2019届佛山一模理科数学

广东佛山普通高中2019年高三教学质量检测（一）数学（理）理科数学本试卷共4页,21小题,总分值150分.考试用时120分钟. 本卷须知1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.2.选择题每题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 【一】选择题:本大题共8小题,每题5分,总分值40分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1、i 是虚数单位，m 、n ∈R ，且i 1i m n +=+，那么i im n m n +=-A 、1-B 、1C 、i -D 、i2、以下函数中既是奇函数，又在区间()1,1-上是增函数的为A 、y x=B 、sin y x =C 、x x y e e -=+D 、3y x =-3、设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，那么{}n a 的前5项和5S =A 、10B 、15C 、20D 、304、“关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R ”是“01a ≤≤”A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件5、一个体积为A.36 B 、8 C 、38D 、126、点P 是抛物线24x y =上的一个动点，那么点P 到点(2,0)M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为A、2BC、 D 、927、某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，抽到的司机年龄都在[)20,45岁之间，依照调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如下图，利用那个残缺的频率分布直方图可能该市出租车司机年龄的中位数大约是A 、31.6岁B 、32.6岁C 、33.6岁D 、36.6岁8、关于非空集合,A B ，定义运算：{|,}A B x x AB x A B ⊕=∈∉且，}|{},|{d x c x N b x a x M <<=<<=，其中d c b a 、、、满足a b c d +=+，0ab cd <<，那么=⊕N MA.(,)(,)a d b c B.(,][,)c a b d C.(,][,)a c d b D.(,)(,)c a d b【二】填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每题5分，总分值30分〕 (一)必做题(9～13题)9、某学校三个社团的人员分布如下表〔每名同学只参加一个社团〕学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，那么a =_______________. 10、函数sin()2y x x π=++的最小正周期是___________.11、不等式组02,20,20x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4，那么k 的值为__________.12、向量=a (,2)x ，=b (1,)y ，其中0,0x y >>.假设4=a b ，那么12x y+的最小值为. 13、对任意实数b a ,，函数|)|(21),(b a b a b a F --+=，假如函数2()23,f x x x =-++ ()1g x x =+，那么函数()()(),()G x F f x g x =的最大值等于.(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题) 14、〔坐标系与参数方程〕在极坐标系下，直线l 的方程为1)3cos(=-πθρ，那么点)2,1(πM 到直线l 的距离为__________.15.〔几何证明选讲〕如图，P 为圆O 外一点，由P 引圆O 的切线PA 与圆O 切于A 点，引圆O 的割线PB 与圆O 交于APC 点.AC AB ⊥，1,2==PC PA .那么圆O 的面积为.【三】解答题:本大题共6小题,总分值80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、〔此题总分值12分〕在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，满足2A C B +=，且1411)cos(-=+C B . 〔1〕求C cos 的值；〔2〕假设5=a ，求△ABC 的面积. 17、〔此题总分值14分〕如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，2===CA BC PB ，E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且FA PF =2.〔1〕求证：平面PAC ⊥平面BEF ；〔2〕求平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角〔锐角〕的余弦值. 18、〔此题总分值13分〕佛山某学校的场室统一使用“佛山照明”的一种灯管，这种灯管使用寿命ξ〔单位：月〕服从正态分布2(,)N μσ，且使用寿命许多于12个月的概率为0.8，使用寿命许多于24个月的概率为0.2.〔1〕求这种灯管的平均使用寿命μ；〔2〕假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将差不多损坏的灯管换下〔中途不更换〕，求至少两支灯管需要更换的概率. 19、〔此题总分值12分〕圆221:(4)1C x y -+=，圆222:(2)1C x y +-=，动点P 到圆1C ,2C 上点的距离的最小值相等.〔1〕求点P 的轨迹方程；〔2〕点P 的轨迹上是否存在点Q ，使得点Q 到点(0)A -的距离减去点Q 到点0)B 的距离的差为4，假如存在求出Q 点坐标，假如不存在说明理由.20、〔此题总分值14分〕设a R ∈,函数()ln f x x ax =-.(1)假设2a =，求曲线()y f x =在()1,2P -处的切线方程；(2)假设()f x 无零点,求实数a 的取值范围；(3)假设()f x 有两个相异零点12,x x ,求证:212x x e ⋅>. 21、〔此题总分值14分〕设*N n ∈，圆nC ：222(0)n n x y R R +=>与y 轴正半轴的交点为M，与曲线y =的交点为1(,)n N y n，直线MN 与x 轴的交点为(,0)nA a . (1)用n 表示n R 和n a ;(2)求证:12n n a a +>>; (3)设123n n S a a a a =++++,111123n T n =++++,求证:27352n n S n T -<<. 2018年佛山市一般高中高三教学质量检测〔一〕数学试题〔理科〕参考答案和评分标准【一】选择题：〔每题5分，共40分〕 题号 1 2 3 4 5678选项 D B B A A B C C【二】填空题〔每题5分，共30分〕 9、3010、2π11、112、9413、314、213-15、π49【三】解答题:本大题共6小题,总分值80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16、〔此题总分值12分〕 解：〔1〕∵2A C B +=，且A B C π++=，∴3B π=…………………1分∵1411)cos(-=+C B ,∴1435)(cos 1)sin(2=+-=+C B C B …………………3分 ∴()cos cos cos()cos sin()sin C B C B B C B B C B=+-=+++⎡⎤⎣⎦7123143521411=⨯+⨯-=…………………6分〔2〕由〔1〕可得734cos 1sin 2=-=C C …………………8分在△ABC 中，由正弦定理Aa Bb Cc sin sin sin ==∴8sin sin ==A C a c ,5sin ==aAb b …………………10分 三角形面积11sin 58222S ac B ==⨯⨯⨯=…………………12分17、〔此题总分值14分〕〔1〕证明：∵⊥PB 底面ABC ，且⊂AC 底面ABC ，∴AC PB ⊥…………………1分 由90BCA ∠=，可得CB AC ⊥…………………………2分 又 PBCB B =，∴AC ⊥平面PBC …………………………3分注意到⊂BE 平面PBC ，∴AC BE ⊥…………………………4分BC PB = ,E 为PC 中点，∴BE PC ⊥…………………………5分PCAC C =，BE ⊥平面PAC …………………………6分而⊂BE 平面BEF ，∴BEF PAC 平面平面⊥…………………………7分〔2〕方法【一】如图，以B 为原点、BC 所在直线为x 轴、BP 为z 轴建立空间直角坐标系.那么)1,0,1(,)2,0,0(,)0,2,2(,)0,0,2(E P A C …………………………8分1224(,,)3333BF BP PF BP PA =+=+=.…………………………10分设平面BEF 的法向量(,,)m x y z =.由0,0m BF m BE ⋅=⋅=得0343232=++z y x ， 即02=++z y x (1)0=+z x (2)取1=x ，那么1,1-==z y ，(1,1,1)m =-.…………………………12分取平面ABC 的法向量为)1,0,0(=n那么3cos ,||||m n m n m n ⋅<>=-，故平面ABC 与平面PEF 所成角的二面角〔锐角〕的余弦值为33.……………14分 方法【二】取AF 的中点G ，AB 的中点M ，连接,,CG CM GM ，的中点为PC E ，AF PF =2，∴//EF CG .……………8分BEF EF BEF CG 平面平面⊂⊄, ，∴//CG BEF 平面.……………9分同理可证：BEF GM 平面//.又CG GM G =，∴//CMG BEF 平面平面 (10)分那么CMG 平面与平面ABC 所成的二面角的平面角〔锐角〕就等于平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角〔锐角〕ABC PB 底面⊥，2==BC AC ，⊂CM 平面ABC∴CM PB ⊥，∴CM AB ⊥…………11分 又PBAB B =，∴CM ⊥平面PAB由于⊂GM 平面PAB ，∴CM GM ⊥ 而CM 为CMG 平面与平面ABC 的交线， 又⊂AM 底面ABC ，⊂GM 平面CMGAMG ∠∴为二面角A CM G --的平面角…………12分依照条件可得2=AM ，33231==PA AG 在PAB ∆中，36cos ==∠AP AB GAM在AGM ∆中，由余弦定理求得36=MG …………13分 332cos 222=⋅-+=∠GM AM AG GM AM AMG故平面ABC 与平面PEF 所成角的二面角〔锐角〕的余弦值为33.…………14分18、〔此题总分值13分〕 解：〔1〕∵2(,)N ξμσ，(12)0.8P ξ≥=，(24)0.2P ξ≥=，∴(12)0.2P ξ<=，显然(12)(24)P P ξξ<=>…………………3分 由正态分布密度函数的对称性可知，1224182μ+==， 即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月；…………………5分〔2〕每支灯管使用12个月时差不多损坏的概率为10.80.2-=，…………………6分 假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为η支，那么(4,0.B η，…………………10分 故至少两支灯管需要更换的概率1(0)(1)P P P ηη=-=-=041314411310.80.80.2625C C =--⨯=〔写成≈0.18也能够〕.…………………13分19、〔此题总分值13分〕解：〔1〕设动点P 的坐标为(,)x y ，圆1C 的圆心1C 坐标为(4,0)，圆2C 的圆心2C 坐标为(0,2)，……………………2分因为动点P 到圆1C ,2C 上的点距离最小值相等，因此12||||PC PC =, (3)分=23y x =-，……………………4分因此点P 的轨迹方程是23y x =-；……………………5分 〔2〕假设如此的Q 点存在， 因为Q 点到(A -点的距离减去Q 点到B 点的距离的差为4， 因此Q 点在以(A -和B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，即Q 点在曲线221(2)44x y x -=≥上，……………………9分又Q 点在直线:23l y x =-上，Q 点的坐标是方程组2223144y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩的解，……………………11分消元得2312130x x -+=，21243130∆=-⨯⨯<，方程组无解， 因此点P 的轨迹上不存在满足条件的点Q .……………………13分 20、〔此题总分值14分〕 解：方法一在区间()0,+∞上,11()ax f x a xx-'=-=.……………………1分〔1〕当2a =时，(1)121f '=-=-，那么切线方程为(2)(1)y x --=--，即10x y ++=…………3分〔2〕①假设0a <,那么()0f x '>,()f x 是区间()0,+∞上的增函数,(1)0f a =->Q ,()(1)0a a a f e a ae a e =-=-<,(1)()0a f f e ∴⋅<,函数()f x 在区间()0,+∞有唯一零点.…………6分②假设0a =,()ln f x x =有唯一零点1x =.…………7分 ③假设0a >,令()0f x '=得:1x a=. 在区间1(0,)a 上,()0f x '>,函数()f x 是增函数; 在区间1(,)a+∞上,()0f x '<,函数()f x 是减函数;故在区间()0,+∞上,()f x 的极大值为11()ln 1ln 1f a aa=-=--.由1()0,f a <即ln 10a --<,解得:1a e>.故所求实数a 的取值范围是1(,)e+∞.…………9分方法【二】函数()f x 无零点⇔方程ln x ax =即ln x a x=在()0,+∞上无实数解…………4分 令ln ()x g x x =，那么21ln ()x g x x -'=由()0g x '=即21ln 0xx-=得：x e =…………6分在区间(0,)e 上,()0g x '>,函数()g x 是增函数; 在区间(,)e +∞上,()0g x '<,函数()g x 是减函数; 故在区间()0,+∞上,()g x 的极大值为1()g e e=.…………7分注意到(0,1)x ∈时，()(),0g x ∈-∞；1x =时(1)0g =；()1,x ∈+∞时，1()0,g x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故方程ln x a x =在()0,+∞上无实数解⇔1a e>. 即所求实数a 的取值范围是1(,)e+∞.…………9分[注:解法二只说明了()g x 的值域是1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦,但并没有证明.] (3)设120,x x >>12()0,()0,f x f x ==Q 1122ln 0,ln 0x ax x ax ∴-=-=1212ln ln ()x x a x x ∴+=+,1212ln ln ()x x a x x -=-原不等式21212ln ln 2x x e x x ⋅>⇔+>12()2a x x ⇔+>121212ln ln 2x x x x x x -⇔>-+1122122()ln x x x x x x -⇔>+ 令12x t x =,那么1t >,因此1122122()2(1)ln ln 1x x x t t x x x t -->⇔>++.…………12分 设函数2(1)()ln 1t g t t t -=-+(1)t >,求导得:22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=>++故函数()g t 是()1,+∞上的增函数,()(1)0g t g ∴>=即不等式2(1)ln 1t t t ->+成立,故所证不等式212x x e ⋅>成立.……………………14分 21、〔此题总分值14分〕 解：(1)由点N在曲线y =1(N n ,……………………1分 又点在圆nC上，那么222111(),nn n R R n n n n+=+==,……………………2分 从而直线MN 的方程为1n nx y a R +=,……………………4分由点1(N n 在直线MN 上得:11n na +=,将n R n=代入化简得:11n a n =++……………………6分(2)111n +>>,*1,12n n N a n ∴∀∈=++>……………………7分又11111n n +>+>+111111n n a a n n +∴=+>++=+……………………9分 (3)先证:当01x ≤≤时,11)12x x +≤+.事实上,不等式11)12x x +≤≤+22[11)]1(1)2x x x ⇔+≤+≤+22211)1)114x x x x x ⇔++≤+≤++2223)1)04xx x⇔+≤≤后一个不等式显然成立,而前一个不等式2001x x x⇔-≤⇔≤≤. 故当01x≤≤时,不等式11)12xx+≤+成立.1111)12n n∴+≤<+,……………………11分1132122nan n n∴+≤=++<+(等号仅在n=1时成立) 求和得:3222n n nn T S n T+≤<+⋅27352nnS nT-∴<≤<……………………14分。

