2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷理科数学(2014年北京市高考理科数学)

2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)

数学(理科)

第一部分(选择题 共40分)

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合A＝{x|x2﹣2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝( ).

A．{0} B．{0，1}

C．{0，2} D．{0，1，2}

答案：C

解析：解x2﹣2x＝0，得x＝0，x＝2，故A＝{0，2}，所以A∩B＝{0，2}，故选C．

2.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ).

A．y＝√𝑥＋1 B．y＝(x﹣1)2

C．y＝2﹣x D．y＝log0.5(x＋1)

答案：A

解析：A项，y＝√𝑥＋1为(﹣1，＋∞)上的增函数，故在(0，＋∞)上递增;

B项，y＝(x﹣1)2在(﹣∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增;

C项，y＝2﹣x＝(12)𝑥为R上的减函数;

D项，y＝log0.5(x＋1)为(﹣1，＋∞)上的减函数.

故选A．

3.曲线{𝑥＝﹣1＋cos𝜃，𝑦＝2＋sin𝜃(θ为参数)的对称中心( ).

A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝﹣2x上

C．在直线y＝x﹣1上 D．在直线y＝x＋1上

答案：B

解析：由已知得{cos𝜃＝𝑥＋1，sin𝜃＝𝑦﹣2，

消参得(x＋1)2＋(y﹣2)2＝1.

所以其对称中心为(﹣1，2).

显然该点在直线y＝﹣2x上.故选B．

4.当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为( ). A．7

B．42

C．210

D．840

答案：C

解析：开始：m＝7，n＝3.

计算：k＝7，S＝1.

第一次循环，此时m﹣n＋1＝7﹣3＋1＝5，显然k<5不成立，所以S＝1×7＝7，k＝7﹣1＝6.

第二次循环，6<5不成立，所以S＝7×6＝42，k＝6﹣1＝5.

第三次循环，5<5不成立，所以S＝42×5＝210，k＝5﹣1＝4.

显然4<5成立，输出S的值，即输出210，故选C．

5.设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的( ).

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：D

解析：等比数列{an}为递增数列的充要条件为{𝑎1>0，𝑞>1或{𝑎1<0，0<𝑞<1.故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D．

6.若x，y满足{𝑥＋𝑦﹣2≥0，𝑘𝑥﹣𝑦＋2≥0，𝑦≥0，且z＝y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为( ).

A．2 B．﹣2 C．12 D．﹣12

答案：D

解析：

如图，作出{𝑥＋𝑦﹣2≥0，𝑦≥0所表示的平面区域，作出目标函数取得最小值﹣4时对应的直线y﹣x＝﹣4，即x﹣y﹣4＝0.显然z的几何意义为目标函数对应直线x﹣y＋z＝0在x轴上的截距的相反数，故该直线与x轴的交点(4，0)必为可行域的顶点，又kx﹣y＋2＝0恒过点(0，2)，故k＝2﹣00﹣4＝﹣12.故选D．

7.在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(1，1，√2).若S1，S2，S3分别是三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则( ).

A．S1＝S2＝S3 B．S2＝S1且S2≠S3

C．S3＝S1且S3≠S2 D．S3＝S2且S3≠S1

答案：D

解析：三棱锥的各顶点在xOy坐标平面上的正投影分别为A1(2，0，0)，B1(2，2，0)，C1(0，2，0)，D1(1，1，0).显然D1点为A1C1的中点，如图(1)，正投影为Rt△A1B1C1，其面积S1＝12×2×2＝2. 三棱锥的各顶点在yOz坐标平面上的正投影分别为A2(0，0，0)，B2(0，2，0)，C2(0，2，0)，D2(0，1，√2).显然B2，C2重合，如图(2)，正投影为△A2B2D2，其面积S2＝12×2×√2＝√2.

三棱锥的各顶点在zOx坐标平面上的正投影分别为A3(2，0，0)，B3(2，0，0)，C3(0，0，0)，D3(1，0，√2)，由图(3)可知，正投影为△A3D3C3，其面积S3＝12×2×√2＝√2.

综上，S2＝S3，S3≠S1.故选D．

图(1) 图(2) 图(3)

8.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( ).

A．2人 B．3人 C．4人 D．5人

答案：B

解析：用A，B，C分别表示优秀、及格和不及格.显然，语文成绩得A的学生最多只有一人，语文成绩得B的也最多只有1人，得C的也最多只有1人，所以这组学生的成绩为(AC)，(BB)，(CA)满足条件，故学生最多为3人.

