直角坐标系找规律题.pdf

七下平行线，平面直角坐标系压轴题一•填空题(共13小题)1已知点M (3, 2)与点N (x, y)在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5，则点N的坐标为________ .2•如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2, 0),点B的坐标为(0，1)，将线段AB平移，使其一个端点到C(3, 2)，则平移后另一端点的坐标为______ .3. 如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE其中C、D两点坐标分别为(1, 0)、(2, 0).若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，经过点(75, 0)的是_________ (填A、B、C、D或E). 碰到矩形的边时的点为P n,则点P3的坐标是__________ ；点P2014的坐标是______ .O 1 2 4 5 6 7 85. 如图，在直角坐标系中，已知点A (- 3, 0)、B (0, 4), AB=5对厶OAB连续作旋转变换，依次得到△「△2、厶3、厶4…，则厶2013的直角顶4. 如图，弹性小球从点P (0, 3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为R,第2次碰到矩形的边时的点为…，第n次6. ________________________________________________________ 如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008 次, 点P依次落在点P1,P2,P3,P4, •••, P2008的位置，则P2008的坐标为____________ 7•如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中方向排列，如(1, 0), (2, 0), (2, 1), (1,1), (1, 2),(2, 2) ••根据这个规律，第2012个点的横坐标为_____ .8•如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2012次，依次得到点P1, B, P3-P012•则点P2012的坐标是 __________ •9. 如图，正方形A1A2A3A4, A5A6A7A8, A9A10A11A12,…，(每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1, A2, A3, A4；A5, A6, A7, A$; A9, A10, A11, A12；…)的中心均在坐标原点0,各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2, 4, 6…，则顶点A20的坐标为 ______ .10. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“-”方向排列，如(0,1), (0, 2), (1, 2), (1, 3), (0, 3), (- 1, 3)…,11. 如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如 (1,0), (2, 0), (2, 1), (3, 2), (3, 1) (3 , 0),…,根据这个规律探索可得,第102个点的坐标为__________ .♦ f5h41-(3.21 h4L2)J[5,2J 缶112. 如图，在直角坐标系中，第一次将△ OAB变换成△ OAB，第二次将△ OA1B1变换成△ OA2B2，第三次将△ OA2B2变换成△ OA3B3…已知：A （1, 3），A1 （2，3），A2 （4, 3），A3 （8, 3）; B （2，0），B i（4，0），B2 （8，0），B3 （16，0）.观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A的坐标是________ ，B5的坐标是______ .13. ____________________________________ 如图，在平面直角坐标系上有点 A （1, 0），点A第一次向左跳动至点A1 （- 1, 1）,第二次向右跳动至点A2 （2, 1）,第三次向左跳动至点A3 （-2, 2）,第四次向右跳动点A（3, 2）,…，依次规律跳动下去，点A第2017次跳动至点A2017的坐标是 ____________________________________ .FM平分/ EFD点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P, HM平分/ BHP交FM于点M .（1）如图1,试说明：/ HMF= （/ BHP F Z DFP）;2请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQ // AB （过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）.••• AB// CD （已知）,••• MQ // CD （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）•••/仁/3,Z 2=7 4 （ _________ ）•••/ 1+7 2=7 3+7 4 （等式的性质）即7 HMF=7 1 + 72.••• FM平分7 EFD HM平分7 BHP （已知）—* --------- ■ -- ------- •—MJ01 rzjoi RJ1 F4JO1fSM14•如图，已知直线AB// CD,直线EF分别与AB、CD相交于点E、F ,•解答题（共27小题）第3页（共67页）vZ 仁- / BHP, / 2= / DFP(2 2 ---------------------•••Z HMF= Z BHP^ 1Z DFP= (Z BHP+Z DFP (等量代换).2 2 2(2)如图2,若HP丄EF,求Z HMF的度数；(3)如图3,当点P与点F重合时，FN平分Z HFE交AB于点N,过点N作NQ丄FM于点Q,试说明无论点H在何处都有Z EHF=2/ FNQ.15. 如图1，直线m// n,点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连结FE并延长至点A,连结BA和CA,使Z AEC Z BAC.(1)求证：Z BFA+Z BAC=180;(2)请在图1中找出与Z CAF相等的角，并加以证明；(3)如图2,连结BC交AF于点D,作Z CBF和Z CEF的角平分线交于点M，若Z ADC a，请直接写出Z M的度数(用含a的式子表示)图I16. 已知直线AB// CD, M , N分别是AB, CD上的点.(1) 若E是AB, CD内一点.①如图甲所示，请写出/ BME,/ DNE / MEN之间的数量关系，并证明.②如图乙所示，若/ 1 =「/ BME,Z 2= / DNE,请利用①的结论探究/33F与/ MEN的数量关系.(2) 若E是AB, CD外一点.①如图丙所示，请直接写出/ EMB,Z END, / E之间的数量关系.②如图丁所示，已知/ BMP二/ EMB,在射线MP上找一点G,使得/4MGN= / E,请在图中画出点G的大致位置，并求/ ENG: Z GND的值. 17. 已知，AB / CD,点E为射线FG上一点.(1) _____________________________________________ 如图1,若/ EAF=30, / EDG=40,贝U/ AED= ______________________ °(2)如图2,当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H,则/ AED / EAF / EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；(3)如图3, DI平分/ EDC,交AE于点K,交AI于点I,且/ EA t / BAI=1: 2,/ AED=22, / 1=20；求/ EKD的度数.18•小明在学习了平行线的判定和性质”知识后，对下面问题进行探究：在平面内，直线AB// CD, E为平面内一点，连接BE、CE根据点E的位置探究/ B和/C、/ BEC的数量关系.(1)当点E分别在如下图①、图②和图③所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的/ B和/C、/ BEC的数量关系：图①中：_______________________ ;图②中：___________ ，图③中：_____ . (2)请在以上三个结论中选出一个你喜欢的结论加以证明.(3)运用上面的结论解决问题：如图④，AB//CD, BP平分/ ABE, CP平分/ DCE / BEC=1O0, / BPC的度数是 _______ .(直接写出结果，不用写计算过程) 19. 如图1，AC平分/ DAB, / 1 = / 2.(1)试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；(2)如图2,当/ADC=120时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨/ E和/F的数量关系；(3)如图3，AD和BC交于点G,过点D作DH// BC交AC于点H,若AC丄BC,问当/ CDH为多少度时，/GDC=/ ADH.20. 已知直线AB// CD.(1如图1,直接写出/ BME、/ E、/ END的数量关系为 __________ ;(2)如图2，/ BME与/CNE的角平分线所在的直线相交于点P,试探21. 如图1 , MN // PQ,直线AD与MN、PQ分别交于点A、D,点B在直线PQ上，过点B作BG丄AD,垂足为点G.(1)求证：/ MAG+/ PBG=90;究/P与/E之间的数量关系，并证明你的结论;(3) 如图3,/ ABM= / MBE,/ CDN= / NDE,直线MB、ND 交于点n n(2)若点C在线段AD上(不与A、D、G重合)，连接BC, / MAG和/ PBC的平分线交于点H,请在图2中补全图形，猜想并证明/ CBG 与/ AHB的数量关系;(3)若直线AD的位置如图3所示，(2)中的结论是否成立？若成立,图1请证明；若不成立，请直接写出/ CBG与/AHB的数量关系.22•如图，已知AB// CD, CE BE的交点为E,现作如下操作: 第一次操作，分别作/ ABE和/DCE的平分线，交点为E i, 第二次操作，分别作/ ABE和/DCE的平分线，交点为E2,第n次操作，分别作/ AB»i和/DCE-1的平分线，交点为E n.(1)如图①，求证：/ BEC=/ ABE+Z DCE(2)如图②，求证：/ BE2C= Z BEC(3)猜想：若Z E n=a度，那Z BEC等于多少度？(直接写出结论) 23. 一带一路”让中国和世界更紧密，中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯•如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视•若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度•假定主道路是平行的，即PQ// MN，且Z BAM: Z BAN=2: 1.(1)填空：Z BAN ______ °(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)如图2,若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前•若射出的光束交于点C,过C作Z ACD交PQ于点D,且Z ACD=120,则在转动过程中，请探究Z BAC与Z BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由.(1 如图1,点P在直线AB CD之间，当/ BAP=60, / DCP=20时，求/ APC(2)如图2,点P在直线AB CD之间，/ BAP与/ DCP的角平分线相交于点K,写出/ AKC与Z APC之间的数量关系，并说明理由.(3)如图3,点P落在CD外，Z BAP与Z DCP的角平分线相交于点K, Z AKC与Z APC有何数量关系？并说明理由.25. 已知直线AB// CD.(1) ______________________________________________________ 如图1，直接写出Z ABE Z CDE和Z BED之间的数量关系是___________ .(2)如图2, BF, DF分别平分Z ABE Z CDE那么Z BFD和Z BED有怎样的数量关系？请说明理由.(3)如图3,点E在直线BD的右侧，BF, DF仍平分Z ABE, Z CDE请直接写出Z BFD和Z BED的数量关系_______ .24•已知，直线AB// DC,点P为平面上一点，连接AP与CP.26. 已知AM // CN,点B为平面内一点，AB丄BC于B.(1如图1,直接写出/ A和/C之间的数量关系___________ ;(2)如图2,过点B作BD丄AM于点D,求证：/ ABD=Z C;(3)如图3,在(2)问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF, BF平分/ DBC, BE平分/ABD,若/ FCB^Z NCF=180, / BFC=3/ DBE 求/ EBC的度数.27. 如图，直线AB / CD,直线MN与AB, CD分别交于点M , N, ME, NE分别是/ AMN与/ CNM的平分线，NE交AB于点F,过点N作NG丄EN交AB于点G.(1)求证：EM / NG;(2)连接EG 在GN上取一点H ,使/ HEG=/ HGE作/ FEH 的平分线B28. 已知，/ AOB=90，点C在射线OA上，CD// OE(1 如图1,若/ OCD=120，求/ BOE的度数；(2)把2 AOB=90 '改为2 AOB=120 ”射线OE沿射线OB平移，得O E 其他条件不变，(如图2所示)，探究2 OCD 2 BO的数量关系；(3)在(2)的条件下，作PO丄OB垂足为0',与2 OCD的平分线CP 交于点P,若2 BO E=a请用含a的式子表示2 CPO(请直接写出答案).29. 如图1 .将线段AB平移至CD,使A与D对应，B与C对应，连AD、(1) ____________________________ 填空：AB与CD的关系为___________________________________ ，2 B与2 D的大小关系为_____ (2)如图2,若2 B=60°, F、E为BC的延长线上的点，2 EFD=Z EDF, DG平分2 CDE交BE于G,求2 FDG.(3)在(2)中，若2 B=a,其它条件不变，则2 FDG= _________.30. 已知：如图，BC// OA,/ B=Z A=100°,试回答下列问题：(1)如图①所示，求证：OB/ AC.(注意证明过程要写依据)(2)如图②，若点E、F在BC上，且满足/ FOC/ AOC,并且OE平分/ BOF.(i)求/ EOC的度数；(ii)求/ OCB / OFB的比值；(iii) _________________________________________ 如图③，若/ OEB=/ OCA 此时/ OCA度数等于____________________ .(在横线上填上答案即可) 31. 数学思考：(1)如图1，已知AB// CD,探究下面图形中/ APC和/PAB / PCD的关系，并说明你探究的结论的正确性.推广延伸：(2)①如图2,已知AA1 / BA3,请你猜想/片、/ B1、/ B2、/ A2、/ A3的关系，并证明你的猜想；②如图3，已知AA1 / BA n,直接写出/ A、/ B1、/ B2、/ A?、…/ B「1、/ A n的关系.拓展应用：(3) _______________________________________________________①如图4,若AB// EF,用含a, B, 丫的式子表示X,应为 __________________A. a+越丫B.供丫― aC.180 ° a_ 7+ PD.180 + a+ 丫②如图5, AB// CD, / EFA=30, / FGH=90,/ HMN=3° , / CNP=50, 则/ GHM的大小是_________ .32. 已知，直线AB// CD（1如图1点E在直线BD的左侧，猜想/ ABE / CDE / BED的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2,点E在直线BD的左侧，BF DF分别平分/ ABE / CDE 猜想/ BFD和/ BED的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3,点E在直线BD的右侧，BF、DF分别平分/ ABE / CDE 那么第（2）题中/BFD和/BED的数量关系的猜想是否仍成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出你的猜想，并证明.图1 图333. 阅读下列材料并填空：（1）探究：平面上有n个点（n》2）且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？我们知道，两点确定一条直线.平面上有2个点时，可以画条直线，平面内有3个点时，一共可以画一 -•条直线，平面上有4个点时，2 图1一共可以画条直线，平面内有5个点时，一共可以画________________ 条直线，••平面内有n个点时，一共可以画____ 条直线.（2）迁移：某足球比赛中有n个球队（n》2）进行单循环比赛（每两队之间必须比赛一场），一共要进行多少场比赛？有2个球队时，要进行二场比赛，有3个球队时，要进行场比赛，有4个球队时，要进行场比赛，••那么有20个球队时，要进行___________________________ 场比赛.第13页（共67页）BN,则a 与B 有何关系？并说明理由.(2)如图②，若Z EAC 的平分线所在直线与Z FBC 平分线所在直线交于 P,试探究Z APB 与a B 的关系是 _________ .(用a 、B 表示)(3) 如图③，若 a> p, Z EAC 与Z FBC 的平分线相交于 P i ，Z EAR 与Z FBP 的平分线交于依此类推，则Z P 5= ___________ (用a B 表示)34.若/ C=a, / EAC+Z FBC 邛B③35.已知，AB / CD,点E 为射线FG 上一点.(1) 如图1,直接写出Z EAR Z AED Z EDG 之间的数量关系； (2) 如图2,当点E 在FG 延长线上时，求证：Z EAF=/AED+Z EDG; (3)如图3, AI 平分Z BAE, DI 交AI 于点I ,交AE 于点K ,且Z EDI:Z CDI=2 1,Z AED=20, Z I=30 ,求Z EKD 的度数.(1)如图①，AM 是Z EAC 的平分线，BN 是Z FBC 的平分线，若 AM //36.已知AB// CD,点P在直线AB、CD之间，连接AP、CP.(1探究发现：(填空)填空：如图1，过P作PQ// AB,•••/ A+Z 仁______ °( _______ )••• AB// CD (已知)••• PQ// CD ( _____ )•••/ C+Z 2=180°结论：/ A+Z C+Z APC= _____(2)解决问题：与Z F存在怎样的数量关系并说明理由；②如图3,若Z APC=100,分别作BN// AP, DN / PC, AM、DM分别平分Z PAB Z CDN,则Z M的度数为__________ (直接写出结果)圉1 图2 图337.如图1 , AB// CD, E是AB、CD之间的一点.(1)判定Z BAE Z CDE与Z AED之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2,若Z BAE、Z CDE的两条平分线交于点F.直接写出Z AFD 与Z AED之间的数量关系；(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3,若Z AGD的余①如图2,延长PC至点E, AF、CF分别平分Z PAB Z DCE试判断Z P 角等于2 Z E的补角，求Z BAE的大小.BDD图2°圉138•实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等•如图1, 一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a 所夹的锐角/仁/2. (1)如图2, 一束光线m射到平面镜a上，被a 反射到平面镜b 上,又被b反射.若被b反射出的光线n与光线m平行，且/ 仁50°,则/2= ______________________ ° / 3= ______ °(2)在(1)中m // n,若/ 仁55°,则/ 3= _________ ° 若/ 仁40°,则/(3)由(1)、(2)，请你猜想：当两平面镜a、b的夹角/ 3= ___________ 时，可以使任何射到平面镜a上的光线m,经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行.你能说明理由吗？(4)如图3,两面镜子的夹角为a °(0< aV 90)时，进入光线与离开光线的夹角为B°(0< B<90).试探索a与B的数量关系.直接写出答39. 已知EF// MN，一直角三角板如图放置./ ACB=90.(1)如图1,若/仁60°,则/2= __________ 度；(2)如图2,若/仁/ B-20°则/2= ____________ 度；(3)如图3,延长AC交直线MN于D, GH平分/ CGN, DK平分/ ADN 交GH于K,问/ GKD是否为定值，若是求值，不是说明理由.40. 已知AD//CE点B为直线AD CE所确定的平面内一点.(1)如图1所示，求证：/ ADB=Z B+Z BFE案. _______(2)如图2, FG平分Z BFE DG交FG于点G交BF于点H,且Z BDG1. (- 5, 2)或(5, 2) ;2・(1, 3)或(5, 1)3. B;4・(8, 3) , (5, 0) ;5. (8052, 0)6. (2007, 1)7. 45.8. (4023,佝.9. (5,- 5).10. (- 5, 13). 11. (14, 10) ;12. (32, 3) , (64, 0);13. ( - 1009, 1009)七下平行线，平面直角坐标系压轴题参考答案与试题解析一.填空题(共13小题)1.已知点M (3, 2)与点N (x, y)在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5,则点N的坐标为 (-5, 2)或(5, 2) .【分析】根据点M (3, 2)与点N (x, y)在同一条平行于x轴的直线上，可得点M的纵坐标和点N的纵坐标相等，由点N到y轴的距离为5, 可得点N的横坐标的绝对值等于5,从而可以求得点N的坐标.【解答】解：•••点M (3, 2)与点N (x, y)在同一条平行于x轴的直线上，•••点M的纵坐标和点N的纵坐标相等.二y=2.•••点N到y轴的距离为5,• | x| =5.得, x=± 5.•点N的坐标为(-5, 2)或(5, 2).故答案为：(-5, 2)或(5, 2).【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确与x轴平行的直线上所有点的纵坐标相等，到y轴的距离是点的横坐标的绝对值.2 .如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2, 0),点B的坐标为 (0, 1),将线段AB平移，使其一个端点到C(3, 2),则平移后另一端点的坐标为(1, 3)或(5, 1) .【分析】分两种情况①当A平移到点C时，②当B平移到点C时，分别利用平移中点的变化规律求解即可.第仃页(共67页)化情况来解决问题•平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减; 纵坐标上移加，下移减.E1v C （3, 2）, A的坐标为（2, 0）,点B的坐标为（0, 1）,•••点A的横坐标增大了1，纵坐标增大了2,平移后的B坐标为（1, 3）,②如图2,当B平移到点C时，v C （3, 2）, A的坐标为（2, 0）,点B的坐标为（0 , 1）,•••点B的横坐标增大了3,纵坐标增大2 ,•••平移后的A坐标为（5 , 1）, 故答案为：（1 , 3）或（5 , 1）. 【点评】本题考查坐标系中点、线段的平移规律，关键要理解在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，从而通过某点的变3•如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE其中C、D两点坐标分别为（1, 0）、（2 , 0）.若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动,则滚动过程中,经过点（75 , 0）的是B （填A、B C、D或E）.O【分析】根据点（75 , 0）的横坐标是5的倍数,而该正五边形滚动 5 次正好一周，由此可知经过（5 , 0）的点经过（75 , 0）,找到经过（5 , 0）的点即可.【解答】解：v C D两点坐标分别为（1 , 0）、（2 , 0）.•按题中滚动方法点E经过点（3 , 0），点A经过点（4 , 0），点B经过点（5 , 0）,•••点（75 , 0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，•可知经过（5 , 0）的点经过（75 , 0）,•点B经过点（75 , 0）.故答案为：B.【解答】解：①如图1当A平移到点C时,第21页（共67页）【点评】本题考查了正多边形和圆及坐标与图形性质，解题的关键是了解正五边形滚动5次正好一个轮回，并由此判断经过点（75, 0）的点就是经过（5，0）的点.4•如图，弹性小球从点P （0, 3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P i,第2次碰到矩形的边时的点为…，第n次碰到矩形的边时的点为P n，则点P3的坐标是（8，3）；点P2014的【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可.【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0, 3），当点P第3次碰到矩形的边时，点P的坐标为：（8, 3）; ••• 2014-6=335…4,•••当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹, 点P的坐标为（5, 0）.【点评】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键.5. 如图，在直角坐标系中，已知点A （- 3, 0）、B （0, 4）,对厶OAB 连续作旋转变换，依次得到△「△2、厶3、厶4…，则厶2013的直角顶点的第22页（共67页）【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2013除以3,根据商为671可知第2013个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可.【解答】解：•••点 A (- 3，0)、B (0, 4)，:AB= ；「$ =5，由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12,••• 2013- 3=671，•••△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，••• 671 X 12=8052，2013的直角顶点的坐标为(8052, 0).故答案为：(8052，0).【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查了，难度不大，仔细观察图形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点.点P依次落在点P1 , P2, P3, P4，…,P2008的位置，则P2008的坐标为 (2007, 1_.J A耳—浮…£....... 吕…・・:\ : \ : \ : •**| 卡 " d 0 》【分析】根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律对2008变形，得出结论.【解答】解：根据规律Pi (1 , 1), R (2, 0) =P3 , P4 (3, 1),P5 (5, 1), Ps (6, 0) =P7, P8 (7, 1)…每4个一循环，可以判断P2008坐标在502次循环后与P4坐标纵坐标一致, 坐标应该是(2007, 1)故答案为：(2007, 1)【点评】本题主要考查了对正方形的性质，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，体现了由特殊到一般的数学方法，这一解答问题的方法在考查本节的知识点时经常用到，是在研究特例的过程中总结规律.6. 如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008 次,7. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺第20页(共67页)序按图中方向排列，如(1, 0), (2, 0), (2, 1), (1,1), (1, 2),【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可.【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1,共有1个，1=12,右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=2^右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=于，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42, 右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，••• 452=2025, 45 是奇数，•••第2025 个点是（45, 0）, 第2012个点是（45, 13）,所以，第2012个点的横坐标为45.故答案为：45.【点评】本题考查了点的坐标，观察出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的关键.8•如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2012次，依次得到点P1, P?, P3…P012 .则点P2012的坐标是（4023, Q .【分析】根据等边三角形的性质易求得P1的坐标为（1,氏）；在等边三角形翻折的过程中，P点的纵坐标不变，而每翻折一次，横坐标增加 2 个单位（即等边三角形的边长），可根据这个规律求出点P2012的坐标.2012个点的横坐标为45第24页（共67页）【解答】解：易得P l （1, 「）；而P I P2=P2P3=2,「. P2 （3, V5）, P3 （5,冋;依此类推，P n （1+2n-2,血）,即P n （2n - 1, 冋;当n=2012 时，P2012 （4023, 「）.故答案为：（4023,二）.【点评】考查了规律型：点的坐标•解答此类规律型问题时，通常要根据简单的条件得到一般化规律，然后根据规律求特定的值.9.如图，正方形A1A2A3A4, A5A6A7A8, A9A10A11A12,…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1, A2, A3, A4；A5, A Q,A7, A g；A9, A10, A11,A12；…）的中心均在坐标原点O,各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2, 4, 6…，则顶点A20的坐标为（5,- 5） .【分析】由* =5易得A?0在第四象限，根据A4的坐标，A g的坐标，A12 4的坐标不难推出A20的坐标.【解答】解：•••==5,4••• A20在第四象限，V A4所在正方形的边长为2,A的坐标为（1,- 1）,同理可得：A g的坐标为（2, - 2）, A12的坐标为（3 , - 3）,••• A20 的坐标为（5 , - 5）,故答案为：（5, - 5）.【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题关键是首先找出A20所在的象限.10.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“-”方向排列,如（0, 1）, （0 , 2）, （1 , 2）, （1 , 3）, （0 , 3）, （-第25页（共67页）j L*r J"4*3'卩* ■L2"L1h-------3 -2 -1 1 2 3X【分析】观察可知，纵坐标的数值与点的个数相等，然后求出第90个点的纵坐标，以及在这一坐标中的序数，再根据纵坐标是奇数的从右到左计数，纵坐标是偶数的从左到右计数，然后解答即可.【解答】解：(0，1)，共1个，(0, 2)，(1, 2)，共 2 个，(1, 3)，(0，3 )，(- 1, 3)，共 3 个，，依此类推，纵坐标是n的共有n个坐标，1+2+3+-+ n= 1，2当n=13 时，「「=91,所以，第90个点的纵坐标为13,(13- 1)十2=6, •••第91个点的坐标为(-6, 13),第90个点的坐标为(-5, 13) 故答案为：(-5, 13).【点评】本题考查了点的坐标与规律变化问题，观察出纵坐标的数值与相应的点的坐标的个数相等是解题的关键.11•如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如 (1,0), (2, 0), (2, 1), (3, 2), (3, 1), (3, 0),…,【分析】应先判断出第102个数在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解.【解答】解：把第一个点(1, 0)作为第一列，(2, 1 )和(2, 0)作为第二列，依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，第n列有n 个数•则n列共有二二-个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶厶(14, 10)第23页(共67页)数列点的顺序由下到上.因为105=1+2+3+・・+14,则第102个数一定在第14列，由下到上是第11个数.因而第102个点的坐标是（14, 10）.故答案填：（14, 10）.【点评】本题考查了学生阅读理解并总结规律的能力，解决的关键是能正确找出题目中点的规律.12. 如图，在直角坐标系中，第一次将△ OAB变换成△ OAB，第二次将△ OA1B1变换成△ OA2B2，第三次将△ OA2B2变换成△ OA3B3…已知：A （1，3），A1 （2，3），A2 （4，3），A3 （8，3）; B （2，0），B1（4，0），B2 （8，0），B3 （16，0）.观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A5的坐标是（32,3），【分析】寻找规律求解.【解答】解：A、A1、A2-A n都在平行于X轴的直线上，点的纵坐标都相等，所以A5的纵坐标是3; 这些点的横坐标有一定的规律：A n=2n.因而点A5的横坐标是25=32;B、B、B2^B n都在x轴上，B5的纵坐标是0;这些点的横坐标也有一定的规律：B n=2n+1，因而点B5的横坐标是B5=25+1=64.•••点A5的坐标是（32, 3），点B5的坐标是（64, 0）.故答案分别是：（32, 3），（64, 0）.【点评】考查X轴上的点的特征与平行于X轴的直线上点的特点.注意数形结合思想在此的应用，找到点的变化规律是解题的关键.13. 如图，在平面直角坐标系上有点A （1, 0）,点A第一次向左跳动至点A1 （- 1, 1）,第二次向右跳动至点A2 （2, 1）,第三次向左跳动至点A3 （-2, 2）,第四次向右跳动点A4 （3, 2）,…，依次规律跳动下去, 点A第2017次跳动至点A2017的坐标是（-1009, 1009）..【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1,纵坐标相同，然后写出即可.【解答】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第27页（共67页）第4次跳动至点的坐标是（3, 2），第6次跳动至点的坐标是（4, 3），第8次跳动至点的坐标是（5, 4），第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），则第2018次跳动至点的坐标是（1010，1009）,第2017次跳动至点A2017的坐标是（-1009, 1009）.故答案为：（-1009, 1009）.【点评】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键.二.解答题（共27小题）14. 如图，已知直线AB// CD,直线EF分别与AB、CD相交于点E、F, FM平分/ EFD,点H是射线EA上一动点（不与点E重合）,过点H的直线交EF于点P, HM平分/ BHP交FM于点M .（1）如图1,试说明：/ HMF=「（/ BHP F Z DFP）;2请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQ // AB （过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）. ••• AB// CD （已知）,••• MQ // CD （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）•••/仁/3,Z 2=7 4 （两直线平行，内错角相等）•••/ 1+7 2=7 3+7 4 （等式的性质）即7 HMF=7 1 + 72.••• FM平分7 EFD, HM平分7 BHP （已知）•••7 1 =「7 BHP, 7 2= 7 DFP （角平分线定义）£厶•••7 HMF= 7 BHF+17 DFP= （7 BHP+7 DFP （等量代换）.2 2 2（2）如图2,若HP丄EF,求7 HMF的度数；（3）如图3,当点P与点F重合时，FN平分7 HFE交AB于点N,过点N 作NQ丄FM于点Q,试说明无论点H在何处都有7 EHF=2/ FNQ.【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线定义进行判断即可；第28页（共67页）（2）先根据HP丄EF, AB// CD,得到/ EHF+Z DFP=90,再根据（1）中结论即可得到/ HMF的度数；（3）先根据题意得到/ NFQ=90 -Z FNQ,再根据FN平分/ HFE FM平分/EFD 即可得出Z HFD=2/ NFQ,最后根据Z EHF+Z HFD=180,即可得出Z EHF=2/ FNQ.【解答】解：（1）由MQ //CD,得到Z仁Z 3,Z 2=Z 4,其依据为：两直线平行，内错角相等；由FM 平分Z EFD HM 平分Z BHP,得到Z 1= Z BHP,Z 2」Z DFP,其依据为：角平分线定义.故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线定义.•••Z EHF+Z HEP=180 - 90°90°(三角形的内角和等于180°又••• AB// CD,•Z HEP=/ DFP. •Z EHH Z DFP=90.由(1)得：Z HMF= (Z EHP F Z DFP) = X 90°45°.2 2(3)如图3,v NQ丄FM,•Z NFQ+Z FNQ=180 - 90°90°(三角形的内角和等于180° .•Z NFQ=90 -Z FNQ.••• FN平分Z HFE, FM 平分Z EFD,又tZ NFQ=Z NFE F Z QFE= (Z HFE F Z EFD = . Z HFD,•Z HFD=2Z NFQ.又••• AB// CD,•Z EHF+Z HFD=180,•Z EHF=180-Z HFD=180 - 2Z NFQ=180 - 2 (90°-Z FNQ) =2Z FNQ, 即无论点H在何处都有Z EHF=2/ FNQ.(2)如图2,t HP丄EF,• Z HPE=90,第29页（共67页）。

