当前位置：文档之家 › 同济大学高等数学重积分

同济大学高等数学重积分

  • 格式：docx
  • 大小：2.52 MB
  • 文档页数：30

同济大学高等数学重积分

Revised at 16:25 am on June 10, 2021

I hope tomorrow will definitely be better 第十章 重积分

一元函数积分学中,我们曾经用和式的极限来定义一元函数fx在区间,ab上的定积分,并已经建立了定积分理论,本章将把这一方法推广到多元函数的情形,便得到重积分的概念. 本章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用.

第1节 二重积分的概念与性质

二重积分的概念

下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量,引出二重积分的定义.

1.1.1. 曲顶柱体的体积

曲顶柱体是指这样的立体,它的底是xOy平面上的一个有界闭区域D,其侧面是以D的边界为准线的母线平行于z轴的柱面,其顶部是在区域D上的连续函数,zfxy,且,0fxy所表示的曲面图10—1.

图10—1

现在讨论如何求曲顶柱体的体积.

分析这个问题,我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的方法即分割、近似代替、求和、取极限的方法来解决图10—2.

图10—2

1分割闭区域D为n个小闭区域

同时也用iΔσ表示第i个小闭区域的面积,用idΔσ表示区域iΔσ的直径一个闭区域的直径是指闭区域上任意两点间距离的最大值,相应地此曲顶柱体被分为n个小曲顶柱体.

2在每个小闭区域上任取一点

对第i个小曲顶柱体的体积,用高为，()iifξη而底为iΔσ的平顶柱体的体积来近似代替.

3这n个平顶柱体的体积之和

就是曲顶柱体体积的近似值.

4用λ表示n个小闭区域iΔσ的直径的最大值,即max1iinλdΔσ.当0λ 可理解为iΔσ收缩为一点时,上述和式的极限,就是曲顶柱体的体积：

1.1.2 平面薄片的质量

设薄片在xOy平面占有平面闭区域D,它在点，()xy处的面密度是,()ρρxy.设()0xy,且在D上连续,求薄片的质量见图10-3.

图10-3

先分割闭区域D为n个小闭区域 在每个小闭区域上任取一点

近似地,以点,()iiξη处的面密度,()iiρξη代替小闭区域iΔσ上各点处的面密度,则得到第i块小薄片的质量的近似值为,()iiiρξηΔσ,于是整个薄片质量的近似值是

用max1iinλdΔσ表示n个小闭区域iΔσ的直径的最大值,当D无限细分,即当0λ时,上述和式的极限就是薄片的质量M,即

01lim(,)niiiλiMρξηΔσ.

以上两个具体问题的实际意义虽然不同,但所求量都归结为同一形式的和的极限.抽象出来就得到下述二重积分的定义.

定义1 设D是xOy平面上的有界闭区域,二元函数,()zfxy在D上有界.将D分为n个小区域

同时用iΔσ表示该小区域的面积,记iΔσ的直径为idΔσ,并令max1iinλdΔσ.

在iΔσ上任取一点,, 1,2,,()()iiξηin,作乘积

并作和式

Δ1(,)niiiinSfξησ.

若0λ时,nS的极限存在它不依赖于D的分法及点(,)iiεη的取法,则称这个极限值为函数,()zfxy在D上的二重积分,记作(,)dDfxy,即

01(,)dlim(,)ΔniiiiDfxyf, 10-1-1

其中D叫做积分区域,,()fxy叫做被积函数,dσ叫做面积元素,,d()fxyσ叫做被积表达式,x与y叫做积分变量,Δ1(,)niiiifξησ叫做积分和.

在直角坐标系中,我们常用平行于x轴和y轴的直线y=常数和x=常数把区域D分割成小矩形,它的边长是x和Δy,从而ΔΔΔσxy,因此在直角坐标系中的面积元素可写成ddxdy,二重积分也可记作

01(,)ddlim(,)niiiiDfxyxyf.

有了二重积分的定义,前面的体积和质量都可以用二重积分来表示.曲顶柱体的体积V是函数,()zfxy在区域D上的二重积分

(,)dDVfxy；

薄片的质量M是面密度,()ρρxy在区域D上的二重积分

(,)dDMxy.

因为总可以把被积函数,()zfxy看作空间的一曲面,所以当,()fxy为正时,二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积；当,()fxy为负时,柱体就在xOy平面下方,二重积分就是曲顶柱体体积的负值. 如果,()fxy在某部分区域上是正的,而在其余的部分区域上是负的,那么,()fxy在D上的二重积分就等于这些部分区域上柱体体积的代数和.