学校:1 •已知集合 A . B . 2.若复数 A . B . C. 20佃佛山一模（理）姓名:班级:W 口 考号:，则 C. D. （为虚数单位）在复平面内对应的点在虚轴上, D . 3 .设变量 满足约束条件 A . 7 B . 8 C. 15 D . 16 4 .已知： A .充分不必要条件 则实数，则目标函数 的最大值为（）”，则 B.必要不充分条件 5.已知-,则 - ()A.-B.-C. -D.-6 .已知向量( )A .B .C. 6 D . 87.展开式中的系数为（)A . B. 120 C . 160 D . 200C .充分必要条件 既不充分也不必要条件D . 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ A . B. C. D . 9.将偶函数 的图象向右平移-个单位,得到的图象，则 的一个单调递增区间为（ A . B . C. D . 10.已知矩形的中点，现分别沿翻折，使点 重合，记为点，则几何体的外接球表面积为（A .B . C. D .11 .双曲线 的左、右焦点分别为,且恰好为抛物线的焦点，设双曲线与12 •设为常数，函数 ① 若 ，则在区间② 若 ，则存在实数 ③ 若，则当 时，其中正确结论的个数是(A . 0B . 1 C. 2•给出以下结论:上有唯一零点；，当时，；)D . 3从中随机摸出2个球，则两个球不同色的概率为 ___________________16•在 中，角的对边分别为 ，且 ， 一•若当 变化时,存在最大值，则正数 的取值范围是 ________________17 .数列 中， ，，其中为常数(1) 若 成等比数列，求的值；(2)是否存在，使得数列 为等差数列？并说明理由.A .B . C. D .13 .已知双曲线一一 的一条渐近线为 一，则实数 _______________14 .不透明的布袋中有3个白球，2个黑球，5个红球共 10个球(除颜色外完全相同)15 .已知，则使得 成立的的取值范围是学号为22号的同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为31号的同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将两同学的成绩（对应于图中两点）剔除后，用剩下的42个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：数学学科平均分为110.5，标准差为18.36，物理学科的平均分为74，标准差为11.18,数学成绩与物理成绩的相关系数为，回归直线（如图所示）的方程为（1）若不剔除两同学的数据，用全部44人的成绩作回归分析，设数学成绩与物理成绩的相关系数为，回归直线为，试分析与的大小关系，并在图中画出回归直线的大致位置；（2）如果同学参加了这次物理考试，估计同学的物理分数（精确到个位）；（3）就这次考试而言，学号为16号的同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平，可按公式——统一化成标准分再进行比较，其中为学科原始分，—为学科平均分，为学科标准差）.19 .如图，多面体中，底面为菱形，且平面底面，平面底面（1）证明: 平面;（2）求一面角的余弦值.20 .已知过点的直线与椭圆交于不同的两点其中，为坐标原点.(1)若，求的面积；(2)在轴上是否存在定点，使得直线与的斜率互为相反数?21 .已知常数，函数(1)讨论函数在区间上的单调性;(2)若存在两个极值点，且，求的取值范围.22 .在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数，)，直线的参数方程为(为参数)•(1)若，求曲线与的普通方程；(2)若上存在点，使得到的距离为—，求的取值范围.参考答案1. B【解析】【分析】求出集合A, B,然后直接取并集即可.【详解】集合 B = {x|- 1 v x v 1},A = {x|x2- 2x<0} = {x|0<x<2},则{x|0<x<2} {x|—1 v x v 1} = {x|-1<x v 2}故选：B.【点睛】本题考查集合的并集运算，属简单题•2. D【解析】【分析】计算出复数的表达式，由题意中复数在复平面内对应的点在虚轴上计算出结果【详解】复数在复平面内对应的点在虚轴上，则，-故选【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，只需计算出复数在复平面内的对应点，结合题意即可计算出答案，较为基础3. B【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案【详解】作出变量x，y满足的约束条件如图:由z= 2x+y知，动直线y=- 2x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值.由得A （3，2）,结合可行域可知当动直线经过点 A （3，2）时,目标函数取得最大值z= 2X3+2 = &故选：B.52J 斗\y<321£ f \\-5 -4 -3 -2 -1-1-3--4L-5【点睛】本题考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）（3 ）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4. C【解析】【分析】先证充分性，然后再证明必要性，继而判定结果【详解】①充分性当时，成立,②必要性当时，当时，一，不成立，故舍去则是的充分必要条件故选【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件，在判定结果时左右两边分别进行证明充分性和必要性,继而得到结果，较为基础5. C【解析】【分析】运用两角差的余弦公式展开后再计算平方的结果，结合已知条件得到答案【详解】故选【点睛】本题主要考查了两角差的余弦公式以及二倍角公式，熟练运用公式来解题是关键，较为基础6. A【解析】【分析】先用坐标表示出，然后由向量垂直代入计算求出结果【详解】则解得故选【点睛】本题主要考查了向量的垂直计算，只需运用点坐标表示向量，然后点乘得零即可得到结果, 较为简单7.B【解析】【分析】结合二项展开式计算出含的项，从而得到系数【详解】展开式中的项为5则展开式中的系数为120故选【点睛】本题主要考查了二项展开式的运用，求特定项的系数，熟练运用公式进行求解8.D【解析】【分析】由题目中的三视图还原几何体，可知是由半圆锥和四棱锥组成，然后计算几何体的体积【详解】由三视图可得该组合体是由半圆锥和四棱锥组成由已知图中数量可得：故选【点睛】本题主要考查了三视图，要先还原几何体，然后再计算体积，还原几何体是难点，还需要有一定空间想象能力。

2018~2019学年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合A，B,然后直接取并集即可．【详解】集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，A＝{x|x2﹣2x<0}＝{x|0<x<2}，则{x|0<x<2}{x|﹣1＜x＜1}＝{x|-1<x＜2}故选：B．【点睛】本题考查集合的并集运算，属简单题.2.若复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在虚轴上，则实数（）A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】【分析】计算出复数的表达式，由题意中复数在复平面内对应的点在虚轴上计算出结果【详解】复数在复平面内对应的点在虚轴上，则，故选【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，只需计算出复数在复平面内的对应点，结合题意即可计算出答案，较为基础3.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A. 7B. 8C. 15D. 16【答案】B【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】作出变量x，y满足的约束条件如图：由z＝2x+y知，动直线y＝﹣2x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得A（3，2）,结合可行域可知当动直线经过点A（3，2）时，目标函数取得最大值z＝2×3+2＝8．故选：B．【点睛】本题考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4.已知：“”，：“”，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先证充分性，然后再证明必要性，继而判定结果【详解】①充分性当时，成立，②必要性当时，,,,当时，，不成立，故舍去则是的充分必要条件故选【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件，在判定结果时左右两边分别进行证明充分性和必要性，继而得到结果，较为基础5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】运用两角差的余弦公式展开后再计算平方的结果，结合已知条件得到答案【详解】，，，故选【点睛】本题主要考查了两角差的余弦公式以及二倍角公式，熟练运用公式来解题是关键，较为基础6.已知向量，，，则（）A. B. C. 6 D. 8【答案】A【解析】【分析】先用坐标表示出，然后由向量垂直代入计算求出结果【详解】，，，，则解得故选【点睛】本题主要考查了向量的垂直计算，只需运用点坐标表示向量，然后点乘得零即可得到结果，较为简单7.展开式中的系数为（）A. B. 120 C. 160 D. 200【答案】B【解析】【分析】结合二项展开式计算出含的项，从而得到系数【详解】展开式中的项为,则展开式中的系数为120故选【点睛】本题主要考查了二项展开式的运用，求特定项的系数，熟练运用公式进行求解8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题目中的三视图还原几何体，可知是由半圆锥和四棱锥组成，然后计算几何体的体积【详解】由三视图可得该组合体是由半圆锥和四棱锥组成由已知图中数量可得：故选【点睛】本题主要考查了三视图，要先还原几何体，然后再计算体积，还原几何体是难点，还需要有一定空间想象能力。

广东省高考数学一模试卷（理科）解析卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的实部为（）A．﹣0 B．0 C．1 D．2【解答】解：==，∴复数的实部为0．故选：B．2．（5分）已知全集U=R，集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x2﹣2x＞0}，则图1中阴影部分表示的集合为（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{3，4}D．{0，3，4}【解答】解：∵全集U=R，集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴C U B={x|0≤x≤2}，∴图中阴影部分表示的集合为A∩（C U B）={0，1，2}．故选：A．3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．3 D．9【解答】解：画出变量x，y满足约束条件可行域如图阴影区域：目标函数z=3x﹣2y可看做y=x﹣z，即斜率为，截距为﹣z的动直线，数形结合可知，当动直线过点A时，z最小由得A（﹣1，﹣1）∴目标函数z=3x﹣2y的最小值为z=﹣3×0+2×1=﹣1．故选：A．4．（5分）已知x∈R，则“x2=x+2”是“x=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“x2=x+2”，解得x=2或﹣1．由“x=”，解得x=2．∴“x2=x+2”是“x=”的必要不充分条件．故选：B．5．（5分）把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2，则C2（）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点（π，0）对称【解答】解：把曲线上所有点向右平移个单位长度，可得y=2sin（x﹣﹣）=2sin（x﹣）的图象；再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2：y=2sin（2x﹣）的图象，对于曲线C2：y=2sin（2x﹣）：令x=，y=1，不是最值，故它的图象不关于直线对称，故A错误；令x=，y=2，为最值，故它的图象关于直线对称，故B正确；令x=，y=﹣1，故它的图象不关于点对称，故C错误；令x=π，y=﹣，故它的图象不关于点（π，0）对称，故D错误，故选：B．6．（5分）已知，则=（）A．B．C．D．【解答】解：由，得，即，∴sinθcosθ=，∴===．故选：C．7．（5分）当m=5，n=2时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．20 B．42 C．60 D．180【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=5×4×3的值，S=5×4×3=60．故选：C．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．15 C．D．18【解答】解：由题意可知几何体的直观图为：多面体：A′B′C′﹣ABCD 几何体补成四棱柱，底面是直角梯形，底边长为3，高为3，上底边长为1，几何体的体积为：V棱柱﹣V棱锥=3×﹣=18﹣=．故选：C．9．（5分）已知为奇函数，为偶函数，则f（ab）=（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，为奇函数，则有f（﹣x）+f（x）=0，即（2x+）+（2x+）=0，解可得a=﹣1，为偶函数，则g（x）=g（﹣x），即bx﹣log2（4x+1）=b（﹣x）﹣log2（4﹣x+1），解可得b=1，则ab=﹣1，f（ab）=f（﹣1）=2﹣1﹣=﹣；故选：D．10．（5分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积S=（）A．B．10 C．D．【解答】解：若，可得sinA==，由正弦定理可得b===7，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，则△ABC的面积为S=absinC=×5×7×=10．故选C．11．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，PA=，PC=，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．24π B．28π C．32π D．36π【解答】解：取BC中点D，连结AD，过P作PE⊥平面ABC，交AC于E，过E作EF∥BC，交AD于F，以D为原点，DB为x轴，AD为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则DA=DB=DC==2，=，即，解得AE=3，CE=1，PE=1，AF=EF=，则B（2，0，0），P（﹣，﹣，1），设球心O（0，0，t），则OB=OP，∴=，解得t=﹣1，∴三棱锥P﹣ABC外接球半径R==3，∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为：S=4πR2=4π×9=36π．故选：D．12．（5分）设函数f（x）=x3﹣3x2+2x，若x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）=f（x）﹣λx的两个极值点，现给出如下结论：①若﹣1＜λ＜0，则f（x1）＜f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＜f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣λx，∴g′（x）=f′（x）﹣λ，令g′（x）=0，∴f′（x）﹣λ=0，即f′（x）=λ有两解x1，x2，（x1＜x2）∵f（x）=x3﹣3x2+2x，∴f′（x）=3x2﹣6x+2，分别画出y=f′（x）与y=λ的图象如图所示：①当﹣1＜λ＜0时，则f（x1）＞f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＞f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设=（1，2），=（﹣1，1），=+λ，若⊥，则实数λ的值等于﹣5．【解答】解：=+λ=（1，2）+λ（﹣1，1）=（1﹣λ，2+λ），∵⊥，∴=1﹣λ+2（2+λ）=0，则实数λ=﹣5故答案为：﹣5．14．（5分）已知a＞0，（ax﹣1）4（x+2）展开式中x2的系数为1，则a的值为．