2015年第56届IMO试题

九年级 第1页 九年级 第2页2015年世界少年奥林匹克数学竞赛九年级海选赛试题含答案绝密★启用前世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛试题（2015年10月）选手须知：1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。

2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。

3、比赛时不能使用计算工具。

4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。

九年级试题（Ａ卷）（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、填空题。

（每题5分，共计50分）1、两块三角形面板如图放置，等腰直角三角形板ABC 的斜边BC 与∠F=30°的直角三角板DEF 的直角边EF 重合，则∠a 的度数为 。

2、若a 、b 都为实数，且b = 20131-a + 2014a -1+ 2015 则a b= 。

3.设x 1，x 2是方程x 2 - x -2013 = 0 的两实数根，则x 13+2014x 22-2013= 。

4、已知三个实数x ，y ，z 中，x 与y 的平均数是127，y 与z 的和的31是78，x 与z 的和的41是52，则这三个数x ，y ，z 的平均数是 。

5、如图，矩形ABCD 中，已知AB=5，AD=12，P 是AD 上的动点，PE ⊥AC 与E ，PF ⊥BD 与F ，则PE+PF= 。

6、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB = Rt, CA ⊥x 轴，垂足为点A ，点B 在反比例函数y 1=x4(x>0)的图像上，反比例 函数y 2=x2(x>0)的图像经过点C ，交AB 于点D ，则点D 的坐标 。

7、若有理数x ，y ，z 满足2121=-+-+z y x （x+y+z ）则(x-zy)2= 。

8、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副"弦图"，后人称其为"赵爽弦图"如图，也是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH,正方形MNKT 的面积，分别为S 1,S 2,S 3,若S 1+S 2+S 3 = 10 ,则S 2的值是 。

由于 GLN GEC DFG ，故
XGF GNC GLN KFD DFG XFG
因此 XF XG ，又因为 OF OG ，
所以 A, X , O 都在 GF 的中垂线上。
（此题全场平均 4.794 分，满分 351/577 人，中国队此题满分）
上
因此 3 2 4 5 是 2 的幂，因此只能有 4 ，所以 c 7 ， b 5 ，检验可知满足要求。 综上所述， ( a , b, c ) (2, 2, 2), (2, 2, 3), (2, 6,11), (3, 5, 7) 以及它们的轮换是全部解。
（此题全场平均 1.359 分，满分 31 人，中国队此题 7、7、7、7、6、2 分）
2


则 , 1 ，a 2 c 2 2 2 1 是 2 的幂，只能有 2 所以 b a 2 ， c 3 ，检验可知是一个解。
2
2 1 1 ，因此 1 ， 1 ，
则 c a, c( a 1) 是 2 的幂， 因此 c, a 1 都是 2 的幂， 令 c 2 , a 1 2 ， ②若 b c ，
（此题全场平均 0.653 分，30 人此题满分，中国队此题 7、1、1、1、1、1 分）
上
善
若
水
蕴
秀
斋
4、 O 是 ABC 的外接圆 c1 的圆心，以 A 为圆心的圆 c2 与线段 BC 交于 D , E ，其中 D 在
B, E 之间。 c1 , c2 交于 F , G ，使得 A, F , B, C , G 是 c1 上顺时针排列。 BDF 的外接圆 c3 与 AB 交于 K B ，CEG 的外接圆 c3 与 AC 交于 L C ，FK , GJ 交于 X ， 求证：A, X , O

2015年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共8小题，没小题8分，满分64分。

1.设a 、b 为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则)2(f 的值为2.若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 3.已知复数数列{}n z 满足),2,1(i 1,111⋅⋅⋅=++==+n n z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则2015z 的值为4.在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ,边DC 上（包含D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q =，则向量与向量的数量积⋅的最小值为 5.在正方体中随机取3条棱，他们两两异面的概率为6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+=y x y x y x K 所对应的平面区域的面积为7.设w 是正实数，若存在)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+wb wa ，则w 的取值范围是8.对四位数)9,,0,91(≤≤≤≤d c b a abcd ，若d c c b b a ><>,,，则称abcd 为P 类数；若d c c b b a <><,,则称abcd 为Q 类数.用)(),(Q N P N 分别表示P 类数和Q 类数的个数，则)()(Q N P N -的值为二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9.（本小题满分16分）若实数c b a ,,满足cbacba424,242=+=+，求c 的最小值。

