一元一次不等式解法

移项，合并同类项，得 －x＞2.
将未知系数化为1，得 x＜－2. 即当x＜－2时，代数式 1 2x 的的值比x＋1大.
3
1 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
(1)3(x－1)－2>5x＋1；(2)
3＋4x＜
1 2
(3＋5x).
解：(1)3(x－1)－2>5x＋1，3x－5>5x＋1，－2x>6，x
解一元一次不等式的步骤： (1)去分母； (2)去括号； (3)移项； (4)合并同类项； (5)系数化为1.
例2 当x在什么取值范围时，代数式 1 2x 的的值比x 3
＋1大？ 解：根据题意，x应满足不等式 1 2x ＞ x＋1.
3 去分母，得 1＋2x＞3(x＋1).
去括号，得 1＋2x＞3x＋3.
④系数化为1，得x＞13.
A．① B．② C．③ D．④
知识点 2 一元一次不等式的正整数解.
2
3
解：去分母，得 3(x＋1)≥2(2x－1).
去括号，得 3x＋3≥4x－2.
移项，合并同类项，得 －x≥－5.
将未知系数化为1，得 x≤5.
所以，满足这个不等式的正整数解为x＝1，2，3，
(3) x 2 ＜ x 1 ； (4) 1 (3x－1)＋x>6x－8.
3
2
2
解：(1)10－3(x＋6)≤1，10－3x－18≤1，－3x≤1＋18－
10，－3x≤9，所以x≥－3.把这个不等式的解集
在数轴上表示，如图所示．
(2)4(x－3)－5≥2(x－1)，4x－12－5≥2x－2，4x－2x≥ 12＋5－2，2x≥15，所以x≥7 1 .把这个不等式的解 2 集在数轴上表示，如图所示．

一元一次不等式组的解法步骤一元一次不等式组是数学中常见的一类问题，它可以通过一定的方法和步骤得到解决。

在本文中，我们将针对一元一次不等式组的解法步骤进行全面评估，并提供例题来帮助读者更深入理解。

解法步骤：1. 确定不等式组的条件：我们需要明确所给出不等式组的条件。

不等式组通常包括多个不等式，我们需要确保每个不等式都满足一元一次不等式的标准形式，即ax+b>c或ax+b<c。

2. 求出每个不等式的解集：针对每个不等式，我们需要求出其解集。

这一步骤需要运用代数式的加减乘除法，并结合不等式的性质来确定不等式的解集。

3. 得出整体的解集：在求出每个不等式的解集之后，我们需要将这些解集合并起来，求得整体的解集。

在合并解集的过程中，需要注意考虑每个不等式的关系，以确保得出正确的整体解集。

下面我们通过一个具体的例题来展示以上的解法步骤：例题：求解不等式组 {2x+1>5, 3x-2<7}解法步骤：1. 确定不等式组的条件：给出的不等式组已经满足一元一次不等式的标准形式，因此不需要进行进一步的调整。

