5.状态反馈控制器的设计

《现代控制理论》讲义 第五章 状态反馈控制器设计

1 Chapter5 状态反馈控制器设计

控制方式有“开环控制”和“闭环控制”。“开环控制”就是把一个确定的信号（时间的函数）加到系统输入端，使系统具有某种期望的性能。然而，由于建模中的不确定性或误差、系统运行过程中的扰动等因素使系统产生一些意想不到的情况，这就要求对这些偏差进行及时修正，这就是“反馈控制”。在经典控制理论中，我们依据描述控制对象输入输出行为的传递函数模型来设计控制器，因此只能用系统输出作为反馈信号，而在现代控制理论中，则主要通过更为广泛的状态反馈对系统进行综合。

通过状态反馈来改变和控制系统的极点位置可使闭环系统具有所期望的动态特性。利用状态反馈构成的调节器，可以实现各种目的，使闭环系统满足设计要求。参见138P例5.3.3，通过状态反馈的极点配置，使闭环系统的超调量%5p，峰值时间（超调时间）stp5.0，阻尼振荡频率10d。

5.1 线性反馈控制系统的结构与性质

设系统),,(CBAS为 BuAxx Cxy （5-1）

经典控制中采用输出(和输出导数)反馈（图5-1）：

其控制规律为： vFyu F为标量，v为参考输入 （5-2）

BvxBFCAvFyBAxBuAxx）（）（

可见，在经典控制中，通过适当选择F，可以利用输出反馈改善系统的动态性能。

现代控制中采用状态反馈（图5-2）：

其控制规律为： vKxu，nmK~ （5-3）

（K的行=u的行，K的列=x的行）称为状态反馈增益矩阵。

状态反馈后的闭环系统),,(CBASKK的状态空间表达式为

BvxABvxBKAxK)( Cxy （5-4）

式中： BKAAK- 图5-1 经典控制-输出反馈闭环系统 《现代控制理论》讲义 第五章 状态反馈控制器设计

2

图5-2 现代控制-状态反馈闭环系统

若FCK，“状态反馈”退化成“输出反馈”，表明“输出反馈”只是“状态反馈”的一种特例，因此，在经典控制理论中的“输出反馈”（比例控制P）和“输出导数反馈”（微分控制D）能实现的任务，状态反馈必能实现，反之则未必。

定理5-1（124P定理5.1.1） 若n阶系统),,(CBAS是状态完全能控的，则经过状态反馈后的闭环系统),,(CBASKK仍然是状态完全能控的。即状态反馈不改变系统的能控性。但状态反馈不一定能保持原系统的能观性。

证明 对系统（5-1）的任意能控状态x，根据能控性定义，在att0时间内，存在一个控制作用)(tu，使得在该控制作用下0)()()0(atxtxx。对（5-1）加了状态反馈控制律vKxu后，需要证明x仍然是闭环系统（5-3）的能控状态。事实上，在时间段att0上，取 xKuv （5-5）

则由于 )()()]()([)()(tuBtxAtxKtuBtxBKAx

所以，x也是闭环系统（5-3）的能控状态。由于x的任意性，定理得证。

例5-1原系统为uxxxx1013212121，21)21(xxy，状态反馈矩阵为

)13(K，讨论系统经状态反馈前后的能控性和能观性。

解：nCACnABB24721rankrank21120rank)(rank，

原系统能控且能观；经状态反馈后，0021BKAAK

nBABK20120rank)(rank，系统经状态反馈后能控性不变；

但nCACK12121rankrank，系统经状态反馈后不能保持原系统的能观性（状态反馈有可能改变输出端）。

定理5-2（126P定理5.1.2）“输出反馈”不改变系统的能控性和能观性（证明略）。 《现代控制理论》讲义 第五章 状态反馈控制器设计

3 定理5-3（126P定理5.1.3）对能控的单输入、单输出系统，“状态反馈”只改变传递函数的分母多项式的系数，而不能移动系统的零点。

证明：系统传递函数为 BAsICsG1)()(，由于系统的能控性，状态空间模型必能通过非奇异变换得到（等价于）能控标准型)~,~,~(CBA

110...1...0000...10~naaaA，100~B

由关系式

01111101...001...1...0000...11)~(asasssasaasssAsInnnnnn

)...(~011asasBnnn

由上式整理可得

101111...1~)~(nnnnssasasBAsI

由于等价的状态空间模型具有相同的传递函数，所以

BAsICasascscscssasascccBAsICnnnnnnnnnn1011011110111101)(...~~...~1...)~...~~(~)~(~（1）

