小波变换的发展简史

1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的 小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的 同样方法及其多尺度分析之后，小波分析才开始 蓬勃发展起来，其中比利时女数学家 I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作 用。它与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabor 变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换， 因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平 移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析 （Multiscale Analysis），解决了Fourier变换 不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为 “数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑 式的进展。
简化
正如1807年法国的热学工程师 J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成 三角函数的无穷级数的创新概念未能得到 著名数学家grange，place 以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是， 早在七十年代，A.Calderon表示定理的发 现、Hardy空间的原子分解和无条件基的 深入研究为小波变换的诞生做了理论上的 准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史 上非常类似于现在的小波基；
绪论
小波变换的历史：
小波分析是当前数学中一个迅速发展的新 领域，它同时具有理论深刻和应用十分广 泛的双重意义。
小波变换的概念是由法国从事石油信号处 理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的， 通过物理的直观和信号处理的实际需要经 验的建立了反演公式，当时未能得到数学 家的认可。
1822年Fourier变换,在频域的定位最准确，无任 何时域定位能力。
小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧 密地结合在一起地。现在，它已经在科技信 息产业领域取得了令人瞩目的成就。 电子 信息技术是六大高新技术中重要的一个领域， 它的重要方面是图象和信号处理。现今，信 号处理已经成为当代科学技术工作的重要部 分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊 断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精 确地重构（或恢复）。从数学地角度来看， 信号与图象处理可以统一看作是信号处理 （图象可以看作是二维信号），在小波分析 地许多分析的许多应用中，都可以归结为信 号处理问题。

“细节”基 函数
可编辑ppt
“正变换” 低频 和
高频 “滤波系数 “ ”反变换” 低频 和
高频 “滤波系24 数
5、小波基与滤波器系数
有的小波基是正交的，有的是非正交的。有的 小波基是对称的，有的是非对称的。 小波基（尺度函数和小波函数）可以通过给定 滤波系数生成。 小波的近似系数和细节系数可以通过滤波系数 直接导出，而不需要确切知道小波基函数，这 是 I. Daubechies 等的重要发现，使计算简 化，是快速小波分解和重建的基础。
的。小波变换既看到了森林（信号概貌），又看 到了树木（信号细节），能精确地在时间-频率 （时间-尺度）平面内刻画非平稳信号的特征，被 誉为“数学显微镜”。小波变换是迄今为止最优 秀的非平稳信号处理方法。
小波基的形状、紧支性、衰减性、对称性、光滑
性及正交性的不同决定了小波的千差万别，在小
波变换时，基函数的选择非常关键,在信号分解时，
可编辑ppt
11
CWT & DWT
CWT
1. Scale
At any scale
2. Translation At any point
3. Wavelet
Any wavelet that satisfies minimum criteria
4. Computation Large
5. Detection
第三阶段：全面应用时期。
从1992年开始，小波分析方法进入全面应用阶段。 MATLAB中，特意把小波分析作为其“ToolBox” 的单独一个工具箱。
可编辑ppt
4
二、小波定义
可编辑ppt
5
因为小波 (t)只有在原点附近才会存在明显的起伏，在
远离原点的地方函数值将迅速“衰减”为零，所以我 们 (t)称 为“小波”

经过近一个学期的学习，我对小波这个概念有了浅显的认识，下面主要从以下几个方面对小波概念展开我的理解。

一：小波变换的由来小波变换的概念是1984年法国地球物理学家J.Morlet 在分析地球物理勘探资料时提出来的。

小波变换的基础是19世纪的傅里叶变化，其后理论物理学家A.Grossman 采用平移和伸缩不变性建立了小波变换的理论体系。

1985年，法国数学家Y.Meyer 第一个构造出具有一定衰减性的光滑小波。

1988年，比利时数学家I.Daubechies 证明了紧支撑正交标准小波基的存在性，使得离散小波分析成为可能。

1989年，比利时数学家S.Mallat 提出了多分辨率分析概念，统一了在此之前的各种构造小波的方法，特别是提出了二进小波变换的快速算法，使得小波变换完全走向实用性。

