小学奥数中的涂色问题教学文案

涂色问题的常见方法与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。

解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。

本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。

一、区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。

例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，2) 区域3与5必须同色，故有34A 种；① ②③ ④ ⑤ ⑥3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。

由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。

小学数学优秀教案评选课题名称及课时：《探索规律—正方体表面涂色问题》第一课时作者：单位：联系电话：小学五年级下册《探索图形规律》—正方体表面涂色问题（第一课时）教学目标：1.借助正方体涂色问题,通过实际操作、演示、想象、联想等形式发现小正方体四种涂色的情况的规律以及它们所在的位置。

2.通过观察、列表、想象等活动经历找规律的过程,经历从特殊到一般的归纳过程,获得一些研究数学问题的方法和经验，体会分类、数形结合、归类、推理、模型等数学思想。

3.在解决问题的过程中,感受数学的有趣,激发主动探索增强学好数学的信心。

学情分析：1、学生在第一学段初步认识了立体图形,有一定的认识基础。

同时也已经掌握了平面图形的知识,为学习立体图形作好了准备。

本单元前面已经学习了长方体、正方体的特性以及两种立体图形的表面积、体积的计算。

2、由平面图形扩展到立体图形,是学生发展空间观念的一次飞跃,教学中应该注重学生的学习体验、动手操作、总结归纳,让学生在探索活动中掌握知识的内涵,转化为自身的能力。

基于以上的学情制定出教学重难点。

重点难点：教学重点:找出组成大正方体中小正方体的四种涂色的情况的规律以及它们所在的位置的规律。

教学难点:如何找出组成大正方体的每个小正方体的位置及表面涂色情况。

教学准备：课件，27个小正方体堆成的大正方体表面涂色后的散落小正方体、3阶4阶魔方、导学单。

教学过程：一、复习旧知1、(出示小正方体模型)我们一起回忆一下,这个正方体有哪些特征?(正方体都有8个顶点、12条棱、6个面,并板书)二、引出问题（一）师:用若干个棱长1厘米的小正方体拼成一个大正方体,可以用多少个小正方体呢?(8个、27个、64个等等)师：这27个棱长为1厘米的小正方体怎样摆放呢？生：每排摆3个，摆3排，摆3层师：也就是棱长为3厘米的大正方体（同时出示课件）师:如果把大正方体表面涂上红色,需要涂几个面?生：6个面师：也就是涂大正方体的表面积。

计数原理涂色问题计数原理是数学中的一个重要概念，它在各个领域都有着广泛的应用。

其中，涂色问题是计数原理中的一个经典问题，它既有着一定的难度，又能够帮助我们更好地理解计数原理的应用。

在这篇文档中，我们将深入探讨计数原理涂色问题，从基本概念到实际应用进行全面的介绍和分析。

首先，我们需要了解计数原理的基本概念。

计数原理是指对一些事物进行计数的方法和规律，它包括了排列、组合、分配等多个方面。

在涂色问题中，我们通常会用到排列和组合的知识，通过这些方法来解决问题。

例如，我们可以利用排列来计算不同颜色的涂法，利用组合来计算相同颜色的涂法，从而得出最终的结果。

接下来，我们将介绍计数原理在涂色问题中的具体应用。

假设我们有一些小方块，每个小方块可以用不同的颜色来涂抹。

现在，我们想要知道在给定的颜色中，有多少种不同的涂色方案。

这时，我们就可以运用计数原理来进行计算。

首先，我们可以计算每个小方块的涂色方案数，然后将它们相乘，得到总的涂色方案数。

这就是计数原理在涂色问题中的一种典型应用。

除了基本的计数原理知识外，我们还需要了解一些相关的概念和技巧。

例如，对称性在涂色问题中起着重要的作用。

在一些情况下，我们可以利用对称性来简化问题，减少计算的复杂度。

此外，递推关系也是解决涂色问题的常用方法之一。

通过建立递推关系，我们可以将一个复杂的问题分解成若干个简单的子问题，从而更容易地求解出最终的结果。

在实际应用中，计数原理涂色问题常常出现在概率统计、图论、组合数学等领域。

例如，在概率统计中，我们可以利用计数原理来计算事件发生的概率；在图论中，我们可以利用计数原理来计算图的着色方案；在组合数学中，我们可以利用计数原理来解决各种组合问题。