如果,()fxy在区域D上的二重积分存在即和式的极限10-1-1存在,则称,()fxy在D上可积.什么样的函数是可积的呢与一元函数定积分的情形一样,我们只叙述有关结论,而不作证明.

如果,()fxy是闭区域D上连续,或分块连续的函数,则,()fxy在D上可积.

我们总假定,()zfxy在闭区域D上连续,所以,()fxy在D上的二重积分都是存在的,以后就不再一一加以说明.

1.1.3 二重积分的性质

设二元函数,,,()()fxygxy在闭区域D上连续,于是这些函数的二重积分存在.利用二重积分的定义,可以证明它的若干基本性质.下面列举这些性质. 性质1 常数因子可提到积分号外面.设k是常数,则

(,)d(,)dDDkfxykfxy.

性质2 函数的代数和的积分等于各函数的积分的代数和,即

()()d()d()dDDDfxygxyfxygxy,,,,.

性质3 设闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域,则D上的二重积分等于各部分闭区域上的二重积分的和.

例如D分为区域1D和2D见图10-4,则

12(,)d(,)d(,)dDDDfxyfxyfxy. 10-1-2

图10-4

性质3表示二重积分对积分区域具有可加性.

性质4 设在闭区域D上,1()fxy,σ为D的面积,则

1ddDD.

从几何意义上来看这是很明显的.因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积.

性质5 设在闭区域D上有,,()()fxygxy,则

(,)d(,)dDDfxygxy.

由于 (,)(,)(,)fxyfxyfxy

又有 (,)d(,)dDDfxyfxy.

这就是说,函数二重积分的绝对值必小于或等于该函数绝对值的二重积分.

性质6 设、Mm分别为()fxy,在闭区域D上的最大值和最小值,σ为D的面积,则有

(,)dDmfxyM.

上述不等式是二重积分估值的不等式.因为()mfxyM,,所以由性质5有

d(,)ddDDDmfxyM,

即 d(,)ddDDDmmfxyMM.

性质7 设函数,()fxy在闭区域D上连续,σ是D的面积,则在D上至少存在一点,()ξη使得

(,)d()Dfxyf,.

这一性质称为二重积分的中值定理.

证 显然0.

因,()fxy在有界闭区域D上连续,根据有界闭区域上连续函数取到最大值、最小值定理,在D上必存在一点11xy,使11fxy,等于最大值M,又存在一点22()xy,使22()fxy,等于最小值m,则对于D上所有点,()xy,有

由性质1和性质5,可得 d(,)ddDDDmfxyM．

再由性质4得

(,)dDmfxyM,

或

1(,)dDmfxyM．

根据闭区域上连续函数的介值定理知,D上必存在一点,()ξη,使得

1(,)d()Dfxyf,,

即

(,)d()Dfxyf,, ,()ξηD.

证毕.

二重积分中值定理的几何意义可叙述如下：

当:,()Szfxy为空间一连续曲面时,对以S为顶的曲顶柱体,必定存在一个以D为底,以D内某点,()ξη的函数值,()fξη为高的平顶柱体,它的体积,()fξησ就等于这个曲顶柱体的体积.

习题10—1

1.根据二重积分性质,比较ln()dDxy与2ln()dDxy的大小,其中

1D表示以10,（）、1,0（）、1,1（）为顶点的三角形；

2D表示矩形区域|35,2,0xyxy.

2.根据二重积分的几何意义,确定下列积分的值：

122dDaxy,222{|}Dxyxya，；

2222dDaxy,222{|}Dxyxya，.

3.设,fxy为连续函数,求201lim(,)dπrDfxyr,

22200{,}Dxyxxyyr|.

4.根据二重积分性质,估计下列积分的值：

14+dDIxy,22{|00}Dxyxy，，；

222sinsindDIxy,ππ{,|00}Dxyxy，；

32249dDIxy, 224{,|}Dxyxy.

5.设0,10,1D,证明函数

在D上不可积.

第2节 二重积分的计算

只有少数二重积分被积函数和积分区域特别简单可用定义计算外,一般情况下要用定义计算二重积分相当困难．下面我们从二重积分的几何意义出发,来介绍计算二重积分的方法,该方法将二重积分的计算问题化为两次定积分的计算问题． 直角坐标系下的计算

在几何上,当被积函数,0fxy时,二重积分(,)dDfxy的值等于以D为底,以曲面,()zfxy为顶的曲顶柱体的体积.下面我们用“切片法”来求曲顶柱体的体积V.

设积分区域D由两条平行直线,xaxb及两条连续曲线yxyx12,见图10—5所围成,其中abxx12,,则D可表示为

12,,|Dxyaxbφxyφx.

