离散数学试卷答案2017.6月

离散数学试题及答案一、选择题1. 在集合论中，下列哪个选项表示两个集合A和B的并集？A. A ∩ BB. A ∪ BC. A - BD. A × B答案：B2. 命题逻辑中，下列哪个符号表示逻辑非？A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案：C3. 在有向图中，如果存在一条从顶点u到顶点v的路径，那么称顶点v为顶点u的：A. 祖先B. 后代C. 邻居D. 连接点答案：B二、填空题1. 一个命题函数P(x)表示为“x是偶数”，那么其否定形式为________。

答案：x是奇数2. 在关系R上，如果对于所有的a和b，如果(a, b)∈R且(b, a)∈R，则称R为________。

答案：自反的三、简答题1. 简述什么是等价关系，并给出其三个基本性质。

答案：等价关系是一种特殊的二元关系，它满足自反性、对称性和传递性。

自反性指每个元素都与自身相关；对称性指如果a与b相关，则b也与a相关；传递性指如果a与b相关，b与c相关，则a与c也相关。

2. 解释什么是图的连通分量，并给出如何判断一个图是否是连通图。

答案：连通分量是指图中最大的连通子图，即图中任意两个顶点之间都存在路径。

判断一个图是否是连通图，可以通过深度优先搜索或广度优先搜索算法遍历整个图，如果所有顶点都被访问，则图是连通的。

四、计算题1. 给定命题公式P：((p → q) ∧ (r → ¬p)) → (q ∨ ¬r)，证明P是一个重言式。

答案：通过使用命题逻辑的等价规则和真值表，可以证明P在所有可能的p, q, r的真值组合下都为真，因此P是一个重言式。

2. 给定一个有向图G，顶点集合V(G)={1, 2, 3, 4}，边集合E(G)={(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1), (2, 4)}。

找出所有强连通分量。

答案：通过Kosaraju算法或Tarjan算法，可以找到图G的强连通分量，结果为{1, 4}和{2, 3}。

离散数学考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 在集合{1,2,3}和{3,4,5}的笛卡尔积中，元素(3,4)属于（）。

A. {1,2,3}B. {3,4,5}C. {1,2,3,4,5}D. {1,2,3}×{3,4,5}答案：D2. 命题“若x>2，则x>1”的逆否命题是（）。

A. 若x≤2，则x≤1B. 若x≤1，则x≤2C. 若x≤1，则x≤2D. 若x≤2，则x≤1答案：C3. 函数f: A→B的定义域是集合A，值域是集合B的（）。

A. 子集B. 真子集C. 任意子集D. 非空子集答案：D4. 以下哪个图是无向图（）。

A. 有向图B. 无向图C. 完全图D. 树答案：B5. 以下哪个命题是真命题（）。

A. 所有的马都是白色的B. 有些马是白色的C. 没有马是白色的D. 以上都不是答案：B二、填空题（每题2分，共10分）6. 集合{1,2,3}的子集个数为______。

答案：87. 命题“若x>0，则x>1”的逆命题是：若x>1，则______。

答案：x>08. 函数f: A→B中，若A={1,2}，B={3,4}，则f的值域可以是{3}或{4}或{3,4}，但不能是______。

答案：{1,2}9. 在有向图中，若存在从顶点A到顶点B的有向路径，则称A到B是______的。

答案：可达10. 命题逻辑中，合取（AND）的符号是______。

答案：∧三、解答题（每题15分，共30分）11. 证明：若p∧q为真，则p和q都为真。

证明：根据合取（AND）的定义，p∧q为真当且仅当p和q都为真。

因此，若p∧q为真，则p和q都为真。

12. 给定函数f: A→B，其中A={1,2,3}，B={4,5,6}，且f(1)=4，f(2)=5，f(3)=6。

请找出f的值域。

答案：根据函数的定义，f的值域是其所有输出值的集合。

因此，f的值域为{4,5,6}。

《离散数学》考试试卷（试卷库20卷）及答案第 1 页/共 4 页《离散数学》考试试卷（试卷库20卷）试题总分： 100 分考试时限：120 分钟、选择题（每题2分，共20分）1. 设论域为全总个体域，M(x)：x 是人，Mortal(x)：x 是要死的，则“人总是要死的”谓词公式表示为( )（A ）)()(x Mortal x M → （B ）)()(x Mortal x M ∧（C ）))()((x Mortal x M x →?（D ）))()((x Mortal x M x ∧?2. 判断下列命题哪个正确？( )（A ）若A∪B＝A∪C，则B ＝C （B ）{a,b}={b,a}（C ）P(A∩B)≠P(A)∩P (B)（P(S)表示S 的幂集）（D ）若A 为非空集，则A ≠A∪A 成立3. 集合},2{N n x x A n∈==对( )运算封闭（A ）乘法（B ）减法（C ）加法（D ）y x -4. 设≤><,N 是偏序格，其中N 是自然数集合，“≤”是普通的数间“小于等于”关系，则N b a ∈?,有=∨b a ( )（A ）a（B ）b（C ）min(a ，b)（D ） max(a ，b)5. 有向图D=，则41v v 到长度为2的通路有( )条（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）36. 设无向图G 有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G 有( )个顶点（A ）10 （B ）4 （C ）8 （D ）127. 下面哪一种图不一定是树？（）（A ）无回路的连通图（B ）有n 个结点n-1条边的连通图（C ）每对结点间都有通路的图（D ）连通但删去一条边则不连通的图 8. 设P ：我将去镇上,Q ：我有时间。

