小波变换的发展简史
- 格式：docx
- 大小：31.51 KB
- 文档页数：5
下载文档原格式
合集下载
小波基础知识
1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的 小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的 同样方法及其多尺度分析之后，小波分析才开始 蓬勃发展起来，其中比利时女数学家 I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作 用。它与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabor 变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换， 因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平 移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析 （Multiscale Analysis），解决了Fourier变换 不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为 “数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑 式的进展。
简化
正如1807年法国的热学工程师 J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成 三角函数的无穷级数的创新概念未能得到 著名数学家grange，place 以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是， 早在七十年代，A.Calderon表示定理的发 现、Hardy空间的原子分解和无条件基的 深入研究为小波变换的诞生做了理论上的 准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史 上非常类似于现在的小波基；
绪论
小波变换的历史：
小波分析是当前数学中一个迅速发展的新 领域，它同时具有理论深刻和应用十分广 泛的双重意义。
小波变换的概念是由法国从事石油信号处 理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的， 通过物理的直观和信号处理的实际需要经 验的建立了反演公式，当时未能得到数学 家的认可。
1822年Fourier变换,在频域的定位最准确，无任 何时域定位能力。
小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧 密地结合在一起地。现在，它已经在科技信 息产业领域取得了令人瞩目的成就。 电子 信息技术是六大高新技术中重要的一个领域， 它的重要方面是图象和信号处理。现今，信 号处理已经成为当代科学技术工作的重要部 分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊 断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精 确地重构（或恢复）。从数学地角度来看， 信号与图象处理可以统一看作是信号处理 （图象可以看作是二维信号），在小波分析 地许多分析的许多应用中，都可以归结为信 号处理问题。
小波分析简述第五章
“细节”基 函数
可编辑ppt
“正变换” 低频 和
高频 “滤波系数 “ ”反变换” 低频 和
高频 “滤波系24 数
5、小波基与滤波器系数
有的小波基是正交的，有的是非正交的。有的 小波基是对称的，有的是非对称的。 小波基（尺度函数和小波函数）可以通过给定 滤波系数生成。 小波的近似系数和细节系数可以通过滤波系数 直接导出，而不需要确切知道小波基函数，这 是 I. Daubechies 等的重要发现，使计算简 化，是快速小波分解和重建的基础。
的。小波变换既看到了森林（信号概貌），又看 到了树木（信号细节），能精确地在时间-频率 （时间-尺度）平面内刻画非平稳信号的特征，被 誉为“数学显微镜”。小波变换是迄今为止最优 秀的非平稳信号处理方法。
小波基的形状、紧支性、衰减性、对称性、光滑
性及正交性的不同决定了小波的千差万别，在小
波变换时，基函数的选择非常关键,在信号分解时，
可编辑ppt
11
CWT & DWT
CWT
1. Scale
At any scale
2. Translation At any point
3. Wavelet
Any wavelet that satisfies minimum criteria
4. Computation Large
5. Detection
第三阶段：全面应用时期。
