福建省三明一中2020-2021学年高三上学期第一次月考数学试卷及答案

福建省三明市第一中学2021届高三数学上学期10月月考试题（含解析）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．2．本试卷包括必考和选考两部分．第22题为选考题，考生可在其中的（A ），（B ）两题中任选一题作答；其它试题为必考题，所有考生都必须作答．一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N ⋂=A. (0,4]B. [0,4)C. [1,0)-D. (1,0]-【答案】B 【解析】试题分析：()()234041014x x x x x --<⇒-+<⇒-<<，故M N ⋂=[0,4)，故选B ．考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的运算．2.在等差数列{}n a 中，若244,2a a ==，则8a =（ ） A. 2- B. 0C. 6D. 8【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d ,根据等差数列的公差公式n ma a d n m-=-求得公差d ,然后根据等差数列的通项公式的变形形式()n m a a n m d =+-可求得. 【详解】设等差数列公差为d ,则4242a a d -=-2442-=-1=-, 所以82(82)46(1)2a a d =+-=+⨯-=-. 故选A .【点睛】本题考查了等差数列的公差公式以及通项公式的变形形式的应用,这样可以避开首项,减少计算量,属基础题.3.已知a b >，c d >，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是（ ） A. ad bc > B. ac bd > C. a c b d ->- D. a c b d +>+【答案】D 【解析】试题分析：根据不等式的性质，可知,a b c d >>，则a c b d +>+，故选D. 考点：不等式的性质.4.已知(5,2),(4,3)a b =-=--，若230a b c -+=，则c 的坐标为（ ） A. 8(1,)3B. 138(,)33-C. 134(,)33D.134(,)33-- 【答案】D 【解析】 【分析】设(,)c x y =,将向量,,a b c 的坐标代入230a b c -+=中,利用向量的坐标的加法,减法和数乘运算可以得到.【详解】设(,)c x y =,因为230a b c -+=, 所以(5,2)2(4,3)3(,)(0,0)x y ----+=. 所以(583,263)(0,0)x y ++-++=, 所以1330,430x y +=+=,解得:133x ,43y =-.所以134(,)33c =--.故选D .【点睛】本题考查了平面向量的加法,减法和数乘的坐标运算,属基础题.5.设l为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A. 若//lα，//lβ，则//αβ B. 若lα⊥，lβ⊥，则//αβC. 若lα⊥，//lβ，则//αβ D. 若αβ⊥，//lα，则lβ⊥【答案】B【解析】A中，,αβ也可能相交；B中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C中，,αβ也可能相交；D中，l也可能在平面β内.【考点定位】点线面的位置关系6.若实数x、y满足1x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y=+的最大值为（）．A. 0B. 1C.32D. 2【答案】D【解析】所以过()0,1时，max2z=，故选D。

2021届福建省三明市一中高三上学期第一次月考数学（文）试题考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟，满分150分． 2．本试卷包括必考．．和选考．．两部分．第22题为选考题，考生可在其中的（A ），（B ）两题中任选一题作答；其它试题为必考题，所有考生都必须作答．第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合2{|340},{|05}M x x x N x x =--<=≤≤，则M N =A.(0,4]B. [0,4)C. [1,0)-D. (1,0]-2. 在等差数列{}n a 中，若244,2a a ==，则8a = A ．2- B ．0C ．6D ．83．已知,a b c d >>，且,c d 不为0，则下列不等式成立的是 A.ad bc >B.ac bd >C.a c b d ->-D. a c b d +>+4．已知(5,2),(4,3)a b =-=--，若230a b c -+=，则c 的坐标为 A ．8(1,)3B ．138(,)33-C ．134(,)33D ．134(,)33-- 5．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A. 若//,//l l αβ，则//αβ B. 若,l l αβ⊥⊥，则//αβC. 若,//l l αβ⊥，则//αβD. 若,//l αβα⊥，则l β⊥6．若变量x ，y 满足100x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，则目标函数2z x y =+的最大值为A. 0B. 1C. 2D.327．要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图象A. 向左平移12π个单位 B. 向左平移3π个单位C. 向右平移3π个单位D. 向右平移12π个单位8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. 8B. 12C.332 D. 403 9．已知0,0a b >>，且,a b 的等比中项为1，若11,m b n a a b=+=+，则m n +的最小值是A ．3B ．4C. 5D ．610．已知tan()16α+=π，则tan()6α-=πA. 23-B. 23+C. 23--D. 23-+11．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15S S ==，则6S = A. 31B.32C. 63D. 6412．函数()sin(),(0,0)2f x x ωϕωϕπ=+><<在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是图象的最高点和最低点，O 为坐标原点，且0OM ON ⋅=，则,ωϕ的值分别是A.,362ππB.,3ππC.4π2,D. 1,3π 第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡的相应位置）13．已知向量,a b 均为单位向量，且<a ,b >=3π，则||a b += ____________． 14．已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，则数列{}n a 的通项公式是____________.15．在Rt ABC ∆中，2C π=，且角,,A B C 所对的边,,a b c 满足a b cx +=，则实数x 的取值范围是____________．16．已知四面体ABCD 内接于球O ，且2,2AB BC AC ===，若四面体ABCD 的体积为23，球心O 恰好在棱DA 上，则球O 的表面积是____________．三、解答题：（本大题共6小题，第17-21每题12分，第22题10分，共70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程、演算步骤） 17．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量22(,),(sin ,cos ),(0,)22a b x x x =-=∈π．（1）若//a b ，求2sin 1sin 2x x+的值；（2）若a 与b 的夹角为3π，求x 的值．18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，12364a a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21(1)log n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC ； （2）设1,3AP AD ==P-ABD 3，求点A 到平面PBC 的距离．20.（本小题满分12分）已知函数231()2cos ,2f x x x x =--∈R ． （1）求函数()f x 的最小正周期、最小值、对称轴、对称中心；（2）设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且3,()0c f C ==，若B A sin sin 2=，求,a b 的值．21．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，2366,27a a a =+=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项的和n S ，且132nn n S T -=⋅，若对于一切正整数n ，总有n T m ≤成立，求实数m 的取值范围．22．（本小题满分10分，考生可在其中的（A ），（B ）两题中任选一题作答）（A ）4－4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,(26x t t y t =⎧⎨=+⎩为参数)，以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设(,)M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围． （B ）4－5：不等式选讲已知函数()|||1|f x x a x =-++．（1）若2a =，求不等式()2f x x >+的解集；（2）如果关于x 的不等式()2f x <的解集不是空集，求实数a 的取值范围．2021届福建省三明市一中高三上学期第一次月考数学（文）试题参考答案一、选择题：（5×12=60）二、填空题：（4×5=20）13.14.2,121,2N*n n a n n n =⎧=⎨-∈⎩≥且15. 16. 16π三、解答题：（第17-21每题12分，第22题10分，共70分） 17.解： （1）∵2(,),(sin ,cos )22a b x x =-=且//a b0x x +=……2分 ∴tan 1x =-……4分 ∴2222sin 1cos 2sin 12tan 3sin 22sin cos 2tan 2x x x x x x x x +++===-……6分（说明：也可由tan 1x =-求出34x π=代入2sin 1sin 2x x +求得）（2）∵2(,),(sin ,cos )22a b x x =-= ∴||||1a b ==……7分∵a 与b 的夹角为3π∴1cos ,cos 32||||a ba b a b a b π⋅<>====⋅……8分∴1cos 222x x -= ……9分 ∴1sin()42x π-=……10分又(0,)x ∈π∴444x ππ3π-<-<∴46x ππ-=∴12x 5π=……12分F G18.解：（1）∵等比数列{}n a 满足12364a a a =∴3264a =，即24a =……3分 又等比数列{}n a 的公比为2∴数列{}n a 的通项公式为2*422,n n n a n -=⋅=∈N ．……6分 （2）由（1）知22111(1)log (1)log 2(1)n nn b n a n n n ===+++ ……8分 ∴111n b n n =-+……9分 ∴1111111223111n nS n n n n 1=-+-++-=-=+++ ……11分 ∴数列{}n b 的前n 项和1n nS n =+．……12分19. 解：（1）设AC 与BD 的交点为F ，连接EF……1分 ∵底面ABCD 为矩形∴点F 为BD 中点 ……2分 又E 为PD 的中点∴三角形PBD 中，//EF PB ……3分 又,AEC AEC EF PB ⊂⊄平面平面 ……5分 ∴//PB 平面AEC……6分（2）法一：直接法 过点A 作AG PB ⊥ ∵底面ABCD 为矩形∴AB BC ⊥ 又PA ⊥平面ABCD ∴PA BC ⊥又PA 与AB 是平面PAB 上两相交直线 ∴BC ⊥平面PAB 又AG PAB ⊂平面∴AG BC ⊥又PB 与BC 是平面PBC 上两相交直线 ∴AG ⊥平面PBC∴AG 是点A 到平面PBC 的距离 ……9分又1,3AP AD ==P-ABD 的体积为34∴11331324AB ⨯⨯⨯⨯= ∴32AB =∴22313()122PB =+= 由PB AG PA AB ⋅=⋅解得31313AG =∴点A 到平面PBC 的距离为31313．……12分法二：等体积法设点A 到平面PBC 的距离为h已知Rt PBC ∆中，13,32PB BC ==∴111339322Rt PBC S BC PB ∆=⋅=⨯⨯= ……8分∴由P ABC A PBC V V --=有113139313223h ⨯⨯⨯⨯=⨯ ∴31313h =……11分∴点A 到平面PBC 的距离为31313． ……12分20. 解： （1）∵31cos 21()sin 2222x f x x +=--=sin(2)16x π-- ……2分 ∴()f x 的最小正周期是22T π==π，最小值是-2. ……4分 令2,62x k k ππ-=+π∈Z ，则()f x 的对称轴为,32k x k ππ=+∈Z ……5分 令2,6x k k π-=π∈Z ，则()f x 的对称中心为(,1),212k k ππ+-∈Z……6分（2）()sin(2)106f C C π=--=,则sin(2)6C π-=10,022C C <<π∴<<π,112666C ππ∴-<-<π26C π∴-=2π, 解得3C π= ……8分 又sin 1sin 2A B =，由正弦定理得12a b = ①……10分由余弦定理得2222cos 3c a b ab π=+-，即3=22a b ab +- ② 由①②解得1,2a b ==.