不动点迭代格式 -回复

多砚男凌项袭男潞搜弓衫粼二g潞g婆口召另晃夕中学数学杂志2013年第7期自主招生专题—函数迭代与不动点问题华南师范大学数学科学学院510631凌明灿函数迭代是函数的重要分支,其理论与方法在计算数学等领域中有广泛的应用,各高校在自主招生中有一定的考查.不动点则是函数迭代的一个美妙性质,如精灵般活跃在迭代问题中,往往起到“四两拨千斤”的功效.自主招生考试中,函数迭代中的不变性质与常系数分式递推关系尤为热门,这两类问题常常与不动点结合,不乏活泼美妙的考题,值得我们注意.,函数迭代中的不变性质例1(2008年上海交大)已知函数f(:卜。,+b:十。(a尹。),且f(x)二x没有实数根.问:f(f(x))=x是否有实数根?并证明你的结论.解法1判别式验证.f(二)一二=ax,+(b一l)二+c=0无实根,则■=(b-l)'一4ac<0.由f(f(二))=x,有。(。2+6二+。)2+6(。,+bx+。)+e一x=0,整理得,a(axZ+旅+。)2一axZ+axZ+6(axZ+6x+。)+e一x=o,。Cax,+(b一l):+。了〔ax,+(6+1)二+。」+(1+6)[axZ+(乙一1)x+ej=0,aZxZ+a(b+l)x+b+ac+l=O,■2=。,(6+l)2一4az(6+ac+一)=。,[(6一l)'一4ac一4〕二,f(f(二))二二4+3x,+4+x,+2>二,结论应是无实根.再用反证法.设f(f(x。))=x。,令f(x。)=t尹x。,则f(t)=x。,点(x。,t)与(t,x。)关于y=二对称且都在y=f(x)上.y胡x)与y=x必有交点,从而f(x)=x必有实数根,矛盾.解法3不等关系迭代.若a>0,则f(x)>x恒成立,于是.尺八x))>f(x)>x;若ax。,因为f(x)严格递增,所以x。fn(x。),均与fn(x。)二x。矛盾.所以f(x。)二xo.练习2(2010年浙江大学)设M=(xIf(x)=x},厅=卜If(f(x))=x}.(一)求证:M二N;(2)f(二)为单调递增函数时,是否有M=N?并证明.练习3解方程:x(令f(二卜丫丁石,则原方程为x=f.(x),x=f(二)的解为x=2,利用例2证其唯一性.)2分式线性递推关系aa_+b如果递归数列风}满足an一二减石,其中·`O,ad一bc尹o以及初始值a,笋f(a,),则称此数列为__邸+b二_._、_~分式线性递推数列;称方程x=二共的根为该数列的`'一、一”一一`~~一`'“一'一cx+d一`'r一/`'`'~~`一`不动点.{另宪教琪公牙娜忿兜卿忍另称g…苏弓苏策尹中学数学杂志2013年第7期解(l)a,_,二_一、_ax+b_._,_,_二_为特址万程二=一一二二问个小等的根,C劣十a所以b一血二ca,一aa,同样b一中二姆,一够吸=万劝a0二3ao一4一7ao+8二万瓦巧,“,二飞石乒百'l312'(2)x==3x一4叮-一尸二二玲X=4x一51,易得+(一4)(r+b一二一a+da卜l一1ao一la。+l一Qan十:节Oanconaa_(a一ca)a。+b一da(a一岭)a。+b一中5_一l),令久_,=丁得a0件=生+1.二石万万甲a一C口练习5(自编)数列a。满足an+;_aa。+b,_一一一一,二、n一can+以=—只a一岭an一aa。节0,l,2……、__ax+b二_,___.,a尹为特征万程x二丁下万的两个小等的〔沉.肠所以婴a一甲一,.。_Za、=一1,a,户一—)·男m一2a。),根.证明:若a。的周期为2(。n,、尹a。),则a明二(简解若a。的周期为2(a。+,尹a,。作者简介凌明灿(1990一),男,广东高州人,在读研究生.研究方向为竞赛数学,初等数学.担`坚飞是周期为:的等比数列,公比为一1.又。,口la。岁J(上接第31页)当然A,尸,B,Q四点也可以是共抛物线的,共双曲线的.比如在②中令人=一1,得四点共抛物线的方程2尹+涯x一y一2二0;在②中令2+2人=A一1幼A=一3,可得四点共双曲线的方程4x2一勿,一3万x+3y+2=0.4其它例6设双曲线其一其=1(。,0,。,。)的右一”一a·b·顶点为A,尸为双曲线上的一个动点(不是顶点),从点A引双曲线的两条渐近线的平行线,与直线口P分别交于Q,R两点,其中口为坐标原点,则10尸!'与1oQI·1oRI的大小关系是_.联立,消去y即得关于x的一元二次方程.解l,:a少一b(x一a)=o过点口(x:,丁,),12:a犷+b(x一a)=0过点R(xZ,)2),所以曲线「a了一b(x一a)〕·[a少+b(x一a)」=0过点Q,R,即a、,一6,(二一a)'=o过点Q,双.由尸一_“'(戈一`)'一0_、Ly=kx(直线O尸的万程)幼(a,kZ一6,):,+ZabZx一aZbZ=0.所以xlx:=aZbZbZ一aZ无2aZbZ,,,,,劝孙=丁于一一不石万一a一y一二a一b一o一“`劣一yUL矛IlL由分析设p(x。,少。),Q(xl,,.),R(x:,丁2).因O,p,Q,R共线,故考察1oP12与!OQ卜!OR!的大小关系,只需考察端与二:xZ的大小关系.由xLx:,想到运用韦达定理.这就启发我们构造所以二:xZ=杯.此式两边同除以。osZa(a为直线op的倾斜角)得!0尸!'到口Q卜l口R1.评析这里通过构造曲线系方程,减少了运算量,使问题快速得解,图3作者简介侯作奎,男,1956年5月生,湖北省中学数学特级教师.发表论文二十余篇,现任教于武汉外国语学校.过点Q,R的二次曲线系方程,此曲线方程与直线口尸34

