函数与导数解答题答案文科

2015届文科数学尖子辅导(五)函数综合能力二 函数与导数综合一、函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立问题。

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常用方法：分离变量求最值，变更主元求最值，构造函数求最值。

【例1】 设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为―凸函数‖，已知实数m 是常数，4323()1262x mx x f x =--（1）若()y f x =在区间[]0,3上为―凸函数‖，求m 的取值范围；（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为―凸函数‖，求b a -的最大值.变式1：设函数),10(3231)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-= （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.变式2：已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-，326()(1)3(0)2t g x x x t x t -=+-++>（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。

二、单调性与导数问题题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围法1：转化为0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立， 回归基础题型 法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；【例2】 已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(21121)(23++++=． （Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围．【例3】 已知函数3211()(2)(1)(0).32f x x a x a x a =+-+-≥ （I ）求()f x 的单调区间；（II ）若()f x 在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围。

专题04 导数及其应用（解答题）（文科专用） 1．【2022年全国甲卷】已知函数f(x)=x 3−x,g(x)=x 2+a ，曲线y =f(x)在点(x 1,f (x 1))处的切线也是曲线y =g(x)的切线．(1)若x 1=−1，求a ；(2)求a 的取值范围．2．【2022年全国乙卷】已知函数f(x)=ax −1x −(a +1)lnx ． (1)当a =0时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)恰有一个零点，求a 的取值范围．3．【2021年甲卷文科】设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围. 4．【2021年乙卷文科】已知函数32()1f x x x ax =-++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标． 5．【2020年新课标1卷文科】已知函数()(2)x f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.6．【2020年新课标2卷文科】已知函数f （x ）=2ln x +1．（1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围；（2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性． 7．【2020年新课标3卷文科】已知函数32()f x x kx k =-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．8．【2019年新课标2卷文科】已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.9．【2019年新课标3卷文科】已知函数32()22f x x ax =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0<<3a 时，记()f x 在区间[]0,1的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围.10．【2018年新课标1卷文科】【2018年新课标I 卷文】已知函数()e 1x f x a lnx =--．（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥． 11．【2018年新课标2卷文科】已知函数()()32113f x x a x x =-++． （1）若3a =，求()f x 的单调区间；（2）证明：()f x 只有一个零点．12．【2018年新课标3卷文科】已知函数()21x ax x f x e +-=． （1）求曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程； （2）证明：当1a ≥时，()0f x e +≥．。

文科数学专题一 函数与导数1.若点(a,b)在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是（A ）（a 1，b ） (B) (10a,1-b) (C) (a 10,b+1) (D)(a2,2b)2.(安徽文10) 函数()()n f x ax x 2=1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n 可能是（A ）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4【答案】A 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大. 3.（北京文8）已知点()0,2A ,()2,0B ,若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为 A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A4.（福建文6）若关于x 的方程x2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 A ．（－1，1） B ．（－2，2） C ．（－∞，－2）∪（2，＋∞） D ．（－∞，－1）∪（1，＋∞） 【答案】C5.（福建文8）已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2x ， x ＞0x ＋1，x≤0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a 的值等于A ．－3B ．－1C ．1D ．3 【答案】A6.（福建文10）若a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于A ．2B ．3C ．6D ．9 【答案】D7.（广东文4）函数1()lg(1)1f x x x =++-的定义域是 （ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ．(1,1)(1,)-+∞D ．(,)-∞+∞ 【答案】C8.（广东文10）设)(),(),(x h x g x f 是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数()()x g f 和()()x g f ∙；对任意R x ∈,()()())(x g f x g f = ；()()())(x g x f x g f =∙．则下列等式恒成立的是（ ）A ．()()()()()())(x h g h f x h g f ∙∙=∙B ．()()()()()())(x h g h f x h g f ∙=∙C ．()()()()()())(x h g h f x h g f =D ．()()()()()())(x h g h f x h g f ∙∙∙=∙∙【答案】B9.（湖南文7）曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12 C． D．【答案】B【解析】22cos (sin cos )sin (cos sin )1'(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--==++，所以2411'|2(sincos )44x y πππ===+。

高三摸底测试（文科数学:集合、逻辑、函数、导数、不等式）一、 选择题（每题5分，共50分）1．设U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是( )A ．A ⊆B B ．A ∩B ＝{2}C ．A ∪B ＝{1,2,3,4,5}D ．A ∩(∁U B )＝{1}[答案] D2．命题p ：∀x ∈[0，＋∞)，(log 32)x ≤1，则( )A ．p 是假命题，﹁p ：∃x 0∈[0，＋∞)，(log 32)x 0>1B ．p 是假命题，﹁p ：∀x ∈[0，＋∞)，(log 32)x ≥1C ．p 是真命题，﹁p ：∃x 0∈[0，＋∞)，(log 32)x 0>1D ．p 是真命题，﹁p ：∀x ∈[0，＋∞)，(log 32)x ≥1 [答案] C[解析] ∵0<log 32<1，∴y ＝(log 32)x 在[0，＋∞)上单调递减，∴0<y ≤1，∴p 是真命题；∀的否定为“∃”，“≤”的否定为“>”，故选C.3．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．3 4. 曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e5．若x x x f 1)(-=，则方程x x f =)4(的根是（ ）A ．21B ．21- C ．2 D ．2-6.函数a ax x f 213)(-+=，在区间)1,1(-上存在一个零点，则a 的取值范围是 ( )A ．511<<-a B ．51>a C ．51>a 或1-<a D ．1-<a7．若b a lg ,lg 是方程01422=+-x x 的两个实根，则ab 的值等于（）A ．2B ．21C ．100D ．10 8．函数)(x f y =的图象与)1(log 21x y -=的图象关于直线x y =对称，则)(x f =（ ）A ．x-+21 B ．x 21+ C ．x 21- D ．x--219. 定义在R 上的可导函数f (x )，已知y ＝e f′(x)的图象如下图所示，则y ＝f (x )的增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．(0,1)D ．(1,2)10.已知偶函数()f x 在区间单调递增，则满足2)()f x f x +<的x 取值范围是 ( ) A.(2,)+∞ B.(,1)-∞- C.[2,1)(2,)--+∞ D.(1,2)-二、填空题（每题5分，共20分） 11. 函数1()x f x +=的定义域是 ． 12.奇函数)(x f 定义域是)32,(+t t ，则=t13.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)，则f ′(5)＝________. 14.已知等差数列{}n a ，199,a a 是函数2()1016f x x x =-+的两个零点，则50208012a a a ++=__. 三、解答题（共80分）15．（12分）设A B a x a x x B x x x A ⊆=-+++==+=若},01)1(2{},04{222，求实数a 的取值范围。

B 单元 函数与导数B1 函数及其表示1．B1，B14[2013·安徽卷] 定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋1)＝2f(x)，若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________．1．－x （x ＋1）2 [解析] 当－1≤x≤0时，0≤x ＋1≤1，由f(x ＋1)＝2f(x)可得f(x)＝12f(x ＋1)＝－12x(x ＋1)． 2．B1，E3[2013·安徽卷] 函数y ＝ln1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 2．(0，1] [解析] 实数x 满足1＋1x >0且1－x 2≥0.不等式1＋1x >0，即x ＋1x>0，解得x>0或x<－1；不等式1－x 2≥0的解为－1≤x≤1.故所求函数的定义域是(0，1]．3．B1[2013·福建卷] 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x<0，－tanx ，0≤x<π2，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫π4＝________． 3．－2 [解析] f π4＝－tan π4＝－1，f(－1)＝－2. 4．B1，B12[2013·江西卷] 设函数f(x)＝⎩⎨⎧1a x ，0≤x ≤a ，11－a （1－x ），a<x ≤1.a 为常数且a ∈(0，1)． (1)当a ＝12时，求f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫13；(2)若x 0满足f(f(x 0))＝x 0，但f(x 0)≠x 0，则称x 0为f(x)的二阶周期点．证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x 1，x 2；(3)对于(2)中的x 1，x 2，设A(x 1，f(f(x 1)))，B(x 2，f(f(x 2)))，C(a 2，0)，记△ABC 的面积为S(a)，求S(a)在区间⎣⎡⎦⎤13，12上的最大值和最小值．4．解：(1)当a ＝12时，f ⎝⎛⎭⎫13＝23，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫23＝2⎝⎛⎭⎫1－23＝23.(2)f(f(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧1a 2x ，0≤x ≤a 2，1a （1－a ）（a －x ），a 2<x ≤a ，1（1－a ）2（x －a ），a<x<a 2－a ＋1，1a （1－a ）（1－x ），a 2－a ＋1≤x ≤1. 当0≤x≤a 2时，由1a 2x ＝x 解得x ＝0，因为f(0)＝0，故x ＝0不是f(x)的二阶周期点；当a 2<x≤a 时，由1a （1－a ）(a －x)＝x 解得x ＝a －a 2＋a ＋1∈(a 2，a)，因f ⎝⎛⎭⎫a －a 2＋a ＋1＝1a ·a －a 2＋a ＋1＝1－a 2＋a ＋1≠a －a 2＋a ＋1，故x ＝a －a 2＋a ＋1为f(x)的二阶周期点；当a<x<a 2－a ＋1时，由1（1－a ）2(x －a)＝x 解得x ＝12－a∈(a ，a 2－a ＋1)，因f ⎝⎛⎭⎫12－a ＝11－a ·⎝⎛⎭⎫1－12－a ＝12－a ，故x ＝12－a 不是f(x)的二阶周期点；当a 2－a ＋1≤x≤1时，由1a （1－a ）(1－x)＝x 解得x ＝1－a 2＋a ＋1∈(a 2－a ＋1，1)，因f ⎝⎛⎭⎫1－a 2＋a ＋1＝1（1－a ）·⎝⎛⎭⎫1－1－a 2＋a ＋1＝a －a 2＋a ＋1≠1－a 2＋a ＋1.故x ＝1－a 2＋a ＋1为f(x)的二阶周期点．因此，函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，x 1＝a －a 2＋a ＋1，x 2＝1－a 2＋a ＋1.(3)由(2)得A ⎝⎛⎭⎫a －a 2＋a ＋1，a －a 2＋a ＋1，B ⎝⎛⎭⎫1－a 2＋a ＋1，1－a 2＋a ＋1，则S(a)＝12·a 2（1－a ）－a 2＋a ＋1，S′(a)＝12·a （a 3－2a 2－2a ＋2）（－a 2＋a ＋1）2，因为a ∈⎣⎡⎦⎤13，12，有a 2＋a<1.所以S′(a)＝12·a （a 3－2a 2－2a ＋2）（－a 2＋a ＋1）2＝12·a[（a ＋1）（a －1）2＋（1－a 2－a ）]（－a 2＋a ＋1）2>0.(或令g(a)＝a 3－2a 2－2a ＋2，g′(a)＝3a 2－4a －2＝3⎝⎛⎭⎪⎫a －2－103⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2＋103，因a ∈(0，1)，g′(a)<0，则g(a)在区间⎣⎡⎦⎤13，12上的最小值为g ⎝⎛⎭⎫12＝58>0，故对于任意a ∈⎣⎡⎦⎤13，12，g(a)＝a 3－2a 2－2a ＋2>0，S′(a)＝12·a （a 3－2a 2－2a ＋2）（－a 2＋a ＋1）2>0)则S(a)在区间⎣⎡⎦⎤13，12上单调递增，故S(a)在区间⎣⎡⎦⎤13，12上的最小值为S ⎝⎛⎭⎫13＝133，最大值为S ⎝⎛⎭⎫12＝120. 5．B1[2013·辽宁卷] 已知函数f(x)＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g(x)＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设 H 1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H 2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p ，q}表示p ，q 中的较大值，min{p ，q}表示p ，q 中的较小值)，记H 1(x)的最小值为A ，H 2(x)的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．a 2－2a －16B ．a 2＋2a －16C ．－16D ．165．C [解析] 由题意知当f(x)＝g(x)时，即x 2－2(a ＋2)x ＋a 2＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8，整理得x 2－2ax ＋a 2－4＝0，所以x ＝a ＋2或x ＝a －2，H 1(x)＝max{f(x)，g(x)}＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2（a ＋2）x ＋a 2（x ≤a －2），－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8，（a －2<x<a ＋2），x 2－2（a ＋2）x ＋a 2（x ≥a ＋2），H 2(x)＝min{f(x)，g(x)}＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8（x ≤a －2）x 2－2（a ＋2）x ＋a 2，（a －2<x<a ＋2）－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8（x ≥a ＋2）.由图形可知(图略)，A ＝H 1(x)min ＝－4a －4，B ＝H 2(x)max ＝12－4a ，则A －B ＝－16，故选C. 6．B1[2013·辽宁卷] 已知函数f(x)＝ln(1＋9x 2－3x)＋1，则f(lg 2)＋flg 12＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．26．D [解析] 由已知条件可知，f(x)＋f(－x)＝ln(1＋9x 2－3x)＋1＋ln(1＋9（－x ）2＋3x)＋1＝2，而lg 2＋lg 12＝lg 2－lg 2＝0，故而f(lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝2.图1－97．B1，I2[2013·新课标全国卷Ⅱ] 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－9所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该产品．以X(单位：t ，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率．7．解：(1)当X ∈[100，130)时，T ＝500X －300(130－X)＝800X －39 000.当X ∈[130，150]时，T ＝500×130＝65 000.所以T ＝⎩⎪⎨⎪⎧800X －39 000，100≤X ＜130，65 000，130≤X ≤150.(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X ∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.8．B1[2013·山东卷] 函数f(x)＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3，0] B ．(－3，1] C ．(－∞，－3)∪(－3，0] D ．(－∞，－3)∪(－3，1]8．A [解析] 要使函数有意义，须有⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ≥0，x ＋3>0，解之得－3<x≤0. 9．H4，E8，B1[2013·四川卷] 已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点．直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)设Q(m ，n)是线段MN 上的点，且2|OQ|2＝1|OM|2＋1|ON|2.请将n 表示为m 的函数． 9．解：(1)将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2＝4，得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.(*)由Δ＝(－8k)2－4(1＋k 2)×12>0，得k 2>3. 所以，k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3＋∞)．(2)因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)，则|OM|2＝(1＋k 2)x 21，|ON|2＝(1＋k 2)x 22.又|OQ|2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2，由2|OQ|2＝1|OM|2＋1|ON|2，得2（1＋k 2）m 2＝1（1＋k 2）x 21＋1（1＋k 2）x 22，即2m 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 21x 22.由(*)式可知，x 1＋x 2＝8k 1＋k 2，x 1x 2＝121＋k 2，所以m 2＝365k 2－3.因为点Q 在直线y ＝kx 上，所以k ＝n m ，代入m 2＝365k 2－3中并化简，得5n 2－3m 2＝36.由m 2＝365k 2－3及k 2>3，可知0<m 2<3，即m ∈(－3，0)∪(0，3)．根据题意，点Q 在圆C 内，则n>0，所以n ＝36＋3m 25＝15m 2＋1805.于是，n 与m 的函数关系为n ＝15m 2＋1805(m ∈(－3，0)∪(0，3))． 10．B1[2013·浙江卷] 已知函数f(x)＝ x －1.若f(a)＝3，则实数a ＝ ________．10．10 [解析] f(a)＝a －1＝3.则a －1＝9，a ＝10.11．B1[2013·重庆卷] 函数y ＝1log 2（x －2）的定义域是( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞) C ．(2，3)∪(3，＋∞) D ．(2，4)∪(4，＋∞)11．