二：傅里叶变换傅里叶变换是信号处理常用的方法，它架起了时间域和频率域之间的桥梁。

傅里叶变换所用的正弦波e −iωt 是所有线性时不变算子的特征向量，所以傅里叶变换对于线性时不变信号一直处于一种统治地位。

设f(t)∈L 1(R )，连续傅里叶变换定义为：F (ω)=∫e −iωt f (t )dt +∞−∞F (ω)傅里叶逆变换定义为：f (t )=12π∫e iωt F (ω)dω+∞−∞实际应用中，计算机处理信号时要求信号时离散的，并且为有限长。

因此，有了短时傅里叶变换(DFT)。

给定实的或复的离散时间序列f 0, f 1,…, f N−1，设该序列绝对可积，即满足∑|fn |<∞N−1n=0，则序列{f n }的离散傅里叶变换为： X (k )=F (f n )=∑f n N−1n=0e−i 2πk N n 序列{ X (k )}的离散傅里叶逆变换(IDFT)为：f n =1N ∑X (k )N−1k=0e i 2πN n从物理意义上讲，傅里叶变换的实质是把f(t)波形分解成许多不同频率的正弦波的叠加和，这样我们就可以从时域转换到频域实现对信号的分析。

小波变换在现代的科学研究中有着广阔的应用。

作为一种近些年提出的新的数学概念，它的科学研究工具的作用正在被充分发掘。

1 小波变换的提出小波变换（wavelet transform ）是80年代后期发展起来的应用数学分支。

虽然从历史上往上追溯，在此之前已有一些学者零散地进行过一些工作，但在理论上构成较系统的构架则主要是法国数学家Y .Meyer 和地质物理学家J.Morlet 及理论物理学家A.Grossmanr 的贡献。

而把这一理论引入工程应用，特别是信号处理领域，法国学者 I.Daubechies 和 S.Mallat 则起着极为重要的作用。

因此人们有把小波分析的兴起归功于所谓‘法国学派’。

小波变换的含义是：把某一被称为基本小波[也叫母小波（mother wavelet ）]的函数()t ψ作位移τ后，再在不同尺度α下与待分析信号()x t 作内积：*(,)()(),0x t WT x t dt τατϕαα+∞-∞-=>等效的频域变化是：*(,)()()2j x WT x e d ωπατωϕαωωπ+∞+-∞=⎰其中()X t ，()ψω是()x t ()t ϕ的傅里叶变换。

2 小波变换的特点小波变换有以下特点：1、具有多分辨率（multi-resolution ）,也叫多尺度（multi-scale ）的特点，可以由粗及精地逐步观察信号。

2、也可以看成是用基本频率特性为()ψω的带通滤波器在不同尺度α下对信号作滤波。

由于傅里叶变换的尺度特性： 如果()t ψ的傅里叶变换是()ψω，则()t αϕ的傅里叶变换为()αψαω。

因此这组滤波器有品质因数恒定，即相对带宽（带宽与中心频率之比）恒定的特点。

注意，α愈大相当于频率愈低。

3、适当地选择基本小波，使()t ϕ在时域上为有限支撑，()ψω在频域上也比较集中，便可以使WT 在时频两域都有表征信号局部特征的能力，因此有利于检测信号的瞬态或奇异点。

数的分析方法逐步出现。基 函数在频率和位置上都是变化的。“小”。 小波变换是通过缩放母小波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征， 通过平移母小波来获得信号的时间信息。 对母小波的缩放和平移操作是为了计算小 波系数，这些小波系数反映了小波和局部 信号之间的相关程度。



j t
d
da W f (a, b)a,b (t )db a 2 0
1 t b a ,b (t ) ( ) a a
小波系数的意义
Wf (a,b)表示信号与尺度为a小波的相关程 度。小波系数越大，二者越相似。
F ( )


f (t )e
j t
傅立叶变换
F ( )