空间直角坐标系中的规律问题经典练习题一、题目描述本练题旨在加强对空间直角坐标系中规律问题的理解和应用能力。

通过解答以下题目，掌握在三维空间中确定点的坐标、计算线段长度和角度等相关技巧。

二、题目列表1. 已知点A坐标为(3, 2, 4)，点B坐标为(-1, 5, -2)，求线段AB 的长度。

2. 点C在点A(1, 3, -2)和点B(4, -1, 5)的连线上，并且AC:CB = 2:3，求点C的坐标。

3. 已知点D(-2, 6, 1)和点E(5, -3, 2)，求线段DE的中点坐标。

4. 点F在x轴上，且点F到点A(3, -4, 2)的距离为5，求点F的坐标。

5. 已知直线L过点G(2, 1, -3)且与平面P: 2x - y - z = 4垂直，求直线L的方程。

6. 给定点H(4, -2, 1)和平面P: 3x + 2y - z = 8，求点H到平面P 的距离。

7. 已知直线L1的方程为(x - 1) / 2 = (y + 3) / -1 = (z - 2) / 4，直线L2经过点I(3, -2, 1)且与直线L1平行，求直线L2的方程。

三、解答1. 线段AB的长度可以通过两点之间的距离公式求解：线段AB的长度= √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2]将点A(3, 2, 4)和点B(-1, 5, -2)代入计算可得：线段AB的长度= √[(-1 - 3)^2 + (5 - 2)^2 + (-2 - 4)^2]= √[16 + 9 + 36]= √61≈ 7.812. 设点C的坐标为(x, y, z)。

根据点C在点A和点B的连线上，并且AC:CB = 2:3的条件，可得以下方程组：(x - 1) / (4 - 1) = (y - 3) / (-1 - 3) = (z - (-2)) / (5 - (-2))(x - 1) / 3 = (y - 3) / (-4) = (z + 2) / 7解方程组可得：x = 2, y = 0, z = 1。

