初三数学圆的难题

1 如图，将△AOB 置于平面直角坐标系中，其中点O 为坐标原点，点A 的坐标为（3，0），∠ABO=60°.（1）若△AOB 的外接圆与y 轴交于点D ，求D 点坐标.（2）若点C 的坐标为（-1，0），试猜想过D 、C 的直线与△AOB 的外接圆的位置关系，并加以说明.（3）二次函数的图象经过点O 和A 且顶点在圆上，求此函数的解析式.2 如图（4），正方形111OA B C 的边长为1，以O 为圆心、1OA 为半径作扇形1111OAC AC ，与1OB 相交于点2B ，设正方形111OA B C 与扇形11OA C 之间的阴影部分的面积为1S ；然后以2OB 为对角线作正方形222OA B C ，又以O 为圆心，、2OA 为半径作扇形22OA C ，22A C 与1OB 相交于点3B ，设正方形222OA B C 与扇形22OA C 之间的阴影部分面积为2S ；按此规律继续作下去，设正方形n n n OA B C 与扇形n n OA C 之间的阴影部分面积为n S ．（1）求123S S S ，，；（2）写出2008S ；（3）试猜想n S （用含n 的代数式表示，n 为正整数）．1B 2 B 3A 1A 2 A 3 OCC C 图4S 2 S 1S 3(第4题图) HE D B O A C3 (10分)如图，点I 是△ABC 的内心，线段A I 的延长线交△ ABC 的外接圆于点D ，交BC 边于点E ． （1）求证：I D =BD ；（2）设△ABC 的外接圆的半径为5，I D =6，AD x =，DE y =，当点A 在优弧上运动时，求y 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．4 如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的⊙O 上四个点，C 是劣弧BD 的中点，AC 交BD 于点E ， AE ＝2， EC ＝1．（1）求证：DEC △∽ADC △； （3分） （2）试探究四边形ABCD 是否是梯形？若是，请你给予证明并求出它的面积；若不是，请说明理由． （4分）（3）延长AB 到H ，使BH ＝OB ．求证：CH 是⊙O 的切线． （3分）5 如图10，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为BC上的一动点．（1）问添加一个什么条件后，能使得BD BEBC BD请说明理由；（2）若AB∥OD，点D所在的位置应满足什么条件？请说明理由；（3）如图11，在（1）和（2）的条件下，四边形AODB是什么特殊的四边形？证明你的结论．6 如图1，已知正方形ABCD的边长为M是AD的中点，P是线段MD上的一动点（P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E．（1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）？（2）求四边形CDPF的周长；（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示．是否存在点P，使BF*FG=CF*OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．·M·AF COPED图1·P DOGEMFBAC图27 如图，在平面直角坐标系xoy 中，M 是x 轴正半轴上一点，M 与x 轴的正半轴交于A B ，两点，A 在B 的左侧，且OA OB ，的长是方程212270x x -+=的两根，ON 是M的切线，N 为切点，N 在第四象限． （1）求M 的直径．（2）求直线ON 的解析式．（3）在x 轴上是否存在一点T ，使OTN △是等腰三角形，若存在请在图2中标出T 点所在位置，并画出OTN △（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不证明，不求T 的坐标）若不存在，请说明理由．图1图21 解：（1）连结AD. ∵∠ABO=60°,∴∠ADO=60°…..1分由点A 的坐标为（3，0）得OA=3. ∵在Rt △ADO 中有 cot ∠ADO=ODOA,…………….2分 ∴OD=OA ·cot ∠ADO=3·cot60°=3×33=3. ∴点D 的坐标为（0，3）……………3分（2）DC 与△AOB 的外接圆相切于点D ，理由如下: 由（1）得OD=3 ,OA=3. ∴2222(3)323AD OD OA =+=+=.又∵C 点坐标是（-1，0）, ∴OC=1.∴22221(3)2CD OC OD =+=+=………………4分 ∵AC=OA+OC=3+1=4,∴CD 2+AD 2=22+(23)2=42=AC 2…………………5分 ∴∠ADC=90°,即AD ⊥DC.由∠AOD=90°得AD 为圆的直径.∴DC 与△AOB 的外接圆相切于点D ……………6分（说明：也可用解直角三角形或相似三角形等知识求解.） （3）由二次函数图象过点O （0，0）和A （3，0）, 可设它的解析式为 y=ax(x-3)（a ≠0）.如图，作线段OA 的中垂线交△AOB 的外接圆于E 、F 两点，交AD 于M 点，交OA 于N 点. 由抛物线的对称性及它的顶点在圆上可知，抛物线的顶点就是点E 或F. ∵EF 垂直平分OA ， ∴EF 是圆的直径. 又∵AD 是圆的直径,∴EF 与AD 的交点M 是圆的圆心………….7分由（1）、（2）得OA=3，AD=23.∴AN=12OA=32，AM=FM=EM=12AD=3. ∴222233(3)()22MN AM AN =-=-=.∴FN=FM-MN=3-32=32,EN=EM+MN=3+32=332. ∴点E 的坐标是(32 , 332)，点F 的坐标是(32, -32)……..8分当点E 为抛物线顶点时，有32(32-3)a=332,a=233-.M EFN∴y=33-x(x-3). 