f (t )e
j t
dt
将信号分解为不同频率的正弦波的叠加
傅立叶变换
架起了时域和频域的桥梁
只有频率分辨率而没有时间分辨率。 可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能确 定具有这些频率的信号出现在什么时候。
傅立叶变换
如果想要研究函数在区间(a,b)上的性质， 一个很自然的想法就是利用函数 乘f(t)
小波变换简介
傅立叶变换
信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。 1807年，Joseph Fourier 傅立叶变换以在两个方向上都无限伸展的正弦曲 线波作为正交基函数， 提供了有关频率域的信息， 但有关时间的局部化信息却基本丢失。 原因是对于瞬态信号或高度局部化的信号（如边 缘），由于这些成分并不类似于任何一个傅立叶 基函数，它们的变换系数（频谱）不紧凑的，频 谱上呈现出一幅相当混乱的构成 。
1980：Morlet 1970s，在法国石油公司工作的年轻地球物理 学家Jean Morlet提出小波变换 (wavelet transform，WT)的概念。 1980s,连续小波变换 (continuous wavelet transform， CWT)。 1986：Y. Meyer 法国科学家Y.Meyer与其同事创造性地构造出 具有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数； 用缩放(dilations)与平移(translations)均为2 j(j≥0 的整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基， 使小波分析得到发展。

2.傅里叶分析与小波分析的区别
傅立叶分析中，以单个变量（时间或频率）的函数 表示信号，对时域信号进行傅立叶变换，求得信号 频率函数，这时已经没有时间因素，因此，傅立叶 变换只能作频域分析，不能同时作时域频域分析。 在小波分析中，利用联合时间 — 尺度函数分析信号 ，通过平移和伸缩巧妙地构造小波基，使小波同时 具有时间平移和多尺度分辨率的特点，可以同时进 行时频域分析。 小波分析是一种时间和频率的局域变换，采用多分 辨率分析的思想，非均匀地划分时频空间。
在我国，对小波分析的研究起步较晚，20世纪90年代以 来，小波理论研究和应用研究几乎同时开始，1994年形 成国内小波研究的高潮。
4.小波分析的发展前景
目前人们普遍认为以下研究具有重要意义：
非线性小波变换的理论研究和应用。 快速小波算法与小波包算法。 超大规模科学计算的快速小波变换与算法。 小波理论在混沌湍流中的应用。 小波理论在偏微分方程求解中的应用。
出伸缩和平移的概念，第一次使用“Wavelet”。 1985年，Meyer证明了一维小波基的存在。 1987年，法国马赛召开第一次有关小波的国际会议。
1988年，Mallat与Meyer提出了多分辨分析理论。
1988年，比利时数学家Daubechies发表一篇长达

87页的论文，被认为是小波分析的纲领性文献。 1989年，Mallat构造了Mallat算法。 1990年，Meyer出版第一部专著《小波与算子》。 1992年，Daubechies的《小波10讲》系统介绍了 离散小波变换和连续小波变换等。 1992年以后，转向小波的应用推广。
通过伸缩和平移等运算功能对信号进行多尺度细化分 析（Multiscale Analysis），可以在不同尺度上来观 察信号。 对低频部分采取较高的频率分辨率和较低的时间分辨 率，在高频部分采取较高的时间分辨率和较低的频率 分辨率。 逐渐精细的时域步长，可以聚焦到被分析信号的任意 细节，因而它比傅立叶分析更适合处理非平稳信号。 被誉为“数学显微镜”。

小波变换111040698 杨阳小波变换(wavelet transform)是傅立叶变换的发展，中间经历了窗口傅立叶变换。

原始数据一般是时间或空间信号，在时空上有最大分辨率。

时空信号经傅立叶变换后得到频率信号，在频域上有最大分辨率，但其本身并不包含时空定位信息。

窗口傅立叶变换通过对时空信号进行分段或分块进行时空-频谱分析，但由于其窗口的大小是固定的，不适用于频率波动大的非平稳信号。

而小波变换可以根据频率的高低自动调节窗口大小，是一种自适应的时频分析方法，具有多分辨分析功能。

傅立叶变换与小波变换傅立叶变换(Fourier transform)是法国科学家Joseph Fourier发表于1822年的他在用无穷三角级数求解热传导偏微分方程时所提出的一种数学方法，它可将时空信号变换成频率信号。