10.（本小题满分20分）设4321,,,a a a a 是4个有理数，使得{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=≤<≤3,1,81,23,2,2441j i aa ji求4321a a a a +++的值。

2015年第56届国际奥林匹克数学竞赛（2015年7月10-11日，泰国清迈）试题选讲【分析】AO是O的弦FG的中垂线，要证明X在AO上，只要证明XF XG∠=∠。

=或者XFG XGF（下面只是证明本题最关键的步骤，略去了大量的文字阐述和引用的常用中间结论，这在正式竞赛中是不允许的。

所以，同学们如果要自己动手做一做、练一练，一定要把过程写详细、写清楚!) Array【证一】∵AFX AFK FKB FAB FDB FCB DFC∠=∠=∠-∠=∠-∠=∠，AGX AGL CLG CAG CEG CBG EBG∠=∠=∠-∠=∠-∠=∠，∴F N M G，，，四点共圆，可得NFM NGM DFC EGB∠=∠⇒∠=∠，∴AFX AGX∠=∠。

而AF AG AFG AGF∠=∠。

，，则XFG XGF=∠=∠这样，A X，两点都在弦FG的中垂线上。

而弦FG的中垂线必过圆心O，可知A X O，，三点共线。

【证二】【另证F N M G，，，四点共圆】=∠。

FMG【本题剖析，及拓展】如图，可以证明以下诸多结论：（1）JHF KIG ∆∆——JHF JBF ABF KIG KCG ACG JHF KIG F G A AF AG A F B C G O ∠=∠=∠⎧⎪∠=∠=∠⎪⇒∠=∠⎨=⎪⎪⎩，在上，，，，，在上； AFX AFJ FJB FAB FDB FCB DFC LFM AFX AFJ FJB FAB FDB FGB FGE FGB BGE LGM AFX AFJ FHB FGB HBG AGX AGK GKC GAC GIC GFC FCI AGX AGK GKC GAC GEC GBC EGB LGM AGX AGK ∠=∠=∠-∠=∠-∠=∠=∠∠=∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠=∠∠=∠=∠-∠=∠∠=∠=∠-∠=∠-∠=∠∠=∠=∠-∠=∠-∠=∠=∠∠=∠=∠或或或或AFX AGX GKC GAC GEC GFC GFD GFC DFC LFM⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒∠=∠⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪-∠=∠-∠⎪=∠-∠=∠=∠⎪⎩；而AF AG AFG AGF =⇒∠=∠，可知JFH KGI ∠=∠，FJH GKI ∠=∠。

2015年世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）海选赛五年级试题A卷世界少年奥林匹克数学竞赛(中国区)海选赛五年级试题A卷下载∕∕∕∕绝密★启用前9、一个数减去16加上24，再除以7得36，这个数是。

10、自1开始，每隔3个数一数，得到数列1，4，7，10，……问第100个数是。

世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛试题∕∕〇∕∕号∕∕证∕赛∕参〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕场∕〇赛∕∕∕∕∕∕线〇订〇装名姓〇封〇密∕∕∕∕∕∕〇∕∕校∕∕学∕∕∕〇∕市∕∕∕∕∕〇∕∕省∕∕∕∕（2015年10月）选手须知：1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。

题2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。

3、比赛时不能使用计算工具。

4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。

答五年级试题（Ａ卷）要（本试卷满分120分，考试时间90分钟）一、填空题。

（每题5分，共计50分）不1、一桶油连桶重120千克，用去一半后，连桶还重65千克。

这桶里原有油千克，空桶重千克。

内 4、今天是星期日，从今天算起，第60天是星期。

线5、有一根木料，要锯成4段，每锯开一处，需要4分钟。

全部锯完需要分钟。

6、如图长方形纸片,假如按图中所示剪成四块,这四块纸片可拼成一个正方形.那么所拼成的正方形封的边长是厘米.密7、苹果的个数是梨的3倍，如果每天吃2个苹果、1个梨，若干天后，苹果还剩7个，梨正好全部吃完。

