初一数学整式的加减能力提升专题突破练习题5（探索规律附答案）1．如图，用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题．（1）在第n个图中，第一横行共_____________块瓷砖，第一竖列共有____________块瓷砖；（均用含n的代数式表示）（2）在第n个图中，铺设地面所用黑瓷砖的总块数为______________；（3）某商店黑瓷砖原价每块4元，则铺设第n个图的矩形地面，共需花多少元购买黑瓷砖？现在该商店举行“双11”促销活动，活动一：凡参加买黑瓷砖活动者赠送2块黑瓷砖；活动二：不赠送瓷砖，每块黑瓷砖打9折．现在小明需要购买黑瓷砖，铺设n=6时矩形地面，小明参加哪个活动合算？2．观察下面三行数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；①0，6，﹣6，18，﹣30，66，…；②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…．③（1）第①行的第7个数是．（2）如果第①行的数字为a，那么第②行的数字可表示为．（3）第③行的第n个数是．（4）第②行的第8个数与第③行的第8个数的和为．3．图中的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而成的.（1）观察图形，填写下表： 图形 ① ② ③ 正方形的个数 图形的周长（2）推测第n 个图形中正方形的个数为______（用含n 的代数式表示）.（3）在这些图形中，任意一个图形周长y 与它所含正方形个数x 之间的函数关系式为______.4．观察下列等式：第1个等式：a 1＝114⨯＝13×（11﹣14）； 第2个等式：a 2＝147⨯＝13×（14﹣17）；第3个等式：a 3＝1710⨯＝13×（11710-）；第4个等式：a 4＝11013⨯＝13×（111013-）；…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a 5＝ ＝ ；第n （n 为正整数）个等式：a n ＝ ＝ ；（2）求a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100的值； （3）数学符号1nx =∑f （x ）＝f （1）+f （2）+f （3）+…+f （n ），试求10x=13(3)x x +∑ 的值．5．观察下列等式112⨯＝112-，123⨯＝1123-，134⨯＝1134-，将以上三个等式两边分别相加得：112⨯+123⨯+134⨯＝112-+1123-+1134-=1（1）猜想并写出：()11n n ⨯+＝ ．（2）直接写出下列各式的计算结果： ①112⨯+123⨯+134⨯+…+120182019⨯＝ ；②112⨯+123⨯+134⨯+…+()11n n ⨯+＝ ．（3）探究并计算：124⨯+146⨯+168⨯+…+120182020⨯． 6．生活与数学（1）吉姆同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方形的方框内的四个数的和是32，那么第一个数是 ；（2）玛丽也在上面的日历上圈出2×2个数，斜框内的四个数的和是42，则它们分别是 ；（3）莉莉也在日历上圈出5个数，呈十字框形，它们的和是50，则中间的数是 ；（4）某月有5个星期日的和是75，则这个月中最后一个星期日是 号； （5）若干个偶数按每行8个数排成下图：①图中方框内的9个数的和与中间的数的关系是 ；②汤姆所画的斜框内9个数的和为360，则斜框的中间一个数是；③托马斯也画了一个斜框，斜框内9个数的和为252，则斜框的中间一个数是．7．如图是由火柴搭成的一些图案．（1）照此规律搭下去，搭第4个图案需要多少根火柴？（2）照此规律搭下去，搭第n个图案需要多少根火柴？搭第2019个图案需要多少根火柴？8．将正整数1至2019按照一定规律排成下表：记a ij表示第i行第j个数，如a14＝4表示第1行第4个数是4．（1）直接写出a35＝，a54＝；（2）①若a ij＝2019，那么i＝，j＝，②用i，j表示a ij＝；（3）将表格中的5个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的5个数之和能否等于2026．