……12分21.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ∵2366,27a a a =+= ∴1162727a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：133a d =⎧⎨=⎩……2分∴数列{}n a 的通项公式为*3,n a n n =∈N……4分（2）由（1）知等差数列{}n a 的首项和公差均为3∴23322n S n n =+ ……5分∴2211332232322n n n n nn n S n n T --++===⋅⋅ ……6分又对于一切正整数n ，总有n T m ≤成立 ∴*max (),n T m n ∈N ≤……7分∴22111(1)1(1)(2)222n n n n n n n n n n n T T ++++++++--=-= ……8分∴当3n ≥时，1n n T T +≥且123312T T T =<==……10分 ∴n T 的最大值是32，即32m ≥ ……11分 ∴实数m 的取值范围是3[,)2+∞.……12分22.（A ）4－4：坐标系与参数方程 解：（1）∵直线l 的参数方程为,(26x t t y t =⎧⎨=+⎩为参数)∴直线l 的普通方程为260x y -+=……2分又曲线C的极坐标方程为ρθ=∴曲线C的直角坐标方程为220x y +-=……4分（2）由（1）知曲线C是以的圆∴圆C的参数方程为：,(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数) ……5分∴可设圆C 上的点(,)M x y的坐标为)θθ，即x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……6分∴2sin()4x y θθθπ+=+=+ ……8分∵1sin()14θπ-+≤≤∴22sin()24θπ-++≤22x y -++≤ ……9分∴x y +的取值范围是[22-++．……10分（B ）4－5：不等式选讲解：（1）当2a =时，()|2||1|f x x x =-++ ∴不等式化为|2||1|2x x x -++>+当1x -≤时，不等式可化为31x >-，解得：13x <-，此时不等式的解集为{|1}x x -≤； ……1分 当12x -<<时，解不等式得1x <，即此时不等式的解集为{|11}x x -<<； ……2分 当2x ≥时，解不等式得3x >，即此时不等式的解集为{|2}x x ≥； ……3分 综上述，原不等式的解集为{|12}x x x <或≥.……4分（2）若关于x 的不等式()2f x <的解集不是空集，即不等式()2f x <有解 ∴,|||1|2x x a x ∃∈-++<R 成立 ①……6分考虑命题①的否定：,|||1|2x x a x ∀∈-++R ≥ ∴|||1||1||1||1|x a x x a x a a -++---=--=+≥ 当且仅当()(1)0x a x -+≤时，等号成立……8分∴|1|2a +≥，解得：3a -≤或1a ≥……9分 ∴命题①成立时，实数a 的取值范围是(3,1)-．……10分。

12020-2021学年度第一学期高三年级数学学科第一次月考考试时间：120分钟；学校： 姓名： 班级： 考号：第I 卷(选择题)一、选择题(本大题共9小题，共45.0分)1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{0，1，2，3，4，5}，B ＝{x ∈R |x ≥3}，则A ∩∁U B ＝（ ） A ．{4，5}B ．{3，4，5}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3}2．已知α∈R ，则“cosα=−√32”是“α＝2kπ+5π6，k ∈Z ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若命题p ：∀x ≥0，e x +2x ﹣1≥0，则命题p 的否定为（ ） A ．∃x 0＜0，e x 0+2x 0﹣1＜0 B ．∀x ≥0，e x +2x ﹣1＜0 C ．∃x 0≥0，e x 0+2x 0﹣1＜0 D ．∃x 0＜0，e x 0+2x 0﹣1≥04．函数y ＝4xx 2+1的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．设a ＝30.7，b ＝(13)−0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b6．函数f（x）＝sin（2x﹣π3）+1，下列结论正确的是（）A．向右平移π6个单位，可得到函数y＝sin2x的图象B．y＝f（x）的图象关于（0，1）中心对称C．y＝f（x）的图象关于直线x＝5π12对称D．y＝f（x）在（π6，2π3）为增函数7．已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足C＝π3，a cos B＝b cos A，那么△ABC的形状一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．无法确定8．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π＝是奇函数，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．若g（x）的最小正周期为2π，且g（π4）＝√2，则f（3π8）＝（）A．﹣2B．﹣√2C．√2D．29．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），且当0≤x≤2时，f（x）＝min{﹣x2+2x，2﹣x}，若方程f（x）﹣（2t+1）x＝0恰有两个根，则t的取值范围是（）A．[−32，−23]∪[−13，12]B．(−32，−23)∪(−13，12)C．(−32，−23]∪[−13，12)D．[−32，−23)∪(−13，12]第II卷(非选择题)二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)10．函数y=13tan⁡(x−π4)的定义域是．2311.若α∈(0，π2)，sin (α−π4)=35,则cos2α= . 12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ），（ω＞0）的部分图象如图所示，则f （x ）的解析式为 ．13．已知函数f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝xlnx +1，则曲线y ＝f (x )在x ＝﹣1处的切线方程为 ．14．已知函数f (x )＝{x 2+4x ，x ≥04x −x 2，x <0若f （2﹣a 2）＞f （a ），则实数a 的取值范围为 ．15．已知函数f (x )＝{a −|x +1|，x ≤1(x −1)2，⁡⁡⁡x >1，函数g (x )＝2﹣f (x )，若函数y ＝f (x )﹣g (x )恰有4个零点，则实数a 的取值范围是三、解答题(本大题共5个题，共75.0分)16．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c cos C ＝a cos B +b cos A ． （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若△ABC 的面积为3√32，且a +b ＝5，求c ．17．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满200元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：一个袋子装有5只形状和大小均相同的玻璃球，其中两只是红色，三只是绿色，顾客从袋子中一次摸出两只球，若两只球都是红色，则奖励20元；共两只球都是绿色，则奖励10元；若两只球颜色不同，则不奖励．（1）求一名顾客在一次摸奖活动中获得20元的概率；（2）记X为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额，求随机变量X的分布列和数学期望．18．已知函数f（x）＝2sin x cos x+√3cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；]上的最大值和最小值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，π2]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．（Ⅲ）若函数g(x)＝f(x)﹣k在[0，π445619．如图，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝AD ＝1，AE ＝BC ＝2． （Ⅰ）求证：BF ∥平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E ﹣BD ﹣F 的余弦值为13，求线段CF 的长．20．已知函数f(x)=alnx +a+12x 2+1．（Ⅰ）当a =−12时，求f(x)在区间[1e ，e ]上的最值； （Ⅱ）讨论函数f(x)的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a ＜0时，有f (x )>1+a2ln⁡(−a)恒成立，求a 的取值范围．参考答案一、选择题(本大题共9小题,共45.0分) CBCADCCCB二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)10.⁡{x|x≠kπ+3π4，k∈Z}11.−242512.⁡f(x)＝sin（2x+π6） 13.x+y＝014.(−2，1) 15.(2，3]三、解答题(本大题共5个题，共75.0分).16.解：（Ⅰ）由正弦定理知，＝＝，因为2c cos C＝a cos B+b cos A，所以2sin C cos C＝sin A cos B+sin B cos A＝sin（A+B）＝sin C．因为sin C≠0，所以cos C＝，因为C∈（0，π），所以C＝．（Ⅱ）由知，，所以ab＝6，又a+b＝5，所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×6＝13，由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝13﹣2×6×＝7，所以c＝．17.解：（1）记一名顾客摸球中奖20元为事件A，则．（2）记一名顾客摸球中奖10元为事件B，不中奖为事件C，则，，78所以，，，，，X 0 10 20 30 40p所以E （X ）＝．18.解：（I ）由，得f （x ）的最小正周期为π． （II ）因为，所以 ，所以 ．从而 ．所以 当，即时，f （x ）的最大值为2；当，即时，f （x ）的最小值为．（III ）由，得，而函数f （x ）在上单调递增，，在上单调递减，f （x ）∈[1，2]，所以若函数g （x ）＝f （x ）﹣k 在上有两个不同的零点，则．19.（Ⅰ）证明：以A 为坐标原点，分别以，，所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，1，0），E（0，0，2）．设CF＝h（h＞0），则F（1，2，h）．则是平面ADE的法向量，又，可得．又∵直线BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE；（Ⅱ）解：依题意，，，．设为平面BDE的法向量，则，令z＝1，得．∴cos＜＞＝．∴直线CE与平面BDE所成角的正弦值为；（Ⅲ）解：设为平面BDF的法向量，则，取y＝1，可得，由题意，|cos＜＞|＝，解得h＝．经检验，符合题意．∴线段CF的长为．920.解：（Ⅰ）当a＝﹣时，，∴．∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）＝0得x＝1．∴f（x）在区间[，e]上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到，而f（1）＝，f（）＝，f（e）＝，∴f（x）max＝f（e）＝，f（x）min＝f（1）＝．（Ⅱ），x∈（0，+∞）．①当a+1≤0，即a≤﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；③当﹣1＜a＜0时，由f′（x）＞0得，∴或（舍去）∴f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当﹣1＜a＜0时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min＝f（）10即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a）即aln+﹣+1＞1+ln（﹣a），整理得ln（a+1）＞﹣1∴a＞﹣1，又∵﹣1＜a＜0，∴a的取值范围为（﹣1，0）．11。

