第09章 习题解

第9章 真空中的静电场

9.1 两个电量都是q的点电荷分别固定在真空中两点AB、，相距2a。在它们连线的中垂线上放一个电量为q的点电荷，q到AB、连线中点的距离为r。求q所受的静电力，并讨论q在AB、连线的中垂线上哪一点受力最大？若q在AB、的中垂线上某一位置由静止释放，它将如何运动？分别就q与q同号和异号两种情况进行讨论。

解：1222014qqFFar

1322022cos2qqrFFar

方向沿两点电荷连线垂直线远离它们方向。

令0dFdr

1222223220202arardFqqdrar

2220ar

22ra

在q为正电荷时，在中垂线某位置由静止释放时，q将沿中垂线远离，作变加速速直线运动；若q为负电荷，q以AB连线的中点为平衡位置作振动；若释放点为AB连线中点，静止释放时，无论q为正、负电荷均因受力为0而不运动。

9.2 在正方形的顶点上各放一个点电荷q。（1）证明放在正方形中心的任意点电荷受力为零。（2）若在正方形中心放一个点电荷q，使得顶点上每个点电荷受到的合1F 2F

q q q

a r  力恰好为零，求q与q的关系。

解：⑴设正方形边长为a，正方形上各点电荷对中心放置的点电荷的作用力大小均为：

2200114222qqqqFaa

q所受到的四个力大小相等且对称，两相对顶点上的点电荷为一对平衡力，即q受力为0。

⑵设正方形四个顶点上放置的点电荷q为正电荷，由于对称性，则可选一个顶点处理，其它点电荷对其的作用力大小为：

12014qqFa

220142qqFa

322001124422qqqqFaa

各力的方向如图所示，要满足题意，中心点电荷q应为负电荷。要使顶点上的点电荷所受合力为0，则

3212cos45oFFF q q

q q q q q

q q q 1F 1F

2F

3F 将各量代入 122qq

即 122qq

9.3卢瑟福实验证明：当两个原子核之间的距离小到1510m时，它们之间的排斥力仍然遵从库仑定律。金原子核中有79个质子，氦原子核（即粒子）中有2个质子。已知质子带电量为191.6010C，粒子质量为276.6810kg.当粒子与金原子核相距156.910m时（设这时它们仍然可以看成点电荷），求粒子所受的力及其加速度的大小。

解：金原子核带电量为：1917791.60101.26410QC，氦原子核带电量为：191921.60103.2010qCC

氦原子核受的力和加速度分别为：

1719221215011.264103.210764.3443.148.85106.910QqFNr

29227764.31.1410/6.6810Famsm

9.4 有一个电偶矩为qpl的电偶极子，求在轴线延长线上任一点A的电场强度。已知A点到电偶极子中心的距离为r，并且rl。

解：电矩为Pql的电偶极子，由两个带等量异号的点电荷组成。

AEEE q q

0 A

x 222200011114442222AqqqEllllrrrr

由于rl，

22220032200111144221144AqqErrlrrlllrrqlqlrrrl

即 3014APEr

9.5一根不导电的细塑料棒弯成一个留有缝隙的圆，圆的半径为0.5m,缝隙宽2.0cm, 塑料棒均匀带电93.1210C。求圆心处电场强度的大小和方向。

解：对于一无缝隙的均匀带电圆，由于带电体具有对称性，由场叠加原理可分析得圆心处的场强为0

本题弯成圆有缝隙，缝隙之处可以视为同时带等量的正电荷和负电荷。则可得圆心处的场强即为缝隙负电荷产生的场强。

993.1210110/23.140.50.0223.140.50.02QCm

缝隙负电荷为

110.02210qC

圆心处的电场强度大小为：

1121212201210810443.148.85100.5qENCr 9.6 将电荷线密度为的无限长均匀带电线分别弯成图中（a）(b)两种形状，设圆弧半径为R，求两图中O点的电场强度。

解：由场的叠加原理，本题问题的求解，可将带电线分段求出各自在考察点处的场强，再叠加求得。

利用教材例9.3的结果，有：

0sinsin4xER

0coscos4yER

对于一半无限长的带电线，在其-端垂直距离R处产生的电场强度为： o A

B (a) A

B o

(b)

x 0 y

R

  E

x 0 y

R E 即,2，则有

00sinsin44xERR

00coscos44yERR

可见，,xyEE的大小相等，即E的方向与y轴成45o，大小为：

221024xyEEER

对于弧形带电线产生的场：

如图所示，取弧元，所带电量为：dqRd，其在圆心处的场强为：

200144dqdEdRR

2000coscos44xEdEdRR

2000sinsin44yEdEdRR

则有

222024xyEEER

方向沿45o

（a）带电线可视为三段组成，O点处的场为三部分在该处产生的场的叠加。如图所示，则有：

2024OEER

方向沿45o对称方向。   dE

d （b）带电线可视为四段组成，O点处的场为四部分在该处产生的场的叠加。如图所示：

由于12EE，四部分带电线产生的场有对称性，则有

0OE

9.7 求半径为R、带电量为Q的均匀带电球体内外的场强分布。

解：带电体为均匀带电球内，其所激发的场具有球对称性。利用高斯定理，取同心球面为高斯面

当rR时，即球内

2330144433QEdSEdSErrR

3014QrER

当rR时，即球外

2014EdSEdSErQ

2014QEr o A

B 1E 1E

2E

450 450

450 A

B o 1E

1E 2E

2E

9.8 求半径为R、面电荷密度为的无限长均匀带电圆柱面内外的场强分布。

解：无限长均匀带电圆柱面产生的场具有柱面对称性，利用高斯定理，取同轴圆柱面为高斯面，所取高斯圆柱面的半径为r，高度为l

当rR时，带电圆柱面内

20EdSEdSErl

0E

当rR时，带电圆柱面外

0122EdSEdSErlRl

0REr

9.9 半径分别为1R和2R（21RR>）的一对无限长共轴圆柱面上均匀带电，沿轴线单位长度的电荷分别为12、。（1）求空间各区域的场强分布。（2）若12，情况如何？

解：⑴两个无限长共轴圆柱面带电体所激发的场具有柱对称性，利用高斯定理，取同轴圆柱面为高斯面，所取高斯圆柱面的半径为r，高度为l

当1rR时：

20EdSEdSErl

10E

当12RrR时：

1012EdSEdSErll R 12012Er

当2rR时：

12012()EdSEdSErll

123012Er

⑵ 若12，则有

10E

12012Er

30E

9.10 1903年，英国物理学家汤姆孙根据实验，提出了汤姆孙原子模型：原子的正电荷均匀分布在半径约为101.010m的球体内，电子则在正电荷球内运动。1911年，汤姆孙的学生卢瑟福根据粒子散射实验的结果，提出了原子的核式结构模型：原子的正电荷集中在很小（约1510－m）的范围内，电子则在核外运动。在原子范围内，这两种原子模型产生的电场强度是不同的。以金原子为例，它的正电荷量为191779161012610CZe..，它的原子核半径为156910.－m。（1）按照卢瑟福的原子模型，求金原子核在核的表面上产生的电场强度的大小。（2）按照汤姆孙的原子模型，金原子的正电荷所能产生的电场强度的值最大为多少?(3)根据上面的计算，在粒子散射实验中，当粒子（带电量为2e＋）射向原子时，它所受的最大静电力各为多少？

解：⑴由高斯定理，取球面高斯面，球面半径略大于核半径，则有

2014inEdSEdSErQ