若能，求出这5个数中的最小数，若不能请说明理由．9．仔细观察下列三组数：第一组：1，－4，9，－16，25，……第二组：－1，8，－27，64，－125，……第三组：－2，－8，－18，－32，－50，……（1）第一组的第6个数是_________；（2）第二组的第n个数是_________；（3）分别取每一组的第10个数，计算这三个数的和．10．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．（1）请用含有n的式子表示出图1中所有圆圈的个数；（2）如果图1中的圆圈共有10层，我们自上往下，在每个圆圈中都按图2的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，，则最底层最右边这个圆圈中的数是：．（3）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的整数，1，2，2，3，3，3，…，请求出图3中所有圆圈中各数之和．11．实践与探索：将连续的奇数1，3，5，7…排列成如下的数表，用十字框框出5 个数(如图)(1)若将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5 个数，若设中间的数为a，用a 的代数式表示十字框框住的5 个数字之和；(2)十字框框住的5 个数之和能等于285 吗？若能，分别写出十字框框住的5 个数；若不能，请说明理由；(3)十字框框住的 5 个数之和能等于 365 吗？若能，分别写出十字框框住的 5 个数；若不能，请说明理由．12．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如下所示的三角形，称为莱布尼兹三角形.若用有序实数对(,)m n 表示第m 行中从左到右的第n 个数，如(4,3)表示分数112，那么(9,2)表示的分数是什么？……13．如图，在第1个图形中，互不重叠的三角形有4个，在第2个图形中，互不重叠的三角形有7个，在第3个图形中，互不重叠的三角形有10个，…… （1）在第4个图形中，互不重叠的三角形有几个？（2）在第n 个图形中，互不重叠的三角形有几个？（用含n 的代数式表示）答案：1．(1)（n+3），（n+2） (2)4n+6;(3) 小明参加活动二合算,理由见解析【分析】（1）由n=1、n=2和n=3时图形中第一行和第一列的数量即可得出答案；（2）分别清点题目给出的三个图形中的白瓷砖和黑瓷砖的块数，然后通过分析，找出白瓷砖和黑瓷砖的块数与图形数之间的规律，即可解答此题；（3）根据题意分别列出两种活动中总费用的代数式，再代入求值即可．【详解】（1）根据题意知，在第n个图中，第一横行共n+3块瓷砖，第一竖列共有n+2块瓷砖，故答案为n+3，n+2；（2）通过观察图形可知，当n=1时，用白瓷砖2块，黑瓷砖10块；当n=2时，用白瓷砖6块，黑瓷砖14块；当n=3时，用白瓷砖12块，黑瓷砖18块；可以发现，需要白瓷砖的数量和图形数之间存在这样的关系，即白瓷砖块数等于图形数的平方加上图形数；需要黑瓷砖的数量和图形数之间存在这样的关系，即黑瓷砖块数等于图形数的4倍加上图形数．所以，在第n个图形中，白瓷砖的块数可用含n的代数式表示为n2+n；白瓷砖的块数可用含n的代数式表示为4n+6，故答案为4n+6；（3）原价时，总价=4（4n+6）=16n+24，活动一：当n=6时，原式=112；活动二：4（4n+6）×0.9=14.4n+21.6，当n=6时，原式=108，综合上述，小明参加活动二合算．【点睛】图形的变化规律，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．2．（1）62(2)-⨯-；（2）2a +；（3）1(2)n ---；（4）73(2)2-⨯-+ 【分析】（1）根据已知发现从第一个数开始，后面一个数是前面一个数乘2-得到的； （2）根据已知相应位置的数对比可以发现规律； （3）根据已知相应位置的数对比可以发现规律； （4）根据规律得出每行第8个数，相加即可． 