C [解析] 由题可知⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －2≠1，所以x ＞2且x≠3，故选C. B2 反函数12．B2[2013·全国卷] 函数f(x)＝log 2⎝⎛⎭⎫1＋1x (x>0)的反函数f －1(x)＝( ) A.12x －1(x>0) B.12x －1(x≠0) C ．2x －1(x ∈R ) D ．2x －1(x>0) 12．A [解析] 令y ＝log 2⎝⎛⎭⎫1＋1x ，则y>0，且1＋1x ＝2y ，解得x ＝12y －1，交换x ，y 得f －1(x)＝12x －1(x>0)． B3 函数的单调性与最值13．B3[2013·北京卷] 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x<1的值域为________． 13．(－∞，2) [解析] 函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，当x≥1时，函数y ＝log 12x 的值域为(－∞，0]；函数y ＝2x 在R 上是增函数，当x<1时，函数y ＝2x 的值域为(0，2)，所以原函数的值域为(－∞，2)．14．B4，B3[2013·北京卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg |x| 14．C [解析] 对于A ，y ＝1x是奇函数，排除．对于B ，y ＝e －x 既不是奇函数，也不是偶函数，排除．对于D ，y ＝lg |x|是偶函数，但在(0，＋∞)上有y ＝lgx ，此时单调递增，排除．只有C 符合题意．15．B3，B6[2013·新课标全国卷Ⅱ] 若存在正数x 使2x (x －a)<1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)15．D [解析] 由题意存在正数x 使得a>x －12x 成立，即a>⎝⎛⎭⎫x －12x min .由于x －12x 是(0，＋∞)上的增函数，故x －12x>0－120＝－1，所以a>－1.答案为D. 16．B3，B5，B8，B12[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )A ．0∈R ，f(x 0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．若x 0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f(x)的极值点，则f′(x 0)＝016．C [解析] x→－∞时，f(x)<0，x→＋∞时，f(x)>0，又f(x)连续，0∈R ，f(x 0)＝0，A 正确．通过平移变换，函数可以化为f(x)＝x 3＋c ，从而函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形，B 正确．若x 0是f(x)的极小值点，可能还有极大值点x 1，若x 1<x 0，则f(x)在区间(x 1，x 0)单调递减，C 错误．D 正确．故答案为C.17．B3，B9，B12[2013·四川卷] 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x<0，ln x ，x>0，其中a 是实数．设A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))为该函数图像上的两点，且x 1<x 2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，证明：x 2－x 1≥1；(3)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．17．解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1 )，单调递增区间为[－1，0)，(0，＋∞)．(2)证明：由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f′(x 1)，点B 处的切线斜率为f′(x 2)．故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f′(x 1)·f′(x 2)＝－1.当x<0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x ＋2.因为x 1<x 2<0，所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1，所以2x 1＋2<0，2x 2＋2>0，因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2]≥[－（2x 1＋2）]（2x 2＋2）＝1.当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32且x 2＝－12时等号成立所以，函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直时，有x 2－x 1≥1. (3)当x 1<x 2<0或x 2>x 1>0时，f′(x 1)≠f′(x 2)，故x 1<0<x 2.当x 1<0时，函数f(x)的图像在点(x 1，f(x 1))处的切线方程为y －(x 21＋2x 1＋a)＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 21＋a.当x 2>0时，函数f(x)的图像在点(x 2，f(x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧1x 2＝2x 1＋2，①ln x 2－1＝－x 21＋a.②由①及x 1<0<x 2知，0<1x 2<2.由①②得，a ＝ln x 2＋⎝⎛⎭⎫12x 2－12－1＝－ln 1x 2＋14⎝⎛⎭⎫1x 2－22－1.令t ＝1x 2，则0<t<2，且a ＝14t 2－t －ln t.设h(t)＝14t 2－t －ln t(0<t<2)．则h′(t)＝12t －1－1t ＝（t －1）2－32t<0.所以h(t)(0<t<2)为减函数．则h(t)>h(2)＝－ln 2－1，所以a>－ln2－1，而当t ∈(0，2)且t 趋近于0时，h(t)无限增大，所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．故当函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．18．B3，B12[2013·四川卷] 设函数f(x)＝e x ＋x －a(a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则a 的取值范围是( )A ．[1，e]B ．[1，1＋e]C ．[e ，1＋e]D ．[0，1]18．A [解析] 易得f(x)在[0，1]上是增函数，对于b ∈[0，1]，如果f(b)＝c ＞b ，则f(f(b))＝f(c)＞f(b)＝c ＞b ，不可能有f(f(b))＝b ；同理，当f(b)＝d ＜b 时，则f(f(b))＝f(d)＜f(b)＝d ＜b ，也不可能有f(f(b))＝b ；因此必有f(b)＝b ，即方程f(x)＝x 在[0，1]上有解，即e x ＋x －a ＝x.因为x≥0，两边平方得e x ＋x －a ＝x 2，所以a ＝e x －x 2＋x.记g(x)＝e x －x 2＋x ，则g′(x)＝e x －2x ＋1.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，e x ＞0，－2x ＋1≥0，故g′(x)＞0.当x ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，e x ＞e ＞1，－2x ＋1≥－1，故g′(x)＞0，综上，g′(x)在x ∈[0，1]上恒大于0，所以g(x)在[0，1]上为增函数，值域为[g(0)，g(1)]，即[1，e]，从而a 的取值范围是[1，e]．B4 函数的奇偶性与周期性19．B4[2013·全国卷] 设f(x)是以2为周期的函数，且当x ∈[1，3)时，f(x)＝x －2，则f(－1)＝________19．－1 [解析] f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝1－2＝－1.20．B4[2013·广东卷] 函数y ＝lg （x ＋1）x －1的定义域是( ) A ．(－1，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．(－1，1)∪(1，＋∞) D ．[－1，1)∪(1，＋∞)20．C [解析] 由题知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －1≠0得x ∈(－1，1)∪(1，＋∞)，故选C. 21．B4[2013·湖北卷] x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数f(x)＝x －[x]在R 上为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数21．D [解析] 作出函数f(x)＝x －[x]的大致图像如下：观察图像，易知函数f(x)＝x －[x]是周期函数．22．B4[2013·湖南卷] 已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．122．B [解析] 由函数的奇偶性质可得f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)．根据f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4，可得2g(1)＝6，即g(1)＝3，选B.23．B4[2013·江苏卷] 已知f(x)是定义在R 上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x 2－4x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________．23．(－5，0)∪(5，＋∞) [解析] 设x<0，则－x>0.因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x 2＋4x)．又f(0)＝0，于是不等式f(x)>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x>x 或⎩⎪⎨⎪⎧x<0，－（x 2＋4x ）>x.解得x>5或－5<x<0，故不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)． 24．B4[2013·山东卷] 已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2＋1x，则f(－1)＝( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－224．D [解析] ∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－⎝⎛⎭⎫12＋11＝－2. 25．B4，B7[2013·天津卷] 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f(log 2a)＋f(log 12a)≤2f(1)，则a 的取值范围是( ) A ．[1，2] B ．0，12 C.12，2 D ．(0，2] 25．C [解析] ∵f(x)为偶函数，∴f(log 2a)＝f(log 12a)，又∵f(log 2a)＋f ⎝⎛⎭⎫log 12a ≤2f(1)，∴f(log 2a)≤f(1)，即|log 2a|≤1，解之得12≤a≤2. 26．B4和B7[2013·重庆卷] 已知函数f(x)＝ax 3＋bsin x ＋4(a ，b ∈R )，f(lg(log 210))＝5，则f(lg(lg 2))＝( )A ．－5B ．－1C ．3D ．426．C [解析] 因为f(lg(log 210))＝f ⎝⎛⎭⎫lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝f(－lg(lg 2))＝5，又因为f(x)＋f(－x)＝8，所以f(－lg(lg2))＋f(lg(lg2))＝5＋f(lg(lg2))＝8，所以f(lg(lg 2))＝3，故选C.B5 二次函数27．B5，B9[2013·湖南卷] 函数f(x)＝ln x 的图像与函数g(x)＝x 2－4x ＋4的图像的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．327．A [解析] 方法一：作出函数f(x)＝ln x ，g(x)＝x 2－4x ＋4的图像如图所示可知，其交点个数为2，选x)可知它们有2个交点，选C.28．B5[2013·江西卷] 若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A ．4B ．2C ．0D ．0或42．28.A [解析] 当a ＝0时，A ＝；当a≠0时，Δ＝a 2－4a ＝0，则a ＝4，故选A.29．B5、B12、B14[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x ＞0.若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2，1] D ．[－2，0]29．D [解析] 函数y ＝|f(x)|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x>0.在同一坐标系中画出y ＝|f(x)|，y ＝ax 的图像如图所示，问题等价于直线y ＝ax 不在函数y ＝|f(x)|图像的上方，显然a>0时，y ＝ln (x ＋1)的图像不可能恒在直线y ＝ax 的上方，故a≤0；由于直线y ＝ax 与曲线y ＝x 2－2x 均过坐标原点，所以满足条件的直线y ＝ax 的极端位置是曲线y ＝x 2－2x 在点(0，0)处的切线，y′＝2x －2，当x ＝0时y′＝－2.所以－2≤a≤0.30．B5[2013·浙江卷] 已知a ，b ，c ∈R ，函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )A ．a>0，4a ＋b ＝0B ．a<0，4a ＋b ＝0C ．a>0，2a ＋b ＝0D ．a<0，2a ＋b ＝030．A [解析] 若f(0)＝f(4)，则函数f(x)的图像关于直线x ＝2对称，则－b 2a＝2，则4a ＋b ＝0，而f(0)＝f(4)>f(1)，故开口向上，所以a>0，4a ＋b ＝0.所以选择A.B6 指数与指数函数B7 对数与指数函数 31．B7，E1[2013·新课标全国卷Ⅱ] 设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )A ．a>c>bB ．b>c>aC ．c>b>aD ．c>a>b31．D [解析] a －b ＝log 32－log 52＝1log 23－1log 25＝log 25－log 23log 23log 25，c ＝log 23>1，a<1，b<1，所以c>a>b ， 32．B7，M1[2013·山东卷] 定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x<1，ln x ，x ≥1.现有四个命题：①若a>0，b>0，则ln ＋(a b )＝bln ＋a ；②若a>0，b>0，则ln ＋(ab)＝ln a ＋ln ＋b ； ③若a>0，b>0，则ln ＋a b≥ln ＋a －ln ＋b ；④若a>0，b>0，则ln ＋(a ＋b)≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)32．①③④ [解析] ①中，当a b ≥1时，∵b>0，∴a≥1，ln ＋a b ＝ln a b ＝bln a ＝bln ＋a ；当0<a b <1时，∵b>0，∴0<a<1，ln ＋a b ＝bln ＋a ＝0，∴①正确．②中，当0<ab<1，且a>1时，左边＝ln ＋(ab)＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＝ln a ＋0＝ln a>0，∴②不成立．③中，当a b ≤1，即a≤b 时，左边＝0，右边＝ln ＋a －ln ＋b≤0，左边≥右边，成立；当a b >1时，左边＝ln a b＝ln a －ln b>0，若a>b>1时，右边＝ln a －ln b ，左边≥右边成立；若0<b<a<1时，右边＝0, 左边≥右边成立；若a>1>b>0，左边＝ln a b＝ln a －ln b>ln a ，右边＝ln a ，左边≥右边成立，∴③正确．④中，若0<a ＋b<1，左边＝ln ＋(a ＋b)＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2＝ln 2>0，左边≤右边；若a ＋b≥1，ln ＋(a ＋b)－ln 2＝ln(a ＋b)－ln 2＝ln ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2.又∵a ＋b 2≤a 或a ＋b 2≤b ，a ，b 至少有1个大于1，∴ln ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≤ln a 或ln ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≤ln b ，即有ln ＋(a ＋b)－ln 2＝ln (a ＋b)－ln 2＝ln ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≤ln ＋a ＋ln ＋b ，∴④正确． 33．B7[2013·陕西卷] 设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b·log c b ＝log c aB ．log a b·log c a ＝log c bC ．log a (bc)＝log a b·log a cD ．log a (b ＋c)＝log a b ＋log a c33．B [解析] 利用对数的运算性质可知C ，D 是错误的．再利用对数运算性质log a b·log c b≠log c a.又因为log a b·log c a ＝lg b lg a ×lg a lg c ＝lg b lg c＝log c b ，故选B. 34．B7[2013·四川卷] lg 5＋lg 20的值是________．34．1 [解析] lg 5＋lg 20＝lg (5·20)＝lg 100＝lg 10＝1.B8 幂函数与函数的图像35．B8[2013·福建卷] 函数f(x)＝ln(x 2＋1)的图像大致是( )图1－135．A [解析] f(x)是定义域为R 的偶函数，图像关于y 轴对称，又过点(0，0)，故选A.B9 函数与方程36．B9，B12[2013·安徽卷] 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2.若f(x 1)＝x 1<x 2，则关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的不同实根个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．636．A [解析] f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，根据已知，得3x 2＋2ax ＋b ＝0有两个不同的实根x 1，x 2，且x 1<x 2，根据三次函数的性质可得x 1是函数f(x)的极大值点，方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0必然有f(x)＝x 1或f(x)＝x 2.由于f(x 1)＝x 1且x 1<x 2，如图，可知方程f(x)＝x 1有两个实根，f(x)＝x 2有一个实根，故方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0共有3个不同实根．图1－237．B9[2013·安徽卷] 函数y ＝f(x)的图像如图1－2所示，在区间[a ，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2＝…＝f （x n ）x n，则n 的取值范围为( ) A ．{2，3} B ．{2，3，4} C ．{3，4} D ．{3，4，5}37．B [解析] 问题等价于求直线y ＝kx 与函数y ＝f(x)图像的交点个数，从图中可以看出交点个数可以为2，3，4，故n 的取值范围是{2，3，4}．38．B11，B12，B9，B14[2013·北京卷] 已知函数f(x)＝x 2＋xsin x ＋cos x.(1)若曲线y ＝f(x)在点(a ，f(a))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值；(2)若曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围．38．解：由f(x)＝x 2＋xsin x ＋cos x ，得f′(x)＝x(2＋cos x)．(1)因为曲线y ＝f(x)在点(a ，f(a))处与直线y ＝b 相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b ＝f(a)．解得a ＝0，b ＝f(0)＝1.(2)令f ′(x)＝0，得x ＝0.f(x)与f′(x)的情况如下：所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值．当b≤1时，曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 最多只有一个交点；当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b 2－2b －1>4b －2b －1>b ，f(0)＝1<b ，所以存在x 1∈(－2b ，0)，x 2∈(0，2b)，使得f(x 1)＝f(x 2)＝b.由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b>1时，曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)．39．B9[2013·天津卷] 设函数f(x)＝e x ＋x －2，g(x)＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( )A ．g(a)<0<f(b)B ．f(b)<0<g(a)C ．0<g(a)<f(b)D ．f(b)<g(a)<039．由数形结合及f(a)＝0，g(b)＝0得a ∈(0，1)，b ∈(1，2)，∴a<b ，且f(x)，g(x)都是递增的，所以g(a)<0<f(b)．B10 函数模型及其应用40．B10[2013·湖北卷] 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是( )40．C [解析] 由题意可知函数图像最开始为“斜率为负的线段”，接着为“与x 轴平行的线段”，最后为“斜率为负值，且小于之前斜率的线段”．观察选项中图像可知，C 项符合，故选C.41．B10[2013·陕西卷] 设[x]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，有( )A ．[－x]＝－[x] B.⎣⎡⎦⎤x ＋12＝[x] C ．[2x]＝2[x] D ．[x]＋⎣⎡⎦⎤x ＋12＝[2x] 41．D [解析] 可取特值x ＝3.5，则[－x]＝[－3.5]＝－4，－[x]＝－[3.5]＝－3，故A 错．x ＋12＝[3.5＋0.5]＝4，而[x]＝[3.5]＝3，故B 错. [2x]＝[7]＝7，2[x]＝2[3.5]＝6，故C 错．[x]＋ x ＋12＝7，而[2x]＝[7]＝7，故只有D 正确． B11 导数及其运算42．B11[2013·全国卷] 已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝( )A ．9B ．6C ．－9D ．－642．D [解析] y′＝4x 3＋2ax ，当x ＝－1时y′＝8，故8＝－4－2a ，解得a ＝－6.43．