数学序言课

小学数学教学案例集序言篇一：小学数学经典教学案例集小学数学经典教学案例集1、数学是什么？相信很多数学老师都这样问过自己：数学究竟是什么？作为一个数学老师，如果这个问题都回答不了，好象有点说不过去。

但是谁又能真正说清楚数学是什么呢？美国数学家柯朗在他的《数学是什么》的书中说道：“……对于学者，对于普通人来说，更多的是依靠自身的数学经验，而不是哲学，才能回答这个问题：数学是什么？”的确，我们很难给数学下一个准确的定义，就让我们在对一些案例的思考中去慢慢地揣摩数学的内涵吧。

一、是客观，还是主观？[案例1]“含有未知数的式子叫方程。

”判断错误，应把“式子”改为“等式”才对，我们一直这样教学生、考学生。

可这样改，就是绝对真理了吗？我们从未思考过。

张奠宙先生曾在《小学数学教师》上撰文说：“其实，含有未知数的等式叫方程，也并非是方程的严格定义，它仅是一种朴素的描写，并没有明确的外延，是经不起推敲的。

首先，改成?等式?二字也未必准确，实际上应是?条件等式?才对。

因为含有未知数的恒等式不是我们要研究的方程，例如，x－x=0，对一切x都对，何必解呢？反过来，把解?含有未知数的不等式?，称之为?解不等式方程?，也可以说得通，无非是大家约定俗成而已。

”看了这段话，我们有何感想？[案例2]“圆周长的一半等于半圆的周长”。

判断错误。

可是，究竟什么是半圆呢？如果说圆是一条定点到定长的封闭曲线，那半圆不就是这曲线的一半，这不正好是圆周长的一半吗？把直径纳入进去形成半圆，不就承认圆是一个块而不是线了吗？有一天，我突然醒悟并为此感到兴奋，并和老师们交流，老师们也大呼其对。

可是过几天，我还是不放心地去翻了《数学大辞典》，它明确告诉我“半圆就是半条弧和直径所组成的图形”。

我空欢喜了一场。

这个知识点其实是次要的，关键是我们花了那么长时间，去让学生搞懂连自己也不懂的东西，其价值何在呢？[案例3]“0”一直是整数而非自然数，为这，老师和学生们都没少费脑筋，可现在“0”也加入了自然数的行列；“5个3是多少？”也可以写成“5×3”了；“把6个桃平均分成3份”，操作时，直接拿2个放在一个盘子里，也不说你是科学性错误了。

立体几何前言课教课设计设计一、充足认识前言课的重要性，是上好立体几何前言课的前提。

立体几何前言课以课本中的“前言”为主要教课内容，让学生对峙体几何这门功课有一个大略的整体性认识，在学习详细内容以前有一个踊跃的思想准备。

经过前言课的教课，学生理解了立体几何研究的内容及学习立体几何的目的，就能为此后的学习打下一个优秀的基础。

但是有的老师对前言课却不够重视，把已经十分抽象归纳的“前言”进一步抽象归纳，开课后草草几句便开始了“平面”的教课。

教师急急急忙，学生莫名其妙，极易给后继学习带来悲观影响。

因而可知，教师在充足认识前言课重要性的前提下，仔细组织教课，努力达成前言课的教课任务，对提升立体几何课的教课效益是至关重要的。

二、清除心理阻碍，激发学习兴趣，是立体几何前言课的主要任务。

部分学生以为立体几何比平面几何难学，存在恐惧心理；多半学生对能不可以学好这门功课信心不足，对如何学习这门功课心中无数。

这类悲观心理状态必定会给学习造成悲观影响。

所以在前言课教课中，应把清除上述心理阻碍，激发学生学习立体几何的兴趣作为第一任务。

1.尽量引用实例。

“前言”中指出，“建筑厂房、制造机器、修建堤坝等，都需要进一步研究空间图形的问题。

”为了使学生真实认识到立体几何是一门应用宽泛的基础学科，我们在前言课上展示学校教课楼的建筑图纸，学生争相观看，兴趣盎然，并能辨识出：“这就是我们的教课楼！”教者由此指出：“没有立体几何知识，这张图纸是画不出来的。