因此，掌握计数原理涂色问题对于深入理解数学知识和提高解决实际问题的能力都具有重要意义。

综上所述，计数原理涂色问题是计数原理中的一个重要问题，它不仅有着一定的难度，还具有着广泛的应用价值。

通过学习和掌握计数原理涂色问题，我们不仅能够提高自己的数学水平，还能够更好地理解和应用计数原理的知识。

1. 如右图，对A，B,C，D,E五个区域分别用红黄绿蓝白五种颜色中的某一种来着色，规定相邻的区域着不同色,问有多少种不同的着色方案？【组合十讲P37】2 用红黄蓝三种颜色涂在右图的圆圈中，每个圆圈中，每个圆圈只涂一种颜色，并且要使每条连线两端的圆圈涂上不同颜色，问一共有多少种不同的涂法?3.某植物园计划在A，B，C，D，E五个地块栽种四种不同颜色的郁金香，每个地块内的郁金香必须同色，相邻的(有公共边界的）地块郁金香不能同色,不相邻可以同色，问共有多少种不同的方案？4。

如图对A，B，C,D,E,F，G七个区域分别采用红，黄，绿，蓝,白五种颜色中的某一种来着色，规定相邻的区域不能同色，那么有多少种不同的着色方案？5.用红,黄,蓝，三种颜色把如图的8个小圆圈涂上颜色，每个圆圈只涂一种颜色，并且有连线的两个圆圈不能同色，那么有多少种不同涂色方案?【希望杯P107】6. 一根划分成相等5段的钢管,若要用红，白两种颜色分别对每一段着色，问共有几种不同的涂色方案？（倒置后相同的两种涂色方案视为同种）8。

如图用4种颜色对A,B，C,D，E五个区域涂色，要求相邻的区域涂不同的颜色，那么，共有几种涂法？9。

用三种颜色染正方体的6条边，相邻边不同色，有多少种染法?【教程P133】10. 如图，用红，黄，蓝三种颜色给一个五边形的各个顶点染色，同一边的两段点不能同色，且顶点A 必须染红色，请问:有多少种不同的染色方案?【高斯导引P76】11。

如图一个圆环被分成8部分，先将每一部分染上红，黄，蓝三种颜色之一，要求相邻两部分颜色不同，共有多少种不同染色方案？12. 如图，用4种不同的颜色将图中的圆圈分别涂色，要求有线段连接的两个相邻的圆圈必须涂不同的颜色,共有几种涂法？（不许旋转翻转）13 给一个正四面体的4个面染色,每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同，现有5种颜色可选，共有多少种不同的染色方案?14. 用4种颜色为一个正方体的6个面染色，要求每个面只能用1种颜色，且乡邻面的颜色必须不同，如果将正方体经过反转后颜色相同视为同一种，那么共有多少种不同的染色方案？17.用红，黄，蓝三种颜色对右图进行染色，要求相邻两块颜色不同，共有多少种不同的染色方案? 【简明读本P191】1。

涂色问题的常见方法与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。

解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。

本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。

一、区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。

例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，2) 区域3与5必须同色，故有34A 种；② ① ③ ④ 2 3 1 5 ① ②③ ④ ⑤ ⑥3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。