从1992年开始，小波分析方法进入全面应用阶段。 MATLAB中，特意把小波分析作为其“ToolBox” 的单独一个工具箱。
可编辑ppt
4
二、小波定义
可编辑ppt
5
因为小波 (t)只有在原点附近才会存在明显的起伏，在
远离原点的地方函数值将迅速“衰减”为零，所以我 们 (t)称 为“小波”
可编辑ppt
“正变换” 低频 和
高频 “滤波系数 “ ”反变换” 低频 和
高频 “滤波系24 数
5、小波基与滤波器系数
有的小波基是正交的，有的是非正交的。有的 小波基是对称的，有的是非对称的。 小波基（尺度函数和小波函数）可以通过给定 滤波系数生成。 小波的近似系数和细节系数可以通过滤波系数 直接导出，而不需要确切知道小波基函数，这 是 I. Daubechies 等的重要发现，使计算简 化，是快速小波分解和重建的基础。
的。小波变换既看到了森林（信号概貌），又看 到了树木（信号细节），能精确地在时间-频率 （时间-尺度）平面内刻画非平稳信号的特征，被 誉为“数学显微镜”。小波变换是迄今为止最优 秀的非平稳信号处理方法。
小波基的形状、紧支性、衰减性、对称性、光滑
性及正交性的不同决定了小波的千差万别，在小
波变换时，基函数的选择非常关键,在信号分解时，
可编辑ppt
11
CWT & DWT
CWT
1. Scale
At any scale
2. Translation At any point
3. Wavelet
Any wavelet that satisfies minimum criteria
4. Computation Large
5. Detection
第三阶段：全面应用时期。
从1992年开始，小波分析方法进入全面应用阶段。 MATLAB中，特意把小波分析作为其“ToolBox” 的单独一个工具箱。
可编辑ppt
4
二、小波定义
可编辑ppt
5
因为小波 (t)只有在原点附近才会存在明显的起伏，在
远离原点的地方函数值将迅速“衰减”为零，所以我 们 (t)称 为“小波”
一：小波变换的由来二：傅里叶变换
经过近一个学期的学习，我对小波这个概念有了浅显的认识，下面主要从以下几个方面对小波概念展开我的理解。
一：小波变换的由来小波变换的概念是1984年法国地球物理学家J.Morlet 在分析地球物理勘探资料时提出来的。
小波变换的基础是19世纪的傅里叶变化，其后理论物理学家A.Grossman 采用平移和伸缩不变性建立了小波变换的理论体系。
1985年，法国数学家Y.Meyer 第一个构造出具有一定衰减性的光滑小波。
1988年，比利时数学家I.Daubechies 证明了紧支撑正交标准小波基的存在性，使得离散小波分析成为可能。
1989年，比利时数学家S.Mallat 提出了多分辨率分析概念，统一了在此之前的各种构造小波的方法，特别是提出了二进小波变换的快速算法，使得小波变换完全走向实用性。
二：傅里叶变换傅里叶变换是信号处理常用的方法，它架起了时间域和频率域之间的桥梁。
傅里叶变换所用的正弦波e −iωt 是所有线性时不变算子的特征向量，所以傅里叶变换对于线性时不变信号一直处于一种统治地位。
设f(t)∈L 1(R )，连续傅里叶变换定义为：F (ω)=∫e −iωt f (t )dt +∞−∞F (ω)傅里叶逆变换定义为：f (t )=12π∫e iωt F (ω)dω+∞−∞实际应用中，计算机处理信号时要求信号时离散的，并且为有限长。
因此，有了短时傅里叶变换(DFT)。
给定实的或复的离散时间序列f 0, f 1,…, f N−1，设该序列绝对可积，即满足∑|fn |<∞N−1n=0，则序列{f n }的离散傅里叶变换为： X (k )=F (f n )=∑f n N−1n=0e−i 2πk N n 序列{ X (k )}的离散傅里叶逆变换(IDFT)为：f n =1N ∑X (k )N−1k=0e i 2πN n从物理意义上讲，傅里叶变换的实质是把f(t)波形分解成许多不同频率的正弦波的叠加和，这样我们就可以从时域转换到频域实现对信号的分析。
小波变换
小波变换在现代的科学研究中有着广阔的应用。
作为一种近些年提出的新的数学概念，它的科学研究工具的作用正在被充分发掘。
1 小波变换的提出小波变换（wavelet transform ）是80年代后期发展起来的应用数学分支。
虽然从历史上往上追溯，在此之前已有一些学者零散地进行过一些工作，但在理论上构成较系统的构架则主要是法国数学家Y .Meyer 和地质物理学家J.Morlet 及理论物理学家A.Grossmanr 的贡献。
而把这一理论引入工程应用，特别是信号处理领域，法国学者 I.Daubechies 和 S.Mallat 则起着极为重要的作用。
因此人们有把小波分析的兴起归功于所谓‘法国学派’。