专题4.3 平面直角坐标系中点的坐标规律专项训练（30道）【浙教版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平面直角坐标系中的规律问题所有类型！一．选择题（共18小题）1．（2022春•宽城县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A（1，﹣1），D（3，﹣1），规定把正方形ABCD“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2022次变换后，点C的坐标为（）A．（﹣3，﹣2023）B．（3，﹣2024）C．（3，﹣2025）D．（﹣3，﹣2026）2．（2022春•西平县期末）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，你观察图形，猜想由里向外第2021个正方形四条边上的整点个数共有（）A．2021个B．4042个C．6063个D．8084个3．（2022春•厦门期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点P的坐标是（）A．（2022，0）B．（2022，1）C．（2022，2）D．（2022，0）4．（2022春•上思县期中）如图，已知A1（1，0），A2（1，﹣1），A3（﹣1，﹣1），A4（﹣1，1），A5（2，1），则点A2020的坐标是（）A．（506，505）B．（﹣506，507）C．（﹣506，506）D．（﹣505，505）5．（2022春•柳南区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），那么A2020坐标为（）A．（2022，1）B．（2022，0）C．（1010，1）D．（1010，0）6．（2022春•永川区期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），……，根据这个规律探索可得，第120个点的坐标为（）A．（16，0）B．（15，14）C．（15，0）D．（14，13）7．（2022春•黄梅县期中）如下图所示，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次运动到点（2，0），第3次运动到点（3，﹣1），…，按照这样的运动规律，点P第2021次运动到点（）A．（2022，1）B．（2022，0）C．（2022，﹣1）D．（2022，0）8．（2022春•青川县期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为（）A．（14，0）B．（14，﹣1）C．（14，1）D．（14，2）9．（2022•苏州一模）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2015次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A．（3，0）B．（7，4）C．（8，1）D．（1，4）10．（2022春•绥中县期末）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，P1，P2，P3，…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2021的坐标为（）A．（﹣505，﹣505）B．（﹣505，506）C．（506，506）D．（505，﹣505）11．（2022春•海城市期中）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转8次，点P依次落在点P、P2、P3、P4、…P x的位置，则点P9的横坐标是（）A．5B．6C．7D．912．（2022秋•石柱县校级月考）如图，在一张无穷大的格纸上，格点的位置可用数对（m，n）表示，如点A的位置为（3，3），点B的位置为（6，2）．点M从（0，0）开始移动，规律为：第1次向右移动1个单位到（1，0），第2次向上移动2个单位到（1，2），第3次向右移动3个单位到（4，2），…，第n 次移动n 个单位（n 为奇数时向右，n 为偶数时向上），那么点M 第27次移动到的位置为（ ）A ．（182，169）B ．（169，182）C ．（196，182）D ．（196，210）13．（2022•重庆模拟）如图，在平面直角坐标系上有个点P （1，0），点P 第一次向上跳动1个单位至P 1（1，1），紧接着第二次向左跳动2个单位至点P 2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P 第100次跳动至点P 100的坐标是（ ）A ．（﹣24，49）B ．（﹣25，50）C ．（26，50）D ．（26，51）二．填空题（共10小题）14．（2022•烟台模拟）我们把1，1，2，3，5，8，13，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P 1P 2̂，P 2P 3̂，P 3P 4̂，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，…得到螺旋折线（如图），已知点P 1（0，1），P 2（﹣1，0），P 3（0，﹣1），则该折线上的点P 8的坐标为 ．15．（2022春•长汀县期末）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P'（y﹣1，﹣x﹣1）叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为点A2，点A2的友好点为点A3，点A3的友好点为点A4，……以此类推，当点A1的坐标为（2，1）时，点A2022的坐标为．16．（2022春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，速度为每秒1个单位长度，且点P只能向上或向右运动，请回答下列问题：（1）将表格填写完整：点P出发时间可得到整数点的坐标可得到整数点的个数1秒（0，1）（1，0）22秒（1，1）（2，0）（0，2）343秒（0，3）（1，2）（2，1）（3，0）（2）当点P从点O出发10秒，可得到的整数点的个数是．（3）当点P从点O出发秒时，可得到整数点（28，7）．17．（2022•东城区二模）在平面直角坐标系中，小明玩走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…，依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第8步时，棋子所处位置的坐标是；当走完第2016步时，棋子所处位置的坐标是．18．（2022春•上杭县期末）如图，点A（0，1），点A1（2，0），点A2（3，2），点A3（5，1），…，按照这样的规律下去，点A2021的坐标为（）A．（6062，2020）B．（3032，1010）C．（3030，1011）D．（6063，2021）二．填空题（共9小题）19．（2022•潍坊期中）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（﹣2，3），则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为．20．（2022•曲靖）如图：图象①②③均是以P0为圆心，1个单位长度为半径的扇形，将图形①②③分别沿东北，正南，西北方向同时平移，每次移动一个单位长度，第一次移动后图形①②③的圆心依次为P1P2P3，第二次移动后图形①②③的圆心依次为P4P5P6…，依此规律，P0P2018＝个单位长度．21．（2022•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，动点P从原点O出发，每次向上平移1个单位长度或向右平移2个单位长度，在上一次平移的基础上进行下一次平移．例如第1次平移后可能到达的点是（0，1）、（2，0），第2次平移后可能到达的点是（0，2）、（2，1）、（4，0），第3次平移后可能到达的点是（0，3）、（2，2）、（4，1）、（6，0），依此类推…．我们记第1次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l1，l1＝3；第2次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l2，l2＝9；第3次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l3，l3＝18；按照这样的规律，l4＝；l n＝（用含n的式子表示，n是正整数）．22．（2022•锦州）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点A100的坐标是．23．（2022春•黄石校级月考）如图在直角坐标系中第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知：A（1，3），A1（﹣2，﹣3），A2（4，3），A3（﹣8，﹣3），B（2，0），B1（﹣4，0），B2（8，0），B3（﹣16，0）．（1）观察每次变化前后的三角形有何变化，找出其中的规律，按此变化规律将△OA3B3变换成△OA4B4则点A4的坐标为，点B4的坐标为．（2）若按第（1）题中找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到的△OA n B n推测点A n坐标为，点Bn坐标为．24．（2022春•龙港区期末）如图，两种大小不等的正方形间隔排列在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1且A1的坐标为（2，2），A2的坐标为（5，2）．（1）A3的坐标为；（2）A n的坐标为．（用含n的代数式表示）25．（2022春•新余期末）如图，在平面直角坐标系中，一电子蚂蚁按照设定程序从原点O出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点（1，2），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（2，﹣2），第4次接着运动到点（4，﹣2），第5次接着运动到点（4，0），第6次接着运动到点（5，2）．…按这样的运动规律，经过2021次运动后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是．26．（2022•广水市期末）如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上．将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2021次后，点P的坐标为．27．（2022•东城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，B1（0，1），B2（0，3），B3（0，6），B4（0，10），…，以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2，以B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3，以B3B4为对角线作第三个正方形A3B3C3B4，…，如果所作正方形的对角线B n B n+1都在y轴上，且B n B n+1的长度依次增加1个单位长度，顶点A n都在第一象限内（n≥1，且n为整数），那么A1的纵坐标为；用n的代数式表示A n的纵坐标：．三．解答题（共3小题）28．（2022春•西城区校级期中）在直角坐标系中，我们把横，纵坐标都为整数的点叫敝整点，该坐标轴的单位长度为1cm，整点P从原点O出发，速度为1cm/s，且整点p作向上或向右运动（如图1所示）．运动时间（s）与整点（个）的关系如下表：整点P运动的时间（秒）可以得到整点P的坐标可以得到整点P的个数1（0，1）（1，0）22（0，2）（1，1）（2，0）33（0，3）（1，2）（2，1）（3，0）4………根据上表的运动规律回答下列问题：（1）当整点p从点O出发4s时，可以得到的整点的个数为个；（2）当整点p从点O出发8s时，在直角坐标系中描出可以得到的所有整点，并顺次连接这些整点；（3）当整点P从点O出发时，可以得到整点（16，4）的位置．29．（2022春•海门市期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x2﹣x1＝y2﹣y1≠0，则称点A与点B互为“对角点”，例如：点A（﹣1，3），点B（2，6），因为2﹣（﹣1）＝6﹣3≠0，所以点A与点B互为“对角点”．（1）若点A的坐标是（4，﹣2），则在点B1（2，0），B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）中，点A的“对角点”为点；（2）若点A的坐标是（﹣2，4）的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标；（3）若点A的坐标是（3，﹣1）与点B（m，n）互为“对角点”，且点B在第四象限，求m，n的取值范围．30．（2022秋•庐阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3．（1）观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是，B4的坐标是．（2）若按第（1）题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OA n B n，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测A n的坐标是，B n的坐标是．（3）若按第（1）题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OA n B n，则△OA n B n的面积S为。

坐标规律点专题一．选择题（共13小题）1．如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2014次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A．（1，4） B．（5，0） C．（6，4） D．（8，3）2．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A…的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（）A．（﹣1，0）B．（1，﹣2）C．（1，1） D．（﹣1，﹣1）3．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A55的坐标是（）A．（13，13）B．（﹣13，﹣13）C．（14，14）D．（﹣14，﹣14）4．如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→…，则2015分钟时粒子所在点的横坐标为（）A．886 B．903 C．946 D．9905．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为（）A．（14，0）B．（14，﹣1）C．（14，1）D．（14，2）6．如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A．（1，4） B．（5，0） C．（6，4） D．（8，3）7．如图，在平面直角坐标系中，从点P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2），…依次扩展下去，则P2017的坐标为（）A．（504，﹣504）B．（﹣504，504）C．（﹣504，503）D．（﹣505，504）8．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…根据这个规律探索可得，第100个点的坐标（）A．（14，0 ）B．（14，﹣1）C．（14，1 ）D．（14，2 ）9．平面直角坐标系中，一蚂蚁从A出发，沿着A﹣B﹣C﹣D﹣A…循环爬行，其中A的坐标为（1，﹣1），B的坐标为（﹣1，﹣1），C的坐标为（﹣1，3），D 的坐标为（1，3），当蚂蚁爬了2014个单位时，蚂蚁所处位置的坐标为（）A．（2，2） B．（1，1） C．（﹣1，﹣1）D．（﹣2，2）10．如图，一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点（0，0）运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第80秒时质点所在位置的坐标是（）A．（0，9） B．（9，0） C．（0，8） D．（8，0）11．如图，在平面直角坐标系中，半径为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑曲线，点P从点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2016秒时，点P的坐标是（）A．（2016，1）B．（2016，0）C．（2016，﹣1）D．（2016π，0）。