数学彩色涂色问题数学彩色涂色问题是一类涉及图论和组合数学的问题，涉及到给定一个图，如何用不同的颜色对其进行涂色，使得相邻的节点颜色不同。

这个问题在许多领域都有应用，如地图着色、调度问题等。

本文将介绍数学彩色涂色问题的背景、解决方法以及一些相关应用。

背景介绍数学彩色涂色问题源于图论，图由节点和边组成。

在彩色涂色问题中，我们希望为图的每个节点选择一种颜色，使得任意相邻节点的颜色都不相同。

这里的相邻节点是指通过边连接的节点。

解决方法解决数学彩色涂色问题的方法有很多种，以下是一些常见的方法：1. 贪心算法：贪心算法是一种贪心思想的算法，它根据一定的规则进行选择。

在数学彩色涂色问题中，我们可以使用贪心算法来选择每个节点的颜色。

具体做法是从一个节点开始，依次向其相邻节点涂色，并保证相邻节点颜色不同。

2. 回溯算法：回溯算法是一种通过逐个尝试所有可能解的算法。

在数学彩色涂色问题中，我们可以使用回溯算法来逐个尝试给每个节点涂色，直到找到符合要求的解或者试探所有可能的情况。

3. 图染色算法：图染色算法是一种基于图的染色理论的算法。

在数学彩色涂色问题中，我们可以将图转化为一个染色图，然后使用染色图算法来对节点进行涂色。

应用领域数学彩色涂色问题在许多领域都有应用，如地图着色、调度问题等。

在地图着色问题中，我们希望给定一张地图，使得相邻的地区颜色不同。

数学彩色涂色问题可以帮助我们确定如何给地图上的每个地区选择颜色，以满足相邻地区颜色不同的要求。

在调度问题中，我们希望在给定一组任务和资源的情况下，找到一种合理的分配方案。

数学彩色涂色问题可以帮助我们确定如何将任务分配给资源，以使得任意相邻任务被分配给不同的资源。

结论数学彩色涂色问题是一个有趣且具有实际应用价值的问题。

通过合适的算法和技巧，我们可以有效地解决这类问题，并在实际应用中获得良好的效果。

希望本文对读者理解和解决数学彩色涂色问题提供一些帮助。

小学奥数中的涂色问题涂色问题的常见方法与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。

解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。

本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。

一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ； （4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与42) 区域3与5必须同色，故有34A 种；3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。