小波变换的含义是：把某一被称为基本小波[也叫母小波（mother wavelet ）]的函数()t ψ作位移τ后，再在不同尺度α下与待分析信号()x t 作内积：*(,)()(),0x t WT x t dt τατϕαα+∞-∞-=>等效的频域变化是：*(,)()()2j x WT x e d ωπατωϕαωωπ+∞+-∞=⎰其中()X t ，()ψω是()x t ()t ϕ的傅里叶变换。
2 小波变换的特点小波变换有以下特点：1、具有多分辨率（multi-resolution ）,也叫多尺度（multi-scale ）的特点，可以由粗及精地逐步观察信号。
2、也可以看成是用基本频率特性为()ψω的带通滤波器在不同尺度α下对信号作滤波。
由于傅里叶变换的尺度特性： 如果()t ψ的傅里叶变换是()ψω，则()t αϕ的傅里叶变换为()αψαω。
因此这组滤波器有品质因数恒定，即相对带宽（带宽与中心频率之比）恒定的特点。
注意，α愈大相当于频率愈低。
3、适当地选择基本小波，使()t ϕ在时域上为有限支撑，()ψω在频域上也比较集中，便可以使WT 在时频两域都有表征信号局部特征的能力，因此有利于检测信号的瞬态或奇异点。
第3章小波变换简介
数的分析方法逐步出现。基 函数在频率和位置上都是变化的。“小”。 小波变换是通过缩放母小波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征， 通过平移母小波来获得信号的时间信息。 对母小波的缩放和平移操作是为了计算小 波系数，这些小波系数反映了小波和局部 信号之间的相关程度。
j t
d
da W f (a, b)a,b (t )db a 2 0
1 t b a ,b (t ) ( ) a a
小波系数的意义
Wf (a,b)表示信号与尺度为a小波的相关程 度。小波系数越大，二者越相似。
F ( )
f (t )e
j t
傅立叶变换
F ( )
f (t )e
j t
dt
将信号分解为不同频率的正弦波的叠加
傅立叶变换
架起了时域和频域的桥梁
只有频率分辨率而没有时间分辨率。 可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能确 定具有这些频率的信号出现在什么时候。
傅立叶变换
如果想要研究函数在区间(a,b)上的性质， 一个很自然的想法就是利用函数 乘f(t)
小波变换简介
傅立叶变换
信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。 1807年，Joseph Fourier 傅立叶变换以在两个方向上都无限伸展的正弦曲 线波作为正交基函数， 提供了有关频率域的信息， 但有关时间的局部化信息却基本丢失。 原因是对于瞬态信号或高度局部化的信号（如边 缘），由于这些成分并不类似于任何一个傅立叶 基函数，它们的变换系数（频谱）不紧凑的，频 谱上呈现出一幅相当混乱的构成 。
1980：Morlet 1970s，在法国石油公司工作的年轻地球物理 学家Jean Morlet提出小波变换 (wavelet transform，WT)的概念。 1980s,连续小波变换 (continuous wavelet transform， CWT)。 1986：Y. Meyer 法国科学家Y.Meyer与其同事创造性地构造出 具有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数； 用缩放(dilations)与平移(translations)均为2 j(j≥0 的整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基， 使小波分析得到发展。
j t
d
da W f (a, b)a,b (t )db a 2 0
1 t b a ,b (t ) ( ) a a
小波系数的意义
Wf (a,b)表示信号与尺度为a小波的相关程 度。小波系数越大，二者越相似。
F ( )
f (t )e
j t
傅立叶变换
F ( )
f (t )e
j t
dt
将信号分解为不同频率的正弦波的叠加
傅立叶变换
架起了时域和频域的桥梁
只有频率分辨率而没有时间分辨率。 可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能确 定具有这些频率的信号出现在什么时候。
傅立叶变换
如果想要研究函数在区间(a,b)上的性质， 一个很自然的想法就是利用函数 乘f(t)
小波变换简介
傅立叶变换
信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。 1807年，Joseph Fourier 傅立叶变换以在两个方向上都无限伸展的正弦曲 线波作为正交基函数， 提供了有关频率域的信息， 但有关时间的局部化信息却基本丢失。 原因是对于瞬态信号或高度局部化的信号（如边 缘），由于这些成分并不类似于任何一个傅立叶 基函数，它们的变换系数（频谱）不紧凑的，频 谱上呈现出一幅相当混乱的构成 。