命题“我将去镇上,仅当我有时间”符号化为（）（A ）P →Q （B ）Q →P （C ）P Q （D ）Q P ?∨? 9. 下列代数系统中,其中*是加法运算,（）不是群。

离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。

b)我今天进城，除非下雨。

c)仅当你走，我将留下。

2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。

c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.二、简答题（共6道题，共32分）1.求命题公式(P→(Q→R)) (R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。

（5分）2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）a)x y(x+y=4)b)y x (x+y=4)3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。

（4分）4.判断下面命题的真假，并说明原因。

（每小题2分，共4分）a)（A B）－C=(A-B) (A-C)b)若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|5.设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）a)A上有多少种不同的等价关系？b)从A到A的不同双射函数有多少个？6.设有偏序集<A,≤>，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)f g图17.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即可）(6分)三、证明题（共3小题，共计40分）1.使用构造性证明，证明下面推理的有效性。

（每小题5分，共10分）a)A→(B∧C),(E→ F)→ C, B→(A∧ S) B→Eb)x(P(x)→ Q(x)), x(Q(x)∨R(x))，x R(x) x P(x)2.设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠ 且B≠ ，关系R满足：<<x1,y1>,<x2,y2>>∈R，当且仅当< x1, x2>∈R1且<y1,y2>∈R2。

《离散数学》题库与答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。

答：x,y, x,z（考察定义在公式∀x A和∃x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。

在∀x A和∃x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。

于是A(x)、B(y，x)和∃z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元）5、判断下列语句是不是命题。

若是，给出命题的真值。

( )(1)北京是中华人民共和国的首都。

(2) 陕西师大是一座工厂。

(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。

(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。

）6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。

离散数学试题及答案一、填空题1 设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝; ρ(A) - ρ(B) ＝.2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = .3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A 到B 的所有映射是, 其中双射的是.4.已知命题公式G＝⌝(P→Q)∧R，则G 的主析取范式是.5.设G 是完全二叉树，G 有7 个点，其中4 个叶点，则G 的总度数为，分枝点数为.6 设A、B 为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A⋂B＝; A⋃B＝;A－B＝.7.设R 是集合A 上的等价关系，则R 所具有的关系的三个特性是,, .8.设命题公式G＝⌝(P→(Q∧R))，则使公式G 为真的解释有，, .9. 设集合 A＝{1,2,3,4}, A 上的关系 R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1•R2 =,R2•R1 = , R12= .10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A⨯B)| = .11 设A,B,R 是三个集合，其中R 是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = , B-A = ,A∩B = , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R 是A 上的整除，则R 以集合形式(列举法)记为.14.设一阶逻辑公式G = ∀xP(x)→∃xQ(x)，则G 的前束范式是.15.设G 是具有8 个顶点的树，则G 中增加条边才能把G 变成完全图。

16.设谓词的定义域为{a, b},将表达式∀xR(x)→∃xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公式是.17. 设集合 A＝{1, 2, 3, 4}，A 上的二元关系 R＝{(1,1),(1,2),(2,3)}, S＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。

离散数学试题及答案解析一、选择题1. 在集合{1,2,3,4}中，含有3个元素的子集有多少个？A. 4B. 8C. 16D. 32答案：B解析：含有3个元素的子集可以通过组合数公式C(n, k) = n! / [k!(n-k)!]来计算，其中n为集合的元素个数，k为子集中的元素个数。