涂色问题的常见解法及策略涂色问题是数学中一个常见的问题，涉及到给定一定数量的区域，并使用有限数量的颜色对这些区域进行染色。

在这篇文章中，我将介绍一些常见的解法和策略，以及我对涂色问题的观点和理解。

在解决涂色问题时，最基本的策略之一是使用“回溯法”。

回溯法是一种通过不断尝试不同的选择，并撤销不合适的选择的方法。

在涂色问题中，我们可以从一个区域开始，选择一个颜色将其染色，然后递归地对相邻的区域进行染色。

如果在染色过程中发现无法继续染色，则回溯到上一个选择，并选择另一种颜色。

另一种常见的解法是使用“图论”的方法。

将涂色问题抽象成图论中的图模型，其中图的每个节点代表一个区域，边表示两个相邻区域之间的连接。

然后，我们可以使用图染色算法，如“图的着色问题算法”来解决涂色问题。

这些算法使用一系列的规则和策略来确定每个节点应该染哪种颜色，以确保相邻节点不具有相同的颜色。

除了这些基本的解法之外，还有许多高级的策略可供选择。

例如，“最小割算法”可以将复杂的涂色问题转化为图的最小割问题，并使用最小割算法来解决。

此外，还可以使用“启发式搜索”技术，通过估计每个选择的优先级来指导搜索过程。

这些策略通常需要更多的计算资源和算法知识，但在处理复杂的问题时可能会获得更好的结果。

从简单到复杂，由浅入深的方式来探讨涂色问题，可以帮助我们建立对问题的深刻理解。

我们可以从最基本的回溯法开始，逐渐引入图论的概念和算法。

了解不同解法的优缺点，并能够根据问题的具体情况选择合适的解法，这对于解决涂色问题至关重要。

总结起来，涂色问题是一个常见的数学问题，涉及到给定一定数量的区域，并使用有限数量的颜色对这些区域进行染色。

常见的解法和策略包括回溯法、图论算法、最小割算法和启发式搜索技术。

通过从简单到复杂的方式来探讨涂色问题，我们可以建立对问题的深刻理解，并能够灵活选择适合的解法。

《表面涂色问题》教案之一【教学内容】苏教版六年级数学上册第26-27 页“表面涂色的正方【教学目标】1、使学生通过自主探究，发现表面涂色的正方体切成若干个小正方体后，小正方体不同涂色面个数的规律。

2、是学生在探索规律的过程中，经历观察、想象、比较、推理、归纳、反思等过程，培养学生空间观念和推理想象能力。

3、使学生进一步感受图形学习的乐趣，获得成功的体验，提高数学学习的兴趣，增强学习数学的信心。

【教学重点】探究并发现表面涂色的正方体切成若干个小正方体后，小正方体不同涂色面个数的规律。

【教学难点】理解大正方体的棱平均分的分数、切成小正方体的总个数和不同涂色面的小正方体的个数之间的关系。

【教学过程】一、回顾旧知，激趣引入1.、课件呈现一个正方体。

提问：你对正方体有哪些认识？小结：我们知道正方体有完全相同的2、这是一个表面涂上了蓝色油漆的大正方体，如果用刀将它像图上这样切割成一个个小正方体，你知道一共有多少个小正方体吗？3、课件演示：顶点上的一块小正方体飞出去（1）这块小正方体有几面涂色的？它在大正方体的哪个位置上？在顶点处的这个小正方体,它露出了三个面,所以它有三面涂色（2）小正方体涂色的面还有其他情况吗？分别在大正方体的哪个位置？（3）三面涂色，两面涂色、一面涂色的小正方体各有几块呢？这节课我们就来探索正方体表面涂色的问题。

（板书课题：正方体表面涂色的问题）二、自主探究，发现规律（一）发现规律1 探究切成8个小正方体的涂色情况。

谈话：这个大正方体切割成小正方体的个数太多了，研究起来麻烦，我们应该从简单入手（化繁为简）。

动态呈现：把每条棱平均分成两份的情况。

提问：如果每条棱平均分成2 份照上图的样子把它切开，能切成多少个同样大小的正方体？你是怎么算的？小组交流：拿出棱长二等分的魔方,小组观察, 讨论一下露出三面(也就是三面能涂色)的小正方体有几个？分别在什么位置? 汇报探究切成27个小正方体的涂色情况。