1980：Morlet 1970s，在法国石油公司工作的年轻地球物理 学家Jean Morlet提出小波变换 (wavelet transform，WT)的概念。 1980s,连续小波变换 (continuous wavelet transform， CWT)。 1986：Y. Meyer 法国科学家Y.Meyer与其同事创造性地构造出 具有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数； 用缩放(dilations)与平移(translations)均为2 j(j≥0 的整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基， 使小波分析得到发展。
【第1讲】小波变换概述
2.傅里叶分析与小波分析的区别
傅立叶分析中，以单个变量（时间或频率）的函数 表示信号，对时域信号进行傅立叶变换，求得信号 频率函数，这时已经没有时间因素，因此，傅立叶 变换只能作频域分析，不能同时作时域频域分析。 在小波分析中，利用联合时间 — 尺度函数分析信号 ，通过平移和伸缩巧妙地构造小波基，使小波同时 具有时间平移和多尺度分辨率的特点，可以同时进 行时频域分析。 小波分析是一种时间和频率的局域变换，采用多分 辨率分析的思想，非均匀地划分时频空间。
在我国，对小波分析的研究起步较晚，20世纪90年代以 来，小波理论研究和应用研究几乎同时开始，1994年形 成国内小波研究的高潮。
4.小波分析的发展前景
目前人们普遍认为以下研究具有重要意义：
非线性小波变换的理论研究和应用。 快速小波算法与小波包算法。 超大规模科学计算的快速小波变换与算法。 小波理论在混沌湍流中的应用。 小波理论在偏微分方程求解中的应用。
出伸缩和平移的概念，第一次使用“Wavelet”。 1985年，Meyer证明了一维小波基的存在。 1987年，法国马赛召开第一次有关小波的国际会议。
1988年，Mallat与Meyer提出了多分辨分析理论。
1988年，比利时数学家Daubechies发表一篇长达
87页的论文，被认为是小波分析的纲领性文献。 1989年，Mallat构造了Mallat算法。 1990年，Meyer出版第一部专著《小波与算子》。 1992年，Daubechies的《小波10讲》系统介绍了 离散小波变换和连续小波变换等。 1992年以后，转向小波的应用推广。
通过伸缩和平移等运算功能对信号进行多尺度细化分 析（Multiscale Analysis），可以在不同尺度上来观 察信号。 对低频部分采取较高的频率分辨率和较低的时间分辨 率，在高频部分采取较高的时间分辨率和较低的频率 分辨率。 逐渐精细的时域步长，可以聚焦到被分析信号的任意 细节，因而它比傅立叶分析更适合处理非平稳信号。 被誉为“数学显微镜”。
小波变换
小波变换111040698 杨阳小波变换(wavelet transform)是傅立叶变换的发展，中间经历了窗口傅立叶变换。
原始数据一般是时间或空间信号，在时空上有最大分辨率。
时空信号经傅立叶变换后得到频率信号，在频域上有最大分辨率，但其本身并不包含时空定位信息。
窗口傅立叶变换通过对时空信号进行分段或分块进行时空-频谱分析，但由于其窗口的大小是固定的，不适用于频率波动大的非平稳信号。
而小波变换可以根据频率的高低自动调节窗口大小，是一种自适应的时频分析方法，具有多分辨分析功能。
傅立叶变换与小波变换傅立叶变换(Fourier transform)是法国科学家Joseph Fourier发表于1822年的他在用无穷三角级数求解热传导偏微分方程时所提出的一种数学方法，它可将时空信号变换成频率信号。
鉴于傅立叶变换不含时空定位信息，（1971年的诺贝尔物理学奖获得者）匈牙利人Dennis Gabor于1946年提出窗口傅立叶变换（window Fourier transform）。
可以用于时频分析，但是窗口大小是固定的。
1984年法国的物理学家Jean Morlet和A. Grossman，在进行石油勘探的地震数据处理分析时，又提出了具有可变窗口的自适应时频分析方法——小波变换（wavelet transform）。
傅立叶变换傅立叶变换(Fourier transform)是1807年法国科学家Joseph Fourier在研究热力学问题时所提出来的一种全新的数学方法，当时曾受到数学界的嘲笑与抵制，后来却得到工程技术领域的广泛应用，并成为分析数学的一个分支——傅立叶分析。
原始的多媒体数据一般为时空信号，在时空上有最大分辨率，并可利用时空上的相关性进行数据压缩。
Fourier变换可将时空域中的多媒体信号映射到频率域来研究，即更符合人类感觉特征，也可以利用信号在频率域中的冗余进行数据压缩。
Fourier变换所得的频率信号，在频率域上有最大分辨率，但其本身并不包含时空定位信息。
文献综述 小波变换(Wavelet Transform)的概念是1984年法国地球 ...