直角坐标系中的几何问题（国庆拓展）1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a＝+﹣1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC．（2）在y轴上是否存在一点P，连接P A，PB，使S△P AB＝S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由．2．如图，点A（a，b）在第二象限，其中a，b满足等式+|a+b+n|＝0，点B在第一象限内，射线BC∥OA，与y轴交于点C（0，5）．（1）当n＝1时，求A点的坐标；（2）点P在y轴上从（0，﹣3）出发以每秒1个单位长度的速度向点C运动（到达C点后停止运动），求当时间为t秒时（不考虑点P与点O，C重合的情况），∠AOP，∠OPB，∠PBC的大小关系；（3）如图，若∠AOF＝30°，点D是射线BC上一动点，∠FOD，∠ODC的平分线交于点E．∠E的大小是否随点D的位置变化发生改变，若不变，请求出∠E的度数；若改变，说明理由．3．如图1，在平面直角坐标系中，P（3，3），点A、B分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且P A＝PB．（1）求证：P A⊥PB；（2）若点A（9，0），则点B的坐标为；（3）当点B在y轴负半轴上运动时，求OA﹣OB的值；（4）如图2，若点B在y轴正半轴上运动时，直接写出OA+OB的值．4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足|a+1|+（b﹣3）2＝0．（1）填空：a＝，b＝；（2）如果在第三象限内有一点M（﹣2，m），请用含m的式子表示△ABM的面积；（3）在（2）条件下，当m＝﹣时，在y轴上有一点P，使得△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．5．如图，已知在平面直角坐标系中，△ABO的面积为8，OA＝OB，BC＝12，点P的坐标是（a，6）．（1）求△ABC三个顶点A，B，C的坐标；（2）若点P坐标为（1，6），连接P A，PB，则△P AB的面积；（3）是否存在点P，使△P AB的面积等于△ABC的面积？如果存在，请求出点P的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a，b满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0．（1）求a，b的值；（2）如果在第二象限内有一点M（m，1），请用含m的式子表示四边形ABOM的面积；（3）在（2）条件下，当m＝﹣时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形ABOM的面积与△ABN的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（3，0），C（3，4）三点，（1）求三角形ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积．（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式|a ﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣5）2≤0．（1）求a、b、c的值．（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形APOB的面积．（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形AOBC的面积是四边形APOB的面积的2倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，平面直角坐标系中，已知A（﹣7，1），B（﹣1，1），C（﹣1，5），且点D的坐标（x，y），满足2x+5y＝22，四边形ABCD的面积为37，求x，y的值．10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）．（1）直接写出点B和点C的坐标B（，）、C（，）；（2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围；（3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使S△APD＝S ABOC，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a，b满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0．（1）a＝，b＝；（2）如果在第二象限内有一点M（m，1），请用含m的式子表示四边形ABOM的面积；（3）在（2）条件下，当m＝﹣时，在坐标轴的负半轴上求点N（的坐标），使得△ABN的面积与四边形ABOM的面积相等．（直接写出答案）12．如图，在平面直角坐标系中，点A在X轴正半轴上，B在Y轴的负半轴，过点B画MN∥x轴；C是Y轴上一点，连接AC，作CD⊥CA．（1）如图（1），请直接写出∠CA0与∠CDB的数量关系．（2）如图（2），在题（1）的条件下，∠CAO的角平分线与∠CDB的角平分线相交于点P，求∠APD 的度数．（3）如图（2），在题（1）、（2）的条件下，∠CAX的角平分线与∠CDN的角平分线相交于点Q，请直接写出∠APD与∠AQD数量关系．（4）如图（3），点C在Y轴的正半轴上运动时，∠CAO的角平分线所在的直线与∠CDB的角平分线相交于点P，∠APD的大小是否变化？若不变，直接写出其值；若变化，说明理由．13．在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”．（1）已知点A的坐标为（﹣3，1），①在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是；②若点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为；（2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．14．如图，已知平面直角坐标系内A（2a﹣1，4），B（﹣3，3b+1），A、B；两点关于y轴对称（1）求A、B的坐标；（2）动点P、Q分别从A点、B点同时出发，沿直线AB向右运动，同向而行，P点的速度是每秒2个单位长度，Q点的速度是每秒4个单位长度，设P、Q的运动时间为t秒，用含t的代数式表示三角形OPQ的面积S，并写出t的取值范围；（3）在平面直角坐标系中存在一点M，点M的横纵坐标相等，且满足S△PQM：S△OPQ＝3：2，求出点M的坐标，并求出当S△AQM＝15时，三角形OPQ的面积．15．已知两种不同的数对处理器f、g．当数对（x，y）输入处理器f时，输出数对（x+2y，2x﹣y），记作f （x，y）＝（x+2y，2x﹣y）；但数对（x，y）输入处理器g时，输出数对（y，﹣x+4），记作g（x，y）＝（y，﹣x+4）．（1）f（3，2）＝（，），g（3，2）＝（，）．（2）当f（x，y）＝g（1，﹣1）时，求x，y；（3）对于数对（x，y），f[g（x，y）]＝g[f（x，y）]一定成立吗？若成立，说明理由；若不成立，举例说明．16．如图，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD，已知AD＝3，AO＝8，OC＝5．（1）若点P在y轴上且S△P AD＝S△poc，求点P的坐标；（2）若点P在梯形内且S△P AD＝S△POC，S△P AO＝S△PCD，求点P的坐标．17．在平面直角坐标系中，点A（a，b）是第四象限内一点，AB⊥y轴于B，且B（0，b）是y轴负半轴上一点，b2＝16，S△AOB＝12．（1）求点A和点B的坐标；（2）如图1，点D为线段OA（端点除外）上某一点，过点D作AO垂线交x轴于E，交直线AB于F，∠EOD、∠AFD的平分线相交于N，求∠ONF的度数．（3）如图2，点D为线段OA（端点除外）上某一点，当点D在线段上运动时，过点D作直线EF交x 轴正半轴于E，交直线AB于F，∠EOD，∠AFD的平分线相交于点N．若记∠ODF＝α，请用α的式子表示∠ONF的大小，并说明理由．18．如图，在平面直角坐标系，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|2a+b+1|+（a+2b﹣4）2＝0．（1）求a，b的值；（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使S△COM＝△ABC的面积，求出点M的坐标；②在坐标轴的其他位置是否存在点M，使△COM的面积＝△ABC的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标为．19．如图，在长方形OABC中，OA＝BC＝10，AB＝OC＝6，以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，建立平面直角坐标系．动点P从点A出发，沿A→O→C→B路线运动到点B停止，速度为4个单位长度/秒；动点Q从点O出发，沿O→C→B路线运动到点B停止，速度为2个单位长度/秒；当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t．（1）写出A、B、C三个点的坐标；（2）当点P恰好追上点Q时，求此时点P的坐标；（3）当点P运动到线段BC上时，连接AP、AQ，若△APQ的面积为3，求t的值．20．已知：如图三角形ABC的三个顶点位置分别是A（1，0），B（﹣4，0），C（﹣2，5）（1）求三角形ABC的面积；（2）若点P（0，m）在y轴上，试用含m的代数式表示三角形ABP的面积；（3）若点P在y轴上什么位置时，三角形ABP的面积等于三角形ABC的一半？21．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，3），且||+（4a﹣b+11）2＝0．（1）求a、b的值；（2）①在y轴上的负半轴上存在一点M，使△COM的面积＝△ABC的面积，求出点M的坐标；②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使结论“△COM的面积＝△ABC的面积”仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且OC＝2，过点C作直线l∥PQ，点D在点C的左边且CD＝3．（1）直接写出△BCD的面积．（2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，求证：∠CEF＝∠CFE．（3）如图③，若∠ADC＝∠DAC，点B在射线OQ上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H，在点B运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．23．如图所示，A（﹣，0）、B（0，1）分别为x轴、y轴上的点，△ABC为等边三角形，点P（3，a）在第一象限内，且满足2S△ABP＝S△ABC，求a的值．直角坐标系中的几何问题答案（国庆拓展）1．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A （a ，0），B （b ，0），且a 、b 满足a ＝+﹣1，现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD ．（1）求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积S 四边形ABDC ．（2）在y 轴上是否存在一点P ，连接P A ，PB ，使S △P AB ＝S 四边形ABDC ？若存在这样一点，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．（3）点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在BD 上移动时（不与B ，D 重合）的值是否发生变化，并说明理由．【解答】解：（1）由题意得，3﹣b ≥0且b ﹣3≥0，解得b ≤3且b ≥3， ∴b ＝3， a ＝﹣1，∴A （﹣1，0），B （3，0），∵点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位， ∴点C （0，2），D （4，2）； ∵AB ＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4， ∴S 四边形ABDC ＝4×2＝8；（2）∵S △P AB ＝S 四边形ABDC ， ∴×4•OP ＝8，解得OP ＝4，∴点P 的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；（3）＝1，比值不变．理由如下：由平移的性质可得AB ∥CD ，如图，过点P 作PE ∥AB ，则PE ∥CD ， ∴∠DCP ＝∠CPE ，∠BOP ＝∠OPE ，∴∠CPO ＝∠CPE +∠OPE ＝∠DCP +∠BOP ， ∴＝1，比值不变．2．如图，点A （a ，b ）在第二象限，其中a ，b 满足等式+|a +b +n |＝0，点B 在第一象限内，射线BC ∥OA ，与y 轴交于点C （0，5）． （1）当n ＝1时，求A 点的坐标；（2）点P 在y 轴上从（0，﹣3）出发以每秒1个单位长度的速度向点C 运动（到达C 点后停止运动），求当时间为t 秒时（不考虑点P 与点O ，C 重合的情况），∠AOP ，∠OPB ，∠PBC 的大小关系；（3）如图，若∠AOF ＝30°，点D 是射线BC 上一动点，∠FOD ，∠ODC 的平分线交于点E ．∠E 的【解答】解：（1）∵a，b满足等式+|a+b+n|＝0，n＝1，∴解得：a＝﹣3，b，＝2，∴A（﹣3，2）答：当n＝1时，A点的坐标为（﹣3，2）．（2）①当0＜t＜3时，即点P在y轴的负半轴移动时，如图2﹣1，此时∠AOP＝∠OPB+∠PBC；∵OA∥BC，∴∠AOP＝∠OCQ，又∵∠OCQ＝∠OPB+∠PBC，∴∠AOP＝∠OPB+∠PBC，②当3＜t＜8时，即点P在OC上移动时，如图2﹣2，此时∠OPB＝∠AOP+∠PBC；∵OA∥BC，∴∠AOP＝∠PCB，又∵∠OPB═∠PBC+∠BCP，∴∠OPB＝∠AOP+∠PBC．（3）∠E的大小不会随点D的位置变化发生改变，∠E＝75°，作∠AOD的平分线交DE于点F，如图3所示∵OE平分∠FOD，OF平分∠AOD，DE平分∠ODC，∵∠AOE＝∠EOD＝∠FOD，∠AOF＝∠FOD ＝∠AOD，∠ODE＝∠EDC＝∠ODC，∵OA∥BC，∴∠AOD+∠ODC＝180°，∴∠ODE+∠FOD＝90°，即∠OFD＝90°，∴∠EOF＝∠FOD﹣∠AOD＝∠FOA＝15°，∴∠E＝90°﹣15°＝75°，即∠E的大小不变，∠E＝75°．答：∠E的大小不会随点D的位置变化发生改变，∠E＝75°．3．如图1，在平面直角坐标系中，P（3，3），点A、B分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且P A＝PB．（1）求证：P A⊥PB；（2）若点A（9，0），则点B的坐标为；（3）当点B在y轴负半轴上运动时，求OA﹣OB的值；（4）如图2，若点B在y轴正半轴上运动时，直接写出OA+OB的值．【解答】（1）证明：如图1，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，∵P（3，3），∴PE＝PF＝3，在Rt△APE和Rt△BPF中，∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），∴∠APE＝∠BPF，∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠BPF+∠BPE＝∠EPF＝90°，∴P A⊥PB；（2）解：由（1）证得，Rt△APE≌Rt△BPF，∴PF＝PE，∴四边形OEPF是正方形，∴OE＝OF＝4，∵A（9，0），∴OA＝9，∴AE＝OA﹣OE＝9﹣3＝6，∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF＝6，∴OB＝BF﹣OF＝6﹣3＝3，∴点B的坐标为（0，﹣3），故答案为：（0，﹣3）；（3）解：∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF，∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣3，BF＝OB+OF＝OB+3，∴OA﹣3＝OB+3，∴OA﹣OB＝6；（4）解：如图2，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，同（1）可得，Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF，∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣3，BF＝OF﹣OB＝3﹣OB，∴OA﹣3＝3﹣OB，∴OA+OB＝6．4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足|a+1|+（b﹣3）2＝0．（1）填空：a＝，b＝；（2）如果在第三象限内有一点M（﹣2，m），请用含m的式子表示△ABM的面积；（3）在（2）条件下，当m＝﹣时，在y轴上有一点P，使得△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．【解答】解：（1）∵|a+1|+（b﹣3）2＝0，∴a+1＝0且b﹣3＝0，解得：a＝﹣1，b＝3，故答案为：﹣1，3；（2）过点M作MN⊥x轴于点N，∵A（﹣1，0）B（3，0）∴AB＝1+3＝4，又∵点M（﹣2，m）在第三象限∴MN＝|m|＝﹣m∴S△ABM＝AB•MN＝×4×（﹣m）＝﹣2m；（3）当m＝﹣时，M（﹣2，﹣）∴S△ABM＝﹣2×（﹣）＝3，点P有两种情况：①当点P在y轴正半轴上时，设点p（0，k）S△BMP＝5×（+k）﹣×2×（+k）﹣×5×﹣×3×k＝k+，∵S△BMP＝S△ABM，∴k+＝3，解得：k＝0.3，∴点P坐标为（0，0.3）；②当点P在y轴负半轴上时，设点p（0，n），S△BMP＝﹣5n﹣×2×（﹣n﹣）﹣×5×﹣×3×（﹣n）＝﹣n﹣，∵S△BMP＝S△ABM，∴﹣n﹣＝3，解得：n＝﹣2.1∴点P坐标为（0，﹣2.1），故点P的坐标为（0，0.3）或（0，﹣2.1）．5．如图，已知在平面直角坐标系中，△ABO的面积为8，OA＝OB，BC＝12，点P的坐标是（a，6）．（1）求△ABC三个顶点A，B，C的坐标；（2）若点P坐标为（1，6），连接P A，PB，则△P AB的面积；（3）是否存在点P，使△P AB的面积等于△ABC的面积？如果存在，请求出点P的坐标．【解答】解：（1）∵S△ABO＝•OA•OB，∵OA＝OB，∴OA2＝8，解得OA＝4，∴OB＝OA＝4，∴OC＝BC﹣OB＝12﹣4＝8，∴A（0，4），B（﹣4，0），C（8，0）；（2）作PH⊥x轴于H，如图1，S△P AB＝S△PBH﹣S△AOB﹣S梯形AOHP＝×（4+1）×6﹣8﹣×（4+6）×1＝15﹣8﹣5＝2．（3）S△ABC＝•4•12＝24，当点P在第一象限，即a＞0，作PH⊥x轴于H，如图2，S△P AB＝S△AOB+S梯形AOHP﹣S△PBH＝8+•a﹣•6•（a+4）＝2a﹣4；则2a﹣4＝24，解得a＝14．此时P点坐标为（14，6）；当点P在第二象限，即a＜0，作PH⊥y轴于H，如图3，S△P AB＝S梯形OHPB﹣S△P AH﹣S△OAB＝•6﹣•（6﹣4）•（﹣a）﹣8＝4﹣2a；则4﹣2a＝24，解得a＝﹣10．此时P点坐标为（﹣10，6）．综上所述，点P的坐标为（﹣10，6）或（14，6）．6．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a，b满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0．（1）求a，b的值；（2）如果在第二象限内有一点M（m，1），请用含m的式子表示四边形ABOM的面积；（3）在（2）条件下，当m＝﹣时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形ABOM的面积与△ABN的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵a，b满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，解得a＝2，b＝3．故a的值是2，b的值是3；（2）过点M作MN丄y轴于点N．四边形AMOB面积＝S△AMO+S△AOB＝MN•OA+OA•OB＝×（﹣m）×2+×2×3＝﹣m+3；（3）当m＝﹣时，四边形ABOM的面积＝4.5．∴S△ABN＝4.5，①当N在x轴负半轴上时，设N（x，0），则S△ABN＝AO•NB＝×2×（3﹣x）＝4.5，解得x＝﹣1.5；②当N在y轴负半轴上时，设N（0，y），则S△ABN＝BO•AN＝×3×（2﹣y）＝4.5，解得y＝﹣1．∴N（0，﹣1）或N（﹣1.5，0）．7．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（3，0），C（3，4）三点，（1）求三角形ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积．（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）已知点A（0，2），B（3，0），C（3，4），过A点作BC边上的高，交BC于点H，则三角形ABC的面积为：S＝BC•AH＝×4×3＝6；（2）四边形ABOP的面积可以看作是△APO和△AOB的面积和，∵P在第二象限，∴m＜0，S APOB＝S△AOB+S APO＝+×（﹣m）×2＝3﹣m．