【详解】（1）第①行数的规律是：从第一个数开始，后面一个数是前面一个数乘2-得到的，即2-，()22-⨯-，22(2)-⨯-，32(2)-⨯-，…∴第①行的第7个数是62(2)-⨯-；（2）第②行的每个位置上的数是第①行相应位置的数加2得到的， 所以如果第①行的数字为a ，那么第②行的数字可表示为(2a +)； （3）第③行的每个位置上的数是第①行相应位置的数除以2得到的，∴第③行的第n 个数是：112(2)(2)2n n ---⨯-=--；（4）第②行的第8个数与第③行的第8个数的和为：7772(2)2(2)23(2)22-⨯--⨯-++=-⨯-+；故答案为：（1）62(2)-⨯-；（2）2a +；（3）1(2)n ---；（4）73(2)2-⨯-+．【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，根据已知得出规律，运用规律是解答此题的关键． 3．（1）①8,18②13,28；③18,38；（2）5n+3;10+8;（3）2x+2 【解析】试题分析：（1）依此数出n=1，2，3，…，正方形的个数，算出图形的周长； （2）根据规律以此类推，可得出第n 个图形中，正方形的个数为及周长； （3）根据上问规律，得出y 与x 之间的关系．试题解析：（1）∵n=1时，正方形有8个，即8=5×1+3，周长是18，即18=10×1+8； n=2时，正方形有13个，即13=5×2+3，周长是28，即28=10×2+8；n=3时，正方形有18个，即18=5×3+3，周长是38，即38=10×3+8； （2）由（1）可知，n=n 时，正方形有5n+3个，周长是10n+8． （3）∵y=10n+8，x=5n+3， ∴y=2x+2．点睛：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的. 4．（1）11316⨯，13×（111316-）；1(32)(31)n n -+，13×（113231n n --+）；（2）100301；（3）905572【分析】（1）根据题干中的规律可得第5个等式，再总结规律可得1(32)(31)n n -+的值等于132n -和131n +的差再乘以13； （2）将a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100用各自的算式替换，再根据（1）中归纳的等式进行拆项计算； （3）依据数学符号1nx =∑的概念，可得10x=13(3)x x +∑对应的算式，再利用前两问得到的拆项算法计算即可. 【详解】解：（1）按以上规律知第5个等式为a 5＝11316⨯＝13×（111316-），第n 个等式a n ＝1(32)(31)n n -+＝13×（113231n n --+）（2）a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100＝114⨯+ 147⨯+ 1710⨯+…+ 1(31002)(31001)⨯-⨯⨯+ ＝13×（1﹣14）+13×（1147-）+ 13×（11710-）+…+13×（11298301-）＝13×（1﹣111447+-+ 11710-+…+11298301-）＝13×（1﹣1301）＝13×300301 ＝100301； （3）()10x=133x x +∑ ＝314⨯+ 325⨯+ 336⨯+…+11013⨯.＝3×（111142536++⨯⨯⨯+…+11013⨯）＝3×[13×（1﹣ 14 ）+ 13×（1125-）+13×（1136-）+…+13×（111013-）] ＝1﹣14+ 12﹣15+ 13﹣16+ 14﹣17+ 15﹣18+ 16﹣19 + 17﹣11018+﹣ 111+11912-+111013- ＝1+ 12 + 13﹣111﹣112﹣113＝905572． 5．（1）111n n -+；（2）①20182019；②1n n +；（3）10094040．【分析】（1）仿照例题，裂项相消可得111(1)1n n n n =-++；（2）仿照例题的规律，将式子把乘法化为分数减法运算，用裂项相消的方法，化简即可求解；（3）所求式子先提公因式14，即化为（2）的形式，再可以用裂项相消的方法化简即可求解． 