文献综述小波变换（Wavelet Transform）的概念是1984年法国地球物理学家J.Morlet在分析处理地球物理勘探资料时提出来的。
小波变换的数学基础是19世纪的傅里叶变换，其后理论物理学家A.Grossman采用平移和伸缩不变性建立了小波变换的理论体系。
1985年，法国数学家Y.Meyer第一个构造出具有一定衰减性的光滑小波。
1988年，比利时数学家I.Daubechies证明了紧支撑正交标准小波基的存在性，使得离散小波分析成为可能。
1989年S.Mallat提出了多分辨率分析概念，统一了在此之前的各种构造小波的方法，特别是提出了二进小波变换的快速算法，使得小波变换完全走向了实用性。
小波分析是建立在泛函分析、Fourier分析、样条分析及调和分析基础上的新的分析处理工具。
它又被称为多分辨率分析，在时域和频域同时具有良好的局部化特性，常被誉为信号分析的“数据显微镜”。
近十多年来，小波分析的理论和方法在信号处理、语音分析、模式识别、数据压缩、图像处理、数字水印、量子物理等专业和领域得到广泛的应用。
小波变换分析在数据处理方面的应用主要集中在安全变形监测数据和GPS观测数据的处理，应为他们都对精度用较高的要求，而小波变换分析方法的优势能满足这个要求。
在安全变形数据处理主要集中在去噪处理、识别变形的突变点，也包括提取变形特征、分离不同变形频率、估计观测精度、小波变换最佳级数的确定等。
在GPS数据处理方面包括：利用小波分析法来检测GPS相位观测值整周跳变的理论与方法，GPS粗差检测、GPS信号多路径误差分析、相位周跳检测、基于小波的GPS双差残差分析等。
国内有关学者和研究人员研究工作如下：李宗春等研究了变形测量异常数据中小波变换最佳级数的确定，综合分析数据去噪效果的4 个分项评价指标，即数据的均方根差变化量、互相关系数、信噪比及平滑度，将各分项评价指标归化到[0, 1]后相加得到总体评价指标，将总体评价指标最大值所对应的级数定义为小波分解与重构的最佳级数。
小波变换的发展简史
小波变换的发展简史从时频分析方法发展的角度出发（对比每种方法的优缺点），简述了小波变换的发展历史。
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。
幸运的是，1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来。
与Fourier变换、窗口Fourier变换相比，它是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展，势必取代傅立叶分析的位置。
1．小波分析的3个特点：小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。
有利于分析确定时间发生的现象。
（傅里叶变换只具有频率分析的性质）小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级。
信号长度为M 时，Fourier变换（左）和小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：2. 小波基表示发生的时间和频率：傅里叶变换（Fourier）基小波基时间采样基“时频局域性” 图解：Fourier变换的基（上）小波变换基（中）和时间采样基（下）的比较4.信号的时频分析：信号时频分析的重要性：时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。
信号的时域和频域之间具有紧密的联系。
信号时频分析的主要方法：3. 傅里叶变换（一）傅里叶变换伟大贡献及其局限性：傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑，从1807年开始，直到1966年整整用了一个半世纪多才发展成熟，她在各个领域产生了深刻的影响得到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。
小波变换总结