故四边形ABOP的面积为3﹣m；（3）当四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等时，即3﹣m＝6，得m＝﹣3，此时P点坐标为：（﹣3，），存在P点，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等．8．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式|a ﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣5）2≤0．（1）求a、b、c的值．（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形APOB的面积．（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形AOBC的面积是四边形APOB的面积的2倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由已知|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣5）2≤0可得：a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣5＝0，解得：a＝2，b＝3，c＝5；（2）∵a＝2，b＝3，c＝5，∴A（0，2），B（3，0），C（3，5），∴OA＝2，OB＝3，∵S△ABO＝×2×3＝3，S△APO＝×2×（﹣m）＝﹣m，∴S四边形ABOP＝S△ABO+S△APO＝3+（﹣m）＝3﹣m（3）存在，∵S四边形AOBC＝S△AOB+S△ABC＝3+＝10.5，若S四边形AOBC＝2S四边形APOB＝2（3﹣m）＝10.5，则m＝﹣，∴存在点P（﹣，），使四边形AOBC的面积是四边形APOB的面积的2倍．9．如图，平面直角坐标系中，已知A（﹣7，1），B（﹣1，1），C（﹣1，5），且点D的坐标（x，y），满足2x+5y＝22，四边形ABCD的面积为37，求x，y的值．【解答】解：如图，作DE⊥y轴于点E，延长BC交DE于点F，则BF⊥DE，由A（﹣7，1），B（﹣1，1），C（﹣1，5），且点D的坐标（x，y），∴AB＝6、DF＝﹣x﹣1、BF＝y﹣1，CF＝y﹣5，由四边形ABCD的面积为37知×（6﹣x﹣1）（y﹣1）﹣×（﹣x﹣1）（y﹣5）＝37，整理，得：2x﹣3y＝﹣42，由2x+5y＝22可得，解得：．10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）．（1）直接写出点B和点C的坐标B（，）、C（，）；（2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围；（3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使S△APD＝S ABOC，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）B（0，6），C（8，0），故答案为：0、6，8、0；（2）当点P在线段BA上时，由A（8，6），B（0，6），C（8，0）可得：AB＝8，AC＝6∵AP＝AB﹣BP，BP＝2t，∴AP＝8﹣2t（0≤t＜4）；当点P在线段AC上时，∵AP＝点P走过的路程﹣AB＝2t﹣8（4≤t≤7）．（3）存在两个符合条件的t值，当点P在线段BA上时∵S△APD＝AP•AC S ABOC＝AB•AC∴（8﹣2t）×6＝×8×6，解得：t＝3＜4，当点P在线段AC上时，∵S△APD＝AP•CD CD＝8﹣2＝6∴（2t﹣8）×6＝×8×6，解得：t＝5＜7，综上所述：当t为3秒和5秒时S△APD＝S ABOC，11．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），其中a，b满足|a﹣2|+（b﹣3）2＝0．（1）a＝，b＝；（2）如果在第二象限内有一点M（m，1），请用含m的式子表示四边形ABOM的面积；（3）在（2）条件下，当m＝﹣时，在坐标轴的负半轴上求点N（的坐标），使得△ABN的面积与四边形ABOM的面积相等．（直接写出答案）【解答】解：（1）∵|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，解得：a＝2，b＝3，故答案为：2，3；（2）∵在第二象限内有一点M（m，1），∴S△AMO＝×AO×（﹣m）＝﹣m，S△AOB＝×AO×OB＝3，∴四边形ABOM的面积为：3﹣m；（3）∵当m＝﹣时，△ABN的面积与四边形ABOM的面积相等，当N在x轴的负半轴时，设N点坐标为：（c，0），则×2（3﹣c）＝3﹣（﹣），解得：c＝﹣1.5，故N（﹣1.5，0），当N在y轴的负半轴时，设N点坐标为：（0，d），则×3（2﹣d）＝3﹣（﹣），解得：d＝﹣1，故N（0，﹣1），综上所述：N点坐标为：（﹣1.5，0），（0，﹣1）．12．如图，在平面直角坐标系中，点A在X轴正半轴上，B在Y轴的负半轴，过点B画MN∥x轴；C是Y轴上一点，连接AC，作CD⊥CA．（1）如图（1），请直接写出∠CA0与∠CDB的数量关系．（2）如图（2），在题（1）的条件下，∠CAO的角平分线与∠CDB的角平分线相交于点P，求∠APD 的度数．（3）如图（2），在题（1）、（2）的条件下，∠CAX的角平分线与∠CDN的角平分线相交于点Q，请直接写出∠APD与∠AQD数量关系．（4）如图（3），点C在Y轴的正半轴上运动时，∠CAO的角平分线所在的直线与∠CDB的角平分线相交于点P，∠APD的大小是否变化？若不变，直接写出其值；若变化，说明理由．【解答】解：（1）如图，∵CD⊥CA，∴∠ACO+∠DCB＝90°，∵∠AOC＝90°，∴∠ACO+∠OAC＝90°，∴∠DCB＝∠OAC，又∵∠CBD＝90°，∴∠DCB+∠CDB＝90°，∴∠CAO+∠CDB＝90°；（2）如图2，延长AP交MN于点E，∵AP平分∠CAO、DP平分∠CDB，∴∠1＝∠CAO、∠2＝∠CDB，∵∠CAO+∠CDB＝90°，∴∠1+∠2＝45°，∵MN∥OA，∴∠1＝∠3，∴∠APD＝∠2+∠3＝∠1+∠3＝45°；（3）∵AP平分∠OAC、AQ平分∠CAx，∴∠P AC＝∠OAC、∠QAC＝∠CAx，∵∠OAC+∠CAx＝180°，∴∠P AQ＝∠P AC+∠CAQ＝（∠OAC+∠CAx）＝90°，同理得∠PDQ＝90°，∴∠APD+∠AQD＝360°﹣（∠P AQ+∠PDQ）＝180°；（4）∠APD的大小不变，为45°；设∠CAQ＝2α，∠CQA＝2β，∵∠ACD＝90°，∴∠CAQ+∠CQA＝90°，即2α+2β＝90，α+β＝45，∵AO∥MN，∴∠CQA＝∠CDB＝2β，∵AQ平分∠CAQ、DB平分∠CDB，∴∠QDP＝∠CDB＝β，∠CAQ＝α，则∠CQA＝90°﹣∠CAQ＝90°﹣α，∴∠APD＝∠CQA﹣∠CDB＝90°﹣α﹣β＝13．在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”．（1）已知点A的坐标为（﹣3，1），①在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是E、F；②若点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为；（2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．【解答】解：（1）①∵点A（﹣3，1）到x、y轴的距离中最大值为3，∴与A点是“等距点”的点是E、F．②当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有（3，9）、（﹣3，3）、（﹣9，﹣3），这些点中与A符合“等距点”的是（﹣3，3）．故答案为①E、F；②（﹣3，3）；（2）T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，①若|4k﹣3|≤4时，则4＝﹣k﹣3或﹣4＝﹣k﹣3解得k＝﹣7（舍去）或k＝1．②若|4k﹣3|＞4时，则|4k﹣3|＝|﹣k﹣3|解得k＝2．根据“等距点”的定义知，k＝1或k＝2符合题意．即k的值是1或2．14．如图，已知平面直角坐标系内A（2a﹣1，4），B（﹣3，3b+1），A、B；两点关于y轴对称（1）求A、B的坐标；（2）动点P、Q分别从A点、B点同时出发，沿直线AB向右运动，同向而行，P点的速度是每秒2个单位长度，Q点的速度是每秒4个单位长度，设P、Q的运动时间为t秒，用含t的代数式表示三角形OPQ的面积S，并写出t的取值范围；（3）在平面直角坐标系中存在一点M，点M的横纵坐标相等，且满足S△PQM：S△OPQ＝3：2，求出点M的坐标，并求出当S△AQM＝15时，三角形OPQ的面积．【解答】解：（1）∵A（2a﹣1，4），B（﹣3，3b+1），A、B两点关于y轴对称，∴2a﹣1＝3，3b+1＝4．解得a＝2，b＝1．∴点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（﹣3，4）．（2）∵AP＝2t，BQ＝4t，AB＝6，∴当0＜t＜3时，PQ＝6+2t﹣4t＝6﹣2t；当t＞3时，PQ＝4t﹣6﹣2t＝2t﹣6．∴当0＜t＜3时，S＝PQ•4＝×（6﹣2t）×4＝12﹣4t；当t＞3时，S＝．即．（3）设点M的坐标为（x，x）．当0＜t＜3时，∵S△PQM：S△OPQ＝3：2，＝（3﹣t）×|4﹣x|，S△OPQ＝12﹣4t．∴．解得，x＝﹣2或x＝10∴点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（10，10）当t＞3时，∵S△PQM：S△OPQ＝3：2，＝（t﹣3）×|4﹣x|，S△OPQ＝4t﹣12∴解得，x＝﹣2或x＝10．∴点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（10，10）．∵S△AQM＝15，（0＜t＜3）或（t＞3），∴t＝或t＝，∴当t＝时，，当t＝时，S△OPQ＝12﹣4×＝1；由上可得，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（10，10），当S△AQM＝15时，三角形OPQ的面积是11或1．15．已知两种不同的数对处理器f、g．当数对（x，y）输入处理器f时，输出数对（x+2y，2x﹣y），记作f （x，y）＝（x+2y，2x﹣y）；但数对（x，y）输入处理器g时，输出数对（y，﹣x+4），记作g（x，y）＝（y，﹣x+4）．（1）f（3，2）＝（，），g（3，2）＝（，）．（2）当f（x，y）＝g（1，﹣1）时，求x，y；（3）对于数对（x，y），f[g（x，y）]＝g[f（x，y）]一定成立吗？若成立，说明理由；若不成立，举例说明．【解答】解：（1）∵x＝3，y＝2，∴x+2y＝7，2x﹣y＝4，由f（x，y）＝（x+2y，2x﹣y），得到f（3，2）＝（7，4）；同理把x＝3，y＝2，代入g（x，y）＝（y，﹣x+4）中，可得g（3，2）＝（2，1）．故答案为（7，4），（2，1）．（2）∵g（x，y）＝（y，﹣x+4），∴g（1，﹣1）＝（﹣1，3）．当f（x，y）＝g（1，﹣1）＝（﹣1，3）时，根据f（x，y）＝（x+2y，2x﹣y），可得解得x＝1，y＝1；（3）对于数对（x，y），f[g（x，y）]＝g[f（x，y）]一定成立，理由如下：∵g（x，y）＝（y，﹣x+4），∴f[g（x，y）]＝f（y，﹣x+4）．又∵f（x，y）＝（x+2y，2x﹣y），所以f（y，﹣x+4）＝（3y，3x﹣4）．∵f（x，y）＝（x+2y，2x﹣y），∴g[f（x，y）]＝g（x+2y，2x﹣y）．又∵g（x，y）＝（y，﹣x+4），∴g（x+2y，2x﹣y）＝（3y，3x﹣4）．所以f[g（x，y）]＝g[f（x，y）]＝（3y，3x﹣4）．所以对于数对（x，y），f[g（x，y）]＝g[f（x，y）]一定成立．16．如图，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD，已知AD＝3，AO＝8，OC＝5．（1）若点P在y轴上且S△P AD＝S△poc，求点P的坐标；（2）若点P在梯形内且S△P AD＝S△POC，S△P AO＝S△PCD，求点P的坐标．【解答】解：（1）①点P在AO上时，S△P AD＝AD•P A，S△POC＝OC•PO，∵S△P AD＝S△POC，∴AD•P A＝OC•PO，∴3（8﹣PO）＝5PO，解得PO＝3，此时点P的坐标为（0，3），②点P在AO的延长线上时，S△P AD＝AD•P A，S△POC＝OC•PO，∵S△P AD＝S△POC，∴AD•P A＝OC•PO，∴3（8+PO）＝5PO，解得PO＝12，此时点P的坐标为（0，﹣12），综上所述，点P的坐标为（0，3）或（0，﹣12）；（2）如图，过点P作PE⊥y轴于E，S梯形AOCD＝（3+5）×8＝32，∵S△P AD＝S△POC，∴AD•AE＝OC•OE，∴3AE＝5OE，即3（8﹣OE）＝5OE，解得OE＝3，∴S△P AO＝S△PCD＝（32﹣2××5×3）＝，∴AO•PE＝，即×8•PE＝，解得PE＝，∴点P的坐标是（，3）．17．在平面直角坐标系中，点A（a，b）是第四象限内一点，AB⊥y轴于B，且B（0，b）是y轴负半轴上一点，b2＝16，S△AOB＝12．（1）求点A和点B的坐标；（2）如图1，点D为线段OA（端点除外）上某一点，过点D作AO垂线交x轴于E，交直线AB于F，∠EOD、∠AFD的平分线相交于N，求∠ONF的度数．（3）如图2，点D为线段OA（端点除外）上某一点，当点D在线段上运动时，过点D作直线EF交x 轴正半轴于E，交直线AB于F，∠EOD，∠AFD的平分线相交于点N．若记∠ODF＝α，请用α的式子表示∠ONF的大小，并说明理由．【解答】解：（1）∵b2＝16，∴b＝±4，∵B（0，b）是y轴负半轴上一点，∴B（0，﹣4），∵AB⊥y轴，S△AOB＝12．∴AB•BO＝12，即AB×4＝12，解得AB＝6，∴A的坐标为（6，﹣4），（2）如图1，过点N作NM∥x轴，∵NM∥x，∴∠MNO＝∠NOC，∵ON是∠EOD的角平分线，∴∠MNO＝∠NOC＝∠EOD，∴∠MNF＝∠NF A，∵FN是∠AFD的角平分线，∴∠MNF＝∠NF A＝∠AFD，∵AB∥x轴，∴∠OED＝∠AFD，∵ED⊥OA，∴∠EOD+∠AFD＝90°，∴∠ONF＝∠MNO+∠MNF＝（∠EOD+∠AFD）＝×90°＝45°．（3）如图2，过点N作NM∥x轴，∵NM∥x，∴∠MNO＝∠NOC，∵ON是∠EOD的角平分线，∴∠MNO＝∠NOC＝∠EOD，又∵MN∥AB∴∠MNF＝∠NF A，∵FN是∠AFD的角平分线，∴∠MNF＝∠NF A＝∠AFD，∵AB∥x轴，∴∠OED＝∠AFD，∵∠ODF＝∠EOD+∠AFD＝α，∴∠ONF＝∠MNO+∠MNF＝（∠EOD+∠AFD）＝α．18．如图，在平面直角坐标系，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|2a+b+1|+（a+2b﹣4）2＝0．（1）求a，b的值；（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使S△COM＝△ABC的面积，求出点M的坐标；②在坐标轴的其他位置是否存在点M，使△COM的面积＝△ABC的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M 的坐标为．【解答】解（1）∵|2a+b+1|+（a+2b﹣4）2＝0，又∵|2a+b+1|和（a+2b﹣4）2都是非负数，所以得，解方程组得，，∴a＝﹣2，b＝3．（2）①由（1）得A，B点的坐标为A（﹣2，0），B（3，0），|AB|＝5．∵C（﹣1，2），∴△ABC的AB边上的高是2，∴．要使△COM的面积是△ABC面积的，而C点不变，即三角形的高不变，M点在x轴的正半轴上，只需使．此时．∴M点的坐标为②由①中的对称点得，当M在y轴上时，△COM的高为1，∵△COM的面积＝△ABC的面积，∴|OM|×1＝∴OM＝±5（负值舍去），∴M2（0，5），M3（0，﹣5）．故答案为：（﹣，0），（0，5），（0，﹣5）．19．如图，在长方形OABC中，OA＝BC＝10，AB＝OC＝6，以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，建立平面直角坐标系．动点P从点A出发，沿A→O→C→B路线运动到点B停止，速度为4个单位长度/秒；动点Q从点O出发，沿O→C→B路线运动到点B停止，速度为2个单位长度/秒；当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t．（1）写出A、B、C三个点的坐标；（2）当点P恰好追上点Q时，求此时点P的坐标；（3）当点P运动到线段BC上时，连接AP、AQ，若△APQ的面积为3，求t的值．【解答】解：（1）点A（10，0），B（10，6），C（0，6）；（2）设时间为t，由题意得，4t﹣2t＝10，解得t＝5，此时，点P运动的路程为4×5＝20，所以，点P在BC上，CP＝20﹣10﹣6＝4，所以，点P的坐标为（4，6）；（3）点Q在点P的前面时，PQ＝2t﹣（4t﹣10）＝10﹣2t，△APQ的面积＝（10﹣2t）×6＝3，解得t＝4.5，点P在点Q的前面时，PQ＝（4t﹣10）﹣2t＝2t﹣10，△APQ的面积＝（2t﹣10）×6＝3，解得t＝5.5，综上所述，△APQ的面积为3时，t＝4.5秒或5.5秒．20．已知：如图三角形ABC的三个顶点位置分别是A（1，0），B（﹣4，0），C（﹣2，5）（1）求三角形ABC的面积；（2）若点P（0，m）在y轴上，试用含m的代数式表示三角形ABP的面积；（3）若点P在y轴上什么位置时，三角形ABP的面积等于三角形ABC的一半？【解答】解：（1）∵A（1，0），B（﹣4，0），C（﹣2，5），∴AB＝1﹣（﹣4）＝1+4＝5，点C到AB的距离为5，∴△ABC的面积＝×5×5＝12.5；（2）点P在y轴正半轴时，m＞0，面积＝×5•m＝m，点P在y轴负半轴时，m＜0，面积＝×5•（﹣m）＝﹣m；（3）设点P到x轴的距离为h，则×5h＝×12.5，解得h＝，所以，点P坐标为（0，）或（0，﹣）．21．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，3），且||+（4a﹣b+11）2＝0．（1）求a、b的值；（2）①在y轴上的负半轴上存在一点M，使△COM的面积＝△ABC的面积，求出点M的坐标；②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使结论“△COM的面积＝△ABC的面积”仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵||+（4a﹣b+11）2＝0，∴解得∴a的值是﹣2，b的值是3．（2）如图1，过点C作CG⊥x轴，CH⊥y轴，垂足分别为G、H，∵A（﹣2，0），B（3，0），∴AB＝3﹣（﹣2）＝5，∵点C的坐标是（﹣1，3），∴CG＝3，CH＝1，∴，∴，即，∴OM＝，∴点M的坐标是（0，﹣7.5）．（3）∵点M的坐标是（0，﹣7.5）时，△COM 的面积＝△ABC的面积，∴点M的坐标是（0，7.5）时，△COM的面积＝△ABC的面积；∵三角形的高一定时，面积和底成正比，∴点M的坐标是（2.5，0）或（﹣2.5，0）时，△COM的面积＝△ABC的面积．综上，可得在坐标轴的其它位置存在点M，使结论“△COM 的面积＝△ABC的面积”仍然成立，符合条件的点M的坐标有3个：（0，7.5）、（2.5，0）或（﹣2.5，0）．22．已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且OC＝2，过点C作直线l∥PQ，点D在点C的左边且CD＝3．（1）直接写出△BCD的面积．（2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，求证：∠CEF＝∠CFE．（3）如图③，若∠ADC＝∠DAC，点B在射线OQ上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H，在点B运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．【解答】解：（1）S△BCD＝CD•OC＝×3×2＝3．（2）如图②，∵AC⊥BC，∴∠BCF＝90°，∴∠CFE+∠CBF＝90°，∵直线MN⊥直线PQ，∴∠BOC＝∠OBE+∠OEB＝90°，∵BF是∠CBA的平分线，∴∠CBF＝∠OBE，∵∠CEF＝∠OBE，∴∠CFE+∠CBF＝∠CEF+∠OBE，∴∠CEF＝∠CFE．（3）如图③，∵直线l∥PQ，∴∠ADC＝∠P AD，∵∠ADC＝∠DAC∴∠CAP＝2∠DAC，∵∠ABC+∠ACB＝∠CAP，∴∠ABC+∠ACB＝2∠DAC，∵∠H+∠HCA＝∠DAC，∴∠ABC+∠ACB＝2∠H+2∠HCA ∵CH是，∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠HCA，∴∠ABC＝2∠H，∴＝．23．如图所示，A（﹣，0）、B（0，1）分别为x轴、y轴上的点，△ABC为等边三角形，点P（3，a）在第一象限内，且满足2S△ABP＝S△ABC，求a的值．【解答】解：如图1，过P点作PD⊥x轴，垂足为D．由A（﹣，0）、B（0，1），得OA＝，OB ＝1，∵△ABC为等边三角形，由勾股定理，得AB＝＝2，∴S△ABC＝×2×＝，又∵S△ABP＝S△AOB+S梯形BODP﹣S△ADP＝××1+×（1+a）×3﹣×（+3）×a＝，由2S△ABP＝S△ABC，得＝，∴a＝．如图2，过P点作PD⊥x轴，垂足为D．由A（﹣，0）、B（0，1），得OA＝，OB ＝1，∵△ABC为等边三角形，由勾股定理，得AB＝＝2，∴S△ABC＝×2×＝，又∵S△ABP＝S△ADP﹣S△AOB﹣S梯形BODP ＝×（+3）×a﹣××1﹣×（1+a）×3＝，由2S△ABP＝S△ABC，得a﹣﹣3＝，∴a＝2+．故a的值是或2+．。