三明一中2019～2020学年上学期月考一 高三理科数学试卷参考答案二、填空题(本题4小题，每小题5分,共20分) 13. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38 14. 10 6 15. 5. 16. 8三、解答题（共6题，70分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本题满分10分)解：（1）设向量a 与b 的夹角为θ，因为2=a ，==b ，所以cos θ⋅=⋅a b a b 22== 考虑到0πθ，得向量a 与b 的夹角4π． （2）若()λ-⊥b a a ，则()0λ-⋅=b a a ，即20λ⋅-=b a a ，因为2⋅=b a ，24=a ， 所以240λ-=，解得2λ=． 18.(本题满分12分)解：(1)()21cos cos sin 32+-=x x x x f x x 2cos 212sin 23-=3362sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx 又⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx 3626πππ≤-≤-∴x 3662cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴πx1cos 2cos 2cos 2266662x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=--⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦632233212336-=⨯-⨯=（2）由a c A b 32cos 2-≤，得a c bca cb b 3222222-≤-+⋅ac b c a 3222≥-+ 222cos 22a cb B ac +-∴=≥(0,)0,6B B ππ∈∴<≤从而得6626πππ≤-<-B 故()⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21,2162sin πB B f19.(本题满分12分)解 (1)设等差数列{a n }的公差是d ，∵a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6，∴d ＝－3. ∴a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得a 1＝－1. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2.(2)∵数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列，∴a n ＋b n ＝q n －1，即－3n ＋2＋b n ＝q n －1，∴b n ＝3n －2＋q n －1.∴S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1) ＝(31)2n n -＋(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)， 故当q ＝1时，S n ＝(31)2n n -＋n ＝3n 2＋n 2；当q ≠1时，S n ＝(31)2n n -＋1－qn1－q .20.(本题满分12分)解 (1)由AD →＝511DB →，且A ，B ，D 三点共线，可知|AD →|＝511|DB →|.又AD ＝5，所以DB ＝11.在Rt△ADC 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝75，在Rt△BDC 中，BC 2＝DB 2＋CD 2＝196， 所以BC ＝14.所以|AB →－AC →|＝|CB →|＝14. (2)由(1)，知|AB →|＝16，|AC →|＝10，|BC →|＝14. 由余弦定理，得cos A ＝102＋162－1422×10×16＝12.由m ＝AB →＋tAC →，n ＝tAB →＋AC →，知k ＝m n ⋅＝(AB →＋tAC →)·(tAB →＋AC →) ＝t |AB →|2＋(t 2＋1)AC →·AB →＋t |AC →|2＝256t ＋(t 2＋1)×16×10×12＋100t＝80t 2＋356t ＋80.由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝1时，k 取得最小值516.21.（本题满分12分)解析:（1）∵12,,n n S a +成等差数列，∴122n n S a +=+，当1n =时， 11224S a a ==+,122aa =+ 当2n ≥时， 112n n n n a S S --=-=， ∵{}n a 是等比数列，∴11a =,则212a+=，得2a =-, ∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -= ()*n N ∈ （2）由（1）得 ()()121212n n n b n a n -=-=-⋅， 则2311325272n T =⨯+⨯+⨯+⨯ ()1212n n -++-⋅，①232123252n T =⨯+⨯+⨯++ ()()1232212n n n n --⋅+-⋅，② ①-②得2112222n T -=⨯+⨯+⨯++ ()122212n n n -⨯--⋅()()2112222212n n n -=++++--⋅()()11421212n n n -=+---⋅ ()2323n n =--⋅-．∴()2323n n T n =-⋅+． 22.(本题满分12分)【解析】（1）()x f x e m '=-，若0m ≤，则()0f x '>，()f x 在(,)-∞+∞单调递增，所以()f x 无极值。

三明一中2019～2020学年上学期月考一高三 理科数学 试卷（总分150分，时间：120分钟）（注意：请将所有题目的解答都写到“答题卡”上）一、选择题(本题12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。

)1. 已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x ＜0}，则A ∪(∁R B )等于( )A.[－1，0]B.[1，2]C.[0，1]D.(－∞，1]∪[2，＋∞)2. 已知三点A (－1，－1)、B (3，1)、C (1，4)，则向量BC→在向量BA →方向上的投影为( )A.55B.－55C.21313D.－213133. 函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)4. 在正项等比数列{a n }中，3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则2019202020172018a aa a--等于( )A.3或－1B.9或1C.1D.95. 设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2，1)，则“a ＝(4，2)”是“a ∥b ”成立的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件6. 已知函数f (x )＝(14)x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数是( )A.1B.2C.3D.47. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，给出下列五个命题：①d <0；②S 11>0；③使S n >0的最大n 值为12；④数列{S n }中的最大项为S 11；⑤|a 6|>|a 7|，其中正确命题的个数是( )A.5B.4C.3D.18. 如图所示，在△ABC 中，D 为AB 的中点，F 在线段CD 上，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则1x ＋2y 的最小值为( )A.8＋2 2B. 6＋2 2C.6D. 89. 设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞10. 已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋1n 2＋3n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项为( )A.a n ＝1n ＋1B.a n ＝n n ＋1C.a n ＝12＋n －1n 2＋n ＋2 D.a n ＝n ＋1n ＋211. 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)其中A ＞0，|φ|＜π2的图象如图所示， 为了得到g (x )＝sin 2x 的图象，则只需将f (x )的图象( ) A.向右平移π6个长度单位 B.向左平移π6个长度单位 C.向右平移π3个长度单位 D.向左平移π3个长度单位12. 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( ) A.(－∞，－2]∪(－1，32) B. (－1，14)∪(14，＋∞) C. (－∞，－2]∪(－1，－34)D.(－1，－34)∪(14，＋∞)二、填空题(本题4小题，每小题5分,共20分)13. 已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2＜7am (a ＞0)，命题q ：实数m 满足方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________.14. 为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米.15. 已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，点P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为________.16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________.三、解答题（共6题，70分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本题满分10分)已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(cos sin αα-，cos sin αα+)．（1）求向量a 与b 的夹角； （2）若()b a λ-⊥a ，求实数λ的值．已知向量()()23cos ,1,sin ,cos m x n x x =-=，函数()12f x m n =⋅+.（1）若()0,,43x f x π⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，求cos 2x 的值；（2）在ABC ∆中，角A,B,C 对边分别是,,a b c ，且满足2cos 2b A c ≤， 求()f B 的取值范围.19.(本题满分12分)在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列，求{b n }的前n 项和S n .20.(本题满分12分)在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD →＝511DB →. (1)求|AB→－AC →|； (2)存在实数t ≥1，使得向量m ＝AB →＋tAC →，n ＝tAB →＋AC →，令k ＝m n ⋅，求k 的最小值.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12,,n n S a +成等差数列()*n N ∈． （1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若()1n n b an a =-+ 求数列{}n b 的前n 项和n T ．22.(本题满分12分)已知函数()(1)1()x f x e m x m R =-++∈.（1）若函数()f x 的极小值为1，求实数m 的值； （2）当0x ≥时，不等式()ln(1)02mf x x ++≥恒成立，求实数m 的取值范围.草稿纸。

2020-2021学年上学期高三第一次月考数学答案一、选择题：1-4:CACD 5—8:BDAB 9:BC 10:ABD 11:BC 12:AD 二、填空题：13、 3365 14、3π15、 32πϕ= 16、>三、解答题：17.（本小题满分10分）解：（1）将代入圆的方程得：y = 在第四象限，∴y =由任意角三角函数的定义得：tan yxθ==……………………………………5分 （2）cos()cos(2)sin cos 2sin cos()sin cos πθθπθθθπθθθ-+-+=++-，由任意角三角函数的定义得：sin 2θ=-，1cos 2θ=，将之代入上式得：1sin cos 2sin cos θθθθ++===-…………………10分18.（本小题满分12分）（1）由题可知()f x 和x 轴两交点为()0,0，()4,0，………2分 故可设()()()40f x ax x a =-≠，…………………………………………3分 由题可知：()()222441f a a =⨯⨯-=-⇒=，………………………………4分 所以()24f x x x =-．…………………………………………6分（2）设()()()()343g x f x t t x t x t t =++=++-+， 则()0g x ≤在[]2,4上恒成立，故有()()()()()()2222243340404444370g t t t t t t g t t t t t ⎧=++-+=+-≤⎪⇒-≤≤⎨=++-+=+≤⎪⎩．…………………12分 ),21(y P 122=+y x ),21(y P19.（本小题满分12分） 解：ABC △中，由sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+ 得sin 2sin cos sin cos cos sin sin cos B B C A C A C A C +=++sin sin cos B A C =+ ………………………………………………………1分∴(2sin sin )cos 0B A C -=…………………………………………………………2分 ∵ABC △不是直角三角形 ∴cos 0C ≠∴2sin sin B A =………………………………………………………………………3分 即2a b =………………………………………………………………………4分∵1b = ∴2a =………………………………………………………………………6分 选①：由1cos 2B =，及0B π<< 得3B π=………………………………………8分由sin sin b aB A= 得sin 1A =>……………………………………………………10分 不合理，故ABC △不存在．