即y=33-x 23x …………………………9分当点F 为抛物线顶点时，有32(323, 23∴23x(x-3).即23x 223故二次函数的解析式为y=23x 23或23x 223x ….10分2 （1）2211π1π1144S =-=-； ····················· 2分 2222121ππ4228S ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ···················· 4分223221221ππ2422416S ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ················ 6分（2）2008200720091π22S =-；························· 8分（3）111π22n n n S -+=-（n 为正整数）． ··················· 10分3 (1) 证明： 如图，∵ 点I 是△ABC 的内心，∴ ∠BAD =∠CAD ，∠ABI =∠CBI ． ………………2分 ∵ ∠CBD =∠CAD ，∴ ∠BAD =∠CBD ． ……………………………3分 ∴ ∠BID =∠ABI +∠BAD =∠CBI +∠CBD =∠IBD ．∴ ID =BD ． ………………………5分 (2)解：如图，∵∠BAD =∠CBD =∠EBD ， ∠D =∠D ，∴ △ABD ∽△BED ． …………………………7分∴BD ADDE BD=． ∴ 22AD DE BD ID ⨯==． …………………8分 ∵ ID =6，AD =x ，DE =y ，∴ xy =36． ………………9分 又∵ x =AD >ID =6， AD 不大于圆的直径10， ∴ 6<x ≤10．∴ y 与x 的函数关系式是36y x=．（610x <≤） …………………………10分说明：只要求对xy =36与6<x ≤10，不写最后一步，不扣分．4 （1）证明：∵C 是劣弧BD 的中点， ∴DAC CDB ∠=∠． ···································· 1分 而ACD ∠公共，∴DEC △∽ADC △． ································· 3分（2）证明：连结OD ，由⑴得DC ECAC DC=， ∵ 1.213CE AC AE EC ==+=+=， ∴2313DC EC =⨯= ．∴DC =． ···························································································· 4分由已知BC DC ==AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=︒ ，∴22222312AB AC CB =+=+=．∴AB = ∴OD OB BC DC ====， ∴四边形OBCD 是菱形． ∴DC AB DC AB <∥，， ∴四边形ABCD 是梯形． ········································· 5分 法一：过C 作CF 垂直AB 于F ，连结OC ，则OB BC OC === ∴60OBC ∠=︒． ························································································ 6分∴sin 60CFBC︒=，3sin 602CF BC =︒==，∴()(113222ABCD S CF AB DC ⨯梯形＝＋＝ ·································· 7分法二：（接上证得四边形ABCD 是梯形）又DC AB ∥ ∴AD BC =，连结OC ，则AOD △，DOC △和OBC △等边三角形 ···································································································· 6分 ∴AOD △≌DOC △≌OBC △，∴23344AOD ABCD S S ⨯⨯△梯形＝＝＝····················································· 7分 （3）证明：连结OC 交BD 于G 由（2）得四边形OBCD 是菱形， ∴OC BD ⊥且OG GC =． ········································································· 8分 又已知OB ＝BH ， ∴BG CH ∥． ························································· 9分 ∴90OCH OGB ∠=∠=︒ ， ∴CH 是⊙O 的切线． ······································· 10分5 解： （1）添加 AB =BD ····································································································· 2分 ∵AB =BD ∴AB =BD ∴∠BDE =∠BCD ········································································· 3分 又∵∠DBE =∠DBC ∴△BDE ∽△BCD∴BD BEBC BD=······························································································································· 4分 （2）若AB ∥DO ，点D 所在的位置是BC 的中点 ················································ 5分∵AB ∥DO ∴∠ADO =∠BAD ······························································ 6分 ∵∠ADO =∠OAD ∴∠OAD =∠BAD ∴DB =DC ········································ 7分 （3）在（1）和（2）的条件下，．