以下是关于在平面直角坐标系中寻找规律的100道题目：1. 绘制点(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), ... 并继续这个规律。

2. 连接点(-1, 0), (0, 1), (1, 0), (0, -1), (-1, 0) 形成一个图形。

这个图形是什么？3. 找到缺失的坐标：(2, 5), (4, 10), (6, ?)。

4. 绘制点(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9), ... 并继续这个规律。

5. 连接点(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), ... 形成一条直线。

这条直线的斜率是多少？6. 找到缺失的坐标：(3, 6), (5, ?), (7, 14)。

7. 绘制点(-1, 0), (-2, 0), (-3, 0), (-4, 0), ... 并继续这个规律。

8. 连接点(0, 1), (1, 0), (0, -1), (-1, 0), (0, 1) 形成一个图形。

这个图形是什么？9. 找到缺失的坐标：(2, 4), (4, ?), (6, 12)。

10. 绘制点(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), ... 并找出这个规律的方程。

11. 连接点(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), ... 形成一条直线。

这条直线的斜率是多少？12. 找到缺失的坐标：(2, 5), (4, ?), (6, 11)。

13. 绘制点(-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 2), ... 并继续这个规律。

14. 连接点(-1, 1), (-2, 2), (-3, 3), (-4, 4), ... 形成一条直线。

这条直线的斜率是多少？15. 找到缺失的坐标：(3, 6), (5, ?), (7, 13)。

16. 绘制点(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9), ... 并找出这个规律的方程。

七年级下册数学《第七章平面直角坐标系》专题：平面直角坐标系中点的规律探究一、选择题(共10题)1．（2022秋•定远县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），点A第1次向上跳动1个单位至点A1（﹣1，1），紧接着第2次向右跳动2个单位至点A2（1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…依此规律跳动下去，点A第2022次跳动至点A2022的坐标是（）A．（505，1009）B．（﹣506，1010）C．（﹣506，1011）D．（506，1011）【分析】设第n次跳动至点A n，根据部分点A n坐标的变化找出变化规律“A4n（﹣n﹣1，2n），A4n+1（﹣n﹣1，2n+1），A4n+2（n+1，2n+1），A4n+3（n+1，2n+2）（n为自然数）”，依此规律结合2022＝505×4+2即可得出点A2022的坐标．【解答】解：设第n次跳动至点A n，观察，发现：A（﹣1，0），A1（﹣1，1），A2（1，1），A3（1，2），A4（﹣2，2），A5（﹣2，3），A6（2，3），A7（2，4），A8（﹣3，4），A9（﹣3，5），…，∴A4n（﹣n﹣1，2n），A4n+1（﹣n﹣1，2n+1），A4n+2（n+1，2n+1），A4n+3（n+1，2n+2）（n为自然数）．∵2022＝505×4+2，∴A2022（506，1011）．故选：D．【点评】本题考查了规律型中点的坐标，根据部分点A n坐标的变化找出变化规律是解题的关键．2．（2022秋•古田县期中）在平面直角坐标系中，设一质点M自P0（1，0）处向上运动1个单位至P1（1，1），然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处，…如此继续运动下去．设P n（x n，y n），n＝1，2，3…，则x1+x2+…+x2017的值为（）A．2016B．2017C．﹣2016D．2015【分析】根据给定的平移规律，可得x1＝1，x2＝﹣1，x3＝﹣1，x4＝3，进一步可得x1+x2+x3+x4＝1+（﹣1）+（﹣1）+3＝2，同理可得x5+x6+x7+x8＝3+（﹣3）+（﹣3）+5＝2，再根据2017÷4＝504...1，进一步计算即可．【解答】解：根据题意，可得x1＝1，x2＝﹣1，x3＝﹣1，x4＝3，∴x1+x2+x3+x4＝1+（﹣1）+（﹣1）+3＝2，同理可得x5+x6+x7+x8＝3+（﹣3）+（﹣3）+5＝2，∵2017÷4＝504...1，∴x2017＝2×504+1＝1009，∴x1+x2+…+x2017＝504×2+1009＝2017，故选：B．【点评】本题考查了坐标与平移，找出点坐标之间的规律是解题的关键．3．（2022秋•李沧区期末）如图，在平面直角坐标系中，A1（1，﹣2），A2（2，0），A3（3，2），A4（4，0），…根据这个规律，点A2023的坐标是（）A．（2022，0）B．（2023，0）C．（2023，2）D．（2023，﹣2）【分析】由图形得出点的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是﹣2、0、2、0、﹣2、0、2、…，四个一循环，继而求得答案．【解答】解：观察图形可知，点的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是﹣2、0、2、0、﹣2、0、2、…，四个一循环，2023÷4＝505……3，所以点A2023坐标是（2023，2）．故选：C．【点评】本题考查了规律型：点的坐标，学生的观察图形的能力和理解能力，解题的关键是根据图形得出规律．4．（2021春•浉河区期末）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第二次向右跳动3个单位至点A2（2，1），第三次跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，以此规律跳动下去，点A第2021次跳动至点A2021的坐标是（）A．（﹣1009，1009）B．（﹣1010，1010）C．（﹣1011，1011）D．（﹣1012，1012）【分析】根据点的坐标、坐标的平移寻找规律即可求解．【解答】解：因为A1（﹣1，1），A2（2，1），A3（﹣2，2），A4（3，2），A5（﹣3，3），A6（4，3），A7（﹣4，4），A8（5，4），…A2n﹣1（﹣n，n），A2n（n+1，n）（n为正整数），所以2n﹣1＝2021，n＝1011，所以A2020（﹣1011，1011），故选：C．【点评】本题考查了点的坐标、坐标的平移，解决本题的关键是寻找点的变化规律．5．（2021秋•九江期末）如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙都从点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇点的坐标是（）A．（2，0）B．（﹣1，1）C．（﹣2，0）D．（﹣1，﹣1）【分析】根据两个物体运动速度和矩形周长，得到两个物体的相遇时间间隔，进而得到两个点相遇的位置规律．【解答】解：由已知，矩形周长为12，∵甲、乙速度分别为1单位/秒，2单位/秒，则两个物体每次相遇时间间隔为121+2=4秒，则两个物体相遇点依次为（﹣1，1）、（﹣1，﹣1）、（2，0），∵2022＝3×673…3，∴第2022次两个物体相遇位置为（2，0），故选：A．【点评】本题为平面直角坐标系内的动点坐标规律探究题，解答关键是找到两个物体相遇的位置的变化规律．6．（2022春•启东市期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标是（1，1）．若记点A坐标为（a1，a2），则一个点从点A出发沿图中路线依次经过B（a3，a4），C（a5，a6），D（a7，a8）…，每个点的横纵坐标都是整数，按此规律一直运动下去，则a2020+a2021+a2022的值为（）A．2021B．2022C．1011D．1012【分析】观察已知点的坐标可得，所有数列奇数个都是从1开始逐渐递增的，且都等于所在的个数加上1再除以2，则a2021＝1011，偶数列等于所在的个数除以4，能够整除的，结果的相反数就是所求出的数，不能整除的，等于结果的整数部分加1，且符号为正，进而可得结果．【解答】解：由直角坐标系可知A（1，1），B（2，﹣1），C（3，2），D（4，﹣2），……，即a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝﹣1，a5＝3，a6＝2，a7＝4，a8＝﹣2，……，所有数列奇数个都是从1开始逐渐递增的，且都等于所在的个数加上1再除以2，则a2021＝1011，偶数列等于所在的个数除以4，能够整除的，结果的相反数就是所求出的数，不能整除的，等于结果的整数部分加1，且符号为正，∴a2021＝﹣505，2023÷4＝505……3，∴a2022＝506，故a2020+a2021+a2022＝1012，故选：D．【点评】本题主要考查了规律型：点的坐标，探索数字与字母规律是解题关键．7．（2022•浉河区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，A1（2，0），B1（0，1），A1B1的中点为C1；A2（0，3），B2（﹣2，0），A2B2的中点为C2；A3（﹣4，0），B3（0，﹣3），A3B3的中点为C3；A4（0，﹣5），B4（4，0），A4B4的中点为C4；…；按此做法进行下去，则点C2022的坐标为（）A．（﹣1012，−20232）B．（﹣1011，20232）C．（﹣1011，−20232）D．（﹣1012，−20212）【分析】根据题意得点∁n的位置按4次一周期的规律循环出现，可求得点C2022在第二象限，从而可求得该题结果．【解答】解：由题意可得，点∁n的位置按4次一周期的规律循环出现，∵2022÷4＝505……2，∴点C2022在第二象限，∵位于第二象限内的点C2的坐标为（﹣1，32），点C6的坐标为（﹣3，72），点C10的坐标为（﹣5，112），……∴点∁n的坐标为（−2，r12），∴当n＝2022时，−2=−20222=−1011，r12=2022+12=20232，∴点C2022的坐标为（﹣1011，20232），故选：B．【点评】此题考查了点的坐标方面规律性问题的解决能力，关键是能根据题意确定出该点的出现规律．8．（2022春•冷水滩区校级期中）如图，已知A1（1，2）A2（2，2）A3（3，0）A4（4，﹣2）A5（5，﹣2）A6（6，0）……，按这样的规律，则点A2021的坐标为（）A．（2021，2）B．（2020，2）C．（2021，﹣2）D．2020，﹣2）【分析】观察发现，每6个点形成一个循环，再根据点A6的坐标及2021÷6所得的整数及余数，可计算出点A2021的横坐标，再根据余数对比第一组的相应位置的数可得其纵坐标．【解答】解：观察发现，每6个点形成一个循环，∵A6（6，0），∴OA6＝6，∵2021÷6＝336…5，∴点A2021的位于第337个循环组的第5个，∴点A2021的横坐标为6×336+5＝2021，其纵坐标为：﹣2，∴点A2021的坐标为（2021，﹣2）．故选：C．【点评】本题考查了平面直角坐标系中的点的规律问题，发现题中的规律并正确计算出点A2021所处的循环组是解题的关键．9．（2022春•宣化区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2个单位长度，则第2022秒时，点P的坐标是（）A．（2021，0）B．（2021，﹣1）C．（2022，1）D．（2022，0）【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点A2015的坐标．【解答】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为：12×2×1=，∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2个单位长度，∴点P1秒走12个半圆，当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，﹣1），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0），…，∵2022÷4=505余2，∴P的坐标是（2022，0），故选：D．【点评】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…根据这个规律探索可得，第100个点的坐标（）A．（14，0）B．（14，﹣1）C．（14，1）D．（14，2）【分析】观察图形可知，横坐标相等的点的个数与横坐标相同，根据求和公式求出第100个点的横坐标以及在这一横坐标中的所有点中的序数，再根据横坐标是奇数时从上向下排列，横坐标是偶数时从下向上排列，然后解答即可．【解答】解：由图可知，横坐标是1的点共有1个，横坐标是2的点共有2个，横坐标是3的点共有3个，横坐标是4的点共有4个，…，横坐标是n的点共有n个，1+2+3+…+n=or1)2，当n＝13时，13×(13+1)2=91，当n＝14时，14×(14+1)2=105，所以，第100个点的横坐标是14，∵100﹣91＝9，∴第100个点是横坐标为14的点中的第9个点，∵第142=7个点的纵坐标是0，∴第9个点的纵坐标是2，∴第100个点的坐标是（14，2）．故选：D．【点评】本题是对点的变化规律的考查，观察得到横坐标相等的点的个数与横坐标相同是解题的关键，还要注意横坐标为奇数和偶数时的排列顺序不同．二、填空题（共10题）11．（2022春•东洲区期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（﹣1，1），第2次接着运动到点（﹣2，0），第3次接着运动到点（﹣3，2），…，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐标是．A．（2022，0）B．（﹣2022，0）C．（﹣2022，1）D．（﹣2022，2）【分析】观察图形可知：每4次运动为一个循环，并且每一个循环向左运动4个单位，用2022÷4可判断出第2022次运动时，点P在第几个循环第几次运动中，进一步即可计算出坐标．【解答】解：动点P的运动规律可以看作每运动四次为一个循环，每个循环向左运动4个单位，∵2022÷4＝505……2，∴第2022次运动时，点P在第506次循环的第2次运动上，∴横坐标为﹣（505×4+2）＝﹣2022，纵坐标为0，∴此时P（﹣2022，0）．故答案为：（﹣2022，0）．【点评】本题考查规律型：点坐标，解答时注意探究点的运动规律，又要注意动点的坐标的象限符号．12．（2022秋•肃州区校级期末）如图，已知A1（1，0），A2（1，﹣1），A3（﹣1，﹣1），A4（﹣1，1），A5（2，1），…则点A2022的坐标是．【分析】根据题意可以发现规律：A4n（﹣n，n），A4n+1（n+1，n），A4n+2（n+1，﹣n ﹣1），A4n+3（﹣n﹣1，﹣n﹣1），根据规律求解即可．【解答】解：根据题意可以发现规律：A1（1，0），A2（1，﹣1），A3（﹣1，﹣1），A4（﹣1，1），A5（2，1），A6（2，﹣2），A7（﹣2，﹣2），A8（﹣2，2），…，∴A4n（﹣n，n），A4n+1（n+1，n），A4n+2（n+1，﹣n﹣1），A4n+3（﹣n﹣1，﹣n﹣1），∵2022＝4×505+2，∴点A2022的坐标为（506，﹣506），故答案为：（506，﹣506）．【点评】本题主要考查规律性：点的坐标，读懂题意，找出点的坐标规律是解答此题的关键．13．（2021秋•同安区期末）如图，点A（0，1），点A1（2，0），点A2（3，2），点A3（5，1）…，按照这样的规律下去，点A2021的坐标为．【分析】观察图形得到奇数点的规律为，A1（2，0），A3（5，1），A5（8，2），…，A2n﹣1（3n﹣1，n﹣1），由2021是奇数，且2021＝2n﹣1，则可求A2n﹣1（3032，1010）．【解答】解：观察图形可得，A1（2，0），A3（5，1），A5（8，2），…，A2n﹣1（3n﹣1，n﹣1），A2（3，2），A4（6，3），A6（9，4），…，A2n（3n，n+1），∵2021是奇数，且2021＝2n﹣1，∴n＝1011，（3032，1010），∴A2n﹣1故答案为（3032，1010）．【点评】本题考查点的坐标规律；熟练掌握平面内点的坐标，能够根据图形的变化得到点的坐标规律是解题的关键．14．（2022•嘉峪关一模）如图，平面直角坐标系xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（0，1）运动到点（1，0），第二次运动到点（2，﹣2），第3次运动到点（3，0），……按这样的运动规律，动点P第2022次运动到的点的坐标是．【分析】根据图形分析点P的运动规律：第n次运动到的点的横坐标为n，纵坐标每四次为一个循环，即可得到答案．【解答】解：∵第1次运动到点（1，0），第二次运动到点（2，﹣2），第3次运动到点（3，0），…，∴第n次运动到的点的横坐标为n，纵坐标每四次一个循环，从第一次运动到的纵坐标开始，分别为0、﹣2、0、1、…，∵2022÷4＝505⋯2，∴动点P第2022次运动到的点的坐标是（2022，﹣2），故答案为：（2022，﹣2）．【点评】此题考查了图形坐标的规律，正确理解图形运动坐标变化规律，得到点P的坐标是解题的关键．15．（2022秋•涡阳县校级月考）如图，一动点在第一象限内及x轴，y轴上运动，第一分钟，它从原点运动到（1，0），第二分钟，从（1，0）运动到（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向来回运动，每分钟运动1个单位长度．第30分钟，动点所在的位置的坐标是．【分析】根据移动次数与点的坐标的所呈现的规律进行计算即可．【解答】解：根据移动的方向，距离所呈现的规律可得，当移动到点（1，0）时，对应的移动次数为1次，当移动到点（2，0）时，对应的移动次数为4+2×2＝8次，当移动到点（3，0）时，对应的移动次数为8+1＝9次，当移动到点（4，0）时，对应的移动次数为9+3×2+1+4×2＝24次，当移动到点（5，0）时，对应的移动次数为24+1＝25次，所以移动30次，所对应的点的坐标为（5，5），故答案为：（5，5）．【点评】本题考查点的坐标，发现移动次数与点的坐标所呈现的规律是正确解答的关键．16．（2022•绥化三模）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，点P1，P2，P3，…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2），…，根据这个规律，点P2022的坐标为．【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，点P2022的在第三象限，且横纵坐标的绝对值＝2022÷4的商，纵坐标是2022÷4的商+1，再根据第三项象限内点的符号得出答案即可．