……………………………………………………12分 选②：由1cos 2C =得c ==8分 ∴222b c a +=………………………………………………………………………10分 ∴A 为直角，不合题设，故ABC △不存在．…………………………………12分选③：由cos 2C =得c ==12分． 20. （本小题满分12分）（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,A ωϕ===-. 数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-． …………………………………………6分（Ⅰ）由（Ⅰ）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ． 令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=， 解得ππ23k θ=-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6．……………12分 21.（本小题满分12分）解：（1）∵2299()sin cos 1cos cos 88f x x x x x =+-=-+-21cos cos 8x x =-+-， ∴211()cos 28f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∵[]0,x π∈，∴1cos 1x -≤≤，∴171()88f x -≤≤， ∴()f x 的值域为171,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.…………………………………………6分 （2）∵函数21()cos cos 8f x x x =-+-，[]0,x π∈的图像向左平移2π个单位长度后得到函数()h x 的图像， ∴21()cos cos 228h x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21sin sin 8x x =---，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 依题意，不等式()()sin 2m f x h x x >++在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解， 设5()()sin 2cos sin sin 24y f x h x x x x x =++=--+ 52sin cos cos sin 4x x x x =+--，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令cos sin 4t x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]1,1t ∈-，则221142y t t t ⎛⎫=-+-=-- ⎪⎝⎭，[]1,1t ∈-，∴函数()()sin 2y f x h x x =++的值域为9,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.∴min 94m y >=-，故实数m 的取值范围为9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.…………………………………12分 22. （本小题满分12分） 解：（1）1a =， ∴1()ln ,(0)f x x x x =+> ∴22111'()x f x x x x-=-+= ……1分 令'()0f x =，得1x =当x 变化时，(),'()f x f x 的变化情况如下表：分 ∴当1x =时，函数()f x 有极小值1；函数()f x 的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)+∞； ………………5分 （2）若在区间(0,]e 上至少存在一点0x ，使0()0f x <成立，即()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0 ………………6分221()1'(),(0)a x a a f x a x x x-=-+=≠令'()0f x =，得1x a = …………7分 ①当0a <时，'()0f x < ∴函数()f x 在区间(0,]e 上单调递减∴函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11()ln f e a e a e e=+=+∴由1()0f e a e =+<得1a e <-，即1(,)a e ∈-∞- ………8分②当0a >时，（i ）当1e a ≤即10a e<≤时，'()0f x ≤∴函数()f x 在区间(0,]e 上单调递减 ∴函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11()ln 0f e a e a e e=+=+>显然，这与()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0不符 ……9分（ii ）当10e<<即1a >时 当x 变化时，的变化情况如下表：∴函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值为()lnf a a aa =+………10分∴由11()ln 0f a a a a=+<，得a e >，即(,)a e ∈+∞ ……………11分∴综上述，实数a 的取值范围是1(,)(,)e e-∞-+∞． ………………12分)(),(x f x f '。

2024-2025学年福建省三明一中高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|−2<x <3}，B ={x|x 2−5x <0,x ∈N}，则A ∩B =( )A. {x|0<x <3}B. {x|−2<x <5}C. {0,1,2}D. {1,2}2.已知函数y =a x +3+3(a >0，且a ≠1)的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则cosα=( )A. 35B. −35C. 45D. −453.已知α∈(0,π2),3sin 2α=cos 2α+1，则tan 2α=( )A.2B.3C. 34D. 434.某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数R 与可见叶片数x 进行分析研究，其关系可以用函数R =15e ax (a 为常数)表示．若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片，叶龄指数为30，则当玉米幼穗在四分体形成期叶龄指数为82.5时，可见叶片数约为( )(参考数据：ln2≈0.7，ln5.5≈1.7)A. 15B. 16C. 17D. 185.设x 、y ≥1，a >1，b >1.若a x =b y =3，a +b =23，则1x +1y 的最大值为( )A. 2B. 32C. 1D. 126.已知函数f(x)=−x 3+2x 2−x ，若过点P (1,t )可作曲线y =f (x )的三条切线，则t 的取值范围是( )A. (0,130)B. (0,129)C. (0,128)D. (0,127)7.已知α，β∈(0,π)，且cos α=−7 210，tan (α−β)=13，则α−2β=( )A. −π4或3π4B. −3π4 C. −π4 D. −3π4或π48.已知函数f(x)=2x +2−x +cosx +x 2，若a =f(5ln 4π)，b =f(4ln 5π)，c =f(5lnπ4)，则( )A. c <b <aB. b <c <aC. c <a <bD. b <a <c二、多选题：本题共3小题，共15分。

福建省三明市第一中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}A a =，则有（ ） A ．0A ∈B ．a A ∈C ．a A ∉D ．a A =2．已知函数2,0()1,0x x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，则(1)f -的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．函数()f x = ）A ．2x ≥B ．2x >C ．[)2,+∞D ．()2,+∞4．设全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2A =，{}2,3,4B =，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}1,2,5,6B ．{}1C ．{}2D ．{}1,2,3,45．已知一次函数()f x 满足(1)0f -=，(0)2f =-，则()f x 的解析式为（ ） A ．()22f x x =+ B ．()22f x x =-- C ．()22f x x =-D ．()22f x x =-+6．下列各式正确的是（ ）A 3=-B a =C ．32=-D 2=7．某种产品今年的产量是a ，如果保持5%的年增长率，那么经过x 年()*x N ∈，该产品的产量y 满足（ ） A ．(15%)y a x =+ B ．5%y a =+ C ．1(15%)x y a -=+D ．(15%)x y a =+8．函数()f x =2019x =的交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．29．二次函数2y ax bx =-与指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（0ab ≠且||||a b ≠）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数是(2)4,1()4,1a x a x f x a x x--<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩是(,)-∞+∞上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞ B ．(],0-∞C ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭二、多选题11．下列四个选项中正确的是（ ） A ．{}{},a b ∅⊆B ．(){}{},,a b a b =C ．{}{},,a b b a ⊆D ．{}0∅⊆12．对于定义在R 上的函数()f x ，下述结论正确的是（ ） A ．若()f x 是奇函数，则(0)0f =B ．若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，则()f x 为偶函数C ．若对任意()1212,x x R x x ∈≠，有()()12120f x f x x x -<-，则()f x 是R 上的减函数 D ．若函数()f x 满足(2)(1)(0)(1)(2)f f f f f -<-<<<，则()f x 是R 上的增函数三、填空题13．12019(0.96)24-⎛⎫--+= ⎪⎝⎭________.14．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2xf x x =+，则()1f -=________.15．设函数1()11x x e f x e -=++，且[]1,1x ∈-，则()f x 的最大值与最小值之和是______.四、双空题16．函数()f x =________，()3g x x =-的值域是________.五、解答题 17．已知集合{}|3A x a x a =≤≤+，{|2B x x =<-或}6x >.（1）若5a =，求A B ；（2）若AB =∅，求实a 的取值范围.18．（10a >）；（2）计算1211133442436x x y x y -⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（其中0x >，0y >）.19．已知函数()x x f x a a -=+（0a >且1a ≠）. （1）若(1)3f =，求(2)f ；. （2）若2a =，17()4f m =，求m 的值. 20．函数2()1ax bf x x+=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；.（2）若()f x 在()1,1-上是增函数，求使()2(1)10f m f m -+-<成立的实数m 的取值范围.21．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，2()2f x x x =+. （1）写出函数()()f x x R ∈的解析式；（2）若函数()()22g x f x ax =-+，[1,2]x ∈；求()g x 的最小值.22．已知函数1()(0)f x x x x=-≠. （1）判断()f x 在区间(0,)+∞的单调性，并用定义证明；.（2）若对任意[2,0)x ∈-，都有()f x a >成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．B 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，选出正确选项. 【详解】由于{}A a =，故a 是集合A 的元素，0不一定是集合A 的元素，所以A 选项错误、B 选项正确、C 选项错误.而a 是元素，A 是集合，故D 选项错误. 故选B. 