【解答】解：（ax﹣1）4（x+2）=（1﹣ax）4（x+2）=（1﹣4ax+6a2x2+…）（x+2）；其展开式中x2的系数为﹣4a+12a2=1，即12a2﹣4a﹣1=0，解得a=或a=﹣（不合题意，舍去）；∴a的值为．故答案为：．15．（5分）设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个篮球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分，现从该袋子中任取（有放回，且每球取得的机会均等）2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为．【解答】解：袋子中装有3个红球，2个黄球，1个篮球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分，现从该袋子中任取（有放回，且每球取得的机会均等）2个球，基本事件总数n=6×6=36，取出此2球所得分数之和为3分包含的基本事件个数m=2×3+3×2=12，取出此2球所得分数之和为3分的概率为p===．故答案为：．16．（5分）双曲线的左右焦点分别为F1，F2，焦距2c，以右顶点A为圆心，半径为的圆过F1的直线l相切与点N，设l与C交点为P，Q，若，则双曲线C的离心率为2．【解答】解：由，可得N为PQ的中点，AN⊥PQ，在直角三角形F1AN中，AF1=a+c，AN=，即有∠NF1A=30°，直线PQ的斜率为，AN的斜率为﹣，由F1（﹣c，0），A（a，0），可得直线PQ的方程为y=（x+c），代入双曲线的方程可得（3b2﹣a2）x2﹣2ca2x﹣a2c2﹣3a2b2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2=，PQ的中点N的横坐标为，纵坐标为（+c）=，由k AN==﹣，即为=﹣，即为a2c﹣3a（c2﹣a2）+a3=﹣c（c2﹣a2），化为（c﹣2a）2=0，即c=2a，可得e==2．故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知各项均不为零的等差数列{a n}的前n项和S n．且满足．（1）求λ的值；（2）求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）因为数列{a n}为等差数列，设a n=An+B，因为{a n}的公差不为零，则，所以，因为，所以An2+（A+2B）n=A2n2+（2AB+λ）n+B2，所以．（2）由（1）知a n=n，所以，所以．18．（12分）有甲乙两家公司都愿意聘用某求职者，这两家公式的具体聘用信息如下：甲公司职位A B C D月薪/元60007000800090000.40.30.20.1获得相应职位概率乙公司职位A B C D月薪/元50007000900011000获得相应职位概率0.40.30.20.1（1）根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由；（2）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就选择这两家公司的意愿作了统计，得到如下数据分布：人员结构选择意愿40岁以上（含40岁）男性40岁以上（含40岁）女性40岁以下男性40岁以下女性选择甲公司11012014080选择乙公司150********若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的K2的观测值为k1=5.5513，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附：P（K2≥k）0.0500.0250.0100.005 k 3.841 5.024 6.6357.879【解答】解：（1）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X，Y，则E（X）=6000×0.4+7000×0.3+8000×0.2+9000×0.1=7000，E（Y）=5000×0.4+7000×0.3+9000×0.2+11000×0.1=7000，D（X）=（6000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（8000﹣7000）2×0.2+（9000﹣7000）2×0.1=10002，D（Y）=（5000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（9000﹣7000）2×0.2+（11000﹣7000）2×0.1=20002，则E（X）=E（Y），D（X）＜D（Y），我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司；或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司；（2）因为k1=5.5513＞5.024，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025，由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表如下：选择甲公司选择乙公司总计男250350600女200200400总计4505501000计算K2==≈6.734，且K2=6.734＞6.635，对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，由0.01＜0.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=3，CD=4，AD=AP=4，∠PAB=∠PAD=60°．（1）证明：顶点P在底面ABCD的射影在∠BAD的平分线上；（2）求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．【解答】解：（1）证明：设点O为点P在底面ABCD的射影，连接PA，AO，则PO⊥底面ABCD，分别作OM⊥AB，ON⊥AD，垂直分别为M，N，连接PM，PN，因为PO⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，所以PO⊥AB，又OM⊥AB，OM∩OP=O，所以AB⊥平面OPM，PM⊂平面OPM，所以AB⊥PM，同理AD⊥PN，即∠AMP=∠ANP=90°，又∠PAB=∠PAD，PA=PA，所以△AMP≌△ANP，所以AM=AN，又AO=AO，所以Rt△AMO≌Rt△ANP，所以∠OAM=∠OAN，所以AO为∠BAD的平分线．（2）以O为原点，分别以OM，ON，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，因为PA=4，所以AM=2，因为AB⊥AD，AO为∠BAD的平分线，所以，所以，则，所以设平面BPD的一个法向量为，则，可取，设平面PDC的一个法向量为，则由，可取，所以，所以二面角B﹣PD﹣C的余弦值为．20．（12分）已知椭圆的焦点与抛物线的焦点F重合，且椭圆C1的右顶点P到F的距离为；（1）求椭圆C1的方程；（2）设直线l与椭圆C1交于A，B两点，且满足PA⊥PB，求△PAB面积的最大值．【解答】解：（1）设椭圆C1的半焦距为c，依题意，可得a＞b，且，所以椭圆C1的方程为．（2）依题意，可设直线PA，PB的斜率存在且不为零，不妨设直线PA：y=k（x﹣3），则直线，联立：得（1+9k2）x2﹣54k2x+（81k2﹣9）=0，则同理可得：，所以△PAB的面积为：，当且仅当3（k2+1）=8k，即是面积取得最大值．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣a）lnx+x，（其中a∈R）（1）若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=x，求a的值；（2）若为自然对数的底数），求证：f（x）＞0．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，由题意知，则，解得x0=1，a=1或x0=a，a=1，所以a=1．（2）令，则，因为，所以，即g（x）在（0，+∞）上递增，以下证明在g（x）区间上有唯一的零点x0，事实上，，因为，所以，，由零点的存在定理可知，g（x）在上有唯一的零点x0，所以在区间（0，x0）上，g（x）=f'（x）＜0，f（x）单调递减；在区间（x0，+∞）上，g（x）=f'（x）＞0，f（x）单调递增，故当x=x0时，f（x）取得最小值，因为，即，所以，即＞0．∴f（x）＞0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），曲线C的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设C与l交于M，N两点（异于原点），求|OM|+|ON|的最大值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为为参数），∴消去参数β，得曲线C的普通方程为x2+（y﹣2）2=4，化简得x2+y2=4y，则ρ2=4ρsinθ，所以曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．（2）∵直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），∴由直线l的参数方程可知，直线l必过点（0，2），也就是圆C的圆心，则，不妨设，其中，则，所以当，|OM|+|ON|取得最大值为．23．已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R．（1）若f（1）+f（﹣1）＞1，求a的取值范围；（2）若a＞0，对∀x，y∈（﹣∞，a]，都有不等式恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（1）+f（﹣1）=|1﹣a|﹣|1+a|＞1，若a≤﹣1，则1﹣a+1+a＞1，得2＞1，即a≤﹣1时恒成立，若﹣1＜a＜1，则1﹣a﹣（1+a）＞1，得，即，若a≥1，则﹣（1﹣a）﹣（1+a）＞1，得﹣2＞1，即不等式无解，综上所述，a的取值范围是．（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当x∈（﹣∞，a]时，，因为，所以当时，，即，解得﹣1≤a≤5，结合a＞0，所以a的取值范围是（0，5]．。

2019年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准二、填空题（每题5分，共30分） 9．< 10．8，70 11．12 12．12- 13．4 14．(2,2)3k ππ- 15．92三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）4cos ,5B =且(0,180)B ∈，∴3sin 5B ==．-------------------------------2分cos cos(180)cos(135)C A B B =--=-------------------------------- 3分243cos135cos sin135sin2B B =+=-+10=-． -------------------------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinC === -------------------------------8分 由正弦定理得sin sin BC ABA C =7AB =，解得14AB =． -------------------------------10分 在BCD ∆中，7BD =， 22247102710375CD =+-⨯⨯⨯=，所以CD = -------------------------------12分17．（本题满分14分）解：（Ⅰ）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，所以高为0.30.065=．频率直方图如下：-------------------------------2分第一组的人数为1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以20010000.2n ==． 由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p ==． 第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=，所以1500.460a =⨯=．-------------------------------5分（Ⅱ）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中有6人． -------------------------------6分 随机变量X 服从超几何分布．031263185(0)204C C P X C ===，1212631815(1)68C C P X C ===， 2112631833(2)68C C P X C ===，3012631855(3)204C C P X C ===． -------------------------------10分 所以随机变量的分布列为-------------------------------12分∴数学期望5153355012322046868204EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．-------------------------------14分 18．（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵11S a =，212122S a a a =+=+，3123136S aa a a =++=+，-------------------------------2分 ==解得11a =，故21n a n =-； ---------------------------------------4分（Ⅱ）211(21)()222nn n n n a n b n -===-， ---------------------------------------5分 法1：12311111()3()5()(21)()2222nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯， ①①12⨯得，23411111111()3()5()(23)()(21)()222222n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯， ②①-②得，2311111112()2()2()(21)()222222n n n T n +=+⨯+⨯++⨯--⨯11111(1)113121222(21)()12222212n n n n n n +-+--=⨯---⨯=---， ---------------------------------------10分 ∴4212333222n n n nn n T -+=--=-． ---------------------------------------12分 法2：121112222n n n n n na nb n --===⋅-， 设112nn k k k F -==∑，记11()()n k k f x kx -==∑，则()1111(1)()1(1)n n nn kk nk k x x n nx x f x x x x x +==''⎛⎫--+-⎛⎫'==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑，∴114(2)2n n F n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ---------------------------------------10分故111(1)1123224(2)13122212n n n n n n n T F n --+=-=-+⋅-+=--． ---------------------------------------12分 19．