在本题中，n=4，k=3，所以C(4, 3) = 4! / [3!(4-3)!] = 4。

2. 下列哪个命题是真命题？A. 所有偶数都是整数。

B. 所有整数都是偶数。

C. 所有整数都是奇数。

D. 所有奇数都是整数。

答案：A解析：偶数是指能被2整除的整数，因此所有偶数都是整数，选项A是真命题。

选项B、C和D都是错误的，因为并非所有整数都是偶数或奇数。

二、填空题1. 逻辑运算符“非”（NOT）的真值表是：当输入为真时，输出为______；当输入为假时，输出为真。

答案：假解析：逻辑运算符“非”（NOT）是一元运算符，它将输入的真值取反。

如果输入为真，则输出为假；如果输入为假，则输出为真。

2. 命题逻辑中，合取词“与”（AND）的真值表是：当两个命题都为真时，输出为真；否则输出为______。

答案：假解析：合取词“与”（AND）是二元运算符，只有当两个命题都为真时，输出才为真；如果其中一个或两个命题为假，则输出为假。

三、简答题1. 解释什么是等价关系，并给出一个例子。

答案：等价关系是定义在集合上的一个二元关系，它满足自反性、对称性和传递性。

例如，考虑整数集合上的“同余”关系。

对于任意整数a，b，如果a和b除以同一个正整数n后余数相同，则称a和b模n同余。

这个关系是自反的（a同余a），对称的（如果a同余b，则b同余a），并且是传递的（如果a同余b且b同余c，则a同余c）。

2. 什么是图的连通性？一个图是连通的需要满足什么条件？答案：图的连通性是指在无向图中，任意两个顶点之间都存在一条路径。

一个图是连通的需要满足以下条件：图中的任意两个顶点v和w，都可以通过图中的边相互到达。

《离散数学》练习题和参考答案《离散数学》练习题和参考答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P 答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P 答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。

答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。

若是，给出命题的真值。

( )北京是中华人民共和国的首都。

(2) 陕西师大是一座工厂。

(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。

(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。

答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。

(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P↔（4）QP→⌝P⌝⌝（2）QQ→P⌝→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。

(1) ∀x∃y(x+y=0) (2) ∃y∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x满足x+y=09、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x∀y(x+y=y) ( ) (3) ∃x∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。

1.一个连通的无向图G ，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条( )A.汉密尔顿回路B.欧拉回路C.汉密尔顿通路D.初级回路2.设G 是连通简单平面图，G 中有11个顶点5个面，则G 中的边是( )A.10B.12C.16D.143.在布尔代数L 中，表达式(a ∧b)∨(a ∧b ∧c)∨(b ∧c)的等价式是( )A.b ∧(a ∨c)B.(a ∧b)∨(a ’∧b)C.(a ∨b)∧(a ∨b ∨c)∧(b ∨c)D.(b ∨c)∧(a ∨c)4.设i 是虚数，·是复数乘法运算，则G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G 的子群是( )A.<{1},·>B.〈{-1},·〉C.〈{i},·〉D.〈{-i},·〉5.设Z 为整数集，A 为集合，A 的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有( )A.〈Z ，+，/〉B.〈Z ，/〉C.〈Z ，-，/〉D.〈P(A)，∩〉6.下列各代数系统中不含有零元素的是( )A.〈Q ，*〉Q 是全体有理数集，*是数的乘法运算B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n 阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算C.〈Z ， Z 是整数集， 定义为x xy=xy,∀x,y ∈ZD.〈Z ，+〉，Z 是整数集，+是数的加法运算7.设A={1,2,3}，A 上二元关系R 的关系图如下：R 具有的性质是A.自反性B.对称性C.传递性D.反自反性8.设A={a,b,c}，A 上二元关系R={〈a,a 〉，〈b,b 〉,〈a,c 〉}，则关系R 的对称闭包S(R)是( )A.R ∪I AB.RC.R ∪{〈c,a 〉}D.R ∩I A9.设X={a,b,c},Ix 是X 上恒等关系，要使Ix ∪{〈a,b 〉，〈b,c 〉，〈c,a 〉，〈b,a 〉}∪R 为X 上的等价关系，R 应取( )A.｛〈c,a 〉，〈a,c 〉｝B.{〈c,b 〉，〈b,a 〉}C.{〈c,a 〉，〈b,a 〉}D.{〈a,c 〉，〈c,b 〉}10.下列式子正确的是( )A. ∅∈∅B.∅⊆∅C.{∅}⊆∅D.{∅}∈∅11.设解释R 如下：论域D 为实数集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x<y.下列公式在R 下为真的是( )A.( ∀ x)( ∀y)( ∀z)(A(x,y))→A(f(x,z),f(y,z))B.( ∀x)A(f(a,x),a)C.(∀x)(∀y)（A(f(x,y),x))D.(∀x)(∀y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))12.设B是不含变元x的公式，谓词公式(∀x)(A(x)→B)等价于( )A.(∃x)A(x)→BB.(∀x)A(x)→BC.A(x)→BD.(∀x)A(x)→(∀x)B13.谓词公式(∀x)(P(x,y))→(∃z)Q(x,z)∧(∀y)R(x,y)中变元x( )A.是自由变元但不是约束变元B.既不是自由变元又不是约束变元C.既是自由变元又是约束变元D.是约束变元但不是自由变元14.若P：他聪明；Q：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为( )A.P∨QB.P∧┐QC.P→┐QD.P∨┐Q15.以下命题公式中，为永假式的是( )A.p→(p∨q∨r)B.(p→┐p)→┐pC.┐(q→q)∧pD.┐(q∨┐p)→(p∧┐p)二、填空题(每空1分，共20分)16.在一棵根树中，仅有一个结点的入度为______，称为树根，其余结点的入度均为______。