采用状态反馈vxKu~~后，同理可得闭环系统的传递函数

)(...)(~~...~~)]~~~([~0011101111kaskascscscBKBAsICnnnnnn （2）

其中 ]...[~110nkkkK。由（1）、（2）可知，状态反馈只改变系统的极点多项式（只改变传递函数的分母多项式的系数），而不会改变分子多项式的系数。此时，只要不发生零极点相消的现象，状态反馈就不能改变零点。证毕。

5.2 稳定化状态反馈控制器的设计

本节的目的就是要寻找“反馈控制器”或者说求出“控制律”，使系统稳定以及使系统的性能满足设计要求。 《现代控制理论》讲义 第五章 状态反馈控制器设计

4 稳定是一个系统正常运行的首要条件。若一个系统不稳定，则必须运用外部控制设法让其稳定。如何确定增益矩阵K，使下面闭环系统是渐近稳定的？

BvxABvxBKAxK)( Cxy （5-6）

根据Lyapunov稳定性定理，系统（5-6）渐进稳定的充要条件是存在一个二次型的Lyapunov函数PxxxVT)(，其中P是待定的对称正定矩阵。可以通过使标量函数PxxxVT)(的时间导数是负定的来确定P和K。

5.2.1 Riccati矩阵方程处理方法

这种方法可用来处理非线性系统、时滞系统等各类系统的镇定问题，也可用于鲁棒控制器的设计。（鲁棒是Robust的音译，也就是健壮和强壮的意思。鲁棒性（robustness）就是系统的健壮性。它是在异常和危险情况下系统生存的关键。比如说，计算机软件在输入错误、磁盘故障、网络过载或有意攻击情况下，能否不死机、不崩溃，就是该软件的鲁棒性。所谓“鲁棒性”，是指控制系统在一定（结构，大小）的参数摄动下，维持某些性能的特性。根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器）

对标量函数PxxxVT)(求时间导数，并利用状态方程BuAxx得：

PBuxPxBuxPAPAxxPxPxxtxVTTTTTTT)(d)(d （5-7）

应用PPT可知，后面两项“标量”相等

PBuxPxBuTTT

（5-8）

于是 PBuxxPAPAxtxVTTT2)(d)(d

（5-9）

若选取控制律u具有以下结构形式 PxkBuT

0k （5-10）

xPkPBBPAPAxPxPBBkxxPAPAxtxVTTTTTTT)2-(2-)(d)(d （5-11）

进一步，选取矩阵PPT使其满足Riccati（里卡提）矩阵方程

IPkPBBPAPATT2-

（5-12）

则0d)(dxxtxVT，满足渐进稳定的充要条件。

从（5-12）解出正定对称矩阵PPT，代入（5-10）就可得到控制规律。这种基于Riccati矩阵方程（5-12）的稳定化控制器设计方法称为Riccati方程处理方法。

若对给定的00k，Riccati方程有一个正定对称解矩阵P，则对任意的0kk，

0)2-()2-(d)(d0xxxPPBBkPAPAxxPkPBBPAPAxtxVTTTTTTT 《现代控制理论》讲义 第五章 状态反馈控制器设计

5 因此，对任意0kk，PxkBuT都是系统的稳定化控制律。这表明稳定化控制律PxkBuT具有正无穷大的稳定增益裕度，这在实际应用中是非常有用的，操作人员可以根据实际情况，在不破坏系统稳定性的前提下，调节控制器的增益参数，使系统满足其他性能要求。

例5-2（129P例题5.2.1）对（17P例4.4.3）的双积分系统uxxxx1001102121设计稳定化状态反馈控制器。

解：已经讨论，系统不是一个渐近稳定的，取1k，Riccati方程为

IPPBBPAPAPkPBBPAPATTTT2-2-

1001)10(102011001103221322132213221pppppppppppppppp