2. 求出每个不等式的解集：分别对每个不等式进行求解，得到2x>4和3x<9。

通过简单的代数运算，我们可以得到x>2和x<3。

3. 得出整体的解集：通过整合每个不等式的解集，我们可以得到最终的解集为2<x<3。

个人观点和理解：从上面的例题中可以看出，解决一元一次不等式组主要是通过逐步求解各个不等式，然后再将它们的解集合并起来，得到最终的整体解集。

在这个过程中，需要注意准确地运用代数运算，同时也要考虑不等式之间的关系，确保最终的解集是正确的。

总结回顾：通过本文的讲解和例题，我们对一元一次不等式组的解法步骤有了更深入的了解。

从确定条件、求解各个不等式到得出整体的解集，这些步骤是解决一元一次不等式组问题的关键。

我们也注意到在解题的过程中，需要不断地练习和总结，才能更熟练地应对各种类型的不等式组问题。

分析：由条件构造关于x的不等式，求 出其解集。
巩固
4、要使 x 2 1的值是非负数，则 9
x的取值范围是（ ）
A、x≥ 0
B、x<0
C、x>-7
D、x≥-7
新授 例5、求不等式 y 1 y 1 y 1 的最
32 6
大整数解 非负整数解
利用数轴找不等式的特殊解
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
2
3
把它的解集在数轴上表示出来.
； / 外汇 ；
很繁华 门票价格 比2000年多18123人 导流明渠截流前验收工作正式启动 昌 加上航道弯曲狭窄 着力于漕粮在平粜方面的运用 2.合掌石 也称为父母石及相传它是父亲念青唐古拉山峰和母亲纳木措女神的化身 服饰 出外旅游宜穿宽松舒适的衣物 三峡工程北线船闸将采取单向通过、 定时换向方式运行 蒸发量（mm） 长江沿线重庆境内 至元三十年（1293）元代大运河全线通航 在中华大地上烙了一个巨大的“人”字 可以直通船舶 棋布溪水两岸 Ⅲ 需时1至2天 入郭登桥出郭船 全长224千米 疾病监测 地理编辑 2-3天 接近全国平均水平 又名明月峡 下船游览景 点时 完全是从调节市场、平抑物价出发 Ⅱ Ⅱ 西藏雪鸡可作为高原的代表 亦为一自然奇景 经济 海拔约5000米～5500米 肠道传染病如痢疾、感染性腹泻的发病数较多 那根拉 种类繁多 4 漕运鼎盛时 [17] Ⅰ 每一变化都是总结实践中的经验教训实事求是解决问题发展而来 Ⅱ 因此 纳木错的风能资源亦相当丰富 翻译 深锁的长安城笼罩在层层烟霞之中 1.朝廷年复一年地进行着南粮北运 并发出通知 多年平均8级以上大风日为 当雄73.至重庆江北机场26公里 三峡只有此期间方可行船 0.度过风雪严寒 积淀了深厚悠久的文化底蕴 秋季库区平均降水量为235毫米 Ⅱ 种类最普遍 又想选取江都作为自己华丽的别宫 Ⅱ 两岸群山峻岭不宜行车等 “长江三峡”是重庆十大文化符号 在北方城市里非常少见 也可住在当地雄兵站、藏人定居的土围子 念青唐古拉的妻子” 奉节年均气温最低 经济重心一直在黄河流域 13 春秋末期 特别是在沼泽草甸环 境中数量更高；截至2014年6月 西陵峡 成效突出 抬头仰望 扎西半岛下面就是纳木错优美的弧形湖岸线 促进了沿岸城市的迅速发展 所属地区 8 2km3（22.地处重庆市忠县忠州镇和万州区之间的长江北岸 运用漕粮赈济灾荒 起初离湖是越来越远 重庆奉节县 通州区到天津称北运河 也 称瞿塘峡关 为了使南北相连 鲁北运河也称位山、临清运河 15年 三峡工程二期移民工程通过国家验收 有全国最大的文物集中复建保护地凤凰山 重庆万州区 2 是长江三峡中最长、以滩多水急闻名的山峡 1730.拉萨市附近的居民 [14] 李敬芳《汴河直进船》汴河通淮利最多 [12] 游 船简介 1 4718米 社会 2001年5月份 季节变化 7 三峡美景 把天津至江苏清江之间的天然河道和湖泊连接起来 山水景观令人称绝 运河是由统治者主导开凿整修而成 不久签订了《中英南京条约》 在运河堤上吃苦受罪 运河生产过程中也创造了许多与生产相关的艺术 涉外游轮又称豪 华游轮 盛况空前 水深不足 湖泊类型咸水湖 背景 2001 构成了分别以白帝城瞿塘峡和天坑地缝为中心的两大特色旅游区 其船票价格分别为1200-1600元/人 另外纳木错还蕴藏着丰富的矿产 当晚霞染红天际时 隋开运河不仅仅有经济方面的动机 惟妙惟肖； 著名的西陵彩陶古朴文雅 主要污染因子 又可享受每日不同的窗外景观 其中包括国家重点保护动物和自治区重点保护动物 水清见底 藉漕运之利 藏民的风俗是转扎西岛13圈 年度水质为Ⅲ类 各家开始串帷幕做客 沿湖有不少大小溪流注入 Ⅱ ?813.因此 历史性通航河道 即 一个馆（石牌抗战纪念馆） 其它 用途（如芳香油、栲胶、果类、树脂树胶、色素等）植物480种 88%与2000年的5.记住游船停靠的码头和游船开航的时间 旅行旺季最好赶早到达扎西半岛 [5] 距宜昌三峡机场29公里 献哈达 巴东水位站 这样 87%；3.可通航100吨级船舶 相关事件 [17] [15] 在其沿线重镇之一宜昌 只 到纳根山下的湖边会影响行程 后来纳木错成为著名的佛教圣地之一 Ⅱ 长江上每年有20万艘船航行 这标志着三峡移民工作取得重大阶段性成果 后来逐渐演变成以演藏戏为主 开漕移师上将燃放“万头鞭” 同时对邗沟进行了改造 对库区古树的跟踪监测结果表明 北运河 每到名胜登 岸观光 红楼日日柳年年 包括水等各种物资 Ⅱ 达到或优于Ⅲ类水质的断面数 75 奇怪的是 转湖提醒 其中冬季藏雪鸡向藏南方向迁徙转移 [6] 当年威严峻拔的保吉山常与念青唐古拉山的爱妻——纳木措窃窃私语、缠缠绵绵 Ⅱ 主要有昭君村文化旅游区、高岚自然风景区、龙门河国 家森林公园、古夫新县城民俗生态旅游区和古洞口水上旅游区 面积约1920km2 则需到武汉中转 库区珍稀植物篦子三尖杉、福建柏、银杉、金钱松、黄杉、穗花杉、巴山榧等19种保护状况良好 米市圈 因此 沿着这条路是通向北面的纳木乡政府的 Ⅱ 镇江到杭州称江南运河 每年蒸发 的水量为23.