”“同学们能从图纸上看出是我们的教课楼，这说明大家已拥有必定的空间想象能力，这正是学习立体几何的基础。

有这样好的基础，何愁学不好它？”听到这些鼓舞，学生常露出自信的浅笑。

2.巧用教具、模型。

要修业生自制简单几何体的模型这样在前言课上就能够让学生观看前届学生自制的各种模型。

那些自制的模型，有纸质的，有木质的，实用铅丝做的，也实用黏土做的，看颜色，五彩斑斓，望形状，新奇新奇。

学生看了这些精巧的并留有制作者姓名的模型后，赞美不已，大有“摩拳擦掌”之势。

《线性代数》课程序言部分教学要点分析第一篇：《线性代数》课程序言部分教学要点分析《线性代数》课程序言部分教学要点分析摘要：对大多数理工科专业而言，线性代数是一门十分重要的课程。

线性代数的序言部分，主要是对线性代数课程进行宏观的介绍，并且引入二阶和三阶行列式的概念。

教学中应该调节好学生的心理状态，注重定义以及之间的联系，突出重点进行讲解，以确保这部分内容的教学效果。

关键词：行列式线性代数序言学习心理《线性代数》是很多理工科专业的一门基础课程，是学习后续专业课程的基础课。

同时，《线性代数》还是考研的必考科目。

因此，搞好《线性代数》的教学工作具有重要的意义[1]。

《线性代数》的序言部分是带领同学们进入线性代数殿堂的第一课，是学生们与线性代数的初次相识，“第一印象”十分重要。

如果能够让学生们对线性代数的研究内容产生兴趣，充满信心，那么日后的教学过程都将变得简单。

反过来说，如果学生们在听这部分内容的过程中不能对线性代数的研究对象进行透彻完整的了解，而只是被动地听到了教师对行列式、矩阵、向量组、方程组等等抽象的数学名词的乃至彼此之间关系的介绍，他们很可能就会对线性代数望而却步，日后再想让他们充满信心和兴趣可能相对就比较难了。

总而言之，线性代数序言部分的讲解也是教学中很重要的一个环节，有必要对其教学要点进行分析。

一、教学内容总结任何一门课程都有序言部分，《线性代数》课程的序言部分主要也是作为一个总开端，对《线性代数》进行介绍，导入后面的核心内容。

从教学内容上看，序言部分包括两大方面：第一部分，主要是带领学生们认识《线性代数》这门课程，知道《线性代数》在整个专业培养计划中所处的地位，了解线性代数的研究对象与课程特色，掌握学习线性代数的方法；第二部分，主要是通过方程与行列式的关系，引入二阶和三阶行列式的定义、计算及简单的应用，为后续推广到n阶行列式的相关内容打好基础。

二、学生心态把握大学生作为经过全国高考统一考试选拔出来的优秀人才，事实上，他们当中的大多数都是精力充沛，积极乐观，求知欲旺盛，此处主要分析学生中可能影响学习的负面心理，旨在有的放矢地促进教学效果。

初中数学校本教材————《生活与数学》序言一、把握数学的生活性——“使教学有生活味”《数学课程标准》中指出：“数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息做出恰当的选择和判断，进而解决问题，直接为社会创造价值”。

这说明数学来源于社会，同时也反作用于社会，社会生活与数学关系密切，它已经渗透到生活的每个方面，我们的衣食住行都离不开它。

现代数学论认为：数学源于生活，又运用于生活，生活中充满数学，数学教育寓于生活实际。

有意识地引导学生沟通生活中的具体问题与有关数学问题的联系，借助学生熟悉的生活实际中的具体事例，激发学生学习数学的求知欲，帮助学生更好的理解和掌握数学基础知识，并运用学到的数学知识去解决实际生活中的数学问题。