B11[2013·广东卷] 若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a)处的切线平行于x 轴，则a ＝________43.12 [解析] 易知点(1，a)在曲线y ＝ax 2－ln x 上，y′＝2ax －1x ，∴ |y′x ＝1＝2a －1＝0，∴a ＝12. 44．B11[2013·江西卷] 若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝________．44．2 [解析] y′＝αx α－1，y′|x ＝1＝α，所以切线方程为y －2＝α(x －1)，该切线过原点，得α＝2.45．B11，B12[2013·陕西卷] 已知函数f(x)＝e x ，x ∈R . (1)求f(x)的反函数的图像上点(1，0)处的切线方程；(2)证明：曲线y ＝f(x)与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点； (3)设a<b ，比较f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2与f （b ）－f （a ）b －a的大小，并说明理由． 45．解： (1) f(x)的反函数为g(x)＝ln x ，设所求切线的斜率为k ，∵g′(x)＝1x，∴k ＝g′(1)＝1. 于是在点(1，0)处切线方程为y ＝x －1.(2)方法一：曲线y ＝e x 与y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于函数φ(x)＝e x －12x 2－x －1零点的个数．∵φ(0)＝1－1＝0，∴φ(x)存在零点x ＝0.又φ′(x)＝e x －x －1，令h(x)＝φ′(x)＝e x －x －1，则h′(x)＝e x －1.当x<0时，h′(x)<0，∴φ′(x)在(－∞，0)上单调递减；当x>0时，h′(x)>0，∴φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴φ′(x)在x ＝0有唯一的极小值φ′(0)＝0，即φ′(x)在R 上的最小值为φ′(0)＝0，∴φ′(x)≥0(仅当x ＝0时等号成立)，∴φ(x)在R 上是单调递增的，∴φ(x)在R 上有唯一的零点．故曲线y ＝f(x)与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点．方法二：∵e x >0，12x 2＋x ＋1>0，∴曲线y ＝e x 与y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于曲线y ＝12x 2＋x ＋1e x与直线y ＝1公共点的个数．设φ(x)＝12x 2＋x ＋1e x，则φ(0)＝1，即x ＝0时，两曲线有公共点．又φ′(x)＝（x ＋1）e x －⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ＋1e x e 2x ＝－12x 2e x ≤0(仅当x ＝0时等号成立)，∴φ(x)在R 上单调递减，∴φ(x)与y ＝1有唯一的公共点，故曲线y ＝f(x)与y ＝12x 2＋x ＋1有唯一的公共点．(3)f （b ）－f （a ）b －a－f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝e b －e a b －a －e a ＋b 2 ＝e b －e a －be a ＋b 2＋ae a ＋b 2b －a ＝e a ＋b 2b －a ⎣⎡⎦⎤e b －a 2－e a －b 2－（b －a ）.设函数u(x)＝e x －1e x －2x(x≥0)，则u′(x)＝e x ＋1e x －2≥2e x ·1e x －2＝0.∴u′(x)≥0(仅当x ＝0时等号成立)∴u(x)单调递增．当x>0时，u(x)>u(0)＝0.令x ＝b －a 2，则得e b －a 2－e a －b 2－(b －a)>0.∴f （b ）－f （a ）b －a>f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2. 46．B11、B12[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝e x (ax ＋b)－x 2－4x ，曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．46．解：(1)f′(x)＝e x (ax ＋a ＋b)－2x －4. 由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4e x (x ＋1)－x 2－4x.f′(x)＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12.令f′(x)＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2. 从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e －2)．47．B11和B12[2013·重庆卷] 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．47.解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元，又据题意200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r (300－4r 2)，从而V(r)＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因为r>0，又由h>0可得r<5 3，故函数V(r)的定义域为(0，5 3)．(2)因为V(r)＝π5(300r －4r 3)，故V′(r)＝π5(300－12r 2)．令V′(r)＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(r 2＝－5不在定义域内，舍去)．当r ∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r ∈(5，5 3)时，V′(r)<0，故V(r)在(5，5 3)上为减函数．由此可知，V(r)在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．B12 导数的应用48．E3，B12[2013·安徽卷] 设函数f(x)＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a>0，区间I ＝{x|f(x)>0}．(1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0，1)，当1－k≤a≤1＋k 时，求I 长度的最小值．48．解：(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a>0)有两个实根x 1＝0，x 2＝a 1＋a 2，故f(x)>0的解集为{x|x 1<x<x 2}， 因此区间I ＝0，a 1＋a 2，区间长度为a 1＋a 2.(2)设d(a)＝a 1＋a 2，则d′(a)＝1－a 2（1＋a 2）2，令d′(a)＝0，得a ＝1，由于0<k<1，故当1－k≤a<1时，d′(a)>0，d(a)单调递增；当1<a≤1＋k 时，d′(a)<0，d(a)单调递减；因此当1－k≤a≤1＋k 时，d(a)的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．而d （1－k ）d （1＋k ）＝1－k 1＋（1－k ）2 1＋k 1＋（1＋k ）2＝2－k 2－k 32－k 2＋k 3<1，故d(1－k)<d(1＋k)．因此当a ＝1－k 时，d(a)在区间[1－k ，1＋k]上取得最小值1－k 2－2k ＋k 2. 49．B12、B14[2013·全国卷] 已知函数f(x)＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1.(1)当a ＝－2时，讨论f(x)的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a 的取值范围．49．解：(1)当a ＝－2时，f(x)＝x 3－3 2x 2＋3x ＋1，f′(x)＝3x 2－6 2x ＋3.令f′(x)＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.当x ∈(－∞，2－1)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，2－1)上是增函数；当x ∈(2－1，2＋1)时，f′(x)<0，f(x)在(2－1，2＋1)上是减函数；当x ∈(2＋1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(2＋1，＋∞)上是增函数．(2)由f(2)≥0得a≥－54.当a≥－54，x ∈(2，＋∞)时，f′(x)＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝⎛⎭⎫x 2－52x ＋1＝3⎝⎛⎭⎫x －12(x －2)>0， 所以f(x)在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－54，＋∞. 50．B12，B14[2013·福建卷] 已知函数f(x)＝x －1＋a e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)若曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；(2)求函数f(x)的极值；(3)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f(x)没有公共点，求k 的最大值．50．解：(1)由f(x)＝x －1＋a e x ，得f′(x)＝1－a e x .又曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x 轴，得f′(1)＝0，即1－a e ＝0，解得a ＝e.(2)f′(x)＝1－a e x ，①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．②当a>0时，令f′(x)＝0，得e x ＝a ，x ＝ln a.当x ∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f(x)在x ＝ln a 处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a ，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值． (3)方法一：当a ＝1时，f(x)＝x －1＋1e x .令g(x)＝f(x)－(kx －1)＝(1－k)x ＋1e x ，则直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f(x)没有公共点，等价于方程g(x)＝0在R 上没有实数解．假设k>1，此时g(0)＝1>0，g ⎝⎛⎭⎫1k －1＝－1＋1e1k －1<0，又函数g(x)的图像连续不断，由零点存在定理，可知g(x)＝0在R 上至少有一解，与“方程g(x)＝0在R 上没有实数解”矛盾，故k≤1.又k ＝1时，g(x)＝1ex >0，知方程g(x)＝0在R 上没有实数解．所以k 的最大值为1.方法二：当a ＝1时，f(x)＝x －1＋1e x .直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f(x)没有公共点，等价于关于x 的方程kx －1＝x－1＋1e x 在R 上没有实数解，即关于x 的方程：(k －1)x ＝1e x (*)在R 上没有实数解．①当k ＝1时，方程(*)可化为1e x ＝0，在R 上没有实数解．②当k≠1时，方程(*)化为1k －1＝xe x .令g(x)＝xe x ，则有g′(x)＝(1＋x)e x .令g′(x)＝0，得x ＝－1，当x当x ＝－1时，g(x)min ＝－1e ，同时当x 趋于＋∞时，g(x)趋于＋∞，从而g(x)的取值范围为－1e ，＋∞.所以当1k －1∈⎝⎛⎭⎫－∞，－1e 时，方程(*)无实数解．解得k 的取值范围是(1－e ，1)．综上①②，得k 的最大值为1.51．B12，N4[2013·湖北卷] 设a>0，b>0，已知函数f(x)＝ax ＋bx ＋1. (1)当a≠b 时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当x>0时，称f(x)为a ，b 关于x 的加权平均数． (i)判断f(1)，fb a ，f b a 是否成等比数列，并证明f b a≤f ba； (ii)a ，b 的几何平均数记为G ，称2aba ＋b 为a ，b 的调和平均数，记为H.若H≤f(x)≤G ，求x 的取值范围．51．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，f′(x)＝a （x ＋1）－（ax ＋b ）（x ＋1）2＝a －b（x ＋1）2. 当a ＞b 时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增；当a ＜b 时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递减．(2)(i)计算得f(1)＝a ＋b 2＞0，f ⎝⎛⎭⎫b a ＝2ab a ＋b ＞0，f ⎝⎛⎭⎫b a ＝ab ＞0.故f(1)f ⎝⎛⎭⎫b a ＝a ＋b 2·2ab a ＋b＝ab ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫b a 2，即f(1)f ⎝⎛⎭⎫b a ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫b a 2.①所以f(1)，f ⎝⎛⎭⎫b a ，f ⎝⎛⎭⎫b a 成等比数列．因a ＋b 2≥ab ，即f(1)≥f ⎝⎛⎭⎫b a ，结合①得f ⎝⎛⎭⎫b a ≤f ⎝⎛⎭⎫b a .(ii)由(i)知f b a ＝H ，fb a ＝G ，故由H≤f(x)≤G ，得f ⎝⎛⎭⎫b a ≤f(x)≤f ⎝⎛⎭⎫b a .②当a ＝b 时，f ⎝⎛⎭⎫b a ＝f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫b a ＝a.这时，x 的取值范围为(0，＋∞)；当a ＞b 时，0＜b a ＜1，从而b a ＜ba，由f(x)在(0，＋∞)上单调递增与②式，得ba ≤x≤b a ，即x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤ba ，b a ；当a ＜b 时，b a ＞1，从而b a ＞ba，由f(x)在(0，＋∞)上单调递减与②式，得b a ≤x≤ba ，即x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤b a ，b a . 52．B12[2013·湖北卷] 已知函数f(x)＝x(ln x －ax)有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0，1) D ．(0，＋∞) 52．B [解析] f′(x)＝ln x －ax ＋x 1x －a ＝ln x －2ax ＋1，函数f(x)有两个极值点等价于方程ln x －2ax ＋1＝0有两个大于零的不相等的实数根．令y 1＝ln x ，y 2＝2ax －1，在同一坐标系中作出这两个函数的图像，显然a≤0时，两个函数图像只有一个公共点，故a>0，此时当直线的斜率逐渐变大直到直线y ＝2ax －1与曲线y ＝ln x 相切时，两函数图像均有两个不同的公共点，y′1＝1x ，故曲线y ＝ln x 上的点(x 0，ln x 0)处的切线方程是y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，该直线过点(0，－1)，则－1－ln x 0＝－1，解得x 0＝1，故过点(0，－1)的曲线y ＝ln x 的切线斜率是1，故2a ＝1，即a ＝12，所以a 的取值范围是0，12. 53．B12[2013·辽宁卷] (1)证明：当x ∈[0，1]时，22x≤sin x≤x ； (2)若不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x≤4对x ∈[0，1]恒成立，求实数a 的取值范围．53．解：(1)记F(x)＝sin x －22x ，则F′(x)＝cos x －22.当x ∈0，π4时，F′(x)>0，F(x)在0，π4上是增函数； 当x ∈π4，1时，F′(x)<0，F(x)在π4，1上是减函数．又F(0)＝0，F(1)>0，所以当x ∈[0，1]时，F(x)≥0，即sin x≥22x.记H(x)＝sin x －x ，则当x ∈(0，1)时，H′(x)＝cos x －1<0，所以，H(x)在[0，1]上是减函数，则H(x)≤H(0)＝0，即sin x≤x.综上，22x≤sin x≤x ，x ∈[0，1]．(2)方法一：因为当x ∈[0，1]时，ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4＝(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)sin 2x 2≤(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)24x 2＝(a ＋2)x.所以，当a≤－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x≤4对x ∈[0，1]恒成立．下面证明，当a>－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x≤4对 x ∈[0，1]不恒成立．因为当x ∈[0，1]时．ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4＝(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)sin 2x 2≥(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)x 22＝(a ＋2)x －x 2－x 32≥(a ＋2)x －32x 2＝－32xx －23(a ＋2)．所以存在x 0∈(0，1)例如x 0取a ＋23和12中的较小值满足ax 0＋x 20＋x 302＋2(x 0＋2)cos x 0－4>0.即当a>－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4≤0对x ∈[0，1]不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．方法二：记f(x)＝ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4，则f′(x)＝a ＋2x ＋3x 22＋2cosx －2(x ＋2)sin x.记G(x)＝f′(x)，则G′(x)＝2＋3x －4sin x －2(x ＋2)cos x.当x ∈(0，1)时，cos x>12，因此G′(x)<2＋3x－4·22x －(x ＋2)＝(2－2 2)x<0.于是f′(x)在[0，1]上是减函数，因此，当x ∈(0，1)时f′(x)<f′(0)＝a ＋2.故当a≤－2时，f′(x)<0，从而f(x)在[0，1]上是减函数，所以f(x)≤f(0)＝0，即当a≤－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x≤4对x ∈[0，1]恒成立．面证明，当a>－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x≤4对x ∈[0，1]不恒成立．由于f′(x)在[0，1]上是减函数，且f′(0)＝a ＋2>0，f′(1)＝a ＋72＋2cos 1－6sin 1.当a≥6sin 1－2cos 1－72时，f′(1)≥0，所以当x∈(0，1)时，f′(x)>0，因此f(x)在[0，1]上是增函数，故f(1)>f(0)＝0；当－2<a<6sin 1－2cos 1－72时，f′(1)<0.又f′(0)>0，故存在x 0∈(0，1)使f′(x 0)＝0，则当0<x<x 0时，f′(x)>f′(x 0)＝0，所以f(x)在[0，x 0]上是增函数，所以当x ∈(0，x 0)时，f(x)>f(0)＝0.所以，当a>－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x≤4对x ∈[0，1]不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．54．B12，H1[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x 2e －x .(1)求f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线y ＝f(x)的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．54．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．f′(x)＝－e －x x(x －2)．①当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f′(x)<0； 当x ∈(0，2)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0，2)单调递增．故当x ＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；当x ＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e －2. (2)设切点为(t ，f(t))，则l 的方程为y ＝f′(t)(x －t)＋f(t)．所以l 在x 轴上的截距为m(t)＝t －f （t ）f′（t ）＝t ＋tt －2＝t －2＋2t －2＋3.由已知和①得t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．令h(x)＝x ＋2x (x≠0)，则当x ∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[2 2，＋∞)；当x ∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．所以当t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[2 2＋3，＋∞)．综上，l 在x 轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[2 2＋3，＋∞)．55．B12[2013·山东卷] 已知函数f(x)＝ax 2＋bx －ln x (a ，b ∈R )．(1)设a≥0，求f(x)的单调区间；(2)设a>0，且对任意x>0，f(x)≥f(1)．试比较ln a 与－2b 的大小．55．解：(1)由f(x)＝ax 2＋bx －ln x ，x ∈(0，＋∞)，得f′(x)＝2ax 2＋bx －1x .①当a ＝0时，f′(x)＝bx －1x.(i)若b≤0，当x ＞0时，f′(x)＜0恒成立，所以函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)．(ii)若b ＞0，当0＜x ＜1b 时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，当x ＞1b时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．所以，函数f(x)的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1b ，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞.②当a ＞0时，令f′(x)＝0，得2ax 2＋bx －1＝0.由Δ＝b 2＋8a ＞0得x 1＝－b －b 2＋8a 4a ，x 2＝－b ＋b 2＋8a 4a. 显然，x 1＜0，x 2＞0.当0＜x ＜x 2时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x ＞x 2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ＋b 2＋8a 4a ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋b 2＋8a 4a ，＋∞.综上所述，当a ＝0，b≤0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)；当a ＝0，b>0时，函数f(x)的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1b ，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞；当a>0时，函数f(x)的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ＋b 2＋8a 4a ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋b 2＋8a 4a ，＋∞.(2)由题意，函数f(x)在x ＝1处取得最小值，由(1)知－b ＋b 2＋8a 4a 是f(x)的唯一极小值点，故－b ＋b 2＋8a4a ＝1，整理得2a ＋b ＝1，即b ＝1－2a.令g(x)＝2－4x ＋ln x.则g′(x)＝1－4x x .令g′(x)＝0，得x ＝14.当0＜x ＜14时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x ＞14时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．因此g(x)≤g ⎝⎛⎭⎫14＝1＋ln 14＝1－ln 4＜0. 故g(a)＜0，即2－4a ＋ln a ＝2b ＋ln a ＜0，即ln a ＜－2b.56．B12[2013·天津卷] 设a ∈[－2，0]，已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－（a ＋5）x ，x ≤0，x 3－a ＋32x 2＋ax ，x>0.(1)证明f(x)在区间(－1，1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增；(2)设曲线y ＝f(x)在点P i (x i ，f(x i ))(i ＝1，2，3)处的切线相互平行，且x 1x 2x 3≠0，证明x 1＋x 2＋x 3>－13.56．解：(1)证明：设函数f 1(x)＝x 3－(a ＋5)x(x≤0)，f 2(x)＝x 3－a ＋32x 2＋ax(x≥0)， ①f′1(x)＝3x 2－(a ＋5)，a ∈[－2，0]，从而当－1<x≤0时，f ′1(x)＝3x 2－(a ＋5)<3－a －5≤0，所以函数f 1(x)在区间(－1，0]内单调递减．②f′2(x)＝3x 2－(a ＋3)x ＋a ＝(3x －a)(x －1)，由于a ∈[－2，0]，所以当0<x<1时，f′2(x)<0；当x>1时，f′2(x)>0，即函数f 2(x)在区间[0，1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．综合①②及f 1(0)＝f 2(0)，可知函数f(x)在区间(－1，1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．(2)证明：由(1)知f′(x)在区间(－∞，0)内单调递减，在区间0，a ＋36内单调递减，在区间a ＋36，＋∞内单调递增，且f′2(0)－f′1(0)＝a ＋a ＋5>0.因为曲线y ＝f(x)在点P i (x i ，f(x i ))(i ＝1，2，3)处的切线相互平行，从而x 1，x 2，x 3互不相等，且f′(x 1)＝f′(x 2)＝f′(x 3)．结合图像不妨设x 1<0<x 2<x 3，由3x 21－(a ＋5)＝3x 22－(a ＋3)x 2＋a ＝3x 23－(a ＋3)x 3＋a ，可得3x 22－3x 23－(a ＋3)(x 2－x 3)＝0，解得x 2＋x 3＝a ＋33.设g(x)＝3x 2－(a ＋3)x ＋a ，则g a ＋36<g(x 2)<g(0)＝a.由3x 21－(a ＋5)＝g(x 2)<a ，解得－2a ＋53<x 1<0，所以x 1＋x 2＋x 3>－2a ＋53＋a ＋33.设t ＝2a ＋53，则a ＝3t 2－52.因为a ∈[－2，0]，所以t ∈33，153，故x 1＋x 2＋x 3>－t ＋3t 2＋16＝12(t －1)2－13≥－13，即x 1＋x 2＋x 3>－13.57．B12[2013·浙江卷] 已知a ∈R ，函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0，2|a|]上的最小值．57．解：(1)当a ＝1时， f′(x)＝6x 2－12x ＋6，所以f′(2)＝6.又因为f(2)＝4，所以切线方程为y ＝6x －8.(2)记g(a)为f(x)在闭区间[0，2|a|]上的最小值．f′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a)．令f′(x)＝0，得x 1＝1，x 2＝a.当a>1时，比较f(0)＝0和f(a)＝a 2(3－a)的大小可得g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1<a ≤3，a 2（3－a ），a>3.当a<－1时，得g(a)＝3a －1.综上所述，f(x)在闭区间[0，2|a|]上的最小值为g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1，a<－1，0，1<a ≤3，a 2（3－a ），a>3.58．B12[2013·浙江卷] 已知函数y ＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y ＝f′(x)的图像如图1－2所示，则该函数的图像是( )图1－2图1－358．B [解析] 由导函数的图像可知，f′(x)>0恒成立，则f(x)在(－1，1)上递增，且导函数为偶函数，则函数f(x)为奇函数，再从导函数的图像可知，当x ∈(0，1)时，其二阶导数f″(x)<0，则f(x)在x ∈(0，1)时，其图像是向上凸的，或者y 随着x 增长速度越来越缓慢，故选择B.B13 定积分与微积分基本定理B14 单元综合59．A4，B14[2013·福建卷] 设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f(x)满足：(i)T ＝{f(x)|x ∈S}；(ii)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f(x 1)<f(x 2)，那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：①A ＝N ，B ＝N *；②A ＝{x|－1≤x≤3}，B ＝{x|－8≤x≤10}；③A ＝{x|0<x<1}，B ＝R . 其中，“保序同构”的集合对的序号是________．(写出所有“保序同构”的集合对的序号)59．①②③ [解析] 函数f(x)为定义域S 上的增函数，值域为T.构造函数f(x)＝x ＋1，x ∈N ，则f(x)值域为N ，且为增函数，①正确．构造过两点(－1，－8)，(3，10)的线段对应的函数f(x)＝92x －72，－1≤x≤3，满足题设条件，②正确．构造函数f(x)＝tanx －12π，0<x<1，满足题设条件，③正确．60．B14[2013·福建卷] 设函数f(x)的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )A ．∈R ，f(x)≤f(x 0)B ．－x 0是f(－x)的极小值点C ．－x 0是－f(x)的极小值点D ．－x 0是－f(－x)的极小值点 60．D [解析] 根据极值点是函数局部的性质可排除A 选项，根据函数f(x)的图像与f(－x)、－f(x)、－f(－x)的图像分别关于y 轴、x 轴、原点对称，可排除B 、C 选项，故选D. 61．B14[2013·江苏卷] 设函数f(x)＝ln x －ax ，g(x)＝e x －ax ，其中a 为实数．(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围； (2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．61．解：(1)令f′(x)＝1x －a ＝1－ax x <0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞)，故a>0，进而解得x>a －1，即f(x)在(a －1，＋∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0，a －1) 上是单调增函数．由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋－1，＋∞)，从而a －1≤1，即a≥1.令g′(x)＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ．当x<ln a 时，g′(x)<0；当x>ln a 时，g′(x)>0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a>1，即a>e.综上，有a ∈(e ，＋∞)．(2)当a≤0时，g(x)必为单调增函数；当a>0时，令g′(x)＝e x －a>0，解得a<e x ，即x>ln a ，因为g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a≤－1，即0<a≤e－1结合上述两种情况，有a≤e －1.(i)当a ＝0时，由f(1)＝0以及f′(x)＝1x>0，得f(x)存在唯一的零点；(ii)当a<0时，由于f(e a )＝a －ae a ＝a(1－e a )<0，f(1)＝－a>0，且函数f(x)在[e a ，1]上的图像不间断，所以f(x)在(e a ，1)上存在零点．另外，当x>0时，f′(x)＝1x －a>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点．(iii)当0<a≤e－1时，令f′(x)＝1x－a ＝0，解得x ＝a －1.当0<x<a －1时，f′(x)>0，当x>a －1时，f′(x)<0，所以，x ＝a －1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a －1)＝－ln a －1.①当－ln a －1＝0，即a ＝e －1时，f(x)有一个零点x ＝e.②当－ln a －1>0，即0<a<e －1时，f(x)有两个零点．实际上，对于0<a<e －1，由于f(e －1)＝－1－ae －1<0，f(a －1)>0，且函数f(x)在[e －1，a －1]上的图像不间断，所以f(x)在(e －1，a －1)上存在零点．另外，当x ∈(0，a －1)时，f′(x)＝1x －a>0，故f(x)在(0，a －1)上是单调增函数，所以f(x)在(0，a －1)上只有一个零点．下面考虑f(x)在(a －1，＋∞)上的情况，先证f(ea －1)＝a(a －2－ea －1)<0，为此，我们要证明：当x>e 时，e x >x 2，设h(x)＝e x －x 2，则h′(x)＝e x －2x ，再设l(x)＝h′(x)＝e x －2x ，则l′(x)＝e x －2.当x>1时，l′(x)＝e x －2>e －2>0，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x>2时，h′(x)＝e x －2x>h′(2)＝e 2－4>0，从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x>e 时，h(x)＝e x －x 2>h(e)＝e e －e 2>0，即当x>e 时，e x >x 2.当0<a<e －1，即a －1>e 时，f(ea －1)＝a －1－aea －1＝a(a －2－ea －1)<0，又f(a －1)>0，且函数f(x)在[a －1，ea－1]上的图像不间断，所以f(x)在(a －1，ea －1)上存在零点．又当x>a－1时，f′(x)＝1x－a<0，故f(x)在(a －1，＋∞)上是单调减函数，所以f(x)在(a －1，＋∞)上只有一个零点．综合(i)(ii)(iii)，当a≤0或a ＝e－1时，f(x)的零点个数为1，当0<a<e －1时，f(x)的零点个数为2.62．B14[2013·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，设定点A(a ，a)，P 是函数y ＝1x (x>0)图像上一动点．若点P ，A之间的最短距离为2 2，则满足条件的实数a 的所有值为________．62．－1，10 [解析] 由题意知，若a<0，则a ＝－1满足题意；若a>0，则圆(x －a)2＋(y －a)2＝8与y ＝1x (x>0)相切．联立方程，消去y 得x 2－2ax ＋a 2＋1x 2－2a x＋a 2＝8，即⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2a ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2a 2－10＝0.令Δ＝0得(2a)2－4(2a 2－10)＝0.(*)解得a ＝10.此时方程(*)的解为x ＝10±62，满足题意．综上，实数a 的所有值为－1，10.。

函数与导数1.课标文数13.B1[2011·安徽卷] 函数y ＝16－x －x 2的定义域是________． 1.【答案】 (－3,2)【解析】 由函数解析式可知6－x －x 2>0，即x 2＋x －6<0，故－3<x<2.2.课标文数8.B1[2011·福建卷] 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x>0，x ＋1，x≤0.若f(a)＋f(1)＝0，则实数a 的值等于( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．32.由已知，得f(1)＝2；又当x>0时，f(x)＝2x >1，而f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＝－2，且a<0，∴a ＋1＝－2， a ＝－3，3.课标文数4.B1[2011·广东卷] 函数f(x)＝11－x＋lg(1＋x)的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞) C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D ．(－∞，＋∞)3.【解析】 要使函数有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x≠0，1＋x>0，所以所求定义域为{x|x>－1且x≠1}，故选C. 4.课标文数16.B1[2011·湖南卷] 给定k ∈N *，设函数f ：N *→N *满足：对于任意大于k 的正整数n ，f(n)＝n －k.(1)设k ＝1，则其中一个函数f 在n ＝1处的函数值为________________；(2)设k ＝4，且当n≤4时，2≤f(n)≤3，则不同的函数f 的个数为________．4. (1)a(a 为正整数) (2)16 【解析】 (1)由法则f 是正整数到正整数的映射，因为k ＝1，所以从2开始都是一一对应的，而1可以和任何一个正整数对应，故f 在n ＝1处的函数值为任意的a(a 为正整数)；(2)因为2≤f(n)≤3，所以根据映射的概念可得到：1,2,3,4只能是和2或者3对应，1可以和2对应，也可以和3对应，有2种对应方法，同理，2,3,4都有两种对应方法，由乘法原理，得不同函数f 的个数等于16.5.课标文数11.B1[2011·陕西卷] 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lgx ，x ＞0，10x ，x≤0，则f(f(－2))＝________. 5.【解析】 因为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lgx ，x>0，10x ，x≤0，－2<0，f(－2)＝10－2,10－2>0，f(10－2)＝lg10－2＝－2. 6.大纲文数16.B1[2011·四川卷] 函数f(x)的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f(x 1)＝f(x 2)时总有x 1＝x 2，则称f(x)为单函数，例如，函数f(x)＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x 2(x ∈R )是单函数； ②指数函数f(x)＝2x (x ∈R )是单函数；③若f(x)为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f(x 1)≠f(x 2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)6.②③④ 【解析】 本题主要考查对函数概念以及新定义概念的理解．对于①，如－2,2∈A ，f(－2)＝f(2)，则①错误；对于②，当2x 1＝2x 2时，总有x 1＝x 2，故为单函数；对于③根据单函数的定义，函数即为一一映射确定的函数关系，所以当函数自变量不相等时，则函数值不相等，即③正确；对于④，函数f(x)在定义域上具有单调性，则函数为一一映射确定的函数关系，所以④正确．7.课标文数11.B1[2011·浙江卷] 设函数f(x)＝41－x，若f(α)＝2，则实数α＝________. 7.－1 【解析】 ∵f(α)＝41－α＝2，∴α＝－1. 8.大纲文数2.B2[2011·全国卷] 函数y ＝2x (x≥0)的反函数为( ) A ．y ＝x 24(x ∈R ) B ．y ＝x 24(x≥0) C ．y ＝4x 2(x ∈R ) D ．y ＝4x 2(x≥0) 8. B 【解析】 由y ＝2x 得x ＝y 24，∵x≥0，∴y≥0，则函数的反函数为y ＝x 24(x≥0)．故选B. 9.课标文数3.B3，B4[2011·课标全国卷] 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x|＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x|9. A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x|＝⎝⎛⎭⎫12|x|是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数．10.课标文数12.B3，B7[2011·天津卷] 已知log 2a ＋log 2b≥1，则3a ＋9b 的最小值为________．10.解析 ∵log 2a ＋log 2b ＝log 2ab≥1，∴ab≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥23a ·32b ＝23a ＋2b ≥2322ab ＝18.11.课标文数11.B4，B5[2011·安徽卷] 设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x 2－x ，则f(1)＝________.11.解析法一：∵f(x)是定义在R 上的奇函数，且x≤0时，f(x) ＝ 2x 2－x ，∴f(1)＝－f(－1) ＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.法二：设x>0，则－x<0，∵f(x)是定义在R 上的奇函数，且x≤0时，f(x) ＝ 2x 2－x ，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x 2＋x ，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－2x 2－x ，∴f(1)＝－2×12－1＝－3.12.课标文数12.B4[2011·广东卷] 设函数f(x)＝x 3cosx ＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.12.解析由f(a)＝a 3cosa ＋1＝11得a 3cosa ＝10，所以f(－a)＝(－a)3cos(－a)＋1＝－a 3cosa ＋1＝－10＋1＝－9.13.课标文数3.B4[2011·湖北卷] 若定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x ，则g(x)＝( )A ．e x －e －x B.12(e x ＋e －x ) C.12(e －x －e x ) D.12(e x －e －x ) 13.函数f(x)是偶，g(x)是奇，所以f ()－x ＋g ()－x ＝f(x)－g ()x ＝e －x .又因为f(x)＋g ()x ＝e x ，所以g ()x ＝e x －e －x 2. 14.课标文数12.B4[2011·湖南卷] 已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________.14.g(x)＝f(x)＋9，得当x ＝－2时，有g(－2)＝f(－2)＋9⇒f(－2)＝－6.因为f(x)为奇函数，所以有f(2)＝f(－2)＝6.15.课标文数6.B4[2011·辽宁卷] 若函数f(x)＝x ＋－为奇函数，则a ＝( ) A.12 B.23 C.34D ．1 15.一：由已知得f(x)＝x ＋－定义域关于原点对称，由于该函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x≠－12且x≠a ，知a ＝12，故选A. 法二：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x)＝x 2x 2＋－－a ，则－x 2x 2－－－a ＝－x 2x 2＋－－a在函数的定义域内恒成立，可得a ＝12. 16.课标文数3.B3，B4[2011·课标全国卷] 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x|＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x|16.A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数． 17.课标文数12.B4，B7，B8[2011·课标全国卷] 已知函数y ＝f(x)的周期为2，当x ∈[－1,1]时f(x)＝x 2，那么函数y ＝f(x)的图像与函数y ＝|lgx|的图像的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个17. A 【解析】 由题意做出函数图像如图，由图像知共有10个交点．19.课标文数8.B5，H2[2011·北京卷] 已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．119.解析由已知可得|AB|＝22，要使S △ABC ＝2，则点C 到直线AB 的距离必须为2，设C(x ，x 2)，而l AB ：x ＋y －2＝0，所以有|x ＋x 2－2|2＝2，所以x 2＋x －2＝±2，当x 2＋x －2＝2时，有两个不同的C 点； 当x 2＋x －2＝－2时，亦有两个不同的C 点．因此满足条件的C 点有4个，故应选A.20.课标文数14.B5[2011·陕西卷] 设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝________. 20.课标文数14.B5[2011·陕西卷] 3或4 【解析】 由x 2－4x ＋n ＝0得(x －2)2＝4－n ，即x ＝2±4－n ，∵n ∈N ＋，方程要有整数根，满足n ＝3,4，当n ＝3,4时方程有整数根．