小波理论总结目录一、基础知识 (4)1.起源与发展 (4)2.傅里叶分析 (4)（1）傅里叶变换（FT）定义 (4)（2）傅里叶变换的性质 (5)（3）离散傅里叶变换（DFT） (5)3.泛函分析 (6)（1）函数空间 (6)（2）基底及展开 (7)（3）正交基 (7)（4）双正交基 (7)（5）框架 (8)（6）Riesz基 (8)（7）紧支撑 (8)二、窗口傅里叶变换 (9)1.傅里叶变换的缺点 (9)2.Gabor变换 (9)3.时窗/频窗处理 (10)4.基本定义 (10)5.Gabor变换的缺点 (10)三、小波变换 (10)1.连续小波变换 (11)1）母小波 (11)2）小波基函数 (11)3）连续小波变换 (11)4）性质 (12)2.离散小波变换 (12)（1）二进小波变换 (12)（2）小波框架 (13)（3）对偶小波 (13)（4）小波逆变换 (14)四、多分辨分析 (14)1.多分辨分析 (15)2.正交小波变换 (16)3.正交小波变换的具体实现 (17)4.双正交小波变换 (17)5.一维Mallat算法 (18)6.二维Mallat算法 (20)五、小波包分析 (22)1) 小波包的定义 (23)2) 小波包的性质 (23)3) 小波包的空间分解 (24)4) 小波库 (25)5) 小波包算法 (25)六、小波基选择标准 (26)1、支撑长度 (26)2、对称性 (26)3、消失矩 (26)4、正则性 (27)5、相似性 (27)六、常用的连续小波基函数 (27)1. 常用的连续小波基函数 (27)（1）Haar小波 (27)（2）Daubechies(dbN)小波系 (28)（3）Biorthogonal(bior N r.N d)小波系 (29)（4）Coiflet(coif N)小波系 (30)（5）Morlet 小波 (30)（6）Marr小波（Mexcian hat） (31)（7）DOG（Difference of Gaussian）小波 (32)（7）Meyer函数 (32)2. 信号的连续小波变换 (33)七、第二代小波变换 (34)1.提升方案 (34)2.把小波变换分解成基本的提升步骤 (36)3.整数小波变换 (39)4.第二代小波变换具体实现 (40)八、小波图像编码 (41)1.小波变换图像编码的基本框架 (41)1) 解相关变换过程 (42)2) 量化过程 (42)3) 熵编码过程 (43)2.SPIHT算法 (43)1) 嵌入式零树编码（EZW）算法 (43)2) 在层次树中的集划分（SPIHT）算法 (45)一、基础知识1.起源与发展小波理论是建立在傅里叶分析和泛函分析基础之上的时频分析工具之一。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
从时频分析方法发展的角度出发（对比每种方法的优缺点），简述了小波变换的发展历史。
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet 在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。
幸运的是，1986年著名数学家Y.Meyer 偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat 合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来。
与Fourier 变换、窗口Fourier 变换相比，它是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展，势必取代傅立叶分析的位置。
1．小波分析的3个特点：• 小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。
有利于分析确定时间发生的现象。
（傅里叶变换只具有频率分析的性质）• 小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）• 小波变换比快速Fourier 变换还要快一个数量级。
信号长度为M 时， Fourier 变换（左）和小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：M O M M O w f ==,log 2 小波基表示发生的时间和频率：4.信号的时频分析：• 信号时频分析的重要性：- 时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。
- 信号的时域和频域之间具有紧密的联系。
