五年级奥数讲义：倒推法解题

第二讲：倒推法解应用题9/20 在解有些应用题时，顺向推理比较困难，或者会出现繁杂的运算，但从这最后结果出发，从后往前一步一步地推算，就方便得多，这种方法就是倒推法。

在处理一些问题时经常要用到倒推法。

例1：明明有4张卡通画报，明明的画报数是亮亮的一半，亮亮的画报数是宏宏的一半，宏宏有几张卡通画报？随堂练习1：张老师有3条连衣裙，张老师的裙子数是王老师的一半。

张老师和王老师一共有几条连衣裙？例2：有一批水果，第一天卖出一半，第二天卖出剩下的一半，这时还剩4箱水果，这批水果一共有几箱？随堂练习2：玩具店里有一些卡通玩具，第一天卖出一半，第二天卖出剩下的一半，这时玩具店里还有5个卡通玩具。

请你算一算，玩具店里原来共有几个卡通玩具？例3：有一列数，第一个是7，后面每一个数都比前面一个数多3。

请你算一算，玩具店里原来共有几个卡通玩具？随堂练习3：有一列数，第一个数是6，后面每一个数都比前面一个数大3.请你算一算，这列数中，第几个数是21？例4：小红问妈妈多大年龄，妈妈说：“把我的年龄加10，然后乘5，减25，再除以2，恰巧是100岁。

”小红妈妈的年龄是多少？随堂练习4：小明爷爷今年的年龄加上15后，缩小4倍，再减去15之后，扩大10倍，恰好是100岁。

小明爷爷今年多少岁？例5：某数加上6，乘6，减去6，除以6，最后结果是6。

问：这个数是几？随堂练习5：一个数加上5，乘5，减去5，除以5，最后结果是5。

问：这个数是几？补充练习：1、二年级舞蹈兴趣组有6个同学，是体育组人数的一半，体育兴趣组的人数是合唱组人数的一半。

合唱有多少个同学？2、猴子吃桃，第一天吃了桃子的一半，第二天又吃了余下桃子的一半，这时还有8个桃子。

原来有多少个桃子？3、一筐鸡蛋，第一天吃了全部的一半，第二天吃了余下的一半，第三天吃了5只，刚好吃完。

这筐鸡蛋有多少只？4、姐姐有9张邮票，是哥哥有票数的一半。

姐姐比哥哥少多少张邮票？5、爸爸买了一些巧克力，分给哥哥和弟弟吃，哥哥吃了4颗，弟弟吃了6颗，正好都吃了各自的一半。

第4讲倒推法【学习目标】1、学会用倒推法解题；2、激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性。

【知识梳理】1、倒过来思考问题的方法，就是还原法；2、用还原法解题，关键是从最后一步结果出发，依照题意顺次逐步向前推理，每一步运算都变成原来的逆运算。

【典例精析】【例1】某数乘以5，加上3，再除以7，减去4，结果是5，这个数是12．5+4=9 9×7=63 63-3=60 60÷5=12【趁热打铁-1】将一个数做如下运算：乘以4，再加上112，减去20，最后除以4，这时得100．那么这个数是77．100×4=400 400+20=420 420-112=308 308÷4=77【例2】村姑卖鸡蛋，第一次卖出一篮的一半又二个；第二次卖出余下的一半又二个；第三次卖出再剩下的一半又二个，这时篮里只剩下二个蛋，问这篮鸡蛋有多少个？（2+2）×2=8（个）（8+2）×2=20（个）（20+2）×2=44（个）答：这篮鸡蛋有44个.【趁热打铁-2】艾迪、薇儿和大宽分练习册，艾迪得到了总数的一半，薇儿得到了余下的一半少1本，大宽得到了9本，这些练习册共有32本．（9-1）×2=16（本）16×2=32（本）【例3】两棵树上一共有25只鸟，先是左边树上的鸟有一半儿飞到了右边树上，然后右边树上的8只鸟又飞到了左边树上，这时左边树上的鸟比右边树上多3只．请问最开始左边树上有几只鸟？后左：（25+3）÷2=14（只）后右：（25-3）÷2=11（只）原左：（14-8）×2=12（只）答：最开始左边树上有12只鸟.【趁热打铁-3】王亮和李强各有画片若干张，如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强，李强再拿出和王亮同样多的画片送给王亮，这时两人各有24张。

王亮和李强原来各有画片多少张？24÷2=12（张）24+12=36（张）原来李强：36÷2=18（张）原来王亮：12+18=30（张）答：王亮原来有30张画片，李强有18张画片。