二、把握数学的美育性——“使教学有韵味”数学家克莱因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。

音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。

” 美作为现实的事物和现象，物质产品和精神产品、艺术作品等属性总和，具有：匀称性、比例性、和谐性、色彩变幻、鲜明性和新颖性。

作为精神产品的数学就具有上述美的特点。

简练、精确是数学的美。

数学的基本定理说法简约，却又涵盖真理，让人阅读简便却又印象深刻。

数学语言是如此慎重的、有意的而且经常是精心设计的，凭借数学语言的严密性和简洁性，我们就可以表达和研究数学思想，这种简洁性有助于思维的效率。

数学很讲究它的逻辑美。

数学的应用是被人们广泛认同的，可学习数学还能训练人的逻辑思维能力。

尤其是几何的证明讲究前因后果，每一步都要前后呼应，抽象的数学也显示它模糊的美。

抽象给我们想象的余地，让我们思维海阔天空，给学生留有了思索和创新的空间。

抽象的数学不正展示它的魅力吗？数学上有很多知识是和对称有关的。

对称给人协调，平稳的感觉，像圆，正方体等，它们的形式是如此的匀称优美。

数学美欣赏(内容选自《数学美拾趣》、《数学聊斋》和《直观几何》)课程简介了解数学的趣味性，初步懂得数学在理论和实际中的应用，欣赏数学的绚丽多彩的艺术世界.学习要求1.坚持出勤. 不定期抽查点名. 凡不来上课者，不论原因，一律按缺勤论. 凡不能保证出勤者, 不要选修本课程.出勤情况作为平时成绩. 期末总评成绩包括平时成绩和期末卷面成绩. 但平时成绩和期末卷面成绩在总评成绩中所占的比例不公布.2.用U盘复制电子讲稿并打印第1——5讲.3.课后认真阅读讲稿，做思考题(不必笔答).考试要求1. 本讲稿第1——5讲列入考试范围，第6——11讲不列入考试范围.没有期中考试，期末进行开卷．．考试, 考试时请携带本讲稿第1——5讲.2. 考题中没有任何计算题和证明题，也没有填空题和选择题, 题型均为问答题，与每一讲后的思考题类似.第1讲第1章数学的简洁性序言著名科学家伽利略说过：“数学是上帝用来书写宇宙的文字”.简洁本身就是一种美，而数学的首要特点在于它的简洁.数学家莫德尔说：在数学美的各个属性中，首先要推崇的大概是简单性了.自然界原本就是简洁的：光是沿直线方向传播的——这是光传播的最捷路线.植物的叶序排布是植物叶子通风、采光最佳的布局.某些攀缘植物如藤类，它们绕着攀依物螺旋式的向上生长，它们所选的螺线形状对于植物上攀路径来讲是最节省的.大雁迁徙时排成的人字形，一边与其飞行方向夹角是54448''' ，从空气动力学角度看，这个角度对于大雁队伍飞行是最佳的，即阻力最小(顺便一提：金刚石晶体中也蕴含这种角度).，这种比值的分支导流系统经流体动力学研究表明，它在输导液体时能量消耗最少.生物学家和数学家们(如著名科学家开普勒、数学家列厄木、柯尼希等)在研究蜂房构造时发现：在体积一定的条件下，蜂房的构造是最省材料的.这些最佳、最好、最省、……的事实，来自生物的进化与自然选择，然而它同时展现了自然界的简洁，而且也展现了自然界的和谐. 宇宙万物如此，数学，它作为用来描述宇宙的 文字和工具也应当是简洁与和谐的.诗人但丁曾赞美道：“圆是最美的图形”．太阳是圆的、满月是圆的、水珠看上去(投影)是圆的、……，圆的线条明快、简练、对称.近代数学研究还发现圆的等周极值性质：在周长给定的封闭图形中，圆所围的面积最大. 无论是古人，还是今人，人们对圆有着特殊亲切的情感，都因为圆的简洁美.数学中人们对于简洁的追求是永无止境的：建立公理体系时，人们试图找出最少的几条(抛弃任何多余的赘物)；对命题的证明，人们力求严谨、简练(因而人们对某些命题的证明在不断地改进)；对计算的方法，人们要求尽量便捷、明快(因而人们不断地在探索计算方法的创新)，……，数学拒绝繁冗.正如牛顿所说：数学家不但更容易接受漂亮的结果，不喜欢丑陋的结论，而且他们也非常推崇优美与雅致的证明，而不喜欢笨拙与繁复的推理.