• 信号时频分析的主要方法：t d e (t)f )(F -t j -⎰+∞∞=ωω傅里叶变换（Fourier ）基小波基时间采样基ωωπωd e )(F 21(t)f -t j ⎰+∞∞= 3. 傅里叶变换（一）傅里叶变换伟大贡献及其局限性：傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑，从1807年开始，直到1966年整整用了一个半世纪多才发展成熟，她在各个领域产生了深刻的影响得到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。
其原因是傅立叶理论不仅仅在数学上有很大的理论价值，更重要的是傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息具有物理意义。
遗憾的是，这种理论具有一定的局限性。
（1）傅立叶变换的三种形式中的傅立叶系数都是常数,不随时间 t 变化。
因而只能处理频谱成分不变的平稳信号，相反地在处理非平稳信号时会带来很大误差甚至与实际情况大相径庭。
在实际信号中，若高频与低频差别很大，在相同的时间间隔内，高频信号衰减了而低频信号尚未衰减。
所以，在不同时刻信号的频谱成分是不同的，硬要用傅立叶变换找出所有时刻的频谱成分，硬要把幅值的变化用频率的变化来补偿，不仅高频的傅立叶系数有误差低频的傅立叶系数也有很大误差，包括求出的频率当然也有误差。
（2）求傅立叶系数是全时间域上的加权平均。
局部突变信息被平均掉了，局部突变信息的作用很难反映出来 （好比吃大锅饭，平均主义）。
差别很大的信号，如方波、三角波、正弦波都可以得到相同的频率，所以处理、捕捉突变信号如故障信号，灵敏度很差。
处理、捕捉突变信号应使用能反映局部信息的变换。
为了克服以上两点局限性，这就要求： ①将变换系数视为随时间变化的，级数求和由一重变为两重； ②使用能反映局部信息的变换，则函数组不能使用全域上的函数，只能使用有所谓紧支撑的函数，即 “小波函数” 或加窗傅立叶变换的窗函数。
（二）Garbor 变换——窗口Fourier 变换：在时间--频率分析中，Fourier 变换公式的不足已经被 D. Garbor 注意到了，在 1946 年的论文中，为了提取信号的 Fourier 变换的局部信息，引入了一个时间局部化的 Gaussian 函数作为“窗函数”g （t -b ）其中参数b 用于平移动窗以便覆盖整个时间域。
因为一个 Gaus -sian 函数的 Fourier 变换还是 Gaussian 函数，所以Fourier 逆变换即频率也是局部的。
（三）傅立叶变换的缺点：• 用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。
• 傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。
• 傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变成分。
由于上述原因，必须进一步改进，克服上述不足，这就导致了小波分析。
4. 小波变换（一）小波变换的分类：• 连续小波变换- 时间、控制窗口大小的参数和时移参数都连续的小波变换。
• 离散参数小波变换- 时间连续，控制窗口大小的参数和时移参数离散的小波变换。
• 离散小波变换时间、控制窗口大小的参数和时移参数都离散的小波变换。
（二）克服傅里叶变换的不足：（1）克服第一个不足：小波系数不仅像傅立叶系数那样，是随频率不同而变化的，而且对于同一个频率指标j，在不同时刻k，小波系数也是不同的。
（2）克服第二个不足：由于小波函数具有紧支撑的性质即某一区间外为零。
这样在求各频率水平不同时刻的小波系数时，只用到该时刻附近的局部信息。
从而克服了上面所述的第二个不足。
（3）克服第三个不足：通过与加窗傅立叶变换的“时间—频率窗”的相似分析，可得到小波变换的“时间—频率窗”的笛卡儿积。
小波变换的“时间--频率窗”的宽度，检测高频信号时变窄，检测低频信号时变宽。
这正是时间--频率分析所希望的。
根据小波变换的“时间—频率窗”的宽度可变的特点，为了克服上面所述的第三个不足，只要不同时检测高频与低频信息，问题就迎刃而解了。
如，选择从高频到低频的检测次序，首先选择最窄的时间窗，检测到最高频率信息，并将其分离。
然后，适当放宽时间窗，再检测剩余信息中的次高频信息。
再分离，再放宽时间窗，再检测次次高频信息，依次类推。
为了检测到不同频率水平信息，即求出不同频率水平下不同时刻的小波系数，重点是首先要选好小波函数。
（三）小波变换各阶段发展史：（1）1910 年，Haar 提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar 正交基。
Haar 正交基是以一个简单的二值函数作为母小波经平移和伸缩而形成的。