21.课标文数8.B5[2011·天津卷] 对实数a 和b ，定义运算“⊗”；a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a －b≤1，b ，a －b>1.设函数f(x)＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f(x)－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1]21. f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2，x 2－2－－x －1，x 2－2－－＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x≤2x －1，x<－1，或x>2则f(x)的图象如图，∵函数y ＝f(x)－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，∴函数y ＝f(x)与y ＝c 的图象有两个交点，由图象可得－2<c≤－1，或1<c≤2.22.课标文数3.B6[2011·山东卷] 若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan aπ6的值为( ) A ．0 B. 33C ．1 D. 3 22.解析 因为点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，所以9＝3a ，所以a ＝2，即tan aπ6＝tan 2π6＝tan π3＝3，故选D. 23.课标文数5.B7[2011·安徽卷] 若点(a ，b)在y ＝lgx 图像上，a≠1，则下列点也在此图像上的是( )A.⎝⎛⎭⎫1a ，b B ．(10a,1－b) C.⎝⎛⎭⎫10a ，b ＋1 D ．(a 2,2b) 23.由点(a ，b)在y ＝lgx 图像上，得b ＝lga.当x ＝a 2时，y ＝lga 2＝2lga ＝2b ，所以点(a 2,2b)在函数y ＝lgx 图像上．24.课标文数3.B7[2011·北京卷] 如果log 12x ＜log 12y ＜0，那么( ) A ．y ＜x ＜1 B ．x ＜y ＜1 C ．1＜x ＜y D ．1＜y ＜x24.【解析】 因为log 12x<log 12y<0＝log 121，所以x>y>1，故选D. 25.课标文数15.B7[2011·湖北卷] 里氏震级M 的计算公式为：M ＝lgA －lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．25.课标文数15.B7[2011·湖北卷] 6 10000 【解析】 由M ＝lgA －lgA 0知，M ＝lg1000－lg0.001＝6，所以此次地震的级数为6级．设9级地震的最大振幅为A 1,5级地震的最大振幅为A 2，则lg A 1A 2＝lgA 1－lgA 2＝()lgA 1－lgA 0－()lgA 2－lgA 0＝9－5＝4.所以A 1A 2＝104＝10000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍． 26.课标文数3.B7[2011·江西卷] 若f ()x ＝1log 12()2x ＋1，则f ()x 的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，0 B.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－12，0∪()0，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－12，2 26.【解析】 方法一：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，2x ＋1≠1，解得x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞)．故选C. 27.课标文数5.B7[2011·天津卷] 已知a ＝log 23.6，b ＝lo g 43.2，c ＝log 43.6，则( )A ．a>b>cB ．a>c>bC ．b>a>cD ．c>a>b27.解析 ∵a ＝log 23.6>log 22＝1.又∵y ＝log 4x ，x ∈(0，＋∞)为单调递增函数，∴log 43.2<log 43.6<log 44＝1，∴b<c<a.28.大纲文数6.B7[2011·重庆卷] 设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．c<b<a C ．b<a<c D ．b<c<a28.解析 a ＝log 1312＝log 32，b ＝log 1323＝log 332，则由log 343＜log 332＜log 32，得c ＜b ＜a.故选B.29.课标文数10.B8[2011·安徽卷] 函数f(x)＝ax n (1－x)2在区间[0,1]上的图像如图1－2所示，则n 可能是( )图1－2A ．1B ．2C ．3D ．429.由函数图像可知a>0.当n ＝1时，f(x)＝ax(1－x)2＝a(x 3－2x 2＋x)，f′(x)＝a(3x －1)(x －1)，所以函数的极大值点为x ＝13<0.5，故A 可能；当n ＝2时，函数f(x)＝ax 2(1－x)2＝a(x 2－2x 3＋x 4)，f′(x)＝a(2x －6x 2＋4x 3)＝ 2ax(2x －1)(x －1)，函数的极大值点为x ＝12，故B 错误；当n ＝3时，f(x)＝ax 3(1－x)2＝a(x 5－2x 4＋x 3)，f′(x)＝ax 2(5x 2－8x ＋3)＝ax 2(5x －3)(x －1)，函数的极大值点为x ＝35>0.5，故C 错误；当n ＝4时，f(x)＝ax 4(1－x)2＝a(x 6－2x 5＋x 4)，f′(x)＝a(6x 5－10x 4＋4x 3)＝2ax 3(3x －2)(x －1)，函数的极大值点为x ＝23>0.5，故D 错误．30.课标文数13.B8[2011·北京卷] 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x≥2，－3，x ＜2.若关于x 的方程f(x)＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．30. (0,1) 【解析】 函数f(x)的图象如图1－3所示：由上图可知0<k<1.31.课标文数4.B8[2011·陕西卷] 函数y ＝x 13的图象是( )31. 因为y ＝x 13，由幂函数的性质，过点(0,0)，(1,1)，则只剩B ，C.因为y ＝x α中α＝13，图象靠近x 轴，故B. 32.大纲文数4.B 8[2011·四川卷] 函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )32.解析由y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1可得其反函数为y ＝log 12(x －1)(x>1)，根据图象可判断选择答案A. 33.课标文数10.B9[2011·课标全国卷] 在下列区间中，函数f(x)＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫－14，0B.⎝⎛⎭⎫0，14C.⎝⎛⎭⎫14，12D.⎝⎛⎭⎫12，34 33. 因为f ⎝⎛⎭⎫14＝e 14－2<0，f ⎝⎛⎭⎫12＝e 12－1>0，所以f ⎝⎛⎭⎫14·f ⎝⎛⎭⎫12<0，又因为函数y ＝e x 是单调增函数，y ＝4x －3也是单调增函数，所以函数f(x)＝e x ＋4x －3是单调增函数，所以函数f(x)＝e x ＋4x －3的零点在⎝⎛⎭⎫14，12内．34.课标文数16.B9[2011·山东卷] 已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a ＞0，且a≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f(x)的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.34.本题考查对数函数的单调性与函数零点定理的应用．因为2＜a ＜3，所以log a 2＜1＝log a a ＜log a 3，因为3＜b ＜4，所以b －2>1>log a 2，b －3＜1＜log a 3，所以f(2)·f(3)＝ (log a 2＋2－b)·(log a 3＋3－b)＜0，所以函数的零点在(2,3)上，所以n ＝2.35.课标文数6.B9[2011·陕西卷] 方程|x|＝cosx 在(－∞，＋∞)内( )A ．没有根B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根35.解析 如图1－3所示，由图象可得两函数图象有两个交点，故方程有且仅有两个根，故答案为C.36.课标文数7.B10，E6[2011·北京卷] 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件36.记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)，则f(x)＝800＋x 8×x×1x ＝800x ＋x 8≥2800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8，即x ＝80件(x>0)时，取最小值，故选B. 37.课标文数14.B10[2011·北京卷] 设A(0,0)，B(4,0)，C(t ＋4,3)，D(t,3)(t ∈R )．记N(t)为平行四边形ABCD 内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N(0)＝________；N(t)的所有可能取值为________．37.显然四边形ABCD 内部(不包括边界)的整点都在直线y ＝k(k ＝1,2)落在四边形ABCD 内部的线段上，由于这样的线段长等于4，所以每条线段上的整点有3个或4个，所以6＝2×3≤N(t)≤2×4＝8.当四边形ABCD 的边AD 上有4个整点时，N(t)＝6；当四边形ABCD 的边AD 上有1或2个整点时，N(t)＝8或7.所以N(t)的所有可能取值为6,7,8.38.课标文数19.B10[2011·湖北卷] 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到138.解答(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax ＋b.再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧ a ＝－13，b ＝2003.故函数v(x)的表达式为v(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60， 0≤x ＜20，13－， 20≤x≤200.(2)依题意并由(1)可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ， 0≤x ＜20，13－， 20≤x≤200.当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤13⎣⎡⎦⎤x ＋－22＝100003.当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值100003.综上，当x ＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．图1－939.课标文数22.B11，B12[2011·福建卷] 已知a ，b 为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax ＋b ＋axlnx ，f(e)＝2(e ＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)求实数b 的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)当a ＝1时，是否同时存在实数m 和M(m<M)，使得对每一个t ∈[m ，M]，直线y ＝t 与曲线y ＝f(x)⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由．39.解答 (1)由f(e)＝2得b ＝2.(2)由(1)可得f(x)＝－ax ＋2＋axlnx.从而f′(x)＝alnx.因为a≠0，故：①当a>0时，由f′(x)>0得x>1，由f′(x)<0得0<x<1； ②当a<0时，由f′(x)>0得0<x<1，由f′(x)<0得x>1. 综上，当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)当a ＝1时，f(x)＝－x ＋2＋xlnx ，f′(x)＝lnx.由(2)可得，当x 在区间⎝⎛⎭⎫1e ，e 内变化时，f′(x)，f(x)的变又2－2e<2，所以函数f(x)(x ∈⎣⎡⎦1e ，e )的值域为[1,2]．据此可得，若⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，M ＝2相对每一个t ∈[m ，M]，直线y ＝t 与曲线y ＝f(x)⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 都有公共点； 并且对每一个t ∈(－∞，m)∪(M ，＋∞)，直线y ＝t 与曲线y ＝f(x)⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 都没有公共点． 综上，当a ＝1时，存在最小的实数m ＝1，最大的实数M ＝2，使得对每一个t ∈[m ，M]，直线y ＝t 与曲线y ＝f(x)⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 都有公共点． 40.课标文数4.B11[2011·江西卷] 曲线y ＝e x 在点A(0,1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．e D.1e40.【解析】 y′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x |x ＝0＝e 0＝1.故选A.41.课标文数4.B11[2011·山东卷] 曲线y ＝x 3＋11在点P(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．1541.因为y′＝3x 2，所以k ＝y′|x ＝1＝3，所以过点P(1,12)的切线方程为y －12＝3(x －1)，即y ＝3x ＋9，所以与y 轴交点的纵坐标为9.42.课标文数19.B11，D4[2011·陕西卷] 如图1－12，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x 于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复图1－12上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n)．(1)试求x k 与x k －1的关系(2≤k≤n)；(2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |.42.解答(1)设P k －1(x k －1,0)，由y′＝e x 得Q k －1(x k －1，ex k －1)点处切线方程为y －ex k －1＝ex k －1(x －x k －1)，由y ＝0得x k ＝x k －1－1(2≤k≤n)．(2)由x 1＝0，x k －x k －1＝－1，得x k ＝－(k －1)，所以|P k Q k |＝ex k ＝e －(k －1)，于是S n ＝|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1)＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－ne －1. 43.大纲文数3.B11[2011·重庆卷] 曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝－3x ＋5C ．y ＝3x ＋5D ．y ＝2x43.解析 y′＝－3x 2＋6x ，∵点(1,2)在曲线上，∴所求切线斜率k ＝y′|x ＝1＝3.由点斜式得切线方程为y －2＝3(x －1)，即y ＝3x －1.故选A.44.课标文数18.B12[2011·安徽卷] 设f(x)＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f(x)的极值点； (2)若f(x)为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 44.本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力．对f(x)求导得f′(x)＝e x 1＋ax 2－2ax ＋ax 22.①(1)当a ＝43时，若f′(x)＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝1.结合①可知所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f(x)为R 上的单调函数，则f′(x)在R 上不变号，结合①与条件a>0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a(a －1)≤0，由此并结合a>0，知0<a≤1.45.课标文数18.B12[2011·北京卷] 已知函数f(x)＝(x －k)e x .(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．45. (1)f′(x)＝(x －k ＋1)e x .所以，f(x)k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增．所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k<2时．由(1)知f(x)在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减；所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.46.大纲文数21.B12[2011·全国卷] 已知函数f(x)＝x 3＋3ax 2＋(3－6a)x ＋12a －4(a ∈R )．(1)证明：曲线y ＝f(x)在x ＝0处的切线过点(2,2)；(2)若f(x)在x ＝x 0处取得极小值，x 0∈(1,3)，求a 的取值范围．46.解答 (1)证明：f′(x)＝3x 2＋6ax ＋3－6a.由f(0)＝12a －4，f′(0)＝3－6a 得曲线y ＝f(x)在x ＝0处的切线方程为y ＝(3－6a)x ＋12a －4，由此知曲线y ＝f(x)在x ＝0处的切线过点(2,2)．(2)由f′(x)＝0得x 2＋2ax ＋1－2a ＝0.①当－2－1≤a≤2－1时，f′(x)≥0恒成立，f(x)没有极小值；②当a>2－1或a<－2－1时，由f′(x )＝0得 x 1＝－a －a 2＋2a －1，x 2＝－a ＋a 2＋2a －1，故x 0＝x 2.由题设知1<－a ＋a 2＋2a －1<3.当a>2－1时，不等式1<－a ＋a 2＋2a －1<3无解；当a<－2－1时，解不等式1<－a ＋a 2＋2a －1<3得－52<a<－2－1.综合①②得a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－52，－2－1. 47.课标文数19.B12[2011·广东卷] 设a ＞0，讨论函数f(x)＝lnx ＋a(1－a)x 2－2(1－a)x 的单调性．47.解答函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝－2－－＋1x，当a≠1时，方程2a(1－a)x 2－2(1－a)x ＋1＝0的判别式Δ＝12(a －1)⎝⎛⎭⎫a －13.①当0<a<13时，Δ>0，f′(x)有两个零点，x 1＝12a －－－－>0，x 2＝12a ＋－－－， 且当0<x<x 1或x>x 2时，f′(x)>0，f(x)在(0，x 1)与(x 2，＋∞)内为增函数；当x 1<x<x 2时，f′(x)<0，f(x)在(x 1，x 2)内为减函数；②当13≤a<1时，Δ≤0，f′(x)≥0，所以f(x)在(0，＋∞)内为增函数；③当a ＝1时，f′(x)＝1x>0(x>0)，f(x)在(0，＋∞)内为增函数；④当a>1时，Δ>0，x 1＝12a －－－－>0，x 2＝12a ＋－－－<0， 所以f′(x)在定义域内有唯一零点x 1，且当0<x<x 1时，f′(x)>0，f(x)在(0，x 1)内为增函数；当x>x 1时，f′(x)<0，f(x)在(x 1，＋(其中x 1－，－－) 48.课标文数20.B12，E9[2011·湖北卷] 设函数f(x)＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g(x)＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈[x 1，x 2]，f(x)＋g(x)<m(x －1)恒成立，求实数m 的取值范围．48.解答(1)f′(x)＝3x 2＋4ax ＋b ，g′(x)＝2x －3.由于曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线，故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1.由此得⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5.所以a ＝－2，b ＝5，切线l 的方程为x －y －2＝0.(2)由(1)得f(x)＝x 3－4x 2＋5x －2，所以f(x)＋g(x)＝x 3－3x 2＋2x.依题意，方程x(x 2－3x ＋2－m)＝0有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，故x 1、x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两相异的实根．所以Δ＝9－4(2－m)>0，即m>－14.又对任意的x ∈[x 1，x 2]，f(x)＋g(x)<m(x －1)恒成立．特别地，取x ＝x 1时，f(x 1)＋g(x 1)－mx 1<－m 成立，得m<0.由韦达定理，可得x 1＋x 2＝3>0，x 1x 2＝2－m>0，故0<x 1<x 2.对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x>0，则f(x)＋g(x)－mx ＝x(x －x 1)(x －x 2)≤0，又f(x 1)＋g(x 1)－mx 1＝0，所以函数f(x)＋g(x)－mx 在x ∈[x 1，x 2]的最大值为0.于是当－14<m<0时，对任意的x ∈[x 1，x 2]，f(x)＋g(x)<m(x －1)恒成立．综上，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，0. 49.课标文数7.B12[2011·湖南卷] 曲线y ＝sinx sinx ＋cosx －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D.2249.【解析】 对y ＝sinx sinx ＋cosx －12求导得到y′＝＋－－＋2＝1＋2，当x ＝π4，得到y′⎪⎪x ＝π4＝1⎝⎛⎭⎫22＋222＝12. 50.课标文数22.B12，E8[2011·湖南卷] 设函数f(x)＝x －1x－alnx(a ∈R )．(1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个极值点x 1和x 2，记过点A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))的直线的斜率为k.问：是否存在a ，使得k ＝2－a ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．