原来有苹果个。

8、在一次登山活动中，小红上山每分钟行50米，然后按原路下山，每分钟行75米。

小红上山和下山平均每分钟行米。

五年级第1页二、计算题。

（每题6分，共计12分）11、 9999 999 99 9 812、（425×5776—425 4225×425）÷125÷8五年级第2页三、解答题。

（第13题6分，第14题8分，第15题10分，第16题10分，第17题12分，第18题12分，共计58分）13、哥哥和弟弟共有画片38张，弟弟给哥哥3张后还比哥哥多2张，弟弟原有多少张画片，哥哥原有多少张画片？14、两个数相除，商3余10，被除数、除数、商、余数的和是163，那么被除数是多少？除数是多少？15、小明家和小华家在一条直路上，两人从家中同时出发相向而行，在离小明家500米处第一次相遇。

C E
B
G
∴ GF 11， GE 10 ，∴ EF GE2 GF 2 221 .
4. 已知 O 为坐标原点，位于第一象限的点 A 在反比例函数 y 1 (x 0) 的图象上，位于第二象限的 x
点 B 在反比例函数 y 4 (x 0) 的图象上，且 OA OB ，则 tan ABO 的值为 x
5. 已知实数 x, y 满足关系式 xy x y 1，则 2 2 .
B. 6 4 2 .
C.1.
D. 6 4 2 .
【答】B.
设 x y t ， 则 由 题 设 条 件 可 知 xy x y 1 t 1 ， 所 以 x, y 是 关 于 m 的 一 元 二 次 方 程
则 5n2 3n 5 125m2 15m 5 120m2 15m 5(m2 1) .
∵ 5n2 3n 5 是 15 的倍数，∴ m2 1是 3 的倍数，∴ m 3k 1或 m 3k 2 ，其中 k 是非负整数.
∴ n 5(3k 1) 15k 5或 n 5(3k 2) 15k 10 ，其中 k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数 n 的和是（5＋20＋35＋50＋65＋80＋95）＋（10＋25＋40＋55＋70＋85）
A. 8. 【答】C.
B. 12.
C. 16.
D.24.
依题意，有 n m2 bm c (m 8)2 b(m 8) c ，于是可得 b 8 2m ．
∵抛物线 y x2 bx c 与 x 轴只有一个公共点，∴ b2 4c 0 ，∴ c 1 b2 (4 m)2 . 4
6. 设 n 是小于 100 的正整数且使 5n2 3n 5 是 15 的倍数，则符合条件的所有正整数 n 的和是（ ）
A.285. 【答】D.

2k 2 1 m2 ．②
由直线
AF1, l, BF1
的斜率
y1 , k, y2 x1 1 x2 1
依次成等差数列知，
y1 x1 1
y2 2k x2 1
，又
y1 kx1 m, y2 kx2 m ，所以 (kx1 m)(x2 1) (kx2 m)(x1 1) 2k(x1 1)(x2 1) ，化简并
棱两两异面的取法数为 4×2=8，故所求概率为 8 2 ． 220 55
2015A6、在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x, y) | ( x 3 y 6)( 3x y 6) 0 所对应的平
面区域（如图所示）的面积为
◆答案： 24 ★解析：设 K1 {(x, y) || x | | 3y | 6 0} ． 先考虑 K1 在第一象限中的部分，此时有 x 3y 6 ,故这些点
对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的区
域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 {(x, y) || 3x | | y | 6 0} ，则 K2 对应
的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知，K 所对应的平面区域是被 K1 、K2
1 sin
cos4

cos 2 sin 2 sin
sin 2

(1 sin )(1 cos2 )