（本题满分14分） 解：法1：（Ⅰ）连结BD ，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥， 又∵BD AC ⊥，AC PA A =，∴BD ⊥平面PAC ，又∵E ，F 分别是BC 、CD 的中点，∴//EF BD ， ∴EF ⊥平面PAC ，又EF ⊂平面NEF ，∴平面PAC ⊥平面NEF ；---------------------------------------4分 （Ⅱ）连结OM ，∵//PC 平面MEF ，平面PAC 平面MEF OM =，∴//PC OM ， ∴14PM OC PA AC ==，故:1:3PM MA = -------------------------------8分 （Ⅲ）∵EF ⊥平面PAC ，OM ⊂平面PAC ，∴EF ⊥OM ，在等腰三角形NEF 中，点O 为EF 的中点，∴NO EF ⊥，∴MON ∠为所求二面角M EF N --的平面角， ---------------------------------------10分 ∵点M 是PA 的中点，∴2AM NC ==，所以在矩形MNCA中，可求得MN AC ==NO =MO = --------------------12分在MON ∆中，由余弦定理可求得222cos 233MO ON MN MON MO ON +-∠==-⋅⋅，∴二面角M EF N --的余弦值为33-． ---------------------------------------14分 法2：（Ⅰ）同法1；（Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，则(0,0,4)P ，(4,4,0)C ，(4,2,0)E ，(2,4,0)F ， ∴(4,4,4)PC =-，(2,2,0)EF =-，设点M 的坐标为(0,0,)m ，平面MEF 的法向量为(,,)n x y z =，则(4,2,)ME m =-，所以00n ME n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220x y mz x y +-=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y =，6z m =，故6(1,1,)n m=，∵//PC 平面MEF ，∴0PC n ⋅=，即24440m+-=，解得3m =，故3AM =，即点M 为线段PA 上靠近P 的四等分点；故:1:3PM MA = --------------------------8分（Ⅲ）(4,4,2)N ，则(0,2,2)EN =，设平面NEF 的法向量为(,,)m x y z =，则00m EN m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220y z x y +=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y =，1z =-，即(1,1,1)m =-， 当M 是PA 中点时，2m =，则(1,1,3)n =，∴cos ,m n <>== ∴二面角M EF N --的余弦值为．-------14分 20．（本题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为222x y b +=， ∵直线20x y -+=与圆相切，∴d b ==，即b =， ---------------------------------------1分又c e a ==，即a =，222a b c =+，解得a =1c =， 所以椭圆方程为22132x y +=． ---------------------------------------3分 （Ⅱ）设000(,)(0)P x y y ≠，(A，B ，则2200132x y +=，即2200223y x =-，则1k =2k =， ---------------------------------------4分即22200012222000222(3)2333333x x y k k x x x --⋅====----， ∴12k k 为定值23-． ---------------------------------------6分（Ⅲ）设(,)M x y，其中[x ∈．由已知222OP OMλ=及点P 在椭圆C 上可得2222222222633()x x x x y x y λ+-+==++， 整理得2222(31)36x y λλ-+=，其中[x ∈． -------------------------------------8分①当3λ=时，化简得26y =， 所以点M的轨迹方程为y x =≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段； --------------------9分②当λ≠2222166313x y λλ+=-，其中[x ∈，-------------------------------------11分当03λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足x ≤≤当13λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足x ≤≤ 当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆． ---------------------------------------14分21．（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵函数()f x 过点(1,2)-，∴(1)2f a b c -=-+-=， ① 又2()32f x ax bx c '=++，函数()f x 点(1,(1))f 处的切线方程为20y +=， ∴(1)2(1)0f f =-⎧⎨'=⎩，∴2320a b c a b c ++=-⎧⎨++=⎩， ②由①和②解得1a =，0b =，3c =-，故 3()3f x x x =-； ---------------------------------------4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）2()33f x x '=-，令()0f x '=，解得1x =±， ∵(3)18f -=-，(1)2f -=，(1)2f =-，(2)2f =， ∴在区间[]3,2-上max ()2f x =，min ()18f x =-，∴对于区间[]3,2-上任意两个自变量的值12,x x ，12|()()|20f x f x -≤，∴20t ≥，从而t 的最小值为20； ---------------------------------------8分（Ⅲ）∵2()32f x ax bx c '=++，则 (0)(1)32(1)32f c f a b c f a b c '=⎧⎪'-=-+⎨⎪'=++⎩，可得6(1)(1)2(0)a f f f '''=-+-．∵当11x -≤≤时，1)(≤'x f ，∴(1)1f '-≤，(0)1f '≤，(1)1f '≤， ∴6||(1)(1)2(0)a f f f '''=-+-(1)(1)2(0)4f f f '''≤-++≤，∴23a ≤，故a 的最大值为23， 当23a =时，(0)1(1)221(1)221f c f b c f b c '⎧==⎪'-=-+=⎨⎪'=++=⎩，解得0b =，1c =-，∴a 取得最大值时()323f x x x =-． ---------------------------------------14分。

2020年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x||x|＞1}，则A∩B＝（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，1）C．（0，1）D．（1，2）3．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．cos x﹣cos y＞0 B．cos x+cos y＞0C．lnx﹣lny＞0 D．lnx+lny＞04．（5分）函数f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y＝e x关于y轴对称，则f（x）＝（）A．e﹣x+1B．e﹣x﹣1C．e x﹣1D．e x+15．（5分）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）．在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知等比数列{a n}满足a1﹣a2＝36，a1﹣a3＝24，则使得a1a2…a n取得最大值的n为（）A．3 B．4 C．5 D．67．（5分）已知α为锐角，cosα＝，则tan（+）＝（）A．B．C．2 D．38．（5分）已知双曲线C：，O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点，若△OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为（）A．﹣y2＝1 B．x2＝1C．＝1 D．＝19．（5分）地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在2014年累计装机容量就突破了100GW，达到114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心．以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．根据以上信息，正确的统计结论是（）A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B．10年来全球新增装机容量连年攀升C．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过10．（5分）已知函数f（x）＝+2x+1，且f（a2）+f（2a）＞3，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣2，0）D．（﹣1，3）11．（5分）已知函数f（x）＝sin x+sin（πx），现给出如下结论：①f（x）是奇函数；②f（x）是周期函数；③f（x）在区间（0，π）上有三个零点；④f（x）的最大值为2．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为4，底面边长为2，用一个平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则△MNQ面积的最大值为（）A．3 B．C．D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种．（用数字作答）14．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，P是边BC的垂直平分线上一点，则•＝．15．（5分）函数f（x）＝lnx和g（x）＝ax2﹣x的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线方程为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，对曲线C上任意一点P，P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，则曲线C与y轴的交点坐标是；设点A（﹣，0），则|PO|+|PA|的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展．景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁．该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立．（1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin B＝b sin（A﹣）．（1）求A；（2）D是线段BC上的点，若AD＝BD＝2，CD＝3，求△ADC的面积．19．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，点A（1，）在椭圆C上，直线l1过椭圆C的有交点与上顶点，动直线l2：y＝kx与椭圆C交于M、N两点，交l1于P点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为坐标原点，若点P满足|OP|＝|MN|，求此时|MN|的长度．20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，∠APB＝∠ACB＝90°，点E，F分别是棱AB，PB的中点，点G是△BCE的重心．（1）证明：GF∥平面PAC；（2）若GF与平面ABC所成的角为60°，求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．21．（12分）已知函数f（x）＝1+x﹣2sin x，x＞0．（1）求f（x）的最小值；（2）证明：f（x）＞e﹣2x．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数）．（1）写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）已知倾斜角互补的两条直线l1，l2，其中l1与曲线C交于A，B两点，l2与C交于M，N两点，l1与l2交于点P（x0，y0），求证：|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x﹣1|．（1）若f（a）＜2，求a的取值范围；（2）当x∈[a，a+k]时，函数f（x）的值域为[1，3]，求k的值．2020年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．【解答】解：∵＝，∴在复平面内，复数对应的点的坐标为（2，1），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x||x|＞1}，则A∩B＝（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，1）C．（0，1）D．（1，2）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＜﹣1或x＞1}，∴A∩B＝（1，2）．故选：D．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式和绝对值不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．3．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．cos x﹣cos y＞0 B．cos x+cos y＞0C．lnx﹣lny＞0 D．lnx+lny＞0【分析】根据题意，结合函数的单调性分析选项A、C，可得A错误，C正确，对于B、D，利用特殊值分析可得其错误，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝cos x在（0，+∞）上不是单调函数，故cos x﹣cos y＞0不一定成立，A错误；对于B，当x＝π，y＝时，cos x+cos y＝﹣1＜0，B不一定成立；对于C，y＝lnx在（0，+∞）上为增函数，若x＞y＞0，则lnx＞lny，必有lnx﹣lny＞0，C正确；对于D，当x＝1，y＝时，lnx+lny＝ln＜0，D不一定成立；故选：C．【点评】本题考查函数单调性的应用，涉及实数大小的比较，属于基础题．4．（5分）函数f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y＝e x关于y轴对称，则f（x）＝（）A．e﹣x+1B．e﹣x﹣1C．e x﹣1D．e x+1【分析】根据函数图象变换关系，利用逆推法进行求解即可．【解答】解：y＝e x关于y轴对称的函数为y＝e﹣x，然后向右平移一个单位得到f（x），得y＝e﹣（x﹣1），即f（x）＝e﹣x+1，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象变换，结合条件进行逆推法是解决本题的关键．比较基础．5．（5分）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）．在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（）A．B．C．D．【分析】我们要根据已知条件，求出第3个大正三角形的面积，及黑色区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．【解答】解：由题意可知：每次挖去的面积为前一个三角形剩下面积的，不妨设第一个三角形的面积为1．∴第三个三角形的面积为1；则阴影部分的面积之为：第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率：，故选：B．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P＝求解．6．（5分）已知等比数列{a n}满足a1﹣a2＝36，a1﹣a3＝24，则使得a1a2…a n取得最大值的n 为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】结合等比数列的通项公式可求通项，然后结合项的正负及增减性可求．【解答】解：∵等比数列{a n}满足a1﹣a2＝36，a1﹣a3＝24，，解可得，q＝，a1＝27，∴a n＝，若使得a1a2…a n取得最大值，则n应该是偶数，且n＞4时，|a n|＜1，故当n＝4时，a1a2…a n取得最大值．故选：B．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的简单应用，分析数列的项的特点是求解问题的关键．7．（5分）已知α为锐角，cosα＝，则tan（+）＝（）A．B．C．2 D．3【分析】求出tanα＝＝，从而tan＝，由此能求出tan（+）的值．【解答】解：∵α为锐角，cosα＝，∴sinα＝＝，tanα＝＝＝，解得tan＝，或tan＝﹣2，∴tan（+）＝＝＝3．故选：D．