鉴于傅立叶变换不含时空定位信息，（1971年的诺贝尔物理学奖获得者）匈牙利人Dennis Gabor于1946年提出窗口傅立叶变换（window Fourier transform）。

可以用于时频分析，但是窗口大小是固定的。

1984年法国的物理学家Jean Morlet和A. Grossman，在进行石油勘探的地震数据处理分析时，又提出了具有可变窗口的自适应时频分析方法——小波变换（wavelet transform）。

傅立叶变换傅立叶变换(Fourier transform)是1807年法国科学家Joseph Fourier在研究热力学问题时所提出来的一种全新的数学方法，当时曾受到数学界的嘲笑与抵制，后来却得到工程技术领域的广泛应用，并成为分析数学的一个分支——傅立叶分析。

原始的多媒体数据一般为时空信号，在时空上有最大分辨率，并可利用时空上的相关性进行数据压缩。

Fourier变换可将时空域中的多媒体信号映射到频率域来研究，即更符合人类感觉特征，也可以利用信号在频率域中的冗余进行数据压缩。

Fourier变换所得的频率信号，在频率域上有最大分辨率，但其本身并不包含时空定位信息。

文献综述小波变换（Wavelet Transform）的概念是1984年法国地球物理学家J.Morlet在分析处理地球物理勘探资料时提出来的。

小波变换的数学基础是19世纪的傅里叶变换，其后理论物理学家A.Grossman采用平移和伸缩不变性建立了小波变换的理论体系。

1985年，法国数学家Y.Meyer第一个构造出具有一定衰减性的光滑小波。

1988年，比利时数学家I.Daubechies证明了紧支撑正交标准小波基的存在性，使得离散小波分析成为可能。

1989年S.Mallat提出了多分辨率分析概念，统一了在此之前的各种构造小波的方法，特别是提出了二进小波变换的快速算法，使得小波变换完全走向了实用性。

小波分析是建立在泛函分析、Fourier分析、样条分析及调和分析基础上的新的分析处理工具。

它又被称为多分辨率分析，在时域和频域同时具有良好的局部化特性，常被誉为信号分析的“数据显微镜”。

近十多年来，小波分析的理论和方法在信号处理、语音分析、模式识别、数据压缩、图像处理、数字水印、量子物理等专业和领域得到广泛的应用。

小波变换分析在数据处理方面的应用主要集中在安全变形监测数据和GPS观测数据的处理，应为他们都对精度用较高的要求，而小波变换分析方法的优势能满足这个要求。

在安全变形数据处理主要集中在去噪处理、识别变形的突变点，也包括提取变形特征、分离不同变形频率、估计观测精度、小波变换最佳级数的确定等。

在GPS数据处理方面包括：利用小波分析法来检测GPS相位观测值整周跳变的理论与方法，GPS粗差检测、GPS信号多路径误差分析、相位周跳检测、基于小波的GPS双差残差分析等。

国内有关学者和研究人员研究工作如下：李宗春等研究了变形测量异常数据中小波变换最佳级数的确定，综合分析数据去噪效果的4 个分项评价指标，即数据的均方根差变化量、互相关系数、信噪比及平滑度，将各分项评价指标归化到[0, 1]后相加得到总体评价指标，将总体评价指标最大值所对应的级数定义为小波分解与重构的最佳级数。

小波变换的发展简史从时频分析方法发展的角度出发（对比每种方法的优缺点），简述了小波变换的发展历史。

小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。

幸运的是，1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来。

与Fourier变换、窗口Fourier变换相比，它是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展，势必取代傅立叶分析的位置。