50.解答(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝1＋1x 2－a x ＝x 2－ax ＋1x 2.令g(x)＝x 2－ax ＋1，其判别式Δ＝a 2－4.①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a<－2时，Δ>0，g(x)＝0的两根都小于0.在(0，＋∞)上，f′(x)>0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．③当a>2时，Δ>0，g(x)＝0的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－42.当0<x<x 1时，f′(x)>0；当x 1<x<x 2时，f′(x)<0；当x>x 2时，f′(x)>0.故f(x)分别在(0，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减．(2)由(1)知，a>2.因为f(x 1)－f(x 2)＝(x 1－x 2)＋x 1－x 2x 1x 2－a(lnx 1－lnx 2)，所以，k ＝1－2x 1－x 2＝1＋1x 1x 2－a·lnx 1－lnx 2x 1－x 2.又由(1)知，x 1x 2＝1，于是k ＝2－a·lnx 1－lnx 2x 1－x 2.若存在a ，使得k ＝2－a ，则lnx 1－lnx 2x 1－x 2＝1.即lnx 1－lnx 2＝x 1－x 2.亦即x 2－1x 2－2lnx 2＝0(x 2>1)．再由(1)知，函数h(t)＝t －1t －2lnt 在(0，＋∞)上单调递增，而x 2>1，所以x 2－1x 2－2lnx 2>1－11－2ln1＝0.这与(*)式矛盾．故不存在a ，使得k ＝2－a. 51.课标文数20.B12[2011·江西卷] 设f(x)＝13x 3＋mx 2＋nx.(1)如果g(x)＝f′(x)－2x －3在x ＝－2处取得最小值－5，求f(x)的解析式；(2)如果m ＋n<10(m ，n ∈N ＋)，f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值．(注：区间(a ，b)的长度为b －a)51.解答(1)由题得g(x)＝x 2＋2(m －1)x ＋(n －3)＝(x ＋m －1)2＋(n －3)－(m －1)2，已知g(x)在x ＝－2处取得最小值－5，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝2，－－－2＝－5，即m ＝3，n ＝2.即得所要求的解析式为f(x)＝13x 3＋3x 2＋2x.(2)因为f′(x)＝x 2＋2mx ＋n ，且f(x)的单调递减区间的长度为正整数，故f′(x)＝0一定有两个不同的根，从而Δ＝4m 2－4n>0即m 2>n.不妨设两根为x 1，x 2，则|x 2－x 1|＝2m 2－n 为正整数．又m ＋n<10(m ，n ∈N ＋)，故m≥2时才可能有符合条件的m ，n ，当m ＝2时，只有n ＝3符合要求；当m ＝3时，只有n ＝5符合要求；当m≥4时，没有符合要求的n.综上所述，只有m ＝2，n ＝3或m ＝3，n ＝5满足上述要求．52.课标文数11.B12[2011·辽宁卷] 函数f(x)的定义域为R ，f(－1)＝2，对任意x ∈R ，f′(x)＞2，则f(x)＞2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)52.解设G(x)＝f(x)－2x －4，所以G′(x)＝f′(x)－2，由于对任意x ∈R ，f′(x)>2，所以G′(x)＝f′(x)－2>0恒成立，所以G(x)＝f(x)－2x －4是R 上的增函数，又由于G(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，所以G(x)＝f(x)－2x －4>0，即f(x)>2x ＋4的解集为(－1，＋∞)，故选B.53.课标文数16.B12[2011·辽宁卷] 已知函数f(x)＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．53.课标文数16.B12[2011·辽宁卷] (－∞，2ln2－2] 【解析】 由于f(x)＝e x －2x ＋a 有零点，即e x －2x ＋a ＝0有解，所以a ＝－e x ＋2x.令g(x)＝－e x ＋2x ，由于g′(x)＝－e x ＋2，令g′(x)＝－e x ＋2＝0解得x ＝ln2.当x ∈(－∞，ln2)时，g′(x)＝－e x ＋2>0，此时为增函数；当x ∈(ln2，＋∞)时，g′(x)＝－e x ＋2<0，此时为减函数．所以，当x ＝ln2时，函数g(x)＝－e x ＋2x 有最大值2ln2－2，即g(x)＝－e x ＋2x 的值域为(－∞，2ln2－2]，所以a ∈(－∞，2ln2－2]．54.课标文数20.B12[2011·辽宁卷] 设函数f(x)＝x ＋ax 2＋blnx ，曲线y ＝f(x)过P(1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值；(2)证明：f(x)≤2x －2. 54.解答(1)f′(x)＝1＋2ax ＋b x .由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ ＝0，＝2.即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得a ＝－1，b ＝3.(2)f(x)的定义域 为(0，＋∞)，由(1)知f(x)＝x －x 2＋3lnx.设g(x)＝f(x)－(2x －2)＝2－x －x 2＋3lnx ，则g′(x)＝－1－2x ＋3x ＝－－＋x. 当0＜x ＜1时，g′(x)＞0；当x ＞1时，g′(x)＜0.所以g(x)在(0,1)单调增加，在(1，＋∞)单调减少．而g(1)＝0，故当x ＞0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x －2.55.课标文数21.B12[2011·课标全国卷] 已知函数f(x)＝alnx x ＋1＋b x，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x>0，且x≠1时，f(x)>lnx x －1. 55.解答(1)f′(x)＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋1x －lnx ＋2－b x 2.由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧＝1，＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12，解得a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知f(x)＝lnx x ＋1＋1x ，所以f(x)－lnx x －1＝11－x 2⎝⎛⎭⎫2lnx －x 2－1x .考虑函数h(x)＝2lnx －x 2－1x (x>0)，则h′(x)＝2x －2x 2－2－x 2＝－－2x 2.所以当x≠1时，h′(x)<0，而h(1)＝0，故当x ∈(0,1)时，h(x)>0，可得11－x 2h(x)>0.当x ∈(1，＋∞)时，h(x)<0，可得11－x 2h(x)>0.从而当x>0，且x≠1时，f(x)－lnx x －1>0，即f(x)>lnx x －1. 56.课标文数21.B12，E8[2011·陕西卷] 设f(x)＝lnx ，g(x)＝f(x)＋f′(x)．(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g(a)－g(x)＜1a对任意x ＞0成立． 56.解答(1)由题设知f(x)＝lnx ，g(x)＝lnx ＋1x .∴g′(x)＝x －1x 2.令g′(x)＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g′(x)＜0，故(0,1)是g(x)的单调减区间．当x ∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间，因此，x ＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．所以g(x)的最小值为g(1)＝1.(2)g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－lnx ＋x.设h(x)＝g(x)－g ⎝⎛⎭⎫1x ＝2lnx －x ＋1x ，则h′(x)＝－－2x 2.当x ＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g ⎝⎛⎭⎫1x ，当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)＜0，h′(1)＝0.因此，h(x)在(0，＋∞)内单调递减，当0＜x ＜1时，h(x)＞h(1)＝0.即g(x)＞g ⎝⎛⎭⎫1x .当x>1时，h(x)<h(1)＝0，即g(x)<g ⎝⎛⎭⎫1x .(3)由(1)知g(x)的最小值为1，所以，g(a)－g(x)<1a ，对任意x>0成立⇔g(a)－1<1a，即lna ＜1，从而得0＜a ＜e. 57.课标数学19.B12[2011·江苏卷] 已知a ，b 是实数，函数f(x)＝x 3＋ax ，g(x)＝x 2＋bx, f′(x)和g′(x)分别是f(x)和g(x)的导函数，若f′(x)g′(x)≥0在区间I 上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I 上单调性一致．(1)设a>0，若f(x)和g(x)在区间[－1，＋∞)上单调性一致，求b 的取值范围；(2)设a<0且a≠b ，若f(x)和g(x)在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a －b|的最大值． 57. 本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．【解答】 f′(x)＝3x 2＋a ，g′(x)＝2x ＋b.(1)由题意知f′(x)g′(x)≥0在[－1，＋∞)上恒成立．因为a>0，故3x 2＋a>0，进而2x ＋b≥0，即b≥－2x 在区间[－1，＋∞)上恒成立，所以b≥2.因此b 的取值范围是[2，＋∞)．(2)令f′(x)＝0，解得x ＝±－a 3.若b>0，由a<0得0∈(a ，b)．又因为f′(0)g′(0)＝ab<0，所以函数f(x)和g(x)在(a ，b)上不是单调性一致的．因此b≤0.现设b≤0.当x ∈(－∞，0)时，g′(x)<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－－a 3时，f′(x)>0.因此当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－－a 3时，f′(x)g′(x)<0.故由题设得a≥－－a 3且b≥－－a 3，从而－13≤a<0，于是－13≤b≤0，因此|a －b|≤13，且当a ＝－13，b ＝0时等号成立．又当a ＝－13，b ＝0时，f′(x)g′(x)＝6x ⎝⎛⎫x 2－19，从而当x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0时f′(x)g′(x)>0，故函数f(x)和g(x)在⎝⎛⎭⎫－13，0上单调性一致．因此|a －b|的最大值为13. 58.课标文数19.B12[2011·天津卷] 已知函数f(x)＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，x ∈R ，其中t ∈R .(1)当t ＝1时，求曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当t≠0时，求f(x)的单调区间；(3)证明：对任意t ∈(0，＋∞)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点．58.解答(1)当t ＝1时，f(x)＝4x 3＋3x 2－6x ，f(0)＝0，f′(x)＝12x 2＋6x －6，f′(0)＝－6，所以曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝－6x.(2)f′(x)＝12x 2＋6tx －6t 2.令f′(x)＝0，解得x ＝－t 或x ＝t 2.因为t≠0，以下分两种情况讨论： ①若t<0，则t <－t.当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以，f(x)的单调递增区间是⎝⎭⎫－∞，t 2，(－t ，＋∞)；f(x)的单调递减区间是⎝⎛⎭t 2，－t . ②若t>0，则－t<t .当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－t)，⎝⎛⎭⎫t 2，＋∞；f(x)的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－t ，t 2. (3)证明：由(2)可知，当t>0时，f(x)在⎝⎛⎭⎫0，t 2内单调递减，在⎝⎛⎭⎫t 2，＋∞内单调递增．以下分两种情况讨论：①当t 2≥1，即t≥2时，f(x)在(0,1)内单调递减．f(0)＝t －1>0，f(1)＝－6t 2＋4t ＋3≤－6×4＋4×2＋3<0.所以对任意t ∈[2，＋∞)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点．②当0<t 2<1，即0<t<2时，f(x)在⎝⎛⎭⎫0，t 2内单调递减，在⎝⎛⎭⎫t 2，1内单调递增．若t ∈(0,1]，f ⎝⎛⎭⎫t 2＝－74t 3＋t －1≤－74t 3<0，f(1)＝－6t 2＋4t ＋3≥－6t ＋4t ＋3＝－2t ＋3>0，所以f(x)在⎝⎛⎭⎫t 2，1内存在零点．若t ∈(1,2)，f ⎝⎛⎭⎫t 2＝－74t 3＋(t －1)<－74t 3＋1<0，f(0)＝t －1>0，所以f(x)在⎝⎛⎭⎫0，t 2内存在零点．所以，对任意t ∈(0,2)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点．综上，对任意t ∈(0，＋∞)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点．59.课标文数10.B12[2011·浙江卷] 设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f(x)e x 的一个极值点，则下列图象不可能．．．为y ＝f(x)的图象是()图1－359.设F(x)＝f(x)e x ，∴F′(x)＝e x f′(x)＋e x f(x)＝e x (2ax ＋b ＋ax 2＋bx ＋c)，又∵x ＝－1为f(x)e x 的一个极值点，∴F′(－1)＝e 2(－a ＋c)＝0，即a ＝c ，∴Δ＝b 2－4ac ＝b 2－4a 2，当Δ＝0时，b ＝±2a ，即对称轴所在直线方程为x ＝±1；当Δ>0时，⎪⎪⎪⎪b 2a >1，即对称轴在直线x ＝－1的左边或在直线x ＝1的右边．又f(－1)＝a －b ＋c ＝2a －b ＜0，故D 错，60.大纲文数19.B12[2011·重庆卷] 设f(x)＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f′(x)，若函数y ＝f′(x)的图象关于直线x ＝－12对称，且f′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f(x)的极值．60.解答(1)因f(x)＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1，故f′(x)＝6x 2＋2ax ＋b.从而f′(x)＝6⎝⎛⎭⎫x ＋a 62＋b －a 26，即y ＝f′(x)关于直线x ＝－a 6对称，从而由题设条件知－a 6＝－12，解得a ＝3.又由于f′(1)＝0，即6＋2a ＋b ＝0，解得b ＝－12.(2)由(1)知f(x)＝2x 3＋3x 2－12x ＋1，f′(x)＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)．令f′(x)＝0，即6(x －1)(x ＋2)＝0.解得x 1＝－2，x 2＝1. 当x ∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；当x ∈(－2,1)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－2,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．从而函数f(x)在x 1＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x 2＝1处取得极小值f(1)＝－6.61.课标文数10.B14[2011·广东卷] 设f(x)，g(x)，h(x)是R 上的任意实值函数，如下定义两个函数(f ∘g)(x)和(f·g)(x)：对任意x ∈R ，(f ∘g)(x)＝f(g(x ))；(f·g)(x)＝f(x)g(x)．则下列等式恒成立的是( )A ．((f ∘g)·h)(x)＝((f·h)∘(g·h))(x)B ．((f·g)∘h)(x)＝((f ∘h)·(g ∘h))(x)C ．((f ∘g)∘h)(x)＝((f ∘h)∘(g ∘h))(x)D ．((f·g)·h)(x)＝((f·h)·(g·h))(x)61.课标文数10.B14[2011·广东卷] B 【解析】 根据题目已知的新定义，空心为复合，实心则拿出来相乘，在B 中左边＝((f·g)∘h)(x)＝(f·g)(h(x))＝f(h(x))g(h(x))，右边＝((f ∘h)·(g ∘h))(x)＝(f ∘h)(x)(g ∘h)(x)＝f(h(x))g(h(x))，由于左边＝右边，所以B 正确．其他选项按照此规律计算都不满足题意．62.课标文数8.B14[2011·湖南卷] 已知函数f(x)＝e x －1，g(x)＝－x 2＋4x －3.若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为( )A.[]2－2，2＋2B.()2－2，2＋2 C ．[1,3] D ．(1,3)62.解析因为f(x)＝e x －1>－1，g(x)＝－x 2＋4x －3≤1，要有f(a)＝g(b)，则一定要有－1＜－x 2＋4x －3≤1，解之得：有2－2＜x ＜2＋2，即2－2＜b ＜2＋2，故选B.63.大纲文数22.B14[2011·四川卷] 已知函数f(x)＝23x ＋12，h(x)＝x.(1)设函数F(x)＝18f(x)－x 2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值；(2)设a ∈R ，解关于x 的方程lg ⎣⎡⎦⎤32－－34＝2lgh(a －x)－2lgh(4－x)； (3)设n ∈N *，证明：f(n)h(n)－[h(1)＋h(2)＋…＋h(n)]≥16. 63.解答(1)F(x)＝18f(x)－x 2[h(x)]2＝－x 3＋12x ＋9(x≥0)，∴F′(x)＝－3x 2＋12.令F′(x)＝0，得x ＝2(x ＝－2舍去)．当x ∈[0,2)时，F′(x)＞0；当x ∈(2，＋∞)时，F′(x)＜0.故当x ∈[0,2)时，F(x)为增函数；当x ∈[2，＋∞)时，F(x)为减函数．x ＝2为F(x)的极大值点，且F(2)＝－8＋24＋9＝25.(2)原方程代为lg(x －1)＋2lg 4－x ＝2lg a －x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，4－x ＞0，a －x ＞0，－－＝a －x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 1＜x ＜4，x ＜a ，a ＝－－2＋5.图1－9①当1＜a≤4时，原方程有一解x ＝3－5－a ；②当4＜a ＜5时，原方程有两解 x 1,2＝3±5－a ； ③当a ＝5时，原方程有一解x ＝3；④当a≤1或a ＞5时原方程无解．(3)由已知得h(1)＋h(2)＋…＋h(n)＝1＋2＋…＋n ，f(n)h(n)－16＝4n ＋36n －16.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝f(n)h(n)－16(n ∈N *)，从而有a 1＝S 1＝1，当k≥2时，a k ＝S k －S k －1＝4k ＋36k －4k －16k －1.又a k －k ＝16[(4k－3)k －(4k －1)k －1]＝16－2k －－2－－k ＋－k －1＝161－k ＋－k －1＞0.即对任意的k≥2，有a k ＞k.又因为a 1＝1＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a n ≥1＋2＋…＋n.则S n ≥h(1)＋h(2)＋…＋h(n)，故原不等式成立． 64.[2011·哈尔滨期末] 奇函数f(x)在(0，＋∞)上的解析式是f(x)＝x(1－x)，则在(－∞，0)上f(x)的函数解析式是( ) A ．f(x)＝－x(1－x) B ．f(x)＝x(1＋x) C ．f(x)＝－x(1＋x) D ．f(x)＝x(x －1)65.[2011·盐城模拟] 若函数f(x)＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞) B.30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D. 30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭66.[2011·青岛期末] 在计算机的算法语言中有一种函数[x]叫做取整函数(也称高斯函数)，表示不超过x 的最大整数，例如[2]＝2，[3.3]＝3，[－2.4]＝－3，设函数f(x)＝2x 1＋2x －12，则函数y ＝[f(x)]＋[f(－x)]的值域为__________．67.[2011·浙江五校联考] 已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x －2)<f(2)的x 的取值范围是( ) A. (－∞，0) B. (0，2) C. (0,22) D. (2，＋∞)68.[2011·贵州四校一联] 给出以下四个命题：①若函数f(x)＝x 3＋ax 2＋2的图象关于点(1,0)对称，则a 的值为－3；②若f(x ＋2)＋1＝0，则函数y ＝f(x)是以4为周期的周期函数；③在数列{a n }中，a 1＝1，S n 是其前n 项和，且满足S n ＋1＝12S n ＋2，则数列{a n }是等比数列； ④函数y ＝3x ＋3－x (x ＜0)的最小值为2.则正确命题的序号是 ________.69.[2011·上海八校联考] 设a ，b ，k 是实数， 二次函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 满足： f(k －1)与f(k)异号， f(k ＋1)与f(k)异号．在以下关于f(x)的零点的命题中， 真命题是( )A ．该二次函数的零点都小于kB ．该二次函数的零点都大于kC ．该二次函数的两个零点之差一定大于2D ．该二次函数的零点均在区间(k －1，k ＋1)内70.[2011·浙江六校联考] 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1的导函数为f′(x)，f′(0)＞0，f(x)与x 轴恰有一个交点，则的最小值为 ( )A. 2B.32C. 3D.5271.[2011·南充高中月考] 化简：22－4log 23＋4＋log 213，得( ) A ．2 B ．2－2log 23 C ．－2 D ．2log 23－272.[2011·烟台一调] 函数y＝ln(1－x)的图象大致为()73.[2011·淮南一模] 已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(1所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是()图274.[2011·巢湖统考] 若函数f(x)＝x32f(1)＝－2 f(1.5)＝0．625 f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260 f(1.4375)＝0．162 f(1.40625)＝－0.054那么方程x3＋x275.[2011·滨州模拟] 鲁能泰山足球俱乐部为救助失学儿童准备在山东省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张．设x是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入为函数y＝lg2x，则这三种门票的张数分别为________________万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大．76.[2011·湖北重点中学二联] 已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)B ．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)C ．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2)D ．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)77.[2011·三明三校联考] 已知α、β是三次函数f(x)＝13x 3＋12ax 2＋2bx 的两个极值点，且α∈(0,1)，β∈(1,2)，则b －2a －1的取值范围是( )A.1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.11,24⎛⎫-⎪⎝⎭ D.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭78.[2011·上海联考]1⎰4－x 2dx ＝________.。