【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、正切函数的二倍角公式、正切加法定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（5分）已知双曲线C：，O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点，若△OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为（）A．﹣y2＝1 B．x2＝1C．＝1 D．＝1【分析】求出双曲线的渐近线方程，令x＝a，求得A，B的坐标，由等边三角形的性质可得a，b的值，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线C：的渐近线方程为bx﹣ay＝0和bx+ay＝0，由x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A（a，b），B（a，﹣b），△OAB是边长为2的等边三角形，即有2b＝2，即b＝1，且a＝×2＝，可得双曲线的方程为﹣y2＝1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的应用，考查等边三角形的性质，以及化简运算能力，属于基础题．9．（5分）地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在2014年累计装机容量就突破了100GW，达到114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心．以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．根据以上信息，正确的统计结论是（）A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B．10年来全球新增装机容量连年攀升C．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过【分析】通过图结合选项分析．【解答】解：由图1知没有在截止到2015年中国累计装机容量达到峰值，A错；由图2知，10年来全球新增装机容量起伏，B错；由图1知，10年中国新增装机总容量为13.8+18.9+17.7+13+16.1+23.2+30.8+23.4+19.7+21.1＝197.7，则10年来中国新增装机容量平均为19.77GW，C错；故选：D．【点评】本题考查频率直方图，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）＝+2x+1，且f（a2）+f（2a）＞3，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣2，0）D．（﹣1，3）【分析】设F（x）＝f（x）﹣＝+2x+1﹣＝+2x，分析函数F（（x）的奇偶性，单调性，f（a2）+f（2a）＞3，转化为F（a2）＞﹣F（2a），即可解出答案．【解答】解：根据题意，设F（x）＝f（x）﹣＝+2x+1﹣＝+2x，则F（0）＝f（0）﹣＝0，又由F（﹣x）＝+2（﹣x）＝﹣（+2x）＝﹣F（x），即函数F（x）为奇函数；又由F′（x）＝＝＝＞0，所以函数F（x）单调递增，若f（a2）+f（2a）＞3，则f（a2）﹣＞，f（a2）﹣＞﹣[f（2a）﹣]，F（a2）＞﹣F（2a），F（a2）＞F（﹣2a），所以a2＞﹣2a，解得，a＜﹣2或a＞0，故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及构造法的应用，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）＝sin x+sin（πx），现给出如下结论：①f（x）是奇函数；②f（x）是周期函数；③f（x）在区间（0，π）上有三个零点；④f（x）的最大值为2．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①根据函数奇偶性定义进行判断，②用反证法推出函数的函数无周期，③f（x）＝sin x+sin（πx）＝2sin cos，函数的零点为方程sin＝0或cos＝0，x＝或x＝，x∈（0，π），进而得出结论，④用反证法推出函数的函数最大值不是2．【解答】解：因为f（﹣x）＝sin（﹣x）+sin（﹣πx）＝﹣sin x﹣sin（πx）＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数，①正确．假设存在周期T，则sin（x+T）+sin（π（x+T））＝sin x+sinπx，sin（x+T）﹣sin x＝﹣[sin（π（x+T））﹣sinπx]，所以sin•cos＝﹣sin•cos①，存在x0∈R，使得cos＝0，而cos≠0，将x0∈R，﹣sin•cos＝0，由于，故﹣sin＝0，所以sin＝0，sin＝0，＝kπ，＝mπ，k，m∈Z，所以kπ＝m，矛盾，所以函数f（x）＝sin x+sin（πx），没有周期，②错误．f（x）＝sin x+sin（πx）＝2sin cos，函数的零点为方程sin＝0或cos＝0，x＝或x＝，x∈（0，π）x＝，或，所以f（x）在区间（0，π）上有三个零点；故③正确．假设存在这样的x0使得f（x）最大值为2，x0＝且πx0＝，（k∈Z）即x0＝且x0＝，所以＝，k＝﹣，与k∈Z矛盾，故④错误．故选：B．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属于难题．12．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为4，底面边长为2，用一个平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则△MNQ面积的最大值为（）A．3 B．C．D．3【分析】不妨设N在B处，AM＝h，CQ＝m，则有MB2＝h2+4，BQ2＝m2+4，MQ2＝（h﹣m）2+4由MB2＝BQ2+MQ2⇒m2﹣hm+2＝0．△＝h2﹣8≥0⇒h2≥8，且h≤4，可得S2＝1+h2，就可求出S最大值．【解答】解：解：如图，不妨设N在B处，AM＝h，CQ＝m，则有MB2＝h2+4，BQ2＝m2+4，MQ2＝（h﹣m）2+4由MB2＝BQ2+MQ2⇒m2﹣hm+2＝0．得h＝＝m+①△＝h2﹣8≥0⇒h2≥8，且h≤4，即8≤h2≤16，S＝，S2＝×|MQ|2×|BQ|2＝[（h﹣m）2+4]×（m2+4）把①代入得S2＝×[（m+﹣m）2+4]×（m2+4）＝[+4]×（m2+4）＝5+＝5+（+m）2﹣4＝1+（+m）2＝1+h2，所以S2＝1+h2∈[9，17]，S2max＝17，S max＝，故选：C．【点评】本题考查了空间线面位置关系，考查了转化思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有60 种．（用数字作答）【分析】6名选手中决出1名一等奖有种方法，2名二等奖，种方法，利用分步计数原理即可得答案．【解答】解：依题意，可分三步，第一步从6名选手中决出1名一等奖有种方法，第二步，再决出2名二等奖，有种方法，第三步，剩余三人为三等奖，根据分步乘法计数原理得：共有•＝60种方法．故答案为：60．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，掌握分步计数原理是解决问题的关键，属于中档题．14．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，P是边BC的垂直平分线上一点，则•＝．【分析】取BC的中点D，＝（+）＝（（+）+），⊥，再利用两个向量垂直的性质及向量的运算法则，可得结果．【解答】解：取BC的中点D，由条件得•＝（+）•（﹣）＝（（+）+）•（﹣）＝﹣+＝﹣+•＝+0＝，故答案为：．【点评】此题是基础题．本题考查两个向量的运算法则及其意义，两个向量垂直的性质．15．（5分）函数f（x）＝lnx和g（x）＝ax2﹣x的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线方程为y＝x﹣1 ．【分析】分别求得f（x），g（x）的导数，设P（x0，y0），则lnx0＝ax02﹣x0①，结合f′（x0）＝g′（x0），联立消掉a可得关于x0的方程，构造函数，根据函数单调性可求得唯一x0值，进而可求P的坐标，以及切线的斜率和切线方程．【解答】解：f（x）＝lnx的导数为f′（x）＝，g（x）＝ax2﹣x的导数为g′（x）＝2ax﹣1，设P（x0，y0），则lnx0＝ax02﹣x0①，f′（x0）＝g′（x0），即＝2ax0﹣1，化简得1＝2ax02﹣x0②，联立①②消a得，lnx0＝，令φ（x）＝lnx﹣，φ′（x）＝+＞0，易知φ（x）在（0，+∞）上单调递增，又φ（1）＝0，所以φ（x）＝lnx﹣有唯一解1，即x0＝1，则y0＝f（1）＝0，a＝1．故P（1，0），切线的斜率为1，切线的方程为y＝x﹣1．故答案为：y＝x﹣1．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及导数的几何意义，考查学生灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力，属于中档题．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，对曲线C上任意一点P，P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，则曲线C与y轴的交点坐标是（0，±1）；设点A（﹣，0），则|PO|+|PA|的最小值为．【分析】设P（x，y），P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，求出P 的轨迹方程为抛物线，根据抛物线的性质，求出曲线C与y轴的交点坐标和|PO|+|PA|的最小值．【解答】解：设P（x，y），P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，则|x+1|＝，化简得y2＝2x+1，令x＝0，y＝1，故曲线C与y轴的交点为（0，1），（0，﹣1），A（﹣，0），根据题意，当O，P，A三点共线时，则|PO|+|PA|的最小，最小值长等于|OA|＝，故答案为：（0，±1）；．【点评】考查直线与抛物线的综合，求曲线的轨迹方程，中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展．景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁．该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立．（1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？【分析】（1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的概率为0.7，设每个游客的利润为Y1元，则Y1是随机变量，求出5000个游客的平均利润为5000元，当收费为10元时，照片被带走的可能性为0.3+0.05×10＝0.8，不被带走的概率为0.2，设每个游客的利润为Y2，则Y2是随机变量，求出5000个游客的平均利润为15000元，由此能求出该项目每天的平均利润比调整前多10000元．（2）设降价x元，则0≤x＜15，照片被带走的可能性为0.3+0.05x，不被带走的可能性为0.7﹣0.05x，设每个游客的利润为Y元，则Y是随机变量，求出其分布列，从而E（Y）＝（15﹣x）×（0.3+0.05x）﹣5×（0.7﹣0.05x）＝0.05[69﹣（x﹣7）2]，由此求出当定价为13元时，日平均利润取最大值为17250元．【解答】解：（1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的概率为0.7，设每个游客的利润为Y1元，则Y1是随机变量，其分布列为：Y1 15 ﹣5P 0.3 0.7E（Y1）＝15×0.3﹣5×0.7＝1（元），则5000个游客的平均利润为5000元，当收费为10元时，照片被带走的可能性为0.3+0.05×10＝0.8，不被带走的概率为0.2，设每个游客的利润为Y2，则Y2是随机变量，其分布列为：Y2 5 ﹣5P 0.8 0.2E（Y2）＝5×0.8﹣5×0.2＝3（元），则5000个游客的平均利润为5000×3＝15000（元），该项目每天的平均利润比调整前多10000元．（2）设降价x元，则0≤x＜15，照片被带走的可能性为0.3+0.05x，不被带走的可能性为0.7﹣0.05x，设每个游客的利润为Y元，则Y是随机变量，其分布列为：Y 15﹣x﹣5P 0.3+0.05x 0.7﹣0.05xE（Y）＝（15﹣x）×（0.3+0.05x）﹣5×（0.7﹣0.05x）＝0.05[69﹣（x﹣7）2]，当x＝7时，E（Y）有最大值3.45元，∴当定价为13元时，日平均利润取最大值为5000×3.45＝17250元．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin B＝b sin（A﹣）．（1）求A；（2）D是线段BC上的点，若AD＝BD＝2，CD＝3，求△ADC的面积．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan A＝﹣，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）设∠B＝θ，，由题意可得∠BAD＝θ，∠ADC＝2θ，∠DAC＝﹣θ，∠ACD＝﹣θ，在△ADC中，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求sinθ＝cosθ，可求sinθ，cosθ，利用二倍角的正弦函数公式可求sin2θ，进而根据三角形的面积公式可求S△ADC的值．【解答】解：（1）由正弦定理可得a sin B＝b sin A，则有b sin A＝b（sin A﹣cos A），化简可得sin A＝﹣cos A，可得tan A＝﹣，因为A∈（0，π），所以A＝．（2）设∠B＝θ，，由题意可得∠BAD＝θ，∠ADC＝2θ，∠DAC＝﹣θ，∠ACD＝﹣θ，在△ADC中，，则＝，所以＝，可得sinθ＝cosθ，又因为sin2θ+cos2θ＝1，可得sinθ＝，cosθ＝，则sin2θ＝2sinθcosθ＝，所以S△ADC＝sin∠ADC＝＝．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，点A（1，）在椭圆C上，直线l1过椭圆C的有交点与上顶点，动直线l2：y＝kx与椭圆C交于M、N两点，交l1于P点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为坐标原点，若点P满足|OP|＝|MN|，求此时|MN|的长度．【分析】（1）由离心率及过的点和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；（2）直线l2的方程与椭圆联立求出点M的坐标，由|OP|＝|MN|得P点坐标，P的直线l1上求出k值，进而求出MN|的值．【解答】解：（1）由题意得：e＝＝，+＝1，b2＝a2﹣c2，解得：a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程：＝1；（2）由题意直线l2的方程：y＝kx，代入椭圆中整理：（3+4k2）x2＝12，解得x＝，令M的坐标（，k）∵|OP|＝|MN|，由对称性可知，点P为OM的中点．故P的坐标（，），由P在直线l1：x+y﹣＝0，所以+﹣＝0，解得：k＝0或k＝，故M的坐标为（2，0），或（，），所以|OM|＝2，或，所以|MN|的长度为4或．【点评】考查直线与椭圆的综合，属于中难题．20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，∠APB＝∠ACB＝90°，点E，F分别是棱AB，PB的中点，点G是△BCE的重心．（1）证明：GF∥平面PAC；（2）若GF与平面ABC所成的角为60°，求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．【分析】（1）连结EF，连结EG并延长，交BC于点D，由点D是BC的中点，推导出DE ∥AC，EF∥AP，从而DE∥平面PAC，EF∥平面PAC，进而平面EFG∥平面PAC，由此能证明GF∥平面PAC．（2）连结PE，连结CG并延长交BE于点O，则O为BE的中点，连结OF，则OF∥PE，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AP﹣C的余弦值．【解答】解：（1）证明：连结EF，连结EG并延长，交BC于点D，由点D是BC的中点，∴D，E，F分别是棱CB，AB，PB的中点，∴DE∥AC，EF∥AP，∵DE，EF⊄平面PAC，AC，AP⊂平面PAC，∴DE∥平面PAC，EF∥平面PAC，∵DE，EF⊂平面EFG，DE∩EF＝E，∴平面EFG∥平面PAC，∵GF⊂平面EFG，∴GF∥平面PAC．