【解答】解：∵2022÷4＝505…2，∴点P2022在第二象限，∵P6（﹣1，2），P10（﹣2，3），P14（﹣3，4），…，6÷4＝1…2，10÷4＝2…2，14÷2＝3..2，…，∴P2022（﹣505，506）．故答案为：（﹣505，506）．【点评】本题考查了规律型：点的坐标，是一个阅读理解，猜想规律的题目，解答此题的关键是首先确定点所在的大致位置，所在正方形，然后就可以进一步推得点的坐标．17．（2022秋•杏花岭区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P1（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，⋯，A n，若点A1的坐标为（3，1），则点A2022的坐标为．【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2022除以4，根据商和余数的情况确定点A2022的坐标即可．【解答】解：∵A1的坐标为（3，1），∴A2（0，4），A3（﹣3，1），A4（0，﹣2），A5（3，1），…，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵2022÷4＝505余2，∴点A2022的坐标与A2的坐标相同，为（0，4）；故答案为：（0，4）．【点评】此题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．18．（2022春•长安区校级期中）如图1，弹性小球从点P（0，3）出发，沿图中所示方向运动，每当小球碰到长方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到长方形的边时，记为点P1，第2次碰到长方形的边时，记为点P2，…，第n次碰到长方形的边时，记为点P n，则点P3的坐标是；点P2022的坐标是．【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【解答】解：如图，根据图形知点P3的坐标是（8，3），根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2022÷6＝337，当点P第2021次碰到矩形的边时为第337个循环组的第6次反弹，点P的坐标为（0，3），故答案为：（8，3），（0，3）．【点评】本题考查了矩形的性质、点的坐标的规律；作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．19．（2022春•五华区校级期中）如图，在直角坐标系中，长方形OABC的长为2，宽为1，将长方形OABC沿x轴翻转1次，点A落在A1处，翻转2次，点A落在A2处，翻转3次，点A落在A3处（点A3与点A2重合），翻转4次，点A落在A4处，以此类推…，若翻转2022次，点A落在A2022处，则A2022的坐标为．【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．【解答】解：由题意A1（3，2），A2（A3）（5，0），A4（6，1），•••，发现4次一个循环，∵2022÷4＝505.....2，∴A2022的纵坐标与A2相同，横坐标＝505×6+5＝3035，∴A2022（3035，0），故答案为：（3035，0）．【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣对称，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考填空题中的压轴题．20．（2022春•江岸区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点．其顺序按图中“→”方向依次排列：（1，0）→（2，0）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（2，2）→…根据这个规律，第87个点的坐标为，第2022个点的坐标为．【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点的横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束．例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1＝12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4＝22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9＝32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16＝42，......，右下角的点的横坐标为9时，共有92＝81个，9是奇数，以横坐标为9，纵坐标为0的点结束，故第87个点的坐标为（10，5），右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，∵452＝2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），∴第2020个点的坐标为（45，3）故答案为：（10，5），（45，3）．【点评】本题考查了点的坐标的规律变化，观察出点的个数按照平方数的规律变化是解题的关键．三、解答题（共10题）21．（2022秋•无为市月考）在平面直角坐标系中，一个动点A从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示．（1）填写下列各点的坐标：A4，A6，A12，A14．（2）按此规律移动，n为正整数，则点A4n的坐标为，点A4n+2的坐标为．（3）动点A从点A2022到点A2023的移动方向是．（填“向上”、“向右”或“向下”）【分析】（1）根据点的坐标变化即可填写各点的坐标；（2）根据（1）发现规律即可写出点A4n的坐标（n为正整数）；（3）根据（2）发现的规律，每四个点一个循环，进而可得蜗牛从点A2020到点A2021的移动方向．【解答】解：（1）根据点的坐标变化可知：各点的坐标为：A4（2，0），A6（3，1），A12（6，0），A14（7，1）；故答案为：（2，0），（3，1），（6，0），（7，1）；（2）根据（1）发现：点A4n的坐标（n为正整数）为（2n，0）；点A4n+2的坐标为（2n+1，1）；故答案为：（2n，0），（2n+1，1）；（3）因为每四个点一个循环，所以2023÷4＝505…3．所以从点A2022到点A2023的移动方向是向下．故答案为：向下．【点评】本题考查了规律型﹣点的坐标，解决本题的关键是根据点的坐标变化发现规律，总结规律，运用规律．22．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0）…（1）填写下列各点的坐标：P9（、），P12（、），P15（、）（2）写出点P3n的坐标（n是正整数）；（3）点P60的坐标是（、）；（4）指出动点从点P210到点P211的移动方向．【分析】由题意可以知道，动点运动的速度是每次运动一个单位长度，（0，1）→（1，1）→（1，0）→（1，﹣1）……通过观察找到有规律的特殊点，如P3、P6、P9、P12，发现其中规律是脚标是3的倍数的点，依次排列在x轴上，且相距1个单位，明确这个规律即可解决以上所有问题．【解答】解：（1）由动点运动方向与长度可得P3（1，0），P6（2，0），可以发现脚标是3的倍数的点，依次排列在x轴上，且相距1个单位，即动点运动三次与横轴相交，故答案为P9（3，0），P12（4、0），P15（5、0）．（2）由（1）可归纳总结点P3n的坐标为P3n（n，0），（n是正整数）；（3）根据（2），∵60＝3×20，∴点P60的横坐标是20故点P60的坐标是（20、0）故答案为（20、0）．（4）∵210＝3×70，符合（2）中的规律∴点P210在x轴上，又由图象规律可以发现当动点在x轴上时，偶数点向上运动，奇数点向下运动，而点P210是在x轴上的偶数点所以动点从点P210到点P211的移动方向应该是向上．【点评】本题是一个阅读理解，猜想规律的题目，解答此题的关键是首先确定动点移动的数字与方向上的规律，然后再进一步按规律解决要求的点的位置．23．（2021秋•长丰县期末）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2、4、6、8、…，顶点依次用A1、A2、A3、A4、…表示．（1）请直接写出A5、A6、A7、A8的坐标；（2）根据规律，求出A2022的坐标．【分析】（1）看图观察即可直接写出答案；（2）根据正方形的性质找出部分A n点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1（﹣n﹣1，﹣n﹣1），A4n+2（﹣n﹣1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，﹣n﹣1）（n 为自然数）”，依此即可得出结论．【解答】解：（1）A5（﹣2，﹣2），A6（﹣2，2），A7（2，2），A8（2，﹣2）；（2）观察发现：A1（﹣1，﹣1），A2（﹣1，1），A3（1，1），A4（1，﹣1），A5（﹣2，﹣2），A6（﹣2，2），A7（2，2），A8（2，﹣2），A9（﹣3，﹣3），…，∴A4n+1（﹣n﹣1，﹣n﹣1），A4n+2（﹣n﹣1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，﹣n﹣1）（n为自然数），∵2022＝505×4+2，∴A2022（﹣506，506）．【点评】本题考查了规律型：点的坐标，解题的关键是找出变化规律“A4n+1（﹣n﹣1，﹣n﹣1），A4n+2（﹣n﹣1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，﹣n﹣1）（n为自然数）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标的变化找出变化规律是关键．24．一个质点在第一象限及x轴、y轴移动，在第一秒时，它从原点移动到（0，1），然后按着下列左图中箭头所示方向移动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动1个单位．（1）该质点移动到（1，1）的时间为秒，移动到（2，2）的时间为秒，移动到（3，3）的时间为秒，…，移动到（n，n）的时间为秒．（2）该质点移动到（7，4）的时间为秒．【分析】（1）根据图形可得出质点移动到（1，1），（2，2），（3，3）的时间，根据规律可得出质点移动（n，n）的时间；（2）现有（1）的结论得出（7，7）的时间，再加上3即可得出移动到（7，4）的时间．【解答】解：（1）由图可知移动到（1，1）的时间为2秒，移动到（2，2）的时间为6秒，移动到（3，3）的时间为12秒，根据变化规律可得移动到（n，n）的时间为n（n+1），故答案为：2，6，12，n（n+1）；（2）由（1）可得移动到（7，7）的时间为7×8＝56，56+3＝59，∴移动到（7，4）的时间为59秒，故答案为59．【点评】本题主要考查点的坐标的变化规律，关键是要能找到质点移动到（n，n）的时间的规律．25．（2022•马鞍山一模）如图，某小区绿化区的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为1，A1的坐标为（2，2），A2的坐标为（5，2）．（1）A3的坐标为，A n的坐标为用含n的代数式表示；（2）若护栏长为2020，则需要小正方形个，大正方形个．【分析】（1）根据已知条件与图形可知，大正方形的对角线长为2，由此可得规律：A1，A 2，A 3，…，A n 各点的纵坐标均为2，横坐标依次大3，由此便可得结果；（2）先求出一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度，再计算2020米包含多少这样的长度，进而便可求出结果．【解答】解：（1）∵A 1的坐标为（2，2）、A 2的坐标为（5，2），∴A 1，A 2，A 3，…，A n 各点的纵坐标均为2，∵小正方形的边长为1，∴A 1，A 2，A 3，…，A n 各点的横坐标依次大3，∴A 3（5+3，2），A n （2+3+3+⋅⋅⋅+3︸(K1)个3，2），即A 3（8，2），A n （3n ﹣1，2），故答案为（8，2）；（3n ﹣1，2）；（2）∵2020÷3＝673…1，∴需要小正方形674个，大正方形673个．【点评】本题是点的坐标的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．26．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1变成△OA 2B 2，第三次将△OA 2B 2变成△OA 3B 3，已知A （1，5），A 1（2，5），A 2（4，5），A 3（8，5）；B （2，0），B 1（4，0），B 2（8，0），B 3（16，0）．（1）观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律．按此规律将△OA 3B 3变成△OA 4B 4，则A 4的坐标是，B 4的坐标是．（2）若按第（1）题中找到的规律将△OAB 进行n 次变换，得到△OA n B n ，比较每次变换中三角形顶点的坐标有何变化，找出规律，推测A n 的坐标是，B n 的坐标是．【分析】（1）对于A 1，A 2，A n 坐标找规律可将其写成竖列，比较从而发现A n 的横坐标为2n ，而纵坐标都是5，同理B 1，B 2，B n 也一样找规律．（2）根据第一问得出的A 4的坐标和B 4的坐标，再此基础上总结规律即可知A n 的坐标是（2n ，5），B n 的坐标是（2n +1，0）．【解答】解：（1）因为A（1，5），A1（2，5），A2（4，5），A3（8，5）…纵坐标不变为5，同时横坐标都和2有关，为2n，那么A4（16，5）；因为B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）…纵坐标不变，为0，同时横坐标都和2有关为2n+1，那么B的坐标为B4（32，0）；故答案为：（16，5），（32，0）；（2）由上题第一问规律可知A n的纵坐标总为5，横坐标为2n，B n的纵坐标总为0，横坐标为2n+1，∴A n的坐标是（2n，5），B n的坐标是（2n+1，0）．故答案为：（2n，5），（2n+1，0）．【点评】本题考查了学生观察图形及总结规律的能力，涉及的知识点为：平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，x轴上所有点的纵坐标为0．27．小明在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图），他把图形与x轴正半轴的交点依次记作A1（1，0），A2（5，0），…A n，图形与y轴正半轴的交点依次记作B1（0，2），B2（0，6），…B n，图形与x轴负半轴的交点依次记作C1（﹣3，0），C2（﹣7，0），…∁n，图形与y轴负半轴的交点依次记作D1（0，﹣4），D2（0，﹣8），…D n，发现其中包含了一定的数学规律．请根据你发现的规律完成下列题目：（1）请分别写出下列点的坐标：A3，B3，C3，D3；（2）请分别写出下列点的坐标：A n，B n，∁n，D n；（3）请求出四边形A5B5C5D5的面积．【分析】（1）根据点的坐标规律解答即可；（2）根据点的坐标规律解答即可；（3）根据四边形A5B5C5D5的面积=△5B5+△5B5+△5B5+△5B5计算即可．【解答】解：（1）A3（9，0），B3（0，10），C3（﹣11，0），D3（0，﹣12）．（2）A n（4n﹣3，0），B n（0，4n﹣2），∁n（﹣4n+1，0），D n（0，﹣4n）．（3）∵A5（17，0），B5（0，18），C5（﹣19，0），D5（0，﹣20）．∴四边形A5B5C5D5的面积=△5B5+△5B5+△5B5+△5B5=12×17×18+12×18×19+12×19×20+12×20×17＝684．故答案为：A3（9，0），B3（0，10），C3（﹣11，0），D3（0，﹣12）．A n（4n﹣3，0），B n（0，4n﹣2），∁n（﹣4n+1，0），D n（0，﹣4n）．【点评】此题考查点的坐标，关键是根据图形得出点的坐标的规律进行分析．28．（2021春•自贡期末）综合与实践问题背景：（1）已知A（1，2），B（3，2），C（1，﹣1），D（﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段AB和CD中点P1、P2，然后写出它们的坐标，则P1，P2．探究发现：（2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则线段的中点坐标为．拓展应用：（3）利用上述规律解决下列问题：已知三点E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），第四个点H（x，y）与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标．【分析】（1）根据坐标的确定方法直接描点，：分别读出各点的纵横坐标，即可得到各中点的坐标；（2）根据（1）中的坐标与中点坐标找到规律；（3）利用（2）中的规律进行分类讨论即可答题．【解答】解：（1）如图：A（1，2），B（3，2），C（1，﹣1），D（﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出它们如下：线段AB和CD中点P1、P2的坐标分别为（2，2）、（﹣1，﹣2）故答案为：（2，2）、（﹣1，﹣2）．（2）若线段的两个端点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则线段的中点坐标为(1+22，1+22)．故答案为：(1+22，1+22)．（3）∵E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），∴EF、FG、EG的中点分别为：（1，32）、（2，52）、（0，3）∴①HG过EF中点（1，32）时，r12=1，r42=32解得：x＝1，y＝﹣1，故H（1，﹣1）；②EH过FG中点（2，52）时，−1+2=2，2+2=52解得：x＝5，y＝3，故H（5，3）；③FH过EG的中点（0，3）时，3+2=0，1+2=3解得：x＝﹣3，y＝5，故H（﹣3，5）．∴点H的坐标为：（1，﹣1），（5，3），（﹣3，5）．【点评】本题考查了坐标与图形性质．通过此题，要熟记平面直角坐标系中线段中点的横坐标为对应线段的两个端点的横坐标的平均数，中点的纵坐标为对应线段的两个端点的纵坐标的平均数．29．（2022•包河区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0）、点A2的坐标为（2，0）、点A3的坐标为（3，0）、…，过点A1、A2、A3、…分别作x轴垂线，交直线y＝x于点B1、B2、B3、…，△OA1B1覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为P1，面积的值记为S1；△OA2B2覆盖的整点的个数记为P2，面积的值记为S2；△OA3B3覆盖的整点的个数记为P3，面积的值记为S3；…（1）由题意可知：P1＝3、S1=12；P2＝6、S2＝2；P3＝10、S3=92；则P4＝、S4＝；（2）P7﹣S7＝；。