涂色问题经典教案教案标题：涂色问题经典教案教案目标：1. 学生能够理解涂色问题的基本概念和解决方法。

2. 学生能够运用涂色问题的解决方法解决实际问题。

3. 学生能够培养逻辑思维和问题解决能力。

教学资源：1. 涂色问题的示例图片或绘本。

2. 彩色笔或彩色铅笔。

3. 白板和马克笔。

教学步骤：引入：1. 使用示例图片或绘本引入涂色问题的概念。

解释给定的图形或图案需要用不同颜色进行涂色。

2. 引导学生思考如何确定每个部分应该涂上什么颜色。

探究：1. 给学生一张简单的图形，如一个三角形。

要求学生尝试涂色，并解释他们选择每种颜色的原因。

2. 引导学生发现涂色问题中的规律和模式。

例如，对称图形中相同位置的部分应该涂上相同的颜色。

3. 提供更复杂的图形，如多边形或动物形状，并要求学生运用他们探索到的规律进行涂色。

解决：1. 给学生一些涂色问题的练习题，让他们运用所学的规律解决问题。

2. 引导学生思考如何应用涂色问题的解决方法解决实际生活中的问题，如地图上的区域着色或衣服的图案设计。

拓展：1. 鼓励学生设计自己的涂色问题，并与同学交换解答。

2. 提供更复杂的涂色问题，挑战学生的逻辑思维和问题解决能力。

总结：1. 回顾涂色问题的基本概念和解决方法。

2. 强调逻辑思维和问题解决能力在解决涂色问题中的重要性。

3. 鼓励学生在日常生活中运用所学的知识和技能。

评估：1. 观察学生在课堂上的参与程度和对涂色问题的理解。

2. 收集学生完成的练习题和设计的涂色问题，评估他们的解决能力和创造力。

教学延伸：1. 鼓励学生在课后继续探索涂色问题，并分享他们的发现和解决方法。

2. 提供更多涂色问题的练习题，以帮助学生巩固所学的知识和技能。

教案撰写完成后，建议教师根据具体教学情况进行调整和优化，确保教学过程的有效性和学生的学习效果。

第六讲 给方块涂颜色在一个由两行两列组成的大方格（如下图）中，请将每个方格涂成黑色或白色使得每行每列都有一个方格是一种颜色，另一个方格是另外一种颜色。

而且黑白格总数相等。

在一个有三行三列组成的大方格（如下图）中，请将每个方格涂成黑色或白色，使得每行每列都有2个小方格是一种颜色，1个小方格是另一种颜色。

这个题目的答案有很多种，相信同学们都能画出来，下就给出3个答案。

（当然还有更多哟！）在一个有4行4（1） 每行每列都有2个方格是一种颜色，另2个方格是另一种颜色。

（2） 每行每列都有3个方格是一种颜色，另一个方格是另一种颜色。

对于（1）并不难想出一些符合要求的解答来，例如下面的4个图形就满足要求。

对于（2）最容易想到的是下面的涂法：下面我们采用“调整”的方法，将右下角的一个小黑格与前面3列中的任意一列左右平移对调，就可以得到一种新的满足要求的涂法：类似的小黑格与第2列、第1列左右对调，就得到如下另外两种合乎要求的涂法：若回到（2）的第一个涂法，右下角的小黑格与前3行做上下平移对调，又可得到三种新的涂法。

在4×4的正方形方格纸中，将小方格涂上黑白两种颜色，得到两种不同的染色图。

如果将图上任意一横行或任意一竖行的四格全部改变颜色（黑格变白格，白格变成黑格），我们称之为一个交换。

能否经过若干次变换将A 图变成B 图？A B不能。

在一次变换中是将一横行或一竖行的四格全部改变颜色，所以变换前黑格如果是单数个，变换后黑格仍然是单数个；变换前黑格如果是双数个，变换后黑格仍是双数个。

白格也是如此。

在A 图与B 图的左下角2×2方格中，A 图的黑白格各2个，都是双数，无论经过多少次变换，变换后黑白格的个数仍都是双数，而B 图中黑白格的个数是3白1黑，所以A 图不能通过变换成为B图。

在8×8方格棋盘中，去掉左上角和右上角的小方格，剩下的62个方格能不能用31个1×2的“日”型覆盖？不能。

涂色问题的常见方法与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。

解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。

本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。

一、区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。

例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，2) 区域3与5必须同色，故有34A 种；① ②③ ④ ⑤ ⑥3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。

由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=72 3、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。

四年级奥数染色问题的知识点小朋友们，咱们来聊聊四年级奥数里神奇的染色问题！啥是染色问题呢？这就好像是给一个大拼图上色，只不过这个拼图可复杂啦！比如说，有一个方格阵，咱要给它们染上不同的颜色，然后看看能发现啥有趣的规律。