∵AB =BD =DC ∴∠BDA =∠DAC ∴ BD ∥OA 又∵AB ∥DO ∴四边形AODB 是平行四边形 ····································· 9分 ∵O A =OD ∴平行四边形AODB 是菱形 ·········································· 10分6 解：（1）FB ＝FE ，PE ＝PA ··································································· 2分（2）四边形CDPF 的周长为FC ＋CD ＋DP ＋PE ＋EF ＝FC ＋CD ＋DP ＋PA ＋BF ·································· 3分＝BF ＋FC ＋CD ＋DP ＋PA ······························· 4分 ＝BC ＋CD ＋DA ······································ 5分＝3＝ ······································· 6分（3）存在．7分若BF FG CF OF =,则BF CFOF FG=∵ cos ∠OFB ＝BF OF ，cos ∠GFC ＝CFFG∴ ∠OFB ＝∠GFC又 ∵ ∠OFB ＝∠OFE∴ ∠OFE ＝∠OFB ＝∠GFC=60 ······················································ 8分 ∴ 在Rt OFB △中 FE ＝FB ＝tan 60OB＝1∴ 在Rt GFC △中CG ＝()tan tan 60231tan 6063CF GFC CF ∠==-=-∴ 6DG CG CD =-=-∴ tan tan 30233DP DG PGD DG =∠==- ································· 9分∴ ()33AP AD DP =-== ···································· 10分7 解：（1）解方程212270x x -+=，得19x =，23x =A 在B 的左侧3OA ∴=，9OB = 6AB OB OA ∴=-=OM ∴的直径为6 ·························································································· 1分 （2）过N 作NC OM ⊥，垂足为C ， 连结MN ，则MN ON ⊥31sin 62MN MON OM ===∠30MON ∴=∠又cos ONMON OM=∠cos3033ON OM ∴=⨯=在Rt OCN △中9cos303322OC ON ===1sin 303322CN ON ===N ∴的坐标为92⎛ ⎝⎭， 设直线ON 的解析式为y kx =92x = k ∴=∴直线ON的解析式为y x =····································································· 4分 （3）如图2，1T ，2T ，3T ，4T 为所求作的点，1OT N △，2OT N △，3OT N △，4OT N △为所求等腰三角形．（每作出一种图形给一分） ··················································· 8分30．（深圳）如图1，以点M （－1,0）为圆心的圆与y 轴、x 轴分别交于点A 、B 、C 、D ，直线y ＝－33 x － 533与⊙M 相切于点H ，交x 轴于点E ，交y 轴于点F ． （1）请直接写出OE 、⊙M 的半径r 、CH 的长；（2）如图2，弦HQ 交x 轴于点P ，且DP :PH ＝3:2，求cos ∠QHC 的值；（3）如图3，点K 为线段EC 上一动点（不与E 、C 重合），连接BK 交⊙M 于点T ，弦AT交x 轴于点N ．是否存在一个常数a ，始终满足MN ·MK ＝a ，如果存在，请求出a 的值；如果不存在，请说明理由．图1图2图330．（1）、如图4，OE =5，2r =，CH =2（2）、如图5，连接QC 、QD ，则90CQD ∠=︒，QHC QDC ∠=∠，易知CHPDQP ∆∆，故DP DQPH CH=， 322DQ=，3DQ =，由于4CD =，3cos cos 4QD QHC QDC CD ∴∠=∠==； （3）、如图6，连接AK ，AM ，延长AM ，与圆交于点G ，连接TG ，则90GTA ∠=︒2490∴∠+∠=︒34∠=∠，2390︒∴∠+∠= 由于390BKO ∠+∠=︒，故，2BKO ∠=∠；而1BKO ∠=∠，故12∠=∠在AMK ∆和NMA ∆中，12∠=∠；AMK NMA ∠=∠故AMK NMA ∆；MN AMAM MK=; 即：24MN MK AM ==故存在常数a ，始终满足MN MK a =，常数4a =图6图4。