【点睛】本小题主要考查元素与集合的关系，属于基础题. 2．A 【分析】根据分段函数的概念，求得()1f -的值. 【详解】依题意()1110f -=-+=. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查分段函数的函数值的求法，属于基础题. 3．C 【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数列不等式，解不等式求得函数的定义域. 【详解】依题意20x -≥，解得2x ≥，故函数的定义域为[)2,+∞，定义域要用区间或集合来表示，故A 选项错误.. 故选:C. 【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查数学符号的正确使用，属于基础题. 4．B【详解】试题分析：由韦恩图可知，图中阴影部分可表示为()U C B A ⋂且{}1,5,6U C B = {},1,2A = 所以(){}1U C B A ⋂= 故选B ．考点：1、集合的交集、并集、补集运算；2、韦恩图表示集合． 【方法点晴】本题主要考查的是韦恩图表示集合和集合的交集、并集、补集运算，属于容易题，首先要把韦恩图中的阴影部分翻译为集合语言()U C B A ⋂ ，再进行集合的补集，交集运算．本题也可以直接在韦恩图中标出阴影部分的所以元素，从而直接得到答案． 5．B 【分析】设出一次函数解析式，根据题目所给条件列方程组，解方程组求得()f x 解析式. 【详解】设一次函数()f x kx b =+，依题意02k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得2k b ==-，所以()22f x x =--.故选：B. 【点睛】本小题主要考查待定系数法求一次函数解析式，考查方程的思想，属于基础题. 6．C 【分析】根据根式化简公式，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A 3=，所以A 选项错误.对于B a =，故B 选项错误.对于C 选项，32=-，故C 选项正确.对于D 2=-，故D 选项错误.故选C. 【点睛】本小题主要考查根式化简，考查运算求解能力，属于基础题. 7．D 【分析】根据增长率，求得经过x 年后的产量. 【详解】今年产量为a ，经过1年后产量为()15%y a =+，经过2年后产量为()215%y a =+，以此类推，经过x 年后产量为()15%xy a =+. 故选D. 【点睛】本小题主要考查指数增长，考查实际生活中的数学应用问题，属于基础题. 8．A 【分析】求得函数()f x 的定义域，由此判断出正确选项. 【详解】由220x -≥，解得x ≤≤，故函数()f x 的定义域为⎡⎣，而2019x =不在函数()f x 的定义域内，故()f x =2019x =的交点个数为0个.故选：A. 【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查函数的定义，属于基础题. 9．A 【分析】对选项中的图像逐一分析，由此判断出正确选项. 【详解】对于A 选项，根据二次函数图像可知0,01b a a ><<，所以指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，故A 选项正确.对于B 选项，根据二次函数图像可知0,01ba a<<<，所以指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，故B 选项错误.对于C 、D 两个选项，根据二次函数图像可知0b a <，与指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义矛盾，故C 、D 两个选项错误.故选：A.【点睛】本小题主要考查二次函数与指数函数图像分析，考查指数函数的定义和单调性，属于基础题. 10．D 【分析】根据分段函数在R 上递增列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】由于()f x 在R 上递增，故()20021441a a aa a ⎧⎪->⎪<⎨⎪⎪-⨯-≤+⎩，解得103a -≤<.故选D. 【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查一次函数、反比例函数的单调性，属于基础题. 11．CD 【分析】根据子集、集合相等的知识对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，集合{}∅的元素是∅，集合{},a b 的元素是,a b ，故没有包含关系，A 选项错误.对于B 选项，集合(){},a b 的元素是点的坐标，集合{},a b 的元素是,a b ，故两个集合不相等，B 选项错误.对于C 选项，两个集合是相等的集合，故C 选项正确.对于D 选项，空集是任何集合的子集，故D 选项正确. 故选：CD. 【点睛】本小题主要考查子集的概念，考查集合相等的条件，属于基础题. 12．ABC 【分析】根据函数的单调性和奇偶性的知识，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，所以A 选项正确.对于B 选项，()1f x -图像向左平移一个单位得到()f x 的图像，而()1f x -关于直线1x =对称，故()f x 关于0x =对称，也即()f x 为偶函数，故B 选项正确. 对于C 选项，根据减函数的定义可知，C 选项正确.对于D 选项，()()()()()21012f f f f f -<-<<<只是函数的部分函数值，无法确定函数是递增函数递减，故D 选项错误. 故选ABC. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，属于基础题. 13．1 【分析】根据指数运算的知识化简所求表达式，由此求得表达式的值. 【详解】依题意原式1223131112222⎡⎤⎛⎫=-+=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故填：1. 【点睛】本小题主要考查指数运算，考查运算求解能力，属于基础题. 14．3- 【分析】根据奇偶性，先计算(1)f ，再计算()1f - 【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-. 因为当0x >时，()2xf x x =+所以()()()11213f f -=-=-+=-. 故答案为3- 【点睛】本题考查了奇函数的性质，属于常考题型.15．2. 【分析】先利用分离常数法分离常数，由此判断出函数的单调性，进而求得函数的最大值和最小值，由此求得两者的和. 【详解】 依题意()221x f x e =-+，故函数在[]1,1-上递增，最小值为()2121ef e-=-+，最大值为()2121f e=-+，故()()11422f f +-=-=. 故填：2. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查分离常数法，考查函数最大值和最小值的求法，属于基础题.16．[)0,+∞ (],4-∞ 【分析】根据偶次方根为非负数求得()f x 的值域，根据()g x 的定义域和单调性求得()g x 的值域. 【详解】对于()0f x =≥对任意1x ≤成立，故()f x 的值域是[)0,+∞.对于()3g x x =-，由于函数()g x 在(],1-∞上为增函数，且()14g =，故()(],4g x ∈-∞.故填：（1）[)0,+∞；（2）(],4-∞. 【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查函数的单调性，属于基础题. 17．(1) {|2A B x x ⋃=<-或}5x ≥. (2) [2,3]- 【分析】（1）当5a =时，求得集合A ，然后求A B .（2）由于A B =∅，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】（1）若5a =，则{}|58A x x =≤≤， 又{|2B x x =<-或}6x >. 所以{|2A B x x ⋃=<-或}5x ≥.（2）因为{}|3A x a x a =≤≤+，{|2B x x =<-或}6x >，A B ⋂=∅所以236a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得23a -≤≤.所以实数a 的取值范围是[]2,3-. 【点睛】本小题主要考查集合并集的运算，考查两个集合的交集为空集问题的求解，属于基础题. 18．(1) 38a (2) 2y【分析】（1）将根式化为指数式，然后根据指数运算公式，化简所求表达式.（2）根据指数运算公式对表达式进行化简，由此求得表达式的值. 【详解】解：（1）原式11112311113222822244a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥==⋅=⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）原式()121110133442124326xy x y y --+--⎛⎫=⨯-⨯-⋅⋅== ⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查根式化简，考查指数运算，考查运算求解能力，属于基础题. 19．(1) (2)7f = (2) 2m =-或2m =. 【分析】（1）利用()13f =得到13a a +=，对其两边平方后求得221a a+，也即求得()2f 的值.（2）根据题意写出()f x 解析式，利用()174f m =列方程，通过换元法，结合一元二次方程的根，求得m 的值.【详解】解：（1）因为()113f a a=+=， 所以219a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即22129a a ++=，所以2217a a +=，即()27f =. （2）若2a =，则()22xxf x -=+，由()174f m =得17224m m-+=， 令2(0)mt t =>，则1174t t +=，即241740t t -+=，整理得()()4140t t --=， 所以14t =或4t =，即124m=或24m =， 所以2m =-或2m =. 【点睛】本小题主要考查指数运算，考查完全平方公式，考查换元法解方程，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.20．(1) 2()1xf x x=+，(1,1)x ∈-. (2) (. 【分析】（1）根据奇函数的定义得到()00f =，由此求得b 的值，再结合1225f ⎛⎫=⎪⎝⎭列方程求得a 的值，由此求得()f x 的解析式.（2）利用函数的奇偶性化简()()2110f m f m-+-<，得到()()211f m f m -<-，再根据函数的定义域和单调性列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围. 【详解】解：（1）∵函数()21ax bf x x+=+是定义在()1,1-上的奇函数， ∴()00,f =，∴0b =， ∴()21axf x x =+，()1,1x ∈-，又因为1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即21225112a=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以1a =， 经检验，()21xf x x =+（()1,1x ∈-）是奇函数， ∴()21xf x x =+，()1,1x ∈-. （2）因为()f x 在()1,1-上是奇函数，所以()()2211f m f m-=--.因为()()2110f m f m-+-<，所以()()2110f m f m---<，即()()211f m f m -<-，又因为()f x 在()1,1-上是增函数，所以2211211110211100m m m m m m m m m ⎧⎧-<--⎪⎪-<-<⇒<<⎨⎨⎪⎪-<-<<<<<⎩⎩或或，所以不等式的解集为(. 【点睛】本小题主要考查已知函数的奇偶性求函数解析式，考查函数的单调性，考查函数不等式的求解策略，属于中档题.21．(1) 222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩ (2) 2min12,0,()21,01,24, 1.a a g x a a a a a -≤⎧⎪=--+<<⎨⎪-≥⎩【分析】（1）利用函数为偶函数()()f x f x =-，求得当0x >时函数的解析式，由此求得函数()f x 的解析式.（2）利用配方法化简()g x 的解析式，根据其对称轴1x a =+与区间[]1,2的位置关系进行分类讨论，结合二次函数的性质求得()g x 的最小值的表达式. 【详解】解：（1）0x >时，0x -<，∵()f x 为偶函数，∴()()22f x f x x x =-=-，∴()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩. （2）[]1,2x ∈时，()()()2222222212121g x x x ax x a x x a a a ⎡⎤=--+=-++=-+--+⎣⎦， 对称轴1x a =+，①当11a +≤时，即0a ≤时，()g x 在区间[]1,2上单调递增， 所以()()min 112g x g a ==-：②当112a <+<，即01a <<时，()g x 在区间[]1,1a +上单调递减，在区间[]1,2a +上单调递增，所以()()2min 121g x g a a a =+=--+：③当12a +≥，即1a ≥时，()g x 在区间[]1,2上单调递减， 所以()()min 224g x g a ==-.综上所述，()2min12,0,21,01,24, 1.a a g x a a a a a -≤⎧⎪=--+<<⎨⎪-≥⎩【点睛】本小题主要考查已知函数的奇偶性求函数的解析式，考查二次函数最小值的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.22．(1) ()f x 在区间(0,)+∞单调递增，证明见解析；(2) 3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用单调性的定义，计算得()()120f x f x -<，由此判断函数在()0,∞+上递增.（2）根据（1）的结论，结合函数为奇函数，判断出函数在[)2,0-上递增，由此求得函数在区间[)2,0-上的最小值，进而求得a 的取值范围.【详解】解：（1）()f x 在区间()0,+∞单调递增，证明如下：任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <， 则()()12121211f x f x x x x x -=--+ ()121211x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()()1212121x x x x x x -+=因为120x x <<，所以120x x -<，1210x x +>，120x x >，所以()()12121210x x x x x x -+<，即()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，所以()f x 在区间()0,+∞上单调递增.（2）因为()f x 的定义域是()(),00,-∞⋃+∞，对定义域内的每一个x ，都有()()1f x x f x x-=-+=- 所以()f x 是奇函数.由（1）知()f x 在区间()0,+∞上单调递增，故()f x 在区间(),0-∞上单调递增. 所以()f x 在区间[)2,0-上单调递增， 所以()()min 132222f x f =-=-+=-， 所以32a <-， 即实数a 的取值范围是3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查函数的奇偶性，属于中档题.。