【详解】 解：（1）111(1)1n n n n =-++；故答案为111n n -+； （2）①111112233420182019+++⋯⋯+⨯⨯⨯⨯1111111112233420182019=-+-+-+⋯⋯+- 112019=- 20182019=； ②112⨯+123⨯+134⨯+…+()11n n ⨯+ 111111*********n n =-+-+-+⋯⋯+-+ 111n =-+ 1n n =+； 故答案为①20092010；②1n n +； （3）124⨯+146⨯+168⨯+…+120182020⨯ =11111111412423434410091010⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯⨯⨯⨯⨯ 11111()412233410091010=⨯+++⋯⋯+⨯⨯⨯⨯ 111111111()412233410091010=-+-+-+⋯⋯+- 11(1)41010=- 1100941010=⨯ 10094040=. 【点睛】本题考查数字的规律；根据例题将所求式子用裂项相消的方法进行正确的分解是解题的关键．6．（1）4；（2） 7、8、13、14；（3）10；（4）29；（5）①9个数的和是中间数的9倍； ②40；③28【分析】(1)先根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示，用一元一次方程求解即可; (2)先根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示，用一元一次方程求解即可; (3)先根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示,用一元一次方程求解即可;(4)先根据日历，上的数据规律把所要求的数用代数式表示,用一元一次方程求解即可； (5)①根据已知9个数直接求出和即可，进而得出与中间的数的关系；②③根据①中规律得出即可.【详解】(1)设第一个数是x ,其他的数为x ＋ 1,x ＋ 7,x ＋8,则x ＋x ＋1＋x ＋7＋x ＋8＝ 32,解得x ＝4;这四个数是:4,5,11,12;故答案为:4,5,11,12，所以第一个数为4；(2)设第一个数是x ,其他的数为x ＋ 1,x ＋6,x ＋ 7,则x ＋x ＋1＋x ＋6＋x ＋ 7＝ 42,解得x ＝ 7，x ＋1＝8,x ＋6＝ 13,x ＋ 7＝ 14;故答案为:7,8,13,14;(3)设中间的数是x ,则5x ＝ 50,解得x ＝ 10;故答案为:10;(4)设最后一个星期日是x ，x －7，x －14，x －21，x －28，则x ＋x －7＋x －14＋x －21＋x －28＝75，解得：x ＝29，故答案为29；(5)①∵2＋4＋6＋18＋20＋22＋34＋36＋38＝180,180÷20＝9，∴方框内的9个数的和是中间的数的9倍，②中间一个数＝360÷9＝40，故答案为40；③中间一个数＝252÷9＝28，故答案为28.7．（1）17；（2）41n +，8077【分析】（1）根据前三幅图案发现规律，求第4个图案的火柴数；（2）归纳总结规律，用代数式把规律表示出来，然后代值求解．解：（1）第1个图案有5根火柴，第2个图案有9根火柴，第3个图案有13根火柴， 第4个图案的火柴数应该是第三个图案的火柴数加上4，9413+=，∴搭第4个图案需要13根火柴；（2）发现规律，下一个图案上的火柴数是上一个图案的火柴数加4，第1个图案火柴数5405+⨯=，第2个图案火柴数5419+⨯=，第3个图案火柴数54213+⨯=，…第n 个图案火柴数()54141n n +-=+，令2019n =，4201918077⨯+=，∴搭第2019个图案需要8077根火柴．8．（1）23，40；（2）①225，3；②9（i﹣1）+j；或者9i﹣9+j；（3）不能等于2026，见解析.【分析】(1)根据表格直接得出即可.(2)①根据每行由小到大排列8个数,用2019除以8,根据除数与余数即可求值.②根据表格数据排列规律即可.(3)设5个数最小的为x,用含x的代数式分别表示出其他4个数,根据求和等式列出方程,解出即可.解：（1）a35＝23，a54＝40;（2）①∵2019÷9＝224…3，∴2019是第225行的第3个数，∴i＝225，j＝3．故答案为225，3；②根据题意，可得a ij＝9（i﹣1）+j．故答案为9（i﹣1）+j；或者9i-9+j（3）设这5个数中的最小数为x，则其余4个数可表示为x+4，x+10，x+12，x+20，根据题意，得x+x+4+x+10+x+12+x+20＝2026，解得x＝396．