1．小波分析的3个特点：小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。

有利于分析确定时间发生的现象。

（傅里叶变换只具有频率分析的性质）小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级。

信号长度为M 时，Fourier变换（左）和小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：2. 小波基表示发生的时间和频率：傅里叶变换（Fourier）基小波基时间采样基“时频局域性” 图解：Fourier变换的基（上）小波变换基（中）和时间采样基（下）的比较4.信号的时频分析：信号时频分析的重要性：时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。

信号的时域和频域之间具有紧密的联系。

信号时频分析的主要方法：3. 傅里叶变换（一）傅里叶变换伟大贡献及其局限性：傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑，从1807年开始，直到1966年整整用了一个半世纪多才发展成熟，她在各个领域产生了深刻的影响得到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。

小波理论总结目录一、基础知识 (4)1.起源与发展 (4)2.傅里叶分析 (4)（1）傅里叶变换（FT）定义 (4)（2）傅里叶变换的性质 (5)（3）离散傅里叶变换（DFT） (5)3.泛函分析 (6)（1）函数空间 (6)（2）基底及展开 (7)（3）正交基 (7)（4）双正交基 (7)（5）框架 (8)（6）Riesz基 (8)（7）紧支撑 (8)二、窗口傅里叶变换 (9)1.傅里叶变换的缺点 (9)2.Gabor变换 (9)3.时窗/频窗处理 (10)4.基本定义 (10)5.Gabor变换的缺点 (10)三、小波变换 (10)1.连续小波变换 (11)1）母小波 (11)2）小波基函数 (11)3）连续小波变换 (11)4）性质 (12)2.离散小波变换 (12)（1）二进小波变换 (12)（2）小波框架 (13)（3）对偶小波 (13)（4）小波逆变换 (14)四、多分辨分析 (14)1.多分辨分析 (15)2.正交小波变换 (16)3.正交小波变换的具体实现 (17)4.双正交小波变换 (17)5.一维Mallat算法 (18)6.二维Mallat算法 (20)五、小波包分析 (22)1) 小波包的定义 (23)2) 小波包的性质 (23)3) 小波包的空间分解 (24)4) 小波库 (25)5) 小波包算法 (25)六、小波基选择标准 (26)1、支撑长度 (26)2、对称性 (26)3、消失矩 (26)4、正则性 (27)5、相似性 (27)六、常用的连续小波基函数 (27)1. 常用的连续小波基函数 (27)（1）Haar小波 (27)（2）Daubechies(dbN)小波系 (28)（3）Biorthogonal(bior N r.N d)小波系 (29)（4）Coiflet(coif N)小波系 (30)（5）Morlet 小波 (30)（6）Marr小波（Mexcian hat） (31)（7）DOG（Difference of Gaussian）小波 (32)（7）Meyer函数 (32)2. 信号的连续小波变换 (33)七、第二代小波变换 (34)1.提升方案 (34)2.把小波变换分解成基本的提升步骤 (36)3.整数小波变换 (39)4.第二代小波变换具体实现 (40)八、小波图像编码 (41)1.小波变换图像编码的基本框架 (41)1) 解相关变换过程 (42)2) 量化过程 (42)3) 熵编码过程 (43)2.SPIHT算法 (43)1) 嵌入式零树编码（EZW）算法 (43)2) 在层次树中的集划分（SPIHT）算法 (45)一、基础知识1.起源与发展小波理论是建立在傅里叶分析和泛函分析基础之上的时频分析工具之一。

小波变换原理小波变换（WaveletTransform，简称WT）是一种用于数字信号处理的实用技术，它是在1980年代由Yves Meyer等人提出的。

它是一种基于振动信号的就地分析方法，它允许将一个信号分解成多个不同尺度上的分量，该分量描述了信号的不同特性。

小波变换的基本概念是将源信号分解成低频与高频成分的线性变换，也就是将源信号分解为几个子信号，这几个子信号的能量衰减速度明显不同，从而减少了信号的复杂性，使信号的处理变得更容易。