图10—5

用平行于yOz坐标面的平面00xxaxb去截曲顶柱体,得一截面,它是一个以区间1020xx,为底,以,0()zfxy为曲边的曲边梯形见图10—6,所以这截面的面积为

d2010()0()0(,)φxφxfxyyAx.

图10—6

由此,我们可以看到这个截面面积是0x的函数.一般地,过区间［,］ab上任一点且平行于yOz坐标面的平面,与曲顶柱体相交所得截面的面积为

d21()()(,)φxφxfxyAyx,

其中y是积分变量,x在积分时保持不变.因此在区间［,］ab上,Ax是x的函数,应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法,得曲顶柱体的体积为

ddd21()()()(,)bbφxaaφxAxxfxyVyx,

即得

21()()(,)d(,)ddbxaxDfxyfxyyx,

合集下载

9高等数学同济大学第六版本Word版

9高等数学同济大学第六版本Word版

推荐精选 习题92

1 计算下列二重积分:

(1)Ddyx)(22, 其中D{(x y)| |x|1 |y|1};

解 积分区域可表示为D 1x1 1y1 于是

Ddyx)(22ydyxdx111122)(xdyyx111132]31[

xdx112)312(113]3232[xx38

(2)Ddyx)23(, 其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域:

解 积分区域可表示为D 0x2 0y2x 于是

Ddyx)23(ydyxdxx2020)23(dxyxyx20022]3[

dxxx202)224(0232]324[xxx320

(3)Ddyyxx)3(223, 其中D{(x y)| 0x1, 0y1}

解 Ddyyxx)3(3231032310)3(dxyyxxdy1001334]4[dyxyyxx

103)41(dyyy0142]424[yyy1412141

(4)Ddyxx)cos(, 其中D是顶点分别为(0, 0), (p, 0), 和(p, p)的三角形闭区域.

解 积分区域可表示为D 0x 0yx 于是,

Ddyxx)cos(xdyyxxdx00)cos(00)][sin(dxyxxx

0)sin2(sindxxxx0)cos2cos21(xxxd

0|)cos2cos21(xxxdxxx0)cos2cos21(23

推荐精选 2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分:

同济大学《高等数学》上册

同济大学《高等数学》上册

实用文档

文案大全 练习1-1

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

练习1-2

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

练习1-3

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

练习1-4

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

练习1-5

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

练习1-6

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

练习1-7

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

练习1-8

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

练习1-9

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

练习1-10

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

总习题一

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

练习2-1

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

练习2-2

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

实用文档

文案大全

关于求解三重积分的方法

关于求解三重积分的方法

科技信息　高校理科研究　关孑求船三重积分帕方法　襄樊学院数计学院　陶爽　卢方芳　［摘要］根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间，化三重积分为三次积分。　［关键词】积分区域　最大投影　柱坐标球面坐标　１．给出的曲面形如ｚ＝ｆ１（ｘ，ｙ），ｚ＝　ｘ，Ｙ）　令￡　ｙ）＝如ｙ），得到一个关于ｘ，ｙ的方程，是封闭曲面围成的区域在　ＸＯＹ平面上的最大投影，也是ｘ，ｙ满足的范围，然后根据所得到的ｘ，ｙ　的关系判断ｆｌ，ｆ２的大小。　例１化三重积分　ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ）ｄｘｄｙｄｚ为三次积分，积分区域Ｑ是由曲　面ｚ＝ｘＺ＋２ｙ２及ｚ＝２一Ｘ２围成的闭区域。　解根据ｘ２＋２ｙ　２一ｘ　有ｘ　ｙ　１，因为得到的是最大投影，所以ｘ，ｙ满　足的是ｘ２＋ｙ２≤１，根据该式可知　≤２一Ｘ２，则　，　ｄｘｄｙｄｚ＝　１』　ｄｙ』　２＿　ｘ２　批　２．给出的曲面形如ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ），ｚ＝Ｃ　（１）若Ｃ－－Ｏ，关于ｚ的积分一般是Ｉ　ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ）ｄｚ；（２）若Ｃ＞Ｏ，关于ｚ　的积分一般是Ｊ　、　）【，ｙ，ｚ】ｄｚ；根据需要有时会给出ｘ，ｙ的函数，来确定ｘ，ｙ　的取值范围。　例２化三重积分Ｊ　ｆ（ｘ＇ｙ，ｚ）ｄｘｄｙｄｚ为三次积分，积分区域Ｑ是由曲　ｎ　面ｚ：ｘｙ及ｘ＋ｙ－ｌ＝Ｏ，ｚ－－Ｏ围成的闭区域。　分析（根据情况（１））依题意有Ｏ＜ｚ＜ｘｙ，则有ｘｙ＞Ｏ，再有ｘ＋ｙ一１＝０，　得出闭区域在平面上的最大投影区域Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）［Ｏ＜ｙ＜ｌ－ｘ，Ｏ＜ｘ＜１），则　ｆ眠　ｄｘｄ　ｄｚ＝　ｄｙ　，’ｚ）ｄｚ　例３化三重积分ｌ　ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｘｄｙｄｚ为三次积分，积分区域ｎ是由曲　面￣．Ｘ２＋ｙ２及ｚ＝ｌ围成的闭区域。　分析给出的曲面形如￣ｆ，（ｘ，ｙ），ｚ－－ｆｌｘ，ｙ）。故闭区域在平面上的最大投　影区域Ｄ＝｛　ｙ）Ｉｘ２＋ｙ２≤ｌ｝即Ｄ：｛　ｙ）Ｉ—ｌ≤ｘ≤Ｉ，－、／　二　≤ｙ≤ｖ　），　ｆＩ　ｆ　ＥＩ　再根据情况（２）有ｘ２＋ｙ　＜ｌ，则《ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ）ｄｘｄｙｄｚ＝ｆ　ｄｘ　ｆ—ｄｙ　ｆ　，ｆ（ｘ，　矗　Ｖｌ—　ｘ＋　ｙ，ｚ）ｄｚ。　３．给出形如ｚ＿ｆ《ｘ２＋　或ｚ＝ｆ（ｘ２，　曲面围成的闭区域　形如ｚ　ｘ２＋ｙ２）曲面围成的闭区域可以用柱坐标变换。一般的ｚ的最　高次项是一次，ｘ＇ｙ的最高次项是二次都可使用柱坐标变换。　形如　２）曲面围成的闭区域可以用球面坐标变换。一般Ｚ，Ｘ，Ｙ　的最高次项都是二次可使用球面坐标变换。　上面的两种坐标变换是固定的变换形式，可以代回给出的曲面方程　判断新的参数的范围。　例４计算ｊ　ｚｄｖ，其中ｎ是由曲面ｚ＝、／　及ｚ＝ｘ２＋ｙ２围成的　ｎ　闭区域。　分析先判断闭曲面的最大投影，令、／　［　一＝ｘｚ＋ｙ２，则有ｘ２＋ｙ２：１，　故闭区域在平面上的最大投影区域Ｄ＝（（ｘ，ｙ）Ｉｘｚ＋ｙ２≤１】，根据　ｙ２≤１得　出、　＝　［　≥ｚ≥ｘｚ＋ｙ２，而根据所给的曲面方程形式，可以使用柱坐标　变换，　ｆＸ＝ｐＣＯＳ　０≤ｐ＜＋∞　ｆ～　＝　＝　≥ｚ≥ｘ２＋ｙ２　令｛ｙ＝ｓｉｎ０　ｏ≤９≤２　，对于本题则有｛ｏ≤ｐ＜≤１　ｔｚ＝ｚ　—Ｏ０≤ｚ＜＋∞　ｌ０≤０≤２叮ｒ　解Ｊ　ｚａ　：』　』　』　‘ｚａｚ　ｄ　ａｏ　：ｚ竹　ｚｚ　ｊ。　ａ　盯［　手一譬】　＝詈．　例５计算　、／　：　ｄｖ，其中ｎ是由球面ｘ２＋ｙ２＋ｚ　－ｚ围成的闭　区域。　ｆｘ＝ｒｓｉｎｑｏｃｏｓＯ　Ｏ≤ｒ≤＋　分析本题可以用球面坐标｛ｙ＝ｒｓｉｎ‘Ｐｓｉｎｏ　ｏ≤‘Ｐ≤１ｒ　【ｚ：ｒｃｏｓＯ　０≤ｅ≤２１ｒ　则有ｒ２≤ｒｃ０ｓ（Ｐ　ｒ≤ｃ０ｓ‘ｐ，０≤ｒ≤ｃ０ｓ‘Ｐ　０≤‘Ｐ≤　解９、　ｄｖ：　９　勘ｎ　ｓｉｎ　：吾　例６计算　ｚｄｖ，其中０是由曲面Ｘ２＋　（ｚ—ａ）　≤ａ　ｘ２＋）ｒ２≤ｚ　围成的　闭区域。　分析本题显然可以使用球面坐标　带人曲面方程有　ａｒｃ０ｓ　。ｊ仨　ｆＯ≤ｒ￣＜２ａｃ０ｓ‘ｐ　１ｏ≤‘Ｐ≤｝　解ｊ　ｖ：ｆ　ｆ　ｆ■ｒｃｏ　ｉｎ　ｄｒｄｑ￣ｌＯ　－２霄　０“４ａ￣ｃｏｓ　ｓｉＰ＝　ａ　－２霄　ｓ　ｓ　ｎ‘ｐｄ‘Ｐ＝　以上例题均来自参考文献【１】，本文介绍在空间图像不好想象的情　况下，可以根据给出封闭曲面的函数形式，来划分积分区问，从而将三　重积分化为累次积分。　参考文献　［１］同济大学应用数学系主编．高等数学（五版）［Ｍ］．高教出版社　２００２．　（上接第１０９页）　解它是一个　型的不定式，运用洛必达法则，得　∞　ｌｉｍ　±　：ｌｉｍ一　：ｌｉｍ　±　：…．　一　ｘ　ｒ　ｌ＋ｘ　＋田Ｘ　如此反复下去，并不能解得结果。改用其它方法，得　ｒ　—一　ｌｉｒａ　：ｌｉｍ　：ｌ。　＋　Ｘ　ｒ—　ｌ　四、结束语　洛必达法则是求不定式极限的一种有效方法，但有时计算比较麻　烦，应及时化简（通过代数、三角变形、等价无穷小代替等），且最好能与　一ｌｌＯ一　其它极限的方法结合使用，以便简化运算。　参考文献　［１】复旦大学教学系陈传璋等编．《数学分析》（上册）第二版．北京：　高等教育出版社。１９８３．７．　［２］华东师范大学数学系编．《数学分析》（上册）第三版．北京：高等　教育出版社．２００１．６．　［３］刘玉琏编．《数学分析讲义》（上册）第四版．北京：高等教育出版　社．２００３．７．　［４］邓乐斌编．《数学分析的理论、方法与技巧》．武汉：华中科技大学　出版社．２００５．１２．