第２７卷第９期　２００７年９月　绍兴文理学院学报　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＳＨＡＯＸＩＮＧ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　Ｖ０１．２７　Ｎｏ．９　Ｓｅｐ．２００７　

非扩张映象的公共不动点的迭代逼近　

傅秋平谷峰　

（杭州师范大学数学系，浙江杭州３１００３６）　

摘要：设　是一致凸实Ｂａｎａｃｈ空间中的非空闭凸子集，设　，　是　上的两个非扩张自映射，则我们引入一新的隐式迭　

代序列｛　｝，在　，　中有一个映射是半紧的条件下强收敛于它们的公共不动点．　

关键词：迭代序列；强收敛；非扩张映象；实Ｂａｎａｃｈ空间；公共不动点　

中图分类号：Ｏ１７７；Ｏ１８９　文献标识码：Ａ　文章编号：１００８—２９３Ｘ（２００７）０９一ＯＯＯ６—０４　

１引言和预备知识　

关于非扩张映象的公共不动点的迭代逼近问题，已被许多学者在一定条件下作了广泛的研究，例如　Ｇｕ　Ｆｅｎｇ…，Ｚｈａｎｇ　Ｆａｎｇ和Ｓｕ　Ｙａｎｇｆｕ（２Ｊ等文．Ｇｕ　ＦｅｎｇＣ１　Ｊ在实Ｂａｎａｃｈ空间中研究了Ｎ个非扩张映象的复合隐　