数学大师欧拉曾研究过天平砝码最优(少)配置问题，并且证明了：若有1，2，22，32，…，2n 克的砝码，只允许其放在天平的一端，利用它们可称出1——()1122122221n n n +--=+++++ 之间的任何整数克重物体的重量.例如，当3n =时，我们有4个砝码：1克，2克，22克和32克，即1克，2克，4克和8克. 利用它们，我们可称出1克——3121+-克(即15克)之间的任何整数克重物体的重量, 即可称出1克，2克, 3克, …, 15克的重量. 这由下表可以明白.这个问题其实与数的二进制有关. 进而，欧拉还证明了(它与数的三进制有关)：有1，3，23，33，…，3n 克重的砝码，允许其放在天平两端， 利用它们可以称出1----()11231333312n n n +--=+++++ 之间任何整数克重物体的重量. 例如，当2n =时，我们有3个砝码：1克，3克和23克，即1克，3克和9克. 利用它们，我们可称出1克——21312+-克(即13克)之间的任何整数克重物体的重量, 即可称出1克, 2克, 3克, …, 13克的重量. 这由下表可以明白.以上两个事实是“以少应付多”的典范，这也是数学简洁性使然. 下面的所谓“省刻度尺问题”, 尽管人们尚未对此得出一般结论，但目前仅有的结果也足以使人倍感兴趣：一根6cm 长的尺子，只须刻上两个刻度(在1cm 和4cm 处)，就可量出1cm ——6cm 之间任何整数厘米长的物体长，即可量出1cm ，2cm ，3cm ，4cm ，5cm 和6cm 的长度(下简称“完全度量”).若用a b →表示从a 量到b 的话，那么具体度量如下：1(01→)，2(46→)，3(14→)，4(04→)，5(16→)，6(06→).一根13cm 的尺子，只须在1cm ，4cm ，5cm 和11cm 四处刻上刻度，便可完成1——13cm的完全度量. 具体度量如下：1(01→), 2(1113→), 3(14→), 4(04→), 5(05→), 6(511→), 7(411→), 8(513→),9(413→), 10(111→), 11(011→), 12(113→), 13(013→).对于22cm 的尺子，只须刻上六个刻度，即在：1cm ，2cm ，3cm ，8cm ，13cm 和18cm ；或者1cm ，4cm ，5cm ，12cm ，14cm 和20cm 处刻上刻度，可完成1——22cm 的完全度量.对于23cm 的尺子来讲，也只须六个刻度：1cm ，4cm ，10cm ，16cm ，18cm 和21cm ， 便可完成1——23cm 的完全度量.一根36cm 的尺子，只须在1cm ，3cm ，6cm ，13cm ，20cm ，27cm ，31cm 和35cm 处刻上八个刻度，便可完成1cm ——36cm 的完全度量.对于40cm 的尺子， 刻上九个刻度：1cm ，2cm ，3cm ，4cm ，10cm ，17cm ，24cm ，29cm 和35cm ，即可完成1——40cm 的完全度量.这类问题与应用数学中所谓最优化方法有关，这门学科的核心是最省、最好(对效益讲是最大).用“少”去表现“多”，或者求极大、极小等，均是数学简洁性的另类表现. 比如“植树问题”. 英国数学家、物理学家牛顿曾经很喜欢下面一类题目：9棵树栽9行，每行栽3棵，如何栽? 乍看此题似乎无解，其实不然，看了左下图(图中黑点表示树的位置，下同)，你会恍然大悟！牛顿还发现：9棵树每行栽3棵，可栽行数的最大值不是9，而是10，见右上图. 左下图给出10棵树，栽10行，每行栽3棵的栽法.其实，10棵树，每行栽3棵，可栽的最多行数也不是10，而是12，见右上图.英国数学家、逻辑学家道奇生在其童话名著《艾丽丝漫游仙境》中也提出下面一道植树问题：10棵树，栽成5行，每行栽4棵，如何栽? 此题答案据说有300种之多，下面诸图给出了其中的几种.十九世纪末，英国的数学游戏大师杜登尼在其所著《520个趣味数学难题》中也提出了下面的问题：16棵树，栽成15行，每行栽4棵，如何栽? 