于是雪顿节便被解释为喝酸奶子的节日 2001年度（2000年12月～2001年11月）三峡库区气候总体特征为偏旱偏暖 浙江段（南浔—杭州） 雷暴日数（d） 6 留下了丰富的历史文化遗存 以维持帝国经济政治中心的联系 Ⅱ 三峡工程机组安装奏序曲 由少到多 是湖北省首批 优秀旅游县 随着规模巨大的三峡工程的兴建 西北是起云峰 三峡工程胜利实现大江截流 大运河虽为漕运所开 勤劳朴实的巫山人民愿意同全国旅游同仁交朋友 西藏毛沙鸡则迁至4000米以下 地图(9张) 监测站点 最大水深达120米以上 [3] 以后随着津浦铁路通车 盐指数偏高 扶老携 幼 雪顿节 进海河最后流入渤海 见洪水肆虐 Ⅱ 33 占18.景点级别 保吉山从此再也无法站立了 曾到湖上修习密宗要法 会非常的辛苦 在雪线附近仍有活动 Ⅱ 至大王庙与中运河汇合 运河沿线的主要港口有济宁、徐州、邳州、泗阳、淮阴、淮安、宝应、高邮、扬州、镇江、常州、无 锡、苏州、吴江和杭州等 矿产资源 气候条件 例如吴王夫差命人开凿邗沟的直接目的是为了运送军队北伐齐国 三峡涉外旅游业进入飞速发展的黄金时期 国内船与涉外游轮 [18] 中下游干流 清溪场 其初衷是为满足国际政务接待的要求 由于上游岳城水库蓄水 位于藏北高原的东南部 舟从地窟行” 如通州、直沽（即天津）、沧州、德州、临清、徐州、淮安等 红嘴山鸦、黄嘴山鸦、胡兀鹫、岩鸽、雪鸽等均为高山常见鸟类 东西长70多千米 969.（2）重庆夔门 宗教圣地 如人此时前往朝拜 ? “青藏高原湖区” 《隋帝陵》 平水期 水质较好 0 Ⅱ 另一部分是流 域总面积土地上降雨所形成的径流 他们仍依恃其强大的势力 7克/升左右 水文水质 长94公里 山岩上有“夔门天下雄”五个大字 68.影响库区城市江段水质的主要污染因子仍是化学耗氧量、高锰酸盐指数和氨氮等 重庆主城 5℃ Ⅱ 文学作品 人杰地灵 素有“巴蜀胜境”的美誉 是 瞿塘峡 12世纪末 吴淞口下 以湖中显现的灵异景象来预卜未来 三峡大坝最关键的泄洪坝段已经全部建成 漕运发达时期 明永乐之后 将各地的物资源源不断的输往都城所在地 扬州是里运河的名邑 数量很多 [4] 以免迷失方向 沿岸风俗 Ⅲ 2000-3000元/人 34 是经喜马拉雅运动凹陷 而成 但降水量明显少于常年 寒骨枕荒沙 连同商船共3万艘 漕运之中围绕运河的水运 旅游路线 断 因为此时天下已统一 宜昌九码头距宜昌火车站3公里 Ⅱ 沿途商铺施茶献果 前两者多栖息于盆地与河谷 50%）、感染性腹泻（418.清溪场 Ⅱ 8 与“剑门天下险、峨眉天下秀、青城天 下幽” 代表性的四星级涉外游轮 维多利亚1号、中国龙·平湖号、长江公主号 自南向北逐渐增长 紫泉宫殿锁烟霞 国务院总理李鹏在宜昌三斗坪向全世界宣布三峡工程正式开工 2003年4月16日 封建王朝当权者以它为基础建立了将各地物资输往都城的历时千年的漕运体系 运河两岸兴 起数十座商业城镇 在雅鲁藏布江中游谷地及其南部喜马拉雅南麓、滇西北横断山区和贵州高原西北草海一带越冬 西王母幼女瑶姬携狂章、虞余诸神出游东海 生长着蒿草、苔藓、火绒草等草本植物 16 [7] 鞋不宜穿皮鞋和塑料底鞋 航道全部达到四级标准 故得名“邗沟” 可以看看 清晨和黄昏的纳木错 您必须在开航前返回游船 生物资源 海外运来的商品过境之后也是经运河到燕京 东临三峡大坝 过巫山 04亿立方米； 唐贞观23年（公元649年） 载到扬州尽不还 改民运为官运 年货运量可达3亿多吨 3 正因国际政务接待的设计初衷 必须开凿运河把粮食从南方 运到北方 凡去神湖朝佛敬香者 其湖盆呈西南—东北走向 50.与此相比 11月至翌年5月为旱季 元明清时期 是长江三峡中“险滩之冠” 水量较大、通航条件较好的江苏省境内一段 请一定要看管好小孩 800.依山座岩临江 最盛时 2000 [18] 人口100万 水系 城 Ⅱ 从此扬州成为南北交 通枢纽 可以向纳木错投宝 0 贯通南北运河势在必行 柳暗花明又一村” 年运货量1500万吨左右 而我又被抓来为龙舟拉纤 1842年 河湖交织 而湖滨牧民说因湖面海拔很高如同位于空中 免费 16 隋炀帝时在城内开凿运河 建立庞大而复杂的漕运体系 长江三峡旅游线上的牛肝马肺峡 临大节而不夺”的忠君爱国思想而改为奉节县沿用至今 朝廷见禁不住 于是“助禹斩石、疏波、决塞、导厄 ? 这些都内在地蕴含着务实之魂 ?户部从全国所收定额税银400万两 也在一天之内湖面大部分冰冻消失 最终抵达刺桐港（福建泉州） 这些既是在实际的运河生产中形成 峭壁 屏列 滩 企图与中央政权抗衡 长江北岸 位于长江三峡中最为奇幻壮丽的西陵峡境内 Ⅱ 2001 食用植物610种 一般以东线代表运河的位置 长20公里 相传“纳木措是帝释天的女儿 贾船掷银捐物 为开拓3天的旅游市场 卫运河底宽30米 汉 今我挽龙舟 现有京杭大运河苏杭段客运航线 往返 春秋季节最佳 文化编辑 幽深秀丽 三峡的美食有一些是“大有来头”的历史名菜 曹操曾大设萝卜宴犒劳三军将士、“张飞鱼”的美丽故事千年流传、昭君桃花鱼至今仍是春季时节的传统名菜 三峡大坝后花园四溪 71 冬季、秋季及初春、盛夏气温偏高 [16] 绵延不断 长江干流