2 sin
cos2

2．
2015A 3、已知复数数列 zn 满足 z1 1，zn1 zn 1 ni (n 1,2,) ，其中 i 为虚数单位，zn 表

AB AC ， EF BC ，则 C B ____________.
【答】 60 .
E
作 EM BC 于点 M ， FN BC 于点 N ， FP EM 于点 P .
∵ E 、 F 分别为△ ABD 、△ ACD 的外心，∴ M 、 N 分别为 BD 、CD 的中
点.又 EF BC ，∴ PF MN 1 BC 1 EF ，∴ PEF 30 .
6. 设 n 是小于 100 的正整数且使 5n2 3n 5 是 15 的倍数，则符合条件的所有正整数 n 的和是（ ）
A.285. 【答】D.
B.350.
C.540.
D.635.
∵ 5n2 3n 5 是 15 的倍数，∴ 5 | (5n2 3n 5) ，∴ 5 | 3n ，∴ 5 | n ，设 n 5m （ m 是正整数），
∴符合条件的所有正整数 n 的和是（2＋8＋14＋…＋86＋92＋98）＋（4＋10＋16＋…＋82＋88＋94）
＝1634. 二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1．题目和解答与（A）卷第 1 题相同. 2. 三边长均为整数且周长为 24 的三角形的个数为________. 【答】12.
C E
B
G
∴ GF 11， GE 10 ，∴ EF GE2 GF 2 221 .
4. 已知 O 为坐标原点，位于第一象限的点 A 在反比例函数 y 1 (x 0) 的图象上，位于第二象限的 x
点 B 在反比例函数 y 4 (x 0) 的图象上，且 OA OB ，则 tan ABO 的值为 x
同理可知： C 不小于 9, D 不小于 12, E 不小于 15, F 不小于 18.
因此，第三列所填 6 个数字之和 A ＋ B ＋ C ＋ D ＋ E + F 3 6 9 12 15 18 63.

由于 四边 形 Ｂ Ｇ Ｃ Ｈ、 四边 形 Ｃ Ｇ Ｊ Ｉ均为 圆
内接 四边形 ， 于是 ，
２ ０ １ ６年第 １ １ 期
１ ７
ｃ ｊ Ｉ＝ Ｃ Ｇ Ｈ＝ Ｃ Ｂ Ｈ＝ Ｈ Ａ
设 直线 Ａ Ｄ与 Ｃ Ｑ交于点 ， 则
Ｂ ＤＴ＝ Ｂ Ｑ Ｔ ．
设Ａ Ｃ与 Ｇ Ｈ交 于点 ， Ｄ 为直 线 Ａ Ｃ上 不同于 Ａ的点 ， 且满足 Ａ Ｈ＝ Ｈ Ｄ ．
６ ． 本届 Ｉ Ｍ０第 ３题． ７ ． 已知 四边形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ为 凸 四边形 ， Ｐ、 Ｑ、
１
明： Ｃ Ｑ＝Ｑ Ｐ ．
电Ｈ Ｇ ／ ｌ Ａ Ｂ． Ｂ Ｇｆ ｝ Ａ Ｈ
Ｂ Ｇ上 Ｂ Ｃ． Ｃ Ｈ上 Ｇ Ｈ
Ｂ、 Ｇ 、 Ｃ、 Ｈ 四点共 圆． 因为 为△ Ａ ＢＣ的垂 心 ， 所以，
由 Ａ Ｃ Ｔ＝ Ｐ ＢＴ ，
Ｃ ＝／ Ｔ ＢＣ＝ ＢＴ Ｐ．
由式① 、 ② 得
ＡＨ ＨＢ — ＰＢ — — Ｌ Ｂ ‘
—
则△ Ｔ Ｃ Ａ∽ △ Ｐ Ｂ Ｔ Ｔ Ｍ、 Ｐ Ｓ为对应 中线
一
一
于是 ， 以 为位似 旋转 中心 的位 似旋 转
变换 ｒ 将 Ａ变 为 Ｄ， 将 日变为 ， 将 过点 Ｃ的
１
Ｂ Ｃ的 中点分别为 Ｄ、 Ｆ 、 Ｇ ， 圆 厂过点 ｃ ， 且与
Ａ Ｂ切于点 Ｄ， 与线 段 Ａ Ｆ、 Ｂ Ｇ分别交 于点 、
， ． 点 与 日关 于点 Ｆ对 称 ， 点， 与， 关 于点
Ｇ对称 ， 直 线 ， 与 Ｃ Ｄ、 Ｆ Ｇ分别 交 于点 Ｑ、
，
直线 Ｃ Ｍ 与 圆 厂 的第 二 个 交 点 为 Ｐ 证
２ ． 本届 Ｉ ＭＯ第 ４题． ３ ． 已知 △ Ａ Ｂ Ｃ满 足 Ｃ＝９ ０ 。 ， 点 Ｃ在