三重积分独家解法

三重积分独家解法

§重积分

重积分是定积分延伸，定积分是如图（1）所示，由上曲线和下曲线在定义域内所围成面积S；二重积分的已知条件是一平面区域作为二重积分的“定义域”，被积函数是两个空间曲面函数的差值，如 𝑥𝑦𝑑𝜃𝐷,其实，它的二重积分的原始形式为 [𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥 ]𝑑𝜃𝐷,即𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥 =xy。其中，f（x）和g（x）均为空间曲面的函数表达式。而如果把二重积分以定积分的形式表现则比较牵强： 𝑥𝑦𝑑𝜃𝐴𝐵，A与B的差值就是二重积分的定义区域，但是，A和B只是作者假设的虚拟值，实际并不存在，为了简洁地表达二重积分，引入了“ ”符号，这是二重积分的高度抽象化，单从这个符号是看不出二重积分的几何意义的。

§三重积分

三重积分是在体积的基础上的四维积分。定积分的定义域在一维数轴上（X）反映，积分函数为曲线，对应积分几何意义为面积；二重积分的定义域在二维数轴（X-Y）上反映，积分函数为曲面，对应几何意义为体积；三重积分的被积函数没有固定的意义，积分也就没有固定的意义，比如， 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝛺，被积函数为f(x)=x，当x表示密度时， 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝛺表示质量，当x表示单位粒子能量时， 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝛺表示内能…即：密度、单位粒子能量都是一种四维变量。这些变量是关于x、y、z的函数，我们暂设为h(x,y,z)。即 𝑕(𝑥,y,z)dxdydz𝛺 .以高等数学（第六版 下册 同济大学数学系编）P159页例1（计算三重积分 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝛺，其中Ω为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域）为例，闭区域Ω如图所示， 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝛺中的h(x,y,z)=x是x的一元一次函数，与y,z无关，我们采用微分思想，把三棱锥C-OAB分成若干份，则阴影部分的体积为dV=yzdx.阴影部分的三重积分为xyzdz（x为被积函数h(x,y,z)=x）.则所求重积分为 𝑥𝑦𝑧𝑑𝑥𝑥2𝑥1,但是y,z必须用x的函数关系式表示，即z=-x+1，y=1−𝑥2,三重积分 𝑥𝑦𝑧𝑑𝑥10= [𝑥∗ 1−𝑥2 ∗ −𝑥+1 ]𝑑𝑥10=14 𝑥−2𝑥2+𝑥3 𝑑𝑥10=148，所以，同样， 只是三重积分的高度抽象化的表达式，反映不出三重积分的几何意义。