三明一中高三文科数学上学期第一次抽考试卷（附解析）三明一中2021年高三文科数学上学期第一次月考试卷（附答案）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个项符合题目要求，请把正确选项的代号填在答题卷相应的位置上)1、已知向量，，则的充要条件是( )A. B. C. D.2、已知，的终边落在第一象限，则等于( )A. B. C. D.5、函数的图像的一条对称轴是( )A. B. C. D.6、下列关于向量的说法正确的是( )A.若|a|=|b|，则a=bB.若|a||b|，则abC.若a//b且b//c，则a//cD.若a= b (b 0)，则a//b7、已知中，a、b、c是角所对的边，若，，那么角等于( )A. 或B. 或C.D.8、已知，则的最小值为( )A. B. C. D.9、已知|a|=1，|b|=4，且ab= ，则a与b所成的夹角为( )A. B. C. D.10、函数是由的图像通过如何样的平移变换得到的( )A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案直截了当写在答题卷相应位置上)13、函数，，其值域为.14、已知中，a、b、c是角所对的边，，则角等于.15、若，则.16、已知函数的图象过点，若有4个不同的正数满足，且，则等于.三、解答题(本大题共6题，共74分.解承诺写出文字说明，证明推理过程或演算步骤)17、(本小题满分12分)已知a=(1，1)，b=(x，1)，u=a+2b，v=2a-b.(Ⅰ)若u∥v，求x;(Ⅱ)若(a+ b)(a b)，求x.18、(本小题满分12分)已知中，角所对的边为a、b、c，，，.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求边.20、已知函数.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求函数的最小正周期及对称轴方程;(Ⅲ) 当时，求的值域21、(本小题满分12分)设是锐角三角形，a、b、c是角所对的边，同时.(Ⅰ)求角的值;(2)若，，求边(其中).22、(本小题满分14分)已知函数，且在上的最大值为.(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)判定函数在内零点个数，并加以证明.草稿纸2021~2021学年三明一中高三上学期第一次月考文科数学参考答案18、(满分12分)解(Ⅰ)依题意由cos C=34，C 得sin C=74..(3分，未写C角取值范畴扣1分)因此sin A= =1742=148.(6分)(Ⅱ)法一(余弦定理)：由，..(8分)得....(10分)解得，或(明显不成立，舍去)...(12分)法二(正弦定理)：由a因为sin A=148，因此cosA= (8分)sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= ..(10分)故.(12分)本题不建议使用法二正弦定理，在两边一角问题上，应倾向于选择余弦定理化二次方程求解，更简洁!20、(满分12分)解：依题意....(2分)..(4分)(Ⅰ) .(6分)注意，有些同学可能先代入原式求值，答案对的酌情给分，最多2分。

2021届福建省三明第一中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题 1．已知复数)2i z =，则z =（ ）．A ．12B ．1CD ．2【答案】B【解析】根据复数的运算法则进行化简，进而利用求模的方法求解即可. 【详解】解：由)i 2z =，得221422ii z i ====-. 则1z ==.故选：B. 【点睛】本题考查复数的相关运算，考查运算能力，属于基础题. 2．下列函数中，周期为2π的奇函数为（ ）． A ．sincos 22x xy = B ．2sin y x = C ．tan 2y x = D ．sin 2cos2y x x =+【答案】A【解析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，进而利用奇偶性和周期性判断即可. 【详解】解：对于选项A ，11sincos 2sin cos sin 222222x x x x y x ==⨯⨯⋅=，则2221T πππω===，且()11sin sin 22x x -=-是奇函数，所以A 选项正确； 对于选项B ，21cos 2sin 2x y x -==，则222T πππω===，且()1cos 21cos 2x x---=是偶函数，所以B 选项错误；对于选项C ，tan 2y x =，则2ππT ω==，且()tan 2tan 2x x -=-是奇函数，所以C 选项错误；对于选项D ，sin 2cos 2222224y x x x x x π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，则222T πππω===()2244x x ππ⎡⎤⎛⎫-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭是非奇非偶函数，所以D 选项错误. 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查三角函数的奇偶性和周期性，属于中档题.3．在ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222a b c ab +=-，则角C 为（ ）A ．6πB ．3π C ．56π D ．23π 【答案】D【解析】根据题意，由余弦定理，即可得出结果. 【详解】由222a b c ab +=-得222a b c ab +-=-，由余弦定理，可得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，因此23C π=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由余弦定理解三角形，属于基础题型.4．如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分．若往该图案内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为（ ）．A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C【解析】利用六角星的中心点把阴影部分分成六个小等边三角形，观察可得. 【详解】 如图，设六角星的中心点为O ，分别将点O 与两个等边三角形的六个交点连接起来，则将阴影部分分成了六个全等的小等边三角形，并且与其余六个小等边三角形也是全等的，所以所求的概率12P =， 故选：C. 【点睛】此题考几何概型的概率计算，属于简单题. 5．已知()sin π3cos θθ+=-，π2θ<，则θ等于（ ）． A ．π6-B ．π3-C ．π6D ．π3【答案】D【解析】根据诱导公式，以及同角三角函数的商数关系，将原式化为tan 3θ=，结合角的范围，即可得出结果.由()sin πθθ+=得sin θθ-=，则tan θ= 又π2θ<，所以π3θ=.故选：D. 【点睛】本题主要考查由三角函数值求角，熟记同角三角函数基本关系，以及诱导公式即可，属于基础题型.6．将两枚均匀的骰子投掷一次所得的点数分别为m ，n ．已知6+≥m n ，则7m n +=的概率为（ ）． A ．17B ．16C ．213D ．313【答案】D【解析】根据题意，列举出满足6+≥m n 的基本事件，以及满足7m n +=的基本事件，基本事件个数比即为所求概率. 【详解】由题意，满足6+≥m n 的基本事件有：()1,5，()1,6，()2,4，()2,5，()2,6，()3,3，()3,4，()3,5，()3,6，()4,2，()4,3，()4,4，()4,5，()4,6，()5,1，()5,2，()5,3，()5,4，()5,5，()5,6，()6,1，()6,2，()6,3，()6,4，()6,5，()6,6；共26个基本事件；满足7m n +=的基本事件有：()1,6，()6,1，()2,5，()5,2，()3,4，()4,3；共6个基本事件；则6+≥m n 时，7m n +=的概率为632613P ==. 故选：D. 【点睛】本题主要考查求古典概型的概率，属于基础题型.7．ABC 中90C ∠=︒，2AC =，P 为线段BC 上任一点，则AP AC ⋅=（ ）． A ．2 B ．4C ．8D ．不确定【答案】B【解析】由()AP AC AC AC CP ⋅=⋅+结合数量积的运算求解即可.()2||4AP AC AC AC CP AC AC CP ⋅=⋅+=+⋅=故选：B 【点睛】本题主要考查了利用定义求数量积，属于基础题.8．已知函数()2sin f x x ω=在区间ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的取值范围是（ ）． A ．(]3,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭B ．32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)3,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦D ．3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】先根据x 的取值范围写出x ω的范围，根据函数在区间ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，对ω分类讨论得出结果.【详解】解：当0>ω时，34x ππωωω-≤≤，由题意可知32ππω-≤-，即32ω≥. 当0ω<时，43x ππωωω≤≤-，由题意可知42ππω≤-，即2ω≤-.综上所述，ω的取值范围为(]3,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查正弦函数的单调性和最值问题，考查转化思想，运算能力，属于基础题.二、多选题9．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）．B ．3i 1i +>+C ．若()2z=12i +，则复平面内z 对应的点位于第四象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 【答案】AD【解析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简11z z -=+，得出0x =，从而判断D. 【详解】234110i i i i i i +++=--+=，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；()221424341z i i i i =++=+-+=，则34z i =--，其对应复平面的点的坐标为(3,4)--，位于第三象限，则C 错误；令,,z x yi x y R =+∈，|1||1z z -=+∣， 2222(1)(1)x y x y ∴-+=++，解得0x =则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线，D 正确； 故选：AD 【点睛】本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于中档题.10．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则以下结论正确的是（ ）．A ．0HD BF ⋅=B ．2OA OD ⋅=-C ．2OB OH OE +=- D ．22AH FH -=-【解析】结合向量知识判断,即可得出答案. 