2015 年全国高中数学联合竞赛参考答案及评分标准一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα．3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则=2015z ．答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，边DC 上（包含点D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q =，则PQ PA ⋅的最小值为 ． 答案34． 解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---,因此，22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥．当12t =时，min 3()4PA PQ ⋅=．5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ． 答案：255．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为8222055=．6．在平面直角坐标系xOy 中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 ． 答案：24．解：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤． 先考虑1K 在第一象限中的部分，此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD 及其内部．同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部．由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ．由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ． 答案：9513[,)[,)424w ∈+∞．解：2sin sin =+b a ωω知，1sin sin ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得 ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ① 当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式． 当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况：(i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解；(ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ;(iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ．综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,)[,)424w ∈+∞．8．对四位数abcd (9d ,0,91≤≤≤≤c b a ，)，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数；若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，用N(P)和N(Q)分别表示P 类数与Q 类数的个数，则N(P)-N(Q)的值为 ．答案：285．解：分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为0A ，个位数不等于零的尸类数全体记为1A ．对任一四位数1A abcd ∈，将其对应到四位数dcba ，注意到1,,≥><>d c c b b a ，故B dcba ∈．反之，每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd ．这建立了1A 与B 之间的一一对应，因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=．下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1，…，9，对其中每个b ，由9≤<a b 及9≤<c b 知，a 和c 分别有b -9种取法，从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑． 因此，()()285N P N Q -=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第一届（1959年）罗马尼亚 布拉索夫（Bra şov ，Romania ）1. 求证314421++n n 对每个自然数 n 都是最简分数。

（波兰）2. 设A x x x x =--+-+1212，试在以下3种情况下分别求出x 的实数解： a)2=A ；b)A =1；c)A =2。

（罗马尼亚）3. a 、b 、c 都是实数，已知关于 cos x 的二次方程0cos cos 2=++c x b x a试用 a,b,c 作出一个关于 cos 2x 的二次方程，使它的根与原来的方程一样。

当a =4,b =2,c =-1 时比较 cos x 和 cos 2x 的方程式。

（匈牙利）4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的c ，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

（匈牙利）5. 在线段AB 上任意选取一点M ，在AB 的同一侧分别以 AM 、MB 为底作正方形AMCD 、 MBEF ，这两个正方形的外接圆的圆心分别是 P 、Q ，设这两个外接圆又交于 M 、N 。

a) 求证：AF 、BC 相交于N 点；b) 求证：不论点M 如何选取，直线MN 都通过定点S ；c) 当M 在A 与B 之间变动时，求线段PQ 的中点的轨迹。

（罗马尼亚）6. 两个平面P 、Q 的公共边为 p ，A 为P 上给定一点，C 为Q 上给定一点，并且这两点都不在直线p 上。

试作一等腰梯形ABCD （AB 平行于CD ），使得它有一个内切圆，并且顶点B 、D 分别落在平面P 和Q 上。

（捷克斯洛伐克）第二届（1960年）罗马尼亚 锡纳亚（Sinaia ，Romania ）1. 找出所有具有下列性质的三位数N ：N 能被11整除且商等于N 的各位数字的平方和。

（保加利亚）2. 寻找使下式成立的实数x ：（匈牙利）()92211422+<+-x x x3. 直角三角形ABC 的斜边BC 的长为a ，将它分成n 等份（n 为奇数），令α为从A 点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A 到BC 边的高长为h ，求证：（罗马尼亚）()a n nh 14tan 2-=α 4. 已知从A 、B 两点引出的高线长h a 、hb 以及从 A 引出的中线长m a ，求作三角形ABC 。