倒过来推想有些数学问题如果顺着题目的条件去寻找解法，往往有一定困难。

但是，如果改变一下思考的顺序，倒过来想可能就能解决问题，倒过来想就是“顺着过来的路线往回走”，像这种解题策略我们称之为“倒推法”。

【问题1】有一堆桃，第一个猴子拿走了这堆桃的一半多3个，第二个猴子又拿走了剩下桃的一半多3个，第三个猴子又拿走了最后剩下的3个，这时桃子正好被拿光。

问这堆桃原有多少个？【思路点晴】根据题意，我们不妨先画出流程图，再结合图用倒推法解决问题。

从最后的条件出发向前推，第三只猴“正好拿光”，回过去就是0+3＝3（个），说明第二只猴拿过后，就剩下3个。

继续向前推过去是3+3＝6 （个）桃后，就是第一次剩下的一半，用6×2＝12（个），就是第一次剩下的。

再往前推12+3＝15（个）桃，就是总数的一半，最后用15×2＝30（个），就是桃子的总数了。

在这个问题中，最初的数据“桃的总数”是未知，中间的五个步骤“除、减、除、减、减”是明确的，最后的结果“0”是已知的，倒推时原来的减要变成加，原来的除法要变成乘。

这道例题具备了用倒推法解决的特征，再通过流程图的帮助，就很容易从后往前推算出这个未知数量。

【问题2】一船夫送一批解放军过河，每次都送岸上总人数的一半，然后回岸还带回一个战士帮忙，这样渡了4次后，还剩下2名战士，这批解放军共有多少人？【思路点晴】这道题中，最初的解放军人数是未知的，中间每次渡过的是“岸上人数的一半”是明确的，最后的结果“2人”是已知的，有了这样条件，我们就可以用倒推法来解决。

不过这道题有一个条件会干扰大家的思路，就是“回岸还带回一个战士帮忙”。

其实在渡河的过程中，这个战士并不算在岸上的人数中，而是可以看做在第一次渡过河中的一名战士。

这样就可以通过画图来帮我们倒推了：（最后）2人（第四次渡河前）4人 2人（第四次渡河）（第三次渡河前）8人 4人（第三次渡河）（第二次渡河前）16人 8人（第二次渡河）（未渡河前）32人 16－1人（第一次渡河）从图中看出最后2人，第四次渡河前是2×2＝4（人）；第三次渡过的4人，渡河前是4×2＝8（人）；第二次渡过的是8人，渡河前是8×2＝16（人）；第一次实际渡过是16人，未渡河前解放军的人数是16×2＝32（人）。