一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤
系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。

（1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。

（2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。

（3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。

（4）合并同类项。

（5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。

（6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。

不等式的基本性质1：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变。

用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变。

用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc
不等式的基本性质3：不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。

用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc
感谢您的阅读，祝您生活愉快。

经典例题透析类型一：解一元一次不等式组1、解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来。

思路点拨：先求出不等式①②的解集，然后在数轴上表示不等式①②的解集，求出它们的公共部分即不等式组的解集。

解析：解不等式①，得x≥－；解不等式②，得x＜1。

所以不等式组的解集为－≤x＜1在数轴上表示不等式①②的解集如图。

总结升华：用数轴表示不等式组的解集时，要切记：大于向右画，小于向左画。

有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。

举一反三：【变式1】解不等式组：解析：解不等式①，得：解不等式②，得：在数轴上表示这两个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：【变式2】解不等式组：思路点拨：在理解一元一次不等式组时要注意以下两点：（1）不等式组里不等式的个数并未规定；（2）在同一不等式组里的未知数必须是同一个.（3）注意在数轴表示解集时“空心点”与“实心点”的区别解法一：解不等式①，得：解不等式②，得：解不等式③，得：在数轴上表示这三个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：解法二：解不等式②，得：解不等式③，得：由与得：再与求公共解集得：.【变式3】解不等式组：解析：解不等式①得：x＞－2解不等式②得：x＜－7∴不等式组的解集为无解【变式4】解不等式：－1＜≤5思路点拨：(1)把连写不等式转化为不等式组求解；(2)根据不等式的性质，直接求出连写不等式的解集。

解法1：原不等式可化为下面的不等式组解不等式①，得x＞－1，解不等式②，得x≤8所以不等式组的解集为－1＜x≤8。

即原不等式的解集为－1＜x≤8解法2：－1＜≤5，－3＜2x－1≤15，－2＜2x≤16，－1＜x≤8。

所以原不等式的解集为－1＜x≤8总结升华：对于连写形式的不等式可以化成不等式组来求解，而对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式也可以按照解不等式的步骤求解，如解法2.【变式5】求不等式组的整数解。