就像咱们玩跳棋，每个格子都得有自己独特的颜色，不能乱套。

你想想，如果颜色乱七八糟的，那得多乱呀！染色问题里常常会有一些特别的条件。

比如说，要求相邻的格子不能是同一种颜色。

这就好像你的好朋友不能和你穿一样的衣服去学校，不然多没个性！那怎么解决这些染色问题呢？这可得好好动动脑筋。

咱们可以一个一个格子地去考虑，就像走迷宫，一步一步来，可不能着急。

先选好第一个格子的颜色，然后再想下一个和它挨着的格子该用啥颜色。

比如说有个九宫格，咱们先给左上角的格子染成红色，那它旁边的格子就不能是红色啦，可能就得是蓝色或者黄色。

这是不是有点像排座位，不能让关系好的总坐在一起，得打乱了才有新鲜感！再比如说，给一个图形的顶点染色。

每个顶点就像是一个小将军，它们也得有自己独特的标志颜色。

而且还要注意，相邻顶点的颜色不能一样，不然它们就分不清自己的队伍啦！还有那种复杂的立体图形染色，这可就像是给一个大城堡涂颜色，每个面都得漂漂亮亮的，还不能重样。

解决染色问题的时候，咱们得细心，就像给妈妈准备礼物，得用心包装，不能马虎。

小朋友们，染色问题是不是很有趣呀？只要咱们认真思考，多尝试，就一定能解决这些难题，就像超级英雄打败大怪兽一样厉害！我相信你们都能在奥数的世界里玩得开心，学得快乐！总之，四年级奥数的染色问题虽然有点难，但只要咱们用心，就能找到其中的乐趣和秘密，成为奥数小高手！。

计数原理涂色问题计数原理是组合数学中的一个重要概念，它在各个领域都有着广泛的应用。

而涂色问题作为计数原理的一个经典应用，其背后蕴含着丰富的数学内涵和实际意义。

在这篇文档中，我们将深入探讨计数原理涂色问题的相关知识，希望能够为读者提供全面而深入的理解。

首先，我们来了解一下计数原理的基本概念。

计数原理是指一种通过计算不同情况的方法，来确定某种情况的总数的数学原理。

它包括了排列、组合、二项式定理等多个分支，其中涂色问题就是组合数学中的一个典型例子。

涂色问题通常是指在一定条件下对对象进行染色，要求某些对象不能出现相同颜色，或者要求某些对象必须出现相同颜色。

这种问题在实际生活中也有着诸多应用，比如图论中的地图染色问题、密码学中的密码染色问题等。

接下来，我们将以一个具体的案例来说明计数原理涂色问题的解题思路。

假设有一副扑克牌，我们需要从中选择5张牌，并对它们进行染色。

其中，我们要求有3张牌的花色相同，而另外2张牌的花色可以任意选择。

那么我们可以采用如下的思路来解决这个问题。

首先，我们可以计算出一副扑克牌中每种花色的数量，分别为13张。

然后，我们可以根据组合数学中的排列组合知识，计算出满足条件的染色方案总数。

具体的计算过程是，首先从4种花色中选择1种，有C(4,1)种选择方式；然后从13张中选择3张，有C(13,3)种选择方式；接着从3种花色中选择1种，有C(3,1)种选择方式；最后从13张中选择2张，有C(13,2)种选择方式。

因此，满足条件的染色方案总数为C(4,1) C(13,3) C(3,1) C(13,2)。

通过这样的计算，我们可以得到最终的结果。

除了上述案例之外，计数原理涂色问题还有着许多其他的变形和应用。

比如在图论中，我们可以将地图染色问题抽象成计数原理涂色问题，通过计算不同颜色的染色方案数来确定地图的染色方案。

在密码学中，密码染色问题也是计数原理涂色问题的一个典型应用，通过计算不同颜色的染色方案数来确定密码的染色方案。

小学奥数中的涂色问题涂色问题的常见方法与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。

解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。

本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。

一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ； （4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与42) 区域3与5必须同色，故有34A 种；3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。