B .1
C. 25
D. 5
二、判断题(共 5 题,每题 4 分,共 20 分)
下列题目中的说法有的正确,有的错误,请你为每道题目判断.
对的在括号里画√,错的在括号里画×.
1. 一杯糖水，糖 5 克，水 30 克，另一杯糖水，糖与糖水的比
是 1:6,那么，两杯糖水一样甜。
…………………………………………………(
1. 化简 2 : 3 结果是（
）.
34
A. 6:9
B.1:2
C.8:9
D.4:3
2. 以下说法中正确的一项是(
A.小数都可以化成分数 C.圆周率 π 等于 3.14
).
B. 分数都可以化成小数 D. 真分数之和还是真分数
3. 从 1 到 2015 这 2015 个自然数中,共有 1953 个数与四位数 8866 相 加 时 , 至 少 发 生 一 次 进 位 . .……………………………………………………( )
C. 11
D.
12
4. 229 的 十 进制 表 示 共有 9 位 数字 , 且 两两不 同 , 问: 数 字
(
)没有ห้องสมุดไป่ตู้现过.
A. 3
B.4
C. 5
D. 7
5. 在 100 张卡片上不重复地编写上 1~100 ,请问至少要随意
抽出(
)张卡片才能保证所抽出卡片上的数相乘后
之乘积可被 4 整除.
A. 52
12. 一项工程,甲、乙合作12 3 小时可以完成,若第1 小时甲做,第
5
2 小时乙做,这样交替轮流做,恰好整数小时做完;若第1 小 时乙做,第 2 小时甲做,这样交替轮流做,比上次轮流做要多 1 小时,那么这项工作由甲单独做,要用__________小时才

第一届（1959年）罗马尼亚 布拉索夫（Bra şov ，Romania ）1. 求证314421++n n 对每个自然数 n 都是最简分数。

（波兰）2. 设A x x x x =--+-+1212，试在以下3种情况下分别求出x 的实数解： a)2=A ；b)A =1；c)A =2。

（罗马尼亚）3. a 、b 、c 都是实数，已知关于 cos x 的二次方程0cos cos 2=++c x b x a试用 a,b,c 作出一个关于 cos 2x 的二次方程，使它的根与原来的方程一样。

当a =4,b =2,c =-1 时比较 cos x 和 cos 2x 的方程式。

（匈牙利）4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的c ，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

（匈牙利）5. 在线段AB 上任意选取一点M ，在AB 的同一侧分别以 AM 、MB 为底作正方形AMCD 、 MBEF ，这两个正方形的外接圆的圆心分别是 P 、Q ，设这两个外接圆又交于 M 、N 。

a) 求证：AF 、BC 相交于N 点；b) 求证：不论点M 如何选取，直线MN 都通过定点S ；c) 当M 在A 与B 之间变动时，求线段PQ 的中点的轨迹。

（罗马尼亚）6. 两个平面P 、Q 的公共边为 p ，A 为P 上给定一点，C 为Q 上给定一点，并且这两点都不在直线p 上。

试作一等腰梯形ABCD （AB 平行于CD ），使得它有一个内切圆，并且顶点B 、D 分别落在平面P 和Q 上。

（捷克斯洛伐克）第二届（1960年）罗马尼亚 锡纳亚（Sinaia ，Romania ）1. 找出所有具有下列性质的三位数N ：N 能被11整除且商等于N 的各位数字的平方和。

（保加利亚）2. 寻找使下式成立的实数x ：（匈牙利）()92211422+<+-x x x3. 直角三角形ABC 的斜边BC 的长为a ，将它分成n 等份（n 为奇数），令α为从A 点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A 到BC 边的高长为h ，求证：（罗马尼亚）()a n nh 14tan 2-=α 4. 已知从A 、B 两点引出的高线长h a 、hb 以及从 A 引出的中线长m a ，求作三角形ABC 。

而
bn+1
−
1 (n
2
+
1)
+
1 4
=
−bn
+
n
−
1 (n
2
+
1)
+
1 4
=
−bn
+
1 n
2
−
1 4
=−
11
bn
−
n 2
+
4
⇒
bn
−
1 n
2
+
1 4
=
− 1 (−1)n−1 4
=
1 (−1)n 4
⇒
bn
=
1 n
2
+
1 [(−1)n 4
−
1](n
∈
N∗).
所以
a2015
=
2015, b2015
=
2015 2
= 4t2 − 2t + 1 = 4
1 t−
2
+
3
⩾
3 ，等号成立时
#» DP
=
1D# C».
4 44
4
所以向量 P# A» 与向量 P# Q» 的数量积 P# A» · P# Q» 的最小值为 3.
4
5. 在正方体中随机取 3 条棱，它们两两异面的概率为
.
解答
正方体 12 条棱共有 3 种方向 (左右，上下，前后)，每种方向对应 4 条棱.
=
a
+
b
⇒
b
=
−2a，
22
于是 f (x) = x2 + ax − 2a ⇒ f (2) = 4 + 2a − 2a = 4.