【详解】对A ，因八卦图为正八边形，故中心角为45°，90FOD ∠=︒, ∴0HD BF ⋅=，故A 对；由上得31354AOD π∠=︒=，3cos 42OA OD OA OD π⋅=⋅=-，B 对； 对C ，OB 与OH 的夹角为90°，又因OB OH =，根据平行四边形法则22OB OH OA OE +==-，C 对；对D ，||AH FH AH HF AF -=+=，34AOF π∠=，AOF ∆中，由余弦定理可得22232cos24AF OA OF OA OF π=+-⋅=+AF =D 错； 故选:ABC 【点睛】本题考查向量的基础知识，向量线性运算的基本法则，余弦定理解三角形，属于中档题. 11．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下说法中正确的是（ ）． A ．若A B >，则sin sin A B >B ．若4a =，5b =，6c =，则ABC 为钝角三角形 C ．若5a =，10b =，π4A =，则符合条件的三角形不存在 D ．若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC 为直角三角形 【答案】ACD【解析】利用正余弦定理逐一判断即可. 【详解】若A B >，则a b >，所以由正弦定理可得sin sin A B >，故A 正确；若4a =，5b =，6c =，则222c a b <+，所以角C 为锐角，即ABC 为锐角三角形，故B 错误；若5a =，10b =，π4A =，根据正弦定理可得sin 10sin 152b A B a ==⨯=>所以符合条件的三角形不存在，即C 正确若cos cos sin b C c B a A +=，则2sin cos sin cos sin B C C B A +=，故选：ACD 【点睛】本题主要考查的是正余弦定理，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单. 12．设函数()()πsin 05f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点．下面论述正确的是（ ）．A ．()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点B ．()f x 在()0,2π有且仅有2个极小值点C ．()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D ．ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】ACD【解析】结合正弦函数的图像和性质可判断A ，B 选项，根据()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，可得5265πππωπ≤+≤，解出ω，可判断D ，由0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得(2),5510x ππωπω+⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，而要()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，从而可得(2)102ωππ+<，进而可求出ω的范围，可判断C 【详解】解：当[]0,2πx ∈时，2555x πππωπω≤+≤+，因为()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，所以()f x 在[]0,2π上有且仅有3个极大值点，而极小值点有2个或3 个，所以A 正确，B 错误； 因为5265πππωπ≤+≤，所以1229510ω≤<，所以D 正确； 当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 若()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，则(2)102ωππ+<，得3ω<，而1229510ω≤<，所以C 正确，此题考查了三角函数的图像与性质，考查计算能力，属于中档题三、填空题13．6(2)+x y 的展开式中， 24x y 的系数为__________． 【答案】60【解析】利用二项式展开式通项确定满足条件的系数． 【详解】二项式（2x+y ）6的展开式中，展开式的含x 2y 4的项为()244246260C x y x y =，所以含x 2y 4的项的系数是60. 故答案为60． 【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，属于基础题．14．来自甲、乙、丙3个班级的5名同学站在一排照相，其中甲班有2名同学，乙班有2名同学，丙班有1名同学，则仅有甲班的同学相邻的站法种数为______． 【答案】24【解析】先排甲班和丙班同学，再由插空法，即可得出结果. 【详解】将甲班相邻两同学和丙班同学进行排列，共有2222A A 种站法，产生3个空； 再将乙班两名同学进行插空，则有23A 种站法，则满足题意的站法共有：22222324A A A =种.故答案为：24. 【点睛】本题主要考查位置有限制的排列问题，利用捆绑法和插空法求解即可，属于基础题型. 15．在扇形OAB 中，π3AOB ∠=，C 为弧AB 上的动点，若OC xOA yOB =+，则3x y +的取值范围为______．【答案】[]1,3【解析】不妨设1OB =，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，令COB θ∠=，则0,60θ⎡⎤∈， 则33cos x y θθ+=+，易知()33cos sin3fθθθ=-为减函数，即可得出结果.【详解】由题意可知，在扇形OAB中，60AOB∠=︒，C为弧AB上的一个动点. 不妨设1OB=，以O为原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，令COB θ∠=，则0,60θ⎡⎤∈⎣⎦，()10B,，132A⎛⎝⎭,()cos,sinCθθ，又OC xOA yOB=+，则cos23sinxyxθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则cos33yxθθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则333cosx yθθ+=+，又0,60θ⎡⎤∈⎣⎦，易知()33cosfθθθ=为减函数，由单调性易得其值域为[]1,3.故答案为：[]1,3.本题主要考查了向量的坐标运算及三角变换.属于中档题.四、双空题16．已知平面向量a 、b ，其中2a =，1b =，,3a b π<>=，则2a b -=______；若t 为实数，则a tb +的最小值为______．【答案】2【解析】利用平面向量的数量积计算()222a b a b -=-的值，计算出2a tb +关于t的函数表达式，利用二次函数的基本性质可求得a tb +的最小值. 【详解】2a =，1b =，,3a b π<>=，则()2222222444cos43a b a b a a b b a a b bπ-=-=-⋅+=-⋅+2==，()22222222222cos243a tb a tbt b ta b a t b t a b a t t π+=+=+⋅+=+⋅+=++()213t =++，因此，当1t =-时，a tb +取最小值故答案为：2. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求模以及模的最值，考查二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.五、解答题17．已知()1,2a =，()1,3b =-，()3,2c =-． （1）求向量a 与2a b +所成角的余弦值； （2）若()()2//a b b kc ++，求实数k 的值．【答案】（1）13；（2）522k =. 【解析】（1）求出平面向量2a b +的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得向量a 与2ab +所成角的余弦值；（2）求出向量b kc +的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于实数k 的等式，进而可求得实数k 的值. 【详解】 （1）()1,2a =，()1,3b =-，()21,8a b ∴+=-，则()()2112815a a b ⋅+=⨯-+⨯=，212a =+=()2218a b +=-=设向量a 与2a b+所成角为θ，则()2cos 52a a ba a bθ⋅+===⨯⋅+，所以向量a 与2a b + （2）()1,3b =-，()3,2c =-，则()31,32b kc k k +=--，又()21,8a b +=-，且()()2//a b b kc ++，则()()()132831k k -⨯-=-，解得522k =. 【点睛】本题考查利用平面向量数量积的坐标运算求向量夹角的余弦值，同时也考查了利用平面向量共线求参数，考查计算能力，属于基础题. 18．已知函数()21f x a b =⋅+，其中向量3sin,cos 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,cos 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）若ABC 为锐角三角形，求()f A 的取值范围；（2）保持()y f x =上每点的纵坐标不变，将横坐标缩小到原来的一半得到函数y g x ，求y g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调递增区间．【答案】（1）()1f A -<<（2）π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）先由数量积公式以及三角恒等变换化简解析式，由正弦函数的性质得出()f A 的取值范围；（2）由伸缩变换得出()g x 的解析式，结合正弦函数的单调性得出yg x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调递增区间． 【详解】解：（1）()2212cos cos 1222x x x f x a b ⎛⎫=⋅+=-+ ⎪⎭πcos 2sin 6x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．由已知π2A <<，πππ663A -<-<即1πsin 26A ⎛⎫-<-<⎪⎝⎭()1f A -< （2）依题意，()π2sin 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令πππ2π22π262k x k -≤-≤+，k ∈Z 时，函数单调递增 解得ππππ63k x k -≤≤+联立ππππ63π02k x k x ⎧-≤≤+⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩，解得π03x ≤≤即yg x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调递增区间为π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的单调性以及求正弦型函数的值域，属于中档题. 19．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中7a =，8c =． （1）若sin 7C =，求角A ； （2）若b c <，且ABC 的面积为ABC 的周长．【答案】（1）π3A =；（2）20. 【解析】（1）由正弦定理sin sin a c A C =，可求出sin A ，易知π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而可求出角A ； （2）由1sin 2ABC S ac B =△，可求出sin B ，进而可求出cos B ，结合余弦定理，可求出b ，即可求出ABC 的周长. 【详解】（1）由正弦定理可得sin 7sin 8a A c C ===∵a c <，∴A C <，所以π02A <<，∴π3A =．（2）由已知1sin 28sin 2ABC S ac B B ===△∴sin B =又b c <，∴B C <，∴π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴11cos 14B ==， 由余弦定理得，22222112cos 782782514b ac ac B ⨯=+-⨯⨯-=+=， ∴5b =，所以ABC 的周长为20 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.20．某上市公司成立二十周年期间举行了一场“公司是我家”的知识竞赛．为了解本次竞赛成绩的情况，从中随机抽取了部分职工的成绩（单位：分，满分为100分）作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图回答下列问题．组别 分组 频数 频率第1组[)50,60 80.16第2组[)60,70 a第3组 [)70,80 200.40第4组 [)80,900.08第5组 []90,1002b合计（1）求出a ，b ，x ，y 的值；（2）在抽取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的职工中随机抽取2名职工进行宣讲，求所抽取的2名职工来自同一组的概率；（3）在（2）的条件下，用ξ表示所抽取的2名职工来自第5组的人数，求ξ的分布列及数学期望．【答案】（1）16a =，0.04b =，0.032x =，0.004y =；（2）715；（3）分布列见解析，23. 【解析】（1）根据频数=频率×样本容量进行计算可得结果；（2）由题意可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．根据古典概型的概率公式计算可得结果；（3）由（2）可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，根据古典概型的概率公式计算出概率可得分布列，根据离散型随机变量的期望公式可得结果.