波变换的正变换（Analysis）逆变换（Synthesis）的原理基本类似于傅立叶变换，在经过变换后，信号可以通过多维度，从而更加清晰地表示它的特性。

小波变换由一组小波函数组成，这些小波函数是根据条件确定的，由一系列称为基带小波函数的可以拓展组合而成。

小波函数具有多种特性，它们可以有不同的时频特性，它们可以有不同的宽度和峰值，从而允许不同的尺度和信号特性。

此外，小波变换也可以用来实现数字信号的时域处理和频域处理，从而可以提取信号的实时特征，增强仅在部分局部中存在的细节信息，从而更好地提取和处理信号。

小波变换可以用于图像处理、语音信号处理，以及不同类型的数据压缩。

近些年，小波变换得到了越来越多的应用，已经成为了许多研究的重要基础。

例如，在脑电信号分析中，小波变换可以用来发现脑电记录的一些有趣的特征；在图像处理中，小波变换可以用来估计传输的损失；在语音信号处理中，小波变换可以用来消除噪声等等。

小波变换有许多优势，如抗噪性强，它可以控制噪声影响，保持信号的质量。

另外，它可以节约计算时间，具有快速计算的特性，而且可以实现多维特征提取，可以节省存储空间，具有很高的算法效率。

总之，小波变换是一种非常有用的信号处理技术，它的出现推动了信号处理领域的发展，为许多应用领域带来了许多优点，具有广泛的应用前景。

1 a
(
t a
)
x (t ) ——平方可积函数。
式中 a 0 是尺度因子， 反映位移，其值 可正可负。式中不但t是连续的 ，而且和a 和 也是连续变量，因此称为连续的小波 变换。
（2）频域变换
W Tx ( a , ) a 2

X ( ) ( a ) e
*
j
d
因此对数据实现高保真、大压缩比的 压缩非常必要。数据压缩主要包含无失真 压缩和有失真压缩两大类。无失真压缩是 指图像数据经压缩后可以完全地得到恢复， 复原后的图像和原始图像一致。而有失真 的压缩是指经过压缩后的图像数据在保持 原图像特征的前提下，不可避免地要丢失 一部分不重要的图像原始信息。目前基于 小波变换的图像压缩方法已经逐步取代基 于离散余弦或者其他子代编码技术，而成 为新的图像压缩国际标准的首选方法。
时才能由小波变换 WTx ( a , )
反演源函数 x (t ) 。此时可 得：
x (t )
1 c


da a
0
2


WTx ( a , ) a (t ) d
（4）几种常见的小波
i Morlet小波 ii Marr小波 iii DOG（difference of gaussian）小波 iv Harr小波
如果 ( ) 是幅频特性比较集中的带通函数， 则小波变换便具有表征待分析信号 X ( ) 频 域上局部性质的能力。
（3）反变换
一个有用的算法必须有其反变换，也就是 算法可将一种信号做变换，也可将其变换 回原信号，这样才可称得上是一种成功的 算法。 当
c


( )

d
随着小波理论的日趋成熟，人们对小波变换的 实际应用越来越重视，它已广泛地应用于信号处理、 图像处理、量子场论、地震勘探、语音识别与合成、 CT成像、彩色复印、流体湍流、模式识别、机械 故障诊断与监控以及数字电视等科技领域。在上述 的应用中，都可以归结为信号处理问题。在实际的 应用中，绝大部分信号是非稳定的，而特别使用于 非稳定信号的工具就是小波分析。

PD om
PD om
er ww
er ww
F-XChange View !
Click to buy NOW
w.docu-track.c
8.1.2 小波概念
F-XChange View !
Click to buy NOW
w.docu-track.c
小波是定义在有限间隔而且其平均值为 零的一种函数。
小波函数在时域和频域中都应该具有某种程度 的平滑度(smoothness)和集中性 (concentration)
可以使用消失矩(vanishing moments)来描述，
用N表示小波的消失矩的数目。
例如，Daubechies小波简写成dbN， db1,
db2, ……，db9，从Daubechies小波波形来
它的地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶 分析中的地位。
PD om
PD om
er ww
er ww
F-XChange View !
Click to buy NOW
w.docu-track.c
F-XChange View !
Click to buy NOW
w.docu-track.c
Inrid Daubechies，Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学家把这个小波理论引 入到工程应用方面做出了极其重要的贡献。
PD om
PD om
er ww
er ww
F-XChange View !
Click to buy NOW
w.docu-track.c
选择
F-XChange View !
Click to buy NOW