杜登尼的答案见左下图.美国趣味数学大师山姆·洛伊德曾花费大量精力研究“20棵树，每行栽4棵，至多可栽多少行”，他给出了可栽18行的答案，见右下图.几年前人们借助于电子计算机给出了上述问题可栽20行的最佳方案，见左下图.稍后曾见报载，国内有人给出可栽21行的方案(右上图)，然而严格的验证工作恐非易事——这些点是否真的共线? 既便结论无误，但它是否是可栽的最多行数，人们尚不得而知.在英国数学家薛尔维斯特在临终前几年(1893年)提出了一个貌似简单的问题：对于在平面上不全共线的任意n个点，总可以找到一条直线，使其仅过其中的两个点.直到1933年，人们才找到一个繁琐的证明. 此后，1944年、1948年又先后有人给出了证明. 1980年前后，《美国科学新闻》杂志重提旧事时，又一次向人们介绍了薛尔维斯特问题和凯利于1948年给出的证明.我们很容易体会到：一个定理(或习题)证明(或解法)的简化，将认为是做了一件漂亮的工作，即它是美妙的. 由于简洁，数学语言(包括图形)不仅能描述世界上的万物，而且也能为世界上所有文明社会所接受和理解，甚至还将成为与其它星球上的居民(如果存在的话)交流思想的工具.在为美国发射的在茫茫太空中去寻觅地球外文明的“先驱者号飞船”(探测器)征集所携带的礼物时，我国已故著名数学家华罗庚曾建议带上数学中用以表示勾股定理(毕达哥拉斯定理)的简单、明快的数形图，它似乎应为宇宙所有文明生物所理解.225= 217数学中的简洁性的例子是不胜枚举的：比如三角形，尽管它有千姿百态，但人们却可用12S ah =(a 为底边长，h 为该边上高) 或海伦公式S =为三角形半周长)去表达所有三角形的面积.数学的简洁性系指其抽象性、概括性和统一性. 正是因为数学具有抽象性和统一性，因而其形式应当是简单的. 实现数学的简单性(抽象、统一)的重要手段是使用数学符号.附录 有趣的数制十进制数54321809306810000001000091000310001061810010910310010610.=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2101234562.4083510610210410010810310.----=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯特点: 十进制数由十个数字0 1 2 3 4 5 6 7 8 9，，，，，，，，，组成. 二进制数43210110111212021212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯.321012341110.11011212120212120212----=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯,特点: 二进制数由两个数字0和1组成. 三进制数4321012312101.2211323130313232313---=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯.特点: 三进制数由两个数字0,1和2组成.前面讲过, 利用四个砝码: 1g , 2g , 4g , 8g , 可以称出1g ——15g 的整数克重量. 把重量用二进制表示, 可以得到相应的砝码组合方式.用四个砝码1g , 2g , 4g , 8g 可以称出1g ——15g 的整数克重量前面还讲过, 利用三个砝码: 1g , 3g , 9g , 可以称出1g ——13g 的整数克重量(允许砝码放在天平的两个托盘中). 把重量用三进制表示, 可以得到相应的砝码组合方式. 下表中加下标3的数(如3101)表示三进制数, 不加下标3的数为十进制数.用三个砝码1g , 3g , 9g 可以称出1g ——13g 的整数克重量思考题1.举例说明怎样理解数学的简洁性?2.用自己的语言谈一谈你对数学的简洁性的认识.1.1 数学符号人总想给客观事物赋予某种意义和价值，利用符号认识新事物，研究新问题，从而使客观世界秩序化，这便创造了科学、技术、文化、艺术、……. 