（2）解：连结PE，∵PA＝PB，E是AB的中点，∴PE⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PE⊂平面PAB，∴PE⊥平面ABC，连结CG并延长交BE于点O，则O为BE的中点，连结OF，则OF∥PE，∴OF⊥平面ABC，∴∠FGO是GF与平面ABC所成角，∴∠FGO＝60°，在Rt△FGO中，设GF＝2，则OG＝1，OF＝，∴OC＝3，PE＝2，∴AB＝4，CE＝2，OE＝，∴OE2+OC2＝CE2，∴OC⊥AB，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣3，0），C（3，0，0），P（0，﹣，2），＝（3，3，0），＝（0，2），设平面PAC的一个法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（），平面PAB的法向量＝（1，0，0），设二面角B﹣AP﹣C的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴二面角B﹣AP﹣C的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝1+x﹣2sin x，x＞0．（1）求f（x）的最小值；（2）证明：f（x）＞e﹣2x．【分析】（1）求导可知时f（x）单减，时f（x）单增，进而求得最小值；（2）即证x＞0时，g（x）＝（1+x﹣2sin x）e2x＞1，利用导数容易得证．【解答】解：（1）f′（x）＝1﹣2cos x，令f′（x）＝0，得，故在区间[0，π]上，f′（x）的唯一零点是，当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故在区间[0，π]上，f（x）的极小值为，当x＞π时，，∴f（x）的最小值为；（2）要证x＞0时，f（x）＞e﹣2x，即证x＞0时，g（x）＝（1+x﹣2sin x）e2x＞1，g′（x）＝2（1+x﹣2sin x）e2x+（1﹣2cos x）e2x＝（3+2x﹣4sin x﹣2cos x）e2x，令h（x）＝x﹣sin x，x＞0，则h′（x）＝1﹣cos x≥0，即h（x）是（0，+∞）上的增函数，∴h（x）＞h（0）＝0，即x＞sin x，∴3+2x﹣4sin x﹣2cos x＞3+2sin x﹣4sin x﹣2cos x＝3﹣2（sin x+cos x）＝，∴g′（x）＝（3+2x﹣4sin x﹣2cos x）e2x＞0，即g（x）是（0，+∞）上的增函数，g（x）＞g（0）＝1，故当x＞0时，f（x）＞e﹣2x，即得证．【点评】本题考查利用导数研究函数的最值及证明不等式，考查推理论证及运算能力，属于中档题．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数）．（1）写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）已知倾斜角互补的两条直线l1，l2，其中l1与曲线C交于A，B两点，l2与C交于M，N两点，l1与l2交于点P（x0，y0），求证：|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．【分析】（1）由y＝4m，得m＝，代入x＝4m2，求出C的普通方程为y2＝4x，表示开口向右，焦点为F（1，0）的抛物线．（2）设直线l1的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为π﹣α，直线l1的参数方程为，（t为参数），与y2＝4x联立，得t2sin2α+（2y0sinα﹣4cosα）t+y02﹣4x0＝0，由此能证明|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．【解答】解：（1）解：由y＝4m，得m＝，代入x＝4m2，得y2＝4x，∴曲线C的普通方程为y2＝4x，∴C的普通方程为y2＝4x，表示开口向右，焦点为F（1，0）的抛物线．（2）证明：设直线l1的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为π﹣α，∴直线l1的参数方程为，（t为参数），与y2＝4x联立，得t2sin2α+（2y0sinα﹣4cosα）t+y02﹣4x0＝0，设方程的两个解为t1，t2，则t1t2＝，∴|PA|•|PB|＝|t1|•|t2|＝||，|PM|•|PN|＝||＝||，∴|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．【点评】本题考查曲线方程的求法，考查两组线段乘积相等的证明，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x﹣1|．（1）若f（a）＜2，求a的取值范围；（2）当x∈[a，a+k]时，函数f（x）的值域为[1，3]，求k的值．【分析】（1）f（a）＝|a﹣1|＜2，即可得a的取值范围是（﹣1，3）；（2）对a分类讨论，由单调性即可得f（x）的单调性．【解答】解：（1）f（a）＝|a﹣1|＜2，得﹣2＜a﹣1＜2．即﹣1＜a＜3，所以a的取值范围是（﹣1，3）．（2）当a≥1时，函数f（x）在区间[a，a+k]上单调递增．则[f（x）]min＝f（a）＝a﹣1＝1，得a＝2，[f（x）]max＝f（a+k）＝a+2k﹣1＝3，得k ＝1．当a＜1时，f（x）＝则[f（x）]min＝f（a）＝1﹣a＝1，得a＝0，[f（x）]max＝f（a+k）＝a+2k﹣1＝3，得k＝2．综上所述，k的值是1或2．【点评】本题考查了绝对值不等式，属于中档题．。

高考数学精品复习资料2019.5佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数 学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷和答题卡交回． 参考公式：①柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． ②锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高． ③标准差222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为样本12,,,n x x x 的平均数．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i 为虚数单位，则复数i2i+等于 A ．12i 55+ B ． 12i 55-+ C ．12i 55- D ．12i 55--2．命题:p 2,11x x ∀∈+≥R ，则p ⌝是A ．2,11x x ∀∈+<R B ．2,11x x ∃∈+≤RC ．2,11x x ∃∈+<RD ．2,11x x ∃∈+≥R3．已知(1,2)=a ，(0,1)=b ，(,2)k =-c ，若(2)+⊥a b c ，则k = A ．2 B ．8 C ．2- D ．8-4．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的 三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．9B ．102 21 31 正视图 侧视图俯视图第4题图C ．11D ．2325．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是A ．x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛B ．x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛C ．x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛D ．x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛6．已知实数,x y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为A ．3-B ．12C ．5D ．6 7．已知集合{}|4||1|5M x x x =-+-<，{}6N x a x =<< ,且()2,MN b =,则a b +=A ．6B ．7C ．8D ．98．对于函数()y f x =，如果存在区间[,]m n ，同时满足下列条件：①()f x 在[,]m n 内是单调的；②当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ，则称[,]m n 是该函数的“和谐区间”．若函数11()(0)a f x a a x+=->存在“和谐区间”，则a 的取值范围是 A ．(0,1) B ． (0,2) C ．15(,)22D ．(1,3)二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题)9．已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()f x =2log x ，则1(())4f f 的值等于 ． 10．已知抛物线24x y =上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 的横坐标是_____．第5题图11．函数sin sin 3y x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的最小正周期为 ，最大值是 ． 12．某学生在参加政、史、地 三门课程的学业水平考试中，取得A 等级的概率分别为54、53、52，且三门课程的成绩是否取得A 等级相互独立.记ξ为该生取得A 等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望ξE 的值为______________. 13．观察下列不等式： ①112<；②11226+<；③11132612++<；… 则第5个不等式为 ．(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线3πθ=（ρ∈R ）垂直，则直线l 极坐标方程为 ．15．（几何证明选讲）如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的 中点，直线l 过点M 分别交,AD AC 于点,E F ． 若3AD AE =，则:AF FC = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）如图，在△ABC 中，45C ∠=，D 为BC 中点，2BC =. 记锐角ADB α∠=．且满足7cos 225α=-． （1）求cos α；（2）求BC 边上高的值．ξ 012 3P6125ab24125第15题图F ABCD E Ml第16题图CBD A17．（本题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为122n n S +=-，数列{}n b 是首项为1a ，公差为(0)d d ≠的等差数列，且1311,,b b b 成等比数列．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．（本题满分14分）如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点， 且13AD DB =，点C 为圆O 上一点，且3BC AC =． 点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD DB =． （1）求证：PA CD ⊥；（2）求二面角C PB A --的余弦值．19．（本题满分14分）某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式3C x =+，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式PABDCO第18题图35, (06)814, (6)k x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩ 已知每日的利润L S C =-，且当2x =时，3L =．（1）求k 的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．20．（本题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率32e =．过该椭圆上任一点P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且||||QP PC =． （1）求椭圆的方程；（2）求动点C 的轨迹E 的方程；（3）设直线AC （C 点不同于,A B ）与直线2x =交于点R ，D 为线段RB 的中点，试判断直线CD 与曲线E 的位置关系，并证明你的结论．21．（本题满分14分）设()xg x e =，()[(1)]()f x g x a g x =λ+-λ-λ，其中,a λ是常数，且01λ<<． （1）求函数()f x 的极值；（2）证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式11x e a x--<成立； （3）设12,λλ∈+R ，且121λλ+=，证明：对任意正数21,a a 都有：12121122a a a a λλ≤λ+λ．佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 题号 12345678 答案A CBCD C BA二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9．1- 10．4± 11．2π（2分），3 （3分） 12．59 13．11111526122030++++< 14．2sin()16πρθ+=（或2cos()13πρθ-=、cos 3sin 1ρθρθ+=） 15．1:4三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分） 解析：（1）∵27cos 22cos 125αα=-=-，∴29cos 25α=， ∵(0,)2πα∈，∴3c o s 5α=． -----------------5分 （2）方法一、由（1）得24sin 1cos 5αα=-=，∵45CAD ADB C α∠=∠-∠=-，∴2sin sin()sin cos cos sin 44410CAD πππααα∠=-=-=，-----------------9分在ACD ∆中，由正弦定理得：sin sin CD ADCAD C=∠∠， ∴21sin 25sin 210CD CAD CAD⨯⋅∠===∠，-----------------11分则高4sin 545h AD ADB =⋅∠=⨯=． -----------------12分 方法二、如图，作BC 边上的高为AH在直角△ADH 中，由（1）可得3cos 5DB AD α==， 则不妨设5,AD m = 则3,4DH m AH m ==-----------------8分第16题图 C BD AH注意到=45C ∠，则AHC ∆为等腰直角三角形，所以CD DH AH += ， 则134m m +=-----------------10分 所以1m =，即4AH =-----------------12分17．（本题满分12分） 解析：（1）当2n ≥，时11222n nn n n n a S S +-=-=-=， -----------------2分又111112222a S +==-==，也满足上式，所以数列{na }的通项公式为2n n a =． -----------------3分112b a ==，设公差为d ，则由1311,,b b b 成等比数列，得2(22)2(210)d d +=⨯+，-----------------4分解得0d =（舍去）或3d =，----------------5分 所以数列}{n b 的通项公式为31n b n =-． -----------------6分（2）由（1）可得312123n n nb b b b T a a a a =++++123258312222nn -=++++，-----------------7分121583122222n n n T --=++++，-----------------8分两式式相减得12133********n n n n T --=++++-，-----------------11分131(1)3135222512212n n n nn n T ---+=+-=--，-----------------12分18．（本题满分14分）解析：（Ⅰ）法1：连接CO ，由3AD DB =知，点D 为AO 的中点， 又∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥， 由3AC BC =知，60CAB ∠=，∴ACO ∆为等边三角形，从而CD AO ⊥．-----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD ⊥，-----------------5分由PDAO D =得，CD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，∴PA CD ⊥． -----------------6分（注：证明CD ⊥平面PAB 时，也可以由平面PAB ⊥平面ACB 得到，酌情给分．） 