迭代收敛到公共不动点的问题．　

本文的目的是在实Ｂａｎａｃｈ空间的框架中，构建一个新的隐迭代序列，研究２个非扩张映象的公共不　

动点的强收敛问题．　

本文处处假定Ｅ是一实Ｂａｎａｃｈ空间，　是Ｅ的非空子集，　是　上的自映象，记　

Ｆ（　）＝｛　∈Ｅ：Ｔｘ：　｝．　

定义１．１　设　是赋范线性空间Ｅ的一非空子集，称　：　—　是非扩张映象，如果　

一　Ｉ　一Ｙ　，ｖ　，Ｙ∈Ｋ．　

定义１．２ｆ３１　设　是Ｂａｎａｃｈ空间Ｅ的一闭子集，称　：　—　是半紧的，如果对任意有界序列　

｛　｝Ｃ　Ｋ，０　一　Ｉｌ一０（ｎ一∞），　

则存在着｛　｝的子列｛　｝，使得　一　∈Ｋ．　

下面我们给出本文所研究的迭代序列和将要使用的有关定理．　

设Ｅ是一致凸Ｂａｎａｃｈ空间，　是　的非空闭凸子集，　１，Ｔ２：　—　是非扩张映象，假定Ｆ＝Ｆ（Ｔ１）ｎ　

Ｆ（　）≠≠，定义迭代序列｛　｝：　

ｆ　＝ａ　一ｉ＋（１一ａ　）ＴｌＹ　，　，、　

龙源期刊网

自主招生专题——函数迭代与不动点问题

作者：凌明灿

来源：《中学数学杂志(高中版)》2013年第04期

函数迭代是函数的重要分支，其理论与方法在计算数学等领域中有广泛的应用，各高校在自主招生中有一定的考查不动点则是函数迭代的一个美妙性质，如精灵般活跃在迭代问题中，往往起到“四两拨千斤”的功效自主招生考试中，函数迭代中的不变性质与常系数分式递推关系尤为热门，这两类问题常常与不动点结合，不乏活泼美妙的考题，值得我们注意.

1函数迭代中的不变性质

例1（28年上海交大）已知函数f（x=ax2+bx+c（a≠，且f（x=x没有实数根问：f（f（x=x是否有实数根？并证明你的结论.

解法1判别式验证

有实数根，矛盾.

解法不等关系迭代

（1）求证：MN；

（2）f（x为单调递增函数时，是否有M=N？并证明.

（令f（x=2+x，则原方程为x=f4（xx=f（x的解为x=2，利用例2证其唯一性.

2分式线性递推关系

如果递归数列{an}满足an+1=aan+bcan+d，其中c≠，ad-bc≠以及初始值a1≠f（a1，则称此数列为分式线性递推数列；称方程x=ax+bcx+d的根为该数列的不动点.

定理1如果特征方程x=ax+bcx+d有两个不等的根α，β，则xn+1=axn+bcxn+d可以变形为xn+1-αxn+1-β

评例和练习4若清楚分式线性递推关系，求出对应的通项，则问题迎刃而解

（简解若an的周期为2（an+1≠an），则an-αan-β是周期为2的等比数列，公比为-1又α，β为特征方程x=ax+bcx+d两个不等的根， 龙源期刊网

作者简介凌明灿（199—），男，广东高州人，在读研究生研究方向为竞赛数学，初等数学

用不动点迭代法,牛顿法,加速迭代法求方程的近似根报告

数学与应用数学

数值分析实验报告

用不动点迭代法～牛顿法～加速迭代法实验名称 实验时间 2014年3 月20 日

求方程的近似根

组长 班级 学号 成绩

组员

学号 手写签名 一、实验目的～内容 二、相关背景知识介绍 三、代码 四、数值结果 五、计算结果的分析 六、计算中出现的问题～解决方法及体会

一 实验目的，内容

1、了解三种迭代方法的计算过程;

2、掌握三种方法的计算步骤;

3、通过三种方法的计算过程比较，得出三种方法的优缺点，计算速度等。 二

相关背景知识介绍

牛顿法的计算步骤介绍:

步骤一 准备 选定初始近似值x(0)，计算f(0)=f(x(0)),f(0)的一阶导数等于f(x(0))的一阶导数。

步骤二 迭代 按公式

x(1)=x(0)-f(0)/f′(0)

迭代一次，得新的近似值x(1)，计算f(1)=f(x(1))，f′(1)=f′(x(1))。

,,,(1)f(1),,(2)步骤三 控制 如果x(1)满足或者，则终止迭代，以x(1)作为所求的根;否则转

,,x(1),x(0)x(1),C,,(x(1),x(0))/x(1)步骤四，此处(1)，(2)是允许误差，而，当时;，,,

x(1),C当时;其中C是取绝对误差的控制常数，一般可取C=1.

步骤四 修改 如果迭代次数达到预先指定的次数N，或者f′(1)=0,则方法失败;否则以(x(1),f(1),f′(1))代替(x(0),f(0),f′(0))转步骤二继续迭代。

三 代码

我们组将代码写成了matlab的函数形式，用于解决所有的关于此类的问题。

11题目:先确定方程的一个收敛的有根区间[a,b], 然后用不动点迭代法求在此有x,cosxx,cosx22

,510根区间的近似根,初值自己确定,要求根精确到,比较三种迭代法的迭代次数. x0