1 小波变换简要回顾小波变换是调和分析（包括函数空间、广义函数、傅里叶分析和抽象调和分析等）这一重要学科大半个世纪以来的工作结晶；小波变换又是计算机应用、信号处理、图像分析、非线性科学和工程技术近几年来在方法上的重大突破。

1从小波变换的发展过程来说，大致可分成三个阶段。

（1）孤立应用时期（1985年以前）（2）国际性研究热潮和统一构造时期（1986—1992）（3）全面应用时期（1992—）23（1）孤立应用时期1910年Harr 提出Harr 正交基1938年Paley-Littlewood 的按二进制频率成分分组1965年Calderon 的再生核公式1981年对Harr 系的改进1984/5年A Grossmann ，J Morlet展开的伸缩平移系按一个函数ψ{}Zk j j j kb x a a ∈−−−,2/)(ψ4（2）国际性研究热潮和统一构造时期1986年Meyer 构造出了具有一定衰减性质的光滑函数1988年I Daubechies)(x ψ{}构成使得Z k j k j x ∈,,)(ψ的规范正交基)(2R L Communication on Pure and Applied Math.，1988, 41:909~996Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets 1989年S Mallat 1991年C K Chui ，J Z Wang 1992年I Daubechies 《Ten Lectures on Wavelets 》（3）全面应用时期1992年，《IEEE Transaction on Information Theory 》1993年，《Applied and Computational Harmonic Analysis》1993年，《IEEE Transaction on Signal Processing 》网络、软件、图书…52 小波变换与傅里叶变换1809年，J. Fourier（法）给出Fourier离散变换其想法是：用简单的函数表示复杂的周期函数1822年，——《热的解析理论》，提出Fourier变换1946年，D.Gabor引入窗口Fourier变换1965年，Cooley-Tukey（美）提出快速Fourier变换67D ．Gabor 变换或称为窗口傅里叶变换是Gaussian 函数，称为“窗口函数”.定义为的中的任何函数或信号FT t f R L )()(2∫−=Rt i dt e t f f ωω)()(ˆ∫−−=R t i a f dte b t g tf b G ωω)()(),(a t a e a tg 4/221)(−=π其中小波变换的定义∫∗−=R f dt ab t t f a b a W ))(1),(ψ>=<ψ,f。

在小波的数学理论基础研究方面
• 针对具体实际问题，如何构造选择最优小波基 及框架的系统方法一直是人们关注的问题之 一． • 仿真和实验对小波分析是重要的，且取得了丰 硕的成果．如何让仿真和实验结果走出实验室， 向人们提供具有实用价值的小波分析技术，开 发以小波作为工具的高水平分析软件将吸引更 多学者来进行研究． • 小波应用的范围虽广, 但真正取得极佳效果的领 域并不多,人们也正在挖掘有前景的应用领域.
小波变换的一个重要性质是它在时域和频域均具有很好的局部化
特征，它能够提供目标信号各个频率子段的频率信息。这种信息对 于信号分类是非常有用的。
小波变换一个信号为一个小波级数，这样一个信号可由小波系 数来刻画。
小波的基本概念——什么是小波
小波是什么？ 小波可以简单的描述为一种函数，这种函数在有限时间范围内变化， 并且平均值为0。这种定性的描述意味着小波具有两种性质:A、具有有限 的持续时间和突变的频率和振幅；B、在有限时间范围内平均值为0。
•语音信号处理的目的是得到一些语音参数以便高效地传输或存储. •利用小波分析可以提取语音信号的一些参数, 并对语音信号进行处理. •小波理论应用在语音处理方面的主要内容包括: 清浊音分割;基音检测; 去噪、重建与数据压缩等几个方面. •小波应用于语音信号提取、语音合成、语音增加、波形编码已取得了 很好的效果.
信号奇异性检测
信号中的奇异点及不规则的突变部分经常带有比较重要的信息，它是信 号的重要特征之一。比如，在故障诊断中，故障通常表现为输出信号的突 变，因而对突变点的检测在故障诊断中有着重要的意义。由于傅里叶交换 将信号变换成纯频域中的信号，而使它不具有时间分辨的能力，故对信号 在时域中的突变点根本无法检测出来。而小波变换具有良好的空间局部化 性质，利用小波变换对信号的奇异性及奇异性位置和奇异度的大小都有比 较准确的判断。 小波分析检测信号突变点的一般方法是：对信号进行多尺度分析， 在信号出现突变时，其小波变换后的系数具有模量极大值，因而可以通 过对模量极大值点的检测来确定故障发生的时间点。