第1讲导数的概念及运算一、填空题1．设y＝x2e x，则y′＝________.解析y′＝2x e x＋x2e x＝(2x＋x2)e x.答案(2x＋x2)e x2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)＝________.解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1 x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.答案－13．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是________．解析y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x －y＋1＝0.答案2x－y＋1＝04．(2017·苏州调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为________．解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1x，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝1x0，切线方程为y－ln x0＝1x0(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为1 e.答案1 e5．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.解析因为y′＝2ax－1x，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝1 2.答案1 26．(2017·南师附中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.解析由图形可知：f(3)＝1，f′(3)＝－13，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0. 答案07．(2017·苏北四市模拟)设曲线y＝1＋cos xsin x在点⎝⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝________.解析∵y′＝－1－cos xsin2x，∴由条件知1a＝－1，∴a＝－1.答案－18．(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．解析由y＝x＋ln x，得y′＝1＋1x，得曲线在点(1，1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.又该切线与y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y，得ax2＋ax＋2＝0，∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.答案8二、解答题9．已知点M是曲线y＝13x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1， 所以切线方程为3x ＋3y －11＝0.(2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 10．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.11．(2016·山东卷改编)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数：①y ＝sin x ；②y ＝ln x ；③y ＝e x ；④y ＝x 3.其中具有T 性质的是________(填序号)．解析 若y ＝f (x )的图象上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于①：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k∈Z)时，结论成立；对于②：y′＝1x，若有1x1·1x2＝－1，即x1x2＝－1，∵x1＞0，x2>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；对于③：y′＝e x，若有e x1·e x2＝－1，即e x1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，x2；对于④：y′＝3x2，若有3x21·3x22＝－1，即9x21x22＝－1，显然不存在这样的x1，x2.答案①12．(2017·合肥模拟改编)点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．解析点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小，直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x2－ln x，得y′＝2x－1x＝1，解得x＝1或x＝－12(舍去)，故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y＝x－2的距离等于2，∴点P到直线y＝x－2的最小距离为 2.答案 213．若函数f(x)＝12x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析∵f(x)＝12x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋1x(x>0)．∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，即x＋1x－a＝0有解，∴a＝x＋1x≥2(当且仅当x＝1时取等号)．答案[2，＋∞)14．已知函数f(x)＝x－2x，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解根据题意有f′(x)＝1＋2x2，g′(x)＝－ax.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)．所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.。

第1节导数的概念及运算考试要求 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).2.函数y＝f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos__x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln__a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0).1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （x ）′＝－f ′（x ）[f （x ）]2(f (x )≠0).3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0).( )(4)曲线y ＝f (x )在某点处的切线与曲线y ＝f (x )过某点的切线意义是相同的.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)f ′(x 0)表示y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，(2)错. (3)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(3)错.(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.2.某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h (t )＝10－4.9t 2＋8t (距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为( ) A.9.1米/秒 B.6.75米/秒 C.3.1米/秒D.2.75米/秒答案 C解析 h ′(t )＝－9.8t ＋8， ∴h ′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.3.(2022·银川质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≤0，－x 2＋ax ，x >0为奇函数，则曲线f (x )在x ＝2处的切线斜率等于( ) A.6 B.－2C.－6D.－8答案 B解析 f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x ). 取x >0，得x 2－2x ＝－(－x 2＋ax )，则a ＝2. 当x >0时，f ′(x )＝－2x ＋2.∴f ′(2)＝－2.4.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝e x x ＋a .若f ′(1)＝e4，则a ＝________.答案 1 解析 由f ′(x )＝e x （x ＋a ）－e x（x ＋a ）2，可得f ′(1)＝e a （1＋a ）2＝e 4，即a （1＋a ）2＝14，解得a ＝1.5.(2021·全国甲卷)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________.答案 5x －y ＋2＝0解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －1x ＋2′＝（2x －1）′（x ＋2）－（2x －1）（x ＋2）′（x ＋2）2＝5（x ＋2）2， 所以k ＝y ′|x ＝－1＝5（－1＋2）2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.6.(易错题)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.答案 － 2解析 由f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2·cos π2－sin π2，解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2.考点一 导数的运算1.下列求导运算不正确的是( ) A.(sin a )′＝cos a (a 为常数)B.(sin 2x )′＝2cos 2xC.(x )′＝12xD.(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x 答案 A解析 ∵a 为常数，∴sin a 为常数，∴(sin a )′＝0，故A 错误.由导数公式及运算法则知B 、C 、D 正确.2.若f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2，则f ′(x )＝________.答案 1－1x －2x 2＋2x 3解析 由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2.∴f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3.3.设f ′(x )是函数f (x )＝cos xe x ＋x 的导函数，则f ′(0)的值为________. 答案 0 解析 因为f (x )＝cos xe x＋x ， 所以f ′(x )＝（cos x ）′e x －（e x ）′cos x （e x ）2＋1＝－sin x －cos xe x ＋1， 所以f ′(0)＝－1e 0＋1＝0.4.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f (1)＝________. 答案 －234解析 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x .令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，则f ′(2)＝－94. ∴f (1)＝1＋3×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＋0＝－234.感悟提升 1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. 考点二 导数的几何意义 角度1 求切线的方程例1 (1)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为________.答案 (1)3x －y ＝0 (2)x －y －1＝0 解析 (1)y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为3x －y ＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0). 又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x . ∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 角度2 求曲线的切点坐标例2 (2022·皖豫名校联考)若曲线y ＝e x ＋2x 在其上一点(x 0，y 0)处的切线的斜率为4，则x 0＝( ) A.2 B.ln 4 C.ln 2D.－ln 2答案 C解析 ∵y ′＝e x ＋2，∴e x 0＋2＝4，∴e x 0＝2，x 0＝ln 2. 角度3 导数与函数图象问题例3 已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.答案 0解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13. ∵g (x )＝xf (x )， ∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题意可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.感悟提升 1.求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P 处的导数不存在，则切线垂直于x 轴，切线方程为x ＝x 0.2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.训练1 (1)(2022·沈阳模拟)曲线f (x )＝2e x sin x 在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A.y ＝0 B.y ＝2x C.y ＝xD.y ＝－2x(2)(2021·长沙检测)如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋3是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线，令h(x)＝f（x）x，h′(x)是h(x)的导函数，则h′(1)的值是()A.2B.1C.－1D.－3答案(1)B(2)D解析(1)∵f(x)＝2e x sin x，∴f(0)＝0，f′(x)＝2e x(sin x＋cos x)，∴f′(0)＝2，∴所求切线方程为y＝2x.(2)由图象知，直线l经过点(1，2).则k＋3＝2，k＝－1，从而f′(1)＝－1，且f(1)＝2，由h(x)＝f（x）x，得h′(x)＝xf′（x）－f（x）x2，所以h′(1)＝f′(1)－f(1)＝－1－2＝－3.考点三导数几何意义的应用例4 (1)已知曲线f(x)＝x ln x在点(e，f(e))处的切线与曲线y＝x2＋a相切，则实数a 的值为________.(2)(2022·河南名校联考)若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________.答案(1)1－e(2)[2，＋∞)解析(1)因为f′(x)＝ln x＋1，所以曲线f(x)＝x ln x在x＝e处的切线斜率为k＝2，又f(e)＝e，则曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝2x －e. 由于切线与曲线y ＝x 2＋a 相切，故可联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋a ，y ＝2x －e ，得x 2－2x ＋a ＋e ＝0，所以由Δ＝4－4(a ＋e)＝0，解得a ＝1－e. (2)∵直线2x －y ＝0的斜率为k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －2，x >0. 又4x ＋1x ≥24x ·1x ＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”.∴a ≥4－2＝2.∴a 的取值范围是[2，＋∞).感悟提升 1.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上.2.利用导数的几何意义求参数范围时，注意化归与转化思想的应用.训练2 (1)(2021·洛阳检测)函数f (x )＝ln x －ax 在x ＝2处的切线与直线ax －y －1＝0平行，则实数a ＝( ) A.－1 B.14 C.12D.1(2)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b ＝________. 答案 (1)B (2)1解析 (1)∵f (x )＝ln x －ax ，∴f ′(x )＝1x －a .又曲线y ＝f (x )在x ＝2处切线的斜率k ＝f ′(2)， 因此12－a ＝a ，∴a ＝14.(2)y ＝x 3＋ax ＋b 的导数为y ′＝3x 2＋a ， 可得在点(1，1)处切线的斜率为k ＝3＋a ，又k ＋1＝3，1＋a ＋b ＝3，解得k ＝2，a ＝－1，b ＝3，即有2a ＋b ＝－2＋3＝1.公切线问题求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，其中直线与抛物线相切可用判别式法. 一、共切点的公切线问题例1 设点P 为函数f (x )＝12x 2＋2ax 与g (x )＝3a 2ln x ＋2b (a >0)的图象的公共点，以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，则实数b 的最大值为( ) A.23e 34 B.32e 34 C.43e 23D.34e 23答案 D解析 设P (x 0，y 0)，由于P 为公共点， 则12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋2b .又点P 处的切线相同，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)， 即x 0＋2a ＝3a 2x 0，即(x 0＋3a )(x 0－a )＝0.又a >0，x 0>0，则x 0＝a ，于是2b ＝52a 2－3a 2ln a .设h (x )＝52x 2－3x 2ln x ，x >0， 则h ′(x )＝2x (1－3ln x ).可知：当x ∈(0，e 13)时，h (x )单调递增；当x ∈(e 13，＋∞)时，h (x )单调递减. 故h (x )max ＝h (e 13)＝32e 23， 于是b 的最大值为34e 23，选D. 二、切点不同的公切线问题例2 曲线y ＝－1x (x <0)与曲线y ＝ln x 的公切线的条数为________. 答案 1解析 设(x 1，y 1)是公切线和曲线y ＝－1x 的切点， 则切线斜率k 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′|x ＝x 1＝1x 21，切线方程为y ＋1x 1＝1x 21(x －x 1)，整理得y ＝1x 21·x －2x 1.设(x 2，y 2)是公切线和曲线y ＝ln x 的切点， 则切线斜率k 2＝(ln x )′|x ＝x 2＝1x 2，切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，整理得y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1.令1x 21＝1x 2，－2x 1＝ln x 2－1，消去x 2得－2x 1＝ln x 21－1.设t ＝－x 1>0，即2ln t －2t －1＝0，只需探究此方程解的个数.易知函数f (x )＝2ln x －2x －1在(0，＋∞)上单调递增，f (1)＝－3<0，f (e)＝1－2e >0，于是f (x )＝0有唯一解，于是两曲线的公切线的条数为1.1.函数f (x )＝x 2＋ln x ＋sin x ＋1的导函数f ′(x )＝( ) A.2x ＋1x ＋cos x ＋1 B.2x －1x ＋cos x C.2x ＋1x －cos xD.2x ＋1x ＋cos x答案 D解析 由f (x )＝x 2＋ln x ＋sin x ＋1得f ′(x )＝2x ＋1x ＋cos x . 2.曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( )A.2B.－2C.12D.－12答案 D解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2（x －1）2，故曲线在点(3，2)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－12. 3.(2021·安徽皖江名校联考)已知f (x )＝x 3＋2xf ′(0)，则f ′(1)＝( ) A.2 B.3C.4D.5答案 B解析 f ′(x )＝3x 2＋2f ′(0)， ∴f ′(0)＝2f ′(0)，解得f ′(0)＝0， ∴f ′(x )＝3x 2，∴f ′(1)＝3.4.