五年级奥数讲义：倒推法解题在我们生活中经常会遇到“还原问题”,如把一盒包装精美的玩具打开,再把它重新包装好,重新包装的步骤与打开的步骤正好相反.其实在数学中,也有许多类似的还原问题.解决这类问题最常用的方法就是倒推法,即从结果入手,逐步向前逆推,最终找到原问题的答案.例题选讲例1:有一群猴子分吃桃子,第一只拿走—半,第二只拿走余下的一半多3个,第三只拿走第二只取剩的一半少3个,第四只拿走第三只取剩的一半多3个,第五只拿走第四只取剩的一半,最后还剩3个,这堆桃原来有多少个?【分析与艉答】l|这道题条件比较多,顺向思考很困难,如果根据最后的结果倒推还原,解决起来就轻松了.曲于第五只猴子拿走余下的一半,还剩3个,所以第五只猴子拿之前应该有桃子：3×2=6(个),同理,第四只猴子拿之前应该有桃子：(6+3)×2=18(个),第三只猴子拿之前应该有桃子：(18—3)×2=30(个),第二只猴子拿之前应该有桃子：(30+3)×2=66(个),第一只猴子拿之前应该有桃子：66×2=132(个),即这堆桃有132个.例2:甲、乙、丙三人各有若干元钱,甲拿出与乙相同多的钱给乙,也拿出与丙相同多的钱给丙；然后乙也按甲和雨手中的钱分别给甲、丙相同的钱；最后丙也按甲和乙手中的钱分别给甲、乙相同的钱,此时三人都有48元钱.问：开始时三人各有多少元钱?【分析与解答】从第三次丙给甲、乙钱逐步向前推算,根据三人最后都有48元,那么在丙给甲、乙添钱之前：甲：48÷2：24(元),乙：48÷2—24(元),丙：48+24+24—96(元)；第二次在乙给甲、丙添钱之前：甲：24÷2—12(元),乙：24+12+48===84(元),丙：96÷2=48(元)；第一次在甲给乙、丙添钱之前：甲：12+42+24—78(元),乙：84÷2=42(元),丙：48÷2=24(元). 所以开始时甲有78元,乙有42元,丙有24元.例3:甲、乙、丙三人共有48张邮票,第一次甲先拿出与乙的邮票数相等的张数给乙；第三次乙拿出与丙的邮票数相等的张数给丙；第三次丙又拿出与这时的甲的邮票数相等的张数给甲,最后三人的邮票数相等,三人原来各有多少张邮票?【分析与解答】此题条件复杂,因此我们可以用列表的方法,从最后的果一步步按每次的变化倒推,这样就容易看清题中的数量关系了.列表如下：练习与思考1.张强去银行取款,第一次取了存款的一半多100元,第二次取了余下的一半少50元,第三次取了余下的一半多50元,这时他的存折上还剩下575元.问：张强原来有存款多少元?2.书架上有上、中、下三层书,共2400本一先从上层拿出与中层同样多的书放进中层,再从中层拿出与下层同样多的书放进下层,最后从下层拿出与上层现在同样多的书放进上层,这时三层书同样多.问：开始时,上、中、下三层各有多少本书?3.做一道整数加一个学生把个位上的7看作5,把十位上的5看作7,把百位上的9看作6,结果得出和为775.问：正确的答案应该是多少?4.有26块砖,兄弟两人争着去挑,弟弟走在前面,刚摆好砖哥哥赶来了.哥哥见弟弟挑得太多,就拿来一半给自己.弟弟觉得自己能行,又从哥哥那里拿来一半.哥哥不让,弟弟只好给哥哥5块,这样哥哥比弟弟多挑2块.问：开始时,弟弟准备挑多少块?5.甲、乙、丙三个瓶子共装了24升水,现在把甲瓶的水分别倒给乙、丙两瓶,使乙、丙两瓶的水比原来增加1倍；之后,又将乙瓶的水按上面的要求倒给甲、丙；最后,再按上面的要求将丙瓶的水倒一部分给甲、乙两瓶,这样倒了三次后,三个瓶中的水一样多.问：开始时甲、乙、丙三瓶各装水多少升?6.世纪商场里有一批儿童玩具,第一天运出总数的一半少4 个,第二天运出剩下的一半多2个,第三天又运进25个,这时库存儿童玩具45个,世纪商场原来有多少个儿童玩具?7.有一堆书,第一次搬一半,第二次般走剩下的一半多3本,第三次搬走剩下的一半少3本,第四次搬走剩下的一半多3本,第五次搬走剩下的一半,最后剩3本.问：原来有多少本书?8.甲、乙、丙各有若干个橘子.第一次甲给乙、丙橘子,各给与他们原有橘子数量相等的个数；同样,第二次乙给甲、丙橘子,各给与他们现有橘子数量相等的个数；第三次丙给甲、乙橘子,同样各给与他们现有数量相等的个数.最后三人都各有48个橘子,那么开始时三人各有多少个橘子?9.一种有益的菌种每小时可增长.l倍,现有一批这样的细菌：10小时后达到100万个,当它们达到25万个时,经历了多少长时间?。

倒推法的解题技巧在学习数学的过程中，倒推法是一种常见的解题方法，尤其是解决那些“从既定条件出发，结合一定的规律，总结出结论”的问题时尤为重要。

那么，倒推法到底是什么，它又有哪几个步骤？通过本文，我们将逐一解答。

首先，我们来解释一下倒推法的概念。

倒推法是方便快捷解决问题的一种方法，它有利于提高问题解决的效率，减少解题时间，从而更好地解决数学问题。

它的核心思想是从已知的结论出发，运用一定的规律及技巧，经过逐步推理，最终追溯到初始条件。

其次，我们来描述倒推法在解题时的几个步骤。

首先，仔细阅读题干，了解问题的含义，确定解题要用到的规律。

其次，可以从题目中给出的结论出发，根据规律不断推理，一步步追溯到初始条件。

第三，不断检验推理的正确性，确保途中所有步骤的准确性，直到最终得出所求的结果。

最后，根据实际情况进行一些可能的修改，一定程度上增加解题的准确性。

可以看出，倒推法在解决数学问题时有其独到的优势。

它能够有效简化问题，有针对性地找出问题的解，迅速帮助我们找到题目的答案。

举一个例子，如果题目是：一共有25只鸡，其中有15只母鸡，那么它们一共有多少只公鸡？在这种情况下，我们可以倒推法来解答，首先，我们把题目中已知的条件25只鸡，15只母鸡综合起来，可以得出：总鸡数25只=母鸡15只+公鸡x。