小波变换及其应用研究目录：一、小波变换的概述及背景二、小波变换的基本理论三、小波变换的应用领域1. 信号处理领域2. 图像处理领域3. 音频处理领域4. 视频处理领域四、小波变换技术的发展现状及趋势五、小波变换技术存在的问题及解决方案六、结论一、小波变换的概述及背景小波变换是一种信号分析方法，在20世纪80年代由美国数学家Ingrid Daubechies等人提出。

它是基于多尺度分析理论发展起来的一种数字信号处理技术。

与传统的傅里叶分析方法不同，小波变换可以将信号分解成不同频段和时间段的小波基函数，从而能够精细地描述信号的局部特征。

由于小波变换具有多尺度、局部性、压缩性等优点，已被广泛应用于数字信号处理、图像处理、音频处理等领域，并取得了诸多重要应用成果。

二、小波变换的基本理论小波变换是一种分解和重构的过程，分为两个阶段：分解和重构。

在分解阶段，通过一些特定的小波变换，将原始信号分解成不同尺度、不同频段的小波系数。

在重构阶段，通过逆小波变换，从多尺度小波系数中恢复原始信号。

小波变换的基本理论包括小波基函数和小波分解方法。

小波基函数是小波变换的基本操作单元，是由局部性和多尺度性两个方面组成的。

小波分解方法是将一个信号分解成一组小波子带，即一组低频信号和一组高频信号。

小波变换与傅里叶变换的最大区别在于它们的基函数不同。

傅里叶变换使用正弦和余弦基函数，而小波变换使用一组局部化的小波基函数。

这些小波基函数可以是正交的或非正交的。

三、小波变换的应用领域小波变换技术具有多尺度分析、非线性和压缩性等特点，广泛应用于数字信号处理、图像处理、音频处理等领域。

以下是小波变换在不同应用领域的应用举例：1. 信号处理领域小波变换可以用于信号去噪、信号压缩、信号辨识等方面。

在去噪方面，小波变换可以将信号分解成频带，从而能够选择性地去除噪声。

在压缩方面，小波变换可以将信号分解成不同尺度、不同频段的小波系数，从而在保留信号本质特征的同时实现信号数据的压缩。

小波分析的发展历程一、小波分析1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。

（1）操作过程：Haar正交基是以一个简单的二值函数作为母小波经平移和伸缩而形成的。

（2）优点：Haar小波变换具有最优的时（空）域分辨率。

（3）缺点：Haar小波基是非连续函数，因而Haar小波变换的频域分辨率非常差。

1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，（即L-P理论：按二进制频率成分分组，其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状），这是多尺度分析思想的最早起源。

1952年～1962年，Calderon等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论。

1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上H1的原子分解。

1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。

1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov空间的一组基。

1981年，Stromberg引入了Sobolev空间H p的正交基，对Haar正交基进行了改造，证明了小波函数的存在性。

1981年，法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。

1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。

1986年，Meyer在证明不可能存在同时在时频域都具有一定正则性（即光滑性）的正交小波基时，意外发现具有一定衰减性的光滑性函数以构造L2(R)的规范正交基（即Meyer基），从而证明了正交小波系的存在。

1984年～1988年，Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。

1987年，Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat算法）。