符号就是某种事物的代号，人们总是探索用简单的记号去表现复杂的事物，符号也正是这样产生的. 文字是表达事物的符号，一个语种就是一个“符号系统”. 这些符号的组合便是语言. 人们试图用“精密”的方法研究艺术，这在很大程度上依靠符号.符号对于数学的发展来讲更是极为重要的，它可使人们摆脱数学自身的抽象与约束，集中精力于主要环节，这在事实上增加了人们的思维能力. 没有符号去表示数及其运算，数学的发展是不可想象的.数学语言是困难的，但又是永恒的(纽曼语). 数是数学乃至科学的语言，符号则是记录、表达这些语言的文字. 正如没有文字，语言也难以发展一样，几乎每一个数学分支都是靠一种符号语言而生存，数学符号是贯穿于数学全部的支柱.古代数学的漫长历程, 今日数学的飞速发展，十七世纪、十八世纪欧洲数学的兴起, 我国几千年数学发展进程的缓慢，这些在某种程度上都归咎于数学符号的运用得当与否. 简练、方便的数学符号对于书写、运算、推理来讲，是何等重要! 反之，没有符号或符号不恰当、不简练，势必影响到数学的推理和演算. 然而，数学符号的产生、使用和流传却经历了一个十分漫长的过程. 在这个过程中，始终贯穿着人们对于自然、和谐与美的追求.古埃及和我国一样，是世界上四大文明古国之一. 早在四千多年以前，埃及人已懂得了数学，在数的计算方面还会使用分数，不过, 他们用的是“单位分数”(分子是1的分数). 此外，他们还能计算直线形和圆的面积. 他们知道了圆周率约为3.16，同时也懂得了棱台和球的体积计算等. 可是，他们却是用下面的符号记数的：这样书写和运算起来都不方便，比如写数2314，就要用符号表示. 后来他们把符号作了简化而成为古代巴比伦人(巴比伦即当今希腊一带地方)计数使用的是六十进制，当然它也有其优点，因为60有约数2，3，4，5，6，10，12，15，30，60等，这样，在计算分数时会带来某种方便(现在时间上的小时、分、秒制及角度制，仍是六十进制). 巴比伦人已经研究了二次方程和某些三次方程的解法，他们在公元前2000年就开始将楔形线条组成符号(称为楔形文字)，且将它们刻在泥板上，然后放到烈日下晒干以备保存. 同样，他们也是用楔形文字来表示数，无论是用来记录还是运算，都相对来说方便了许多.我国在纸张没有发明以前，已经开始用算筹进行记数和运算了. 算筹是指计算时使用的小竹棍(或木棍、骨棍)，这也是世界上最早的计算工具. 用算筹表示数的方法是：记数时, 个位用纵式，其余位纵横相间，故有“一纵十横，百立千僵”之说. 数字中有0时，将其位置空出，比如86021可表示为：在甲骨文中，数字是用下面的符号表示的(形象、自如)：阿拉伯数字未流行之前，我国商业上还通用所谓“苏州码”的记数方法(方便、明快)：它在计数和运算上已带来较大方便．在计数上欧洲人开始使用的是罗马数字：阿拉伯数字据说是印度人发明的，后传入阿拉伯国家，经阿拉伯人改进、使用，因其简便性而传遍整个世界，成为通用的记数符号.我们再来看看方程用符号表示的历史(代数学的产生与方程研究关系甚密) . 在埃及出土的3600年前的莱因特纸草上有下面一串符号：它既不是什么绘画艺术，也不是什么装饰图案，它表达的是一个代数方程式，用今天的符号表示，即211137327x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭. 宋、元时期我国也开始了相当于现代方程论的研究，当时记数仍使用算筹. 在那时 出现的数学著作中，就是用下图中的记号来表示二次三项式2412136x x -+的, 其中，x 的系数旁边注以“元”字，常数项注以“太”字，筹上画斜线表示“负数”．到了十六世纪，数学家卡尔达诺、韦达等人对方程符号有了改进. 直到笛卡儿才第一个提倡用x 、y 和z 表示未知数，他曾用926240xxx xx x --+--∝表示32926240x x x -+-=, 这与现在的方程写法几乎一致.其实，数学表达式的演变正是人们追求数学的和谐、简洁、方便和明晰的审美过程. 