根据等式，我们就可以推出，公鸡一共有10只。

通过以上例子，我们可以清楚地看到，倒推法的解题步骤及其效率，因此它的作用十分重要。

但同时也不可忽视，倒推法虽然有很多优势，但也有一定的局限性，尤其是在某些非数值形式的复杂问题中，比如说一些文字题，倒推法并不总能得到正确的答案，这时我们不妨试试其他解题技巧，以期达到更好的效果。

综上所述，倒推法的解题技巧有其独特的优势，它能够有效帮助我们快速有效解决数学问题，但同时也存在一定的局限性，我们在实际应用中也应当加强对倒推法的认识。

最后，希望能够在学习中多多使用这种解题技巧，提高自身的解题水平，为数学学习和考试取得更好的成绩。

五年级奥数讲义：倒推法解题在我们生活中经常会遇到“还原问题”，如把一盒包装精美的玩具打开，再把它重新包装好，重新包装的步骤与打开的步骤正好相反。

其实在数学中，也有许多类似的还原问题。

解决这类问题最常用的方法就是倒推法，即从结果入手，逐步向前逆推，最终找到原问题的答案。

例题选讲例1:有一群猴子分吃桃子，第一只拿走—半，第二只拿走余下的一半多3个，第三只拿走第二只取剩的一半少3个，第四只拿走第三只取剩的一半多3个，第五只拿走第四只取剩的一半，最后还剩3个，这堆桃原来有多少个?【分析与艉答】l|这道题条件比较多，顺向思考很困难,如果根据最后的结果倒推还原，解决起来就轻松了。

曲于第五只猴子拿走余下的一半，还剩3个，所以第五只猴子拿之前应该有桃子：3×2=6(个)，同理，第四只猴子拿之前应该有桃子：(6+3)×2=18(个)，第三只猴子拿之前应该有桃子：(18—3)×2=30(个)，第二只猴子拿之前应该有桃子：(30+3)×2=66(个)，第一只猴子拿之前应该有桃子：66×2=132(个)，即这堆桃有132个。

例2:甲、乙、丙三人各有若干元钱，甲拿出与乙相同多的钱给乙，也拿出与丙相同多的钱给丙；然后乙也按甲和雨手中的钱分别给甲、丙相同的钱；最后丙也按甲和乙手中的钱分别给甲、乙相同的钱，此时三人都有48元钱。

问：开始时三人各有多少元钱?【分析与解答】从第三次丙给甲、乙钱逐步向前推算，根据三人最后都有48元，那么在丙给甲、乙添钱之前：甲：48÷2：24(元)，乙：48÷2—24(元)，丙：48+24+24—96(元)；第二次在乙给甲、丙添钱之前：甲：24÷2—12(元)，乙：24+12+48===84(元)，丙：96÷2=48(元)；第一次在甲给乙、丙添钱之前：甲：12+42+24—78(元)，乙：84÷2=42(元)，丙：48÷2=24(元)。

五年级奥数倒推法倒推法月日姓名重点：掌握倒推法的基本思路及运算步骤。

难点：涉及两个及三个量的还原倒推。

【知识要点】有些应用题的思考,是从应用题所叙述事情的最后结果出发,利用已知条件一步一步倒着推理,逐步靠拢所求,直到解决问题,这种思考问题的方法,我们通常把它叫做倒推法（还原法）。

【莉莉分析】例1 某数乘以2，再加上8，然后再除以2，再加上7，最后再乘以3得到51。

问：这个数原来为多大？例2 琳琳去储蓄所取款，第一次取了存款数的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多10元，还剩125元，你知道琳琳她原来有存款多少元吗?例3 食堂买来一批大米，第一次吃了全部的一半少3千克，第二次吃了余下的一半少8千克，最后剩下22千克。

这批大米共有多少千克？例4 甲、乙、丙、丁四个同学共有彩色玻璃弹子100颗，甲给乙13颗，乙给丙18颗，丙给丁16颗，丁给甲2颗，这时四人的弹子数相同。

他们原来每人各有弹子多少颗？【附加题】书架上、中、下三层共放着96本书，先从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的本数同样多的书放到上层，这时三层所放书的本数相同。