(2022·豫北十校联考)已知f (x )＝x 2，则过点P (－1，0)，曲线y ＝f (x )的切线方程为( ) A.y ＝0 B.4x ＋y ＋4＝0 C.4x －y ＋4＝0 D.y ＝0或4x ＋y ＋4＝0 答案 D解析 易知点P (－1，0)不在f (x )＝x 2上，设切点坐标为(x 0，x 20)，由f (x )＝x 2可得f ′(x )＝2x ，∴切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝2x 0. ∵切线过点P (－1，0)，∴k ＝x 20x 0＋1＝2x 0，解得x 0＝0或x 0＝－2，∴k ＝0或－4，故所求切线方程为y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.5.(2022·昆明诊断)若直线y ＝ax 与曲线y ＝ln x －1相切，则a ＝( ) A.e B.1C.1eD.1e 2答案 D解析 由y ＝ln x －1，得y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0－1)，则⎩⎨⎧ax 0＝ln x 0－1，a ＝1x 0，解得a ＝1e 2. 6.已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设f （4）－f （2）4－2＝a ，则下列不等式正确的是( )A.a <f ′(2)<f ′(4)B.f ′(2)<a <f ′(4)C.f ′(4)<f ′(2)<aD.f ′(2)<f ′(4)<a 答案 B解析 由函数f (x )的图象可知，在[0，＋∞)上，函数值的增长越来越快，故该函数图象在[0，＋∞)上的切线斜率也越来越大. 因为f （4）－f （2）4－2＝a ，所以f ′(2)<a <f ′(4).7.函数f (x )＝(2x －1)e x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为________. 答案 π4解析 由f (x )＝(2x －1)e x ， 得f ′(x )＝(2x ＋1)e x ，∴f ′(0)＝1，则切线的斜率k ＝1， 又切线倾斜角θ∈[0，π)， 因此切线的倾斜角θ＝π4.8.已知曲线f (x )＝13x 3－x 2－ax ＋1存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－4，＋∞) 解析 f ′(x )＝x 2－2x －a ，依题意知x 2－2x －a ＝3有两个实数解， 即a ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4有两个实数解， ∴y ＝a 与y ＝(x －1)2－4的图象有两个交点， ∴a >－4.9.(2021·济南检测)曲线y ＝f (x )在点P (－1，f (－1))处的切线l 如图所示，则f ′(－1)＋f (－1)＝________.答案－2解析∵直线l过点(－2，0)和(0，－2)，∴直线l的斜率f′(－1)＝0＋2－2－0＝－1，直线l的方程为y＝－x－2.则f(－1)＝1－2＝－1.故f′(－1)＋f(－1)＝－1－1＝－2.10.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程.解(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2，所以曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y －4＝0.(2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，因为f′(x0)＝3x20－8x0＋5，所以切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，所以x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)·(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，所以经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.11.已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.解(1)根据题意，得f′(x)＝3x2＋1.所以曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率k＝f′(2)＝13，所以所求的切线方程为13x－y－32＝0.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，所以直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.又直线l过点(0，0)，则(3x20＋1)(0－x0)＋x30＋x0－16＝0，整理得x30＝－8，解得x0＝－2，所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l的斜率k′＝13，所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).12.若函数f(x)＝a ln x(a∈R)与函数g(x)＝x在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为()A.4B.12 C.e2 D.e答案 C解析由已知得f′(x)＝ax，g′(x)＝12x，设切点横坐标为t，∴⎩⎨⎧a ln t＝t，at＝12t，解得t＝e2，a＝e2.13.曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是________. 答案 2解析设曲线在点P(x0，y0)(x0>0)处的切线与直线x－y－2＝0平行，则y′|x＝x0＝⎝⎛⎭⎪⎫2x－1x| x＝x0＝2x0－1x0＝1.∴x0＝1，y0＝1，则P(1，1)，则曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离d＝|1－1－2|12＋（－1）2＝ 2.14.(2021·宜昌质检)已知函数f(x)＝1x＋1＋x＋a－1的图象是以点(－1，－1)为对称中心的中心对称图形，g(x)＝e x＋ax2＋bx，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线互相垂直，求a＋b的值.解由y＝x＋1x的图象关于点(0，0)对称，且y＝f(x)的图象可由y＝x＋1x的图象平移得到，且函数f(x)＝1x＋1＋x＋a－1＝1x＋1＋(x＋1)＋a－2的图象是以点(－1，－1)为对称中心的中心对称图形，得a－2＝－1，即a＝1，所以f(x)＝1x＋1＋x.对f(x)求导，得f′(x)＝1－1（x＋1）2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k1＝f′(1)＝1－14＝3 4.对g(x)求导，得g′(x)＝e x＋2x＋b，则曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线斜率k2＝g′(0)＝b＋1.由两曲线的切线互相垂直，得(b＋1)×34＝－1，即b＝－73，所以a＋b＝1－73＝－43.。

第二篇函数、导数及其应用第1讲函数的概念及其表示基础巩固题组（建议用时:40分钟）一、选择题1．下列各组函数表示相同函数的是（)．A．f（x)＝错误!，g(x)＝（错误!)2B．f（x)＝1，g（x）＝x2C．f(x)＝错误!g（t)＝｜t|D．f(x)＝x＋1，g（x)＝错误!解析A选项中的两个函数的定义域分别是R和［0，＋∞)，不相同;B选项中的两个函数的对应法则不一致；D选项中的两个函数的定义域分别是R和｛x|x≠1｝,不相同,尽管它们的对应法则一致，但也不是相同函数；C选项中的两个函数的定义域都是R,对应法则都是g(x)＝｜x｜，尽管表示自变量的字母不同，但它们依然是相同函数．答案C2．(2013·临沂一模）函数f(x）＝ln错误!＋x错误!的定义域为（)．A．(0，＋∞)B．（1,＋∞)C．（0,1) D．(0，1）∪(1，＋∞）解析要使函数有意义，则有错误!即错误!解得x＞1。

答案B3．（2013·昆明调研)设M＝｛x｜－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2｝，函数f(x）的定义域为M,值域为N,则f（x)的图象可以是（）．解析A项定义域为［－2，0],D项值域不是[0，2］，C项对定义域中除2以外的任一x都有两个y与之对应,都不符合条件，故选B.答案B4．(2013·江西师大附中模拟）已知函数f(x)＝错误!若f(1）＝f(－1)，则实数a的值等于（)．A．1 B．2C．3 D．4解析由f(1）＝f(－1)，得a＝1－（－1）＝2.答案B5．（2014·保定模拟）设函数f(x）＝2x＋3,g(x＋2)＝f(x),则g（x)的表达式是 ( ）．A．2x＋1 B．2x－1C．2x－3 D．2x＋7解析∵g（x＋2）＝f（x）＝2x＋3＝2(x＋2）－1,∴g（x)＝2x－1.答案B二、填空题6．（2014·杭州质检)函数f(x）＝ln错误!的定义域是________．解析由题意知x－2x＋1＞0，即(x－2）（x＋1)＞0,解得x＞2或x＜－1。

导数的概念及运算[必备知识]考点1 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 1．定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δ x →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δ x →0 ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δ x →0ΔyΔx ＝lim Δ x →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 2．几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 考点2 基本初等函数的导数公式若y ＝f (x )，y ＝g (x )的导数存在，则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 考点4 复合函数的导数设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′＝f ′(u )，则复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数y ′x ＝f ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [必会结论]1．f ′(x 0)与x 0的值有关，不同的x 0，其导数值一般也不同． 2．f ′(x 0)不一定为0，但[f (x 0)]′一定为0.3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 一、疑难辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 2．曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) 3．与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )4．对于函数f (x )＝－x 2＋3x ，由于f (1)＝2，所以f ′(1)＝2′＝0.( )5．物体的运动方程是s ＝－4t 2＋16t ，则该物体在t ＝0时刻的瞬时速度是0.( ) 6．若f (x )＝f ′(a )x 2＋ln x (a ＞0)，则f ′(x )＝2xf ′(a )＋1x .( )答案 1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.× 6.√ 二、例题练习1．已知函数()y f x =，那么下列说法错误的是( ) A.()()00y f x x f x +∆=∆-叫做函数值的增量 B.()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆叫做函数在0x 到0x x +∆之间的平均变化率 C.()f x 在0x 处的导数记为y ' D.()f x 在0x 处的导数记为()0f x '【答案】C【解析】由导数的定义可知C 错误．故选C.2. 已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________.【答案】 －12【解析】 Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 3.设函数()f x 在1x =处可导，则()()11lim 2x f x f x∆→+∆--∆等于（）A ．()1f 'B ．()112f '- C ．()21f '-D ．()1f '- 【答案】B【解析】函数()f x 在1x =处()()()0111limx f x f f x ∆→+∆-'=∆()()0112lim 2x f x f x∆→+∆-=--∆，所以()()()0111lim122x f x f f x ∆→+∆-'=--∆．4．若函数()y f x =在区间(),a b 内可导，且()0,x a b ∈，若0()f x '=4，则()()0002limh f x f x h h→--的值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．12 【答案】C【解析】由函数()y f x =在某一点处的导数的定义可知()()()()()000000022lim2lim 282h h f x f x h f x f x h f x h h→→----'===5.若()()0003lim1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '=__________．【答案】13【解析】由于()()()()()000000033lim 3lim 313x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆，所以()013f x '=． 6．[课本改编]曲线y ＝x 2在(1,1)处的切线方程是( ) A ．2x ＋y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x ＋y ＋1＝0 D ．2x －y －1＝0答案 D 解析 ∵y ′＝2x ，∴k ＝y ′| x ＝1＝2；故所求切线方程为：y －1＝2(x －1)即2x －y－1＝0，故选D.7．函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 由条件知f ′(5)＝－1，又在点P 处切线方程为y －f (5)＝－(x －5)，∴y ＝－x ＋5＋f (5)，即y ＝－x ＋8，∴5＋f (5)＝8，∴f (5)＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝2. 8．函数y ＝x ·e x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．y ＝2e x B ．y ＝x －1＋eC ．y ＝－2e x ＋3eD ．y ＝2e x －e答案 D解析 函数y ＝x ·e x 的导函数是f ′(x )＝e x ＋x e x ，在点(1，e)处，把x ＝1代入f ′(x )＝e x ＋x e x ，得k ＝f ′(1)＝2e ，点斜式得y －e ＝2e(x －1)，整理得y ＝2e x －e.9．已知函数2()cos 3g x x x =+，则2()πg'=_______________．【答案】13． 【解析】因为2()sin 1g x x '=-+，所以2()πg'=2π21sin 113233-+=-=．故填13．10=')1(f _______________．【答案】e【解析】0x =得(0)1f =，∴(1)e f '=．11．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln xf f x x ='+，则(1)f '= A ．e - B ．1- C ．1D ．e【答案】B 【解析】∵函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln (0)f x x xf x ='+>，1x =代入()f x '可得(1)2(1)1f f '='+，解得(1)1f '=-．故选B ．12．若2()24ln f x x x x =--，则()0f x '>的解集为_______________． 【答案】(2,)+∞【解析】由()224ln f x x x x =--，得()()4220f x x x x'=-->，则由不等式()42200x x x-->>，得()2200x x x -->>，从而可解得2x >．故()0f x '>的解集为(2,)+∞．13.求下列函数的导数：(1)y ＝e x sin x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝x －sin x 2cos x2；(3)＝xx ln ；[解] (1)y ′＝(e x )′sin x ＋e x (sin x )′＝e x sin x ＋e x cos x . (2)因为y ＝x 3＋1x 2＋1，所以y ′＝3x 2－2x 3.(3)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝1－12cos x .14．[2015·天津高考]已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________．答案 3解析 因为f (x )＝ax ln x ，所以f ′(x )＝a ln x ＋ax ·1x ＝a (ln x ＋1)．由f ′(1)＝3得a (ln1＋1)＝3，所以a ＝3.15．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，0)【解析】曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解．又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x＝0有正实数解．∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0.16．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( ) A ．26 B ．29 C ．212 D ．215 【答案】C【解析】因为f ′(x )＝x ′·[]x －a 1x －a 2…x －a 8＋[]x －a 1x －a 2…x －a 8′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋ []x －a 1x －a 2…x －a 8′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.17．[2016·襄阳调研]曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°答案 B 解析 由y ′＝3x 2－2得y ′| x ＝1＝1，即曲线在点(1,3)处的切线斜率为1，所以切线的倾斜角为45°，故选B.18．[2016·大同质检]一点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π2B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D.⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 B 解析 ∵y ′＝3x 2－1，∴tan α＝3x 2－1≥－1，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 19．[2016·深圳中学实战考试]函数y ＝x 33－x 2＋1(0<x <2)的图象上任意点处切线的倾斜角记为α，则α的最小值是( ) A.π4B.π6C.5π6D.3π4答案 D 解析 由于y ′＝x 2－2x ，当0<x <2时，－1≤y ′<0，据导数的几何意义得－1≤tan α<0，当tan α＝－1时，α取得最小值，即αmin ＝3π4. 20．[2016·山西师大附中质检]已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)根据已知得点P (2,4)是切点且y ′＝x 2，所以在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′| x ＝2＝4.所以曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′| x ＝x 0＝x 20.所以切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2,4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.21．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上的任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. 备用：1.函数f (x )＝ln x －2xx 的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝0答案 C解析 f ′(x )＝1－ln xx 2，则f ′(1)＝1，故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.2.[2014·江西高考]若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 答案 (e ，e)解析 令f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1，设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e ，此时y 0＝x 0ln x 0＝eln e ＝e ，∴点P 的坐标为(e ，e)．[2014·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________． 答案 －3解析 由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)，得4a ＋b2＝－5.①又y ′＝2ax －b x 2，所以当x ＝2时，4a －b 4＝－72，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.3. [2016·沈阳模拟]若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是( ) A ．1 B.164C ．1或164D ．1或－164[正解] 易知点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上， (1)当O (0,0)是切点时，同上面解法．(2)当O (0,0)不是切点时，设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2.①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②由①，②联立，得x 0＝32(x 0＝0舍)，所以k ＝－14，∴所求切线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0.依题意，Δ＝116－4a ＝0，∴a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.[答案] C[2016·沈阳模拟]若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7答案 A解析 ∵y ＝x 3，∴y ′＝3x 2.设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为：y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，得a ＝－1. 综上，a ＝－1或a ＝－2564.故选A.。