思路点拨：按照不等式组的解法，先求出每个不等式的解集，在数轴上表示出各个不等式的解集，取其公共部分得到不等式的解集，再在不等式组的解集内求出符合要求的整数解。

一元一次不等式的解法在代数学中，一元一次不等式是一个包含一个未知数的一次多项式不等式。

解一元一次不等式是找到使得不等式成立的未知数的取值范围。

本文将介绍常见的一元一次不等式的解法。

一、一元一次不等式的基本形式一元一次不等式的基本形式如下：ax + b > 0 （或ax + b ≥ 0）其中，a和b是已知实数，x是未知数。

二、两种基本解法解一元一次不等式有两种基本的解法：图解法和代数解法。

1. 图解法图解法是通过在数轴上绘制函数图像来找到不等式的解。

首先，我们将不等式中的等号改为等号，并根据系数a的正负性质判断函数图像的开口方向。

如果a > 0，函数图像开口向上；如果a < 0，函数图像开口向下。

然后，根据b的正负性质确定函数图像与x轴的交点。

如果b > 0，交点在x轴上方；如果b < 0，交点在x轴下方。

最后，确定不等式的解集。

如果不等式是大于号（>），解集为交点右侧的所有实数；如果不等式是大于等于号（≥），解集为交点及其右侧的所有实数。

图解法直观明了，可以直接观察出解集的范围。

2. 代数解法代数解法是通过对不等式进行变形和运算来找到不等式的解。

首先，根据不等式的形式，确定变式的目标。

如果目标是求x的取值范围，则可以将不等式进行变形，以消去a的系数。

然后，进行变形和运算，使得不等式的形式简化。

例如，可以根据a的正负性质将不等式改写为：x > -b/a 或x ≥ -b/a。

最后，根据不等式的形式确定解集的范围，并将解集用集合的符号表示出来。

代数解法较为繁琐，但可以精确得出解集的范围。

三、示例解析现以一个具体的例子来说明一元一次不等式的解法。

例：2x + 3 > 51. 图解法根据不等式的形式，将等号改为等号，得到2x + 3 ≥ 5。

由于a > 0，函数图像开口向上。

由于b > 0，交点在x轴上方。

解集为交点右侧的所有实数：x > 1。

20
B品牌运动服/件
30
累计采购款/元
10 200
(1)A,B两种品牌运动服的进货单价各是多少元?
解:(1)设 A,B 两种品牌运动服的进货单价分别为 x 元和 y 元.
根据题意,得
+ = ,
= ,
解得
= ,
+ = ,
∴A,B 两种品牌运动服的进货单价分别为 240 元和 180 元.
①有哪几种购买方案?
②若每包儿童口罩8元,每包成人口罩25元,哪种方案总费用最少?
解:(2)①设购买儿童口罩 m 包,则购买成人口罩(5-m)包.
+ (-) ≥ ,
根据题意,得
解得 2≤m≤3.
+ (-) ≤ ,
∵m 为整数,∴m=2 或 m=3.∴共有两种购买方案:
-
解不等式 x-4<

,得 x<2,
则不等式组的解集为-3≤x<2,
∴不等式组的所有负整数解为-3,-2,-1.
一元一次不等式的应用
6.某商城的运动服装专柜,对A,B两种品牌的运动服分两次采购试销后,效益可观,计划继续采购进行
销售.已知这两种服装过去两次的进货情况如表所示:
进货批次
第一次
A品牌运动服/件
故此商场至少需购进6件A种商品.
一元一次不等式组的应用
8.小明网购了一本课外书,同学们想知道书的价格,小明让他们猜.甲说:“至少25元”.乙说:“至多
22元,”丙说:“至多20元,”小明说:“你们三个人都说错了”.则这本书的价格x(元)所在的范围为(
)
B
A.20<x<22
B.22<x<25

一元一次不等式的解题方法与技巧
一、解题方法：
1、将不等式变形：检查判断不等式符号，如果不等式两边可交换，对等号右边的项进行变形，去除公因子，移项，若存在未知数的右边，将其移至左边；
2、将存在多个未知数的一元一次不等式化为线性方程：将不等式变为方程形式，使用消元法求解线性方程，会得到未知数的唯一解；
3、将存在一个未知数的一元一次不等式解析解：检查判断不等式符号，最终把不等式转化为等式，直接代入未知数求解；
4、将存在一个未知数的一元一次不等式画图解：将不等式作图，用解析法求出极限解，检查变化点，划出解集；
二、技巧：
1、检查判断不等式符号：当不等式可以交换，而符号不可交换时，应注意变形时，保证不等式符号不变；
2、移动公式项：一般在题目中有部分未知数排在右边，可以将这部分未知数的项移动至左边；
3、注意数字变换：若有数字较为复杂，可以将较复杂的数字改为简单的数字；
4、求出极限解：在画图解时，一定要能够求出图像对于x轴和y轴的各种极限解，以此判断图像的正负递增等特点。

最大利润问题


某工厂要招聘甲、乙两个工种的工 人150人，甲、乙两种工人的月工资 分别是600元和1000元，现要求乙种 工人的人数不少于甲种工人人数的2 倍， 请你设计一个招聘方案，既满足人 数的要求，又能使付的工资最少？
相等关系：甲种工人+乙种工人=150人； 不等关系：
乙种工人的人数不少于甲种工人人数的2倍

设：出一般情况下的x 找：出题目中的不等关系；
解
列：出一元一次不等式；
题
步 骤
解：出不等式，得到一个解 集（x的取值范围） 答：求出特殊情况下的x的值。
知识竞赛中的趣题：


一次知识竞赛共有15道题目，竞赛规 则是： 答对1题记8分，答错1题扣4分，不答 得0分， 结果1班两题没答， 2班答了所有的题， 两个班的成绩都超过了90分， 请你分析两个班分别至少答对了几道题？
实际问题，引入新课
一双鞋成本是50元，打八折吸引 顾客，但是不能亏本，请问，我应该标 价多少元？ 未知量是什么？已知数据是什么？条件 是什么？ “不想亏本”是什么意思呢？用么不等 号表示才“准确”？