优点：Haar 小波具有最优的时（空）频域分辨率。
缺点：Haar 小波基石非连续函数，因而Haar 小波变换的频域分辨率非常差。
（2）1987 年，Mallat 将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat 算法）。
他标志着第一代小波的开始。
先滤波，再进行抽二采样（抽取）。
优点：Mallat 算法在小波分析中的地位相当于FFT 在经典傅里叶分析中的地位。
他是小波分析从纯理论走向实际应用。
缺点：以傅里叶变换为基础，直接在时（空）域中设计滤波器比较困难，并且计算量大。
（3）1992 年，Coifman 和Wickerhauser 提出了小波包（Wavelet Packet，WP）分析。
不仅对低通子带进行分解，而且也对高通分量分解，从而聚焦到感兴趣的任意频段。
优点：突破了小波分析对信号频带进行等Q 划分的局限性。
缺点：最优基德搜索问题。
（4）1993 年，Goodman 等基于r 阶多尺度函数及多分辨分析建立了多小波（multi-wavelet）理论框架。
将单个小波中由多个尺度函数生产的多分辨率空间扩展为由多个尺度函数生成，以此获取更大的自由度。
优点：与“二带”小波、小波包、多带小波等单尺度小波相比，多小波在非常窄的紧支范围内同时具有光滑性、正交性、对称性、李普希茨Lipschitz 连续性（消失矩）等特性。
（5）1995 年，Sweldens 等提出了一种新的小波构造算法——提升方案（Lifting Scheme）。
它标志着第二代小波的开始。
先将原始离散样本信号进行奇偶剖分，然后对奇偶样本点进行滤波处理。
优点：所有的第一代小波都可以用提升方案构造出来。
具有运算速度快、对内存需求量效、实现整整变换等特点。
缺点：对于边缘、轮廓和纹理等具有高维奇异性的几何特征，小波不是表示图像的最优基。
（6）1997 年，Meyer 和Coifmen 提出了Brushlet 变换，即一种自适应频带分割方法。
优点：非常适合描述周期纹理图像。
缺点：对于分片光滑图像边缘不能提供稀疏表示。
（7）1998 年，Candés 和Donoho 提出了连续脊波（Ridgelet）变换利用Radon 变换将一维奇异特征（线奇异）映射为零维奇异特征（点奇异），然后进行小波变换。
优点：Ridgelet 变换时表示具有线奇异性的多变量函数的最优基。
缺点：对图像曲线边缘的描述，其逼近性能只能相当于小波变换（8）1999 年，美国学者Monoho 提出了楔波变换（Wedgelet Transform），Wedgelet 是定义在正方形区域上的分片二值函数，该区域被一条直线分成两个楔块，直线的方向可以根据边缘的方向调节，用一系列不同尺寸不同方向的Wedgelet 可以逼近图像的边缘轮廓。
优点：使用多尺度Wedgelet 对图像轮廓进行近分段线性近似，能够较好地捕捉图像中线和面的特征。
缺点：没有基于临界采样的滤波器组（临界采样对于压缩时很方便的）。
（9）1999 年，美国斯坦福大学的David L.Donoho 教授提出了小线（Beamlet）变换。
以各种方向、尺度和位置信息的小线段为基本单元建立小线库，沿小线库中小线段对目标图像进行线积分产生小线变换系数，以小线金字塔方式组合变换系数，再以小线图结构为驱动从小线金字塔中提取小线变换系数，从而实现多尺度分析。
优点：对于处理强噪声背景的图像有无可比拟的优势。
缺点：小线库（字典）、小线金字塔扫描等小线变换的前期准备工作过于庞大，需要简化以利于研究。
（10）2000 年，法国学者Penec 和Mallat 提出了第一代Bandelet 变换。
根据图像内容将图像分割成大小不一的矩形块，变化剧烈的区域用多一些的小矩形块分割，而变化缓慢的区域用少一些的大矩形块分割。
对每一个矩形块应用和边缘同向德几何流对其进行描述。
把分割方式和几何流模型作为参数，去优化一个给定的目标函数，从而得到该图像的最优表示。
优点：能够自适应地跟踪图像的几何正则方向，适合图像压缩应用。
能够对图像不同变化区域给以不同的处理，并抛弃“边缘”这一不易于从数学上界定的概念，转而采用“几何流”这样一个反应图像连续区域变化的概念。
缺点：没有基于临界采样的滤波器组。
（11）2001 年，Cohen 和Matei 提出了边缘自适应多尺度变换（Edge_adaptedMultiscale Transform）基于边缘方向检测的非线性多尺度变换。
其有点就是用于图像压缩，重构图像边缘处的视觉效果明显优于小波变换。