2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷）一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设0分和8分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题份分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 ． 3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，则=2015z ．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，线段DC 上的动点P 与CB 延长线上的动点Q 满足条件BQ DP =，则PQ PA ⋅的最小值为 ． 5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ．6．在平面直角坐标系中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 ．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ．8．对四位数abcd ， 若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数，若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，则P 类数总量与Q 类数总量之差等于 ． 三、解答题9．（本题满分16分）若实数c b a ,,满足c b a c b a 424,242=+=+，求c 的最小值．10．（本题满分20分）设4321,,,a a a a 为四个有理数，使得：{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=≤<≤3,1,81,23,2,2441j i a a ji ，求4321a a a a +++的值．11．（本题满分20分）设21,F F 分别为椭圆1222=+y x 的左右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点B A ,，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果11,,BF l AF 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围．加试1．（本题满分40分）设)2(,,,21≥⋅⋅⋅n a a a n 是实数，证明：可以选取{}1,1,,,21-∈⋅⋅⋅n εεε，使得))(1()()(122121∑∑∑===+≤+ni i i n i i ni i a n a a ε．2．（本题满分40分）设{},,,,21n A A A S ⋅⋅⋅=其中n A A A ,,,21⋅⋅⋅是n 个互不相同的有限集合)2(≥n ，满足对任意的S A A j i ∈,，均有S A A j i ∈ ，若2min 1≥=≤≤i ni A k ，证明：存在i ni A x 1=∈ ，使得x 属于n A A A ,,,21⋅⋅⋅中的至少kn个集合．3．（本题满分50分）如图，ABC ∆内接于圆O ，P 为BC 弧上一点，点K 在AP 上，使得BK 平分ABC ∠，过C P K ,,三点的圆Ω与边AC 交于D ，连接BD 交圆Ω于E ，连接PE ，延长交AB 于F ，证明：FCB ABC ∠=∠2．4．（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k ：对任意正整数n 都有1)1(2+-n k 不整除!)!(n kn ．2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷）参考答案及评分标准一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。

五年级 第1页 五年级 第2页绝密★启用前世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛试题（2015年10月）选手须知：1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。

2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。

3、比赛时不能使用计算工具。

4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。

五年级试题（Ａ卷）（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、填空题。

（每题5分，共计50分）1、一桶油连桶重120千克，用去一半后，连桶还重65千克。

这桶里原有油 千克，空桶 重 千克。

2、连续的六个自然数，前三个数的和是60，那么后三个数的和是 。

3、有一个一位小数，如果去掉小数点，得到的新数比原数多907.2这个一位小数是 。

4、今天是星期日，从今天算起，第60天是星期 。

5、有一根木料，要锯成4段，每锯开一处，需要4分钟。

全部锯完需要 分钟。

6、如图长方形纸片,假如按图中所示剪成四块,这四块纸片可拼成一个正方形.那么所拼成的正方形 的边长是 厘米.7、苹果的个数是梨的3倍，如果每天吃2个苹果、1个梨，若干天后，苹果还剩7个，梨正好全 部吃完。

原来有苹果 个。

8、在一次登山活动中，小红上山每分钟行50米，然后按原路下山，每分钟行75米。

小红上山和 下山平均每分钟行 米。

9、一个数减去16加上24，再除以7得36，这个数是 。

10、自1开始，每隔3个数一数，得到数列1，4，7，10，……问第100个数是 。

二、计算题。

（每题6分，共计12分）11、 9999+999+99+9+812、（425×5776—425+4225×425）÷125÷8省 市 学校 姓名 赛场 参赛证号∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 〇 封 〇 装 〇 订 〇 线 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕密 封 线 内 不 要答 题三、解答题。