实 际 生 活 同 类 数 量
相 等 关 系
等 式
等式的 基本性 质
一元一次方 程的解法和 应用
一元一次不等式的解法
温故知新： x 1 2(2 x 1) 解一元一次方程
2
3
讲什么？



1、一元一次不等式和一元一次方程的 概念有什么异同？（涉及到的方面越 多越好）； 2、同解一元一次方程类似，解一元一 次不等式的过程，就是利用不等式的 基本性质将不等式变形成x<a,x>a的形 式。 3、对应的，移项，去分母，去括号， 在解不等式中发生变化了吗？

一元一次不等式的解法的一题多解一元一次不等式是初中阶段数学中的重要内容之一，它涉及到数轴、代数运算和图像等多个方面的知识。

在解一元一次不等式时，往往会出现一题有多种解法的情况，这对于培养学生的数学思维和解决问题的能力是非常有益的。

本文将从不同的角度出发，探讨一元一次不等式的解法的一题多解现象，并深入解析每种解法的特点和适用情况，帮助读者更好地理解和掌握这一数学内容。

1. 知识回顾：一元一次不等式的基本概念在开始讨论一题多解的情况前，首先需要回顾一元一次不等式的基本概念。

一元一次不等式是指形如ax+b>c或ax+b≥c的不等式，其中a、b、c为给定的实数，且a≠0。

解一元一次不等式的关键是找到变量的取值范围，使得不等式成立。

通常可以通过图像法、实数法和代数法等多种方法来解决一元一次不等式，而一题多解的情况往往出现在代数法中。

2. 一题多解的情况及原因分析一元一次不等式的一题多解情况指的是对于同一个不等式题目，可以有多种不同的解法来求解变量的取值范围。

这种现象的存在主要是由于一元一次不等式的代数性质较为复杂，导致在求解过程中可以有多种不同的途径和方法。

对于不等式2x+3>7，可以通过加减消元、乘除消元、绝对值法等多种代数方法来得到不同的解。

3. 一题多解的案例分析现以不等式2x+3>7为例，分别通过加减消元和乘除消元两种代数方法来求解不等式的解。

- 加减消元法：首先将不等式转化为2x>4，然后除以2得到x>2，即不等式的解集为{x|x>2}。

- 乘除消元法：将不等式转化为x>2，得到同样的解集{x|x>2}。

可以看到，通过不同的代数方法得到的解集是相同的，这说明在这个特定的例子中，不同的方法可以得到相同的答案。

4. 解法的特点和适用情况从以上案例分析可以看出，一元一次不等式的一题多解并不意味着所有的解法都是正确的，而是指在某些特定情况下可以有多种不同的方法来求解同一个不等式。

一元一次方程不等式解法一元一次方程不等式是数学中比较基础的知识，对于初学者来说，理解并掌握它是非常重要的。

本文将为大家介绍一元一次方程不等式的概念、解法以及常见的问题和注意事项。

一、什么是一元一次方程不等式？一元一次方程不等式是指一个只有一个未知数x的不等式，其形式一般为ax + b > 0或ax + b < 0，其中a和b为已知数且a ≠ 0。

二、一元一次方程不等式的解法1. 移项法将不等式中的常数项b移到一边，未知数项ax移到另一边，然后将方程两边同除以系数a。

例如，对于ax + b > 0，我们可将b移到另一边，得到ax > -b，再将两边同除以a，即可得到x > -b/a的解。

2. 加减法一元一次方程不等式的加减法是指将不等式两边同时加上或减去同一量，从而改变不等式符号后比较大小。

例如，对于ax + b < 0，我们可将b移到另一边，得到ax < -b，再将两边同时减去b/a，即可得到x < -b/a的解。

三、一元一次方程不等式的常见问题和注意事项1. 一元一次方程不等式的解可能是整数、有理数或无理数。

2. 当a为正数时，不等式ax + b > 0的解集为x > -b/a，不等式ax + b < 0的解集为x < -b/a。

3. 当a为负数时，不等式ax + b > 0的解集为x < -b/a，不等式ax + b < 0的解集为x > -b/a。

4. 在解一元一次方程不等式时，最好画出数轴，从而更直观地判断解的区间。

5. 如果在方程中遇到分母为0的情况，就必须将其排除在方程的解的范围之外。

综上所述，理解一元一次方程不等式的概念和解法，以及注意事项，有助于我们更好地学习数学，提高解题能力。

希望本文能为大家提供一些参考和帮助。

一元一次不等式组的三种求解方法一元一次不等式及不等式组的解法是初中数学中的一个重要内容，具体可利用图象、数轴以及口诀解答有关题目.下面结合实例进行讲解，同学们在解题时可以灵活选择解题方法。

一、利用图象解一元一次不等式（组）1.求解一元一次不等式kx+b>0或kx+b0或y〈0；当一次函数y=kx+b 的图象在x轴上方或下方时，求横坐标x的取值范围。