直角坐标系找规律题一．选择题1.在平面直角坐标系中，A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2）．把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A-B-C-D-A…的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（）A．（-1，0）B．（1，-2）C．（1，1）D．（-1，-1）2.如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2014次相遇地点的坐标是（）A．（2，0）B．（-1，1）C．（-2，1）D．（-1，-1）2题图3题图5题图3.如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2014次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A．（1，4） B．（5，0） C．（6，4） D．（8，3）4.如图，动点P在直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点运动到点（1，1），第二次运动到点（2，0），第三次接着运动到点（3，2），…按这样的运动规律，经过第2015次运动后，动点P 的纵坐标是（）A．2 B．1 C．0 D．20155.如图，在轴的正半轴与射线上各放置着一平面镜，发光点（0，1）处沿如图所示方向发射一束光，每当碰到镜面时会反射（反射时反射角等于入射角），当光线第30次碰到镜面时的坐标为（）A．（30，3） B．（88，3） C．（30，0） D．（88，0）6.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，A1、A2、A3、…都在格点上，△A1A2A3、△A3A4A5、△A5A6A7、…都是斜边在x轴上，且斜边长分别为2、4、6、…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的三个顶点坐标为A1（2，0）、A2（1，-1）、A3（0，0），则依图中规律，A19的坐标为（）A．（10，0） B．（-10，0） C．（2，8） D．（-8，0）6题图7题图8题图7.一个点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0），且每秒移动一个单位，那么第30秒时点所在位置的坐标是（）A．（0，5） B．（5，5） C．（0，11） D．（11，11）8.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点（横纵坐标都为整数的点），其顺序按图中“→”方向排列，如：（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0），（4，1），…，观察规律可得，该排列中第100个点的坐标是（）A．（10，6） B．（12，8） C．（14，6） D．（14，8）9.已知A1（1，0），A2（1，-1），A3（-1，-1），A4（-1，1），A5（2，1），…，则点A2011的坐标是（) A．（502，502） B．（-502，-502） C．（503，503） D．（-503，-503）9题图10题图11题图10．如图所示，在平面直角坐标系上有点A（l，O），点A第一次跳动至点A1（-1，1），第四次向右跳动5个单位后至点A4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A第100次跳动后至点A100的坐标是（）A．（50，50） B．（51，51） C．（51，50） D．（50，59）11.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第6个正方形（实线）四条边上的整点共有（）A．22个 B．24个 C．26个 D．28个12.已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），…，则第60个数对为（）A．（5，6） B．（3，9） C．（4，8） D．（5，7）13.将正方形ABCD的各边按如图所示延长，从射线AB开始，分别在各射线上标记点A1，A2，A3，A4，…，按此规律，则点A2014所在的射线是（）A．射线AB B．射线BC C．射线CD D．射线DA13题图14题图14.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为（）（用n表示）．A．（2n-1，1） B．（2n+1，1） C．（2n，1） D．（4n+1，1）15.如图：有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，则顶点A91的坐标是（）A．（0，31) B．（31，-31） C．（-31，-31） D．（-30，-30）15题图16题图17题图16.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，-1）…根据这个规律探索可得，第100个点的坐标（）A．（ 14，0 ） B．（ 14，-1） C．（ 14，1 ） D．（ 14，2 ）17.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的坐标为（）A．（45，13） B．（1006，12） C．（45，12） D．（1006，13）二．填空题18.如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2014的坐标为．18题图20题图19.在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P（-y+1，x+1）叫做点P′伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…．若点A1的坐标为（3，1），则点A3的坐标为，点A2014的坐标为；若点A1的坐标为（a，b），对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则a，b应满足的条件为．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，A1（1，0），A2（3，0），A3（6，0），A4（10，0），…，以A1A2为对角线作第一个正方形A1C1A2B1，以A2A3为对角线作第二个正方形A2C2A3B2，以A3A4为对角线作D C 3-1B A O x yDC3-1BA Oxy 第三个正方形A3C3A4B3，…，顶点B1，B2，B3，…都在第一象限，按照这样的规律依次进行下去，点B4的坐标为_________ ．平面直角坐标系动点问题1．在如图直角坐标系中，已知A （0，a ），B （b ，0），C （b ，c ）三点，其中a 、b 、c 满足关系式+（b ﹣3）2=0，（c ﹣4）2≤0． （1）求a 、b 、c 的值；（2）如果点P （m ，n ）在第二象限，四边形CBOP 的面积为y ，请你用含m ，n 的式子表示y ； （3）如果点P 在第二象限坐标轴的夹角平分线上，并且y=2S 四边形CBOA ，求P 点的坐标．2.如图，以直角三角形AOC 的直角顶点O 为原点，以OC 、OA 所在直线为x 轴 和y 轴建立平面直角坐标系，点A (0，a )，C (b ，0)220a b b -+-=．(1) 则A 点的坐标为___________，C 点的坐标为__________；(2) 已知坐标轴上有两动点P 、Q 同时出发，P 点从C 点出发沿x 轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q 点从O 点出发以2个单位长度每秒的速度沿y 轴正方向移动，点Q 到达A 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是(1，2)，设运动时间为t (t ＞0)秒．问：是否存在这样的t ，使S △ODP ＝ S △ODQ ，若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；(3) 点F 是线段AC 上一点，满足∠FOC ＝∠FCO ，点G 是第二象限中一点，连OG ，使得∠AOG ＝∠AOF ．点E 是线段OA 上一动点，连CE 交OF 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，OHC ACE OEC∠+∠∠的值是否会发生变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．y Q P DACOOCE FHGy xA3．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD ． (1)求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积ABDC S 四边形(2)在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB ，使PAB S ∆＝ABDC S 四边形，若存在这样一点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由．(3)点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在BD 上移动时（不与B ，D 重合）给出下列结论：①DCP BOP CPO ∠+∠∠的值不变，②DCP CPOBOP∠+∠∠的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你P D CBAOxy找出这个结论并求其值．4．如图，A 、B 两点坐标分别为A （a ，4），B （b ，0），且a ，b 满足（a ﹣2b+8）2+=0，E是y 轴正半轴上一点． （1）求A 、B 两点坐标；（2）若C 为y 轴上一点且S △AOC =S △AOB ，求C 点的坐标；（3）过B 作BD ∥y 轴，∠DBF=∠DBA ，∠EOF=∠EOA ，求∠F 与∠A 间的数量关系．5．如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （b ，3），C （4，0），且满足（a+b ）2+|a ﹣b+6|=0，线段AB 交y 轴于F 点． （1）求点A 、B 的坐标． （2）点D 为y 轴正半轴上一点，若ED ∥AB ，且AM ，DM 分别平分∠CAB ，∠ODE ，如图2，求∠AMD 的度数．（3）如图3，（也可以利用图1） ①求点F 的坐标；②点P 为坐标轴上一点，若△ABP 的三角形和△ABC 的面积相等，求出P 点坐标．。

专题11 平面直角坐标系中利用点的坐标变化规律探究问题（解析版）第一部分典例精析类型一点的运动规律探究（1）沿坐标轴运动的点的坐标规律探究1．（2022•丛台区开学）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…，根据这个规律探索可得，第10个点的坐标为 ，第55个点的坐标为 ．思路引领：从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点．题目要求写出第10个点和第55个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第10个点和第50个点分别位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n列有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，∵1+2+3+4＝10，1+2+3+…+10＝55，∴第10个点在第4列自下而上第4行，所以奇数列的坐标为（n，n−12）（n，n−12−1）…（n，1−n2）；偶数列的坐标为（n，n2）（n，n2−1）…（n，1−n2），由加法推算可得到第55个点位于第10列自下而上第10行．代入上式得第10个点的坐标为（4，2），第55个点的坐标为（10，5），故答案为：（4，2），（10，5）．总结提升：本题是对点的变化规律的考查，观察得到横坐标相等的点的个数与横坐标相同是解题的关键，还要注意横坐标为奇数和偶数时的排列顺序不同．2．（2022•麻城市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2022秒时，点P的坐标是 ．思路引领：计算P点运动过程中走一个半圆所用的时间，根据规律即可求得第2022秒P点位置．解：由题意可知，点P运动一个半圆所用的时间为：π÷π2=2（秒），∵2022＝1011×2，∴2022秒时，P在第1011个半圆的最末尾处，∴点P的坐标为（2022，0）．故答案为：（2022，0）．总结提升：本题主要考查的是坐标系中的规律探究问题，找出运动规律的同时也要考虑坐标系位置是解题的关键．3．（2021春•洛龙区期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2，…，第n次移动到点A n，则点A2021的坐标是（ ）A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）思路引领：观察图形可知，A4，A8，…都在x轴上，求出OA4，OA8，…OA4n的长度，然后写出坐标即可；根据以上规律写出点A4n的坐标即可求出点A2020的坐标，则A2021点的坐标即可求出．解：由图可知，A4，A8，…都在x轴上，蚂蚁每次移动1个单位，∴OA4＝2，OA8＝4，…OA4n＝2n，∴点A4n的坐标为（2n，0），∴点A2020的坐标为（1010，0），∴A2021（1010，1），故选：B．总结提升：本题主要考查了点的变化规律，仔细观察图形，确定出点A 4n 都在x 轴上是解题的关键．（2）绕定点呈“回”字形运动的点的坐标变化规律4．如图是一回形图，其回形通道的宽和OB 的长均为1， 回形线与射线OA 交于A 1，A 2，A 3，…．若从O点到A 1点的回形线为第1圈（长为7），从A 1点到A 2点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为 ．思路引领：如图，以点O 为原心，建立平面直角坐标系，则A 1，A 2，A 3，…的坐标分别为（－1，0），（－2，0），（－3，0），…，A 10的坐标为（－10，0），然后大致描出第10圈的形状，很轻松求出第10圈的长．解：观察图形发现：第一圈的长是2（1+2）+1=7；第二圈的长是2（3+4）+1=15；第三圈的长是2（5+6）+1=23；则第n 圈的长是2（2n-1+2n ）+1=8n-1．当n=10时，原式=80-1=79．故答案为79．题眼直击：坐标表示图形，规律探究．总结提升：依次计算第一圈长，第二圈长，……，探究这几个数的一般规律性，然后应用规律求出第10圈．5．（2022•金凤区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，从点P 1（﹣1，0），P 2（﹣1，﹣1），P 3（1，﹣1），P 4（1，1），P 5（﹣2，1），P 6（﹣2，﹣2），…依次扩展下去，则P 2022的坐标为 ．思路引领：根据题意可得到规律，P4n（n，n），P4n+1（﹣n﹣1，n），P4n+2（﹣n﹣1，﹣n﹣1），P4n+3（n+1，﹣n﹣1），再根据规律求解即可．解：根据题意可得到规律，P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2），P7（2，﹣2），P8（2，2），P12（3，3），P16（4，4），...，P4n（n，n），P4n+1（﹣n﹣1，n），P4n+2（﹣n﹣1，﹣n﹣1），P4n+3（n+1，﹣n﹣1），∵2022＝4×505+2，∴P2022（﹣506，﹣506），故答案为：（﹣506，﹣506）．总结提升：本题主要考查规律型：点的坐标，读懂题意，找出点的坐标规律是解答此题的关键．类型二图形变换的点的坐标规律探究6．（2018春•兴城市期末）如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2换成三角形OA3B3，……，若A（﹣3，1），A1（﹣3，2），A2（﹣3，4），A3（﹣3，8），点B（0，2），B1（0，4），B2（0，6），B3（0，8），按这样的规律，将三角形OAB进行2018次变换，得到三角形OA2018B2018，则A2018的坐标是 ．思路引领：探究规律后利用规律即可解决问题；解：∵A 1（﹣3，2），A 2 （﹣3，4），A 3（﹣3，8）；∴A 点横坐标为﹣3，纵坐标依次为：2，22，23，…得出：A n （﹣3，2n ），∴n ＝2018时，A 2018（﹣3，22018），故答案为（﹣3，22018）总结提升：此题主要考查了规律型：点的坐标，根据题意得出A ，B 点横纵坐标变化规律是解题关键．7．12．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB 变换成三角形OA 1B 1第二次将OA 1B 1变换成三角形OA 2B 2，第三次将三角形OA 2B 2变换成三角形OA 3B 3，已知A(1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B(2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．(1)求三角形OAB 的面积；(2)写出三角形OA 4B 4的各个顶点的坐标；(3)按此图形变化规律，你能写出三角形OA n B n 的面积与三角形OAB 的面积的大小关系吗？解：(1)S 三角形OAB ＝12×2×3＝3；(2)根据图示知O 的坐标是(0，0)；已知A(1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，对于A 1，A 2…A n 坐标找规律比较从而发现A n 的横坐标为2n ，而纵坐标都是3；同理B 1，B 2…B n 也一样找规律，规律为B n 的横坐标为2n ＋1，纵坐标为0．由上规律可知：A 4的坐标是(16，3)，B 4的坐标是(32，0)；综上所述，O(0，0)，A 4(16，3)，B 4(32，0)；(3)根据规律，后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍，高相等都是4，所以OB n ＝2n ＋1，S 三角形OA n B n ＝12×2n ＋1×3＝3×2n ＝2n S 三角形OAB ，即S 三角形A n B n ＝2n S 三角形OAB 。

平面直角坐标系中的规律探索1、如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A55的坐标是（）A、（13，13）B、（﹣13，﹣13）C、（14，14）D、（﹣14，﹣14）∵55=4×13+3，∴A55与A3在同一象限，即都在第一象限，根据题中图形中的规律可得：3=4×0+3，A3的坐标为（0+1，0+1），即A3（1，1），7=4×1+3，A7的坐标为（1+1，1+1），A7（2，2），11=4×2+3，A11的坐标为（2+1，2+1），A11（3，3）；…55=4×13+3，A55（14，14），A55的坐标为（13+1，13+1）；故选C．第1题第2题第3题2．如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2012的坐标为。

解：每四个点一个循环，A1 A5 A9……在x正半轴上A2 A6 A10……在第四象限A3 A7 A11……在x负半轴上A4 A8 A12……在第一象限有规律的所以A2012在第一象限∵2012÷4=503,∴点A2012在第一象限,横坐标是2,纵坐标是2012÷2=1006,∴A2012的坐标为（2,1006）．3、如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内，它从原点运动到（0，1），接着它按图所示在x轴、y轴的平行方向来回运动，（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…）且每秒运动一个单位长度，那么2010秒时，这个粒子所处位置为（）A、（14，44）B、（15，44）C、（44，14）D、（44，15）设粒子运动到A1，A2，…，An时所用的间分别为a1，a2，…，an，则a1=2，a2=6，a3=12，a4=20∴a n=n（n+1）．44×45=1980，故运动了1980秒时它到点A44（44，44）；又由运动规律知：A1，A2，…，A n中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动．故达到A44（44，44）时向左运动30秒到达点（14，44），即运动了2010秒．所求点应为（14，44）4、如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）（4，0）根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为．第4题第5题第6题到第n列有（1+2+3+4+……+n）个点，既n(n+1)/2个点.则可求当n=13时,有91个点.所以排到横坐标为13的点是第91个点,横坐标为13的点最后一个是(13,0),所以(13,0)是第91个点,所以可数得第100个点是（14,8）5、如图，已知A l（1，0），A2（1，1），A3（﹣1，1），A4（﹣1，﹣1），A5（2，﹣1），…．则点A2007的坐标为．易得4的整数倍的各点如A4，A8，A12等点在第三象限，∵2008÷4=502；∴A2008的坐标在第三象限，横坐标为-2008÷4=-502；纵坐标为-502，∴点A2008的坐标是（-502，-502）．A2007的坐标在第二象限，故答案为：（-502，502）．6、如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是（）A．（2，0）B．（-1，1）C．（-2，1）D．（-1，-1）矩形的边长为4和2，周长为12，由题意知：第一次在BC边相遇；第二次在DE边相遇；第三次在A点相遇；此时甲、乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，∵2012÷3=670…2，故两个物体运动后的第2012次相遇地点的是：第二次相遇地点，在DE边相遇；此时相遇点的坐标为：（-1，-1），故选：D．7、如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P第100次跳动至点P100的坐标是．点P第2009次跳动至点P2009的坐标是．第7题第8题经过观察可得：以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为100÷2=50；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到：Pn的横坐标为n÷4+1（n 是4的倍数）．故点P100的横坐标为：100÷4+1=26，纵坐标为：100÷2=50，点P第100次跳动至点P100的坐标是（26，50）．故答案填（26，50）．（503，1005）8、如图，已知A1（1，0），A2（1，﹣1），A3（﹣1，﹣1），A4（﹣1，1），A5（2，1），…，则点A2010的坐标是．。