积最大时，为等边三角形证明：S=12absinC=122RsinA.2RsinB.sinC=2R²sinA.sinB.sinC≤2R²(sinA+sinB+sinC3）³≤2R²[sin(A+B+C3)]³=34√3R²运用了均值不等式与琴生不等式，且这两个不等式取等条件相同，即当A=B=C时取等59.过两直线交点的直线系方程：已知l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，l1与l2相交，则 (A1x+B1y+C1)+μ(A2x+B2y+C2)=0，(μ∈R)，表示经过l1与l2交点的所有直线(但不包括l2)60.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆，方程为:(x-x1)(x-x2)+ (y-y1)(y-y2)=061.相交弦定理：有AO.BO=CO.OD(由相似三角形证明)62.射影定理：○1BD²=AD.DC ○2AB²=AD.AC ○3BC²=DC.CA63. 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)中，P(x 0,y 0)为椭圆上的一点，左右焦点为F 1，F 2，焦半径r 1=|PF 1|, r 2=|PF 2|,则有： r 1=a+ex 0，r 2=a-ex 0证明：r 1=√(x 0+c ）2+y 02=√(x 0+c ）+b 2−b 2a x 02=√(a +ex 0）2=a+ex 0(最后一步直接硬说)64. 双曲线的焦半径为r=e |x 0|±a ，根据象限判断绝对值要不要开，±a 看长短，长的+a ，短的-a65. 椭圆的焦点三角形面积：S=b 2tan θ2(θ=∠F 1PF 2) 66. 双曲线的焦点三角形面积：S=b 2cot θ2(θ=∠F 1PF 2) 67. 垂直于长轴的焦点弦为通径，通径是最短的弦l=2b 2a ，而所有有心二次曲线的通径均为2b 2a68. 两点间距离公式：|AB |=√1+k 2|x 1−x 2| (tan θ=k)(可通过三角函数证明)69. 对双曲线使用点差法时，得到结果要带回去检验，因为对双曲线点差，是针对b 2x 2-a 2y 2=μa 2b 2的点差，当μ=0时，双曲线退化为渐近线，此时求得的点在渐近线上。
70. 等轴双曲线重要特点：可化为平方差形式71.过抛物线y²=2px的线段|AB|有：○1|AB|=2psinθ○21|AF|+1|BF|=2p72.恒过抛物线对称轴上的一点，则与对称轴垂直的弦为恒过该点的最短弦73.判断两个二次曲线有无交点，不能将二者联立，然后用∆判断，因为二次曲线的x、y均有限制条件74.直线与圆锥曲线联立，令∆=0，能判断直线与圆锥曲线相切，但是不能判断是否只有一个交点。