【详解】（1）由题意可知，样本容量为：8500.16=，所以20.0450b ==，所以由100.04y =可得0.040.00410y ==， 所以第4组的频数为0.08504⨯=，所以508204216a =----=， 所以第2组的频率为160.3250=，所以100.32x =，所以0.032x =. 综上所述：16a =，0.04b =，0.032x =，0.004y =． （2）由题意可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．从竞赛成绩在80分以上（含80分）的职工中随机抽取2名职工，有2615C =种情况．设事件:A 随机抽取的2名职工来自同一组，则()222471515C C P A +==，故随机抽取的2名职工来自同一组的概率为715． （3）由（2）可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，()2420155C P ξ===，()1142811515C C P ξ===，()22121515C P ξ===，所以ξ的分布列为：∴2812012515153E ξ=⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查了频率分布表，考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.21．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos b C a C =cos c A +，23B π=，c =. （1）求角C ；（2）若点E 满足2AE EC =，求BE 的长.【答案】（1）6C π=；（2）1BE =【解析】（1）解法一：对条件中的式子利用正弦定理进行边化角，得到sin C 的值，从而得到角C 的大小；解法二：对对条件中的式子利用余弦定理进行角化边，得到sin C 的值，从而得到角C 的大小；解法三：利用射影定理相关内容进行求解.（2）解法一：在ABC 中把边和角都解出来，然后在ABE △中利用余弦定理求解；解法二：在ABC 中把边和角都解出来，然后在BCE 中利用余弦定理求解；解法三：将BE 用,BA BC 表示，平方后求出BE 的模长. 【详解】（1）【解法一】由题设及正弦定理得2sin sin sin cos sin cos B C A C C A =+， 又()()sin cos sin cos sin sin sin A C C A A C B B π+=+=-=， 所以2sin sin sin B C B =.由于sin 0B =≠，则1sin 2C =.又因为03C π<<，所以6C π=.【解法二】由题设及余弦定理可得2222222sin 22a b c b c a b C a cab bc+-+-=+， 化简得2sin b C b =. 因为0b >，所以1sin 2C =. 又因为03C π<<，所以6C π=.【解法三】由题设2sin cos cos b C a C c A =+， 结合射影定理cos cos b a C c A =+， 化简可得2sin b C b =. 因为0b >.所以1sin 2C =. 又因为03C π<<，所以6C π=.（2）【解法1】由正弦定理易知sin sin b c B C ==3b =. 又因为2AE EC =，所以2233AE AC b ==，即2AE =.在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，所以在ABE ∆中，6A π=，AB =2AE =由余弦定理得1BE ===， 所以1BE =. 【解法2】在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，a c ==由余弦定理得3b ==.因为2AE EC =，所以113EC AC ==.在BCE ∆中，6C π=，BC =1CE =由余弦定理得1BE === 所以1BE =. 【解法3】在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，a c ==因为2AE EC =，所以1233BE BA BC =+.则()()22221111||2|44|344319992BE BA BCBA BA BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=-+⨯= ⎪⎝⎭所以1BE =. 【点睛】本题主要考察利用正余弦定理解三角形问题，方法较多，难度不大，属于简单题. 22．一台机器的重要系统由5个元件组成，各个元件是否正常工作相互独立，且每个元件正常工作的概率均为12上，若系统中有多于一半的元件正常工作，则系统就能够正常工作．（1）求该系统不能正常工作的概率；（2）为提高该系统的工作性能，拟增加两个功能一样的其它品牌元件，且每个元件正常工作的概率均为p ，则p 满足什么条件时，可以提高整个系统的工作性能？ 【答案】（1）12；（2）12p >. 【解析】（1）设系统不能正常工作的概率为1p ，则分3种情况讨论，分别计算可得； （2）设增加两个新元件后，该系统能正常工作的概率为2p ，分三种情况分别求出所对应的概率最后再求和，可得()()222313111616p p p p p =-+-+，令212p >解得即可；【详解】解：（1）设系统不能正常工作的概率为1p ，则包含3种情况，①所有元件都正常，概率为05500551111222C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ②有一个元件不正常，概率为14511551111222C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭③有两个元件不正常，概率为23522551111222C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所有()501215551122p C C C ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭．（2）设增加两个新元件后，该系统能正常工作的概率为2p ， 若两个新元件都不能正常工作，则系统能够正常工作的概率为()()()52245551311216p C C p ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭， 若两个元件中仅有一个能正常工作，则系统能够正常工作的概率为()()()5134525551112C p p C C C p p ⎛⎫-++=- ⎪⎝⎭，若两个元件都能够正常工作，则系统能够正常工作的概率为()52234525555113216p C C C C p ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭， 则()()222313111616p p p p p =-+-+，由21 2p>得12 p>，所以当每个新元件正常工作的概率超过12时，能够提高整个系统的工作性能．【点睛】本题考查相互独立事件的概率问题，考查分析问题的能力，属于中档题.。

2022-2022年高一上学期第一次月考数学题带答案和解析（福建省三明市第一中学）解答题已知集合，为实数.（1）若是空集，求的取值范围；（2）若是单元素集，求的值；（3）若中至多只有一个元素，求的取值范围.【答案】（1）（2）0或1；（3）9或.【解析】试题分析：（1）由方程无解列，解不等式可得的取值范围；（2）按一次与二次分类讨论方程解的个数：当时，；当时，.解方程可得的值；（3）中至多只有一个元素，就是（1）与（2）两者情况，所以取并集得的取值范围.试题解析：解：（1）若是空集，则只需无实数解，显然方程显然有解，故，所以只需，即即可.当时，原方程化为解得；当时，只需.即，故所求的值为0或1；综合（1）（2）可知，中至多有一个元素时，的值为9或.解答题已知，，，若，且，求的值.【答案】【解析】试题分析：先求集合B,C;再根据条件得，代人可得或.最后代人验证，确定的值.试题解析：解：，，.∵，且，那么，故.即，∴或.①当时，，符合题意.②当时，，不符合.∴.解答题已知集合，，求、、、.【答案】见解析【解析】试题分析：根据数轴求，，再求补集；根据数轴先求，，再求交集或并集试题解析：解：或，或，，或.填空题分解因式：__________．【答案】【解析】填空题设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为__________．【答案】【解析】图中的阴影部分表示的集合为选择题下列四个图象中，不是函数图象的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】B中一对多，不符合函数定义，所以选B.选择题下列关系式中，正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为,,所以选C.解答题函数在区间上有最小值3，求的值.【答案】或.【解析】试题分析：根据对称轴与区间位置关系，讨论函数最小值取法，再根据最小值为3，求的值.试题解析：解：，①当，即时，函数在上是增函数.∴.由，得.∵，∴.②当，即时，.由，得，舍去.③当，即时，函数在上是减函数，.由，得.∵，∴.综上所述，或.点睛:解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍．解答题集合，，若，求实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：先由得，再根据及分类讨论，最后求两者并集得实数的取值范围.试题解析：解：由，得.当时，有：，解得.当时，由数轴可得，，解得.综上可知，实数的取值范围为.填空题已知函数，若，则__________．【答案】2【解析】由得或，所以点睛: (1)根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．选择题若，则的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 2【答案】A【解析】由题意得a不等于零，或,所以或,即的值为0，选A.选择题已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，,,,所以选B.选择题已知与成反比，且当时，，则关于的函数关系式为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意设,因为当时，，所以,因此关于的函数关系式为，选C.填空题函数的定义域为__________．【答案】【解析】由题意得，所以定义域为选择题若不等式组有解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得,所以,即，选C.选择题已知函数，则的解析式是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，则,即的解析式是，选A.点睛:求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．(2)换元法：已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(3)构造法：已知关于与或的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出．(4)配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以替代，便得的表达式．选择题下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】与定义域不同，与定义域不同，定义域不同，所以选D.选择题下列各个对应中，构成映射的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：按照映射的定义，A中的任何一个元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应．在选项A中，前一个集合中的元素2在后一个集合中没有元素与之对应，故不符合映射的定义；在选项C中，前一个集合中的元素2在后一集合中有2个元素和它对应，也不符合映射的定义；在选项D中，前一个集合中的元素1在后一集合中有2个元素和它对应，也不符合映射的定义；只有选项B满足映射的定义，选择题抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图片如图，则以下结论：①；②；③；④方程有两个相等的实数根.其中正确结论的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】由题意得二次函数与x轴有两个不等实根，因此,因为对称轴为，所以另一根在，即即；因为,所以,因此；有两个相等的实数根. 正确结论的个数为3，选C.解答题楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆.根据市场调查，月销售辆不会突破30台.（1）设当月该型号汽车的销售量为辆（，且为正整数），实际进价为万元/辆，求与的函数关系式；（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价-进价）【答案】（1）（2）该月需售出10辆汽车.【解析】试题分析：（1）根据条件分段讨论进价：当时，为常函数，. 当时，为一次函数（2）根据得销售利润=销售价-进价，分段列方程：当时，; 当时，，解出方程的解即得结果试题解析：解：（1）由题意，当时，.当时，.∴；当时，，不符合题意，当时，，解得：（舍去），.答：该月需售出10辆汽车.选择题若方程的两实根为，那么下列说法不正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由韦达定理得，，因此,,因此选D.选择题以下元素的全体不能够构成集合的是（）A. 中国古代四大发明B. 周长为的三角形C. 方程的实数解D. 地球上的小河流【答案】D【解析】地球上的小河流不确定，因此不能够构成集合，选D.。