第二部分(非选择题 共110分)

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

9.复数(1＋i1﹣i)2＝__________.

答案：﹣1

解析：1＋i1﹣i＝(1＋i)2(1﹣i)(1＋i)＝2i2＝i，所以(1＋i1﹣i)2＝i2＝﹣1.

10.已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝__________.

答案：√5

解析：|b|＝√22＋12＝√5，由λa＋b＝0，得b＝﹣λa，故|b|＝|﹣λa|＝|λ||a|，所以|λ|＝|𝑏||𝑎|＝√51＝√5.

11.设双曲线C经过点(2，2)，且与𝑦24﹣x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为__________;渐近线方程为__________.

答案：𝑥23−𝑦212＝1 y＝±2x

解析：双曲线𝑦24﹣x2＝1的渐近线方程为y＝±2x.

设与双曲线𝑦24﹣x2＝1有共同渐近线的方程为𝑦24﹣x2＝λ，

又(2，2)在双曲线上，故224﹣22＝λ，解得λ＝﹣3.

故所求双曲线方程为𝑦24﹣x2＝﹣3，即𝑥23−𝑦212＝1.

所求双曲线的渐近线方程为y＝±2x. 12.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝__________时，{an}的前n项和最大.

答案：8

解析：由等差数列的性质可得a7＋a8＋a9＝3a8>0，即a8>0;而a7＋a10＝a8＋a9<0，故a9<0.所以数列{an}的前8项和最大.

13.把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有__________种.

答案：36

解析：产品A，B相邻时，不同的摆法有A22A44＝48种.而A，B相邻，A，C也相邻时的摆法为A在中间，C，B在A的两侧，不同的摆法共有A22A33＝12(种).

故产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻的不同摆法有48﹣12＝36(种).

14.设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0).若f(x)在区间[π6，π2]上具有单调性，且f(π2)＝f(2π3)＝﹣f(π6)，则f(x)的最小正周期为__________.

答案：π

解析：由f(x)在区间[π6，π2]上具有单调性，且f(π2)＝﹣f(π6)知，f(x)有对称中心(π3，0)，由f(π2)＝f(23π)知f(x)有对称轴x＝12(π2＋23π)＝712π.记f(x)的最小正周期为T，则12T≥π2−π6，即T≥23π.故712π﹣π3＝π4＝𝑇4，解得T＝π.

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15.(本小题13分)如图，在△ABC中，∠B＝π3，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝17.

(1)求sin∠BAD;

(2)求BD，AC的长.

分析：(1)先利用三角形中角之间的关系可得∠BAD＝∠ADC﹣∠B，然后即可利用两角差的正弦公式求解;(2)在△ABD中，根据正弦定理，结合(1)即可求得BD，然后在△ABC中，直接利用余弦定理求AC即可.

解：(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝17，

所以sin∠ADC＝4√37.

所以sin∠BAD＝sin(∠ADC﹣∠B)

＝sin∠ADCcosB﹣cos∠ADCsinB

＝4√37×12−17×√32＝3√314.

(2)在△ABD中，由正弦定理得

BD＝𝐴𝐵·sin∠𝐵𝐴𝐷sin∠𝐴𝐷𝐵＝8×3√3144√37＝3. 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2﹣2AB·BC·cosB＝82＋52﹣2×8×5×12＝49.

所以AC＝7.

16.(本小题13分)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：

场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数

主场1 22 12 客场1 18

8

主场2 15 12 客场2 13 12

主场3 12 8 客场3 21 7

主场4 23 8 客场4 18

15

主场5 24 20 客场5 25

12

(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;

(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率;

(3)记𝑥为表中10个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数.比较EX与𝑥的大小.(只需写出结论)

分析：(1)先根据统计表格求出投篮命中率，确定投篮命中率超过0.6的场数，然后除以总场数10即可得所求;(2)先根据统计表格分别求出主场、客场的投篮命中率超过0.6的概率，然后根据主场、客场将所求事件分为两个互斥事件，即可利用相互独立事件同时成立的概率求解;(3)根据数学期望的计算公式即可得到EX与𝑥的大小关系.

解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.

所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.

(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”，则C＝A𝐵∪𝐴B，A，B独立.

根据投篮统计数据，P(A)＝35，P(B)＝25.

P(C)＝P(A𝐵)＋P(𝐴B)＝35×35＋25×25＝1325.

所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.

(3)EX＝𝑥.

17.(本小题14分)如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点.在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.