法2：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥， 在Rt ABC ∆中设1AD =，由3A D D B=，3AC BC =得，3DB =，4AB =，23BC =， ∴32BD BC BC AB ==，则BDC BCA ∆∆∽， ∴BCA BDC∠=∠，即C ⊥． -----------------3分∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD⊥，-----------------5分 由PDAO D =得，CD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB，∴PA CD ⊥． -----------------6分 法3：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥， 在Rt ABC ∆中由3AC BC =得，30ABC ∠=， 设1AD =，由3AD DB =得，3DB =，23BC =，PABDCO由余弦定理得，2222cos303CD DB BC DB BC =+-⋅=， ∴222CD DB BC +=，即C ⊥． -----------------3分∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD⊥，-----------------5分 由PDAO D =得，CD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB，∴PA CD ⊥． -----------------6分（Ⅱ）法1：（综合法）过点D 作DE PB ⊥，垂足为E ，连接CE ． -----------------7分由（1）知CD ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ， ∴CD PB ⊥，又DE CD D =， ∴PB ⊥平面CDE ，又CE ⊂平面CDE ， ∴CE PB ⊥，-----------------9分∴DEC ∠为二面角C PB A --的平面角． -----------------10分 由（Ⅰ）可知3CD =，3PD DB ==，（注：在第（Ⅰ）问中使用方法1时，此处需要设出线段的长度，酌情给分．）∴32PB =，则932232PD DB DE PB ⋅===， ∴在Rt CDE ∆中，36tan 3322CD DEC DE ∠===， ∴15cos 5DEC ∠=，即二面角C P B --的余弦值为155． -----------------14分 法2：（坐标法）以D 为原点，DC 、DB 和DP 的方向分别为x 轴、y 轴和z 轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系． -----------------8分 （注：如果第（Ⅰ）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明CD AB ⊥，酌情给分．） 设1AD =，由3AD DB =，3AC BC =得，3PD DB ==，3CD =，PABDC OE∴(0,0,0)D ，(3,0,0)C ，(0,3,0)B ，(0,0,3)P ， ∴(3,0,3)PC =-，(0,3,3)PB =-，(3,0,0)CD =-， 由CD ⊥平面PAB，知平面PAB的一个法向量为(3,0,0)CD =-． -----------------10分设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则00PC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即330330x y y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令1y =，则3x =，1z =， ∴(3,1,1)=n ，-----------------12分 设二面角C PB A --的平面角的大小为θ， 则315cos 5||53CD CD θ⋅-===-⋅⨯n |n |，-----------------13分 ∴二面角C PB A --的余弦值为155．-----------------14分19．（本题满分14分） 解析：（Ⅰ）由题意可得：22,06811,6k x x L x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩，-----------------2分 因为2x =时，3L =，所以322228k=⨯++-. -----------------4分解得18k =.-----------------5分（Ⅱ）当06x <<时，18228L x x =++-，所以 1818182818=[2(8)]182********L x x x x x x=-++--++--⋅+=---≤（）（）．-----------------8分 当且仅当182(8)8x x-=-，即5x =时取得等号． -----------------10分 当6x ≥时，1L x =-≤． -----------------12分 所以当5x =时，L 取得最大值6．PABDCOyz x所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元． -----------------14分20．（本题满分14分）解析：（1）由题意可得2a =，32c e a ==，∴3c =， -----------------2分∴2221b a c =-=，所以椭圆的方程为2214x y +=． -----------------4分 （2）设(,)C x y ，00(,)P x y ，由题意得002x x y y =⎧⎨=⎩，即0012x x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩， -----------------6分 又220014x y +=，代入得221()142x y +=，即224x y +=． 即动点C 的轨迹E 的方程为224x y +=． -----------------8分（3）设(,)C m n ，点R 的坐标为(2,)t ，∵,,A C R 三点共线，∴//AC AR ，而(2,)AC m n =+，(4,)AR t =，则4(2)n t m =+， ∴42n t m =+， ∴点R 的坐标为4(2,)2n m +，点D 的坐标为2(2,)2n m +，-----------------10分∴直线CD 的斜率为222(2)22244n n m n n mn m k m m m -+-+===---， 而224m n +=，∴224m n -=-，∴2mn m k n n ==--， -----------------12分∴直线CD 的方程为()m y n x m n-=--，化简得40mx ny +-=， ∴圆心O 到直线CD 的距离224424d r m n ====+， 所以直线CD与圆O 相切． -----------------14分21．（本题满分14分）解析：（1）∵()[(1f x g x ag x λλλλ'''=+--， -----------------1分由()0f x '>得，[(1)]()g x a g x λλ''+->，∴(1)x a x λλ+->，即(1)()0x a λ--<，解得x a <，-----------------3分故当x a <时，()0f x '>；当x a >时，()0f x '<；∴当x a =时，()f x 取极大值，但()f x 没有极小值．-----------------4分（2）∵111x x e e x x x----=， 又当0x >时，令()1xh x e x =--，则()10x h x e '=->， 故()(0)0h x h >=，因此原不等式化为1x e x a x--<，即(1)1x e a x -+-<， -----------------6分 令()(1)1xg x e a x =-+-，则()(1)x g x e a '=-+，由()0g x '=得：1x e a =+，解得ln(1)x a =+，当0ln(1)x a <<+时，()0g x '<；当ln(1)x a >+时，()0g x '>． 故当l n (1x a =+时，()g x 取最小值[ln(1)](1)ln(1)g a a a a +=-++， -----------------8分 令()ln(1),01a s a a a a=-+>+，则2211()0(1)1(1)a s a a a a '=-=-<+++． 故()(0)0s a s <=，即[ln(1)](1)ln(1)0g a a a a +=-++<．因此，存在正数ln(1)x a =+，使原不等式成立． -----------------10分（3）对任意正数12,a a ，存在实数12,x x 使11x a e =，22x a e =， 则121122112212x x x x a a ee e λλλλλλ+=⋅=，12112212x x a a e e λλλλ+=+， 原不等式12121122a a a a λλλλ≤+11221212x x x x e e e λλλλ+⇔≤+，11221122()()()g x x g x g x λλλλ⇔+≤+ -----------------14分由（1）()(1)()f x g a λ≤-恒成立，故[(1)]()(1)()g x a g x g a λλλλ+-≤+-，取1212,,,1x x a x λλλλ===-=，即得11221122()()()g x x g x g x λλλλ+≤+，即11221212x x x x e e e λλλλ+≤+，故所证不等式成立． -----------------14分。

广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x |﹣1≤x ≤3}，B={x ∈Z |x 2＜5}，则A ∩B=（ ）A ．{0，1}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣1，0，1}D ．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．（5分）已知复数z=1﹣i ，则下列命题中正确的个数为：（ ） ①|z |=；②=1+i ；③z 的虚部为﹣i ． A ．0B ．1C ．2D ．33．（5分）向量=（1，x +1），=（1﹣x ，2），⊥，则（+）（﹣）=（ ） A ．﹣15B ．15C ．﹣20D ．20 4．（5分）△ABC 中，tanA=，AC=2，BC=4，则AB=（ ） A ．2﹣B ．﹣C ．+D ．2+5．（5分）将一根长为6m 的绳子剪为二段，则其中一段大于另一段2倍的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值是（ ）A ．B ．﹣1C ．0D ．1祝您高考马到成功！7．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（ ）A ．4立方丈B ．5立方丈C ．6立方丈D ．12立方丈8．（5分）已知a=log 52，b=log 73，c=log 3，则a ，b ，c 的大小关系（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜ cD ．c ＜b ＜a 9．（5分）已知P （x ，y ）为平面区域内的任意一点，当该区域的面积为3时，z=2x ﹣y 的最大值是（ ） A ．6B ．3C ． 2D ．110．（5分）已知三棱锥S ﹣ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，且SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，则球的表面积为（ ）A ．4πB ．3πC ．8πD ．12π11．（5分）若圆（x ﹣）2+（y ﹣1）2=9与双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）经过二、四象限的渐近线，交于A ，B 两点且|AB |=2，则此双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．2D ．12．（5分）对于实数a 、b ，定义运算“⊗”：a ⊗b=，设f （x ）=（2x﹣3）⊗（x ﹣3），且关于x 的方程f （x ）=k （k ∈R ）恰有三个互不相同的实根x 1、x 2、x 3，则x 1•x 2•x 3取值范围为（ ）祝您高考马到成功！A ．（0，3）B ．（﹣1，0）C ．（﹣∞，0）D ．（﹣3，0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）若sin （α+β）cosα﹣cos （α+β）sinα=，则cos2β= ． 14．（5分）4名同学去参加3 个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社会团体，则共有 种结果．15．（5分）已知f （x ）=f （4﹣x ），当x ≤2时，f （x ）=e x ，f′（3）+f （3）= ． 16．（5分）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，过焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足为C ，D ，若|AF |=2|BF |，则三角形CDF 的面积为 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＞0且满足a n =2S n ﹣﹣（n∈N *）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{}的前n 项和T n ．18．（12分）如图，在三棱锥D ﹣ABC 中，DA=DB=DC ，E 为AC 上的一点，DE ⊥平面ABC ，F 为AB 的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD ⊥平面DEF ；（Ⅱ）若AD ⊥DC ，AC=4，∠BAC=45°，求二面角A ﹣BD ﹣C 的余弦值．祝您高考马到成功！19．（12分）某市市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列，（Ⅰ）求a ，b ，c 的值及居民用水量介于2﹣2.5的频数；（Ⅱ）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为多少立方米？（精确到小数掉后2位）（Ⅲ）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X ，求其分布列及其均值． 20．（12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x 2=﹣4y 的焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若圆O ：x 2+y 2=r 2与椭圆C 交于A ，B ，C ，D 四点，当半径r 为多少时，四边形ABCD 的面积最大？并求出最大面积． 21．（12分）设函数f （x ）=xlnx ﹣ax +1，g （x ）=﹣2x 3+3x 2﹣x +． （Ⅰ）求函数f （x ）在[，e ]上有两个零点，求a 的取值范围； （Ⅱ）求证：f （x ）+ax ＞g （x ）．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（α为参数），祝您高考马到成功！曲线C 1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C 2．（Ⅰ）求C 2的极坐标方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|x ﹣3|﹣|x +5|． （Ⅰ）求不等式f （x ）≤2的解集；（Ⅱ）设函数f （x ）的最大值为M ，若不等式x 2+2x +m ≥M 恒成立，求m 的取值范围．祝您高考马到成功！广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x |﹣1≤x ≤3}，B={x ∈Z |x 2＜5}，则A ∩B=（ ） A ．{0，1} B ．{﹣1，0，1，2} C ．{﹣1，0，1}D ．{﹣2，﹣1，0，1，2}【解答】解：∵A={x |﹣1≤x ≤3}，B={x ∈Z |x 2＜5}={x ∈Z |﹣＜x ＜}={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A ∩B={﹣1，0，1，2}， 故选：B ．2．（5分）已知复数z=1﹣i ，则下列命题中正确的个数为：（ ）①|z |=；②=1+i ；③z 的虚部为﹣i ．A ．0B ．1C ．2D ．3 【解答】解：∵z=1﹣i ， ∴|z |=，故①正确；，故②正确；z 的虚部为﹣1，故③错误． ∴正确命题的个数为2个． 故选：C ．3．（5分）向量=（1，x +1），=（1﹣x ，2），⊥，则（+）（﹣）=（ ） A ．﹣15B ．15C ．﹣20D ．20【解答】解：向量=（1，x +1），=（1﹣x ，2）， 若⊥，则•=（1﹣x ）+2（x +1）=x +3=0， 解可得x=﹣3，祝您高考马到成功！