∵396÷9＝44，∴396是第44行的第9个数，而此时x+4＝400是第45行的第4个数，与396不在同一行，∴将表格中的5个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的5个数之和不能等于2026．9．（1）-36；（2）（-1）n n3；（3）700．【分析】（1）观察不难发现，第一组的数的绝对值为相应序数平方，第奇数个为正，偶数个为负，即可得出结果；（2）观察可知，第二组的数的绝对值为相应序数的立方，第奇数个为负，偶数个为正；（3）观察得出，第三组的数是相应序数平方乘以-2，求出当n等于10时的每组的第10个数，相加即可得出结论．【详解】解：（1）∵第一组按12，-22，32，-42，52，┅┅；∴第一组第6个数是：-62=-36，（2）∵第二组按-13，23，-33，43，-53，┅┅；∴第二组第n个数是：（-1）n n3．（3）第三组按12×（-2），22×（-2），32×（-2），42×（-2），52×（-2）┅┅；∴第一组的第n个数是（-1）n+1n2，第二组的第n个数是（-1）n n3，第三组第n个数是（-2）n2，∴当n=10时，三组的第10个数分别为：-100，1000，-200，∴这三个数的和为：-100+1000+（-200）=700．10．（1）(1)2n n+；（2）55；（3）385．【解析】试题分析：（1）根据图形中圆圈的个数变化规律得出答案即可；（2）第10层有10个数，最右边一个数为：1+2+3+ (10)（3）所有数字和为：1+2×2+3×3+4×4+…+10×10．试题解析：解：（1）图1中所有圆圈的个数为：()11232n nn+++++=个；（2）第10层有10个数，最右边一个数为：1+2+3+…+10=55 ；（3）图3中所有圆圈中各数之和：1+2×2+3×3+4×4+…+10×10=222123 (10)++++=110(101)(2101)6⨯+⨯+=385．11．(1) 5a；⑵可以；45，55，57，59，69；⑶不可能．【分析】（1）从表格可看出上下相邻相差12，左右相邻相差2，中间的数为a，上面的为a-12，下面的为a+12，左面的为a-2，右面的为a+2，这5个数的和可用a来表示，（2）代入285看看求出的结果是整数就可以，再考虑中间数的位置，即可得出答案．（3）代入365看看求出的结果是整数就可以，再考虑中间数的位置，即可得出答案．解：(1)从表格知道中间的数为a，上面的为a－12，下面的为a+12，左面的为a－2，右面的为a+2，a+(a－2)+(a+2)+(a－12)+(a+12)=5a；⑵5a=285，a=57，a=57 为奇数在第5 列，所以可以，十字框框住的5 个数分别,45，55，57，59，69；.⑶5a=365，a=73，又因为73÷12=6.....1，所以73 在第7 行第一列，因为我们设的a 是十字框正中间的数，故不可能．12．1 72.【解析】【分析】观察莱布尼兹三角形，分析每一行第一个数的规律，可得第8行左边的第一个分数是18，第9行左边的第一个分数为19，则第9行左边第二个分数为11.89-【详解】观察莱布尼兹三角形，第8行左边的第一个分数是18，第9行左边的第一个分数为19，则第9行左边第二个分数为1118972-=，所以92（，）表示的分数是172.13．（1）13（个）；（2）（3n+1）个.【解析】试题分析：第1个图形中，互不重叠的三角形有4个；第2个图形中，互不重叠的三角形有4+3=7个；第3个图形中，互不重叠的三角形有4+3×2=10个；第4个图形中，互不重叠的三角形有4+3×3=13个.……第n个图形中，互不重叠的三角形有4+3(n-1)=(3n+1)个.试题解析：解：(1)在题图第1个图形中，互不重叠的三角形有4个，在题图第2个图形中，互不重叠的三角形有7=4+3×1个，在题图第3个图形中，互不重叠的三角形有10=4+3×2个，所以在第4个图形中，互不重叠的三角形有4+3×3=13(个).(2)由(1)可得，在第n个图形中，互不重叠的三角形有4+3(n-1)=(3n+1)个.点睛：在根据图形的变化规律列代数式的问题中，常用的方法是用列举法从有限到无限寻找规律，分别列举出前面的几个图形中的互不重叠的三角形的个数，注意到每一个图形中互不重叠的三角形的个数与它前面的图形中互不重叠的三角形的个数之间的变化关系，即可找到规律.。