笛卡儿的符号已接近现代通用的记号, 直到1693年, 沃利斯创造了现在人们仍在使用的记号：4320x bx cx dx e ++++=．韦达是第一个引进字母系数的人，但他仍用希腊人的齐次原则、拉丁记号plano 和solido 分别表示平面数和立体数；用aequtur 表示等于，in 表示乘号，quad 和cub 分别表示平方和立方，这显然不简便. 笛卡儿的符号已有较大程度的简化.我们还想指出一点：数及其运算只有用符号去表示，才能更加确切和明了. 随着数学的发展，随着人们对于数的认识的深化，用原有符号去表示新的概念，有时竟会感到无能为力(没有根号如何表示某些无理数?)，这需要创新.圆周率(圆的周长与直径的比)是一个常数，但它又是无限不循环小数. 1737年欧拉首先倡导用希腊字母π来表示它(早在1600年英国数学家奥特雷德曾用π作为圆周长的符号)，且通用于全世界.用e 表示特殊的无理常数(也是超越数)——欧拉常数1lim 1 2.718281828459045nn n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭的也是欧拉. 我们知道，要具体写出圆周率或欧拉常数，这是根本不可能的(它们无限且不循环)，然而用数学符号却可精确地表示它们( 1.41421356= ，达一样).i 表示，还是数学家欧拉于1777年首创的(这也使我们想到：欧拉的成就与他对数学符号的创造不无关系). 在奇妙的等式10i e π+=中，所出现的五个数中的三个符号都是出自数学大师欧拉之手!从上面的例子我们可以看到：数学符号的重要在于它有无限的力量和手段来协助直觉，把社会和自然乃至宇宙中的数学关系联系起来，去解答一些已知或未知的问题，去创造更深、更新的思维形式.说到数学符号, 我们当然还不应忘记图形. 点、线、面、体的产生正是人们对客观事物的抽象和概括，欧几里得几何、非欧几何、解析几何正是研究这些图形的分支. 除此之外，还有许多精彩的例子. 首先我们会想到“哥尼斯堡七桥问题”.布勒格尔河流经哥尼斯堡市区，河中有两个河心岛，它们之间以及它们与河岸之间共有七座桥连接. 当地居民曾被一个问题搞得百思不得其解，这个问题是：你能否无遗漏又不重复地走遍七座桥而回到出发地?人们在不停地走着、试着，却无一人成功.数学大师欧拉接触此问题后，他巧妙地用数学手段将问题转化、化简，并成功地解决了这个难题. 首先，他将问题抽象成图形：用点代表河岸和小岛，用线代表桥(注意上面两个图中的A，B，C，D的对应)，于是得到右上图这个简单的图形，同时问题相应地改为：能否一笔画出这个图形?为了解决这个问题，我们首先明确：一笔画就是从图形上某点出发，笔不离开纸，并且每条线都只画一次不重复.其次，我们定义：若从图中某点出发的线的条数是偶数，则称该点为偶点; 若从图中某点出发的线的条数是奇数，则称该点为奇点.在左图中，从每一点出发都有两条线. 因此，这四个点都是偶点. 在右图中有4个点，从③、④两点出发的线有2条，故③、④是偶点；从①、②两点出发的线有3条，故这两个点是奇点.一个图形能否一笔画成，关键在于图中的奇点的个数. 欧拉发现了一个图形可以一笔画成的判定准则：奇点在一笔画中只能作为起点或终点. 在上述哥尼斯堡七桥问题中，所有的点都是奇点，因此，要想一笔画出下图是不可能的，也就是说，要想不重复地走过哥尼斯堡的七座桥，那是不可能的.欧拉的这项研究导致了拓扑学这门数学分支的诞生(在很大程度上讲，这也促进了图论这门学科的创立).例下面的图形能一笔画成吗?答在第2图中，E点是偶点，其它点是奇点，所以第2图不能一笔画成. 第3图可以一笔画成:很难想象，如果欧拉不是运用了图形符号而是用河、桥去探讨这个问题，结果将会是怎样? 那样的话，解决问题的难度要变得很大，更谈不上新的数学分支的诞生.运用类似的方法，欧拉还证明了著名的关于多面体的顶点数V、棱数E和面数F之间的关系式——欧拉公式：由此人们发现了正多面体仅有五种：正四面体、正六面体(立方体)、正八面体、正十二面体和正二十面体.关于欧拉公式，我们可以用四面体和六面体来验证.