第六讲 给方块涂颜色在一个由两行两列组成的大方格（如下图）中，请将每个方格涂成黑色或白色使得每行每列都有一个方格是一种颜色，另一个方格是另外一种颜色。

而且黑白格总数相等。

在一个有三行三列组成的大方格（如下图）中，请将每个方格涂成黑色或白色，使得每行每列都有2个小方格是一种颜色，1个小方格是另一种颜色。

在一个有4行4列组成的大方格中，请将每个方格涂成黑色或白色，使得（1） 每行每列都有2个方格是一种颜色，另2个方格是另一种颜色。

（2） 每行每列都有3个方格是一种颜色，另一个方格是另一种颜色。

挑战例题例1 例2例3在4×4的正方形方格纸中，将小方格涂上黑白两种颜色，得到两种不同的染色图。

如果将图上任意一横行或任意一竖行的四格全部改变颜色（黑格变白格，白格变成黑格），我们称之为一个交换。

能否经过若干次变换将A 图变成B 图？A B在8×8方格棋盘中，去掉左上角和右上角的小方格，剩下的62个方格能不能用31个1×2的“日”型覆盖？1、在一个6行6列的大方格棋盘上涂颜色。

用两种颜色涂色。

每一小格涂一种颜色，使得每行每列中： （1）有3格是一种颜色，另3格是另一种颜色；（2）有2格是一种颜色，另4格是另一种颜色； 课后展示例4 例5（3）有1格是一种颜色，另外5格是另一种颜色。

2、在一个7行7列的大方格棋盘上用两种颜色涂色，每一小格涂一种颜色，使得每行每列中：（1）有1格是一种颜色，另外6格是另一种颜色；（2）有2格是一种颜色，另外5格是另一种颜色；（3）有3格是一种颜色，另外4格是另一种颜色。

（注：以上各题每一问都有许多不同答案，如黑白对调，行与行对调，发现的涂法越多越好，如能运用对称的原理，则图形将非常优美）3、如图一所房子的示意图，图中数字表示房间号码，每间房子都与隔壁房间相通。

能不能从1号房间开始，不重复的走遍所有房间再回到1号房间？4、用15个“T ”字形纸片和1个“田”字形纸片，能否覆盖一个8×8的棋盘？1 5 32 4 6 7 8 9。

教学设计——涂色问题教学目标：1.能利用排列组合知识解决4类涂色问题，掌握涂色时的分类标准。

2.通过学生讨论、分析，培养学生观察、分析、综合和类比能力。

3.引导学生从生活中寻找和构造数学模型，逐步培养学生的发现意识和能力。

教学重点：利用分类方法解决涂色问题教学难点：分类的标准教学过程：一、问题引入我们经常看到的中国地图、世界地图都是利用6种不同的颜色对各个省、市或者不同的国家进行着色，为了区分起见相邻的区域涂成不同的颜色，这节课我们就来研究涂色与数学的关系。

【设计意图：引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学生的积极性】二、课程讲解（一）区域涂色问题例1.用红、黄2种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，共有多少种不同的涂色方法？【教师进行变式：（1）3种颜色全部使用（2）4种颜色全部使用（3）4种颜色可供选择（4）5种颜色可供选择，学生独立完成并陈述做法，教师引导学生归纳解题方法】【设计意图：阶梯式变式引导学生在做题过程中总结解法，让学生感受到成功的喜悦，充分调动课堂气氛，培养学生观察、分析和归纳总结能力，渗透分类讨论数学思想】练习.如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？（二）点的涂色问题例2.将一个四棱锥P ABCD -的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？【学生模仿例1做完后，教师引导学生观察此题与上题的关系，进而发现可将其转化为区域涂色问题】【设计意图：有利于学生的知识迁移和能力提高，渗透转化思想】（三）线段涂色问题例3.用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD 的四条边，每条边只涂一种颜色，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？（四）面涂色问题例4.四棱锥P ABCD -，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，（颜色可重复使用）有多少种不同的涂色方法？【学生模仿例2采用分类和转化的方法解题】【设计意图：加深对两种解题方法的认识，提高学生对模式的识别能力】三、巩固练习1.用5种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有 种。