则=（1，﹣2），=（4，2），（+）=（5，0），（﹣）=（﹣3，﹣4）； 则（+）（﹣）=﹣15； 故选：A ．4．（5分）△ABC 中，tanA=，AC=2，BC=4，则AB=（ ） A ．2﹣B ．﹣C ．+D ．2+【解答】解：已知tanA=，由于：0＜A ＜π， 解得：A=，利用余弦定理：BC 2=AC 2+AB 2﹣2AC•AB•cosA ， 解得：AB=（负值舍去）．故选：C ．5．（5分）将一根长为6m 的绳子剪为二段，则其中一段大于另一段2倍的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：绳子的长度为6m ，折成两段后，设其中一段长度为x ，则另一段长度6﹣x ， 记“其中一段长度大于另一段长度2倍”为事件A ，则A={x |}={x |0＜x ＜2或4＜x ≤6}，∴P （A ）=， 故选：B ．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值是（ ）祝您高考马到成功！A ．B ．﹣1C ．0D ．1【解答】解：本题为直到型循环结构的程序框图，由框图的流程知： 算法的功能是求S=cos +cosπ+…+cos的值，∵y=cos的周期为4，2017=504×4+1∴输出S=504×（cos +cosπ+cos+cos2π）+cos=0故选：C7．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（ ）A ．4立方丈B ．5立方丈C ．6立方丈D ．12立方丈【解答】解：三棱柱的底面是边长为3，高为1的等腰三角形．三棱柱的高为2．祝您高考马到成功！∴三棱柱的体积V=．两个相同的四棱锥合拼，可得底面边长为2和3的矩形的四棱锥，其高为1． ∴体积V==2．该刍甍的体积为：3+2=5． 故选：B ．8．（5分）已知a=log 52，b=log 73，c=log3，则a ，b ，c 的大小关系（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a 【解答】解：∵c=log 3=log 53＞log 73，b=log 73＞=，a=log 52＜=，则a ，b ，c 的大小关系为：a ＜b ＜c ． 故选：A ．9．（5分）已知P （x ，y ）为平面区域内的任意一点，当该区域的面积为3时，z=2x ﹣y 的最大值是（ ） A ．6B ．3C ．2D ．1【解答】解：由作出可行域如图，由图可得A （a ，a ），D （a ，a ），B （a +1，a +1），C （a +1，﹣a ﹣1） 由该区域的面积为3时，×1=3，得a=1．∴A （1，1），C （2，﹣2） 化目标函数z=2x ﹣y 为y=2x ﹣z ，∴当y=2x ﹣z 过C 点时，z 最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．祝您高考马到成功！故选：A ．10．（5分）已知三棱锥S ﹣ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，且SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，则球的表面积为（ ）A ．4πB ．3πC ．8πD ．12π【解答】解：三棱锥S ﹣ABC 中，SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，∴共顶点S 的三条棱两两相互垂直，且其长均为1，三棱锥的四个顶点同在一个球面上，三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体， 三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径， 所以球的直径为：，半径为，外接球的表面积为：4π×（）2=3π．故选：B ．11．（5分）若圆（x ﹣）2+（y ﹣1）2=9与双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）经过二、四象限的渐近线，交于A ，B 两点且|AB |=2，则此双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．2D ．【解答】解：依题意可知双曲线的经过二、四象限的渐近线方程为bx +ay=0， ∵|AB |=2，圆的圆心为（，1），半径为3，祝您高考马到成功！∴圆心到渐近线的距离为=，即=，解得b=a ， ∴c==a ，∴双曲线的离心率为e==．故选：A ．12．（5分）对于实数a 、b ，定义运算“⊗”：a ⊗b=，设f （x ）=（2x﹣3）⊗（x ﹣3），且关于x 的方程f （x ）=k （k ∈R ）恰有三个互不相同的实根x 1、x 2、x 3，则x 1•x 2•x 3取值范围为（ ）A ．（0，3）B ．（﹣1，0）C ．（﹣∞，0）D ．（﹣3，0） 【解答】解：∵a ⊗b=，∴f （x ）=（2x ﹣3）⊗（x ﹣3）=，其图象如下图所示：由图可得：x 1=﹣k ，x 2•x 3=k ，祝您高考马到成功！故x 1•x 2•x 3=﹣k 2，k ∈（0，3）， ∴x 1•x 2•x 3∈（﹣3，0）， 故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）若sin （α+β）cosα﹣cos （α+β）sinα=，则cos2β= ﹣ ．【解答】解：∵sin （α+β）cosα﹣cos （α+β）sinα=sin [（α+β）﹣α]=sinβ=， 则cos2β=1﹣2sin 2β=1﹣2•=﹣，故答案为：﹣．14．（5分）4名同学去参加3 个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社会团体，则共有 54 种结果． 【解答】解：根据题意，先计算4名同学去参加3 个不同的社团组织的情况数目，4个同学中每人可以在3 个不同的社团组织任选1个，即每人有3种不同的选法， 则4人有3×3×3×3=81种情况，再计算甲乙参加同一个社团组织的情况数目，若甲乙参加同一个社团组织，甲乙两人有3种情况，剩下的2人每人有3种不同的选法，则剩下的2人有3×3=9种情况， 则甲乙参加同一个社团组织的情况有3×9=27种；则甲乙两位同学不参加同一个社团组织的情况有81﹣27=54种； 故答案为：54．15．（5分）已知f （x ）=f （4﹣x ），当x ≤2时，f （x ）=e x ，f′（3）+f （3）= 0 ． 【解答】解：由f （x ）=f （4﹣x ）可得， 函数f （x ）的图象关于直线x=2对称， 当x ≤2时，f （x ）=e x ，f′（x ）=e x ， ∴f （3）=f （1）=e ，祝您高考马到成功！f′（3）=﹣f′（1）=﹣e ， 故f′（3）+f （3）=0， 故答案为：0．16．（5分）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，过焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足为C ，D ，若|AF |=2|BF |，则三角形CDF 的面积为 3．【解答】解：如图，抛物线y 2=4x 的焦点F （1，0），准线l 为x=﹣1， 设l 所在直线方程为y=k （x ﹣1），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）联立，得k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2=0，∴x 1x 2=1，① ∵|AF |=2|BF |， ∴x 1+1=2（x 2+1），②由①②解得x 2=，x 1=2，或x 1=﹣1，x 2=﹣1（舍去）∴y 1=2，y 2=﹣， ∴|CD |=y 1﹣y 2=3，∵|FG |=1+1=2，∴S △CDF =×|CD |×|FG |=×3×2=3，故答案为：3祝您高考马到成功！三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＞0且满足a n =2S n ﹣﹣（n∈N *）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{}的前n 项和T n ．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，，解得a 1=1；由a n =2S n ﹣﹣，整理得，①∴，②②﹣①得：，∴（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ﹣2）=0， ∵a n ＞0，∴a n +1﹣a n ﹣2=0，即a n ﹣1﹣a n =2．∴数列{a n }是以1为首项，以2为公差的等差数列，则a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1；（Ⅱ）=，③，④ ③﹣④得：==．∴．祝您高考马到成功！18．（12分）如图，在三棱锥D ﹣ABC 中，DA=DB=DC ，E 为AC 上的一点，DE ⊥平面ABC ，F 为AB 的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD ⊥平面DEF ；（Ⅱ）若AD ⊥DC ，AC=4，∠BAC=45°，求二面角A ﹣BD ﹣C 的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE ⊥平面ABC ，∴AB ⊥DE ， 又∵F 为AB 的中点，DA=DB ，∴AB ⊥DF ， DF ∩DE=E ，且DF 、DE ⊂平面DEF ， 又∵AB ⊂平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面DEF ；解：（Ⅱ）∵DE ⊥平面ABC ，∴AC ⊥DE ， 又∵DA=DC ，∴E 为AC 中点， ∵F 是AB 中点，∴EF ∥BC ，由（Ⅰ）知AB ⊥EF ，∴AB ⊥BC ，又∵∠BAC=45°，∴△ABC 为等腰直角三角形，AC=4， ∴AB=BC=DA=DB=DC=2，取BD 中点G ，连结AG 、CG ，则AG ⊥DB ，CG ⊥DB ， ∴∠AGC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角， 在△AGC 中，cos ∠AGC==﹣，∴二面角A ﹣BD ﹣C 的余弦值为﹣．祝您高考马到成功！19．（12分）某市市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列，（Ⅰ）求a ，b ，c 的值及居民用水量介于2﹣2.5的频数；（Ⅱ）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为多少立方米？（精确到小数掉后2位）（Ⅲ）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X ，求其分布列及其均值．【解答】解：（Ⅰ）∵前四组频数成等差数列，∴所对应的频率也成等差数列， 设a=0.2+d ，b=0.2+2d ，c=0.2+3d ，∴0.5（a +0.2+d +0.2+2d +0.2+3d +0.2+d +0.1+0.1+0.1）=1， 解得d=0.1，a=0.3，b=0.4，c=0.5． 居民月用水量介于2～2.5的频率为0.25．居民月用水量介于2～2.5的频数为0.25×100=25人．祝您高考马到成功！（Ⅱ）由图可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7＜0.8， ∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米， 应定为ω=2.5+≈2.83立方米．（Ⅲ）将频率视为概率，设A 代表居民月用水量，由图知： P （A ≤2.5）=0.7，由题意X ～B （3，0.7），P （X=0）==0.027，P （X=1）==0.189， P （X=2）==0.441， P （X=3）==0.343．∴X 的分布列为：X 0 12 3 P0.0270.1890.4410.343∵X ～B （3，0.7），∴E （X ）=np=2.1．20．（12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x 2=﹣4y 的焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若圆O ：x 2+y 2=r 2与椭圆C 交于A ，B ，C ，D 四点，当半径r 为多少时，四边形ABCD 的面积最大？并求出最大面积．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上， 它的一个顶点恰好是抛物线x 2=﹣4y 的焦点，离心率等于，∴设椭圆方程为，根据题意得：，祝您高考马到成功！解得：所以椭圆C 的方程为；（Ⅱ）设A （x 0，y 0），则矩形ABCD 的面积S=4|x 0y 0|由，得，∴==﹣（﹣2）2+1，∴时，（）max =1，∴S max =4×1=4， 此时r 2==．即r=．21．（12分）设函数f （x ）=xlnx ﹣ax +1，g （x ）=﹣2x 3+3x 2﹣x +． （Ⅰ）求函数f （x ）在[，e ]上有两个零点，求a 的取值范围； （Ⅱ）求证：f （x ）+ax ＞g （x ）．【解答】解：（Ⅰ）由f （x ）=xlnx ﹣ax +1=0，得：a=lnx +， 问题转化为a=lnx +在[，e ]上有2个不同的解， 令h （x ）=lnx +，x ∈[，e ]，则h′（x ）=，令h′（x ）＞0，解得：x ＞1，令h′（x ）＜0，解得：0＜x ＜1， 故h （x ）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增， 而h （1）=1，h （）=e ﹣1，h （e ）=1+＜e ﹣1， 故a 的范围是（1，1+）；（Ⅱ）要证f （x ）+ax ≥g （x ），只要证明xlnx +1≥g （x ）， 先证xlnx +1≥x ，构造函数F （x ）=xlnx +1﹣x ，祝您高考马到成功！∵F′（x ）=1+lnx ﹣1=lnx ，x=1时，F′（x ）=0，当0＜x ＜1时，F′（x ）＜0，x ＞1时，F′（x ）＞0， 故F （x ）在[0，1]递减，在[1，+∞）递增，故F （x ）≥F （1）=0，即证xlnx +1≥x ，等号成立当且仅当x=1， 再证明x ∈[，+∞）时，g （x ）≤x ，构造函数G （x ）=x ﹣g （x ）=2，∵G′（x ）=6≥0，∴G （x ）在[，+∞）递增，∴G （x ）≥G （）=0，即证明g （x ）≤x ，等号成立当且仅当x=， 故x ∈（0，）时，构造函数φ（x ）=f （x ）+ax=xlnx +1，∵φ′（x ）=1+lnx ，∴x=时，φ′（x ）=0，当0＜x ＜时，φ′（x ）＜0，当＜x ＜时，φ′（x ）＞0，即φ（x ）在（0，）递减，在（，）递增， ∴x ∈（0，）时，φ（x ）≥φ（）=1﹣， ∵g′（x ）=﹣6+1，x ∈（0，）时，﹣＜g′（x ）＜1，又g′（0）=﹣＜0，g′（）=1＞0，存在x 0∈（0，），使得g′（x 0）=0，且g （x ）在（0，x 0）递减，在（x 0，）递增， 故x ∈（0，）时，g （x ）＜max {g （0），g （）}=， ∴g （x ）＜＜1﹣≤φ（x ），综上，对任意x ＞0，f （x ）+ax ＞g （x ）．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]祝您高考马到成功！22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（α为参数），曲线C 1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C 2．（Ⅰ）求C 2的极坐标方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |． 【解答】解：（Ⅰ）曲线C 1的参数方程为（α为参数），转化为直角坐标方程为：x 2+y 2=1， 曲线C 1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C 2．即：，故C 2的直角坐标方程为：．转化为极坐标方程为：．（Ⅱ）曲线C 1的参数方程为（α为参数），转化为极坐标方程为ρ1=1，由题意得到：A （1，），将B （ρ，）代入坐标方程：．得到，则：|AB |=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|x ﹣3|﹣|x +5|． （Ⅰ）求不等式f （x ）≤2的解集；（Ⅱ）设函数f （x ）的最大值为M ，若不等式x 2+2x +m ≥M 恒成立，求m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）x ≥3时，f （x ）=﹣8，此时f （x ）≤2恒成立， ﹣5＜x ＜3时，f （x ）=﹣2x ﹣2， 由f （x ）≤2，解得：﹣2≤x ＜3，祝您高考马到成功！x ≤﹣5时，f （x ）=8，此时f （x ）≤2，无解， 综上，f （x ）≤2的解集是{x |x ≥﹣2}；（Ⅱ）由（Ⅰ）得f （x ）=， 易知函数的最大值是8，若x 2+2x +m ≥8恒成立， 得m ≥﹣x 2﹣2x +8恒成立，即m ≥﹣（x +1）2+9，故m ≥9．祝您高考马到成功！。