六面体六人相识问题：在任何6个人中, 必可从中找出3个人，使得他们要么彼此都相识，要么彼此都不相识.把这个抽象的问题转化成“点”与“染色直线”，从而巧妙地解答它，这不能不说是符号的一大功劳(要知道, 6人之间的相互关系的可能情况有26152232768C==种).把六个人用点A、B、C、D、E和F表示. 若两个人相识，则用红线连接相应的点，若两人不相识，则用黑线连接相应的点. 点A与B、C、D、E和F的连线(5条)中，必有三条线的颜色相同, 不妨设AB、AC和AD为红色.再考虑B、C、D三点间的连线. 若它们全为黑色，则B、C、D三点为所求(左上图，它们代表的三个人彼此都不相识)；若三点间的连线至少有一条为红色，设它为BC，这时A、B、C三点为所求(右上图，它们代表的三个人彼此都相识).我们还可以有进一步的结论：上述(彼此都相识或都不相识的)“三人组”在六个人中至少存在两组(证明见本节末附录).顺便讲一句：若要求彼此相识或不相识的人数是4，则总人数要增至18；若要求彼此相识或不相识的人数是5(这时有20010种组合方式)，则总人数要增至43人——49人之间(具体人数至今不详)；若要求彼此相识或不相识的人数是6，则总人数要增至102——165之间，确定它们是人们目前尚不可及的事.上面的事实，再次证明了数学符号的威力. 没有它, 至少问题的叙述会变得复杂而困难，或者根本无法表达清楚.世界原本是简洁的, 数学也是.没有数学语言(符号)的帮助，许多科学、技术的发展会变得迟缓，甚至停滞，这决非耸人听闻.我们说过：数、字母、代数式是符号，图同样也是符号，它们(数与形)之间的彼此借鉴与相互的通融，使得数学符号被赋予新意且更具魅力和美感. 为了更好地研究数学，人们必须创造且使用数学符号.如今，我们简直难以想象：如果没有现今的数学符号，数学乃至整个科学的面貌将会是何种模样!思考题1.数学符号在数学发展的过程中有何重要作用?2.举例说明, 在数学研究中，恰当运用数学符号可以起到简化问题的作用.附录证明: 上述(彼此都相识或都不相识的)“三人组”在六个人中至少存在两组.证明为证该结论, 我们注意到, 在本节的证明中, 我们实际上已证了下列命题若从某点向其余三点所引线段同色, 则在上述四点中, 必有某三点, 使得以其为顶点的三角形的三边同色(为方便, 以下称三边同色的三角形为同色三角形).只需考虑下列两图所对应的情形.在左图中．．．．, 若BE、BF同为红色，则在A、B、E、F中，可产生同色三角形(上述命题), 且它异于BCD∆. 所以结论成立. 若BE、BF同为黑色，则在B、D、E、F中，也可产生同色三角形, 且它异于BCD∆. 所以结论仍真. 若BE、BF一红一黑, 不妨设BE为红, BF为黑.设CF 为红(否则, 有黑BCF BCD ∆≠∆, 得证), AE 为黑(否则, 有红ABE BCD ∆≠∆, 得证),DF 为红(否则, 有黑BDF BCD ∆≠∆, 得证), AF为黑(否则, 有红ACF BCD ∆≠∆, 得证), EF 为红(否则, 有红AEF BCD ∆≠∆, 得证), DE 为黑(否则, 有红DEF BCD ∆≠∆, 得证), CE 为红(否则, 有黑CDE BCD ∆≠∆, 得证). 此时, CEF ∆为红三角形. 故结论成立.在上面的右图中．．．．．．．, 设CD 为黑(否则, ABC ∆和ACD ∆均为红三角形, 结论成立).若CE 、CF 均为黑， 则在C 、D 、E 、F 中，可产生同色三角形，且该三角形异于ABC ∆. 所以结论成立. 若CE 、CF 均为红，则同理可证结论成立. 若CE 、CF 一红一黑，不妨设CE 红,CF 黑. 设BE 黑(否则, 有红BCE ABC ∆≠∆, 得证), BD 黑(否则, 有红ABD ABC ∆≠∆, 得证), DE红(否则, 有黑BDE ABC ∆≠∆, 得证), DF 红(否则, 有黑CDF ABC ∆≠∆, 得证). 此时, 在A 、D 、E 、F中，可产生同色三角形，且它异于ABC ∆. 所以结论成立.。