浅谈数学分析中反例的作用

学术论坛　—２０１　５—ＮＯ．０７Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｔｈｎｏｌｏｇｙ　Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　Ｈｅｒａｌｄ团圜噩覆翻　■■■瞄■誓丘■■一‘●　一　

浅谈极限在　数学分析　课程中的作用①　

朱小飞　（安徽城市管理职业学院安徽合肥２３１　６３１）　

摘要：该文首先介绍极限定义的形成，发展和完善，在了解极限定义的基础上来进一步理解极限理论，极限理论是徽积分的基础，其次主要　介绍了极限在连续定叉、导数定义、积分定义等方面的应用。　关键词：极限数学分析作用课程　中图分类号：Ｏ１７１　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７４—０９８Ｘ（２０１５）Ｏ３（ａ）一０２４９—０２　

Ａｎａｌｙｚｅ　ｔｈｅ　Ｒｏｌｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｌｉｍｉｔ　ｉｎ’’Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ａｎａｌｙｓｉｓ’’Ｃｏｕｒｓｅ　

Ｚｈｕ　Ｘｉａｏｆａｉ　（Ａｎｈｕｉ　Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｕｒｂａｎ　Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ。Ｈｅｆｏｉ　Ａｎｈｕｉ。２３１６３１。Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ　ｔｈｅ　ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　ｌｉｍｉｔｓ　ｔｈｅ　ｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ　ａｎｄ　ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｌｉｍｉｔｓ　ｄｅｆｉｎｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｇｒｏｕｎｄ　ｕｐ　ｔｏ　ｆｕｒｔｈｅｒ　ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ　ｌｉｍｉｔ，ｌｉｍｉｔ　ｔｈｅｏｒｙ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｂａｓｉｓ　ｏｆ　ｃａｌｃｕｌｕｓ，ｓｅｃｏｎｄｌｙ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ　ｔｈｅ　ｕｌｔｉｍａｔｅ　ｉｎ　ａ　ｒｏｗ　Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ，ｌＣｕｒｒｉｃｕｌｕｍ　ｔｈｅ　ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　ｏｆ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ，ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｏｔｈｅｒ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．　Ｋｅｙ　Ｗｏｒｄｓ：ＬｉｍｉｔｌＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ａｎａｌｙｓｉ　ＩＲ０ｌ　；Ｃｕｒｒｉｃｕｌｕｍ　

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浅谈反例在中学数学教学中的作用

作者：张祯霞

来源：《新课程研究·基础教育》2010年第12期

【摘 要】反例在中学教学中有着非常重要的地位，文章结合一些实例讨论了反例在中学数学教学中的作用，并指出了在使用和构造反例时应注意的问题。

【关键词】反例 数学教学 作用

一、引言

一个正确的命题自然伴随着正确的证明，起之有因，论之有据。然而，一个错误的命题之所以为错误，最好的说明方式就是只须指出其在符合题设的某个特殊情形下，用一个大家都能认可的例子来说明该结论不成立，就足以说明问题了，这就是反例。在数学的发展历史中，反例和证明同样重要：一个数学真命题往往需要严密的证明，而假命题则靠反例加以鉴别。数学家盖尔鲍姆和奥姆斯特德曾指出“数学有两大类——证明和反例组成，而数学发现也是朝着两个主要的目标——提出证明和构造反例”。

同样，反例对巩固和加深对概念与定理的理解，以及对掌握相关概念的差异和层次方面有着正面说明或证明所无法取代的作用。在中学数学教学中，反例的试举已成为提高教学质量的重要的一环。另一方面，“反例教学”对培养学生的数学思维能力方面的作用也是显著的，它不仅有助于对学生纵向思维能力的培养，对其横向思维能力的培养和发展尤其具有不可缺少的作用。一个数学问题，用一个反例予以解决，给人的刺激犹如一出好的戏剧，所以，在中学数学教学中可以有意识地构造反例来解决实际问题，让学生从中领会神奇功效，从而使他们切实有效地掌握数学知识，提高数学能力。

二、反例在中学数学教学中的地位

《数学新课程标准》基本理念的核心内容有这样一条：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地观察、实验、猜测、验证、推理和交流等数学活动。内容的呈现应采取不同的表达方式以满足多样化的学习要求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、主动探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，数学学习活动应当是一个生动的、主动的和富有个性的过程”。此理念说明了要赋予数学学习活动以生命的活力，要发展学生的实践能力和创新精神。数学教育不能再单纯地依赖模仿与记忆，要转变过去封闭、被动、接受性的学习方式，倡导动手实践、自主探索与合作交流学习数学的重要方式。那么，教师在教学过程中要凸显学习过程的探究性，就应注重创设问题情境，引发矛盾冲突，激发学习龙源期刊网