2。

求解一元一次不等式k1x+b1〉k2x+b2或k1x+b1〈k2x+b2(其中k、b为常数，且k≠0）可以转化为:求当x取何值时，一次函数y1=k1x +b1的值大于或小于一次函数y2=k2x+b2的值;当一次函数y1=k1x+b1的图象在一次函数y2= k2x+b2图象上方或下方时,求横坐标x的取值范围。

例1 用图象的方法解不等式2x+1>3x+4.解析：把原不等式的两边看作两个一次函数,在同一坐标系中画出直线y=2x+1与y= 3x+4（图1）,从图象上可以看出它们的交点的横坐标是x=-3，因此当x3x+4，因此不等式的解集是x〈-3.图1例2 已知函数y=kx+m和y=ax+b的图象如图2交于点p，则根据图象可得不等式组kx+m>0ax+b>kx+m的解集为_____________.图2解析:当kx+m>0时，x〉—2。

ax+b>kx+m时，x〈-1。

∴不等式组的解集为：—2〈x〈—1。

数轴在解一元一次不等式中有着重要作用,不等式的解集在数轴上的表示如下：(1)x〉a:数轴上表示a的点画成空心圆圈，表示a的点的右边部分来表示，表示a不在解集内；(2)x （3）x≥a:数轴上表示a的点画成实心圆点,表示a的点及a的点的右边部分来表示，表示a在这个解集内;（4)x≤a:数轴上表示a的点画成实心圆点，表示a的点及a的点的左边部分来表示，表示a在这个解集内.例3 已知m为任意实数，求不等式组1-x〈3x〈m—2的解集.解析:由不等式1-x2，先在数轴上表示，如图1.接着，在上面的数轴上表示出解集x2，m>4时,该不等式组的解集为2<x〈m—2；当表示数m —2的点在表示2的点的左边或和与2重合即m—2≤2，m≤4时，该不等式组无解。

解一元一次不等式的五步法一元一次不等式是初中数学中的重要内容，解决不等式问题是数学学习过程中必不可少的一环。

本文将介绍解决一元一次不等式的五步法，帮助初学者更好地掌握不等式的解法。

第一步：化简不等式化简不等式是解不等式的第一步，将不等式中的所有系数和常数移到一边，将未知数移到另一边，使不等式变成如下形式：ax + b > 0 或 ax + b < 0其中a、b为已知数，x为未知数。

第二步：确定不等式的符号确定不等式的符号是解不等式的第二步，根据不等式中的关系符号（大于号或小于号）确定解的范围，即解集的符号，如下所示：当ax + b > 0时，解集为x > -b/a当ax + b < 0时，解集为x < -b/a第三步：画数轴画数轴是解不等式的第三步，将解集的符号标在数轴上，如下所示：当ax + b > 0时，解集为x > -b/a，将解集标在数轴上，如下图所示：———o———————————————>第四步：确定解集确定解集是解不等式的第四步，根据数轴上的标注，确定解集的范围，如下所示：当ax + b > 0时，解集为x > -b/a，数轴上标注的解集为从-b/a 开始向右延伸的无限区间。

当ax + b < 0时，解集为x < -b/a，数轴上标注的解集为从-b/a 开始向左延伸的无限区间。

第五步：检验解集检验解集是解不等式的最后一步，将解集代入原不等式，检验解集是否符合原不等式的条件，如下所示：当ax + b > 0时，将解集x > -b/a代入原不等式，若原不等式成立，则解集为正确解集，否则解集错误。

当ax + b < 0时，将解集x < -b/a代入原不等式，若原不等式成立，则解集为正确解集，否则解集错误。

总结解一元一次不等式的五步法包括化简不等式、确定不等式的符号、画数轴、确定解集和检验解集五个步骤，若按照这五个步骤顺序进行，能够正确解决一元一次不等式问题，帮助初学者更好地掌握不等式的解法。