这个书架的上、中、下三层原来各放书多少本？【随堂练习】1．某数乘以2，加上5，除以5，减去3后结果为0，求这个数？2．克维教育买来一批苹果，第一次吃了全部的一半少5千克，第二次吃了余下的一半还少10千克，还剩22千克，你知道这批苹果共有多少千克吗？3．一根绳子，第一次用去全长的一半多5米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩10米，这根绳子原有多少米?4．抽屉里有若干个玻璃球，小军每次拿了其中的一半再放回一个，这样一共拿了三次，抽屉中还有3个玻璃球，问原来抽屉中有多少个玻璃球?5．桌上放着三盘橘子共45只，如果从第一盘拿4只放到第二盘，再从第二盘拿出7只放到第三盘，那么三盘子中的橘子只数就完全相等。

五年级奥数－倒推法解题
1．一个数加上2，减去3，乘以4，除以5等于12。

这个数是多少?
2．什么数在扩大8倍后除以3的商，减去2与3之和的2倍，所得的差等于6 ？3．有一个两位数，十位上的数是个位上的数的2倍，如果把十位上的数与个位
上的数交换，就得到另外一个两位数，把这个两位数与原来两位数相加，和是132。

原来的两位数是多少?
4．幼儿园分糖，一班分一半又1粒，二班分余下的一半又1粒，三班分再余下的一半又1粒，这时还剩一粒糖。

这些糖共值4．40元。

问每粒糖值多少钱? 5、粮库内有大米若干包，第一次运出库存的一半多20包，第二次运出剩下的
一半多40包，第三次运出140包，粮库里还剩50包。

求粮库里原有大米多少包?
6．李老师的教龄增加4年以后再乘以5，比他教龄的3倍还多92年。

李老师教龄有多少年?
7．修路队修一条公路，第一天修了全长的一半少40米，第二天修了余下的一半多10米，最后还剩60米。

这条公路长多少米?
8．书架分上、中、下三层，一共存放192本书。

现在先从上层取出与中层同样多的书放在中层，又从中层取出与下层同样多的书放到下层，再从下层取出与上层同样多的书放到上层，这时三层所放的书本数同样多。

问这个书架上、中、下三层原来各放多少本书?。

第5讲倒推法解题（一）1、一堆煤，上午运走27，下午运的比余下的13还多6吨，最后剩下14吨还没有运走。

这堆煤原有多少吨？2、用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的1 3又2公顷，第二天耕的比余下的12多3公顷，还剩下35公顷。

这块地共有多少公顷？3、一批水泥，第一天用去了12多1吨，第二天用去了余下13少2吨，还剩下16吨。

原来这批水泥有多少吨？（二）1、甲、乙、丙三个袋子里各有若干个小球，从甲袋中拿出3个小球放入乙袋，再从乙袋中拿出5个小球放入丙袋后，三个袋子里的小球个数相等。

原来乙袋比丙袋多几个球？2、甲、乙两校各有图书若干本，从甲校借15给乙校后，又从乙校借27给甲校，这时甲、乙两校的图书本数相等。

原来甲校的图书本数是乙校的几分之几？3、一瓶酒精，第一次倒出13，然后倒回瓶中40克，第二次再倒出瓶中酒精的59，第三次倒出180克，瓶中还剩下60克。

原来瓶中有酒精多少克？（三）1、把一根绳子对剪开，再取其中一段对半剪开，这样剪了四次，剩下的正好1米。

这根绳子原长多少米？2、《九章算术》中有一道题：“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。

问持米几何？”题意是：有人背米过关卡，经过外关时，用全部米的13纳税，过中关时用所余米的15纳税，经过内关时再用余米的17纳税，最后还剩下5斗米。

这个人原来背多少斗米出关？3、仓库里存粮若干吨，第一次运出总数的12又4吨，第二次运出余下的12又3吨，第三次运出余下的12又5吨，最后还剩下12吨。

这个仓库原有粮食多少吨？（四）1、甲、乙、丙三个班共有学生144人，先从甲班调出与乙班相同人数给乙班，再从乙班调出与丙班相同的人数到丙班，再从丙班调出与这时甲班相同的人数给甲班，这样甲、乙、丙三个班人数相等。

原来甲班比乙班多多少人？2、甲、乙、丙三个盒子各有若干个小球，从甲盒内拿出4个放入乙盒，再从乙盒内拿出8个放入丙盒后，三个盒子内的小球个数相等，原来乙盒比丙盒多几个小球？3、甲车间人数是乙车间人数的23，如果从乙车间调8人到甲车间，则甲车间人数就变为乙车间人数的45。