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一、质疑中能有效掌握知识

从数学学习的特点看，教师所教的与学生所学的数学知识是

前人已经创造出来的知识，在这个创造过程中充满了质疑、判断、

分析，教学的过程一定意义上是这些过程的再现。通过针对性的质

疑去引发学生的“观念冲突”，帮助学生将正确的观念和错误的观

念进行比较，促其作出自觉的“选择”，而培养质疑就要适当地使用

反例，更重要的是要善于引导学生构建反例。

例1.在讲授“无理数”这个概念时，我设计了这样一个思考题：

两个无理数的和是否一定为无理数？

很多同学都说是，如2姨+3姨是无理数。但有部分学生思考

一会儿后说不一定，并马上举出，如2姨与原2姨，它们的和等于

零是有理数等等。这些反例的共同特征是：互为相反数的两无理数

和为有理数。在此问题的基础上，我进一步追问：两个无理数的积

是否一定为无理数？一个无理数与一个有理数的和或积是否一定

是无理数？通过对这些问题做更多更深入的研究，不仅可以培养学

生思维的发散性，还可以加深对有理数、无理数概念的理解，弄清有

理数和无理数之间的关系。

二、预防学生易犯的错误

在学生学习过程中，正面看，有些错误很难被发现，但通过构

造反例能让学生辨析错误，发现问题，矫正学生的认知偏差。

例2.判断下列数学命题的真假，并给出证明：有一条边和两个

角相等的两个三角形全等。

学生先独立思考，然后师生共同完成。

分析：由于上述内容和教材中的定理不一致，大部分学生想了

想回答说：“不一定”，这时我问道：“你能举出一个反例来说明吗？”

即让学生用反例来说明命题“有一条边和两个角相等的两个三角

形全等”是错误的。在学生讨论时，我提示：“可以画出图形来说明。”

此时课堂气氛活跃，学生个个情绪高涨、跃跃欲试，都在画图尝试。

最后，全班一起总结、交流，归纳出反例，列举如下（其中一种）：

如下图，吟ABC和吟A忆B忆C忆中，蚁C=蚁A忆=75毅，蚁B=蚁C忆=45毅，

AB=A忆B忆=2援5cmA

CBA忆B忆C忆

第２ｌ卷　第２期　２０１２年６月　河南教育学院学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｅｎａｎ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏｌ＿２１　Ｎｏ．２　Ｊｕｎ．２０１２　

ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—０８３４．２０１２．０２．０１７　

反例思想在数学分析教学中的作用　

方金辉，王智勇　

（南京信息工程大学数学与统计学院。江苏南京２１００４４）　

摘要：通过无界函数与函数趋于无穷大的关系和中值定理只在实数范围内成立两个反例，说明运用反例思想　

有利于加深学生对概念、定理的理解，培养学生思维的严密性，从而提高教学效果．　关键词：数学分析；反例；教学；无界函数；中值定理　中图分类号：Ｇ６４２．０；０１７１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００７—０８３４（２０１２）０２—００５７—０２　

反例思想是数学分析中的重要思想，对于概念、性质的理解以及问题的研究与论证都具有不可替代的作　

用．恰当运用反例，对于正确理解概念，巩固和掌握定理、公式、法则，培养学生的逻辑思维能力，预防和纠正　

错误，具有十分重要的作用¨　．　

１　注重反例加深对数学概念的理解　

数学分析中许多概念都是以抽象的数学语言描述，学生不易凭直观思考并理解其含义，此时恰当运用反　

例，不但可以加深学生对概念的理解，而且还可以沟通概念与概念之间的联系　］．　

例１　无界函数与函数趋于无穷大的关系．　

无界函数的定义与函数趋于无穷大的定义有些相似，然而这两个概念有本质上的差异．若　一　时，　

厂（　）一∞，则，在　。的每个领域内必定无界．反之，函数，在　。的任何领域内都是无界的，但当　—　。时，　

）并不一定趋于无穷大．　

设　）：　ｃｏｓ一１，则对无论多大的整数Ｍ，总有充分接近于　：０的点，使得Ｉ。　ｌ＞Ｍ，例如　ｌ　Ｉ　

取　：　，则Ｉ。。　ｆ：ｎ１ｒ，故当ｎ＞丝Ｄ，－ｔ，就有Ｉ一１。。　１　Ｉ＞Ｍ．因此，厂在　：０的任何领域内都　‘　“　Ｉ　Ｉ　１Ｔ　ｌ　ｌ