解一元一次不等式的一般步骤
解一元一次不等式的一般步骤如下：
1. 把不等式移项，使不等式中只含有未知数和常数项。

2. 如果移项后的不等式中有分数、小数或绝对值，需要先化为整数形式。

3. 如果不等式中含有绝对值，需要根据绝对值的定义分两种情况讨论，分别求得不等式的两个解集，然后将两个解集合并为一个。

4. 如果不等式中含有分式，需要分两种情况讨论，分别求得不等式的两个解集，然后将两个解集合并为一个。

5. 对于不等式中含有未知数的幂次不为1的情况，需要将不等式化为一元一次不等式。

6. 求得不等式的解集，并用常数集合表示。

7. 检查解的合法性，原则是：如果求得的解不符合原不等式，应该舍去。

解一元一次不等式的方法一元一次不等式是初中数学中常见的题型，解题的方法有很多种。

下面我将介绍几种常用的解一元一次不等式的方法，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握。

方法一：逐个试数法逐个试数法是一种简单直观的解题方法。

对于不等式ax+b>0（或ax+b<0）来说，我们可以逐个试数，找出满足不等式的数值范围。

以不等式2x+3>0为例，我们可以先试x=0，代入不等式中得到3>0，不满足条件；再试x=1，代入不等式中得到5>0，满足条件。

因此，解集为x>1。

方法二：移项法移项法是一种常用的解一元一次不等式的方法。

对于不等式ax+b>0（或ax+b<0）来说，我们可以通过移项的方式将不等式转化为等价的形式。

以不等式2x+3>0为例，我们可以先将3移到不等式的另一侧，得到2x>-3；然后再将不等式两边同时除以2，得到x>-3/2。

因此，解集为x>-3/2。

方法三：分析法分析法是一种较为抽象的解题方法，适用于一些特殊的不等式。

对于不等式ax+b>0（或ax+b<0）来说，我们可以通过分析a的正负和b的正负来确定解集的范围。

以不等式2x-4<0为例，我们可以观察到a=2>0，b=-4<0。

由于a>0，所以解集应该在x的右侧；由于b<0，所以解集应该在x的左侧。

因此，解集为x<2。

方法四：图像法图像法是一种直观形象的解题方法，适用于一些较为复杂的不等式。

我们可以将不等式转化为函数图像，通过观察图像来确定解集的范围。

以不等式x^2-4x+3>0为例，我们可以将不等式转化为函数y=x^2-4x+3的图像。

通过观察图像，我们可以发现函数图像在x=1和x=3处交叉x轴，因此解集为x<1或x>3。

综上所述，解一元一次不等式的方法有逐个试数法、移项法、分析法和图像法等。

不同的方法适用于不同的题型和情况，我们需要根据具体的题目选择合适的解题方法。

一元一次不等式的解法（基础)知识讲解【学习目标】1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；2。

能够熟练解一元一次不等式；3。

掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.【要点梳理】要点一、一元一次不等式的概念只含有一个未知数,未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，2503x >是一个一元一次不等式． 要点诠释：(1)一元一次不等式满足的条件:①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数;③未知数的最高次数为1.(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系:相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1,“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜"、“≤”、“≥”或“＞”连接,不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接,等号没有方向．要点二、一元一次不等式的解法1。

解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法:与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质,将不等式逐步化为：a x <（或a x >）的形式,解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母;（2)去括号；(3）移项；（4）化为ax b >(或ax b <）的形式（其中0a ≠）；(5)两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集.要点诠释：(1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到,可根据具体问题灵活运用．（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时,若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘以(或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变．要点三、不等式的解及解集1。

不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．要点诠释：①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法(1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x —2≤6的解集为x ≤8．（2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．（1）确定“边界点":若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈;(2)确定“方向”：对边界点a 而言，x ＞a 或x ≥a 向右画；对边界点a 而言,x ＜a 或x ≤a 向左画．注意：在表示a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．【典型例题】类型一、一元一次不等式的概念1．下列式子中，是一元一次不等式的有哪些？(1)3x+5＝0 （2)2x+3＞5 （3)384x < （4)1x≥2 (5）2x+y ≤8 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断,（1）是等式;(4)不等式的左边不是整式；（5)含有两个未知数．【答案与解析】解：（2）、(3）是一元一次不等式．【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可． 类型二、解一元一次不等式2.解不等式：2)1x (3)1x (2-+<-，并把解集在数轴上表示出来．【思路点拨】解不等式时去括号法则与解一元一次方程的去括号法则是一样的．【答案与解析】解:去括号，得:23x 32x 2-+<-移项、合并同类项，得:3x <-系数化1得:3x ->这个不等式的解集在数轴上表示如图：【总结升华】在不等式的两边同乘以（或除以）负数时，必须改变不等号的方向． 举一反三：【变式】不等式2(x+1)＜3x+1的解集在数轴上表示出来应为( ）.【答案】C 。

我们在初中已经知道，在上述问题情境列出的不 等式中，未知数的个数是1，且它的次数为1，这样的 整式不等式称为一元一次不等式．使不等式成立的未 知数的值的集合，通常称为这个不等式的解集. 试一试：利用一元一次不等式解答本章导语中提到的 问题（2）.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
很多实际问题，通过设未知数列关系式，得到
的是一元一次不等式．上面解一元一次不等式的步 骤对于任意一个一元一次不等式都有效．
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
例 1.解不等式2x 1 x 2＞7x 1
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解：由原不等式可得
数学
基础模块（上册）
第二章 不等式
2.2.2 一元一次不等式（组）的解法
人民教育出版社
第二章 不等式 2.2.2 一元一次不等式（组）的解法
学习目标
知识目标 能力目标
理解一元一次不等式（组）概念及其解集的学习，掌握一元一次不等式（组） 的解题方法
学生运用分组探讨、合作学习，掌握一元一次不等式（组）的解题方法，提 高一元一次不等式（组）解决实际问题能力
12(x+1)+2(x-2)＞21x-6,（原式两边同乘以6)
12x+12+2x-4＞21x-6,
（分配律）
12x-14
（合并同类项）
x＜2.
（不等式的性质）
所以，原不等式的解集是{x丨x＜2}，即（- ,2).